Transcript Gaub-E1-2-2
Ortsabhängige Kräfte Bsp.: Rakete im Gravitationsfeld (g nicht const.)
mM
F (r ) G 2 er
r
Nur r-Komp.
(später mehr)
v vr (Abschuss vom Pol)
dv dv dr
a
dt dr dt
dv
v
dr
a dr v dv
r
}{
h=r-R
v0
er
M
R
Erde
G M
v dv
r 2 dr
1 2 G M
v
C1
2
r
1 2 G M
C1 v 0
2
R
Gaub
1 2
v0 g R
2
E1 WS14/15
1
1 2 GM 1 2
v
v0 g R
2
r
2
mit a(R) g G
M
2
R
r
1 2 g R2 1 2
v
v0 g R
2
r
2
R
rmax
2
v0
1 (
)
2Rg
km
11.2
v0 v2 2 R g
s
}{
v0
er
v(rmax ) 0
M
für
h=r-R
R
Erde
v0 2 R g
Fluchtgeschwindigkeit
(2.kosmische Geschwindigkeit)
Kleinste Kreisbahn (Newton) 1. Kosmische Geschwindigkeit
2
v2
G M
v1 G M
v1
g R
2
2
R
R
R
Gaub
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7.9
km
s
2
Newtons Sicht:
Gesamtimpuls dp
dv
dv dm
dm
m
m
v
v (m m) g
(Rakete+Gas)
dt
dt
dt dt
dt
Näherung
0
dm dm
Rakete
Ausstoßgeschwindigkeit
m v
ve v v const
relativ zur Rakete
m v
bezogen auf
RaketenGas Eroberfläche
dv
dm
m
ve m g
gleichung
dt
dt
Triebwerks-Schub
m
m0
mT
dv ve
v (T )
0
T
t
Gaub
dm
g dt
m
m (T )
Nur z-Richtung
T
1
v (0)dv ve m(0) m dm 0 g dt
v(T ) ve (ln mT ln m0 ) g T
m0
Viel Treibstoff
v(T) v e ln
g T schnell verbrennen
mT
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3
Bsp.: 1. Stufe Saturn V
km
s
m0 3106 kg
ve 4
}
km
v(T) 4,4
s
g0
km
v(T) 3,4
s 2
g
9,81m
/s
mT 1106 kg
T 100 s
unterhalb der Fluchtgeschwindigkeit
Mehrstufige Trägerraketen
Apollo 11 Saturn V lauch
http://www.youtube.com/watch?v=wvWHnK2FiCk
Gaub
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4
§2.7 Energiesatz der Mechanik
dW F dr
Arbeit + Leistung
W12
Bahnkurve
F dr
p2
Linienintegral
p1
d
r
v dt
z
P2
„Arbeit“[W]= Nm = Joule
z
x2 y 2
2
F dr Fx d x Fy d y Fz d z
p2
F
p1
r (t )
x1
Anmerkung: W = 0 fürF dr
P1
y
Leistung:
x
Bsp. Gleichförmige Kreisbewegung:
Bsp.: Dehnarbeit einer Feder von 0 x :
dW
P
Fv
dt
y1
z1
[P]=
J
=Watt=W
s
v v et ; F F er
F dr 0 W 0
W Fx d x
x
D x dx
0
1
2
D x
2
Gaub
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5
Konservative Kraftfelder
WI F dr
P2
I
z
P1
v
Ft
P1
WII F dr
P2
II
P2
P1
v
dr
r ( t)
Wenn WI WII WIII
=> Integral wegunabhängig
y
v
Kraftfeld F(r) konservativ
x
Konservatives Kraftfeld:
WI WII F dr
F
dr
P2
P1
P1
I
P2
II
P1
F dr F dr F dr 0
P2
P1
II
P2
I
Die Arbeit hängt nur von Start- und Endpunkt, nicht vom Weg ab.
Vektoranalysis: Stokes´scher Satz konservativ falls rot F 0
Gaub
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6
0
Fr 0
F
z
Bsp.: homogenes Kraftfeld
z
P2
z2
WI F dr
P2
II
P1
z2
0 Fz dz
z1
22
z1
WII Fz dz 0
I
P1
x1
z1
x2
F dr 0
x
Konservatives Kraftfeld
Bsp.: zentrales Kraftfeld F f (r )
r2
F dr Fr dr 0
P2
P2
P1
II
Fr dr
r1
F dr 0
r1
r2
konservativ
I
P1
Gaub
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Potentielle Energie
konservatives Kraftfeld
P2
Def !
