Slide 1

‫وزارة التربية‬
‫اإلدارة العامة لمنطقة مبارك الكبير التعليمية‬
‫ثانوية العدان بنات‬
‫قسم الرياضيات‬

‫المركز اإلقليمي لتطوير البرمجيات التعليمية‬

‫تطبيقات على اإلشتقاق‬
‫الصف الثاني عشر ‪ -‬علمي‬
‫بند (‪)3-2‬‬
‫عدد الحصص (‪)3‬‬

‫الحصة االولى‬
‫إعداد معلمات قسم الرياضيات‬
‫رئيسة القسم‬
‫أ‪ /‬نورة العجمي‬

‫الموجهة الفنية‬
‫مديرة المدرسة‬
‫أ‪ /‬منى المسري‬
‫دشتي‬

‫أ‪/‬فاطمة‬

‫البند (‪ / )3-2‬الحصة االولى‬

‫تزايد وتناقص الدوال‬

‫الهدف العام‬
‫تطبيق نظرية القيمة المتوسطة‬
‫األهداف‬
‫السلوكية‬
‫‪1‬يوجد متوسط معدل التغير لدالة على فترة ما‪.‬‬
‫‪-2‬يذكر نظرية القيمة المتوسطة‪.‬‬
‫‪-3‬يحل تمارين باستخدام نظرية القيمة المتوسطة‪.‬‬

‫الوسائل‬
‫المستخدمة‬

‫المعلم‬

‫المتعلم‬

‫األقالم‬

‫كتاب الطالب‬

‫السبورة‬

‫كراس التمارين‬

‫داتا شو‬

‫الة حاسبة‬

‫المفردات‬
‫والمصطلحات‬
‫نظرية القيمة المتوسطة‬
‫االخطاء‬
‫المتوقعة‬

‫التمهيد‬

‫المستقيم القاطع‬
‫‪y‬‬
‫‪3‬‬

‫‪B‬‬

‫دعنا نفكر ونتناقش‬

‫‪2‬‬
‫‪1‬‬

‫إذا كانت 𝟏 ‪ 𝒇 𝒙 = 𝒙𝟐 −‬فأجب عما يلي‪:‬‬

‫‪ (1‬ارسم المستقيم المار بالنقطتين‬
‫𝑩𝑨 𝒎‪.‬‬

‫𝟐 𝒇‪, 𝑩 𝟐 ,‬‬

‫‪x‬‬

‫‪2‬‬

‫وهل 𝒇 قابلة لالشتقاق على الفترة 𝟐‪ −𝟏,‬؟‬
‫𝟏‬

‫‪ )4‬استنتج العالقة بين ‪.1 , 3‬‬

‫‪-2‬‬

‫𝟏‪ 𝑨 −𝟏 ,𝒇 −‬ثم أوجد الميل‬

‫‪ (2‬هل الدالة 𝒇 متصلة على 𝟐‪ −𝟏 ,‬؟‬

‫‪ )3‬أوجد ميل المماس لمنحنى 𝒇 عند 𝟐 = 𝒙‬

‫‪1‬‬

‫‪-1‬‬

‫‪A‬‬
‫‪-1‬‬

‫الحظ أن 𝟐 ‪∈ −𝟏 ,‬‬

‫𝟏‬
‫𝟐‬

‫التمهيد‬

‫المستقيم القاطع‬
‫‪y‬‬
‫‪3‬‬

‫‪B‬‬

‫دعنا نفكر ونتناقش‬

‫‪2‬‬
‫‪1‬‬

‫إذا كانت 𝟏 ‪ 𝒇 𝒙 = 𝒙𝟐 −‬فأجب عما يلي‪:‬‬

‫‪ (1‬ارسم المستقيم المار بالنقطتين‬
‫𝑩𝑨 𝒎‪.‬‬

‫‪x‬‬

‫𝟐 𝒇‪, 𝑩 𝟐 ,‬‬

‫‪2‬‬

‫وهل 𝒇 قابلة لالشتقاق على الفترة 𝟐‪ −𝟏,‬؟ ‪=1‬‬

‫‪-2‬‬

‫𝟏‪ 𝑨 −𝟏 ,𝒇 −‬ثم أوجد الميل‬

‫‪ (2‬هل الدالة 𝒇 متصلة على 𝟐‪ −𝟏 ,‬؟ نعم‬
‫𝟏‬
‫𝟐‬

‫‪1‬‬

‫‪-1‬‬

‫‪A‬‬
‫‪-1‬‬

‫`𝒇‬

‫𝟏‬

‫الحظ أن 𝟐 ‪∈ −𝟏 ,‬‬
‫‪ )3‬أوجد ميل المماس لمنحنى 𝒇 عند 𝟐 = 𝒙‬
‫ميل المماس = ‪1‬‬
‫‪ )4‬استنتج العالقة بين ‪ .1 , 3‬المستقيمان متوازيان‬

‫𝟏‬
‫𝟐‬

‫التدريس‬
‫تربط نظرية القيمة المتوسطة بين متوسط معدل تغير دالة على فترة‬

‫مماس مواز للقاطع‬

‫ما‪ ،‬ومعدل التغير للدالة عند نقطة تنتمي إلى هذه الفترة‪.‬‬

‫ميل المماس = 𝑐 ‪𝑓′‬‬
‫𝐵‬

‫تمكن نتائجها القوية في صميم بعض التطبيقات الكثيرة األهمية في علم‬
‫𝐴‬

‫حساب التفاضل والتكامل‪.‬‬
‫𝑥‬

‫𝑏‬

‫تقول النظرية انه في مكان ما بين النقطتين ‪A,B‬منحنى دالة قابلة‬
‫لالشتقاق‪ ،‬يوجد على األقل خط مماس واحد يوازي قاطع المنحنى‬
‫𝑩𝑨 ‪.‬‬
‫𝑦‬

‫𝒂 𝒇‪𝒇 𝒃 −‬‬
‫= 𝑩𝑨 𝒎‬
‫𝒂‪𝒃−‬‬
‫𝑥‬

‫𝑏‬

‫‪𝑐₂‬‬

‫‪𝑐₁‬‬

‫𝑎‬

‫𝑎‬
‫𝑐‬
‫𝑥 𝑓=𝑦‬

‫‪y‬‬

‫نظرية‬
‫(‪)3‬‬

‫نظرية القيمة المتوسطة‬

‫إذا كانت 𝒇 دالة‬
‫‪ )1‬متصلة على الفترة 𝒃‪𝒂,‬‬
‫‪ )2‬قابلة لالشتقاق على الفترة 𝒃‪𝒂,‬‬
‫فإنه يوجد على األقل 𝒃‪ 𝒄 ∈ 𝒂,‬بحيث‬
‫𝒂 𝒇‪𝒇 𝒃 −‬‬
‫= 𝒄 ˈ𝒇‬
‫𝒂‪𝒃−‬‬
‫انتبه‬
‫شروط النظرية كافية وليست الزمة أي ان توفر الشروط يؤكد وجود 𝒄‬
‫وعدم تحقق أحد الشرطين ال يعني بالضرورة عدم وجود 𝒄‬

‫مالحظات هامة‪:‬‬

‫‪ )1‬إذا لم يتحقق أحد شرطي النظرية (‪ )3‬فإنه قد ال يكون لبيان الدالة مماس موازي للقاطع 𝑩𝑨‪.‬‬
‫فمثال 𝒙 = 𝒙 𝒇 متصلة على الفترة 𝟏‪ ، −𝟏 ,‬وقابلة لالشتقاق عند كل 𝒙 تنتمي إلى 𝟏‪−𝟏 ,‬‬
‫باستثناء عند 𝟎 = 𝒙 ‪.‬‬
‫بيان الدالة ليس مماس يوازي 𝑩𝑨 (شكل ‪)2‬‬

‫𝑦‬

‫𝑥 =𝑦‬

‫‪1‬‬
‫𝐵‬

‫𝑥‬

‫𝐴‬

‫‪1‬‬

‫‪-1‬‬
‫شكل (‪)2‬‬

‫‪ )2‬يبين شكل (‪ )3‬بيان دالة 𝒇 قابلة لالشتقاق عند كل 𝒙 تنتمي إلى الفترة 𝒃‪𝒂 ,‬‬
‫ومتصلة على الفترة 𝒃‪ 𝒂 ,‬ولكن ال يوجد مماس يوازي 𝑩𝑨‪.‬‬

‫𝑥 𝑓=𝑦‬

‫𝐴‬

‫𝐵‬

‫𝑎‬

‫𝑏‬

‫شكل (‪)3‬‬

‫‪ )3‬بيان الدالة في الشكل (‪ )4‬يبين نقطة انفصال وبالرغم من عدم توفر شرط من‬
‫شروط نظرية القيمة المتوسطة إال انه يوجد مماس للمنحنى عند 𝒄 يوازي 𝑩𝑨‬
‫𝑦‬

‫𝐴‬

‫𝑥‬

‫𝑏‬

‫𝑐‬

‫𝐵‬
‫شكل (‪)4‬‬

‫𝑎‬

‫‪ )4‬يمكن إيجاد اكثر من نقطة واحدة بحيث 𝒃‪, 𝒄 ∈ 𝒂,‬‬
‫المماس عند كل النقاط‬

‫𝒂 𝒇‪𝒇 𝒃 −‬‬
‫𝒂‪𝒃−‬‬

‫= 𝒄 ˈ𝒇 أي ان‬

‫‪ 𝒄₁,𝒇 𝒄₁‬يوازي 𝑩𝑨 كما في الشكل (‪.)5‬‬

‫‪, 𝒄₂ ,𝒇 𝒄₂‬‬

‫𝑦‬

‫𝑏‬

‫𝑥‬

‫‪𝑐₁‬‬

‫‪𝑐₂‬‬

‫𝑎‬

‫شكل (‪)5‬‬

‫‪ )5‬في نظرية القيمة المتوسطة إذا كان 𝒃 𝒇 = 𝒂 𝒇 فإن 𝟎 = 𝒄 ˈ𝒇 أي ان‬
‫المماس للمنحنى عند 𝒄 يوازي القاطع ويوازي محور السينات أي أن المماس‬
‫افقي كما في الشكل‬
‫𝑦‬

‫𝐵‬

‫𝑥‬

‫𝐴‬

‫𝑏‬

‫𝑐‬
‫شكل (‪)6‬‬

‫𝑎‬

‫مثال (‪)1‬‬

‫كتاب الطالب ص‪133‬مثال )‪(1‬‬

‫الحل ‪:‬‬

‫بين أن الدالة 𝒇 ∶ ‪ 𝒇 𝒙 = 𝒙²‬تحقق شروط نظرية القيمة‬
‫المتوسطة على الفترة 𝟐‪ ، 𝟎,‬ثم أوجد 𝒄 الذي تنبئ به‬
‫النظرية وفسر إجابتك‪.‬‬

‫الدالة 𝒇 ∶ ‪ 𝒇 𝒙 = 𝒙²‬دالة كثيرة حدود متصلة على ‪ℝ‬‬
‫فهي متصلة على الفترة 𝟐‪ ، 𝟎,‬وقابلة لالشتقاق على 𝟐‪. 𝟎,‬‬
‫∴ شروط نظرية القيمة المتوسطة محققة على الفترة 𝟐‪. 𝟎,‬‬
‫∴ يوجد على األقل 𝟐‪ 𝒄 ∈ 𝟎,‬بحيث‪𝒇 𝒃 − 𝒇 𝒂 :‬‬
‫= 𝒄 ˈ𝒇‬
‫𝒂‪𝒃−‬‬
‫𝟎 𝒇‪𝒇 𝟐 −‬‬
‫=‬
‫𝟎‪𝟐−‬‬
‫𝟒 = 𝟐𝟐 = 𝟐 𝒇 ‪∵ 𝒇 𝟎 = 𝟎 𝟐 = 𝟎 ,‬‬
‫𝒙𝟐 = 𝒙 ˈ𝒇‬
‫𝒄𝟐 = 𝒄 ˈ𝒇 ‪,‬‬
‫𝟎 𝒇‪𝒇 𝟐 −‬‬
‫𝟎‪𝟐−‬‬
‫𝟎‪𝟒−‬‬
‫= 𝒄𝟐‬
‫𝟎‪𝟐−‬‬
‫𝟐 = 𝒄𝟐‬
‫𝟏=𝒄‬

‫= 𝒄𝟐 ∴‬

‫التفسير‬
‫يوجد مماس لمنحنى الدالة 𝒇 عند 𝟏 = 𝒙‬
‫يوازي القاطع المار بالنقطتين 𝟒‪𝟎,𝟎 , 𝟐,‬‬

‫التقييم‬

‫حاول أن تحل‬
‫ص‪133‬رقم)‪(1‬‬

‫الحل ‪:‬‬

‫بين أن الدالة 𝒙𝟐 ‪ 𝒇 𝒙 = 𝒙2 +‬تحقق شروط نظرية القيمة‬
‫المتوسطة على الفترة 𝟏‪ ، −𝟑 ,‬ثم أوجد قيمة 𝒄 الذي تنبئ‬
‫به النظرية وفسر اجابتك‬
‫متصلة على 𝟏‪−𝟑 ,‬‬

‫∵ الدالة 𝒇 دالة كثيرة حدود متصلة على ‪ℝ‬‬
‫وقابلة لالشتقاق على 𝟏‪−𝟑 ,‬‬
‫∴ شروط نظرية القيمة المتوسطة محققة على 𝟏‪−𝟑 ,‬‬
‫∴ يوجد على األقل 𝒄 ∶ 𝟏‪ 𝒄 ∈ −𝟑,‬بحيث‬
‫𝒂 𝒇‪𝒇 𝒃 −‬‬
‫𝒂‪𝒃−‬‬

‫= 𝒄 ˈ𝒇‬

‫𝟑 𝒇‪𝒇 𝟏 −‬‬
‫𝟑‪𝟑−‬‬
‫=‬
‫𝟎=‬
‫𝟑‪𝟏 − −‬‬
‫𝟒‬
‫𝟐 ‪𝒇ˈ 𝒄 = 𝟐𝒄 +‬‬

‫‪,‬‬

‫=‬

‫𝟐 ‪∵ 𝒇ˈ 𝒙 = 𝟐𝒙 +‬‬
‫𝟎 = 𝟐 ‪𝟐𝒄 +‬‬

‫𝟏‪𝒄 = −‬‬

‫𝟐‪𝟐𝒄 = −‬‬

‫∴ يوجد مماس لمنحنى الدالة 𝒇 عند 𝟏‪ 𝒙 = −‬يوازي القاطع المار بالنقطتين‬
‫𝟑‪𝟏,𝟑 , −𝟑,‬‬

‫مثال (‪)2‬‬

‫كتاب الطالب ص‪133‬مثال )‪(2‬‬

‫بين أن الدالة 𝒇 ∶ 𝟏 ‪ 𝒇 𝒙 = 𝒙𝟑 +‬تحقق شروط نظرية القيمة‬
‫المتوسطة على الفترة 𝟑‪ ، −𝟑 ,‬ثم أوجد قيمة 𝒄 الذي‬
‫تنبئ به النظرية وفسر اجابتك‪.‬‬

‫الدالة 𝒇 دالة كثيرة حدود متصلة على ‪ℝ‬‬
‫الحل ‪:‬‬
‫فهي متصلة على الفترة 𝟑‪ −𝟑,‬وقابلة لالشتقاق على الفترة 𝟑‪. −𝟑,‬‬
‫∴ شروط نظرية القيمة المتوسطة محققة على الفترة 𝟑‪−𝟑,‬‬
‫∴ يوجد على األقل 𝟑‪ 𝒄 ∈ −𝟑 ,‬بحيث‪:‬‬
‫𝒂 𝒇‪𝒇 𝒃 −‬‬
‫= 𝒄 ˈ𝒇‬
‫𝒂‪𝒃−‬‬
‫𝟑‪𝒇 𝟑 − 𝒇 −‬‬
‫= 𝒄 ˈ𝒇‬
‫𝟑‪𝟑 − −‬‬
‫‪∵ 𝒇 −𝟑 = −𝟑 𝟑 + 𝟏 = −𝟐𝟔 ,‬‬
‫𝟖𝟐 = 𝟏 ‪𝒇 𝟑 = 𝟑𝟑 +‬‬
‫‪𝒇ˈ 𝒙 = 𝟑𝒙𝟑 ,‬‬
‫𝟐𝒄𝟑 = 𝒄 ˈ𝒇‬
‫𝟑‪𝒇 𝟑 − 𝒇 −‬‬
‫التفسير‬
‫= 𝟐𝒄𝟑 ∴‬
‫𝟑‪𝟑 − −‬‬
‫𝟔𝟐‪𝟐𝟖 − −‬‬
‫𝟒𝟓‬
‫يوجد مماسان لمنحنى الدالة 𝒇 عند‪:‬‬
‫= 𝟐𝒄𝟑‬
‫=‬
‫𝟗=‬
‫𝟑‪𝟑+‬‬
‫𝟔‬
‫𝟑 =𝒙‬
‫𝟑 ‪, 𝒙=−‬‬
‫𝟗‬
‫والمماسان يوازيان القاطع المار بالنقطتين‪:‬‬
‫𝟑 = = 𝟐𝒄‬
‫𝟑‬
‫𝟖𝟐‪−𝟑 , − 𝟐𝟔 , 𝟑 ,‬‬
‫‪𝒄 = 𝟑 ∈ ]-3,3[,‬‬
‫[‪𝒄 = − 𝟑 ∈ ]-3,3‬‬

