Slide 1

Les 11 :

MODULE 1

Snedekrachten (2)
Evenwichtsrelaties (differentiaalbetrekkingen)
Extensie
Buiging
Vervormingstekens

Hans Welleman

1

EXTENSIE : Evenwicht
n

qx

n

N+ N

N

x

x
 N N q x dN x  N   N  0

Horizontaal evenwicht:

lim

x  0

N

x



dx

 qx

d
Nx
 qx
dx

d ifferen tiaalverg elijk in g

De verandering van de normaalkracht is in absolute zin gelijk
aan de verdeelde belasting
Hans Welleman

2

dN

VOORBEELD
q x  10  2 x
vaste rand

vrije rand

5,0 m

  10  2 x

dx
(één keer integreren )
N ( x )   10 x  x  C 1
2

randvoorw aarde:
x  5, 0 N  0
invullen:
0   10  5, 0  25, 0  C 1

6,25

C 1  25, 0
N ( x )   10 x  x  25
2

25,0
N [kN]
Hans Welleman

3

DIFFERENTIAAL
VERGELIJKINGEN
BUIGING : Evenwicht
qz
M

Verticaal evenwicht:

V

V  q z   x  V   V  0

x

M +M

V
x

z
x
V
dV
limd V   q
x  0  x
dz x
dx

M
dM
limd M  V
x  0  x
dx
dx
Hans Welleman

V+V

 qz

Momentenevenwicht om
rechtersnede:
 M  V  x 
( q z   x )  12   x  M   M  0
M
x

  12 q z   x  V
x  0

4

VOORBEELD
ddV
M

10 kN/m
x
5,0 m

 V 10
  10 x  50

ddx
x
(één keer
keer integreren
integreren))
(één
2
V (( xx))  10
M
5 xx 
C
501 x  C 2

randvoorwaarde:
aarde:
randvoorw

z

5,00 M
V  00
xx  5,

V ( x )   10 x  50

invullen
invullen

M ( x )   5 x  50 x  125

 5 50
C 1 5
00  510
 25
 CC21  50

2

Voor grafieken zie vorige les.

Hans Welleman

C 2  125

5

RESULTAAT
dN

extensie

dx

buiging

 qx

 dV
 d x   q z

 dM  V
 d x

1 differentiaalvergelijking voor extensie
 2 differentiaalvergelijkingen voor buiging
en dwarskracht


Hans Welleman

6

Conclusies


Helling van de N-lijn (dN/dx) is gelijk aan min
de verdeelde belasting in x-richting
 Helling van de V-lijn (dV/dx) is gelijk aan min
de verdeelde belasting in z-richting
 Helling van de M-lijn (dM/dx) is gelijk aan de
dwarskracht (V)

Hans Welleman

7

Gevolg : extensie


Geen verdeelde belasting in de richting
van de staaf-as  constante N-lijn



Constante verdeelde belasting in de
richting van de staaf-as  lineair
verlopende N-lijn

Hans Welleman

8

Gevolg : buiging


Geen q-last in z-richting
 constante V-lijn
 lineair verlopende M-lijn



q-last constant in z-richting
 lineair verlopende V-lijn
 parabolisch verlopende M-lijn

Hans Welleman

9

Nadeel “wiskundige aanpak”




D.V. geldt alleen voor velden waar “niets” verandert
(continue beschrijving)
Bij iedere discontinuiteit eindigt een veld en begint
een nieuw veld………
“Grof geschut” in verhouding tot de complexiteit van
de problemen
T

q

F

q

 6 velden, voor ieder veld een eigen set van D.V. oplossen ???
Hans Welleman

10

Ingenieurs – aanpak

(volgende hfst)



Maak zoveel mogelijk gebruik van aanwezige
voorkennis (beschreven m.b.v. de wiskundige
verbanden)
 Construeer de M-lijn door voor een aantal
karakteristieke punten m.b.v. de snedeaanpak het moment te bepalen
 Verzin iets op het probleem met het
assenstelsel …..
Hans Welleman

11

Tekenproblemen voor V- en M
45 kN x

N-, V- en M-lijn ?

60 kN

GOED
FOUT

y

Hans Welleman

12

Probleem ….. vele assenstelsels ?

Handig ??
Hans Welleman

13

Oplossing voor buiging

“verbuigingsteken”
Hans Welleman

14

Dwarskracht

ook wel “fietstrappers”
genoemd …

Hans Welleman

15

VERVORMINGSTEKENS
Normaalkracht : “trek (+) en druk (-)”
 Dwarskracht : “fietstrappers”
 Moment : “verbuigingsteken”


VISUELE AANPAK

Hans Welleman

16

M-lijn en verbuigingsteken
open zijde naar de ligger-as gericht

Hans Welleman

17

Voorbeeld
Handigheidje …
haal “fietstrapper” uit de
helling van de M-lijn

Hans Welleman

18


Slide 2

Les 11 :

MODULE 1

Snedekrachten (2)
Evenwichtsrelaties (differentiaalbetrekkingen)
Extensie
Buiging
Vervormingstekens

Hans Welleman

1

EXTENSIE : Evenwicht
n

qx

n

N+ N

N

x

x
 N N q x dN x  N   N  0

Horizontaal evenwicht:

lim

x  0

N

x



dx

 qx

d
Nx
 qx
dx

d ifferen tiaalverg elijk in g

De verandering van de normaalkracht is in absolute zin gelijk
aan de verdeelde belasting
Hans Welleman

2

dN

VOORBEELD
q x  10  2 x
vaste rand

vrije rand

5,0 m

  10  2 x

dx
(één keer integreren )
N ( x )   10 x  x  C 1
2

randvoorw aarde:
x  5, 0 N  0
invullen:
0   10  5, 0  25, 0  C 1

6,25

C 1  25, 0
N ( x )   10 x  x  25
2

25,0
N [kN]
Hans Welleman

3

DIFFERENTIAAL
VERGELIJKINGEN
BUIGING : Evenwicht
qz
M

Verticaal evenwicht:

V

V  q z   x  V   V  0

x

M +M

V
x

z
x
V
dV
limd V   q
x  0  x
dz x
dx

M
dM
limd M  V
x  0  x
dx
dx
Hans Welleman

V+V

 qz

Momentenevenwicht om
rechtersnede:
 M  V  x 
( q z   x )  12   x  M   M  0
M
x

  12 q z   x  V
x  0

4

VOORBEELD
ddV
M

10 kN/m
x
5,0 m

 V 10
  10 x  50

ddx
x
(één keer
keer integreren
integreren))
(één
2
V (( xx))  10
M
5 xx 
C
501 x  C 2

randvoorwaarde:
aarde:
randvoorw

z

5,00 M
V  00
xx  5,

V ( x )   10 x  50

invullen
invullen

M ( x )   5 x  50 x  125

 5 50
C 1 5
00  510
 25
 CC21  50

2

Voor grafieken zie vorige les.

Hans Welleman

C 2  125

5

RESULTAAT
dN

extensie

dx

buiging

 qx

 dV
 d x   q z

 dM  V
 d x

1 differentiaalvergelijking voor extensie
 2 differentiaalvergelijkingen voor buiging
en dwarskracht


Hans Welleman

6

Conclusies


Helling van de N-lijn (dN/dx) is gelijk aan min
de verdeelde belasting in x-richting
 Helling van de V-lijn (dV/dx) is gelijk aan min
de verdeelde belasting in z-richting
 Helling van de M-lijn (dM/dx) is gelijk aan de
dwarskracht (V)

Hans Welleman

7

Gevolg : extensie


Geen verdeelde belasting in de richting
van de staaf-as  constante N-lijn



Constante verdeelde belasting in de
richting van de staaf-as  lineair
verlopende N-lijn

Hans Welleman

8

Gevolg : buiging


Geen q-last in z-richting
 constante V-lijn
 lineair verlopende M-lijn



q-last constant in z-richting
 lineair verlopende V-lijn
 parabolisch verlopende M-lijn

Hans Welleman

9

Nadeel “wiskundige aanpak”




D.V. geldt alleen voor velden waar “niets” verandert
(continue beschrijving)
Bij iedere discontinuiteit eindigt een veld en begint
een nieuw veld………
“Grof geschut” in verhouding tot de complexiteit van
de problemen
T

q

F

q

 6 velden, voor ieder veld een eigen set van D.V. oplossen ???
Hans Welleman

10

Ingenieurs – aanpak

(volgende hfst)



Maak zoveel mogelijk gebruik van aanwezige
voorkennis (beschreven m.b.v. de wiskundige
verbanden)
 Construeer de M-lijn door voor een aantal
karakteristieke punten m.b.v. de snedeaanpak het moment te bepalen
 Verzin iets op het probleem met het
assenstelsel …..
Hans Welleman

11

Tekenproblemen voor V- en M
45 kN x

N-, V- en M-lijn ?

60 kN

GOED
FOUT

y

Hans Welleman

12

Probleem ….. vele assenstelsels ?

Handig ??
Hans Welleman

13

Oplossing voor buiging

“verbuigingsteken”
Hans Welleman

14

Dwarskracht

ook wel “fietstrappers”
genoemd …

Hans Welleman

15

VERVORMINGSTEKENS
Normaalkracht : “trek (+) en druk (-)”
 Dwarskracht : “fietstrappers”
 Moment : “verbuigingsteken”


VISUELE AANPAK

Hans Welleman

16

M-lijn en verbuigingsteken
open zijde naar de ligger-as gericht

Hans Welleman

17

Voorbeeld
Handigheidje …
haal “fietstrapper” uit de
helling van de M-lijn

Hans Welleman

18


Slide 3

Les 11 :

MODULE 1

Snedekrachten (2)
Evenwichtsrelaties (differentiaalbetrekkingen)
Extensie
Buiging
Vervormingstekens

Hans Welleman

1

EXTENSIE : Evenwicht
n

qx

n

N+ N

N

x

x
 N N q x dN x  N   N  0

Horizontaal evenwicht:

lim

x  0

N

x



dx

 qx

d
Nx
 qx
dx

d ifferen tiaalverg elijk in g

De verandering van de normaalkracht is in absolute zin gelijk
aan de verdeelde belasting
Hans Welleman

2

dN

VOORBEELD
q x  10  2 x
vaste rand

vrije rand

5,0 m

  10  2 x

dx
(één keer integreren )
N ( x )   10 x  x  C 1
2

randvoorw aarde:
x  5, 0 N  0
invullen:
0   10  5, 0  25, 0  C 1

6,25

C 1  25, 0
N ( x )   10 x  x  25
2

25,0
N [kN]
Hans Welleman

3

DIFFERENTIAAL
VERGELIJKINGEN
BUIGING : Evenwicht
qz
M

Verticaal evenwicht:

V

V  q z   x  V   V  0

x

M +M

V
x

z
x
V
dV
limd V   q
x  0  x
dz x
dx

M
dM
limd M  V
x  0  x
dx
dx
Hans Welleman

V+V

 qz

Momentenevenwicht om
rechtersnede:
 M  V  x 
( q z   x )  12   x  M   M  0
M
x

  12 q z   x  V
x  0

4

VOORBEELD
ddV
M

10 kN/m
x
5,0 m

 V 10
  10 x  50

ddx
x
(één keer
keer integreren
integreren))
(één
2
V (( xx))  10
M
5 xx 
C
501 x  C 2

randvoorwaarde:
aarde:
randvoorw

z

5,00 M
V  00
xx  5,

V ( x )   10 x  50

invullen
invullen

M ( x )   5 x  50 x  125

 5 50
C 1 5
00  510
 25
 CC21  50

2

Voor grafieken zie vorige les.

