Transcript مبرهنة طاليس

‫مبرهنة طاليس‬
‫المادة ‪:‬‬
‫الرياضيات‬
‫المستوى ‪:‬‬
‫الثالثة ثانوي إعدادي‬
‫‪1‬‬
‫المادة‬
‫‪:‬‬
‫الرياضيات‬
‫المستوى‬
‫‪:‬‬
‫الثالثة ثانوي إعدادي‬
‫تذكيـــــــــر‬
‫اختر الجواب أو األجوبة الصحيحة ‪.‬‬
‫التعابيــــــــر‬
‫‪X‬‬
‫اذا كان ‪3‬‬
‫=‬
‫‪3‬‬
‫‪2‬‬
‫فان‬
‫حل المعادلة ‪ 3X+2 = 5-4X‬هو‬
‫‪X=6‬‬
‫‪X=3‬‬
‫‪X = -3‬‬
‫‪X=1‬‬
‫‪A‬‬
‫نعتبر الشكل التالي‬
‫إذا كان (‪)MN‬‬
‫‪N‬‬
‫‪M‬‬
‫يوازي (‪ )BC‬فإن‬
‫‪C‬‬
‫‪AN MN‬‬
‫‪AM‬‬
‫=‬
‫=‬
‫‪AC BC‬‬
‫‪AB‬‬
‫‪9‬‬
‫‪2‬‬
‫‪3‬‬
‫=‪X‬‬
‫‪7‬‬
‫=‪X‬‬
‫‪AM AN MN AM AB MN‬‬
‫=‬
‫=‬
‫=‬
‫=‬
‫‪AC AB BC AN AC BC‬‬
‫‪B‬‬
‫نعتبرالشكل التالي‬
‫‪BC² = AB² + AC² B‬‬
‫‪3‬‬
‫‪C‬‬
‫جواب ‪1‬‬
‫جواب ‪2‬‬
‫جواب ‪3‬‬
‫‪4‬‬
‫‪A‬‬
‫‪AB‬‬
‫^‬
‫‪cos ABC ‬‬
‫‪BC‬‬
‫‪BC = 12‬‬
‫‪BC = 5‬‬
‫‪4‬‬
‫^‬
‫‪cos ABC ‬‬
‫‪5‬‬
‫‪3‬‬
‫^‬
‫‪cos ABC ‬‬
‫‪5‬‬
‫‪2‬‬
‫المادة‬
‫‪:‬‬
‫الرياضيات‬
‫المستوى‬
‫‪:‬‬
‫الثالثة ثانوي إعدادي‬
‫مبرهنة طاليس المباشرة‬
‫نشاط تمهيدي‪: 1‬‬
‫نعتبر الشكل التالي حيث ‪ ABC‬مثلث و(‪ )Δ‬مستقيم‬
‫‪A‬‬
‫يوازي (‪ )BC‬ويقطع [‪ ]AB‬في ‪ M‬و [‪ ]AC‬في ‪N‬‬
‫‪α β‬‬
‫‪N‬‬
‫المستقيم المار من ‪ A‬و العمودي على (‪ )BC‬و (‪)MN‬‬
‫يقطعهما علي التوالي في‪ F‬و ‪E‬‬
‫^‬
‫^‬
‫نضع ‪ MAE = α‬و = ‪NAE‬‬
‫‪β‬‬
‫احسب بطريقتين مختلفتين ‪ COSα‬و ‪COSβ‬‬
‫استنتج أن‬
‫‪C‬‬
‫‪M‬‬
‫‪E‬‬
‫)∆(‬
‫‪F‬‬
‫‪B‬‬
‫‪AM AN‬‬
‫‪‬‬
‫‪AB AC‬‬
‫‪3‬‬
‫المادة‬
‫‪:‬‬
‫الرياضيات‬
‫المستوى‬
‫‪:‬‬
‫الثالثة ثانوي إعدادي‬
‫مبرهنة طاليس المباشرة‬
‫‪A‬‬
‫المستقيم المار من ‪ M‬و الموازي للمستقيم (‪)AC‬‬
‫‪α β‬‬
‫يقطع (‪ )BC‬في ‪.D‬‬
‫تحقق أن‬
‫‪N‬‬
‫‪C‬‬
‫‪MN = DC‬‬
‫باستعمال ما سبق بين أن‬
‫‪D‬‬
‫‪M‬‬
‫‪E‬‬
‫)∆(‬
‫‪F‬‬
‫‪B‬‬
‫‪AM AN MN‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪AB AC BC‬‬
‫‪4‬‬
‫المادة‬
‫‪:‬‬
‫الرياضيات‬
‫المستوى‬
‫‪:‬‬
‫الثالثة ثانوي إعدادي‬
‫مبرهنة طاليس المباشرة‬
‫الجواب‬
‫المستقيم (‪ ) AF‬عمودي علي المستقيمين المتوازيين‬
‫(‪ BC‬و )‪(MN‬في ‪ F‬و ‪E‬علي التوالي‬
‫‪A‬‬
‫‪α β‬‬
‫‪N‬‬
‫‪‬المثلثان ‪ AEM‬و ‪ AFB‬قائما الزاوية في ‪ E‬و ‪F‬‬
‫علي التوالي إذن ‪:‬‬
‫‪C‬‬
‫‪AE‬‬
‫‪AM‬‬
‫‪AF‬‬
‫‪AB‬‬
‫‪(1) cos  ‬‬
‫‪D‬‬
‫‪M‬‬
‫‪E‬‬
‫)∆(‬
‫‪F‬‬
‫‪B‬‬
‫‪(2) cos  ‬‬