‫بين أن الدالة 𝟐 ‪ 𝒇 𝒙 = 𝒙𝟑 − 𝟑𝒙 +‬تحقق شروط نظرية القيمة‬
‫المتوسطة على الفترة 𝟒‪ ، 𝟎,‬ثم أوجد 𝒄 الذي تنبئ به‬
‫النظرية وفسر إجابتك‪.‬‬

‫التقييم‬

‫حاول أن تحل‬
‫ص‪134‬رقم)‪(2‬‬

‫الحل ‪:‬‬

‫متصلة على 𝟒‪𝟎,‬‬

‫∵ الدالة 𝒇 دالة كثيرة حدود متصلة على ‪ℝ‬‬
‫وقابلة لالشتقاق على 𝟒‪𝟎,‬‬
‫∴ شروط نظرية القيمة المتوسطة محققه على 𝟒‪𝟎,‬‬
‫∴ يوجد على األقل ∁ ‪ ∁∈ 𝟎,𝟒 :‬بحيث‬
‫𝒂 𝒇‪𝒇 𝒃 −‬‬
‫= 𝒄 ˈ𝒇‬
‫𝒂‪𝒃−‬‬
‫𝟎 𝒇‪𝒇 𝟒 −‬‬
‫𝟕𝟐 𝟒𝟓‬
‫=‬
‫=‬
‫=‬
‫𝟎‪𝟒−‬‬
‫𝟒‬
‫𝟐‬
‫𝟐 ‪𝒇ˈ 𝒙 = 𝟑𝒙𝟐 −‬‬

‫𝟐 ‪𝒇ˈ 𝒄 = 𝟑𝒄𝟐 −‬‬

‫𝟕𝟐‬
‫𝟐‬
‫𝟗‬
‫= 𝟏 ‪𝒄𝟐 −‬‬
‫𝟐‬

‫= 𝟑 ‪∴ 𝟑𝒄𝟐 −‬‬

‫𝟒‪∉ 𝟎,‬‬

‫𝟏𝟏‬
‫𝟐‬

‫‪𝒄=−‬‬

‫‪,‬‬

‫∴ يوجد مماس لمنحنى الدالة 𝒇 عند‬
‫𝟒𝟓‪𝟎,𝟐 , 𝟒,‬‬

‫𝟒‪∈ 𝟎,‬‬

‫𝟏𝟏‬
‫𝟐‬

‫=𝒄 ∴‬

‫𝟏𝟏 = 𝒙 يوازي القاطع المار بالنقطتين‬
‫𝟐‬

‫الخاتمة‬

‫بند (‪ )3‬موضوعي‬
‫صـ‪54‬‬

‫ظلل 𝒂 إذا كانت العبارة صحيحة و 𝒃 إذا كانت العبارة خاطئة‬
‫الدالة 𝒇 ∶‬

‫𝟑‬

‫𝟐‬

‫𝒙 = 𝒙 𝒇 تحقق شروط نظرية القيمة المتوسطة على 𝟏‪𝟎,‬‬

‫‪b‬‬

‫‪a‬‬

‫التطبيق‬
‫كراس التمارين‬
‫ص ‪54‬رقم )‪(2‬‬


Slide 2

‫وزارة التربية‬
‫اإلدارة العامة لمنطقة مبارك الكبير التعليمية‬
‫ثانوية العدان بنات‬
‫قسم الرياضيات‬

‫المركز اإلقليمي لتطوير البرمجيات التعليمية‬

‫تطبيقات على اإلشتقاق‬
‫الصف الثاني عشر ‪ -‬علمي‬
‫بند (‪)3-2‬‬
‫عدد الحصص (‪)3‬‬

‫الحصة االولى‬
‫إعداد معلمات قسم الرياضيات‬
‫رئيسة القسم‬
‫أ‪ /‬نورة العجمي‬

‫الموجهة الفنية‬
‫مديرة المدرسة‬
‫أ‪ /‬منى المسري‬
‫دشتي‬

‫أ‪/‬فاطمة‬

‫البند (‪ / )3-2‬الحصة االولى‬

‫تزايد وتناقص الدوال‬

‫الهدف العام‬
‫تطبيق نظرية القيمة المتوسطة‬
‫األهداف‬
‫السلوكية‬
‫‪1‬يوجد متوسط معدل التغير لدالة على فترة ما‪.‬‬
‫‪-2‬يذكر نظرية القيمة المتوسطة‪.‬‬
‫‪-3‬يحل تمارين باستخدام نظرية القيمة المتوسطة‪.‬‬

‫الوسائل‬
‫المستخدمة‬

‫المعلم‬

‫المتعلم‬

‫األقالم‬

‫كتاب الطالب‬

‫السبورة‬

‫كراس التمارين‬

‫داتا شو‬

‫الة حاسبة‬

‫المفردات‬
‫والمصطلحات‬
‫نظرية القيمة المتوسطة‬
‫االخطاء‬
‫المتوقعة‬

‫التمهيد‬

‫المستقيم القاطع‬
‫‪y‬‬
‫‪3‬‬

‫‪B‬‬

‫دعنا نفكر ونتناقش‬

‫‪2‬‬
‫‪1‬‬

‫إذا كانت 𝟏 ‪ 𝒇 𝒙 = 𝒙𝟐 −‬فأجب عما يلي‪:‬‬

‫‪ (1‬ارسم المستقيم المار بالنقطتين‬
‫𝑩𝑨 𝒎‪.‬‬

‫𝟐 𝒇‪, 𝑩 𝟐 ,‬‬

‫‪x‬‬

‫‪2‬‬

‫وهل 𝒇 قابلة لالشتقاق على الفترة 𝟐‪ −𝟏,‬؟‬
‫𝟏‬

‫‪ )4‬استنتج العالقة بين ‪.1 , 3‬‬

‫‪-2‬‬

‫𝟏‪ 𝑨 −𝟏 ,𝒇 −‬ثم أوجد الميل‬

‫‪ (2‬هل الدالة 𝒇 متصلة على 𝟐‪ −𝟏 ,‬؟‬

‫‪ )3‬أوجد ميل المماس لمنحنى 𝒇 عند 𝟐 = 𝒙‬

‫‪1‬‬

‫‪-1‬‬

‫‪A‬‬
‫‪-1‬‬

‫الحظ أن 𝟐 ‪∈ −𝟏 ,‬‬

‫𝟏‬
‫𝟐‬

‫التمهيد‬

‫المستقيم القاطع‬
‫‪y‬‬
‫‪3‬‬

‫‪B‬‬

‫دعنا نفكر ونتناقش‬

‫‪2‬‬
‫‪1‬‬

‫إذا كانت 𝟏 ‪ 𝒇 𝒙 = 𝒙𝟐 −‬فأجب عما يلي‪:‬‬

‫‪ (1‬ارسم المستقيم المار بالنقطتين‬
‫𝑩𝑨 𝒎‪.‬‬

‫‪x‬‬

‫𝟐 𝒇‪, 𝑩 𝟐 ,‬‬

‫‪2‬‬

‫وهل 𝒇 قابلة لالشتقاق على الفترة 𝟐‪ −𝟏,‬؟ ‪=1‬‬

‫‪-2‬‬

‫𝟏‪ 𝑨 −𝟏 ,𝒇 −‬ثم أوجد الميل‬

‫‪ (2‬هل الدالة 𝒇 متصلة على 𝟐‪ −𝟏 ,‬؟ نعم‬
‫𝟏‬
‫𝟐‬

‫‪1‬‬

‫‪-1‬‬

‫‪A‬‬
‫‪-1‬‬

‫`𝒇‬

‫𝟏‬

‫الحظ أن 𝟐 ‪∈ −𝟏 ,‬‬
‫‪ )3‬أوجد ميل المماس لمنحنى 𝒇 عند 𝟐 = 𝒙‬
‫ميل المماس = ‪1‬‬
‫‪ )4‬استنتج العالقة بين ‪ .1 , 3‬المستقيمان متوازيان‬

‫𝟏‬
‫𝟐‬

‫التدريس‬
‫تربط نظرية القيمة المتوسطة بين متوسط معدل تغير دالة على فترة‬

‫مماس مواز للقاطع‬

‫ما‪ ،‬ومعدل التغير للدالة عند نقطة تنتمي إلى هذه الفترة‪.‬‬

‫ميل المماس = 𝑐 ‪𝑓′‬‬
‫𝐵‬

‫تمكن نتائجها القوية في صميم بعض التطبيقات الكثيرة األهمية في علم‬
‫𝐴‬

‫حساب التفاضل والتكامل‪.‬‬
‫𝑥‬

‫𝑏‬

‫تقول النظرية انه في مكان ما بين النقطتين ‪A,B‬منحنى دالة قابلة‬
‫لالشتقاق‪ ،‬يوجد على األقل خط مماس واحد يوازي قاطع المنحنى‬
‫𝑩𝑨 ‪.‬‬
‫𝑦‬

‫𝒂 𝒇‪𝒇 𝒃 −‬‬
‫= 𝑩𝑨 𝒎‬
‫𝒂‪𝒃−‬‬
‫𝑥‬

‫𝑏‬

‫‪𝑐₂‬‬

‫‪𝑐₁‬‬

‫𝑎‬

‫𝑎‬
‫𝑐‬
‫𝑥 𝑓=𝑦‬

‫‪y‬‬

‫نظرية‬
‫(‪)3‬‬

‫نظرية القيمة المتوسطة‬

‫إذا كانت 𝒇 دالة‬
‫‪ )1‬متصلة على الفترة 𝒃‪𝒂,‬‬
‫‪ )2‬قابلة لالشتقاق على الفترة 𝒃‪𝒂,‬‬
‫فإنه يوجد على األقل 𝒃‪ 𝒄 ∈ 𝒂,‬بحيث‬
‫𝒂 𝒇‪𝒇 𝒃 −‬‬
‫= 𝒄 ˈ𝒇‬
‫𝒂‪𝒃−‬‬
‫انتبه‬
‫شروط النظرية كافية وليست الزمة أي ان توفر الشروط يؤكد وجود 𝒄‬
‫وعدم تحقق أحد الشرطين ال يعني بالضرورة عدم وجود 𝒄‬

‫مالحظات هامة‪:‬‬

‫‪ )1‬إذا لم يتحقق أحد شرطي النظرية (‪ )3‬فإنه قد ال يكون لبيان الدالة مماس موازي للقاطع 𝑩𝑨‪.‬‬
‫فمثال 𝒙 = 𝒙 𝒇 متصلة على الفترة 𝟏‪ ، −𝟏 ,‬وقابلة لالشتقاق عند كل 𝒙 تنتمي إلى 𝟏‪−𝟏 ,‬‬
‫باستثناء عند 𝟎 = 𝒙 ‪.‬‬
‫بيان الدالة ليس مماس يوازي 𝑩𝑨 (شكل ‪)2‬‬

‫𝑦‬

‫𝑥 =𝑦‬

‫‪1‬‬
‫𝐵‬

‫𝑥‬

‫𝐴‬

‫‪1‬‬

‫‪-1‬‬
‫شكل (‪)2‬‬

‫‪ )2‬يبين شكل (‪ )3‬بيان دالة 𝒇 قابلة لالشتقاق عند كل 𝒙 تنتمي إلى الفترة 𝒃‪𝒂 ,‬‬
‫ومتصلة على الفترة 𝒃‪ 𝒂 ,‬ولكن ال يوجد مماس يوازي 𝑩𝑨‪.‬‬

‫𝑥 𝑓=𝑦‬

‫𝐴‬

‫𝐵‬

‫𝑎‬

‫𝑏‬

‫شكل (‪)3‬‬

‫‪ )3‬بيان الدالة في الشكل (‪ )4‬يبين نقطة انفصال وبالرغم من عدم توفر شرط من‬
‫شروط نظرية القيمة المتوسطة إال انه يوجد مماس للمنحنى عند 𝒄 يوازي 𝑩𝑨‬
‫𝑦‬

‫𝐴‬

‫𝑥‬

‫𝑏‬

‫𝑐‬

‫𝐵‬
‫شكل (‪)4‬‬

‫𝑎‬

‫‪ )4‬يمكن إيجاد اكثر من نقطة واحدة بحيث 𝒃‪, 𝒄 ∈ 𝒂,‬‬
‫المماس عند كل النقاط‬

‫𝒂 𝒇‪𝒇 𝒃 −‬‬
‫𝒂‪𝒃−‬‬

‫= 𝒄 ˈ𝒇 أي ان‬

‫‪ 𝒄₁,𝒇 𝒄₁‬يوازي 𝑩𝑨 كما في الشكل (‪.)5‬‬

‫‪, 𝒄₂ ,𝒇 𝒄₂‬‬

‫𝑦‬

‫𝑏‬

‫𝑥‬

‫‪𝑐₁‬‬

‫‪𝑐₂‬‬

‫𝑎‬

‫شكل (‪)5‬‬

‫‪ )5‬في نظرية القيمة المتوسطة إذا كان 𝒃 𝒇 = 𝒂 𝒇 فإن 𝟎 = 𝒄 ˈ𝒇 أي ان‬
‫المماس للمنحنى عند 𝒄 يوازي القاطع ويوازي محور السينات أي أن المماس‬
‫افقي كما في الشكل‬
‫𝑦‬

‫𝐵‬

‫𝑥‬

‫𝐴‬

‫𝑏‬

‫𝑐‬
‫شكل (‪)6‬‬

‫𝑎‬

‫مثال (‪)1‬‬

‫كتاب الطالب ص‪133‬مثال )‪(1‬‬

‫الحل ‪:‬‬

‫بين أن الدالة 𝒇 ∶ ‪ 𝒇 𝒙 = 𝒙²‬تحقق شروط نظرية القيمة‬
‫المتوسطة على الفترة 𝟐‪ ، 𝟎,‬ثم أوجد 𝒄 الذي تنبئ به‬
‫النظرية وفسر إجابتك‪.‬‬

‫الدالة 𝒇 ∶ ‪ 𝒇 𝒙 = 𝒙²‬دالة كثيرة حدود متصلة على ‪ℝ‬‬
‫فهي متصلة على الفترة 𝟐‪ ، 𝟎,‬وقابلة لالشتقاق على 𝟐‪. 𝟎,‬‬
‫∴ شروط نظرية القيمة المتوسطة محققة على الفترة 𝟐‪. 𝟎,‬‬
‫∴ يوجد على األقل 𝟐‪ 𝒄 ∈ 𝟎,‬بحيث‪𝒇 𝒃 − 𝒇 𝒂 :‬‬
‫= 𝒄 ˈ𝒇‬
‫𝒂‪𝒃−‬‬
‫𝟎 𝒇‪𝒇 𝟐 −‬‬
‫=‬
‫𝟎‪𝟐−‬‬
‫𝟒 = 𝟐𝟐 = 𝟐 𝒇 ‪∵ 𝒇 𝟎 = 𝟎 𝟐 = 𝟎 ,‬‬
‫𝒙𝟐 = 𝒙 ˈ𝒇‬
‫𝒄𝟐 = 𝒄 ˈ𝒇 ‪,‬‬
‫𝟎 𝒇‪𝒇 𝟐 −‬‬
‫𝟎‪𝟐−‬‬
‫𝟎‪𝟒−‬‬
‫= 𝒄𝟐‬
‫𝟎‪𝟐−‬‬
‫𝟐 = 𝒄𝟐‬
‫𝟏=𝒄‬

‫= 𝒄𝟐 ∴‬

‫التفسير‬
‫يوجد مماس لمنحنى الدالة 𝒇 عند 𝟏 = 𝒙‬
‫يوازي القاطع المار بالنقطتين 𝟒‪𝟎,𝟎 , 𝟐,‬‬

‫التقييم‬

‫حاول أن تحل‬
‫ص‪133‬رقم)‪(1‬‬

‫الحل ‪:‬‬

‫بين أن الدالة 𝒙𝟐 ‪ 𝒇 𝒙 = 𝒙2 +‬تحقق شروط نظرية القيمة‬
‫المتوسطة على الفترة 𝟏‪ ، −𝟑 ,‬ثم أوجد قيمة 𝒄 الذي تنبئ‬
‫به النظرية وفسر اجابتك‬
‫متصلة على 𝟏‪−𝟑 ,‬‬