Hans Welleman

C 2  125

5

RESULTAAT
dN

extensie

dx

buiging

 qx

 dV
 d x   q z

 dM  V
 d x

1 differentiaalvergelijking voor extensie
 2 differentiaalvergelijkingen voor buiging
en dwarskracht


Hans Welleman

6

Conclusies


Helling van de N-lijn (dN/dx) is gelijk aan min
de verdeelde belasting in x-richting
 Helling van de V-lijn (dV/dx) is gelijk aan min
de verdeelde belasting in z-richting
 Helling van de M-lijn (dM/dx) is gelijk aan de
dwarskracht (V)

Hans Welleman

7

Gevolg : extensie


Geen verdeelde belasting in de richting
van de staaf-as  constante N-lijn



Constante verdeelde belasting in de
richting van de staaf-as  lineair
verlopende N-lijn

Hans Welleman

8

Gevolg : buiging


Geen q-last in z-richting
 constante V-lijn
 lineair verlopende M-lijn



q-last constant in z-richting
 lineair verlopende V-lijn
 parabolisch verlopende M-lijn

Hans Welleman

9

Nadeel “wiskundige aanpak”




D.V. geldt alleen voor velden waar “niets” verandert
(continue beschrijving)
Bij iedere discontinuiteit eindigt een veld en begint
een nieuw veld………
“Grof geschut” in verhouding tot de complexiteit van
de problemen
T

q

F

q

 6 velden, voor ieder veld een eigen set van D.V. oplossen ???
Hans Welleman

10

Ingenieurs – aanpak

(volgende hfst)



Maak zoveel mogelijk gebruik van aanwezige
voorkennis (beschreven m.b.v. de wiskundige
verbanden)
 Construeer de M-lijn door voor een aantal
karakteristieke punten m.b.v. de snedeaanpak het moment te bepalen
 Verzin iets op het probleem met het
assenstelsel …..
Hans Welleman

11

Tekenproblemen voor V- en M
45 kN x

N-, V- en M-lijn ?

60 kN

GOED
FOUT

y

Hans Welleman

12

Probleem ….. vele assenstelsels ?

Handig ??
Hans Welleman

13

Oplossing voor buiging

“verbuigingsteken”
Hans Welleman

14

Dwarskracht

ook wel “fietstrappers”
genoemd …

Hans Welleman

15

VERVORMINGSTEKENS
Normaalkracht : “trek (+) en druk (-)”
 Dwarskracht : “fietstrappers”
 Moment : “verbuigingsteken”


VISUELE AANPAK

Hans Welleman

16

M-lijn en verbuigingsteken
open zijde naar de ligger-as gericht

Hans Welleman

17

Voorbeeld
Handigheidje …
haal “fietstrapper” uit de
helling van de M-lijn

Hans Welleman

18


Slide 4

Les 11 :

MODULE 1

Snedekrachten (2)
Evenwichtsrelaties (differentiaalbetrekkingen)
Extensie
Buiging
Vervormingstekens

Hans Welleman

1

EXTENSIE : Evenwicht
n

qx

n

N+ N

N

x

x
 N N q x dN x  N   N  0

Horizontaal evenwicht:

lim

x  0

N

x



dx

 qx

d
Nx
 qx
dx

d ifferen tiaalverg elijk in g

De verandering van de normaalkracht is in absolute zin gelijk
aan de verdeelde belasting
Hans Welleman

2

dN

VOORBEELD
q x  10  2 x
vaste rand

vrije rand

5,0 m

  10  2 x

dx
(één keer integreren )
N ( x )   10 x  x  C 1
2

randvoorw aarde:
x  5, 0 N  0
invullen:
0   10  5, 0  25, 0  C 1

6,25

C 1  25, 0
N ( x )   10 x  x  25
2

25,0
N [kN]
Hans Welleman

3

DIFFERENTIAAL
VERGELIJKINGEN
BUIGING : Evenwicht
qz
M

Verticaal evenwicht:

V

V  q z   x  V   V  0

x

M +M

V
x

z
x
V
dV
limd V   q
x  0  x
dz x
dx

M
dM
limd M  V
x  0  x
dx
dx
Hans Welleman

V+V

 qz

Momentenevenwicht om
rechtersnede:
 M  V  x 
( q z   x )  12   x  M   M  0
M
x

  12 q z   x  V
x  0

4

VOORBEELD
ddV
M

10 kN/m
x
5,0 m

 V 10
  10 x  50

ddx
x
(één keer
keer integreren
integreren))
(één
2
V (( xx))  10
M
5 xx 
C
501 x  C 2

randvoorwaarde:
aarde:
randvoorw

z

5,00 M
V  00
xx  5,

V ( x )   10 x  50

invullen
invullen

M ( x )   5 x  50 x  125

 5 50
C 1 5
00  510
 25
 CC21  50

2

Voor grafieken zie vorige les.

Hans Welleman

C 2  125

5

RESULTAAT
dN

extensie

dx

buiging

 qx

 dV
 d x   q z

 dM  V
 d x

1 differentiaalvergelijking voor extensie
 2 differentiaalvergelijkingen voor buiging
en dwarskracht


Hans Welleman

6

Conclusies


Helling van de N-lijn (dN/dx) is gelijk aan min
de verdeelde belasting in x-richting
 Helling van de V-lijn (dV/dx) is gelijk aan min
de verdeelde belasting in z-richting
 Helling van de M-lijn (dM/dx) is gelijk aan de
dwarskracht (V)

Hans Welleman

7

Gevolg : extensie


Geen verdeelde belasting in de richting
van de staaf-as  constante N-lijn



Constante verdeelde belasting in de
richting van de staaf-as  lineair
verlopende N-lijn

Hans Welleman

8

Gevolg : buiging


Geen q-last in z-richting
 constante V-lijn
 lineair verlopende M-lijn



q-last constant in z-richting
 lineair verlopende V-lijn
 parabolisch verlopende M-lijn

Hans Welleman

9

Nadeel “wiskundige aanpak”




D.V. geldt alleen voor velden waar “niets” verandert
(continue beschrijving)
Bij iedere discontinuiteit eindigt een veld en begint
een nieuw veld………
“Grof geschut” in verhouding tot de complexiteit van
de problemen
T

q

F

q

 6 velden, voor ieder veld een eigen set van D.V. oplossen ???
Hans Welleman

10

Ingenieurs – aanpak

(volgende hfst)



Maak zoveel mogelijk gebruik van aanwezige
voorkennis (beschreven m.b.v. de wiskundige
verbanden)
 Construeer de M-lijn door voor een aantal
karakteristieke punten m.b.v. de snedeaanpak het moment te bepalen
 Verzin iets op het probleem met het
assenstelsel …..
Hans Welleman

11

Tekenproblemen voor V- en M
45 kN x

N-, V- en M-lijn ?

60 kN

GOED
FOUT

y

Hans Welleman

12

Probleem ….. vele assenstelsels ?

Handig ??
Hans Welleman

13

Oplossing voor buiging

“verbuigingsteken”
Hans Welleman

14

Dwarskracht

ook wel “fietstrappers”
genoemd …

Hans Welleman

15

VERVORMINGSTEKENS
Normaalkracht : “trek (+) en druk (-)”
 Dwarskracht : “fietstrappers”
 Moment : “verbuigingsteken”


VISUELE AANPAK

Hans Welleman

16

M-lijn en verbuigingsteken
open zijde naar de ligger-as gericht

Hans Welleman

17

Voorbeeld
Handigheidje …
haal “fietstrapper” uit de
helling van de M-lijn

Hans Welleman

18


Slide 5

Les 11 :

MODULE 1

Snedekrachten (2)
Evenwichtsrelaties (differentiaalbetrekkingen)
Extensie
Buiging
Vervormingstekens

Hans Welleman

1

EXTENSIE : Evenwicht
n

qx

n

N+ N

N

x

x
 N N q x dN x  N   N  0

Horizontaal evenwicht:

lim

x  0

N

x



dx

 qx

d
Nx
 qx
dx

d ifferen tiaalverg elijk in g

De verandering van de normaalkracht is in absolute zin gelijk
aan de verdeelde belasting
Hans Welleman

2

dN

VOORBEELD
q x  10  2 x
vaste rand

vrije rand

5,0 m

  10  2 x

dx
(één keer integreren )
N ( x )   10 x  x  C 1
2

randvoorw aarde:
x  5, 0 N  0
invullen:
0   10  5, 0  25, 0  C 1

6,25

C 1  25, 0
N ( x )   10 x  x  25
2

25,0
N [kN]
Hans Welleman

3

DIFFERENTIAAL
VERGELIJKINGEN
BUIGING : Evenwicht
qz
M

Verticaal evenwicht:

V

V  q z   x  V   V  0

x

M +M

V
x

z
x
V
dV
limd V   q
x  0  x
dz x
dx

M
dM
limd M  V
x  0  x
dx
dx
Hans Welleman

V+V

 qz

Momentenevenwicht om
rechtersnede:
 M  V  x 
( q z   x )  12   x  M   M  0
M
x

  12 q z   x  V
x  0

4

VOORBEELD
ddV
M

10 kN/m
x
5,0 m

 V 10
  10 x  50

ddx
x
(één keer
keer integreren
integreren))
(één
2
V (( xx))  10
M
5 xx 
C
501 x  C 2

randvoorwaarde:
aarde:
randvoorw

z

5,00 M
V  00
xx  5,

V ( x )   10 x  50

invullen
invullen

M ( x )   5 x  50 x  125

 5 50
C 1 5
00  510
 25
 CC21  50

2

Voor grafieken zie vorige les.