‫من )‪ (1‬و )‪ (2‬لدينا‬
‫‪AE AF‬‬
‫‪‬‬
‫‪AM AB‬‬
‫أي أن‬
‫‪AE AM‬‬
‫‪‬‬
‫‪AF AB‬‬
‫)‪(3‬‬
‫‪5‬‬
‫المادة‬
‫‪:‬‬
‫الرياضيات‬
‫المستوى‬
‫‪:‬‬
‫الثالثة ثانوي إعدادي‬
‫مبرهنة طاليس المباشرة‬
‫‪‬المثلثان ‪ AEN‬و ‪ AFC‬قائما الزاوية في ‪ E‬و‪F‬‬
‫علي التوالي إذن ‪:‬‬
‫‪AE‬‬
‫‪AN‬‬
‫‪A‬‬
‫‪AF‬‬
‫‪AC‬‬
‫‪(4) cos  ‬‬
‫‪α β‬‬
‫‪(5) cos  ‬‬
‫من )‪ (4‬و )‪ (5‬لدينا‬
‫‪N‬‬
‫‪C‬‬
‫‪AE AF‬‬
‫‪‬‬
‫‪AN AC‬‬
‫من ) ‪ (3‬و )‪ (6‬نستنتج أن‬
‫أي أن‬
‫‪AE AN‬‬
‫‪‬‬
‫‪AF AC‬‬
‫‪D‬‬
‫‪M‬‬
‫‪E‬‬
‫)∆(‬
‫‪F‬‬
‫‪B‬‬
‫)‪(6‬‬
‫‪AM AN‬‬
‫‪‬‬
‫‪AB AC‬‬
‫‪6‬‬
‫المادة‬
‫‪:‬‬
‫الرياضيات‬
‫المستوى‬
‫‪:‬‬
‫الثالثة ثانوي إعدادي‬
‫مبرهنة طاليس المباشرة‬
‫لنبين أن ‪MN = DC‬‬
‫‪A‬‬
‫‪α β‬‬
‫‪N‬‬
‫لدينا )‪ (MN) // (BC‬و )‪(MD) // (AC‬‬
‫إذن الرباعي ‪ MNCD‬متوازي األضالع‬
‫ومنه فان‬
‫‪C‬‬
‫‪D‬‬
‫‪M‬‬
‫‪E‬‬
‫)∆(‬
‫‪F‬‬
‫‪B‬‬
‫‪MN = DC‬‬
‫‪7‬‬
‫المادة‬
‫‪:‬‬
‫الرياضيات‬
‫المستوى‬
‫‪:‬‬
‫الثالثة ثانوي إعدادي‬
‫مبرهنة طاليس المباشرة‬
‫‪AM AN MN‬‬
‫لنبين أن‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪AB AC BC‬‬
‫‪A‬‬
‫في المثلث ‪ ABC‬لدينا )‪(MD( // (AC‬‬
‫إذن‬
‫‪AM CD‬‬
‫‪ AB  CB‬و‬
‫‪α β‬‬
‫‪N‬‬
‫‪AM AN‬‬
‫‪‬‬
‫‪AB AC‬‬
‫‪C‬‬
‫و منه فان‬
‫‪AM AN CD‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪AB AC CB‬‬
‫وبما أن ‪ CD = MN‬فان‬
‫‪D‬‬
‫‪M‬‬
‫‪E‬‬
‫)∆(‬
‫‪F‬‬
‫‪B‬‬
‫‪AM AN MN‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪AB AC BC‬‬
‫‪8‬‬
‫المادة‬
‫‪:‬‬
‫الرياضيات‬
‫المستوى‬
‫‪:‬‬
‫الثالثة ثانوي إعدادي‬
‫مبرهنة طاليس المباشرة‬
‫مبرهنة‪1‬‬
‫ليكن)‪ (d‬و )’‪ (d‬مستقيمين متقاطعين في نقطة ‪A‬‬
‫)‪A (d‬‬
‫و لتكن ‪ B‬و ‪ M‬نقطتين من المستقيم )‪ ( d‬تختلفان عن ‪A‬‬
‫‪N‬‬
‫)'‪(d‬‬
‫‪M‬‬
‫ولتكن ‪ C‬و ‪ N‬نقطتين من المستقيم )’‪ (d‬تختلفان عن ‪A‬‬
‫‪C‬‬
‫إذا كان المستقيمان )‪ ( MN‬و ) ‪ ( BC‬متوازيان فإن‪:‬‬
‫‪AM AN MN‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪AB AC BC‬‬
‫‪9‬‬
‫المادة‬
‫‪:‬‬
‫الرياضيات‬
‫المستوى‬
‫‪:‬‬
‫الثالثة ثانوي إعدادي‬
‫مبرهنة طاليس المباشرة‬
‫نشاط تمهيدي‪: 2‬‬
‫‪K‬‬
‫)‪S (Δ‬‬
‫‪R‬‬
‫نعتبر الشكل التالي حيث )‪(BC) //(Δ‬‬
‫‪A‬‬
‫بإتباع نفس الخطوات السابقة‬
‫بين أن‬
‫‪AS AR SR‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪AB AC BC‬‬