‫∵ الدالة 𝒇 دالة كثيرة حدود متصلة على ‪ℝ‬‬
‫وقابلة لالشتقاق على 𝟏‪−𝟑 ,‬‬
‫∴ شروط نظرية القيمة المتوسطة محققة على 𝟏‪−𝟑 ,‬‬
‫∴ يوجد على األقل 𝒄 ∶ 𝟏‪ 𝒄 ∈ −𝟑,‬بحيث‬
‫𝒂 𝒇‪𝒇 𝒃 −‬‬
‫𝒂‪𝒃−‬‬

‫= 𝒄 ˈ𝒇‬

‫𝟑 𝒇‪𝒇 𝟏 −‬‬
‫𝟑‪𝟑−‬‬
‫=‬
‫𝟎=‬
‫𝟑‪𝟏 − −‬‬
‫𝟒‬
‫𝟐 ‪𝒇ˈ 𝒄 = 𝟐𝒄 +‬‬

‫‪,‬‬

‫=‬

‫𝟐 ‪∵ 𝒇ˈ 𝒙 = 𝟐𝒙 +‬‬
‫𝟎 = 𝟐 ‪𝟐𝒄 +‬‬

‫𝟏‪𝒄 = −‬‬

‫𝟐‪𝟐𝒄 = −‬‬

‫∴ يوجد مماس لمنحنى الدالة 𝒇 عند 𝟏‪ 𝒙 = −‬يوازي القاطع المار بالنقطتين‬
‫𝟑‪𝟏,𝟑 , −𝟑,‬‬

‫مثال (‪)2‬‬

‫كتاب الطالب ص‪133‬مثال )‪(2‬‬

‫بين أن الدالة 𝒇 ∶ 𝟏 ‪ 𝒇 𝒙 = 𝒙𝟑 +‬تحقق شروط نظرية القيمة‬
‫المتوسطة على الفترة 𝟑‪ ، −𝟑 ,‬ثم أوجد قيمة 𝒄 الذي‬
‫تنبئ به النظرية وفسر اجابتك‪.‬‬

‫الدالة 𝒇 دالة كثيرة حدود متصلة على ‪ℝ‬‬
‫الحل ‪:‬‬
‫فهي متصلة على الفترة 𝟑‪ −𝟑,‬وقابلة لالشتقاق على الفترة 𝟑‪. −𝟑,‬‬
‫∴ شروط نظرية القيمة المتوسطة محققة على الفترة 𝟑‪−𝟑,‬‬
‫∴ يوجد على األقل 𝟑‪ 𝒄 ∈ −𝟑 ,‬بحيث‪:‬‬
‫𝒂 𝒇‪𝒇 𝒃 −‬‬
‫= 𝒄 ˈ𝒇‬
‫𝒂‪𝒃−‬‬
‫𝟑‪𝒇 𝟑 − 𝒇 −‬‬
‫= 𝒄 ˈ𝒇‬
‫𝟑‪𝟑 − −‬‬
‫‪∵ 𝒇 −𝟑 = −𝟑 𝟑 + 𝟏 = −𝟐𝟔 ,‬‬
‫𝟖𝟐 = 𝟏 ‪𝒇 𝟑 = 𝟑𝟑 +‬‬
‫‪𝒇ˈ 𝒙 = 𝟑𝒙𝟑 ,‬‬
‫𝟐𝒄𝟑 = 𝒄 ˈ𝒇‬
‫𝟑‪𝒇 𝟑 − 𝒇 −‬‬
‫التفسير‬
‫= 𝟐𝒄𝟑 ∴‬
‫𝟑‪𝟑 − −‬‬
‫𝟔𝟐‪𝟐𝟖 − −‬‬
‫𝟒𝟓‬
‫يوجد مماسان لمنحنى الدالة 𝒇 عند‪:‬‬
‫= 𝟐𝒄𝟑‬
‫=‬
‫𝟗=‬
‫𝟑‪𝟑+‬‬
‫𝟔‬
‫𝟑 =𝒙‬
‫𝟑 ‪, 𝒙=−‬‬
‫𝟗‬
‫والمماسان يوازيان القاطع المار بالنقطتين‪:‬‬
‫𝟑 = = 𝟐𝒄‬
‫𝟑‬
‫𝟖𝟐‪−𝟑 , − 𝟐𝟔 , 𝟑 ,‬‬
‫‪𝒄 = 𝟑 ∈ ]-3,3[,‬‬
‫[‪𝒄 = − 𝟑 ∈ ]-3,3‬‬

‫بين أن الدالة 𝟐 ‪ 𝒇 𝒙 = 𝒙𝟑 − 𝟑𝒙 +‬تحقق شروط نظرية القيمة‬
‫المتوسطة على الفترة 𝟒‪ ، 𝟎,‬ثم أوجد 𝒄 الذي تنبئ به‬
‫النظرية وفسر إجابتك‪.‬‬

‫التقييم‬

‫حاول أن تحل‬
‫ص‪134‬رقم)‪(2‬‬

‫الحل ‪:‬‬

‫متصلة على 𝟒‪𝟎,‬‬

‫∵ الدالة 𝒇 دالة كثيرة حدود متصلة على ‪ℝ‬‬
‫وقابلة لالشتقاق على 𝟒‪𝟎,‬‬
‫∴ شروط نظرية القيمة المتوسطة محققه على 𝟒‪𝟎,‬‬
‫∴ يوجد على األقل ∁ ‪ ∁∈ 𝟎,𝟒 :‬بحيث‬
‫𝒂 𝒇‪𝒇 𝒃 −‬‬
‫= 𝒄 ˈ𝒇‬
‫𝒂‪𝒃−‬‬
‫𝟎 𝒇‪𝒇 𝟒 −‬‬
‫𝟕𝟐 𝟒𝟓‬
‫=‬
‫=‬
‫=‬
‫𝟎‪𝟒−‬‬
‫𝟒‬
‫𝟐‬
‫𝟐 ‪𝒇ˈ 𝒙 = 𝟑𝒙𝟐 −‬‬

‫𝟐 ‪𝒇ˈ 𝒄 = 𝟑𝒄𝟐 −‬‬

‫𝟕𝟐‬
‫𝟐‬
‫𝟗‬
‫= 𝟏 ‪𝒄𝟐 −‬‬
‫𝟐‬

‫= 𝟑 ‪∴ 𝟑𝒄𝟐 −‬‬

‫𝟒‪∉ 𝟎,‬‬

‫𝟏𝟏‬
‫𝟐‬

‫‪𝒄=−‬‬

‫‪,‬‬

‫∴ يوجد مماس لمنحنى الدالة 𝒇 عند‬
‫𝟒𝟓‪𝟎,𝟐 , 𝟒,‬‬

‫𝟒‪∈ 𝟎,‬‬

‫𝟏𝟏‬
‫𝟐‬

‫=𝒄 ∴‬

‫𝟏𝟏 = 𝒙 يوازي القاطع المار بالنقطتين‬
‫𝟐‬

‫الخاتمة‬

‫بند (‪ )3‬موضوعي‬
‫صـ‪54‬‬

‫ظلل 𝒂 إذا كانت العبارة صحيحة و 𝒃 إذا كانت العبارة خاطئة‬
‫الدالة 𝒇 ∶‬

‫𝟑‬

‫𝟐‬

‫𝒙 = 𝒙 𝒇 تحقق شروط نظرية القيمة المتوسطة على 𝟏‪𝟎,‬‬

‫‪b‬‬

‫‪a‬‬

‫التطبيق‬
‫كراس التمارين‬
‫ص ‪54‬رقم )‪(2‬‬


Slide 3

‫وزارة التربية‬
‫اإلدارة العامة لمنطقة مبارك الكبير التعليمية‬
‫ثانوية العدان بنات‬
‫قسم الرياضيات‬

‫المركز اإلقليمي لتطوير البرمجيات التعليمية‬

‫تطبيقات على اإلشتقاق‬
‫الصف الثاني عشر ‪ -‬علمي‬
‫بند (‪)3-2‬‬
‫عدد الحصص (‪)3‬‬

‫الحصة االولى‬
‫إعداد معلمات قسم الرياضيات‬
‫رئيسة القسم‬
‫أ‪ /‬نورة العجمي‬

‫الموجهة الفنية‬
‫مديرة المدرسة‬
‫أ‪ /‬منى المسري‬
‫دشتي‬

‫أ‪/‬فاطمة‬

‫البند (‪ / )3-2‬الحصة االولى‬

‫تزايد وتناقص الدوال‬

‫الهدف العام‬
‫تطبيق نظرية القيمة المتوسطة‬
‫األهداف‬
‫السلوكية‬
‫‪1‬يوجد متوسط معدل التغير لدالة على فترة ما‪.‬‬
‫‪-2‬يذكر نظرية القيمة المتوسطة‪.‬‬
‫‪-3‬يحل تمارين باستخدام نظرية القيمة المتوسطة‪.‬‬

‫الوسائل‬
‫المستخدمة‬

‫المعلم‬

‫المتعلم‬

‫األقالم‬

‫كتاب الطالب‬

‫السبورة‬

‫كراس التمارين‬

‫داتا شو‬

‫الة حاسبة‬

‫المفردات‬
‫والمصطلحات‬
‫نظرية القيمة المتوسطة‬
‫االخطاء‬
‫المتوقعة‬

‫التمهيد‬

‫المستقيم القاطع‬
‫‪y‬‬
‫‪3‬‬

‫‪B‬‬

‫دعنا نفكر ونتناقش‬

‫‪2‬‬
‫‪1‬‬

‫إذا كانت 𝟏 ‪ 𝒇 𝒙 = 𝒙𝟐 −‬فأجب عما يلي‪:‬‬

‫‪ (1‬ارسم المستقيم المار بالنقطتين‬
‫𝑩𝑨 𝒎‪.‬‬

‫𝟐 𝒇‪, 𝑩 𝟐 ,‬‬

‫‪x‬‬

‫‪2‬‬

‫وهل 𝒇 قابلة لالشتقاق على الفترة 𝟐‪ −𝟏,‬؟‬
‫𝟏‬

‫‪ )4‬استنتج العالقة بين ‪.1 , 3‬‬

‫‪-2‬‬

‫𝟏‪ 𝑨 −𝟏 ,𝒇 −‬ثم أوجد الميل‬

‫‪ (2‬هل الدالة 𝒇 متصلة على 𝟐‪ −𝟏 ,‬؟‬

‫‪ )3‬أوجد ميل المماس لمنحنى 𝒇 عند 𝟐 = 𝒙‬

‫‪1‬‬

‫‪-1‬‬

‫‪A‬‬
‫‪-1‬‬

‫الحظ أن 𝟐 ‪∈ −𝟏 ,‬‬

‫𝟏‬
‫𝟐‬

‫التمهيد‬

‫المستقيم القاطع‬
‫‪y‬‬
‫‪3‬‬

‫‪B‬‬

‫دعنا نفكر ونتناقش‬

‫‪2‬‬
‫‪1‬‬

‫إذا كانت 𝟏 ‪ 𝒇 𝒙 = 𝒙𝟐 −‬فأجب عما يلي‪:‬‬

‫‪ (1‬ارسم المستقيم المار بالنقطتين‬
‫𝑩𝑨 𝒎‪.‬‬

‫‪x‬‬

‫𝟐 𝒇‪, 𝑩 𝟐 ,‬‬

‫‪2‬‬

‫وهل 𝒇 قابلة لالشتقاق على الفترة 𝟐‪ −𝟏,‬؟ ‪=1‬‬

‫‪-2‬‬

‫𝟏‪ 𝑨 −𝟏 ,𝒇 −‬ثم أوجد الميل‬

‫‪ (2‬هل الدالة 𝒇 متصلة على 𝟐‪ −𝟏 ,‬؟ نعم‬
‫𝟏‬
‫𝟐‬

‫‪1‬‬

‫‪-1‬‬

‫‪A‬‬
‫‪-1‬‬

‫`𝒇‬

‫𝟏‬

‫الحظ أن 𝟐 ‪∈ −𝟏 ,‬‬
‫‪ )3‬أوجد ميل المماس لمنحنى 𝒇 عند 𝟐 = 𝒙‬
‫ميل المماس = ‪1‬‬
‫‪ )4‬استنتج العالقة بين ‪ .1 , 3‬المستقيمان متوازيان‬

‫𝟏‬
‫𝟐‬

‫التدريس‬
‫تربط نظرية القيمة المتوسطة بين متوسط معدل تغير دالة على فترة‬

‫مماس مواز للقاطع‬

‫ما‪ ،‬ومعدل التغير للدالة عند نقطة تنتمي إلى هذه الفترة‪.‬‬

‫ميل المماس = 𝑐 ‪𝑓′‬‬
‫𝐵‬

‫تمكن نتائجها القوية في صميم بعض التطبيقات الكثيرة األهمية في علم‬
‫𝐴‬

‫حساب التفاضل والتكامل‪.‬‬
‫𝑥‬

‫𝑏‬

‫تقول النظرية انه في مكان ما بين النقطتين ‪A,B‬منحنى دالة قابلة‬
‫لالشتقاق‪ ،‬يوجد على األقل خط مماس واحد يوازي قاطع المنحنى‬
‫𝑩𝑨 ‪.‬‬
‫𝑦‬

‫𝒂 𝒇‪𝒇 𝒃 −‬‬
‫= 𝑩𝑨 𝒎‬
‫𝒂‪𝒃−‬‬
‫𝑥‬

‫𝑏‬

‫‪𝑐₂‬‬

‫‪𝑐₁‬‬

‫𝑎‬

‫𝑎‬
‫𝑐‬
‫𝑥 𝑓=𝑦‬

‫‪y‬‬

‫نظرية‬
‫(‪)3‬‬

‫نظرية القيمة المتوسطة‬

‫إذا كانت 𝒇 دالة‬
‫‪ )1‬متصلة على الفترة 𝒃‪𝒂,‬‬
‫‪ )2‬قابلة لالشتقاق على الفترة 𝒃‪𝒂,‬‬
‫فإنه يوجد على األقل 𝒃‪ 𝒄 ∈ 𝒂,‬بحيث‬
‫𝒂 𝒇‪𝒇 𝒃 −‬‬
‫= 𝒄 ˈ𝒇‬
‫𝒂‪𝒃−‬‬
‫انتبه‬
‫شروط النظرية كافية وليست الزمة أي ان توفر الشروط يؤكد وجود 𝒄‬
‫وعدم تحقق أحد الشرطين ال يعني بالضرورة عدم وجود 𝒄‬

‫مالحظات هامة‪:‬‬

‫‪ )1‬إذا لم يتحقق أحد شرطي النظرية (‪ )3‬فإنه قد ال يكون لبيان الدالة مماس موازي للقاطع 𝑩𝑨‪.‬‬
‫فمثال 𝒙 = 𝒙 𝒇 متصلة على الفترة 𝟏‪ ، −𝟏 ,‬وقابلة لالشتقاق عند كل 𝒙 تنتمي إلى 𝟏‪−𝟏 ,‬‬
‫باستثناء عند 𝟎 = 𝒙 ‪.‬‬
‫بيان الدالة ليس مماس يوازي 𝑩𝑨 (شكل ‪)2‬‬

‫𝑦‬

‫𝑥 =𝑦‬

‫‪1‬‬
‫𝐵‬

‫𝑥‬

‫𝐴‬

‫‪1‬‬

‫‪-1‬‬
‫شكل (‪)2‬‬

‫‪ )2‬يبين شكل (‪ )3‬بيان دالة 𝒇 قابلة لالشتقاق عند كل 𝒙 تنتمي إلى الفترة 𝒃‪𝒂 ,‬‬
‫ومتصلة على الفترة 𝒃‪ 𝒂 ,‬ولكن ال يوجد مماس يوازي 𝑩𝑨‪.‬‬

‫𝑥 𝑓=𝑦‬

‫𝐴‬

‫𝐵‬

‫𝑎‬

‫𝑏‬

‫شكل (‪)3‬‬

‫‪ )3‬بيان الدالة في الشكل (‪ )4‬يبين نقطة انفصال وبالرغم من عدم توفر شرط من‬
‫شروط نظرية القيمة المتوسطة إال انه يوجد مماس للمنحنى عند 𝒄 يوازي 𝑩𝑨‬
‫𝑦‬