Hans Welleman

C 2  125

5

RESULTAAT
dN

extensie

dx

buiging

 qx

 dV
 d x   q z

 dM  V
 d x

1 differentiaalvergelijking voor extensie
 2 differentiaalvergelijkingen voor buiging
en dwarskracht


Hans Welleman

6

Conclusies


Helling van de N-lijn (dN/dx) is gelijk aan min
de verdeelde belasting in x-richting
 Helling van de V-lijn (dV/dx) is gelijk aan min
de verdeelde belasting in z-richting
 Helling van de M-lijn (dM/dx) is gelijk aan de
dwarskracht (V)

Hans Welleman

7

Gevolg : extensie


Geen verdeelde belasting in de richting
van de staaf-as  constante N-lijn



Constante verdeelde belasting in de
richting van de staaf-as  lineair
verlopende N-lijn

Hans Welleman

8

Gevolg : buiging


Geen q-last in z-richting
 constante V-lijn
 lineair verlopende M-lijn



q-last constant in z-richting
 lineair verlopende V-lijn
 parabolisch verlopende M-lijn

Hans Welleman

9

Nadeel “wiskundige aanpak”




D.V. geldt alleen voor velden waar “niets” verandert
(continue beschrijving)
Bij iedere discontinuiteit eindigt een veld en begint
een nieuw veld………
“Grof geschut” in verhouding tot de complexiteit van
de problemen
T

q

F

q

 6 velden, voor ieder veld een eigen set van D.V. oplossen ???
Hans Welleman

10

Ingenieurs – aanpak

(volgende hfst)



Maak zoveel mogelijk gebruik van aanwezige
voorkennis (beschreven m.b.v. de wiskundige
verbanden)
 Construeer de M-lijn door voor een aantal
karakteristieke punten m.b.v. de snedeaanpak het moment te bepalen
 Verzin iets op het probleem met het
assenstelsel …..
Hans Welleman

11

Tekenproblemen voor V- en M
45 kN x

N-, V- en M-lijn ?

60 kN

GOED
FOUT

y

Hans Welleman

12

Probleem ….. vele assenstelsels ?

Handig ??
Hans Welleman

13

Oplossing voor buiging

“verbuigingsteken”
Hans Welleman

14

Dwarskracht

ook wel “fietstrappers”
genoemd …

Hans Welleman

15

VERVORMINGSTEKENS
Normaalkracht : “trek (+) en druk (-)”
 Dwarskracht : “fietstrappers”
 Moment : “verbuigingsteken”


VISUELE AANPAK

Hans Welleman

16

M-lijn en verbuigingsteken
open zijde naar de ligger-as gericht

Hans Welleman

17

Voorbeeld
Handigheidje …
haal “fietstrapper” uit de
helling van de M-lijn

Hans Welleman

18


Slide 6

Les 11 :

MODULE 1

Snedekrachten (2)
Evenwichtsrelaties (differentiaalbetrekkingen)
Extensie
Buiging
Vervormingstekens

Hans Welleman

1

EXTENSIE : Evenwicht
n

qx

n

N+ N

N

x

x
 N N q x dN x  N   N  0

Horizontaal evenwicht:

lim

x  0

N

x



dx

 qx

d
Nx
 qx
dx

d ifferen tiaalverg elijk in g

De verandering van de normaalkracht is in absolute zin gelijk
aan de verdeelde belasting
Hans Welleman

2

dN

VOORBEELD
q x  10  2 x
vaste rand

vrije rand

5,0 m

  10  2 x

dx
(één keer integreren )
N ( x )   10 x  x  C 1
2

randvoorw aarde:
x  5, 0 N  0
invullen:
0   10  5, 0  25, 0  C 1

6,25

C 1  25, 0
N ( x )   10 x  x  25
2

25,0
N [kN]
Hans Welleman

3

DIFFERENTIAAL
VERGELIJKINGEN
BUIGING : Evenwicht
qz
M

Verticaal evenwicht:

V

V  q z   x  V   V  0

x

M +M

V
x

z
x
V
dV
limd V   q
x  0  x
dz x
dx

M
dM
limd M  V
x  0  x
dx
dx
Hans Welleman

V+V

 qz

Momentenevenwicht om
rechtersnede:
 M  V  x 
( q z   x )  12   x  M   M  0
M
x

  12 q z   x  V
x  0

4

VOORBEELD
ddV
M

10 kN/m
x
5,0 m

 V 10
  10 x  50

ddx
x
(één keer
keer integreren
integreren))
(één
2
V (( xx))  10
M
5 xx 
C
501 x  C 2

randvoorwaarde:
aarde:
randvoorw

z

5,00 M
V  00
xx  5,

V ( x )   10 x  50

invullen
invullen

M ( x )   5 x  50 x  125

 5 50
C 1 5
00  510
 25
 CC21  50

2

Voor grafieken zie vorige les.

Hans Welleman

C 2  125

5

RESULTAAT
dN

extensie

dx

buiging

 qx

 dV
 d x   q z

 dM  V
 d x

1 differentiaalvergelijking voor extensie
 2 differentiaalvergelijkingen voor buiging
en dwarskracht


Hans Welleman

6

Conclusies


Helling van de N-lijn (dN/dx) is gelijk aan min
de verdeelde belasting in x-richting
 Helling van de V-lijn (dV/dx) is gelijk aan min
de verdeelde belasting in z-richting
 Helling van de M-lijn (dM/dx) is gelijk aan de
dwarskracht (V)

Hans Welleman

7

Gevolg : extensie


Geen verdeelde belasting in de richting
van de staaf-as  constante N-lijn



Constante verdeelde belasting in de
richting van de staaf-as  lineair
verlopende N-lijn

Hans Welleman

8

Gevolg : buiging


Geen q-last in z-richting
 constante V-lijn
 lineair verlopende M-lijn



q-last constant in z-richting
 lineair verlopende V-lijn
 parabolisch verlopende M-lijn

Hans Welleman

9

Nadeel “wiskundige aanpak”




D.V. geldt alleen voor velden waar “niets” verandert
(continue beschrijving)
Bij iedere discontinuiteit eindigt een veld en begint
een nieuw veld………
“Grof geschut” in verhouding tot de complexiteit van
de problemen
T

q

F

q

 6 velden, voor ieder veld een eigen set van D.V. oplossen ???
Hans Welleman

10

Ingenieurs – aanpak

(volgende hfst)



Maak zoveel mogelijk gebruik van aanwezige
voorkennis (beschreven m.b.v. de wiskundige
verbanden)
 Construeer de M-lijn door voor een aantal
karakteristieke punten m.b.v. de snedeaanpak het moment te bepalen
 Verzin iets op het probleem met het
assenstelsel …..
Hans Welleman

11

Tekenproblemen voor V- en M
45 kN x

N-, V- en M-lijn ?

60 kN

GOED
FOUT

y

Hans Welleman

12

Probleem ….. vele assenstelsels ?

Handig ??
Hans Welleman

13

Oplossing voor buiging

“verbuigingsteken”
Hans Welleman

14

Dwarskracht

ook wel “fietstrappers”
genoemd …

Hans Welleman

15

VERVORMINGSTEKENS
Normaalkracht : “trek (+) en druk (-)”
 Dwarskracht : “fietstrappers”
 Moment : “verbuigingsteken”


VISUELE AANPAK

Hans Welleman

16

M-lijn en verbuigingsteken
open zijde naar de ligger-as gericht

Hans Welleman

17

Voorbeeld
Handigheidje …
haal “fietstrapper” uit de
helling van de M-lijn

Hans Welleman

18


Slide 7

Les 11 :

MODULE 1

Snedekrachten (2)
Evenwichtsrelaties (differentiaalbetrekkingen)
Extensie
Buiging
Vervormingstekens

Hans Welleman

1

EXTENSIE : Evenwicht
n

qx

n

N+ N

N

x

x
 N N q x dN x  N   N  0

Horizontaal evenwicht:

lim

x  0

N

x



dx

 qx

d
Nx
 qx
dx

d ifferen tiaalverg elijk in g

De verandering van de normaalkracht is in absolute zin gelijk
aan de verdeelde belasting
Hans Welleman

2

dN

VOORBEELD
q x  10  2 x
vaste rand

vrije rand

5,0 m

  10  2 x

dx
(één keer integreren )
N ( x )   10 x  x  C 1
2

randvoorw aarde:
x  5, 0 N  0
invullen:
0   10  5, 0  25, 0  C 1

6,25

C 1  25, 0
N ( x )   10 x  x  25
2

25,0
N [kN]
Hans Welleman

3

DIFFERENTIAAL
VERGELIJKINGEN
BUIGING : Evenwicht
qz
M

Verticaal evenwicht:

V

V  q z   x  V   V  0

x

M +M

V
x

z
x
V
dV
limd V   q
x  0  x
dz x
dx

M
dM
limd M  V
x  0  x
dx
dx
Hans Welleman

V+V

 qz

Momentenevenwicht om
rechtersnede:
 M  V  x 
( q z   x )  12   x  M   M  0
M
x

  12 q z   x  V
x  0

4

VOORBEELD
ddV
M

10 kN/m
x
5,0 m

 V 10
  10 x  50

ddx
x
(één keer
keer integreren
integreren))
(één
2
V (( xx))  10
M
5 xx 
C
501 x  C 2

randvoorwaarde:
aarde:
randvoorw

z

5,00 M
V  00
xx  5,

V ( x )   10 x  50

invullen
invullen

M ( x )   5 x  50 x  125

 5 50
C 1 5
00  510
 25
 CC21  50

2

Voor grafieken zie vorige les.

Hans Welleman

C 2  125

5

RESULTAAT
dN

extensie

dx

buiging

 qx

 dV
 d x   q z

 dM  V
 d x

1 differentiaalvergelijking voor extensie
 2 differentiaalvergelijkingen voor buiging
en dwarskracht


Hans Welleman

6

Conclusies


Helling van de N-lijn (dN/dx) is gelijk aan min
de verdeelde belasting in x-richting
 Helling van de V-lijn (dV/dx) is gelijk aan min
de verdeelde belasting in z-richting
 Helling van de M-lijn (dM/dx) is gelijk aan de
dwarskracht (V)

Hans Welleman

7

Gevolg : extensie


Geen verdeelde belasting in de richting
van de staaf-as  constante N-lijn



Constante verdeelde belasting in de
richting van de staaf-as  lineair
verlopende N-lijn

Hans Welleman

8

Gevolg : buiging


Geen q-last in z-richting
 constante V-lijn
 lineair verlopende M-lijn



q-last constant in z-richting
 lineair verlopende V-lijn
 parabolisch verlopende M-lijn

Hans Welleman

9

Nadeel “wiskundige aanpak”




D.V. geldt alleen voor velden waar “niets” verandert
(continue beschrijving)
Bij iedere discontinuiteit eindigt een veld en begint
een nieuw veld………
“Grof geschut” in verhouding tot de complexiteit van
de problemen
T

q

F

q

 6 velden, voor ieder veld een eigen set van D.V. oplossen ???
Hans Welleman

10

Ingenieurs – aanpak

(volgende hfst)



Maak zoveel mogelijk gebruik van aanwezige
voorkennis (beschreven m.b.v. de wiskundige
verbanden)
 Construeer de M-lijn door voor een aantal
karakteristieke punten m.b.v. de snedeaanpak het moment te bepalen
 Verzin iets op het probleem met het
assenstelsel …..
Hans Welleman

11

Tekenproblemen voor V- en M
45 kN x

N-, V- en M-lijn ?