‫‪C‬‬
‫‪F‬‬
‫‪B‬‬
‫‪10‬‬
‫المادة‬
‫‪:‬‬
‫الرياضيات‬
‫المستوى‬
‫‪:‬‬
‫الثالثة ثانوي إعدادي‬
‫تطبيقات‬
‫تمرين ‪1‬‬
‫‪A‬‬
‫نعتبر الشكل التالي بحيث‪:‬‬
‫‪2‬‬
‫‪N‬‬
‫)‪(MN) // (BC‬‬
‫‪3‬‬
‫‪M‬‬
‫‪X‬‬
‫و ‪AM = 2 ; AB = X ; MN = 3 ; BC = 5‬‬
‫احسب ‪.X‬‬
‫‪C‬‬
‫‪5‬‬
‫‪B‬‬
‫‪11‬‬
‫المادة‬
‫‪:‬‬
‫الرياضيات‬
‫المستوى‬
‫‪:‬‬
‫الثالثة ثانوي إعدادي‬
‫تطبيقات‬
‫الجواب‬
‫في المثلث ‪ ABC‬لدينا )‪(MN) // (BC‬‬
‫إذن حسب مبرهنة طاليس المباشرة لدينا‪:‬‬
‫‪A‬‬
‫‪AM AN MN‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪AB AC BC‬‬
‫أي‬
‫‪2‬‬
‫‪N‬‬
‫‪2 AN 3‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪x AC 5‬‬
‫‪3‬‬
‫يعني أن ‪3x = 10‬‬
‫‪10‬‬
‫‪3‬‬
‫‪C‬‬
‫‪x‬‬
‫وبالتالي فان‪:‬‬
‫‪10‬‬
‫‪3‬‬
‫‪5‬‬
‫‪M‬‬
‫‪x‬‬
‫‪B‬‬
‫‪AB ‬‬
‫‪12‬‬
‫المادة‬
‫‪:‬‬
‫الرياضيات‬
‫المستوى‬
‫‪:‬‬
‫الثالثة ثانوي إعدادي‬
‫تطبيقات‬
‫تمرين ‪2‬‬
‫نعتبر الشكل التالي‬
‫حيث )‪(PU) // (RS‬‬
‫‪P‬‬
‫‪R‬‬
‫‪5‬‬
‫‪9‬‬
‫‪L‬‬
‫احسب المسافة ‪.LS‬‬
‫‪S‬‬
‫‪U‬‬
‫‪13‬‬
‫المادة‬
‫‪:‬‬
‫الرياضيات‬
‫المستوى‬
‫‪:‬‬
‫الثالثة ثانوي إعدادي‬
‫تطبيقات‬
‫الجواب‬
‫لدينا )‪(PU) // (RS‬‬
‫‪P‬‬
‫إذن حسب مبرهنة طاليس المباشرة‬
‫‪R‬‬
‫‪LS LR RS‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪LP LU PU‬‬
‫‪LS 5‬‬
‫‪‬‬
‫‪8 9‬‬
‫‪9 LS = 40‬‬
‫إذن‬
‫‪40‬‬
‫‪9‬‬
‫‪LS ‬‬
‫‪5‬‬
‫‪9‬‬
‫‪L‬‬
‫‪S‬‬
‫‪U‬‬
‫‪14‬‬
‫المادة‬
‫‪:‬‬
‫الرياضيات‬
‫المستوى‬
‫‪:‬‬
‫الثالثة ثانوي إعدادي‬
‫مبرهنة طاليس العكسية‬
‫نشاط تمهيدي‪: 3‬‬
‫)‪(d‬و('‪ )d‬مستقيمان متقاطعان في ‪A‬‬
‫)‪A (d‬‬
‫)‘‪(d‬‬
‫‪ M‬و ‪ B‬نقطتان من )‪ (d‬و ‪ C‬نقطة من )’‪(d‬‬
‫النقط ‪ A‬و ‪ B‬و ‪ C‬و النقط ‪ A‬و ‪ C‬و ‪ N‬في نفس الترتيب‬
‫‪N‬‬
‫‪M‬‬
‫بين انه إذا كانت نقطة ‪ N‬من )’‪(d‬‬
‫تحقق‬
‫‪AM AN‬‬
‫‪‬‬
‫‪AB AC‬‬
‫‪C‬‬
‫فان (‪ (MN‬يوازي )‪(BC‬‬
‫‪15‬‬
‫المادة‬
‫‪:‬‬
‫الرياضيات‬
‫المستوى‬
‫‪:‬‬
‫الثالثة ثانوي إعدادي‬
‫مبرهنة طاليس العكسية‬
‫الجواب‬
‫نرسم مستقيما يمر من ‪ M‬ويوازي )‪ (BC‬ويقطع )‪ (AC‬في '‪N‬‬
‫)‪A (d‬‬
‫لدينا )‪ (MN') // (BC‬حسب مبرهنة طاليس المباشرة‬
‫'‪AM AN‬‬
‫‪‬‬
‫‪AB AC‬‬
‫)‪(1‬‬
‫‪N‬‬
‫و حسب المعطيات لدينا‬
‫‪AM AN‬‬
‫‪‬‬
‫‪AB AC‬‬
‫من )‪ (1‬و )‪ (2‬نستنتج‬