‫𝐴‬

‫𝑥‬

‫𝑏‬

‫𝑐‬

‫𝐵‬
‫شكل (‪)4‬‬

‫𝑎‬

‫‪ )4‬يمكن إيجاد اكثر من نقطة واحدة بحيث 𝒃‪, 𝒄 ∈ 𝒂,‬‬
‫المماس عند كل النقاط‬

‫𝒂 𝒇‪𝒇 𝒃 −‬‬
‫𝒂‪𝒃−‬‬

‫= 𝒄 ˈ𝒇 أي ان‬

‫‪ 𝒄₁,𝒇 𝒄₁‬يوازي 𝑩𝑨 كما في الشكل (‪.)5‬‬

‫‪, 𝒄₂ ,𝒇 𝒄₂‬‬

‫𝑦‬

‫𝑏‬

‫𝑥‬

‫‪𝑐₁‬‬

‫‪𝑐₂‬‬

‫𝑎‬

‫شكل (‪)5‬‬

‫‪ )5‬في نظرية القيمة المتوسطة إذا كان 𝒃 𝒇 = 𝒂 𝒇 فإن 𝟎 = 𝒄 ˈ𝒇 أي ان‬
‫المماس للمنحنى عند 𝒄 يوازي القاطع ويوازي محور السينات أي أن المماس‬
‫افقي كما في الشكل‬
‫𝑦‬

‫𝐵‬

‫𝑥‬

‫𝐴‬

‫𝑏‬

‫𝑐‬
‫شكل (‪)6‬‬

‫𝑎‬

‫مثال (‪)1‬‬

‫كتاب الطالب ص‪133‬مثال )‪(1‬‬

‫الحل ‪:‬‬

‫بين أن الدالة 𝒇 ∶ ‪ 𝒇 𝒙 = 𝒙²‬تحقق شروط نظرية القيمة‬
‫المتوسطة على الفترة 𝟐‪ ، 𝟎,‬ثم أوجد 𝒄 الذي تنبئ به‬
‫النظرية وفسر إجابتك‪.‬‬

‫الدالة 𝒇 ∶ ‪ 𝒇 𝒙 = 𝒙²‬دالة كثيرة حدود متصلة على ‪ℝ‬‬
‫فهي متصلة على الفترة 𝟐‪ ، 𝟎,‬وقابلة لالشتقاق على 𝟐‪. 𝟎,‬‬
‫∴ شروط نظرية القيمة المتوسطة محققة على الفترة 𝟐‪. 𝟎,‬‬
‫∴ يوجد على األقل 𝟐‪ 𝒄 ∈ 𝟎,‬بحيث‪𝒇 𝒃 − 𝒇 𝒂 :‬‬
‫= 𝒄 ˈ𝒇‬
‫𝒂‪𝒃−‬‬
‫𝟎 𝒇‪𝒇 𝟐 −‬‬
‫=‬
‫𝟎‪𝟐−‬‬
‫𝟒 = 𝟐𝟐 = 𝟐 𝒇 ‪∵ 𝒇 𝟎 = 𝟎 𝟐 = 𝟎 ,‬‬
‫𝒙𝟐 = 𝒙 ˈ𝒇‬
‫𝒄𝟐 = 𝒄 ˈ𝒇 ‪,‬‬
‫𝟎 𝒇‪𝒇 𝟐 −‬‬
‫𝟎‪𝟐−‬‬
‫𝟎‪𝟒−‬‬
‫= 𝒄𝟐‬
‫𝟎‪𝟐−‬‬
‫𝟐 = 𝒄𝟐‬
‫𝟏=𝒄‬

‫= 𝒄𝟐 ∴‬

‫التفسير‬
‫يوجد مماس لمنحنى الدالة 𝒇 عند 𝟏 = 𝒙‬
‫يوازي القاطع المار بالنقطتين 𝟒‪𝟎,𝟎 , 𝟐,‬‬

‫التقييم‬

‫حاول أن تحل‬
‫ص‪133‬رقم)‪(1‬‬

‫الحل ‪:‬‬

‫بين أن الدالة 𝒙𝟐 ‪ 𝒇 𝒙 = 𝒙2 +‬تحقق شروط نظرية القيمة‬
‫المتوسطة على الفترة 𝟏‪ ، −𝟑 ,‬ثم أوجد قيمة 𝒄 الذي تنبئ‬
‫به النظرية وفسر اجابتك‬
‫متصلة على 𝟏‪−𝟑 ,‬‬

‫∵ الدالة 𝒇 دالة كثيرة حدود متصلة على ‪ℝ‬‬
‫وقابلة لالشتقاق على 𝟏‪−𝟑 ,‬‬
‫∴ شروط نظرية القيمة المتوسطة محققة على 𝟏‪−𝟑 ,‬‬
‫∴ يوجد على األقل 𝒄 ∶ 𝟏‪ 𝒄 ∈ −𝟑,‬بحيث‬
‫𝒂 𝒇‪𝒇 𝒃 −‬‬
‫𝒂‪𝒃−‬‬

‫= 𝒄 ˈ𝒇‬

‫𝟑 𝒇‪𝒇 𝟏 −‬‬
‫𝟑‪𝟑−‬‬
‫=‬
‫𝟎=‬
‫𝟑‪𝟏 − −‬‬
‫𝟒‬
‫𝟐 ‪𝒇ˈ 𝒄 = 𝟐𝒄 +‬‬

‫‪,‬‬

‫=‬

‫𝟐 ‪∵ 𝒇ˈ 𝒙 = 𝟐𝒙 +‬‬
‫𝟎 = 𝟐 ‪𝟐𝒄 +‬‬

‫𝟏‪𝒄 = −‬‬

‫𝟐‪𝟐𝒄 = −‬‬

‫∴ يوجد مماس لمنحنى الدالة 𝒇 عند 𝟏‪ 𝒙 = −‬يوازي القاطع المار بالنقطتين‬
‫𝟑‪𝟏,𝟑 , −𝟑,‬‬

‫مثال (‪)2‬‬

‫كتاب الطالب ص‪133‬مثال )‪(2‬‬

‫بين أن الدالة 𝒇 ∶ 𝟏 ‪ 𝒇 𝒙 = 𝒙𝟑 +‬تحقق شروط نظرية القيمة‬
‫المتوسطة على الفترة 𝟑‪ ، −𝟑 ,‬ثم أوجد قيمة 𝒄 الذي‬
‫تنبئ به النظرية وفسر اجابتك‪.‬‬

‫الدالة 𝒇 دالة كثيرة حدود متصلة على ‪ℝ‬‬
‫الحل ‪:‬‬
‫فهي متصلة على الفترة 𝟑‪ −𝟑,‬وقابلة لالشتقاق على الفترة 𝟑‪. −𝟑,‬‬
‫∴ شروط نظرية القيمة المتوسطة محققة على الفترة 𝟑‪−𝟑,‬‬
‫∴ يوجد على األقل 𝟑‪ 𝒄 ∈ −𝟑 ,‬بحيث‪:‬‬
‫𝒂 𝒇‪𝒇 𝒃 −‬‬
‫= 𝒄 ˈ𝒇‬
‫𝒂‪𝒃−‬‬
‫𝟑‪𝒇 𝟑 − 𝒇 −‬‬
‫= 𝒄 ˈ𝒇‬
‫𝟑‪𝟑 − −‬‬
‫‪∵ 𝒇 −𝟑 = −𝟑 𝟑 + 𝟏 = −𝟐𝟔 ,‬‬
‫𝟖𝟐 = 𝟏 ‪𝒇 𝟑 = 𝟑𝟑 +‬‬
‫‪𝒇ˈ 𝒙 = 𝟑𝒙𝟑 ,‬‬
‫𝟐𝒄𝟑 = 𝒄 ˈ𝒇‬
‫𝟑‪𝒇 𝟑 − 𝒇 −‬‬
‫التفسير‬
‫= 𝟐𝒄𝟑 ∴‬
‫𝟑‪𝟑 − −‬‬
‫𝟔𝟐‪𝟐𝟖 − −‬‬
‫𝟒𝟓‬
‫يوجد مماسان لمنحنى الدالة 𝒇 عند‪:‬‬
‫= 𝟐𝒄𝟑‬
‫=‬
‫𝟗=‬
‫𝟑‪𝟑+‬‬
‫𝟔‬
‫𝟑 =𝒙‬
‫𝟑 ‪, 𝒙=−‬‬
‫𝟗‬
‫والمماسان يوازيان القاطع المار بالنقطتين‪:‬‬
‫𝟑 = = 𝟐𝒄‬
‫𝟑‬
‫𝟖𝟐‪−𝟑 , − 𝟐𝟔 , 𝟑 ,‬‬
‫‪𝒄 = 𝟑 ∈ ]-3,3[,‬‬
‫[‪𝒄 = − 𝟑 ∈ ]-3,3‬‬

‫بين أن الدالة 𝟐 ‪ 𝒇 𝒙 = 𝒙𝟑 − 𝟑𝒙 +‬تحقق شروط نظرية القيمة‬
‫المتوسطة على الفترة 𝟒‪ ، 𝟎,‬ثم أوجد 𝒄 الذي تنبئ به‬
‫النظرية وفسر إجابتك‪.‬‬

‫التقييم‬

‫حاول أن تحل‬
‫ص‪134‬رقم)‪(2‬‬

‫الحل ‪:‬‬

‫متصلة على 𝟒‪𝟎,‬‬

‫∵ الدالة 𝒇 دالة كثيرة حدود متصلة على ‪ℝ‬‬
‫وقابلة لالشتقاق على 𝟒‪𝟎,‬‬
‫∴ شروط نظرية القيمة المتوسطة محققه على 𝟒‪𝟎,‬‬
‫∴ يوجد على األقل ∁ ‪ ∁∈ 𝟎,𝟒 :‬بحيث‬
‫𝒂 𝒇‪𝒇 𝒃 −‬‬
‫= 𝒄 ˈ𝒇‬
‫𝒂‪𝒃−‬‬
‫𝟎 𝒇‪𝒇 𝟒 −‬‬
‫𝟕𝟐 𝟒𝟓‬
‫=‬
‫=‬
‫=‬
‫𝟎‪𝟒−‬‬
‫𝟒‬
‫𝟐‬
‫𝟐 ‪𝒇ˈ 𝒙 = 𝟑𝒙𝟐 −‬‬

‫𝟐 ‪𝒇ˈ 𝒄 = 𝟑𝒄𝟐 −‬‬

‫𝟕𝟐‬
‫𝟐‬
‫𝟗‬
‫= 𝟏 ‪𝒄𝟐 −‬‬
‫𝟐‬

‫= 𝟑 ‪∴ 𝟑𝒄𝟐 −‬‬

‫𝟒‪∉ 𝟎,‬‬

‫𝟏𝟏‬
‫𝟐‬

‫‪𝒄=−‬‬

‫‪,‬‬

‫∴ يوجد مماس لمنحنى الدالة 𝒇 عند‬
‫𝟒𝟓‪𝟎,𝟐 , 𝟒,‬‬

‫𝟒‪∈ 𝟎,‬‬

‫𝟏𝟏‬
‫𝟐‬

‫=𝒄 ∴‬

‫𝟏𝟏 = 𝒙 يوازي القاطع المار بالنقطتين‬
‫𝟐‬

‫الخاتمة‬

‫بند (‪ )3‬موضوعي‬
‫صـ‪54‬‬

‫ظلل 𝒂 إذا كانت العبارة صحيحة و 𝒃 إذا كانت العبارة خاطئة‬
‫الدالة 𝒇 ∶‬

‫𝟑‬

‫𝟐‬

‫𝒙 = 𝒙 𝒇 تحقق شروط نظرية القيمة المتوسطة على 𝟏‪𝟎,‬‬

‫‪b‬‬

‫‪a‬‬

‫التطبيق‬
‫كراس التمارين‬
‫ص ‪54‬رقم )‪(2‬‬


Slide 4

‫وزارة التربية‬
‫اإلدارة العامة لمنطقة مبارك الكبير التعليمية‬
‫ثانوية العدان بنات‬
‫قسم الرياضيات‬

‫المركز اإلقليمي لتطوير البرمجيات التعليمية‬

‫تطبيقات على اإلشتقاق‬
‫الصف الثاني عشر ‪ -‬علمي‬
‫بند (‪)3-2‬‬
‫عدد الحصص (‪)3‬‬

‫الحصة االولى‬
‫إعداد معلمات قسم الرياضيات‬
‫رئيسة القسم‬
‫أ‪ /‬نورة العجمي‬

‫الموجهة الفنية‬
‫مديرة المدرسة‬
‫أ‪ /‬منى المسري‬
‫دشتي‬

‫أ‪/‬فاطمة‬

‫البند (‪ / )3-2‬الحصة االولى‬

‫تزايد وتناقص الدوال‬

‫الهدف العام‬
‫تطبيق نظرية القيمة المتوسطة‬
‫األهداف‬
‫السلوكية‬
‫‪1‬يوجد متوسط معدل التغير لدالة على فترة ما‪.‬‬
‫‪-2‬يذكر نظرية القيمة المتوسطة‪.‬‬
‫‪-3‬يحل تمارين باستخدام نظرية القيمة المتوسطة‪.‬‬

‫الوسائل‬
‫المستخدمة‬

‫المعلم‬

‫المتعلم‬

‫األقالم‬

‫كتاب الطالب‬

‫السبورة‬

‫كراس التمارين‬

‫داتا شو‬

‫الة حاسبة‬

‫المفردات‬
‫والمصطلحات‬
‫نظرية القيمة المتوسطة‬
‫االخطاء‬
‫المتوقعة‬

‫التمهيد‬

‫المستقيم القاطع‬
‫‪y‬‬
‫‪3‬‬

‫‪B‬‬

‫دعنا نفكر ونتناقش‬

‫‪2‬‬
‫‪1‬‬

‫إذا كانت 𝟏 ‪ 𝒇 𝒙 = 𝒙𝟐 −‬فأجب عما يلي‪:‬‬

‫‪ (1‬ارسم المستقيم المار بالنقطتين‬
‫𝑩𝑨 𝒎‪.‬‬

‫𝟐 𝒇‪, 𝑩 𝟐 ,‬‬

‫‪x‬‬

‫‪2‬‬

‫وهل 𝒇 قابلة لالشتقاق على الفترة 𝟐‪ −𝟏,‬؟‬
‫𝟏‬

‫‪ )4‬استنتج العالقة بين ‪.1 , 3‬‬

‫‪-2‬‬

‫𝟏‪ 𝑨 −𝟏 ,𝒇 −‬ثم أوجد الميل‬

‫‪ (2‬هل الدالة 𝒇 متصلة على 𝟐‪ −𝟏 ,‬؟‬

‫‪ )3‬أوجد ميل المماس لمنحنى 𝒇 عند 𝟐 = 𝒙‬

‫‪1‬‬

‫‪-1‬‬

‫‪A‬‬
‫‪-1‬‬

‫الحظ أن 𝟐 ‪∈ −𝟏 ,‬‬

‫𝟏‬
‫𝟐‬

‫التمهيد‬

‫المستقيم القاطع‬
‫‪y‬‬
‫‪3‬‬

‫‪B‬‬

‫دعنا نفكر ونتناقش‬

‫‪2‬‬
‫‪1‬‬

‫إذا كانت 𝟏 ‪ 𝒇 𝒙 = 𝒙𝟐 −‬فأجب عما يلي‪:‬‬

‫‪ (1‬ارسم المستقيم المار بالنقطتين‬
‫𝑩𝑨 𝒎‪.‬‬

‫‪x‬‬

‫𝟐 𝒇‪, 𝑩 𝟐 ,‬‬

‫‪2‬‬

‫وهل 𝒇 قابلة لالشتقاق على الفترة 𝟐‪ −𝟏,‬؟ ‪=1‬‬

‫‪-2‬‬

‫𝟏‪ 𝑨 −𝟏 ,𝒇 −‬ثم أوجد الميل‬

‫‪ (2‬هل الدالة 𝒇 متصلة على 𝟐‪ −𝟏 ,‬؟ نعم‬
‫𝟏‬
‫𝟐‬

‫‪1‬‬

‫‪-1‬‬

‫‪A‬‬
‫‪-1‬‬

‫`𝒇‬

‫𝟏‬

‫الحظ أن 𝟐 ‪∈ −𝟏 ,‬‬
‫‪ )3‬أوجد ميل المماس لمنحنى 𝒇 عند 𝟐 = 𝒙‬
‫ميل المماس = ‪1‬‬
‫‪ )4‬استنتج العالقة بين ‪ .1 , 3‬المستقيمان متوازيان‬

‫𝟏‬
‫𝟐‬

‫التدريس‬
‫تربط نظرية القيمة المتوسطة بين متوسط معدل تغير دالة على فترة‬

‫مماس مواز للقاطع‬

‫ما‪ ،‬ومعدل التغير للدالة عند نقطة تنتمي إلى هذه الفترة‪.‬‬

‫ميل المماس = 𝑐 ‪𝑓′‬‬
‫𝐵‬

‫تمكن نتائجها القوية في صميم بعض التطبيقات الكثيرة األهمية في علم‬
‫𝐴‬

‫حساب التفاضل والتكامل‪.‬‬
‫𝑥‬

‫𝑏‬

‫تقول النظرية انه في مكان ما بين النقطتين ‪A,B‬منحنى دالة قابلة‬
‫لالشتقاق‪ ،‬يوجد على األقل خط مماس واحد يوازي قاطع المنحنى‬
‫𝑩𝑨 ‪.‬‬
‫𝑦‬