60 kN

GOED
FOUT

y

Hans Welleman

12

Probleem ….. vele assenstelsels ?

Handig ??
Hans Welleman

13

Oplossing voor buiging

“verbuigingsteken”
Hans Welleman

14

Dwarskracht

ook wel “fietstrappers”
genoemd …

Hans Welleman

15

VERVORMINGSTEKENS
Normaalkracht : “trek (+) en druk (-)”
 Dwarskracht : “fietstrappers”
 Moment : “verbuigingsteken”


VISUELE AANPAK

Hans Welleman

16

M-lijn en verbuigingsteken
open zijde naar de ligger-as gericht

Hans Welleman

17

Voorbeeld
Handigheidje …
haal “fietstrapper” uit de
helling van de M-lijn

Hans Welleman

18


Slide 8

Les 11 :

MODULE 1

Snedekrachten (2)
Evenwichtsrelaties (differentiaalbetrekkingen)
Extensie
Buiging
Vervormingstekens

Hans Welleman

1

EXTENSIE : Evenwicht
n

qx

n

N+ N

N

x

x
 N N q x dN x  N   N  0

Horizontaal evenwicht:

lim

x  0

N

x



dx

 qx

d
Nx
 qx
dx

d ifferen tiaalverg elijk in g

De verandering van de normaalkracht is in absolute zin gelijk
aan de verdeelde belasting
Hans Welleman

2

dN

VOORBEELD
q x  10  2 x
vaste rand

vrije rand

5,0 m

  10  2 x

dx
(één keer integreren )
N ( x )   10 x  x  C 1
2

randvoorw aarde:
x  5, 0 N  0
invullen:
0   10  5, 0  25, 0  C 1

6,25

C 1  25, 0
N ( x )   10 x  x  25
2

25,0
N [kN]
Hans Welleman

3

DIFFERENTIAAL
VERGELIJKINGEN
BUIGING : Evenwicht
qz
M

Verticaal evenwicht:

V

V  q z   x  V   V  0

x

M +M

V
x

z
x
V
dV
limd V   q
x  0  x
dz x
dx

M
dM
limd M  V
x  0  x
dx
dx
Hans Welleman

V+V

 qz

Momentenevenwicht om
rechtersnede:
 M  V  x 
( q z   x )  12   x  M   M  0
M
x

  12 q z   x  V
x  0

4

VOORBEELD
ddV
M

10 kN/m
x
5,0 m

 V 10
  10 x  50

ddx
x
(één keer
keer integreren
integreren))
(één
2
V (( xx))  10
M
5 xx 
C
501 x  C 2

randvoorwaarde:
aarde:
randvoorw

z

5,00 M
V  00
xx  5,

V ( x )   10 x  50

invullen
invullen

M ( x )   5 x  50 x  125

 5 50
C 1 5
00  510
 25
 CC21  50

2

Voor grafieken zie vorige les.

Hans Welleman

C 2  125

5

RESULTAAT
dN

extensie

dx

buiging

 qx

 dV
 d x   q z

 dM  V
 d x

1 differentiaalvergelijking voor extensie
 2 differentiaalvergelijkingen voor buiging
en dwarskracht


Hans Welleman

6

Conclusies


Helling van de N-lijn (dN/dx) is gelijk aan min
de verdeelde belasting in x-richting
 Helling van de V-lijn (dV/dx) is gelijk aan min
de verdeelde belasting in z-richting
 Helling van de M-lijn (dM/dx) is gelijk aan de
dwarskracht (V)

Hans Welleman

7

Gevolg : extensie


Geen verdeelde belasting in de richting
van de staaf-as  constante N-lijn



Constante verdeelde belasting in de
richting van de staaf-as  lineair
verlopende N-lijn

Hans Welleman

8

Gevolg : buiging


Geen q-last in z-richting
 constante V-lijn
 lineair verlopende M-lijn



q-last constant in z-richting
 lineair verlopende V-lijn
 parabolisch verlopende M-lijn

Hans Welleman

9

Nadeel “wiskundige aanpak”




D.V. geldt alleen voor velden waar “niets” verandert
(continue beschrijving)
Bij iedere discontinuiteit eindigt een veld en begint
een nieuw veld………
“Grof geschut” in verhouding tot de complexiteit van
de problemen
T

q

F

q

 6 velden, voor ieder veld een eigen set van D.V. oplossen ???
Hans Welleman

10

Ingenieurs – aanpak

(volgende hfst)



Maak zoveel mogelijk gebruik van aanwezige
voorkennis (beschreven m.b.v. de wiskundige
verbanden)
 Construeer de M-lijn door voor een aantal
karakteristieke punten m.b.v. de snedeaanpak het moment te bepalen
 Verzin iets op het probleem met het
assenstelsel …..
Hans Welleman

11

Tekenproblemen voor V- en M
45 kN x

N-, V- en M-lijn ?

60 kN

GOED
FOUT

y

Hans Welleman

12

Probleem ….. vele assenstelsels ?

Handig ??
Hans Welleman

13

Oplossing voor buiging

“verbuigingsteken”
Hans Welleman

14

Dwarskracht

ook wel “fietstrappers”
genoemd …

Hans Welleman

15

VERVORMINGSTEKENS
Normaalkracht : “trek (+) en druk (-)”
 Dwarskracht : “fietstrappers”
 Moment : “verbuigingsteken”


VISUELE AANPAK

Hans Welleman

16

M-lijn en verbuigingsteken
open zijde naar de ligger-as gericht

Hans Welleman

17

Voorbeeld
Handigheidje …
haal “fietstrapper” uit de
helling van de M-lijn

Hans Welleman

18


Slide 9

Les 11 :

MODULE 1

Snedekrachten (2)
Evenwichtsrelaties (differentiaalbetrekkingen)
Extensie
Buiging
Vervormingstekens

Hans Welleman

1

EXTENSIE : Evenwicht
n

qx

n

N+ N

N

x

x
 N N q x dN x  N   N  0

Horizontaal evenwicht:

lim

x  0

N

x



dx

 qx

d
Nx
 qx
dx

d ifferen tiaalverg elijk in g

De verandering van de normaalkracht is in absolute zin gelijk
aan de verdeelde belasting
Hans Welleman

2

dN

VOORBEELD
q x  10  2 x
vaste rand

vrije rand

5,0 m

  10  2 x

dx
(één keer integreren )
N ( x )   10 x  x  C 1
2

randvoorw aarde:
x  5, 0 N  0
invullen:
0   10  5, 0  25, 0  C 1

6,25

C 1  25, 0
N ( x )   10 x  x  25
2

25,0
N [kN]
Hans Welleman

3

DIFFERENTIAAL
VERGELIJKINGEN
BUIGING : Evenwicht
qz
M

Verticaal evenwicht:

V

V  q z   x  V   V  0

x

M +M

V
x

z
x
V
dV
limd V   q
x  0  x
dz x
dx

M
dM
limd M  V
x  0  x
dx
dx
Hans Welleman

V+V

 qz

Momentenevenwicht om
rechtersnede:
 M  V  x 
( q z   x )  12   x  M   M  0
M
x

  12 q z   x  V
x  0

4

VOORBEELD
ddV
M

10 kN/m
x
5,0 m

 V 10
  10 x  50

ddx
x
(één keer
keer integreren
integreren))
(één
2
V (( xx))  10
M
5 xx 
C
501 x  C 2

randvoorwaarde:
aarde:
randvoorw

z

5,00 M
V  00
xx  5,

V ( x )   10 x  50

invullen
invullen

M ( x )   5 x  50 x  125

 5 50
C 1 5
00  510
 25
 CC21  50

2

Voor grafieken zie vorige les.

Hans Welleman

C 2  125

5

RESULTAAT
dN

extensie

dx

buiging

 qx

 dV
 d x   q z

 dM  V
 d x

1 differentiaalvergelijking voor extensie
 2 differentiaalvergelijkingen voor buiging
en dwarskracht


Hans Welleman

6

Conclusies


Helling van de N-lijn (dN/dx) is gelijk aan min
de verdeelde belasting in x-richting
 Helling van de V-lijn (dV/dx) is gelijk aan min
de verdeelde belasting in z-richting
 Helling van de M-lijn (dM/dx) is gelijk aan de
dwarskracht (V)

Hans Welleman

7

Gevolg : extensie


Geen verdeelde belasting in de richting
van de staaf-as  constante N-lijn



Constante verdeelde belasting in de
richting van de staaf-as  lineair
verlopende N-lijn

Hans Welleman

8

Gevolg : buiging


Geen q-last in z-richting
 constante V-lijn
 lineair verlopende M-lijn



q-last constant in z-richting
 lineair verlopende V-lijn
 parabolisch verlopende M-lijn

Hans Welleman

9

Nadeel “wiskundige aanpak”




D.V. geldt alleen voor velden waar “niets” verandert
(continue beschrijving)
Bij iedere discontinuiteit eindigt een veld en begint
een nieuw veld………
“Grof geschut” in verhouding tot de complexiteit van
de problemen
T

q

F

q

 6 velden, voor ieder veld een eigen set van D.V. oplossen ???
Hans Welleman

10

Ingenieurs – aanpak

(volgende hfst)



Maak zoveel mogelijk gebruik van aanwezige
voorkennis (beschreven m.b.v. de wiskundige
verbanden)
 Construeer de M-lijn door voor een aantal
karakteristieke punten m.b.v. de snedeaanpak het moment te bepalen
 Verzin iets op het probleem met het
assenstelsel …..
Hans Welleman

11

Tekenproblemen voor V- en M
45 kN x

N-, V- en M-lijn ?

60 kN

GOED
FOUT

y

Hans Welleman

12

Probleem ….. vele assenstelsels ?