W F dr E p (P1 ) E p (P2 ) E p
P1
v
F
dr
Bemerkung:
I. Vorzeichen so gewählt, dass Arbeit, die am Körper am
Körper verrichtet wird, dessen E p erhöht
WP
F dr
E p (P)
Arbeit die geleistet wird um P
ins Unendliche zu bringen
P
II. Nullpunkt wird oft so gewählt, dass E p () 0
Gaub
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8
Bsp. Gravitationsfeld
Nahe Erdoberfläche g = const.
W F dr
mit
h
m g dz m g h E p (0) E p (h)
0
E p (0) 0 E p (h) m g h
Geleistete Arbeit hat zur Zunahme der E p geführt
Für grösseren Entfernungsbereich gilt das Gravitationsgesetz
GM m
GM m
GM m
E p (r) E p ()
dr
W
er dr
2
2
r
r
r
r
r
Ep
R
m g R
Gaub
r
GM m
Ep
r
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Energiesatz der Mechanik
dv
F m
dt
t
dv
t F v dt m t dt v dt
t
0
konservatives Kraftfeld
0
P
F v dt F dr E p (P0 ) E p (P) W
t
t0
P0
v1
t
dv
m
v dt m v dv
dt
t0
v0
Def.:
Ekin
m 2 m 2
v1 v0
2
2
m 2
v
2
Ekin W
Die Zunahme der kinetischen Energie eines
Körpers ist gleich der an ihm geleisteten Arbeit
E E p (P0 ) Eki n(P0 ) E p (P) Ekin (P)
Im konservativen Kraftfeld ist die Summe aus
potentieller Energie und kinetischer Energie konstant
Gaub
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Bsp: freier Fall
v(h) 0 ; z h ; E P (0) 0
z
EP ( z ) m g dz m g z
0
m 2 m
Ekin ( z ) v ( g t ) 2 m g (h z)
2
2
E E P (z) E ki n (z) m g h
Gaub
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Unabhängig von z!
11
F ( x x, y y )
Potential Kraftfeld
P
r
P
E P
E P (x x,y y)
F ( x, y )
y
E P
E
E
x P y P z
x
y
z
Dafür benötigte Arbeit
E P (x, y)
W F dr EP
x
E
E
E
Fx x Fy y Fz z P x P y P z
y
z
x
Def.: Potential = Potentielle Energie pro Masse
ME
r
=> Schwerkraft F(r) grad(V)m
Bsp.: Gravitation
Gaub
V(r) G
EP
Nabla
x
EP
grad ( EP ) EP
F
y
E
P
z
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Bestimmung von G, Bsp: Gravitationswaage
= 2 L FG
Drehmoment des
verdrillten Fades
Schema Gravitationswaage
Gaub
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Drehimpuls
Ebene beliebig gekrümmte Bahn
L
r (t ), v (t )
v
r (t 2 )
O
r (t )
m
vr
In Polarkoordinaten:
L m(r (vr v )) m(r vr ) m(r v )
p mv
vv
0 weil r vr
und
v
r
Ebene von
weil r v r 2
Kreisbewegung:
Gaub
Def.: Drehimpuls
L (r p) m (r v )
L r , v
;
v v
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L m r 2
L m r 2
14
Drehmoment:
Newton
dL dr dp
p r (v p) (r p ) (r F )
dt dt
dt
v v
0 weil v p
Def: Drehmoment
D
dL
D (r F )
dt
.
r
Für zentrale Kraftfelder
F f (r ) eˆr
L = const. bzgl. Kraftzentrum
ist
.