‫𝒂 𝒇‪𝒇 𝒃 −‬‬
‫= 𝑩𝑨 𝒎‬
‫𝒂‪𝒃−‬‬
‫𝑥‬

‫𝑏‬

‫‪𝑐₂‬‬

‫‪𝑐₁‬‬

‫𝑎‬

‫𝑎‬
‫𝑐‬
‫𝑥 𝑓=𝑦‬

‫‪y‬‬

‫نظرية‬
‫(‪)3‬‬

‫نظرية القيمة المتوسطة‬

‫إذا كانت 𝒇 دالة‬
‫‪ )1‬متصلة على الفترة 𝒃‪𝒂,‬‬
‫‪ )2‬قابلة لالشتقاق على الفترة 𝒃‪𝒂,‬‬
‫فإنه يوجد على األقل 𝒃‪ 𝒄 ∈ 𝒂,‬بحيث‬
‫𝒂 𝒇‪𝒇 𝒃 −‬‬
‫= 𝒄 ˈ𝒇‬
‫𝒂‪𝒃−‬‬
‫انتبه‬
‫شروط النظرية كافية وليست الزمة أي ان توفر الشروط يؤكد وجود 𝒄‬
‫وعدم تحقق أحد الشرطين ال يعني بالضرورة عدم وجود 𝒄‬

‫مالحظات هامة‪:‬‬

‫‪ )1‬إذا لم يتحقق أحد شرطي النظرية (‪ )3‬فإنه قد ال يكون لبيان الدالة مماس موازي للقاطع 𝑩𝑨‪.‬‬
‫فمثال 𝒙 = 𝒙 𝒇 متصلة على الفترة 𝟏‪ ، −𝟏 ,‬وقابلة لالشتقاق عند كل 𝒙 تنتمي إلى 𝟏‪−𝟏 ,‬‬
‫باستثناء عند 𝟎 = 𝒙 ‪.‬‬
‫بيان الدالة ليس مماس يوازي 𝑩𝑨 (شكل ‪)2‬‬

‫𝑦‬

‫𝑥 =𝑦‬

‫‪1‬‬
‫𝐵‬

‫𝑥‬

‫𝐴‬

‫‪1‬‬

‫‪-1‬‬
‫شكل (‪)2‬‬

‫‪ )2‬يبين شكل (‪ )3‬بيان دالة 𝒇 قابلة لالشتقاق عند كل 𝒙 تنتمي إلى الفترة 𝒃‪𝒂 ,‬‬
‫ومتصلة على الفترة 𝒃‪ 𝒂 ,‬ولكن ال يوجد مماس يوازي 𝑩𝑨‪.‬‬

‫𝑥 𝑓=𝑦‬

‫𝐴‬

‫𝐵‬

‫𝑎‬

‫𝑏‬

‫شكل (‪)3‬‬

‫‪ )3‬بيان الدالة في الشكل (‪ )4‬يبين نقطة انفصال وبالرغم من عدم توفر شرط من‬
‫شروط نظرية القيمة المتوسطة إال انه يوجد مماس للمنحنى عند 𝒄 يوازي 𝑩𝑨‬
‫𝑦‬

‫𝐴‬

‫𝑥‬

‫𝑏‬

‫𝑐‬

‫𝐵‬
‫شكل (‪)4‬‬

‫𝑎‬

‫‪ )4‬يمكن إيجاد اكثر من نقطة واحدة بحيث 𝒃‪, 𝒄 ∈ 𝒂,‬‬
‫المماس عند كل النقاط‬

‫𝒂 𝒇‪𝒇 𝒃 −‬‬
‫𝒂‪𝒃−‬‬

‫= 𝒄 ˈ𝒇 أي ان‬

‫‪ 𝒄₁,𝒇 𝒄₁‬يوازي 𝑩𝑨 كما في الشكل (‪.)5‬‬

‫‪, 𝒄₂ ,𝒇 𝒄₂‬‬

‫𝑦‬

‫𝑏‬

‫𝑥‬

‫‪𝑐₁‬‬

‫‪𝑐₂‬‬

‫𝑎‬

‫شكل (‪)5‬‬

‫‪ )5‬في نظرية القيمة المتوسطة إذا كان 𝒃 𝒇 = 𝒂 𝒇 فإن 𝟎 = 𝒄 ˈ𝒇 أي ان‬
‫المماس للمنحنى عند 𝒄 يوازي القاطع ويوازي محور السينات أي أن المماس‬
‫افقي كما في الشكل‬
‫𝑦‬

‫𝐵‬

‫𝑥‬

‫𝐴‬

‫𝑏‬

‫𝑐‬
‫شكل (‪)6‬‬

‫𝑎‬

‫مثال (‪)1‬‬

‫كتاب الطالب ص‪133‬مثال )‪(1‬‬

‫الحل ‪:‬‬

‫بين أن الدالة 𝒇 ∶ ‪ 𝒇 𝒙 = 𝒙²‬تحقق شروط نظرية القيمة‬
‫المتوسطة على الفترة 𝟐‪ ، 𝟎,‬ثم أوجد 𝒄 الذي تنبئ به‬
‫النظرية وفسر إجابتك‪.‬‬

‫الدالة 𝒇 ∶ ‪ 𝒇 𝒙 = 𝒙²‬دالة كثيرة حدود متصلة على ‪ℝ‬‬
‫فهي متصلة على الفترة 𝟐‪ ، 𝟎,‬وقابلة لالشتقاق على 𝟐‪. 𝟎,‬‬
‫∴ شروط نظرية القيمة المتوسطة محققة على الفترة 𝟐‪. 𝟎,‬‬
‫∴ يوجد على األقل 𝟐‪ 𝒄 ∈ 𝟎,‬بحيث‪𝒇 𝒃 − 𝒇 𝒂 :‬‬
‫= 𝒄 ˈ𝒇‬
‫𝒂‪𝒃−‬‬
‫𝟎 𝒇‪𝒇 𝟐 −‬‬
‫=‬
‫𝟎‪𝟐−‬‬
‫𝟒 = 𝟐𝟐 = 𝟐 𝒇 ‪∵ 𝒇 𝟎 = 𝟎 𝟐 = 𝟎 ,‬‬
‫𝒙𝟐 = 𝒙 ˈ𝒇‬
‫𝒄𝟐 = 𝒄 ˈ𝒇 ‪,‬‬
‫𝟎 𝒇‪𝒇 𝟐 −‬‬
‫𝟎‪𝟐−‬‬
‫𝟎‪𝟒−‬‬
‫= 𝒄𝟐‬
‫𝟎‪𝟐−‬‬
‫𝟐 = 𝒄𝟐‬
‫𝟏=𝒄‬

‫= 𝒄𝟐 ∴‬

‫التفسير‬
‫يوجد مماس لمنحنى الدالة 𝒇 عند 𝟏 = 𝒙‬
‫يوازي القاطع المار بالنقطتين 𝟒‪𝟎,𝟎 , 𝟐,‬‬

‫التقييم‬

‫حاول أن تحل‬
‫ص‪133‬رقم)‪(1‬‬

‫الحل ‪:‬‬

‫بين أن الدالة 𝒙𝟐 ‪ 𝒇 𝒙 = 𝒙2 +‬تحقق شروط نظرية القيمة‬
‫المتوسطة على الفترة 𝟏‪ ، −𝟑 ,‬ثم أوجد قيمة 𝒄 الذي تنبئ‬
‫به النظرية وفسر اجابتك‬
‫متصلة على 𝟏‪−𝟑 ,‬‬

‫∵ الدالة 𝒇 دالة كثيرة حدود متصلة على ‪ℝ‬‬
‫وقابلة لالشتقاق على 𝟏‪−𝟑 ,‬‬
‫∴ شروط نظرية القيمة المتوسطة محققة على 𝟏‪−𝟑 ,‬‬
‫∴ يوجد على األقل 𝒄 ∶ 𝟏‪ 𝒄 ∈ −𝟑,‬بحيث‬
‫𝒂 𝒇‪𝒇 𝒃 −‬‬
‫𝒂‪𝒃−‬‬

‫= 𝒄 ˈ𝒇‬

‫𝟑 𝒇‪𝒇 𝟏 −‬‬
‫𝟑‪𝟑−‬‬
‫=‬
‫𝟎=‬
‫𝟑‪𝟏 − −‬‬
‫𝟒‬
‫𝟐 ‪𝒇ˈ 𝒄 = 𝟐𝒄 +‬‬

‫‪,‬‬

‫=‬

‫𝟐 ‪∵ 𝒇ˈ 𝒙 = 𝟐𝒙 +‬‬
‫𝟎 = 𝟐 ‪𝟐𝒄 +‬‬

‫𝟏‪𝒄 = −‬‬

‫𝟐‪𝟐𝒄 = −‬‬

‫∴ يوجد مماس لمنحنى الدالة 𝒇 عند 𝟏‪ 𝒙 = −‬يوازي القاطع المار بالنقطتين‬
‫𝟑‪𝟏,𝟑 , −𝟑,‬‬

‫مثال (‪)2‬‬

‫كتاب الطالب ص‪133‬مثال )‪(2‬‬

‫بين أن الدالة 𝒇 ∶ 𝟏 ‪ 𝒇 𝒙 = 𝒙𝟑 +‬تحقق شروط نظرية القيمة‬
‫المتوسطة على الفترة 𝟑‪ ، −𝟑 ,‬ثم أوجد قيمة 𝒄 الذي‬
‫تنبئ به النظرية وفسر اجابتك‪.‬‬

‫الدالة 𝒇 دالة كثيرة حدود متصلة على ‪ℝ‬‬
‫الحل ‪:‬‬
‫فهي متصلة على الفترة 𝟑‪ −𝟑,‬وقابلة لالشتقاق على الفترة 𝟑‪. −𝟑,‬‬
‫∴ شروط نظرية القيمة المتوسطة محققة على الفترة 𝟑‪−𝟑,‬‬
‫∴ يوجد على األقل 𝟑‪ 𝒄 ∈ −𝟑 ,‬بحيث‪:‬‬
‫𝒂 𝒇‪𝒇 𝒃 −‬‬
‫= 𝒄 ˈ𝒇‬
‫𝒂‪𝒃−‬‬
‫𝟑‪𝒇 𝟑 − 𝒇 −‬‬
‫= 𝒄 ˈ𝒇‬
‫𝟑‪𝟑 − −‬‬
‫‪∵ 𝒇 −𝟑 = −𝟑 𝟑 + 𝟏 = −𝟐𝟔 ,‬‬
‫𝟖𝟐 = 𝟏 ‪𝒇 𝟑 = 𝟑𝟑 +‬‬
‫‪𝒇ˈ 𝒙 = 𝟑𝒙𝟑 ,‬‬
‫𝟐𝒄𝟑 = 𝒄 ˈ𝒇‬
‫𝟑‪𝒇 𝟑 − 𝒇 −‬‬
‫التفسير‬
‫= 𝟐𝒄𝟑 ∴‬
‫𝟑‪𝟑 − −‬‬
‫𝟔𝟐‪𝟐𝟖 − −‬‬
‫𝟒𝟓‬
‫يوجد مماسان لمنحنى الدالة 𝒇 عند‪:‬‬
‫= 𝟐𝒄𝟑‬
‫=‬
‫𝟗=‬
‫𝟑‪𝟑+‬‬
‫𝟔‬
‫𝟑 =𝒙‬
‫𝟑 ‪, 𝒙=−‬‬
‫𝟗‬
‫والمماسان يوازيان القاطع المار بالنقطتين‪:‬‬
‫𝟑 = = 𝟐𝒄‬
‫𝟑‬
‫𝟖𝟐‪−𝟑 , − 𝟐𝟔 , 𝟑 ,‬‬
‫‪𝒄 = 𝟑 ∈ ]-3,3[,‬‬
‫[‪𝒄 = − 𝟑 ∈ ]-3,3‬‬

‫بين أن الدالة 𝟐 ‪ 𝒇 𝒙 = 𝒙𝟑 − 𝟑𝒙 +‬تحقق شروط نظرية القيمة‬
‫المتوسطة على الفترة 𝟒‪ ، 𝟎,‬ثم أوجد 𝒄 الذي تنبئ به‬
‫النظرية وفسر إجابتك‪.‬‬

‫التقييم‬

‫حاول أن تحل‬
‫ص‪134‬رقم)‪(2‬‬

‫الحل ‪:‬‬

‫متصلة على 𝟒‪𝟎,‬‬

‫∵ الدالة 𝒇 دالة كثيرة حدود متصلة على ‪ℝ‬‬
‫وقابلة لالشتقاق على 𝟒‪𝟎,‬‬
‫∴ شروط نظرية القيمة المتوسطة محققه على 𝟒‪𝟎,‬‬
‫∴ يوجد على األقل ∁ ‪ ∁∈ 𝟎,𝟒 :‬بحيث‬
‫𝒂 𝒇‪𝒇 𝒃 −‬‬
‫= 𝒄 ˈ𝒇‬
‫𝒂‪𝒃−‬‬
‫𝟎 𝒇‪𝒇 𝟒 −‬‬
‫𝟕𝟐 𝟒𝟓‬
‫=‬
‫=‬
‫=‬
‫𝟎‪𝟒−‬‬
‫𝟒‬
‫𝟐‬
‫𝟐 ‪𝒇ˈ 𝒙 = 𝟑𝒙𝟐 −‬‬

‫𝟐 ‪𝒇ˈ 𝒄 = 𝟑𝒄𝟐 −‬‬

‫𝟕𝟐‬
‫𝟐‬
‫𝟗‬
‫= 𝟏 ‪𝒄𝟐 −‬‬
‫𝟐‬

‫= 𝟑 ‪∴ 𝟑𝒄𝟐 −‬‬

‫𝟒‪∉ 𝟎,‬‬

‫𝟏𝟏‬
‫𝟐‬

‫‪𝒄=−‬‬

‫‪,‬‬

‫∴ يوجد مماس لمنحنى الدالة 𝒇 عند‬
‫𝟒𝟓‪𝟎,𝟐 , 𝟒,‬‬

‫𝟒‪∈ 𝟎,‬‬

‫𝟏𝟏‬
‫𝟐‬

‫=𝒄 ∴‬

‫𝟏𝟏 = 𝒙 يوازي القاطع المار بالنقطتين‬
‫𝟐‬

‫الخاتمة‬

‫بند (‪ )3‬موضوعي‬
‫صـ‪54‬‬

‫ظلل 𝒂 إذا كانت العبارة صحيحة و 𝒃 إذا كانت العبارة خاطئة‬
‫الدالة 𝒇 ∶‬

‫𝟑‬

‫𝟐‬

‫𝒙 = 𝒙 𝒇 تحقق شروط نظرية القيمة المتوسطة على 𝟏‪𝟎,‬‬

‫‪b‬‬

‫‪a‬‬

‫التطبيق‬
‫كراس التمارين‬
‫ص ‪54‬رقم )‪(2‬‬


Slide 5

‫وزارة التربية‬
‫اإلدارة العامة لمنطقة مبارك الكبير التعليمية‬
‫ثانوية العدان بنات‬
‫قسم الرياضيات‬

‫المركز اإلقليمي لتطوير البرمجيات التعليمية‬

‫تطبيقات على اإلشتقاق‬
‫الصف الثاني عشر ‪ -‬علمي‬
‫بند (‪)3-2‬‬
‫عدد الحصص (‪)3‬‬

‫الحصة االولى‬
‫إعداد معلمات قسم الرياضيات‬
‫رئيسة القسم‬
‫أ‪ /‬نورة العجمي‬

‫الموجهة الفنية‬
‫مديرة المدرسة‬
‫أ‪ /‬منى المسري‬
‫دشتي‬

‫أ‪/‬فاطمة‬

‫البند (‪ / )3-2‬الحصة االولى‬

‫تزايد وتناقص الدوال‬

‫الهدف العام‬
‫تطبيق نظرية القيمة المتوسطة‬
‫األهداف‬
‫السلوكية‬
‫‪1‬يوجد متوسط معدل التغير لدالة على فترة ما‪.‬‬
‫‪-2‬يذكر نظرية القيمة المتوسطة‪.‬‬
‫‪-3‬يحل تمارين باستخدام نظرية القيمة المتوسطة‪.‬‬