‫يعني أن '‪AN = AN‬‬
‫)'‪(d‬‬
‫‪M‬‬
‫)‪(2‬‬
‫'‪AN AN‬‬
‫‪‬‬
‫‪AC AC‬‬
‫‪C‬‬
‫نعلم أن النقط ‪ A‬و ‪ B‬و ‪ M‬و النقط ‪ A‬و ‪ C‬و ‪ N‬في نفس الترتيب‪.‬‬
‫إذن '‪N = N‬‬
‫و بالتالي فان )‪ (MN‬يوازي )‪(BC‬‬
‫‪16‬‬
‫المادة‬
‫‪:‬‬
‫الرياضيات‬
‫المستوى‬
‫‪:‬‬
‫الثالثة ثانوي إعدادي‬
‫مبرهنة طاليس العكسية‬
‫مبرهنة‪2‬‬
‫ليكن )‪ (d‬و )’‪ (d‬مستقيمين متقاطعين في نقطة ‪A‬‬
‫)‪A (d‬‬
‫ولتكن‪ B‬و ‪ M‬نقطتين من المستقيم )‪ (d‬تختلفان عن ‪A‬‬
‫‪N‬‬
‫ولتكن‪ N‬و‪ C‬نقطتين من المستقيم )’‪ ( d‬تختلفان عن ‪A‬‬
‫)'‪(d‬‬
‫‪M‬‬
‫إذا كانت النقط ‪ A‬و ‪ M‬و ‪ B‬والنقط ‪ A‬و ‪ N‬و ‪C‬‬
‫في نفس الترتيب و‬
‫‪AM AN‬‬
‫‪‬‬
‫‪AB AC‬‬
‫‪C‬‬
‫فان المستقيمين )‪ (MN‬و )‪ (BC‬متوازيين‬
‫‪17‬‬
‫المادة‬
‫‪:‬‬
‫الرياضيات‬
‫المستوى‬
‫‪:‬‬
‫الثالثة ثانوي إعدادي‬
‫مبرهنة طاليس العكسية‬
‫مالحظة‬
‫تستعمل مبرهنة طاليس العكسية للبرهنة علي توازي مستقيمين‬
‫‪18‬‬
‫المادة‬
‫‪:‬‬
‫الرياضيات‬
‫المستوى‬
‫‪:‬‬
‫الثالثة ثانوي إعدادي‬
‫تطبيقات‬
‫تمرين ‪3‬‬
‫‪D‬‬
‫نعتبر الشكل التالي‬
‫‪B‬‬
‫المستقيمان )‪ (EC‬و )‪ (BD‬يتقاطعان في ‪A‬‬
‫‪E‬‬
‫‪C‬‬
‫‪A‬‬
‫بحيث ‪ AD = 21‬و ‪ AB = 14‬و ‪ AE = 33‬و ‪CE = 11‬‬
‫قارن‬
‫‪AD AE‬‬
‫و‬
‫‪AB AC‬‬
‫استنتج أن المستقيمين )‪ (BC‬و )‪ (DE‬متوازيين‬
‫‪19‬‬
‫المادة‬
‫‪:‬‬
‫الرياضيات‬
‫المستوى‬
‫‪:‬‬
‫الثالثة ثانوي إعدادي‬
‫تطبيقات‬
‫الجواب‬
‫‪D‬‬
‫الكتابة العشرية للنسبتين ‪:‬‬
‫‪AE 33 3‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪ 1, 5‬‬
‫(‪(1‬‬
‫‪AC 22 2‬‬
‫‪ 1, 5‬‬
‫‪AD 21 3‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪AB 14 2‬‬
‫من )‪ (1‬و )‪ (2‬نستنتج أن ‪:‬‬
‫‪B‬‬
‫‪E‬‬
‫‪C‬‬
‫‪A‬‬
‫(‪(2‬‬
‫‪AE AD‬‬
‫‪‬‬
‫‪AC AB‬‬
‫و بالتالي فان المستقيمين )‪ (BC‬و )‪ (DE‬متوازيين‬
‫‪20‬‬
‫المادة‬
‫‪:‬‬
‫الرياضيات‬
‫المستوى‬
‫‪:‬‬
‫الثالثة ثانوي إعدادي‬
‫تطبيقات‬
‫تمرين ‪4‬‬
‫‪E‬‬
‫نعتبر الشكل التالي‪:‬‬
‫بحيث‪:‬‬
‫‪H‬‬
‫‪ IF = 33‬و ‪IE = 45‬‬
‫‪ IG = 40‬و ‪IH = 30‬‬
‫‪I‬‬
‫‪F‬‬
‫‪G‬‬
‫هل المستقيمين )‪ (EF‬و )‪ (GH‬متوازيين؟‬
‫‪21‬‬
‫المادة‬
‫‪:‬‬
‫الرياضيات‬
‫المستوى‬
‫‪:‬‬
‫الثالثة ثانوي إعدادي‬
‫تطبيقات‬
‫الجواب‬
‫لنقارن النسبتين‪:‬‬
‫‪E‬‬
‫‪IF IE‬‬
‫و‬
‫‪IH IG‬‬
‫‪IE 45‬‬
‫‪9‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪IG 40‬‬
