Transcript F - TU Delft

CT2031
COLLEGE 16-17
ConstructieMechanica 3
7-17
Stabiliteit van het evenwicht
Inleiding
Starre staaf (systeem met één vrijheidsgraad)
Systemen met meer dan één vrijheidsgraad
Buigzame staaf (oneindig veel vrijheidsgraden)
• Statisch bepaalde op druk belaste staaf
• Algemene aanpak met de D.V.
• Verend ingeklemde buigzame staven
• Gekoppelde systemen
• Knik en de EUROCODE 3
• 2e orde effecten
• Naknikgedrag
• Initiële scheefstand, vergrotingsfactor
• Vergrotingsfactor voor buigzame staven
• Bezwijken door instabiliteit
•
•
•
•
Ir J.W. Welleman
bladnr 1
BEZWIJKEN DOOR INSTABILITEIT
F
H
F
F
u1
u
k, Fp
F
u
max Fp
k, Fp
Fp
k
l
up
u
Veer met plastische
tak
A
A
Constructie met belasting
Ir J.W. Welleman
A
vrijgemaakt
bladnr 2
EVENWICHT
Er is juist evenwicht voor u > up indien :
F
F .u + Hl = k .u p .l = Fk u p
Fk
F = Fk
u p − u1
u
⇔
Fc
bezwijken door
instabiliteit
(elas)
met : H = k × u1
(plastisch)
u
u1
up
Bezwijken als:
u = up
F = Fc = Fk
Fc u1
+
=1
Fk u p
Ir J.W. Welleman
(u
p
− u1 )
up
Fc H
+
=1
Fk H p
REGEL VAN MERCHANT
bladnr 3
SAMENVATTEND
Last-verplaatsingsdiagram ligt vast indien de volgende karateristieke
punten bekend zijn:
•
•
•
•
•
kniklast (volgt uit een 2e orde berekening voor H=0)
1e orde verplaatsing u1 ( volgt uit een 1e orde berekening, F=0)
1e orde bezwijklast Hp ( volgt uit een 1e orde berekening, F=0 )
verplaatsing behorende bij bezwijken (gebruik veerkarakteristiek)
Bezwijkbelasting (niet door knik), controle m.b.v Merchant
Bij een gegeven combinatie (F,H) hoort een 2e orde verplaatsing die
bepaald kan worden m.b.v. de evenwichtsvergelijking en die
gecontroleerd kan worden m.b.v. het last-verplaatsingsdiagram. Ook
kan m.b.v. de vergrotingsfactor deze verplaatsing worden
gecontroleerd.
Ir J.W. Welleman
bladnr 4
PLASTISCH GEDRAG VAN DE OP BUIGING BELASTE
DOORSNEDE
dϕ
R=
1
κ
druk
1
2
h
y-as
neutrale lijn
κ
1
2
h
dwarsdoorsnede
trek
z-as
rek : ε
= κ 12 h
spanning : σ
= Eε
ligger doorsnede
Lineaire rekverdeling over de
hoogte :
rek-diagram
spannings-diagram
ε ( z) = κ * z
Ir J.W. Welleman
bladnr 5
druk
εy
εy
druk
fy
neutrale lijn
fy
neutrale lijn
εy
fy
κ1
εy
fy
κ2
trek
SPANNING EN REK
IN DE DOORSNEDE
BIJ TOENEMENDE
KROMMING
rek : ε 1
= κ 1 12 h
rek-diagram
spanning : σ 1
trek
= Eε 1
rek : ε 2
spannings-diagram
spanning : σ 2
= κ 2 12 h
rek-diagram
= Eε 2 = f y
spannings-diagram
druk
druk
εy
εy
εy
neutrale lijn
εy
κ3
trek
κ4
trek
rek : ε 3
= κ 3 12 h
rek-diagram
Ir J.W. Welleman
spanning : σ 3
= fy
spannings-diagram
rek : ε 4
= κ 4 12 h
rek-diagram
spanning : σ 4
= fy
spannings-diagram
bladnr 6
VOLPLASTISCH MOMENT
½h
'
H
=
0
⇒
N
=N
∑
drukkracht
-
N’
h
½h
trekkracht
+
½h
b
balkdoorsnede
N = f y A = 12 bh f y
M p = N . 12 h = 14 bh 2 f y
N
spanning :
σ 5 = fy
EIS : HORIZONTAAL KRACHTENEVENWICHT
DUS : RESULTANTE DRUKZONE = RESULTANTE TREKZONE
Ir J.W. Welleman
bladnr 7
MOMENT – KROMMINGS DIAGRAM
(M-κ
κ diagram)
moment
Mp
plastisch
elasto-plastisch
Me
elastisch
kromming κ
VORMFACTOR : α =
Ir J.W. Welleman
Mp
Me
RECHTHOEK : α =
1
4
bh 2 f y
1
6
2
bh f y
= 1,5
bladnr 8
F
E
VOORBEELD BEZWIJKEN
Gegevens :
a = 3,0 m;
F = 200 kN;
F
H
B
EI
H
2
= 2250 kNm ;
= 15 kN;
D
u
2a
EI
Mp = 63 kNm;
Gevraagd :
a) Bepaal de evenwichtsvergelijking voor deze constructie
voor zowel de elastische als de plastische fase.
