Slide 1

Les 4 :

MODULE 1
kinematisch en statisch
(on) bepaaldheid

Noodzakelijk aantal opleggingen,
graad van statisch onbepaaldheid

Hans Welleman

1


Slide 2

PLAATSVASTE STARRE
LICHAMEN
Horizontale roloplegging
Verticale vrijheidsgraad v/h
Rotatie Centrum wordt
verhinderd

Rotatie
Centrum

2 vrijheidsgraden
Rotatie
Centrum
Verticale roloplegging
Horizontale vrijheidsgraad
van het Rotatie Centrum
wordt verhinderd

Star lichaam:

Plaatsvast

Drie mogelijke
bewegingsgraden,
Horizontale
vrijheidsgraad wordt
VRIJHEIDSGRADEN
verhinderd waardoor de
rotatie wordt verhinderd
Rotatie
Centrum

0 vrijheidsgraden
Hans Welleman

1 vrijheidsgraad

2


Slide 3

KINEMATISCH BEPAALD
Horizontale rol = verticale pendel
Verticale rol

= horizontale pendel

Plaatsvast

Plaatsvast
0 vrijheidsgraden =

Plaatsvaste constructie =
KINEMATISCH BEPAALD

Geen van de
pendels kan
verdraaien

Indien beweging nog mogelijk is
wordt een constructie
KINEMATISCH ONBEPAALD
genoemd.

Hans Welleman

3


Slide 4

STATISCH BEPAALD
Indien belast:

mogelijke
oplegreactie

-3 mogelijke oplegreacties
Plaatsvast

mogelijke
oplegreactie

-3 evenwichtsvoorwaarden

F
F
T

horizontaal

0

verticaal

0

willekeurig punt

0

mogelijke
oplegreactie

Alle
onbekendeoplegreacties
oplegreactiesen
zijn
3 onbekende
3 op basis van
het evenwicht te =
bepalen
:
evenwichtsvergelijkingen
(onder voorwaarden)
STATISCH
BEPAALDE
CONSTRUCTIE
oplosbaar
stelsel
Hans Welleman

4


Slide 5

EXTRA VOORWAARDE (1)
2 Pendels
Nog 1 vrijheidsgraad over, rotatie
om het snijpunt van de beide
werklijnen van de pendels

RC

1 vrijheidsgraad
KINEMATISCH
ONBEPAALD

Hans Welleman

3e Pendel
De richtingen van de drie pendels
mogen niet door 1 punt gaan want
dan kan het lichaam nog steeds
draaien om dit punt !

5


Slide 6

EXTRA VOORWAARDE (2)

3 evenwijdige pendels
Als alle pendels evenwijdig worden
geplaatst kan de constructie nog
steeds bewegen !

1 vrijheidsgraad

Let op:

KINEMATISCH
ONBEPAALD

Het gaat om kleine verplaatsingen
die overdreven groot zijn getekend!

Hans Welleman

6


Slide 7

PLAATSVAST STAR
LICHAAM
Tenminste drie verhinderde
verplaatsingen
 Indien pendels (= rol) dan opletten:


– niet 3 evenwijdige pendels
– niet 3 pendels door 1 punt


Indien hieraan voldaan dan is er sprake
van een kinematisch bepaalde situatie

Hans Welleman

7


Slide 8

MEER DAN HET
NOODZAKELIJK AANTAL
OPLEGGINGEN
mogelijke
oplegreactie

Analyse
Onbekende oplegreacties = 5
Evenwichtsvergelijkingen = 3
mogelijke
oplegreactie

Plaatsvast

mogelijke
oplegreactie

mogelijke
oplegreacties

Te veel onbekenden

n

=2

Niet alle oplegreacties zijn op basis van
het evenwicht te bepalen, de constructie
is STATISCH ONBEPAALD (S.O.)
Graad van S.O.wordt aangeduid met n
We komen 2 vergelijkingen te kort, de
constructie is 2-voudig S.O.