‫‪8‬‬
‫‪IF 33‬‬
‫‪11‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪IH 30‬‬
‫‪10‬‬
‫نالحظ أن خارج النسبتين مختلفان‬
‫‪H‬‬
‫‪I‬‬
‫‪F‬‬
‫‪G‬‬
‫و بالتالي فان المستقيمين )‪ (EF‬و )‪ (GH‬غير متوازيين‬
‫‪22‬‬
‫المادة‬
‫‪:‬‬
‫الرياضيات‬
‫المستوى‬
‫‪:‬‬
‫الثالثة ثانوي إعدادي‬
‫أهمية ترتيب النقط‬
‫مثال‪1‬‬
‫‪N‬‬
‫نعتبر الشكل التالي‬
‫احسب‬
‫‪3‬‬
‫‪A‬‬
‫‪2,5‬‬
‫‪AM AN‬‬
‫و‬
‫‪AB AC‬‬
‫‪12‬‬
‫‪M‬‬
‫‪10‬‬
‫هل المستقيمين )‪(MN) // (BC‬‬
‫‪B‬‬
‫‪C‬‬
‫‪23‬‬
‫المادة‬
‫‪:‬‬
‫الرياضيات‬
‫المستوى‬
‫‪:‬‬
‫الثالثة ثانوي إعدادي‬
‫لنحسب‬
‫أهمية ترتيب النقط‬
‫‪AM 2, 5 25‬‬
‫‪1‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪AB 10 100 4‬‬
‫‪AN 3‬‬
‫‪1‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪AC 12 4‬‬
‫نالحظ أن‬
‫‪AN AM 1‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪AC AB 4‬‬
‫المستقيمين )‪ (MN‬و )‪ (BC‬غير متوازيين‬
‫‪24‬‬
‫المادة‬
‫‪:‬‬
‫الرياضيات‬
‫المستوى‬
‫‪:‬‬
‫الثالثة ثانوي إعدادي‬
‫أهمية ترتيب النقط‬
‫مثال‪2‬‬
‫‪3‬‬
‫‪A‬‬
‫‪5‬‬
‫نعتبر الشكل التالي‬
‫‪B 7,5‬‬
‫‪C‬‬
‫بين ان )‪(BC) // (DE‬‬
‫‪D‬‬
‫‪7,5‬‬
‫‪E‬‬
‫‪25‬‬
‫المادة‬
‫‪:‬‬
‫الرياضيات‬
‫المستوى‬
‫‪:‬‬
‫الثالثة ثانوي إعدادي‬
‫أهمية ترتيب النقط‬
‫لنبين أن )‪(DE) // (BC‬‬
‫لدينا‬
‫‪AB‬‬
‫‪3‬‬
‫‪30‬‬
‫‪2‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪AD 7, 5‬‬
‫‪75‬‬
‫‪5‬‬
‫‪AC‬‬
‫‪5‬‬
‫‪50‬‬
‫‪2‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪AE 12, 5 125 5‬‬
‫إذن‪:‬‬
‫‪AB AC‬‬
‫‪‬‬
‫‪AD AE‬‬
‫‪AB AC‬‬
‫‪‬‬
‫في المثلث ‪ ADE‬لدينا ]‪ BЄ[AD‬و ]‪ CЄ[AE‬و‬
‫‪AD AE‬‬
‫حسب خاصية طاليس العكسية فان )‪(DE) // (BC‬‬
‫‪26‬‬
‫المادة‬
‫‪:‬‬
‫الرياضيات‬
‫المستوى‬
‫‪:‬‬
‫الثالثة ثانوي إعدادي‬
‫أهمية ترتيب النقط‬
‫مالحظة‬
‫‪M‬‬
‫‪A‬‬
‫‪N‬‬
‫‪C‬‬
‫‪AM AN MN‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪AB AC BC‬‬
‫‪A‬‬
‫‪N‬‬
‫‪C‬‬
‫‪B‬‬
‫‪B‬‬
‫‪M‬‬
‫‪A‬‬
‫‪N‬‬
‫‪C‬‬
‫‪M‬‬
‫‪B‬‬
‫في كل وضع لدينا النقط ‪ A‬و ‪ B‬و ‪ M‬في نفس ترتيب النقط ‪ A‬و ‪ C‬و ‪ N‬و )‪ (BC‬يوازي )‪(MN‬‬
‫‪27‬‬
‫المادة‬
‫‪:‬‬
‫الرياضيات‬
‫المستوى‬
‫‪:‬‬
‫الثالثة ثانوي إعدادي‬
‫مهــــارات‬
‫إنشاء طول يكون واسطا هندسيا لطولين‬