Handig ??
Hans Welleman

13

Oplossing voor buiging

“verbuigingsteken”
Hans Welleman

14

Dwarskracht

ook wel “fietstrappers”
genoemd …

Hans Welleman

15

VERVORMINGSTEKENS
Normaalkracht : “trek (+) en druk (-)”
 Dwarskracht : “fietstrappers”
 Moment : “verbuigingsteken”


VISUELE AANPAK

Hans Welleman

16

M-lijn en verbuigingsteken
open zijde naar de ligger-as gericht

Hans Welleman

17

Voorbeeld
Handigheidje …
haal “fietstrapper” uit de
helling van de M-lijn

Hans Welleman

18


Slide 10

Les 11 :

MODULE 1

Snedekrachten (2)
Evenwichtsrelaties (differentiaalbetrekkingen)
Extensie
Buiging
Vervormingstekens

Hans Welleman

1

EXTENSIE : Evenwicht
n

qx

n

N+ N

N

x

x
 N N q x dN x  N   N  0

Horizontaal evenwicht:

lim

x  0

N

x



dx

 qx

d
Nx
 qx
dx

d ifferen tiaalverg elijk in g

De verandering van de normaalkracht is in absolute zin gelijk
aan de verdeelde belasting
Hans Welleman

2

dN

VOORBEELD
q x  10  2 x
vaste rand

vrije rand

5,0 m

  10  2 x

dx
(één keer integreren )
N ( x )   10 x  x  C 1
2

randvoorw aarde:
x  5, 0 N  0
invullen:
0   10  5, 0  25, 0  C 1

6,25

C 1  25, 0
N ( x )   10 x  x  25
2

25,0
N [kN]
Hans Welleman

3

DIFFERENTIAAL
VERGELIJKINGEN
BUIGING : Evenwicht
qz
M

Verticaal evenwicht:

V

V  q z   x  V   V  0

x

M +M

V
x

z
x
V
dV
limd V   q
x  0  x
dz x
dx

M
dM
limd M  V
x  0  x
dx
dx
Hans Welleman

V+V

 qz

Momentenevenwicht om
rechtersnede:
 M  V  x 
( q z   x )  12   x  M   M  0
M
x

  12 q z   x  V
x  0

4

VOORBEELD
ddV
M

10 kN/m
x
5,0 m

 V 10
  10 x  50

ddx
x
(één keer
keer integreren
integreren))
(één
2
V (( xx))  10
M
5 xx 
C
501 x  C 2

randvoorwaarde:
aarde:
randvoorw

z

5,00 M
V  00
xx  5,

V ( x )   10 x  50

invullen
invullen

M ( x )   5 x  50 x  125

 5 50
C 1 5
00  510
 25
 CC21  50

2

Voor grafieken zie vorige les.

Hans Welleman

C 2  125

5

RESULTAAT
dN

extensie

dx

buiging

 qx

 dV
 d x   q z

 dM  V
 d x

1 differentiaalvergelijking voor extensie
 2 differentiaalvergelijkingen voor buiging
en dwarskracht


Hans Welleman

6

Conclusies


Helling van de N-lijn (dN/dx) is gelijk aan min
de verdeelde belasting in x-richting
 Helling van de V-lijn (dV/dx) is gelijk aan min
de verdeelde belasting in z-richting
 Helling van de M-lijn (dM/dx) is gelijk aan de
dwarskracht (V)

Hans Welleman

7

Gevolg : extensie


Geen verdeelde belasting in de richting
van de staaf-as  constante N-lijn



Constante verdeelde belasting in de
richting van de staaf-as  lineair
verlopende N-lijn

Hans Welleman

8

Gevolg : buiging


Geen q-last in z-richting
 constante V-lijn
 lineair verlopende M-lijn



q-last constant in z-richting
 lineair verlopende V-lijn
 parabolisch verlopende M-lijn

Hans Welleman

9

Nadeel “wiskundige aanpak”




D.V. geldt alleen voor velden waar “niets” verandert
(continue beschrijving)
Bij iedere discontinuiteit eindigt een veld en begint
een nieuw veld………
“Grof geschut” in verhouding tot de complexiteit van
de problemen
T

q

F

q

 6 velden, voor ieder veld een eigen set van D.V. oplossen ???
Hans Welleman

10

Ingenieurs – aanpak

(volgende hfst)



Maak zoveel mogelijk gebruik van aanwezige
voorkennis (beschreven m.b.v. de wiskundige
verbanden)
 Construeer de M-lijn door voor een aantal
karakteristieke punten m.b.v. de snedeaanpak het moment te bepalen
 Verzin iets op het probleem met het
assenstelsel …..
Hans Welleman

11

Tekenproblemen voor V- en M
45 kN x

N-, V- en M-lijn ?

60 kN

GOED
FOUT

y

Hans Welleman

12

Probleem ….. vele assenstelsels ?

Handig ??
Hans Welleman

13

Oplossing voor buiging

“verbuigingsteken”
Hans Welleman

14

Dwarskracht

ook wel “fietstrappers”
genoemd …

Hans Welleman

15

VERVORMINGSTEKENS
Normaalkracht : “trek (+) en druk (-)”
 Dwarskracht : “fietstrappers”
 Moment : “verbuigingsteken”


VISUELE AANPAK

Hans Welleman

16

M-lijn en verbuigingsteken
open zijde naar de ligger-as gericht

Hans Welleman

17

Voorbeeld
Handigheidje …
haal “fietstrapper” uit de
helling van de M-lijn

Hans Welleman

18


Slide 11

Les 11 :

MODULE 1

Snedekrachten (2)
Evenwichtsrelaties (differentiaalbetrekkingen)
Extensie
Buiging
Vervormingstekens

Hans Welleman

1

EXTENSIE : Evenwicht
n

qx

n

N+ N

N

x

x
 N N q x dN x  N   N  0

Horizontaal evenwicht:

lim

x  0

N

x



dx

 qx

d
Nx
 qx
dx

d ifferen tiaalverg elijk in g

De verandering van de normaalkracht is in absolute zin gelijk
aan de verdeelde belasting
Hans Welleman

2

dN

VOORBEELD
q x  10  2 x
vaste rand

vrije rand

5,0 m

  10  2 x

dx
(één keer integreren )
N ( x )   10 x  x  C 1
2

randvoorw aarde:
x  5, 0 N  0
invullen:
0   10  5, 0  25, 0  C 1

6,25

C 1  25, 0
N ( x )   10 x  x  25
2

25,0
N [kN]
Hans Welleman

3

DIFFERENTIAAL
VERGELIJKINGEN
BUIGING : Evenwicht
qz
M

Verticaal evenwicht:

V

V  q z   x  V   V  0

x

M +M

V
x

z
x
V
dV
limd V   q
x  0  x
dz x
dx

M
dM
limd M  V
x  0  x
dx
dx
Hans Welleman

V+V

 qz

Momentenevenwicht om
rechtersnede:
 M  V  x 
( q z   x )  12   x  M   M  0
M
x

  12 q z   x  V
x  0

4

VOORBEELD
ddV
M

10 kN/m
x
5,0 m

 V 10
  10 x  50

ddx
x
(één keer
keer integreren
integreren))
(één
2
V (( xx))  10
M
5 xx 
C
501 x  C 2

randvoorwaarde:
aarde:
randvoorw

z

5,00 M
V  00
xx  5,

V ( x )   10 x  50

invullen
invullen

M ( x )   5 x  50 x  125

 5 50
C 1 5
00  510
 25
 CC21  50

2

Voor grafieken zie vorige les.

Hans Welleman

C 2  125

5

RESULTAAT
dN

extensie

dx

buiging

 qx

 dV
 d x   q z

 dM  V
 d x

1 differentiaalvergelijking voor extensie
 2 differentiaalvergelijkingen voor buiging
en dwarskracht


Hans Welleman

6

Conclusies


Helling van de N-lijn (dN/dx) is gelijk aan min
de verdeelde belasting in x-richting
 Helling van de V-lijn (dV/dx) is gelijk aan min
de verdeelde belasting in z-richting
 Helling van de M-lijn (dM/dx) is gelijk aan de
dwarskracht (V)

Hans Welleman

7

Gevolg : extensie


Geen verdeelde belasting in de richting
van de staaf-as  constante N-lijn



Constante verdeelde belasting in de
richting van de staaf-as  lineair
verlopende N-lijn

Hans Welleman

8

Gevolg : buiging


Geen q-last in z-richting
 constante V-lijn
 lineair verlopende M-lijn



q-last constant in z-richting
 lineair verlopende V-lijn
 parabolisch verlopende M-lijn

Hans Welleman

9

Nadeel “wiskundige aanpak”




D.V. geldt alleen voor velden waar “niets” verandert
(continue beschrijving)
Bij iedere discontinuiteit eindigt een veld en begint
een nieuw veld………
“Grof geschut” in verhouding tot de complexiteit van
de problemen
T

q

F

q

 6 velden, voor ieder veld een eigen set van D.V. oplossen ???
Hans Welleman

10

Ingenieurs – aanpak

(volgende hfst)



Maak zoveel mogelijk gebruik van aanwezige
voorkennis (beschreven m.b.v. de wiskundige
verbanden)
 Construeer de M-lijn door voor een aantal
karakteristieke punten m.b.v. de snedeaanpak het moment te bepalen
 Verzin iets op het probleem met het
assenstelsel …..
Hans Welleman

11

Tekenproblemen voor V- en M
45 kN x

N-, V- en M-lijn ?

60 kN

GOED
FOUT

y

Hans Welleman

12

Probleem ….. vele assenstelsels ?

Handig ??
Hans Welleman

13

Oplossing voor buiging

“verbuigingsteken”
Hans Welleman

14

Dwarskracht

ook wel “fietstrappers”
genoemd …

Hans Welleman

15

VERVORMINGSTEKENS
Normaalkracht : “trek (+) en druk (-)”
 Dwarskracht : “fietstrappers”
 Moment : “verbuigingsteken”


VISUELE AANPAK

Hans Welleman

16

M-lijn en verbuigingsteken
open zijde naar de ligger-as gericht

Hans Welleman

17

Voorbeeld
Handigheidje …
haal “fietstrapper” uit de
helling van de M-lijn

Hans Welleman

18


Slide 12

Les 11 :

MODULE 1

Snedekrachten (2)
Evenwichtsrelaties (differentiaalbetrekkingen)
Extensie
Buiging
Vervormingstekens

Hans Welleman

1

EXTENSIE : Evenwicht
n

qx

n

N+ N

N

x

x
 N N q x dN x  N   N  0

Horizontaal evenwicht:

lim

x  0

N

x



dx

 qx

d
Nx
 qx
dx

d ifferen tiaalverg elijk in g

De verandering van de normaalkracht is in absolute zin gelijk
aan de verdeelde belasting
Hans Welleman

2

dN

VOORBEELD
q x  10  2 x
vaste rand

vrije rand

5,0 m

  10  2 x

dx
(één keer integreren )
N ( x )   10 x  x  C 1
2

randvoorw aarde:
x  5, 0 N  0
invullen:
0   10  5, 0  25, 0  C 1

6,25

C 1  25, 0
N ( x )   10 x  x  25
2

25,0
N [kN]
Hans Welleman

3

DIFFERENTIAAL
VERGELIJKINGEN
BUIGING : Evenwicht
qz
M

Verticaal evenwicht:

V

V  q z   x  V   V  0

x

M +M

V
x

z
x
V
dV
limd V   q
x  0  x
dz x
dx

M
dM
limd M  V
x  0  x
dx
dx
Hans Welleman

V+V

 qz

Momentenevenwicht om
rechtersnede:
 M  V  x 
( q z   x )  12   x  M   M  0
M
x

  12 q z   x  V
x  0

4

VOORBEELD
ddV
M

10 kN/m
x
5,0 m

 V 10
  10 x  50

ddx
x
(één keer
keer integreren
integreren))
(één
2
V (( xx))  10
M
5 xx 
C
501 x  C 2

randvoorwaarde:
aarde:
randvoorw

z

5,00 M
V  00
xx  5,

V ( x )   10 x  50

invullen
invullen

M ( x )   5 x  50 x  125

 5 50
C 1 5
00  510
 25
 CC21  50

2

Voor grafieken zie vorige les.