‫الوسائل‬
‫المستخدمة‬

‫المعلم‬

‫المتعلم‬

‫األقالم‬

‫كتاب الطالب‬

‫السبورة‬

‫كراس التمارين‬

‫داتا شو‬

‫الة حاسبة‬

‫المفردات‬
‫والمصطلحات‬
‫نظرية القيمة المتوسطة‬
‫االخطاء‬
‫المتوقعة‬

‫التمهيد‬

‫المستقيم القاطع‬
‫‪y‬‬
‫‪3‬‬

‫‪B‬‬

‫دعنا نفكر ونتناقش‬

‫‪2‬‬
‫‪1‬‬

‫إذا كانت 𝟏 ‪ 𝒇 𝒙 = 𝒙𝟐 −‬فأجب عما يلي‪:‬‬

‫‪ (1‬ارسم المستقيم المار بالنقطتين‬
‫𝑩𝑨 𝒎‪.‬‬

‫𝟐 𝒇‪, 𝑩 𝟐 ,‬‬

‫‪x‬‬

‫‪2‬‬

‫وهل 𝒇 قابلة لالشتقاق على الفترة 𝟐‪ −𝟏,‬؟‬
‫𝟏‬

‫‪ )4‬استنتج العالقة بين ‪.1 , 3‬‬

‫‪-2‬‬

‫𝟏‪ 𝑨 −𝟏 ,𝒇 −‬ثم أوجد الميل‬

‫‪ (2‬هل الدالة 𝒇 متصلة على 𝟐‪ −𝟏 ,‬؟‬

‫‪ )3‬أوجد ميل المماس لمنحنى 𝒇 عند 𝟐 = 𝒙‬

‫‪1‬‬

‫‪-1‬‬

‫‪A‬‬
‫‪-1‬‬

‫الحظ أن 𝟐 ‪∈ −𝟏 ,‬‬

‫𝟏‬
‫𝟐‬

‫التمهيد‬

‫المستقيم القاطع‬
‫‪y‬‬
‫‪3‬‬

‫‪B‬‬

‫دعنا نفكر ونتناقش‬

‫‪2‬‬
‫‪1‬‬

‫إذا كانت 𝟏 ‪ 𝒇 𝒙 = 𝒙𝟐 −‬فأجب عما يلي‪:‬‬

‫‪ (1‬ارسم المستقيم المار بالنقطتين‬
‫𝑩𝑨 𝒎‪.‬‬

‫‪x‬‬

‫𝟐 𝒇‪, 𝑩 𝟐 ,‬‬

‫‪2‬‬

‫وهل 𝒇 قابلة لالشتقاق على الفترة 𝟐‪ −𝟏,‬؟ ‪=1‬‬

‫‪-2‬‬

‫𝟏‪ 𝑨 −𝟏 ,𝒇 −‬ثم أوجد الميل‬

‫‪ (2‬هل الدالة 𝒇 متصلة على 𝟐‪ −𝟏 ,‬؟ نعم‬
‫𝟏‬
‫𝟐‬

‫‪1‬‬

‫‪-1‬‬

‫‪A‬‬
‫‪-1‬‬

‫`𝒇‬

‫𝟏‬

‫الحظ أن 𝟐 ‪∈ −𝟏 ,‬‬
‫‪ )3‬أوجد ميل المماس لمنحنى 𝒇 عند 𝟐 = 𝒙‬
‫ميل المماس = ‪1‬‬
‫‪ )4‬استنتج العالقة بين ‪ .1 , 3‬المستقيمان متوازيان‬

‫𝟏‬
‫𝟐‬

‫التدريس‬
‫تربط نظرية القيمة المتوسطة بين متوسط معدل تغير دالة على فترة‬

‫مماس مواز للقاطع‬

‫ما‪ ،‬ومعدل التغير للدالة عند نقطة تنتمي إلى هذه الفترة‪.‬‬

‫ميل المماس = 𝑐 ‪𝑓′‬‬
‫𝐵‬

‫تمكن نتائجها القوية في صميم بعض التطبيقات الكثيرة األهمية في علم‬
‫𝐴‬

‫حساب التفاضل والتكامل‪.‬‬
‫𝑥‬

‫𝑏‬

‫تقول النظرية انه في مكان ما بين النقطتين ‪A,B‬منحنى دالة قابلة‬
‫لالشتقاق‪ ،‬يوجد على األقل خط مماس واحد يوازي قاطع المنحنى‬
‫𝑩𝑨 ‪.‬‬
‫𝑦‬

‫𝒂 𝒇‪𝒇 𝒃 −‬‬
‫= 𝑩𝑨 𝒎‬
‫𝒂‪𝒃−‬‬
‫𝑥‬

‫𝑏‬

‫‪𝑐₂‬‬

‫‪𝑐₁‬‬

‫𝑎‬

‫𝑎‬
‫𝑐‬
‫𝑥 𝑓=𝑦‬

‫‪y‬‬

‫نظرية‬
‫(‪)3‬‬

‫نظرية القيمة المتوسطة‬

‫إذا كانت 𝒇 دالة‬
‫‪ )1‬متصلة على الفترة 𝒃‪𝒂,‬‬
‫‪ )2‬قابلة لالشتقاق على الفترة 𝒃‪𝒂,‬‬
‫فإنه يوجد على األقل 𝒃‪ 𝒄 ∈ 𝒂,‬بحيث‬
‫𝒂 𝒇‪𝒇 𝒃 −‬‬
‫= 𝒄 ˈ𝒇‬
‫𝒂‪𝒃−‬‬
‫انتبه‬
‫شروط النظرية كافية وليست الزمة أي ان توفر الشروط يؤكد وجود 𝒄‬
‫وعدم تحقق أحد الشرطين ال يعني بالضرورة عدم وجود 𝒄‬

‫مالحظات هامة‪:‬‬

‫‪ )1‬إذا لم يتحقق أحد شرطي النظرية (‪ )3‬فإنه قد ال يكون لبيان الدالة مماس موازي للقاطع 𝑩𝑨‪.‬‬
‫فمثال 𝒙 = 𝒙 𝒇 متصلة على الفترة 𝟏‪ ، −𝟏 ,‬وقابلة لالشتقاق عند كل 𝒙 تنتمي إلى 𝟏‪−𝟏 ,‬‬
‫باستثناء عند 𝟎 = 𝒙 ‪.‬‬
‫بيان الدالة ليس مماس يوازي 𝑩𝑨 (شكل ‪)2‬‬

‫𝑦‬

‫𝑥 =𝑦‬

‫‪1‬‬
‫𝐵‬

‫𝑥‬

‫𝐴‬

‫‪1‬‬

‫‪-1‬‬
‫شكل (‪)2‬‬

‫‪ )2‬يبين شكل (‪ )3‬بيان دالة 𝒇 قابلة لالشتقاق عند كل 𝒙 تنتمي إلى الفترة 𝒃‪𝒂 ,‬‬
‫ومتصلة على الفترة 𝒃‪ 𝒂 ,‬ولكن ال يوجد مماس يوازي 𝑩𝑨‪.‬‬

‫𝑥 𝑓=𝑦‬

‫𝐴‬

‫𝐵‬

‫𝑎‬

‫𝑏‬

‫شكل (‪)3‬‬

‫‪ )3‬بيان الدالة في الشكل (‪ )4‬يبين نقطة انفصال وبالرغم من عدم توفر شرط من‬
‫شروط نظرية القيمة المتوسطة إال انه يوجد مماس للمنحنى عند 𝒄 يوازي 𝑩𝑨‬
‫𝑦‬

‫𝐴‬

‫𝑥‬

‫𝑏‬

‫𝑐‬

‫𝐵‬
‫شكل (‪)4‬‬

‫𝑎‬

‫‪ )4‬يمكن إيجاد اكثر من نقطة واحدة بحيث 𝒃‪, 𝒄 ∈ 𝒂,‬‬
‫المماس عند كل النقاط‬

‫𝒂 𝒇‪𝒇 𝒃 −‬‬
‫𝒂‪𝒃−‬‬

‫= 𝒄 ˈ𝒇 أي ان‬

‫‪ 𝒄₁,𝒇 𝒄₁‬يوازي 𝑩𝑨 كما في الشكل (‪.)5‬‬

‫‪, 𝒄₂ ,𝒇 𝒄₂‬‬

‫𝑦‬

‫𝑏‬

‫𝑥‬

‫‪𝑐₁‬‬

‫‪𝑐₂‬‬

‫𝑎‬

‫شكل (‪)5‬‬

‫‪ )5‬في نظرية القيمة المتوسطة إذا كان 𝒃 𝒇 = 𝒂 𝒇 فإن 𝟎 = 𝒄 ˈ𝒇 أي ان‬
‫المماس للمنحنى عند 𝒄 يوازي القاطع ويوازي محور السينات أي أن المماس‬
‫افقي كما في الشكل‬
‫𝑦‬

‫𝐵‬

‫𝑥‬

‫𝐴‬

‫𝑏‬

‫𝑐‬
‫شكل (‪)6‬‬

‫𝑎‬

‫مثال (‪)1‬‬

‫كتاب الطالب ص‪133‬مثال )‪(1‬‬

‫الحل ‪:‬‬

‫بين أن الدالة 𝒇 ∶ ‪ 𝒇 𝒙 = 𝒙²‬تحقق شروط نظرية القيمة‬
‫المتوسطة على الفترة 𝟐‪ ، 𝟎,‬ثم أوجد 𝒄 الذي تنبئ به‬
‫النظرية وفسر إجابتك‪.‬‬

‫الدالة 𝒇 ∶ ‪ 𝒇 𝒙 = 𝒙²‬دالة كثيرة حدود متصلة على ‪ℝ‬‬
‫فهي متصلة على الفترة 𝟐‪ ، 𝟎,‬وقابلة لالشتقاق على 𝟐‪. 𝟎,‬‬
‫∴ شروط نظرية القيمة المتوسطة محققة على الفترة 𝟐‪. 𝟎,‬‬
‫∴ يوجد على األقل 𝟐‪ 𝒄 ∈ 𝟎,‬بحيث‪𝒇 𝒃 − 𝒇 𝒂 :‬‬
‫= 𝒄 ˈ𝒇‬
‫𝒂‪𝒃−‬‬
‫𝟎 𝒇‪𝒇 𝟐 −‬‬
‫=‬
‫𝟎‪𝟐−‬‬
‫𝟒 = 𝟐𝟐 = 𝟐 𝒇 ‪∵ 𝒇 𝟎 = 𝟎 𝟐 = 𝟎 ,‬‬
‫𝒙𝟐 = 𝒙 ˈ𝒇‬
‫𝒄𝟐 = 𝒄 ˈ𝒇 ‪,‬‬
‫𝟎 𝒇‪𝒇 𝟐 −‬‬
‫𝟎‪𝟐−‬‬
‫𝟎‪𝟒−‬‬
‫= 𝒄𝟐‬
‫𝟎‪𝟐−‬‬
‫𝟐 = 𝒄𝟐‬
‫𝟏=𝒄‬

‫= 𝒄𝟐 ∴‬

‫التفسير‬
‫يوجد مماس لمنحنى الدالة 𝒇 عند 𝟏 = 𝒙‬
‫يوازي القاطع المار بالنقطتين 𝟒‪𝟎,𝟎 , 𝟐,‬‬

‫التقييم‬

‫حاول أن تحل‬
‫ص‪133‬رقم)‪(1‬‬

‫الحل ‪:‬‬

‫بين أن الدالة 𝒙𝟐 ‪ 𝒇 𝒙 = 𝒙2 +‬تحقق شروط نظرية القيمة‬
‫المتوسطة على الفترة 𝟏‪ ، −𝟑 ,‬ثم أوجد قيمة 𝒄 الذي تنبئ‬
‫به النظرية وفسر اجابتك‬
‫متصلة على 𝟏‪−𝟑 ,‬‬

‫∵ الدالة 𝒇 دالة كثيرة حدود متصلة على ‪ℝ‬‬
‫وقابلة لالشتقاق على 𝟏‪−𝟑 ,‬‬
‫∴ شروط نظرية القيمة المتوسطة محققة على 𝟏‪−𝟑 ,‬‬
‫∴ يوجد على األقل 𝒄 ∶ 𝟏‪ 𝒄 ∈ −𝟑,‬بحيث‬
‫𝒂 𝒇‪𝒇 𝒃 −‬‬
‫𝒂‪𝒃−‬‬

‫= 𝒄 ˈ𝒇‬

‫𝟑 𝒇‪𝒇 𝟏 −‬‬
‫𝟑‪𝟑−‬‬
‫=‬
‫𝟎=‬
‫𝟑‪𝟏 − −‬‬
‫𝟒‬
‫𝟐 ‪𝒇ˈ 𝒄 = 𝟐𝒄 +‬‬

‫‪,‬‬

‫=‬

‫𝟐 ‪∵ 𝒇ˈ 𝒙 = 𝟐𝒙 +‬‬
‫𝟎 = 𝟐 ‪𝟐𝒄 +‬‬

‫𝟏‪𝒄 = −‬‬

‫𝟐‪𝟐𝒄 = −‬‬

‫∴ يوجد مماس لمنحنى الدالة 𝒇 عند 𝟏‪ 𝒙 = −‬يوازي القاطع المار بالنقطتين‬
‫𝟑‪𝟏,𝟑 , −𝟑,‬‬

‫مثال (‪)2‬‬

‫كتاب الطالب ص‪133‬مثال )‪(2‬‬

‫بين أن الدالة 𝒇 ∶ 𝟏 ‪ 𝒇 𝒙 = 𝒙𝟑 +‬تحقق شروط نظرية القيمة‬
‫المتوسطة على الفترة 𝟑‪ ، −𝟑 ,‬ثم أوجد قيمة 𝒄 الذي‬
‫تنبئ به النظرية وفسر اجابتك‪.‬‬

‫الدالة 𝒇 دالة كثيرة حدود متصلة على ‪ℝ‬‬
‫الحل ‪:‬‬
‫فهي متصلة على الفترة 𝟑‪ −𝟑,‬وقابلة لالشتقاق على الفترة 𝟑‪. −𝟑,‬‬
‫∴ شروط نظرية القيمة المتوسطة محققة على الفترة 𝟑‪−𝟑,‬‬
‫∴ يوجد على األقل 𝟑‪ 𝒄 ∈ −𝟑 ,‬بحيث‪:‬‬
‫𝒂 𝒇‪𝒇 𝒃 −‬‬
‫= 𝒄 ˈ𝒇‬
‫𝒂‪𝒃−‬‬
‫𝟑‪𝒇 𝟑 − 𝒇 −‬‬
‫= 𝒄 ˈ𝒇‬
‫𝟑‪𝟑 − −‬‬
‫‪∵ 𝒇 −𝟑 = −𝟑 𝟑 + 𝟏 = −𝟐𝟔 ,‬‬
‫𝟖𝟐 = 𝟏 ‪𝒇 𝟑 = 𝟑𝟑 +‬‬
‫‪𝒇ˈ 𝒙 = 𝟑𝒙𝟑 ,‬‬
‫𝟐𝒄𝟑 = 𝒄 ˈ𝒇‬
‫𝟑‪𝒇 𝟑 − 𝒇 −‬‬
‫التفسير‬
‫= 𝟐𝒄𝟑 ∴‬
‫𝟑‪𝟑 − −‬‬
‫𝟔𝟐‪𝟐𝟖 − −‬‬
‫𝟒𝟓‬
‫يوجد مماسان لمنحنى الدالة 𝒇 عند‪:‬‬
‫= 𝟐𝒄𝟑‬
‫=‬
‫𝟗=‬
‫𝟑‪𝟑+‬‬
‫𝟔‬
‫𝟑 =𝒙‬
‫𝟑 ‪, 𝒙=−‬‬
‫𝟗‬
‫والمماسان يوازيان القاطع المار بالنقطتين‪:‬‬
‫𝟑 = = 𝟐𝒄‬
‫𝟑‬
‫𝟖𝟐‪−𝟑 , − 𝟐𝟔 , 𝟑 ,‬‬
‫‪𝒄 = 𝟑 ∈ ]-3,3[,‬‬
‫[‪𝒄 = − 𝟑 ∈ ]-3,3‬‬

‫بين أن الدالة 𝟐 ‪ 𝒇 𝒙 = 𝒙𝟑 − 𝟑𝒙 +‬تحقق شروط نظرية القيمة‬
‫المتوسطة على الفترة 𝟒‪ ، 𝟎,‬ثم أوجد 𝒄 الذي تنبئ به‬
‫النظرية وفسر إجابتك‪.‬‬