Hans Welleman

8


Slide 9

CONSTRUCTIE ALS STAR
LICHAAM

star

starre verbinding

starre verbinding

3

3

elementen
(staven)

scharnier
2

constructie
2
element
(star lichaam)

starre
verbinding
element
(star lichaam)

3
3

Star lichaam
scharnierende
verbinding

2

starre
verbinding

3

3

star lichaam
3 e.v.
starre verbinding 3 e.v.
scharnier
2 e.v.

oplegreacties
element (star lichaam)

2

scharnierende
verbinding

: 3

verbindingskrachten : 16
onbekenden

: 19

evenwichtsvergelijking (e.v.)

: 19

n=0

Hans Welleman

STATISCH BEPAALD

9

+


Slide 10

CONCLUSIE
Vormvaste constructie kan worden
beschouwd als een star lichaam
 Theorie van starre lichamen kan worden
toegepast op vormvaste constructies


Hans Welleman

10


Slide 11

OVERZICHT
KO

<3
r
(aantal oplegreacties)

werklijnen oplegreacties
door één punt

werklijnen oplegreacties
allen evenwijdig
alle andere gevallen

KB

Statisch Bepaald,
onderwerp van deze cursus

Hans Welleman

r=3

r>3

SB

SO
11


Slide 12

SAMENGESTELDE
CONSTRUCTIES
Twee starre lichamen die
scharnierend zijn
verbonden

VRAAG

scharnier

Hoeveel opleggingen zijn er nodig
om de constructie plaatsvast te
maken (kinematisch bepaald) ?

Lichaam 1
S
Lichaam 2
Lichaam 2 kan nu nog
roteren om het scharnier
S en heeft nu dus nog 1
vrijheidsgraad (rotatie)

Lichaam 1 plaatsvast met
drie voorgeschreven
verplaatsingen
(opleggingen)

Hans Welleman

TOTAAL 4 voorgeschreven
verplaatsingen (4
oplegreacties) noodzakelijk
om een plaatsvast geheel te
krijgen

12


Slide 13

SAMENGESTELDE
CONSTRUCTIES (2)
3 evenwichtsvergelijkingen
2 evenwichtsvergelijkingen

Lichaam 1

3 evenwichtsvergelijkingen

2v

2v

S

Lichaam 2

oplegreacties

r=4

verbindingkrachten v = 4
onbekenden
Hans Welleman

8

+

evenwichtsvoorwaarden e = 8

n = r+v-e = 0 : Statisch Bepaald

13


Slide 14

CONCLUSIES


Bij samengestelde constructies de constructie opdelen in losse
vormvaste (onder)delen en alle verbindingskrachten en oplegreacties
aangeven
 Onbekenden zijn de verbindingskrachten v en de oplegreacties r
 Bekenden zijn het aantal evenwichtsvergelijkingen e per (onder)deel, 2
voor een scharnier, 3 voor starre verbindingen en 3 voor starre
lichamen
 n=r+v–e
 n<0
KINEMATISCH ONBEPAALD
 n >= 0
KINEMATISCH BEPAALD
 n=0
STATISCH BEPAALD
 n>0
STATISCH ONBEPAALD

Hans Welleman

14


Slide 15

VOORBEELD
3

Oppassen bij samengestelde
constructies



Met name bij gesloten constructies is
het noodzakelijk de graad van S.O. te
bepalen door de constructie op te delen
in samengestelde starre (onder)delen
met alle aangegeven
verbindingskrachten

3
3

3

3



3
3

3
2

3

3
2

onbekenden
=+
4 34 = 37
onbekenden
r + v =r 3
evenwichtsvergelijkingen
e 6x3
= 3 + 4x3 + 2x2 = 34
evenwichtsvergelijkingen
e=

onbekenden

1, STATISCH
ONBEPAALD
n=n
3,=STATISCH
ONBEPAALD

n = 0, STATISCH BEPAALD

Hans Welleman

r=3

evenwichtsvergelijkingen e = 3

Constructie is uitwendig Statisch Bepaald (oplegreacties kunnen
worden bepaald) maar is inwendig Statisch Onbepaald. (niet alle15
verbindingskrachten kunnen worden bepaald m.b.v. het evenwicht)