Slide 1

Virtuele arbeid
Hfst 15

Hans Welleman

1


Slide 2

ARBEID
uF

F

u

A  F u F ( scalar )
A  F u ( vector )

Arbeid = kracht maal verplaatsing langs de
werklijn van de kracht

Hans Welleman

2


Slide 3

BELAST PUNTDEELTJE
neem virtuele
verplaatsingen aan in
x,y en z-richting:

y

 ux ,  uy ,  uz
x

z

Puntdeeltje

Bij
een virtueel
evenw
ichtmogelijke
eist:
verplaatsing leveren de krachten
virtuele
 A arbeid.
0
 A   u x  Fx   u y  F y   u z  Fz

Hans Welleman

e.v. 1

e.v. 2

e.v. 3 3


Slide 4

STAR LICHAAM
mogelijke verplaatsingen zijn:
 translaties en rotaties
verplaatsing v/h lichaam ligt vast
met 2 translaties en 1 rotatie
in een punt (b.v. O):

u x0 , u y0 ,  z0
O
Hans Welleman

4


Slide 5

VERPLAATSING van punt i ?




Horizontale verplaatsing van O
Verticale verplaatsing van O
Rotatie om O

Hans Welleman

verplaatsingsbijdragen
t.g.v. de rotatie !

r   z0

5


Slide 6

VERPLAATSING
door kleine rotaties
a  yi   z 0

c=

b  xi   z 0
a  c  sin 
b  c  co s 
m ettot
c   z 0  ri
Horizontale verplaatsing = verticale afstand
rotatiepunt maal de rotatie
yi
sin  

Verticale verplaatsing
Hans Welleman

= horizontale afstand totri
rotatiepunt maal de rotatie

en :

co s  

xi
ri
6


Slide 7

VERPLAATSING van punt i
u xi  u x 0  a  u x 0  y i   z 0
u yi  u y 0  b  u y 0  x i   z 0

Hans Welleman

7


Slide 8

arbeid :

u xi  u x 0  a  u x 0  y i   z 0
u yi  u y 0  b  u y 0  x i   z 0

A  F xi  u xi  F yi  u yi

ARBEID OP STAR LICHAAM
A  F u  F u  x  F  y  F 
xi

x0

yi

y0

z0

i

yi

i

xi

A  F xi  u x 0  F yi  u y 0   z 0  T 0

Fyi
Fxi
Hans Welleman

8


Slide 9

VIRTUELE ARBEID
voor een star lichaam
 A  F xi   u x 0  F yi   u y 0   z 0  x i  F yi  y i  F xi 
evenw icht eist:

A0

algem een geldt:

A

F

xi

  u x0 

e.v. 1

F

  u y 0   z 0   T 0

e.v. 2

kracht maal verplaatsing

Hans Welleman

yi

e.v. 3
moment maal rotatie

9


Slide 10

CONCLUSIE
Beginsel van virtuele arbeid is het zelfde als
het toepassen van het EVENWICHT

Hans Welleman

10


Slide 11

Virtuele arbeid voor
mechanismen

Arbeid verricht door de
interactiekrachten is
samen nul

Krachten zijn
evengroot en
tegengesteld en beide
delen hebben dezelfde
(virtuele) verplaatsing

u

 A   Au   Au
(1)

u

(2)

Alleen uitwendige krachten verrichten arbeid !
Hans Welleman

11


Slide 12

MECHANISMEN
Geen van de aanwezige
verbindingskrachten
levert
 Kinematisch
onbepaald
arbeid !



Welke mogelijkheden ?

Scharnier, N, V geen M

Glij-scharnier, N, M geen V
Telescoop, V, M geen N
Hans Welleman

12


Slide 13

RESULTAAT


Voor mechanismen geldt dat de totale
virtuele arbeid de arbeid is die wordt
verricht door alleen de van buiten op de
constructie aangrijpende krachten

Hans Welleman

13


Slide 14

MECHANISMEN ?????
Geen zinvolle constructie
 Dat is juist maar …….


arbeid = 0
=

M

Hans Welleman

M
alleen M kan arbeid
verrichten !

14


Slide 15

NU MET BELASTING …....


Totale (virtuele) arbeid moet nul zijn !
F
=
M

u

F

M

F
M

M
eis totale arbeid = 0 !
levert : M

Hans Welleman

15


Slide 16

VOORBEELD
 A  F   u  1M : 1bepaal
 1  M M(a)
2  0
F M   0
F a b



l
ab 
FM
 uFM
a
abb

z-as
A
1 

u
a

M

M 

a
2 

u

0

b
u
b

u

F

Hans Welleman

u

x-as

M
16


Slide 17

AANPAK


Laat de krachtsgrootheid die je wilt weten
(virtuele) arbeid verrichten
 Dit kan alleen door de bij de kracht of
moment behorende vrijheidsgraad een
(virtuele) verplaatsing of rotatie te geven
 Hierdoor ontstaat bij S.B. constructies een
mechanisme. Alleen de belasting en de
gevraagde grootheid verrichten arbeid. (geen
vervorming in de constructie)
Hans Welleman

17


Slide 18

VOORBEELD : oplegreactie AV
F

l

AV

a

b

 A  AV   u  F 

F
AV 

u
AV
Hans Welleman

u
l

ub

0

l

F b
l

b
18


Slide 19

“SMAKEN” VOOR LIGGERS






Oplegreacties
Inklemmingmoment
Dwarskracht
Moment
Normaalkracht

- neem de oplegging weg
- scharnier
- schuifscharnier
- scharnier
V
- telescoop

u

u
V


Hans Welleman

u
19


Slide 20

VIRTUELE ARBEID …..

…is een FEEST !!

…en precies het zelfde
als EVENWICHT
Hans Welleman

20