Hans Welleman

C 2  125

5

RESULTAAT
dN

extensie

dx

buiging

 qx

 dV
 d x   q z

 dM  V
 d x

1 differentiaalvergelijking voor extensie
 2 differentiaalvergelijkingen voor buiging
en dwarskracht


Hans Welleman

6

Conclusies


Helling van de N-lijn (dN/dx) is gelijk aan min
de verdeelde belasting in x-richting
 Helling van de V-lijn (dV/dx) is gelijk aan min
de verdeelde belasting in z-richting
 Helling van de M-lijn (dM/dx) is gelijk aan de
dwarskracht (V)

Hans Welleman

7

Gevolg : extensie


Geen verdeelde belasting in de richting
van de staaf-as  constante N-lijn



Constante verdeelde belasting in de
richting van de staaf-as  lineair
verlopende N-lijn

Hans Welleman

8

Gevolg : buiging


Geen q-last in z-richting
 constante V-lijn
 lineair verlopende M-lijn



q-last constant in z-richting
 lineair verlopende V-lijn
 parabolisch verlopende M-lijn

Hans Welleman

9

Nadeel “wiskundige aanpak”




D.V. geldt alleen voor velden waar “niets” verandert
(continue beschrijving)
Bij iedere discontinuiteit eindigt een veld en begint
een nieuw veld………
“Grof geschut” in verhouding tot de complexiteit van
de problemen
T

q

F

q

 6 velden, voor ieder veld een eigen set van D.V. oplossen ???
Hans Welleman

10

Ingenieurs – aanpak

(volgende hfst)



Maak zoveel mogelijk gebruik van aanwezige
voorkennis (beschreven m.b.v. de wiskundige
verbanden)
 Construeer de M-lijn door voor een aantal
karakteristieke punten m.b.v. de snedeaanpak het moment te bepalen
 Verzin iets op het probleem met het
assenstelsel …..
Hans Welleman

11

Tekenproblemen voor V- en M
45 kN x

N-, V- en M-lijn ?

60 kN

GOED
FOUT

y

Hans Welleman

12

Probleem ….. vele assenstelsels ?

Handig ??
Hans Welleman

13

Oplossing voor buiging

“verbuigingsteken”
Hans Welleman

14

Dwarskracht

ook wel “fietstrappers”
genoemd …

Hans Welleman

15

VERVORMINGSTEKENS
Normaalkracht : “trek (+) en druk (-)”
 Dwarskracht : “fietstrappers”
 Moment : “verbuigingsteken”


VISUELE AANPAK

Hans Welleman

16

M-lijn en verbuigingsteken
open zijde naar de ligger-as gericht

Hans Welleman

17

Voorbeeld
Handigheidje …
haal “fietstrapper” uit de
helling van de M-lijn

Hans Welleman

18


Slide 13

Les 11 :

MODULE 1

Snedekrachten (2)
Evenwichtsrelaties (differentiaalbetrekkingen)
Extensie
Buiging
Vervormingstekens

Hans Welleman

1

EXTENSIE : Evenwicht
n

qx

n

N+ N

N

x

x
 N N q x dN x  N   N  0

Horizontaal evenwicht:

lim

x  0

N

x



dx

 qx

d
Nx
 qx
dx

d ifferen tiaalverg elijk in g

De verandering van de normaalkracht is in absolute zin gelijk
aan de verdeelde belasting
Hans Welleman

2

dN

VOORBEELD
q x  10  2 x
vaste rand

vrije rand

5,0 m

  10  2 x

dx
(één keer integreren )
N ( x )   10 x  x  C 1
2

randvoorw aarde:
x  5, 0 N  0
invullen:
0   10  5, 0  25, 0  C 1

6,25

C 1  25, 0
N ( x )   10 x  x  25
2

25,0
N [kN]
Hans Welleman

3

DIFFERENTIAAL
VERGELIJKINGEN
BUIGING : Evenwicht
qz
M

Verticaal evenwicht:

V

V  q z   x  V   V  0

x

M +M

V
x

z
x
V
dV
limd V   q
x  0  x
dz x
dx

M
dM
limd M  V
x  0  x
dx
dx
Hans Welleman

V+V

 qz

Momentenevenwicht om
rechtersnede:
 M  V  x 
( q z   x )  12   x  M   M  0
M
x

  12 q z   x  V
x  0

4

VOORBEELD
ddV
M

10 kN/m
x
5,0 m

 V 10
  10 x  50

ddx
x
(één keer
keer integreren
integreren))
(één
2
V (( xx))  10
M
5 xx 
C
501 x  C 2

randvoorwaarde:
aarde:
randvoorw

z

5,00 M
V  00
xx  5,

V ( x )   10 x  50

invullen
invullen

M ( x )   5 x  50 x  125

 5 50
C 1 5
00  510
 25
 CC21  50

2

Voor grafieken zie vorige les.

Hans Welleman

C 2  125

5

RESULTAAT
dN

extensie

dx

buiging

 qx

 dV
 d x   q z

 dM  V
 d x

1 differentiaalvergelijking voor extensie
 2 differentiaalvergelijkingen voor buiging
en dwarskracht


Hans Welleman

6

Conclusies


Helling van de N-lijn (dN/dx) is gelijk aan min
de verdeelde belasting in x-richting
 Helling van de V-lijn (dV/dx) is gelijk aan min
de verdeelde belasting in z-richting
 Helling van de M-lijn (dM/dx) is gelijk aan de
dwarskracht (V)

Hans Welleman

7

Gevolg : extensie


Geen verdeelde belasting in de richting
van de staaf-as  constante N-lijn



Constante verdeelde belasting in de
richting van de staaf-as  lineair
verlopende N-lijn

Hans Welleman

8

Gevolg : buiging


Geen q-last in z-richting
 constante V-lijn
 lineair verlopende M-lijn



q-last constant in z-richting
 lineair verlopende V-lijn
 parabolisch verlopende M-lijn

Hans Welleman

9

Nadeel “wiskundige aanpak”




D.V. geldt alleen voor velden waar “niets” verandert
(continue beschrijving)
Bij iedere discontinuiteit eindigt een veld en begint
een nieuw veld………
“Grof geschut” in verhouding tot de complexiteit van
de problemen
T

q

F

q

 6 velden, voor ieder veld een eigen set van D.V. oplossen ???
Hans Welleman

10

Ingenieurs – aanpak

(volgende hfst)



Maak zoveel mogelijk gebruik van aanwezige
voorkennis (beschreven m.b.v. de wiskundige
verbanden)
 Construeer de M-lijn door voor een aantal
karakteristieke punten m.b.v. de snedeaanpak het moment te bepalen
 Verzin iets op het probleem met het
assenstelsel …..
Hans Welleman

11

Tekenproblemen voor V- en M
45 kN x

N-, V- en M-lijn ?

60 kN

GOED
FOUT

y

Hans Welleman

12

Probleem ….. vele assenstelsels ?

Handig ??
Hans Welleman

13

Oplossing voor buiging

“verbuigingsteken”
Hans Welleman

14

Dwarskracht

ook wel “fietstrappers”
genoemd …

Hans Welleman

15

VERVORMINGSTEKENS
Normaalkracht : “trek (+) en druk (-)”
 Dwarskracht : “fietstrappers”
 Moment : “verbuigingsteken”


VISUELE AANPAK

Hans Welleman

16

M-lijn en verbuigingsteken
open zijde naar de ligger-as gericht

Hans Welleman

17

Voorbeeld
Handigheidje …
haal “fietstrapper” uit de
helling van de M-lijn

Hans Welleman

18


Slide 14

Les 11 :

MODULE 1

Snedekrachten (2)
Evenwichtsrelaties (differentiaalbetrekkingen)
Extensie
Buiging
Vervormingstekens

Hans Welleman

1

EXTENSIE : Evenwicht
n

qx

n

N+ N

N

x

x
 N N q x dN x  N   N  0

Horizontaal evenwicht:

lim

x  0

N

x



dx

 qx

d
Nx
 qx
dx

d ifferen tiaalverg elijk in g

De verandering van de normaalkracht is in absolute zin gelijk
aan de verdeelde belasting
Hans Welleman

2

dN

VOORBEELD
q x  10  2 x
vaste rand

vrije rand

5,0 m

  10  2 x

dx
(één keer integreren )
N ( x )   10 x  x  C 1
2

randvoorw aarde:
x  5, 0 N  0
invullen:
0   10  5, 0  25, 0  C 1

6,25

C 1  25, 0
N ( x )   10 x  x  25
2

25,0
N [kN]
Hans Welleman

3

DIFFERENTIAAL
VERGELIJKINGEN
BUIGING : Evenwicht
qz
M

Verticaal evenwicht:

V

V  q z   x  V   V  0

x

M +M

V
x

z
x
V
dV
limd V   q
x  0  x
dz x
dx

M
dM
limd M  V
x  0  x
dx
dx
Hans Welleman

V+V

 qz

Momentenevenwicht om
rechtersnede:
 M  V  x 
( q z   x )  12   x  M   M  0
M
x

  12 q z   x  V
x  0

4

VOORBEELD
ddV
M

10 kN/m
x
5,0 m

 V 10
  10 x  50

ddx
x
(één keer
keer integreren
integreren))
(één
2
V (( xx))  10
M
5 xx 
C
501 x  C 2

randvoorwaarde:
aarde:
randvoorw

z

5,00 M
V  00
xx  5,

V ( x )   10 x  50

invullen
invullen

M ( x )   5 x  50 x  125

 5 50
C 1 5
00  510
 25
 CC21  50

2

Voor grafieken zie vorige les.