‫تمرين‬
‫نعتبر قطعتين طوالهما ‪ a‬و ‪b‬‬
‫انشئ قطعا أطوالها ‪ ab‬و ‪ a²‬و ‪ a3‬باستعمال المسطرة والبركار‬
‫‪28‬‬
‫المادة‬
‫‪:‬‬
‫الرياضيات‬
‫المستوى‬
‫‪:‬‬
‫الثالثة ثانوي إعدادي‬
‫مهــــارات‬
‫مثال‪3‬‬
‫‪Y‬‬
‫‪OA = a = 3‬‬
‫و ‪OB = b = 4‬‬
‫و ‪ON = ab = 12‬‬
‫‪X‬‬
‫‪I‬‬
‫‪O‬‬
‫‪29‬‬
‫المادة‬
‫‪:‬‬
‫الرياضيات‬
‫المستوى‬
‫‪:‬‬
‫الثالثة ثانوي إعدادي‬
‫مهــــارات‬
‫كيفية االنشاء‬
‫علي نصف مستقيم )‪ ]OX‬ننشئ النقطتين ‪ A‬و ‪I‬‬
‫‪Y‬‬
‫بحيث ‪ OI = 1‬و ‪OA = 3‬‬
‫‪N‬‬
‫علي نصف مستقيم )‪ ]OY‬ننشئ النقطة ‪ B‬بحيث ‪OB = 4‬‬
‫نرسم الموازي للمستقيم )‪ (BI‬والمارمن ‪ A‬هذا المستقيم يقطع )‪ (oy‬في ‪N‬‬
‫حسب مبرهنة طاليس المباشرة‬
‫أي‬
‫ومنه‬
‫‪ON 3‬‬
‫‪‬‬
‫‪4‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ON = 3 × 4 = 12‬‬
‫‪B‬‬
‫‪ON OA‬‬
‫‪‬‬
‫‪OB OI‬‬
‫‪X‬‬
‫‪A‬‬
‫‪I‬‬
‫‪O‬‬
‫‪30‬‬
‫المادة‬
‫‪:‬‬
‫الرياضيات‬
‫المستوى‬
‫‪:‬‬
‫الثالثة ثانوي إعدادي‬
‫مهــــارات‬
‫مثال‪4‬‬
‫‪Y‬‬
‫‪OA = a = 3‬‬
‫‪N‬‬
‫و ‪OI = 1‬‬
‫‪B‬‬
‫و ‪ON = 32 = 9‬‬
‫‪X‬‬
‫‪A‬‬
‫‪I‬‬
‫‪O‬‬
‫‪31‬‬
‫المادة‬
‫‪:‬‬
‫الرياضيات‬
‫المستوى‬
‫‪:‬‬
‫الثالثة ثانوي إعدادي‬
‫مهــــارات‬
‫لدينا )‪ (BI‬يوازي )‪(AN‬‬
‫حسب مبرهنة طاليس المباشرة‬
‫أي‬
‫ومنه‬
‫‪Y‬‬
‫‪ON OA‬‬
‫‪‬‬
‫‪OB OI‬‬
‫‪N‬‬
‫‪ON a‬‬
‫‪‬‬
‫‪a‬‬
‫‪1‬‬
‫‪B‬‬
‫‪ON = a²‬‬
‫‪X‬‬
‫‪A‬‬
‫‪I‬‬
‫‪O‬‬
‫‪32‬‬
‫المادة‬
‫‪:‬‬
‫الرياضيات‬
‫المستوى‬
‫‪:‬‬
‫الثالثة ثانوي إعدادي‬
‫مهــــارات‬
‫مالحظة‬
‫بإتباع نفس الخطوات ننشئ القطعة التي طولها ‪a³‬‬
‫‪33‬‬
‫المادة‬
‫‪:‬‬
‫الرياضيات‬
‫المستوى‬
‫‪:‬‬
‫الثالثة ثانوي إعدادي‬
‫مهــــارات‬
‫إنشاء طول يكون رابعا متناسبا لثالثة أطوال‬
‫تمرين‬
‫‪ a‬و ‪ b‬و ‪ c‬ثالثة أعداد موجبة قطعا‬
‫انشئ قطعة طولها هو الرابع المتناسب لألعداد ‪ a‬و ‪ b‬و ‪ c‬في هذا‬
‫الترتيب )باستعمال المسطرة والبر كار(‬
‫‪34‬‬
‫المادة‬
‫‪:‬‬
‫الرياضيات‬
‫المستوى‬
‫‪:‬‬
‫الثالثة ثانوي إعدادي‬
‫مهــــارات‬
‫على نصف مستقيم )‪ ]OX‬ننشئ نقطتين ‪ A‬و ‪B‬‬
‫‪Y‬‬
‫بحيث ‪ OA = a‬و ‪OB = b‬‬
‫‪D‬‬
‫‪C‬‬
‫ننشئ علي نصف مستقيم أخر )‪ ] OY‬النقطة ‪ C‬بحيث ‪OC = c‬‬
‫نرسم الموازي للمستقيم )‪ (AC‬والمار من النقطة ‪B‬‬
‫هذا المستقيم يقطع المستقيم )‪ (OY‬في نقطة ‪D‬‬
‫حسب مبرهنة طاليس المباشرة‬
‫أي‬