a
star
star
A
EI, Mp
C
a
b) Bepaal de kniklast.
c) Teken voor H=15 kN het last-verplaatsingsdiagram voor de horizontale verplaatsing
van punt B en geef alle relevante punten en waarden hierin aan. Geef ook aan hoe
deze lijn zich verhoudt tot de kniklast.
d) Bepaal de kritieke belasting Fc waarbij bezwijken door instabiliteit optreedt.
e) Bepaal de tweede orde verplaatsing van punt B voor de
gegeven H=15 kN en F= 200 kN
Ir J.W. Welleman
bladnr 9
OPLOSSING (OP BORD)
a)
Zet de constructie in de verplaatste stand
-
maak de op druk belaste delen vrij
geef de relevante verbindingskrachten aan
stel per deel de e.v. op in de verplaatste stand
elimineer de koppelkracht
Elastisch
3F .u + H .a −
b)
Ir J.W. Welleman
Plastisch
12 EI
u=0
2
a
3F .u + H .a − 2 M p = 0
Kniklast wordt gevonden voor een initiële verplaatsing nul, stel de horizontale
kracht H gelijk aan nul in de evenwichtsvergelijking.
bladnr 10
c)
Voor het last-verplaatsingdiagram zijn een aantal punten van belang:
1. Eerste orde verplaatsing (klassieke aanpak in de onvervormde stand). De
verticale belasting F heeft geen invloed op de krachtsverdeling. Stel F dus
nul in de evenwichtsvergelijking voor de elastische fase
2. Eerste orde bezwijklast Hp : stel F=0 in de evenwichtsvergelijking voor de
plastische fase en de daarbij behorende verplaatsing up, dit is de
verplaatsing waarbij juist het volplatistische moment Mp optreedt in de
ligger. Bij een verplaatsing u=up treedt bezwijken door instabiliteit op
d)
Kritieke last waarbij bezwijken door instabiliteit optreedt : vul up in de e.v. voor de
plastische fase in
e)
Tweede orde verplaatsing bij F=200 kN en H=15 kN : gebruik de e.v. voor de
elastische fase
Ir J.W. Welleman
bladnr 11
ANTWOORDEN
Kniklast : Fk =
4 EI
= 1000 kN
2
a
15 × 27
u
=
= 0,015 m
1 orde verplaatsing: 1
12 × 2250
e
1e orde bezwijklast en de daarbij behorende verplaatsing :
2M p
M pa2
= 42 kN en u p =
= 0,042 m
Hp =
a
6 EI
De tweede orde verplaatsing voor F=200 kN en H=15 kN :
u2 =
H .a
15 × 3
=
= 0,01875 m
12 × 2250
12 EI
− 3F
− 3 × 200
9
a2
De kritieke belasting waar voor H=15 kN bezwijken door instabiliteit optreedt :
Fc =
Ir J.W. Welleman
2 × 63 − 15 × 3
= 642,857 kN
3 × 0,042
bladnr 12
EINDRESULTAAT
F [kN]
Kniklast, neutraal
1000
H=15 kN
643
500
bezwijken door instabiliteit
stabiel
labiel
200
10
20
30
40
Horizontale verplaatsing van punt B in mm
n
5
u1 = × 15 = 18,75 mm ,
n −1
4
Fc
H
15 642,857
+
=
1
⇒
+
= 0,357 + 0,643 = 1,0
controle : H
F
42
1000
p
k
controle : u 2 =
Ir J.W. Welleman
( vergrotingsfactor)
( Merchant )
bladnr 13