Transcript Kabelgleichung

Elektrophysiologie der Nervenleitung
• Elektrostatik der Nervenleitung (Nernst-Potential,
Goldman-Gleichung
• Elektrodynamik (Aktionspotentiale, Hodgkin-Huxley
Gleichung)
• Fortpflanzung der
Aktionspotentiale entlang des Axons (Kabelgleichung)
• Vereinfachte Modelle (Fitzhugh-Modell)
H.Gaub / SS 2007
BPZ§4.2
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Die Kabelgleichung
H.Gaub / SS 2007
BPZ§4.2
2
Die Kabelgleichung
Axon
a2 Vl (x)
ri
x
x
2ax
V (x)
rm



V(x)
2axcm
t
x
Membran
a2 Vr (x)
ri
x
2a

 j ! 0
a2 Vl (x) a2 Vr (x)
V (x) 2ax  V (x)

 2axcm

0
ri
x
ri
x
t
rm
 a Vr (x)
a Vl (x)
V (x) x  V (x)

 xcm

0
2ri x
2ri x
t
rm

V (x) a  2V (x) V (x)
cm


t
2ri x2
rm

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
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V (x) a  2V (x) V (x)


Kabelgleichung: c m
t
2ri x2
rm
V(x)
0
t
Stationäre Lösung:

a  2 V(x) V (x)
0
2 
2ri x 
rm
rm a  2V (x)
0
2  V(x)
2ri x 
ra
 m
2ri

 2 V(x)
0
2  V(x)

x
 
2
V(x)  Ae

V(x)  Ae
x
x

 Be 

Für x->∞ und -∞ müssen die Lösungen begrenzt bleiben
x

für x>0
V(x)  Ae
x
V(x)  Ae
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
für x<0
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
x

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Lösung für:
ie 
Ie
 (x) (t)
2a

Ie R
 m x 2  
t 



V(x,t) 
exp

exp

2
2
 4 t    m 
4 t  m
R 
ri
a2
 m  rmcm


Geschwindigkeit: v  2  m
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
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
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v  2  m

rm a
2ri
 m  rmcm
v
2a
2
rirm cm
Ausbreitungsgeschwindigkeit kann erhöht werden durch:
• Erhöhung des Radius (Riesenaxon des Tintenfisches, Effekt ist jedoch
begrenzt.)
• Verringerung der Membrankapazität durch Myelinschicht.
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Räumliche Ausbreitung des Aktionspotentials
Kombination von Kabelgleichung und nichtlinearer Membranleitfähigkeit
 2 Vm
Vm
4
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Na
Na




r
G
n

t

V

V

G
m

t

h

t

V

V




2
m
K
m
0
Na
m
0  jle ck 
x
t
2
Diese nichtlineare Differentialgleichung läßt sich nur
numerisch lösen; sie hat auch Wellen als Lösungen!
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Action potentials are propagated unidirectionally
without diminution
Movements of only
a few Na+ and K+
ions generate the
action potential
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