Hans Welleman

C 2  125

5

RESULTAAT
dN

extensie

dx

buiging

 qx

 dV
 d x   q z

 dM  V
 d x

1 differentiaalvergelijking voor extensie
 2 differentiaalvergelijkingen voor buiging
en dwarskracht


Hans Welleman

6

Conclusies


Helling van de N-lijn (dN/dx) is gelijk aan min
de verdeelde belasting in x-richting
 Helling van de V-lijn (dV/dx) is gelijk aan min
de verdeelde belasting in z-richting
 Helling van de M-lijn (dM/dx) is gelijk aan de
dwarskracht (V)

Hans Welleman

7

Gevolg : extensie


Geen verdeelde belasting in de richting
van de staaf-as  constante N-lijn



Constante verdeelde belasting in de
richting van de staaf-as  lineair
verlopende N-lijn

Hans Welleman

8

Gevolg : buiging


Geen q-last in z-richting
 constante V-lijn
 lineair verlopende M-lijn



q-last constant in z-richting
 lineair verlopende V-lijn
 parabolisch verlopende M-lijn

Hans Welleman

9

Nadeel “wiskundige aanpak”




D.V. geldt alleen voor velden waar “niets” verandert
(continue beschrijving)
Bij iedere discontinuiteit eindigt een veld en begint
een nieuw veld………
“Grof geschut” in verhouding tot de complexiteit van
de problemen
T

q

F

q

 6 velden, voor ieder veld een eigen set van D.V. oplossen ???
Hans Welleman

10

Ingenieurs – aanpak

(volgende hfst)



Maak zoveel mogelijk gebruik van aanwezige
voorkennis (beschreven m.b.v. de wiskundige
verbanden)
 Construeer de M-lijn door voor een aantal
karakteristieke punten m.b.v. de snedeaanpak het moment te bepalen
 Verzin iets op het probleem met het
assenstelsel …..
Hans Welleman

11

Tekenproblemen voor V- en M
45 kN x

N-, V- en M-lijn ?

60 kN

GOED
FOUT

y

Hans Welleman

12

Probleem ….. vele assenstelsels ?

Handig ??
Hans Welleman

13

Oplossing voor buiging

“verbuigingsteken”
Hans Welleman

14

Dwarskracht

ook wel “fietstrappers”
genoemd …

Hans Welleman

15

VERVORMINGSTEKENS
Normaalkracht : “trek (+) en druk (-)”
 Dwarskracht : “fietstrappers”
 Moment : “verbuigingsteken”


VISUELE AANPAK

Hans Welleman

16

M-lijn en verbuigingsteken
open zijde naar de ligger-as gericht

Hans Welleman

17

Voorbeeld
Handigheidje …
haal “fietstrapper” uit de
helling van de M-lijn

Hans Welleman

18


Slide 15

Les 11 :

MODULE 1

Snedekrachten (2)
Evenwichtsrelaties (differentiaalbetrekkingen)
Extensie
Buiging
Vervormingstekens

Hans Welleman

1

EXTENSIE : Evenwicht
n

qx

n

N+ N

N

x

x
 N N q x dN x  N   N  0

Horizontaal evenwicht:

lim

x  0

N

x



dx

 qx

d
Nx
 qx
dx

d ifferen tiaalverg elijk in g

De verandering van de normaalkracht is in absolute zin gelijk
aan de verdeelde belasting
Hans Welleman

2

dN

VOORBEELD
q x  10  2 x
vaste rand

vrije rand

5,0 m

  10  2 x

dx
(één keer integreren )
N ( x )   10 x  x  C 1
2

randvoorw aarde:
x  5, 0 N  0
invullen:
0   10  5, 0  25, 0  C 1

6,25

C 1  25, 0
N ( x )   10 x  x  25
2

25,0
N [kN]
Hans Welleman

3

DIFFERENTIAAL
VERGELIJKINGEN
BUIGING : Evenwicht
qz
M

Verticaal evenwicht:

V

V  q z   x  V   V  0

x

M +M

V
x

z
x
V
dV
limd V   q
x  0  x
dz x
dx

M
dM
limd M  V
x  0  x
dx
dx
Hans Welleman

V+V

 qz

Momentenevenwicht om
rechtersnede:
 M  V  x 
( q z   x )  12   x  M   M  0
M
x

  12 q z   x  V
x  0

4

VOORBEELD
ddV
M

10 kN/m
x
5,0 m

 V 10
  10 x  50

ddx
x
(één keer
keer integreren
integreren))
(één
2
V (( xx))  10
M
5 xx 
C
501 x  C 2

randvoorwaarde:
aarde:
randvoorw

z

5,00 M
V  00
xx  5,

V ( x )   10 x  50

invullen
invullen

M ( x )   5 x  50 x  125

 5 50
C 1 5
00  510
 25
 CC21  50

2

Voor grafieken zie vorige les.

Hans Welleman

C 2  125

5

RESULTAAT
dN

extensie

dx

buiging

 qx

 dV
 d x   q z

 dM  V
 d x

1 differentiaalvergelijking voor extensie
 2 differentiaalvergelijkingen voor buiging
en dwarskracht


Hans Welleman

6

Conclusies


Helling van de N-lijn (dN/dx) is gelijk aan min
de verdeelde belasting in x-richting
 Helling van de V-lijn (dV/dx) is gelijk aan min
de verdeelde belasting in z-richting
 Helling van de M-lijn (dM/dx) is gelijk aan de
dwarskracht (V)

Hans Welleman

7

Gevolg : extensie


Geen verdeelde belasting in de richting
van de staaf-as  constante N-lijn



Constante verdeelde belasting in de
richting van de staaf-as  lineair
verlopende N-lijn

Hans Welleman

8

Gevolg : buiging


Geen q-last in z-richting
 constante V-lijn
 lineair verlopende M-lijn



q-last constant in z-richting
 lineair verlopende V-lijn
 parabolisch verlopende M-lijn

Hans Welleman

9

Nadeel “wiskundige aanpak”




D.V. geldt alleen voor velden waar “niets” verandert
(continue beschrijving)
Bij iedere discontinuiteit eindigt een veld en begint
een nieuw veld………
“Grof geschut” in verhouding tot de complexiteit van
de problemen
T

q

F

q

 6 velden, voor ieder veld een eigen set van D.V. oplossen ???
Hans Welleman

10

Ingenieurs – aanpak

(volgende hfst)



Maak zoveel mogelijk gebruik van aanwezige
voorkennis (beschreven m.b.v. de wiskundige
verbanden)
 Construeer de M-lijn door voor een aantal
karakteristieke punten m.b.v. de snedeaanpak het moment te bepalen
 Verzin iets op het probleem met het
assenstelsel …..
Hans Welleman

11

Tekenproblemen voor V- en M
45 kN x

N-, V- en M-lijn ?

60 kN

GOED
FOUT

y

Hans Welleman

12

Probleem ….. vele assenstelsels ?

Handig ??
Hans Welleman

13

Oplossing voor buiging

“verbuigingsteken”
Hans Welleman

14

Dwarskracht

ook wel “fietstrappers”
genoemd …

Hans Welleman

15

VERVORMINGSTEKENS
Normaalkracht : “trek (+) en druk (-)”
 Dwarskracht : “fietstrappers”
 Moment : “verbuigingsteken”


VISUELE AANPAK

Hans Welleman

16

M-lijn en verbuigingsteken
open zijde naar de ligger-as gericht

Hans Welleman

17

Voorbeeld
Handigheidje …
haal “fietstrapper” uit de
helling van de M-lijn

Hans Welleman

18


Slide 16

Les 11 :

MODULE 1

Snedekrachten (2)
Evenwichtsrelaties (differentiaalbetrekkingen)
Extensie
Buiging
Vervormingstekens

Hans Welleman

1

EXTENSIE : Evenwicht
n

qx

n

N+ N

N

x

x
 N N q x dN x  N   N  0

Horizontaal evenwicht:

lim

x  0

N

x



dx

 qx

d
Nx
 qx
dx

d ifferen tiaalverg elijk in g

De verandering van de normaalkracht is in absolute zin gelijk
aan de verdeelde belasting
Hans Welleman

2

dN

VOORBEELD
q x  10  2 x
vaste rand

vrije rand

5,0 m

  10  2 x

dx
(één keer integreren )
N ( x )   10 x  x  C 1
2

randvoorw aarde:
x  5, 0 N  0
invullen:
0   10  5, 0  25, 0  C 1

6,25

C 1  25, 0
N ( x )   10 x  x  25
2

25,0
N [kN]
Hans Welleman

3

DIFFERENTIAAL
VERGELIJKINGEN
BUIGING : Evenwicht
qz
M

Verticaal evenwicht:

V

V  q z   x  V   V  0

x

M +M

V
x

z
x
V
dV
limd V   q
x  0  x
dz x
dx

M
dM
limd M  V
x  0  x
dx
dx
Hans Welleman

V+V

 qz

Momentenevenwicht om
rechtersnede:
 M  V  x 
( q z   x )  12   x  M   M  0
M
x

  12 q z   x  V
x  0

4

VOORBEELD
ddV
M

10 kN/m
x
5,0 m

 V 10
  10 x  50

ddx
x
(één keer
keer integreren
integreren))
(één
2
V (( xx))  10
M
5 xx 
C
501 x  C 2

randvoorwaarde:
aarde:
randvoorw

z

5,00 M
V  00
xx  5,

V ( x )   10 x  50

invullen
invullen

M ( x )   5 x  50 x  125

 5 50
C 1 5
00  510
 25
 CC21  50

2

Voor grafieken zie vorige les.

Hans Welleman

C 2  125

5

RESULTAAT
dN

extensie

dx

buiging

 qx

 dV
 d x   q z

 dM  V
 d x

1 differentiaalvergelijking voor extensie
 2 differentiaalvergelijkingen voor buiging
en dwarskracht


Hans Welleman

6

Conclusies


Helling van de N-lijn (dN/dx) is gelijk aan min
de verdeelde belasting in x-richting
 Helling van de V-lijn (dV/dx) is gelijk aan min
de verdeelde belasting in z-richting
 Helling van de M-lijn (dM/dx) is gelijk aan de
dwarskracht (V)

Hans Welleman

7

Gevolg : extensie


Geen verdeelde belasting in de richting
van de staaf-as  constante N-lijn



Constante verdeelde belasting in de
richting van de staaf-as  lineair
verlopende N-lijn

Hans Welleman

8

Gevolg : buiging


Geen q-last in z-richting
 constante V-lijn
 lineair verlopende M-lijn



q-last constant in z-richting
 lineair verlopende V-lijn
 parabolisch verlopende M-lijn

Hans Welleman

9

Nadeel “wiskundige aanpak”




D.V. geldt alleen voor velden waar “niets” verandert
(continue beschrijving)
Bij iedere discontinuiteit eindigt een veld en begint
een nieuw veld………
“Grof geschut” in verhouding tot de complexiteit van
de problemen
T

q

F

q

 6 velden, voor ieder veld een eigen set van D.V. oplossen ???
Hans Welleman

10

Ingenieurs – aanpak

(volgende hfst)



Maak zoveel mogelijk gebruik van aanwezige
voorkennis (beschreven m.b.v. de wiskundige
verbanden)
 Construeer de M-lijn door voor een aantal
karakteristieke punten m.b.v. de snedeaanpak het moment te bepalen
 Verzin iets op het probleem met het
assenstelsel …..
Hans Welleman

11

Tekenproblemen voor V- en M
45 kN x

N-, V- en M-lijn ?