‫التقييم‬

‫حاول أن تحل‬
‫ص‪134‬رقم)‪(2‬‬

‫الحل ‪:‬‬

‫متصلة على 𝟒‪𝟎,‬‬

‫∵ الدالة 𝒇 دالة كثيرة حدود متصلة على ‪ℝ‬‬
‫وقابلة لالشتقاق على 𝟒‪𝟎,‬‬
‫∴ شروط نظرية القيمة المتوسطة محققه على 𝟒‪𝟎,‬‬
‫∴ يوجد على األقل ∁ ‪ ∁∈ 𝟎,𝟒 :‬بحيث‬
‫𝒂 𝒇‪𝒇 𝒃 −‬‬
‫= 𝒄 ˈ𝒇‬
‫𝒂‪𝒃−‬‬
‫𝟎 𝒇‪𝒇 𝟒 −‬‬
‫𝟕𝟐 𝟒𝟓‬
‫=‬
‫=‬
‫=‬
‫𝟎‪𝟒−‬‬
‫𝟒‬
‫𝟐‬
‫𝟐 ‪𝒇ˈ 𝒙 = 𝟑𝒙𝟐 −‬‬

‫𝟐 ‪𝒇ˈ 𝒄 = 𝟑𝒄𝟐 −‬‬

‫𝟕𝟐‬
‫𝟐‬
‫𝟗‬
‫= 𝟏 ‪𝒄𝟐 −‬‬
‫𝟐‬

‫= 𝟑 ‪∴ 𝟑𝒄𝟐 −‬‬

‫𝟒‪∉ 𝟎,‬‬

‫𝟏𝟏‬
‫𝟐‬

‫‪𝒄=−‬‬

‫‪,‬‬

‫∴ يوجد مماس لمنحنى الدالة 𝒇 عند‬
‫𝟒𝟓‪𝟎,𝟐 , 𝟒,‬‬

‫𝟒‪∈ 𝟎,‬‬

‫𝟏𝟏‬
‫𝟐‬

‫=𝒄 ∴‬

‫𝟏𝟏 = 𝒙 يوازي القاطع المار بالنقطتين‬
‫𝟐‬

‫الخاتمة‬

‫بند (‪ )3‬موضوعي‬
‫صـ‪54‬‬

‫ظلل 𝒂 إذا كانت العبارة صحيحة و 𝒃 إذا كانت العبارة خاطئة‬
‫الدالة 𝒇 ∶‬

‫𝟑‬

‫𝟐‬

‫𝒙 = 𝒙 𝒇 تحقق شروط نظرية القيمة المتوسطة على 𝟏‪𝟎,‬‬

‫‪b‬‬

‫‪a‬‬

‫التطبيق‬
‫كراس التمارين‬
‫ص ‪54‬رقم )‪(2‬‬


Slide 6

‫وزارة التربية‬
‫اإلدارة العامة لمنطقة مبارك الكبير التعليمية‬
‫ثانوية العدان بنات‬
‫قسم الرياضيات‬

‫المركز اإلقليمي لتطوير البرمجيات التعليمية‬

‫تطبيقات على اإلشتقاق‬
‫الصف الثاني عشر ‪ -‬علمي‬
‫بند (‪)3-2‬‬
‫عدد الحصص (‪)3‬‬

‫الحصة االولى‬
‫إعداد معلمات قسم الرياضيات‬
‫رئيسة القسم‬
‫أ‪ /‬نورة العجمي‬

‫الموجهة الفنية‬
‫مديرة المدرسة‬
‫أ‪ /‬منى المسري‬
‫دشتي‬

‫أ‪/‬فاطمة‬

‫البند (‪ / )3-2‬الحصة االولى‬

‫تزايد وتناقص الدوال‬

‫الهدف العام‬
‫تطبيق نظرية القيمة المتوسطة‬
‫األهداف‬
‫السلوكية‬
‫‪1‬يوجد متوسط معدل التغير لدالة على فترة ما‪.‬‬
‫‪-2‬يذكر نظرية القيمة المتوسطة‪.‬‬
‫‪-3‬يحل تمارين باستخدام نظرية القيمة المتوسطة‪.‬‬

‫الوسائل‬
‫المستخدمة‬

‫المعلم‬

‫المتعلم‬

‫األقالم‬

‫كتاب الطالب‬

‫السبورة‬

‫كراس التمارين‬

‫داتا شو‬

‫الة حاسبة‬

‫المفردات‬
‫والمصطلحات‬
‫نظرية القيمة المتوسطة‬
‫االخطاء‬
‫المتوقعة‬

‫التمهيد‬

‫المستقيم القاطع‬
‫‪y‬‬
‫‪3‬‬

‫‪B‬‬

‫دعنا نفكر ونتناقش‬

‫‪2‬‬
‫‪1‬‬

‫إذا كانت 𝟏 ‪ 𝒇 𝒙 = 𝒙𝟐 −‬فأجب عما يلي‪:‬‬

‫‪ (1‬ارسم المستقيم المار بالنقطتين‬
‫𝑩𝑨 𝒎‪.‬‬

‫𝟐 𝒇‪, 𝑩 𝟐 ,‬‬

‫‪x‬‬

‫‪2‬‬

‫وهل 𝒇 قابلة لالشتقاق على الفترة 𝟐‪ −𝟏,‬؟‬
‫𝟏‬

‫‪ )4‬استنتج العالقة بين ‪.1 , 3‬‬

‫‪-2‬‬

‫𝟏‪ 𝑨 −𝟏 ,𝒇 −‬ثم أوجد الميل‬

‫‪ (2‬هل الدالة 𝒇 متصلة على 𝟐‪ −𝟏 ,‬؟‬

‫‪ )3‬أوجد ميل المماس لمنحنى 𝒇 عند 𝟐 = 𝒙‬

‫‪1‬‬

‫‪-1‬‬

‫‪A‬‬
‫‪-1‬‬

‫الحظ أن 𝟐 ‪∈ −𝟏 ,‬‬

‫𝟏‬
‫𝟐‬

‫التمهيد‬

‫المستقيم القاطع‬
‫‪y‬‬
‫‪3‬‬

‫‪B‬‬

‫دعنا نفكر ونتناقش‬

‫‪2‬‬
‫‪1‬‬

‫إذا كانت 𝟏 ‪ 𝒇 𝒙 = 𝒙𝟐 −‬فأجب عما يلي‪:‬‬

‫‪ (1‬ارسم المستقيم المار بالنقطتين‬
‫𝑩𝑨 𝒎‪.‬‬

‫‪x‬‬

‫𝟐 𝒇‪, 𝑩 𝟐 ,‬‬

‫‪2‬‬

‫وهل 𝒇 قابلة لالشتقاق على الفترة 𝟐‪ −𝟏,‬؟ ‪=1‬‬

‫‪-2‬‬

‫𝟏‪ 𝑨 −𝟏 ,𝒇 −‬ثم أوجد الميل‬

‫‪ (2‬هل الدالة 𝒇 متصلة على 𝟐‪ −𝟏 ,‬؟ نعم‬
‫𝟏‬
‫𝟐‬

‫‪1‬‬

‫‪-1‬‬

‫‪A‬‬
‫‪-1‬‬

‫`𝒇‬

‫𝟏‬

‫الحظ أن 𝟐 ‪∈ −𝟏 ,‬‬
‫‪ )3‬أوجد ميل المماس لمنحنى 𝒇 عند 𝟐 = 𝒙‬
‫ميل المماس = ‪1‬‬
‫‪ )4‬استنتج العالقة بين ‪ .1 , 3‬المستقيمان متوازيان‬

‫𝟏‬
‫𝟐‬

‫التدريس‬
‫تربط نظرية القيمة المتوسطة بين متوسط معدل تغير دالة على فترة‬

‫مماس مواز للقاطع‬

‫ما‪ ،‬ومعدل التغير للدالة عند نقطة تنتمي إلى هذه الفترة‪.‬‬

‫ميل المماس = 𝑐 ‪𝑓′‬‬
‫𝐵‬

‫تمكن نتائجها القوية في صميم بعض التطبيقات الكثيرة األهمية في علم‬
‫𝐴‬

‫حساب التفاضل والتكامل‪.‬‬
‫𝑥‬

‫𝑏‬

‫تقول النظرية انه في مكان ما بين النقطتين ‪A,B‬منحنى دالة قابلة‬
‫لالشتقاق‪ ،‬يوجد على األقل خط مماس واحد يوازي قاطع المنحنى‬
‫𝑩𝑨 ‪.‬‬
‫𝑦‬

‫𝒂 𝒇‪𝒇 𝒃 −‬‬
‫= 𝑩𝑨 𝒎‬
‫𝒂‪𝒃−‬‬
‫𝑥‬

‫𝑏‬

‫‪𝑐₂‬‬

‫‪𝑐₁‬‬

‫𝑎‬

‫𝑎‬
‫𝑐‬
‫𝑥 𝑓=𝑦‬

‫‪y‬‬

‫نظرية‬
‫(‪)3‬‬

‫نظرية القيمة المتوسطة‬

‫إذا كانت 𝒇 دالة‬
‫‪ )1‬متصلة على الفترة 𝒃‪𝒂,‬‬
‫‪ )2‬قابلة لالشتقاق على الفترة 𝒃‪𝒂,‬‬
‫فإنه يوجد على األقل 𝒃‪ 𝒄 ∈ 𝒂,‬بحيث‬
‫𝒂 𝒇‪𝒇 𝒃 −‬‬
‫= 𝒄 ˈ𝒇‬
‫𝒂‪𝒃−‬‬
‫انتبه‬
‫شروط النظرية كافية وليست الزمة أي ان توفر الشروط يؤكد وجود 𝒄‬
‫وعدم تحقق أحد الشرطين ال يعني بالضرورة عدم وجود 𝒄‬

‫مالحظات هامة‪:‬‬

‫‪ )1‬إذا لم يتحقق أحد شرطي النظرية (‪ )3‬فإنه قد ال يكون لبيان الدالة مماس موازي للقاطع 𝑩𝑨‪.‬‬
‫فمثال 𝒙 = 𝒙 𝒇 متصلة على الفترة 𝟏‪ ، −𝟏 ,‬وقابلة لالشتقاق عند كل 𝒙 تنتمي إلى 𝟏‪−𝟏 ,‬‬
‫باستثناء عند 𝟎 = 𝒙 ‪.‬‬
‫بيان الدالة ليس مماس يوازي 𝑩𝑨 (شكل ‪)2‬‬

‫𝑦‬

‫𝑥 =𝑦‬

‫‪1‬‬
‫𝐵‬

‫𝑥‬

‫𝐴‬

‫‪1‬‬

‫‪-1‬‬
‫شكل (‪)2‬‬

‫‪ )2‬يبين شكل (‪ )3‬بيان دالة 𝒇 قابلة لالشتقاق عند كل 𝒙 تنتمي إلى الفترة 𝒃‪𝒂 ,‬‬
‫ومتصلة على الفترة 𝒃‪ 𝒂 ,‬ولكن ال يوجد مماس يوازي 𝑩𝑨‪.‬‬

‫𝑥 𝑓=𝑦‬

‫𝐴‬

‫𝐵‬

‫𝑎‬

‫𝑏‬

‫شكل (‪)3‬‬

‫‪ )3‬بيان الدالة في الشكل (‪ )4‬يبين نقطة انفصال وبالرغم من عدم توفر شرط من‬
‫شروط نظرية القيمة المتوسطة إال انه يوجد مماس للمنحنى عند 𝒄 يوازي 𝑩𝑨‬
‫𝑦‬

‫𝐴‬

‫𝑥‬

‫𝑏‬

‫𝑐‬

‫𝐵‬
‫شكل (‪)4‬‬

‫𝑎‬

‫‪ )4‬يمكن إيجاد اكثر من نقطة واحدة بحيث 𝒃‪, 𝒄 ∈ 𝒂,‬‬
‫المماس عند كل النقاط‬

‫𝒂 𝒇‪𝒇 𝒃 −‬‬
‫𝒂‪𝒃−‬‬

‫= 𝒄 ˈ𝒇 أي ان‬

‫‪ 𝒄₁,𝒇 𝒄₁‬يوازي 𝑩𝑨 كما في الشكل (‪.)5‬‬

‫‪, 𝒄₂ ,𝒇 𝒄₂‬‬

‫𝑦‬

‫𝑏‬

‫𝑥‬

‫‪𝑐₁‬‬

‫‪𝑐₂‬‬

‫𝑎‬

‫شكل (‪)5‬‬

‫‪ )5‬في نظرية القيمة المتوسطة إذا كان 𝒃 𝒇 = 𝒂 𝒇 فإن 𝟎 = 𝒄 ˈ𝒇 أي ان‬
‫المماس للمنحنى عند 𝒄 يوازي القاطع ويوازي محور السينات أي أن المماس‬
‫افقي كما في الشكل‬
‫𝑦‬

‫𝐵‬

‫𝑥‬

‫𝐴‬

‫𝑏‬

‫𝑐‬
‫شكل (‪)6‬‬

‫𝑎‬

‫مثال (‪)1‬‬

‫كتاب الطالب ص‪133‬مثال )‪(1‬‬

‫الحل ‪:‬‬

‫بين أن الدالة 𝒇 ∶ ‪ 𝒇 𝒙 = 𝒙²‬تحقق شروط نظرية القيمة‬
‫المتوسطة على الفترة 𝟐‪ ، 𝟎,‬ثم أوجد 𝒄 الذي تنبئ به‬
‫النظرية وفسر إجابتك‪.‬‬

‫الدالة 𝒇 ∶ ‪ 𝒇 𝒙 = 𝒙²‬دالة كثيرة حدود متصلة على ‪ℝ‬‬
‫فهي متصلة على الفترة 𝟐‪ ، 𝟎,‬وقابلة لالشتقاق على 𝟐‪. 𝟎,‬‬
‫∴ شروط نظرية القيمة المتوسطة محققة على الفترة 𝟐‪. 𝟎,‬‬
‫∴ يوجد على األقل 𝟐‪ 𝒄 ∈ 𝟎,‬بحيث‪𝒇 𝒃 − 𝒇 𝒂 :‬‬
‫= 𝒄 ˈ𝒇‬
‫𝒂‪𝒃−‬‬
‫𝟎 𝒇‪𝒇 𝟐 −‬‬
‫=‬
‫𝟎‪𝟐−‬‬
‫𝟒 = 𝟐𝟐 = 𝟐 𝒇 ‪∵ 𝒇 𝟎 = 𝟎 𝟐 = 𝟎 ,‬‬
‫𝒙𝟐 = 𝒙 ˈ𝒇‬
‫𝒄𝟐 = 𝒄 ˈ𝒇 ‪,‬‬
‫𝟎 𝒇‪𝒇 𝟐 −‬‬
‫𝟎‪𝟐−‬‬
‫𝟎‪𝟒−‬‬
‫= 𝒄𝟐‬
‫𝟎‪𝟐−‬‬
‫𝟐 = 𝒄𝟐‬
‫𝟏=𝒄‬

‫= 𝒄𝟐 ∴‬

‫التفسير‬
‫يوجد مماس لمنحنى الدالة 𝒇 عند 𝟏 = 𝒙‬
‫يوازي القاطع المار بالنقطتين 𝟒‪𝟎,𝟎 , 𝟐,‬‬

‫التقييم‬

‫حاول أن تحل‬
‫ص‪133‬رقم)‪(1‬‬

‫الحل ‪:‬‬

‫بين أن الدالة 𝒙𝟐 ‪ 𝒇 𝒙 = 𝒙2 +‬تحقق شروط نظرية القيمة‬
‫المتوسطة على الفترة 𝟏‪ ، −𝟑 ,‬ثم أوجد قيمة 𝒄 الذي تنبئ‬
‫به النظرية وفسر اجابتك‬
‫متصلة على 𝟏‪−𝟑 ,‬‬

‫∵ الدالة 𝒇 دالة كثيرة حدود متصلة على ‪ℝ‬‬
‫وقابلة لالشتقاق على 𝟏‪−𝟑 ,‬‬
‫∴ شروط نظرية القيمة المتوسطة محققة على 𝟏‪−𝟑 ,‬‬
‫∴ يوجد على األقل 𝒄 ∶ 𝟏‪ 𝒄 ∈ −𝟑,‬بحيث‬
‫𝒂 𝒇‪𝒇 𝒃 −‬‬
‫𝒂‪𝒃−‬‬

‫= 𝒄 ˈ𝒇‬

‫𝟑 𝒇‪𝒇 𝟏 −‬‬
‫𝟑‪𝟑−‬‬
‫=‬
‫𝟎=‬
‫𝟑‪𝟏 − −‬‬
‫𝟒‬
‫𝟐 ‪𝒇ˈ 𝒄 = 𝟐𝒄 +‬‬

‫‪,‬‬

‫=‬

‫𝟐 ‪∵ 𝒇ˈ 𝒙 = 𝟐𝒙 +‬‬
‫𝟎 = 𝟐 ‪𝟐𝒄 +‬‬

‫𝟏‪𝒄 = −‬‬

‫𝟐‪𝟐𝒄 = −‬‬

‫∴ يوجد مماس لمنحنى الدالة 𝒇 عند 𝟏‪ 𝒙 = −‬يوازي القاطع المار بالنقطتين‬
‫𝟑‪𝟏,𝟑 , −𝟑,‬‬