‫‪a c‬‬
‫‪‬‬
‫‪b x‬‬
‫‪X‬‬
‫‪OA OC‬‬
‫‪‬‬
‫‪OB OD‬‬
‫‪B‬‬
‫‪A‬‬
‫‪O‬‬
‫‪a‬‬
‫‪b‬‬
‫وهذا يدل علي أن ‪ x‬هو الرابع المتناسب‬
‫‪35‬‬
‫المادة‬
‫‪:‬‬
‫الرياضيات‬
‫المستوى‬
‫‪:‬‬
‫الثالثة ثانوي إعدادي‬
‫مهــــارات‬
‫‪Y‬‬
‫‪OA = a‬‬
‫‪D‬‬
‫‪OB = b‬‬
‫‪C‬‬
‫‪OC = c‬‬
‫‪OD = x‬‬
‫‪OA OC‬‬
‫‪‬‬
‫‪OB OD‬‬
‫الرابع المتناسب‬
‫‪X‬‬
‫‪B‬‬
‫‪A‬‬
‫‪O‬‬
‫‪a‬‬
‫‪b‬‬
‫‪a c‬‬
‫‪‬‬
‫‪b x‬‬
‫‪36‬‬
‫المادة‬
‫‪:‬‬
‫الرياضيات‬
‫المستوى‬
‫‪:‬‬
‫الثالثة ثانوي إعدادي‬
‫تمارين للدعم‬
‫تمرين رقم ‪ 27‬ص ‪119‬‬
‫‪D‬‬
‫نعتبر الشكل التالي‬
‫‪B‬‬
‫بحيث )‪ (DC) // (BE‬و )‪(BF) // (DE‬‬
‫‪C‬‬
‫‪E‬‬
‫‪F‬‬
‫‪A‬‬
‫‪AD‬‬
‫‪ (1‬حدد النسب المتساوية مع‪:‬‬
‫‪AB‬‬
‫‪ ) 2‬استنتج ان ‪AC² = AE x AF‬‬
‫‪37‬‬
‫المادة‬
‫‪:‬‬
‫الرياضيات‬
‫المستوى‬
‫‪:‬‬
‫الثالثة ثانوي إعدادي‬
‫تمارين للدعم‬
‫لنحدد النسب المتساوية مع النسبة ‪:‬‬
‫‪AD‬‬
‫‪AB‬‬
‫‪D‬‬
‫)‪ (DC) // (BF‬حسب مبرهنة طاليس المباشرة ‪:‬‬
‫‪AD AC DC‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪AB AF BF‬‬
‫‪B‬‬
‫)‪(1‬‬
‫)‪ (BC) // (DE‬حسب مبرهنة طاليس المباشرة ‪:‬‬
‫‪AD AE DE‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪AB AC BC‬‬
‫من )‪ (1‬و )‪ (2‬لدينا‬
‫و منه‬
‫‪AC AE‬‬
‫‪‬‬
‫‪AF AC‬‬
‫)‪(2‬‬
‫‪C‬‬
‫‪E‬‬
‫‪F‬‬
‫‪A‬‬
‫‪AD AE DE AC DC‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪AB AC BC AF BF‬‬
‫أي ‪AC² = AF × AE‬‬
‫‪38‬‬
‫المادة‬
‫‪:‬‬
‫الرياضيات‬
‫المستوى‬
‫‪:‬‬
‫الثالثة ثانوي إعدادي‬
‫تمارين للدعم‬
‫تمرين‬
‫نعتبر الشكل التالي حيث‪:‬‬
‫‪A‬‬
‫‪ ABF‬مثلث قائم الزاوية في ‪ B‬والمستقيم )‪ (CH‬واسط القطع ]‪]AD‬‬
‫‪G‬‬
‫‪C‬‬
‫‪H‬‬
‫احسب المسافات ‪ CG‬و ‪BD‬‬
‫إذا علمت أن ‪ CF = 15,2 :‬و ‪CD = 5,7‬‬
‫‪ FB = 7,6‬و ‪AG = 3,4‬‬
‫‪D‬‬
‫‪F‬‬
‫‪B‬‬
‫‪39‬‬
‫المادة‬
‫‪:‬‬
‫الرياضيات‬
‫المستوى‬
‫‪:‬‬
‫الثالثة ثانوي إعدادي‬
‫تمارين للدعم‬
‫لنبين أن المستقيمين )‪ (CH‬و)‪ (FB‬متوازيان‬
‫المستقيم )‪ (CH‬واسط القطعة ]‪ ]AD‬يعني أن ‪ AG = GD :‬و )‪ (CH‬عمودي )‪(AD‬‬
‫‪A‬‬
‫المثلث ‪ ABF‬قائم الزاوية في ‪ B‬يعني أن المستقيمان )‪ (BF‬و )‪ (AB‬متعامدان‬
‫وبالتالي فان )‪(BF) // (HC‬‬
‫حسب مبرهنة طاليس المباشرة‪:‬‬
‫‪DG DC GC‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪DB DF FB‬‬