v
F
D0
Drehimpulserhaltung
Zeitliche Veränderung des Drehimpulses ist gleich dem wirkenden Drehmoment
Gaub
E1 WS14/15
15
Man Beachte: L und D werden bzgl. eines festen Punktes O im Raum definiert
O1
L1 0
v
m
Gerade Bewegung kann Drehimpuls
haben bzgl. O2
r
L2 m r v sin 0
O2
Analogie:
Später noch:
Gaub
r
v
F
p
D
L
m
I
E ki n
E ro t
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Johannes Keppler
Tycho Brahe
Gaub
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17
Planetenbewegung:
Kepplergesetze
(Basierend auf Beobachtung Tycho Brahes))
I. Planeten bewegen sich auf Ellipsen mit Sonne im Brennpunkt
II. Fahrstrahl von Sonne zu Planet überschreitet in gleichen Zeiten gleiche Flächen
P(t1 )
A1
A2
S
P(t2 t)
P(t2 )
P(t1 t)
III. Die Quadrate der Umlaufzeiten der Planeten verhalten sich wie die 3. Potenzen
ihrer großen Halbachsen
T12 a13
2
3
T2
a2
Gaub
oder
Ti 2
3 const
ai
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für alle Planeten
18
Zum 2. Kepplerschen Gesetz
r (t dt )
S
dA
v
r (t )
ds v dt
h
ds
p
Bogen ≈ Sehne
1
dA r v dt sin
2
dA 1
1
1
r v sin
rp
L
dt 2
2m
2m
+ 1. Gesetz (planare Bahn) => Richtung L konst
L const
Gaub
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19
Newtons Analyse:
!!
Planetenbahnen
Fallender Apfel
aus L const.
aus Actio = Reactio
Selbe Axiomatik
Gravitation !
!!
FG (r ) f (r ) eˆr
(Zentralkraft)
FG ~ m1 m2
FG (r ) G m1 m2 f (r ) eˆr
Mit Ellipse ~ Kreis => mp wp rp G mp ms f (ri )
2
3. Keppler
mp M S
w2 ~ T 2 ~ r 3
eˆr
F G
2
2
r
f (r) ~ r
Newtonsches Gravitationsgesetz
Gaub
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20
Bestimmung von g: Mathematisches Pendel
Ft m at
m g sin m l
sin
l
l (1 cos )
3
3!
5
5!
...
sin
Ft
Fr
g
l
m g
Lösung der DGL:
Gaub
(t ) A sin
g
t
l
T 2
l
g
g
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Genauer:
E p m g l (1cos )
Ekin
m 2 m 2 2
v l
2
2
Start
m 2 2
E Eki n E p m g l (1 cos ) l E p0 m g l (1 cos 0 )
2
2 g (cos cos 0 )
d
l 0
g 0
T
4
dt
d
dt T
cos cos 0 0
4
sin
mit sin
sin
l
d
T 4
g 0 1 k 2 sin 2
2
;
k sin
l
1
2
T ( 0 ) 2
(1 0 .....)
g
16
0
2
2
0
l
+ Bronstein oder
Mathematica
2
T ( 0 )
T0
1.02
1.01
1.00
10
Gaub
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20 30
0
22
Kreisscheibe der Dicke dx schneidet aus der Kugelschale
der Dicke da das Volumenelement (Kreisring)
Gravitation Kugelschale
da
y
a
dV = 2 y ds dx,
y = asin,ds=da/sin
r
m
{
X
P
R
dm 2 a da dx
ds
m dm
dEP G
r a
dx
EP 2 G m a da
r
x a
dx
r 2 y2 (R x)2
R a
2 a da m
EP
G dr
R
r Ra
m m
EP G
R
y x R 2 R x
2
2
2
a2
a 2 R2 2 R x
dx/dr r / R
dx/r dr/ R
Gaub
dV = 2 a dx da
mit
m 4 a2 da
E1 WS14/15
= Masse der KS
23
Außerhalb der Hohlkugel erscheint die gesamte Masse konzentriert in O
EP
R
a
0
Innerhalb Hohlkugel:
G
m m
a
G
m m
R
R innerhalb der Kugel!
r a R
F
a
0
EPi ~
R
F 0
F G
m m
R2
dr 2 R
r a R
m m
EPi G
const. R a !
a
F gradEP 0 für R < a
Gaub
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Varianten der Coulomb WW
Gaub
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25
Varianten der Coulomb WW
Siehe J.N. Israelachvili, Intermolecular and Surface Forces with Applications to Colloidal and
Biological Systems, Academic Press 1985
Gaub
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Bsp.: VdW-Potentiale ausgedehnter Körper
B
A
dw nB
2ydyd
(d )
2
y2
A
y
d
A
A
3
B
d
B
M
B
r
dy
wAB
nB
dw
3
6
d
y 0 0
d
3
WAB~ 1/d
a)
b)
Nochmalige Integration
=> Potetial zwischen 2 Wänden
WAB
H AB 1
2
d
12 d 2
HAB typisch ≈10-20 J
Hamaker Konstante
Gaub
a
2 n A nB 1
12
WAB~ 1/d
L
c)
d
WAB~ 1/d
E1 WS14/15
R
5
d)
d
WAB~ 1/d
27
2