60 kN

GOED
FOUT

y

Hans Welleman

12

Probleem ….. vele assenstelsels ?

Handig ??
Hans Welleman

13

Oplossing voor buiging

“verbuigingsteken”
Hans Welleman

14

Dwarskracht

ook wel “fietstrappers”
genoemd …

Hans Welleman

15

VERVORMINGSTEKENS
Normaalkracht : “trek (+) en druk (-)”
 Dwarskracht : “fietstrappers”
 Moment : “verbuigingsteken”


VISUELE AANPAK

Hans Welleman

16

M-lijn en verbuigingsteken
open zijde naar de ligger-as gericht

Hans Welleman

17

Voorbeeld
Handigheidje …
haal “fietstrapper” uit de
helling van de M-lijn

Hans Welleman

18


Slide 17

Les 11 :

MODULE 1

Snedekrachten (2)
Evenwichtsrelaties (differentiaalbetrekkingen)
Extensie
Buiging
Vervormingstekens

Hans Welleman

1

EXTENSIE : Evenwicht
n

qx

n

N+ N

N

x

x
 N N q x dN x  N   N  0

Horizontaal evenwicht:

lim

x  0

N

x



dx

 qx

d
Nx
 qx
dx

d ifferen tiaalverg elijk in g

De verandering van de normaalkracht is in absolute zin gelijk
aan de verdeelde belasting
Hans Welleman

2

dN

VOORBEELD
q x  10  2 x
vaste rand

vrije rand

5,0 m

  10  2 x

dx
(één keer integreren )
N ( x )   10 x  x  C 1
2

randvoorw aarde:
x  5, 0 N  0
invullen:
0   10  5, 0  25, 0  C 1

6,25

C 1  25, 0
N ( x )   10 x  x  25
2

25,0
N [kN]
Hans Welleman

3

DIFFERENTIAAL
VERGELIJKINGEN
BUIGING : Evenwicht
qz
M

Verticaal evenwicht:

V

V  q z   x  V   V  0

x

M +M

V
x

z
x
V
dV
limd V   q
x  0  x
dz x
dx

M
dM
limd M  V
x  0  x
dx
dx
Hans Welleman

V+V

 qz

Momentenevenwicht om
rechtersnede:
 M  V  x 
( q z   x )  12   x  M   M  0
M
x

  12 q z   x  V
x  0

4

VOORBEELD
ddV
M

10 kN/m
x
5,0 m

 V 10
  10 x  50

ddx
x
(één keer
keer integreren
integreren))
(één
2
V (( xx))  10
M
5 xx 
C
501 x  C 2

randvoorwaarde:
aarde:
randvoorw

z

5,00 M
V  00
xx  5,

V ( x )   10 x  50

invullen
invullen

M ( x )   5 x  50 x  125

 5 50
C 1 5
00  510
 25
 CC21  50

2

Voor grafieken zie vorige les.

Hans Welleman

C 2  125

5

RESULTAAT
dN

extensie

dx

buiging

 qx

 dV
 d x   q z

 dM  V
 d x

1 differentiaalvergelijking voor extensie
 2 differentiaalvergelijkingen voor buiging
en dwarskracht


Hans Welleman

6

Conclusies


Helling van de N-lijn (dN/dx) is gelijk aan min
de verdeelde belasting in x-richting
 Helling van de V-lijn (dV/dx) is gelijk aan min
de verdeelde belasting in z-richting
 Helling van de M-lijn (dM/dx) is gelijk aan de
dwarskracht (V)

Hans Welleman

7

Gevolg : extensie


Geen verdeelde belasting in de richting
van de staaf-as  constante N-lijn



Constante verdeelde belasting in de
richting van de staaf-as  lineair
verlopende N-lijn

Hans Welleman

8

Gevolg : buiging


Geen q-last in z-richting
 constante V-lijn
 lineair verlopende M-lijn



q-last constant in z-richting
 lineair verlopende V-lijn
 parabolisch verlopende M-lijn

Hans Welleman

9

Nadeel “wiskundige aanpak”




D.V. geldt alleen voor velden waar “niets” verandert
(continue beschrijving)
Bij iedere discontinuiteit eindigt een veld en begint
een nieuw veld………
“Grof geschut” in verhouding tot de complexiteit van
de problemen
T

q

F

q

 6 velden, voor ieder veld een eigen set van D.V. oplossen ???
Hans Welleman

10

Ingenieurs – aanpak

(volgende hfst)



Maak zoveel mogelijk gebruik van aanwezige
voorkennis (beschreven m.b.v. de wiskundige
verbanden)
 Construeer de M-lijn door voor een aantal
karakteristieke punten m.b.v. de snedeaanpak het moment te bepalen
 Verzin iets op het probleem met het
assenstelsel …..
Hans Welleman

11

Tekenproblemen voor V- en M
45 kN x

N-, V- en M-lijn ?

60 kN

GOED
FOUT

y

Hans Welleman

12

Probleem ….. vele assenstelsels ?

Handig ??
Hans Welleman

13

Oplossing voor buiging

“verbuigingsteken”
Hans Welleman

14

Dwarskracht

ook wel “fietstrappers”
genoemd …

Hans Welleman

15

VERVORMINGSTEKENS
Normaalkracht : “trek (+) en druk (-)”
 Dwarskracht : “fietstrappers”
 Moment : “verbuigingsteken”


VISUELE AANPAK

Hans Welleman

16

M-lijn en verbuigingsteken
open zijde naar de ligger-as gericht

Hans Welleman

17

Voorbeeld
Handigheidje …
haal “fietstrapper” uit de
helling van de M-lijn

Hans Welleman

18


Slide 18

Les 11 :

MODULE 1

Snedekrachten (2)
Evenwichtsrelaties (differentiaalbetrekkingen)
Extensie
Buiging
Vervormingstekens

Hans Welleman

1

EXTENSIE : Evenwicht
n

qx

n

N+ N

N

x

x
 N N q x dN x  N   N  0

Horizontaal evenwicht:

lim

x  0

N

x



dx

 qx

d
Nx
 qx
dx

d ifferen tiaalverg elijk in g

De verandering van de normaalkracht is in absolute zin gelijk
aan de verdeelde belasting
Hans Welleman

2

dN

VOORBEELD
q x  10  2 x
vaste rand

vrije rand

5,0 m

  10  2 x

dx
(één keer integreren )
N ( x )   10 x  x  C 1
2

randvoorw aarde:
x  5, 0 N  0
invullen:
0   10  5, 0  25, 0  C 1

6,25

C 1  25, 0
N ( x )   10 x  x  25
2

25,0
N [kN]
Hans Welleman

3

DIFFERENTIAAL
VERGELIJKINGEN
BUIGING : Evenwicht
qz
M

Verticaal evenwicht:

V

V  q z   x  V   V  0

x

M +M

V
x

z
x
V
dV
limd V   q
x  0  x
dz x
dx

M
dM
limd M  V
x  0  x
dx
dx
Hans Welleman

V+V

 qz

Momentenevenwicht om
rechtersnede:
 M  V  x 
( q z   x )  12   x  M   M  0
M
x

  12 q z   x  V
x  0

4

VOORBEELD
ddV
M

10 kN/m
x
5,0 m

 V 10
  10 x  50

ddx
x
(één keer
keer integreren
integreren))
(één
2
V (( xx))  10
M
5 xx 
C
501 x  C 2

randvoorwaarde:
aarde:
randvoorw

z

5,00 M
V  00
xx  5,

V ( x )   10 x  50

invullen
invullen

M ( x )   5 x  50 x  125

 5 50
C 1 5
00  510
 25
 CC21  50

2

Voor grafieken zie vorige les.

Hans Welleman

C 2  125

5

RESULTAAT
dN

extensie

dx

buiging

 qx

 dV
 d x   q z

 dM  V
 d x

1 differentiaalvergelijking voor extensie
 2 differentiaalvergelijkingen voor buiging
en dwarskracht


Hans Welleman

6

Conclusies


Helling van de N-lijn (dN/dx) is gelijk aan min
de verdeelde belasting in x-richting
 Helling van de V-lijn (dV/dx) is gelijk aan min
de verdeelde belasting in z-richting
 Helling van de M-lijn (dM/dx) is gelijk aan de
dwarskracht (V)

Hans Welleman

7

Gevolg : extensie


Geen verdeelde belasting in de richting
van de staaf-as  constante N-lijn



Constante verdeelde belasting in de
richting van de staaf-as  lineair
verlopende N-lijn

Hans Welleman

8

Gevolg : buiging


Geen q-last in z-richting
 constante V-lijn
 lineair verlopende M-lijn



q-last constant in z-richting
 lineair verlopende V-lijn
 parabolisch verlopende M-lijn

Hans Welleman

9

Nadeel “wiskundige aanpak”




D.V. geldt alleen voor velden waar “niets” verandert
(continue beschrijving)
Bij iedere discontinuiteit eindigt een veld en begint
een nieuw veld………
“Grof geschut” in verhouding tot de complexiteit van
de problemen
T

q

F

q

 6 velden, voor ieder veld een eigen set van D.V. oplossen ???
Hans Welleman

10

Ingenieurs – aanpak

(volgende hfst)



Maak zoveel mogelijk gebruik van aanwezige
voorkennis (beschreven m.b.v. de wiskundige
verbanden)
 Construeer de M-lijn door voor een aantal
karakteristieke punten m.b.v. de snedeaanpak het moment te bepalen
 Verzin iets op het probleem met het
assenstelsel …..
Hans Welleman

11

Tekenproblemen voor V- en M
45 kN x

N-, V- en M-lijn ?

60 kN

GOED
FOUT

y

Hans Welleman

12

Probleem ….. vele assenstelsels ?

Handig ??
Hans Welleman

13

Oplossing voor buiging

“verbuigingsteken”
Hans Welleman

14

Dwarskracht

ook wel “fietstrappers”
genoemd …

Hans Welleman

15

VERVORMINGSTEKENS
Normaalkracht : “trek (+) en druk (-)”
 Dwarskracht : “fietstrappers”
 Moment : “verbuigingsteken”


VISUELE AANPAK

Hans Welleman

16

M-lijn en verbuigingsteken
open zijde naar de ligger-as gericht

Hans Welleman

17

Voorbeeld
Handigheidje …
haal “fietstrapper” uit de
helling van de M-lijn

Hans Welleman

18