‫لدينا‬
‫‪CG 5, 7‬‬
‫‪‬‬
‫‪7, 6 9, 5‬‬
‫‪7, 6  5, 7‬‬
‫‪GC ‬‬
‫أي‬
‫‪9, 5‬‬
‫‪GC = 4,56‬‬
‫لدينا‬
‫‪3, 4 5, 7‬‬
‫‪‬‬
‫‪DB 9, 5‬‬
‫‪3, 4  9, 5‬‬
‫‪DB ‬‬
‫أي‬
‫‪5, 7‬‬
‫‪BD = 5.66‬‬
‫‪G‬‬
‫‪C‬‬
‫‪H‬‬
‫‪D‬‬
‫‪F‬‬
‫‪B‬‬
‫‪40‬‬
‫المادة‬
‫‪:‬‬
‫الرياضيات‬
‫المستوى‬
‫‪:‬‬
‫الثالثة ثانوي إعدادي‬
‫تمارين للدعم‬
‫تمرين رقم ‪ 38‬ص ‪121‬‬
‫ليكن ‪ ABC‬مثلثا بحيث‪:‬‬
‫‪ BC  117‬و ‪ AC = 9‬و ‪AB = 6‬‬
‫‪ )1‬بين أن ‪ ABC‬مثلث قائم الزاوية‬
‫‪ )2‬لتكن ‪ E‬النقطة من [‪ ] AC‬بحث‪AE = 4 :‬‬
‫واسط القطعة ]‪ [EC‬يقطع ]‪ [EC‬في ‪ H‬و ]‪ ]BC‬في ‪ J‬و ]‪ ]BE‬في ‪M‬‬
‫أ‪ -‬انشئ الشكل‬
‫ب‪ -‬بين أن المستقيمين )‪ (JH‬و )‪ (AB‬متوازيين‬
‫ج‪ -‬احسب ‪JH‬‬
‫د‪ -‬احسب ‪HM‬‬
‫‪41‬‬
‫المادة‬
‫‪:‬‬
‫الرياضيات‬
‫المستوى‬
‫‪:‬‬
‫الثالثة ثانوي إعدادي‬
‫تمارين للدعم‬
‫‪(1‬لنبين أن المثلث ‪ ABC‬قائم الزاوية‬
‫‪2‬‬
‫‪BC  117  117‬‬
‫‪2‬‬
‫‪AC² = 9² = 81‬‬
‫‪AB² = 6² = 36‬‬
‫إذن ‪ BC² = AB² + AC²‬مبرهنة فيتاغورس العكسية‬
‫وبالتالي فان المثلث قائم الزاوية في ‪A‬‬
‫‪42‬‬
‫المادة‬
‫‪:‬‬
‫الرياضيات‬
‫المستوى‬
‫‪:‬‬
‫الثالثة ثانوي إعدادي‬
‫‪ )2‬أ‪ -‬الشكل‬
‫تمارين للدعم‬
‫‪B‬‬
‫‪J‬‬
‫‪A‬‬
‫‪E‬‬
‫‪H‬‬
‫‪C‬‬
‫‪M‬‬
‫‪43‬‬
‫المادة‬
‫‪:‬‬
‫الرياضيات‬
‫المستوى‬
‫‪:‬‬
‫الثالثة ثانوي إعدادي‬
‫تمارين للدعم‬
‫ب‪ -‬لنبين أن المستقيمين )‪ (JH‬و )‪ (AB‬متوازيان‬
‫لدينا )‪ (AB‬عمودي على )‪ (AC‬إلن المثلث ‪ ABC‬قائم الزاوية‬
‫المستقيم )‪ (JH‬واسط القطعة [‪ ]CE‬يعني أن )‪ (JH‬عمودي على )‪(CE‬‬
‫)‪ (JH) // (AB‬خاصية التوازي و التعامد‬
‫‪44‬‬
‫المادة‬
‫‪:‬‬
‫الرياضيات‬
‫المستوى‬
‫‪:‬‬
‫الثالثة ثانوي إعدادي‬
‫تمارين للدعم‬
‫ج‪ -‬حساب المسافة ‪JH‬‬
‫حسب مبرهنة طاليس المباشرة‬
‫‪CJ CH JH‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪CB CA AB‬‬
‫‪CJ‬‬
‫‪2, 5 JH‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪9‬‬
‫‪6‬‬
‫‪117‬‬
‫‪5‬‬
‫‪6  2, 5‬‬
‫‪15‬‬
‫‪‬‬
‫‪CJ ‬‬
‫‪‬‬
‫‪3‬‬
‫‪9‬‬
‫‪9‬‬
‫حسب مبرهنة طاليس المباشرة‬
‫‪EB EA AB‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪EM EH HM‬‬
‫‪EB‬‬
‫‪4‬‬
‫‪6‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪EM 2, 5 HM‬‬
‫‪6  2, 5 15‬‬
‫‪HM ‬‬
‫‪‬‬
‫‪4‬‬
‫‪4‬‬
‫د‪ -‬حساب المسافة ‪HM‬‬
‫‪45‬‬