‫مثال (‪)2‬‬

‫كتاب الطالب ص‪133‬مثال )‪(2‬‬

‫بين أن الدالة 𝒇 ∶ 𝟏 ‪ 𝒇 𝒙 = 𝒙𝟑 +‬تحقق شروط نظرية القيمة‬
‫المتوسطة على الفترة 𝟑‪ ، −𝟑 ,‬ثم أوجد قيمة 𝒄 الذي‬
‫تنبئ به النظرية وفسر اجابتك‪.‬‬

‫الدالة 𝒇 دالة كثيرة حدود متصلة على ‪ℝ‬‬
‫الحل ‪:‬‬
‫فهي متصلة على الفترة 𝟑‪ −𝟑,‬وقابلة لالشتقاق على الفترة 𝟑‪. −𝟑,‬‬
‫∴ شروط نظرية القيمة المتوسطة محققة على الفترة 𝟑‪−𝟑,‬‬
‫∴ يوجد على األقل 𝟑‪ 𝒄 ∈ −𝟑 ,‬بحيث‪:‬‬
‫𝒂 𝒇‪𝒇 𝒃 −‬‬
‫= 𝒄 ˈ𝒇‬
‫𝒂‪𝒃−‬‬
‫𝟑‪𝒇 𝟑 − 𝒇 −‬‬
‫= 𝒄 ˈ𝒇‬
‫𝟑‪𝟑 − −‬‬
‫‪∵ 𝒇 −𝟑 = −𝟑 𝟑 + 𝟏 = −𝟐𝟔 ,‬‬
‫𝟖𝟐 = 𝟏 ‪𝒇 𝟑 = 𝟑𝟑 +‬‬
‫‪𝒇ˈ 𝒙 = 𝟑𝒙𝟑 ,‬‬
‫𝟐𝒄𝟑 = 𝒄 ˈ𝒇‬
‫𝟑‪𝒇 𝟑 − 𝒇 −‬‬
‫التفسير‬
‫= 𝟐𝒄𝟑 ∴‬
‫𝟑‪𝟑 − −‬‬
‫𝟔𝟐‪𝟐𝟖 − −‬‬
‫𝟒𝟓‬
‫يوجد مماسان لمنحنى الدالة 𝒇 عند‪:‬‬
‫= 𝟐𝒄𝟑‬
‫=‬
‫𝟗=‬
‫𝟑‪𝟑+‬‬
‫𝟔‬
‫𝟑 =𝒙‬
‫𝟑 ‪, 𝒙=−‬‬
‫𝟗‬
‫والمماسان يوازيان القاطع المار بالنقطتين‪:‬‬
‫𝟑 = = 𝟐𝒄‬
‫𝟑‬
‫𝟖𝟐‪−𝟑 , − 𝟐𝟔 , 𝟑 ,‬‬
‫‪𝒄 = 𝟑 ∈ ]-3,3[,‬‬
‫[‪𝒄 = − 𝟑 ∈ ]-3,3‬‬

‫بين أن الدالة 𝟐 ‪ 𝒇 𝒙 = 𝒙𝟑 − 𝟑𝒙 +‬تحقق شروط نظرية القيمة‬
‫المتوسطة على الفترة 𝟒‪ ، 𝟎,‬ثم أوجد 𝒄 الذي تنبئ به‬
‫النظرية وفسر إجابتك‪.‬‬

‫التقييم‬

‫حاول أن تحل‬
‫ص‪134‬رقم)‪(2‬‬

‫الحل ‪:‬‬

‫متصلة على 𝟒‪𝟎,‬‬

‫∵ الدالة 𝒇 دالة كثيرة حدود متصلة على ‪ℝ‬‬
‫وقابلة لالشتقاق على 𝟒‪𝟎,‬‬
‫∴ شروط نظرية القيمة المتوسطة محققه على 𝟒‪𝟎,‬‬
‫∴ يوجد على األقل ∁ ‪ ∁∈ 𝟎,𝟒 :‬بحيث‬
‫𝒂 𝒇‪𝒇 𝒃 −‬‬
‫= 𝒄 ˈ𝒇‬
‫𝒂‪𝒃−‬‬
‫𝟎 𝒇‪𝒇 𝟒 −‬‬
‫𝟕𝟐 𝟒𝟓‬
‫=‬
‫=‬
‫=‬
‫𝟎‪𝟒−‬‬
‫𝟒‬
‫𝟐‬
‫𝟐 ‪𝒇ˈ 𝒙 = 𝟑𝒙𝟐 −‬‬

‫𝟐 ‪𝒇ˈ 𝒄 = 𝟑𝒄𝟐 −‬‬

‫𝟕𝟐‬
‫𝟐‬
‫𝟗‬
‫= 𝟏 ‪𝒄𝟐 −‬‬
‫𝟐‬

‫= 𝟑 ‪∴ 𝟑𝒄𝟐 −‬‬

‫𝟒‪∉ 𝟎,‬‬

‫𝟏𝟏‬
‫𝟐‬

‫‪𝒄=−‬‬

‫‪,‬‬

‫∴ يوجد مماس لمنحنى الدالة 𝒇 عند‬
‫𝟒𝟓‪𝟎,𝟐 , 𝟒,‬‬

‫𝟒‪∈ 𝟎,‬‬

‫𝟏𝟏‬
‫𝟐‬

‫=𝒄 ∴‬

‫𝟏𝟏 = 𝒙 يوازي القاطع المار بالنقطتين‬
‫𝟐‬

‫الخاتمة‬

‫بند (‪ )3‬موضوعي‬
‫صـ‪54‬‬

‫ظلل 𝒂 إذا كانت العبارة صحيحة و 𝒃 إذا كانت العبارة خاطئة‬
‫الدالة 𝒇 ∶‬

‫𝟑‬

‫𝟐‬

‫𝒙 = 𝒙 𝒇 تحقق شروط نظرية القيمة المتوسطة على 𝟏‪𝟎,‬‬

‫‪b‬‬

‫‪a‬‬

‫التطبيق‬
‫كراس التمارين‬
‫ص ‪54‬رقم )‪(2‬‬


Slide 7

‫وزارة التربية‬
‫اإلدارة العامة لمنطقة مبارك الكبير التعليمية‬
‫ثانوية العدان بنات‬
‫قسم الرياضيات‬

‫المركز اإلقليمي لتطوير البرمجيات التعليمية‬

‫تطبيقات على اإلشتقاق‬
‫الصف الثاني عشر ‪ -‬علمي‬
‫بند (‪)3-2‬‬
‫عدد الحصص (‪)3‬‬

‫الحصة االولى‬
‫إعداد معلمات قسم الرياضيات‬
‫رئيسة القسم‬
‫أ‪ /‬نورة العجمي‬

‫الموجهة الفنية‬
‫مديرة المدرسة‬
‫أ‪ /‬منى المسري‬
‫دشتي‬

‫أ‪/‬فاطمة‬

‫البند (‪ / )3-2‬الحصة االولى‬

‫تزايد وتناقص الدوال‬

‫الهدف العام‬
‫تطبيق نظرية القيمة المتوسطة‬
‫األهداف‬
‫السلوكية‬
‫‪1‬يوجد متوسط معدل التغير لدالة على فترة ما‪.‬‬
‫‪-2‬يذكر نظرية القيمة المتوسطة‪.‬‬
‫‪-3‬يحل تمارين باستخدام نظرية القيمة المتوسطة‪.‬‬

‫الوسائل‬
‫المستخدمة‬

‫المعلم‬

‫المتعلم‬

‫األقالم‬

‫كتاب الطالب‬

‫السبورة‬

‫كراس التمارين‬

‫داتا شو‬

‫الة حاسبة‬

‫المفردات‬
‫والمصطلحات‬
‫نظرية القيمة المتوسطة‬
‫االخطاء‬
‫المتوقعة‬

‫التمهيد‬

‫المستقيم القاطع‬
‫‪y‬‬
‫‪3‬‬

‫‪B‬‬

‫دعنا نفكر ونتناقش‬

‫‪2‬‬
‫‪1‬‬

‫إذا كانت 𝟏 ‪ 𝒇 𝒙 = 𝒙𝟐 −‬فأجب عما يلي‪:‬‬

‫‪ (1‬ارسم المستقيم المار بالنقطتين‬
‫𝑩𝑨 𝒎‪.‬‬

‫𝟐 𝒇‪, 𝑩 𝟐 ,‬‬

‫‪x‬‬

‫‪2‬‬

‫وهل 𝒇 قابلة لالشتقاق على الفترة 𝟐‪ −𝟏,‬؟‬
‫𝟏‬

‫‪ )4‬استنتج العالقة بين ‪.1 , 3‬‬

‫‪-2‬‬

‫𝟏‪ 𝑨 −𝟏 ,𝒇 −‬ثم أوجد الميل‬

‫‪ (2‬هل الدالة 𝒇 متصلة على 𝟐‪ −𝟏 ,‬؟‬

‫‪ )3‬أوجد ميل المماس لمنحنى 𝒇 عند 𝟐 = 𝒙‬

‫‪1‬‬

‫‪-1‬‬

‫‪A‬‬
‫‪-1‬‬

‫الحظ أن 𝟐 ‪∈ −𝟏 ,‬‬

‫𝟏‬
‫𝟐‬

‫التمهيد‬

‫المستقيم القاطع‬
‫‪y‬‬
‫‪3‬‬

‫‪B‬‬

‫دعنا نفكر ونتناقش‬

‫‪2‬‬
‫‪1‬‬

‫إذا كانت 𝟏 ‪ 𝒇 𝒙 = 𝒙𝟐 −‬فأجب عما يلي‪:‬‬

‫‪ (1‬ارسم المستقيم المار بالنقطتين‬
‫𝑩𝑨 𝒎‪.‬‬

‫‪x‬‬

‫𝟐 𝒇‪, 𝑩 𝟐 ,‬‬

‫‪2‬‬

‫وهل 𝒇 قابلة لالشتقاق على الفترة 𝟐‪ −𝟏,‬؟ ‪=1‬‬

‫‪-2‬‬

‫𝟏‪ 𝑨 −𝟏 ,𝒇 −‬ثم أوجد الميل‬

‫‪ (2‬هل الدالة 𝒇 متصلة على 𝟐‪ −𝟏 ,‬؟ نعم‬
‫𝟏‬
‫𝟐‬

‫‪1‬‬

‫‪-1‬‬

‫‪A‬‬
‫‪-1‬‬

‫`𝒇‬

‫𝟏‬

‫الحظ أن 𝟐 ‪∈ −𝟏 ,‬‬
‫‪ )3‬أوجد ميل المماس لمنحنى 𝒇 عند 𝟐 = 𝒙‬
‫ميل المماس = ‪1‬‬
‫‪ )4‬استنتج العالقة بين ‪ .1 , 3‬المستقيمان متوازيان‬

‫𝟏‬
‫𝟐‬

‫التدريس‬
‫تربط نظرية القيمة المتوسطة بين متوسط معدل تغير دالة على فترة‬

‫مماس مواز للقاطع‬

‫ما‪ ،‬ومعدل التغير للدالة عند نقطة تنتمي إلى هذه الفترة‪.‬‬

‫ميل المماس = 𝑐 ‪𝑓′‬‬
‫𝐵‬

‫تمكن نتائجها القوية في صميم بعض التطبيقات الكثيرة األهمية في علم‬
‫𝐴‬

‫حساب التفاضل والتكامل‪.‬‬
‫𝑥‬

‫𝑏‬

‫تقول النظرية انه في مكان ما بين النقطتين ‪A,B‬منحنى دالة قابلة‬
‫لالشتقاق‪ ،‬يوجد على األقل خط مماس واحد يوازي قاطع المنحنى‬
‫𝑩𝑨 ‪.‬‬
‫𝑦‬

‫𝒂 𝒇‪𝒇 𝒃 −‬‬
‫= 𝑩𝑨 𝒎‬
‫𝒂‪𝒃−‬‬
‫𝑥‬

‫𝑏‬

‫‪𝑐₂‬‬

‫‪𝑐₁‬‬

‫𝑎‬

‫𝑎‬
‫𝑐‬
‫𝑥 𝑓=𝑦‬

‫‪y‬‬

‫نظرية‬
‫(‪)3‬‬

‫نظرية القيمة المتوسطة‬

‫إذا كانت 𝒇 دالة‬
‫‪ )1‬متصلة على الفترة 𝒃‪𝒂,‬‬
‫‪ )2‬قابلة لالشتقاق على الفترة 𝒃‪𝒂,‬‬
‫فإنه يوجد على األقل 𝒃‪ 𝒄 ∈ 𝒂,‬بحيث‬
‫𝒂 𝒇‪𝒇 𝒃 −‬‬
‫= 𝒄 ˈ𝒇‬
‫𝒂‪𝒃−‬‬
‫انتبه‬
‫شروط النظرية كافية وليست الزمة أي ان توفر الشروط يؤكد وجود 𝒄‬
‫وعدم تحقق أحد الشرطين ال يعني بالضرورة عدم وجود 𝒄‬

‫مالحظات هامة‪:‬‬

‫‪ )1‬إذا لم يتحقق أحد شرطي النظرية (‪ )3‬فإنه قد ال يكون لبيان الدالة مماس موازي للقاطع 𝑩𝑨‪.‬‬
‫فمثال 𝒙 = 𝒙 𝒇 متصلة على الفترة 𝟏‪ ، −𝟏 ,‬وقابلة لالشتقاق عند كل 𝒙 تنتمي إلى 𝟏‪−𝟏 ,‬‬
‫باستثناء عند 𝟎 = 𝒙 ‪.‬‬
‫بيان الدالة ليس مماس يوازي 𝑩𝑨 (شكل ‪)2‬‬

‫𝑦‬

‫𝑥 =𝑦‬

‫‪1‬‬
‫𝐵‬

‫𝑥‬

‫𝐴‬

‫‪1‬‬

‫‪-1‬‬
‫شكل (‪)2‬‬

‫‪ )2‬يبين شكل (‪ )3‬بيان دالة 𝒇 قابلة لالشتقاق عند كل 𝒙 تنتمي إلى الفترة 𝒃‪𝒂 ,‬‬
‫ومتصلة على الفترة 𝒃‪ 𝒂 ,‬ولكن ال يوجد مماس يوازي 𝑩𝑨‪.‬‬

‫𝑥 𝑓=𝑦‬

‫𝐴‬

‫𝐵‬

‫𝑎‬

‫𝑏‬

‫شكل (‪)3‬‬

‫‪ )3‬بيان الدالة في الشكل (‪ )4‬يبين نقطة انفصال وبالرغم من عدم توفر شرط من‬
‫شروط نظرية القيمة المتوسطة إال انه يوجد مماس للمنحنى عند 𝒄 يوازي 𝑩𝑨‬
‫𝑦‬

‫𝐴‬

‫𝑥‬

‫𝑏‬

‫𝑐‬

‫𝐵‬
‫شكل (‪)4‬‬

‫𝑎‬

‫‪ )4‬يمكن إيجاد اكثر من نقطة واحدة بحيث 𝒃‪, 𝒄 ∈ 𝒂,‬‬
‫المماس عند كل النقاط‬

‫𝒂 𝒇‪𝒇 𝒃 −‬‬
‫𝒂‪𝒃−‬‬

‫= 𝒄 ˈ𝒇 أي ان‬

‫‪ 𝒄₁,𝒇 𝒄₁‬يوازي 𝑩𝑨 كما في الشكل (‪.)5‬‬

‫‪, 𝒄₂ ,𝒇 𝒄₂‬‬

‫𝑦‬

‫𝑏‬

‫𝑥‬

‫‪𝑐₁‬‬

‫‪𝑐₂‬‬

‫𝑎‬

‫شكل (‪)5‬‬

‫‪ )5‬في نظرية القيمة المتوسطة إذا كان 𝒃 𝒇 = 𝒂 𝒇 فإن 𝟎 = 𝒄 ˈ𝒇 أي ان‬
‫المماس للمنحنى عند 𝒄 يوازي القاطع ويوازي محور السينات أي أن المماس‬
‫افقي كما في الشكل‬
‫𝑦‬

‫𝐵‬

‫𝑥‬

‫𝐴‬

‫𝑏‬

‫𝑐‬
‫شكل (‪)6‬‬

‫𝑎‬

‫مثال (‪)1‬‬

‫كتاب الطالب ص‪133‬مثال )‪(1‬‬

‫الحل ‪:‬‬

‫بين أن الدالة 𝒇 ∶ ‪ 𝒇 𝒙 = 𝒙²‬تحقق شروط نظرية القيمة‬
‫المتوسطة على الفترة 𝟐‪ ، 𝟎,‬ثم أوجد 𝒄 الذي تنبئ به‬
‫النظرية وفسر إجابتك‪.‬‬

‫الدالة 𝒇 ∶ ‪ 𝒇 𝒙 = 𝒙²‬دالة كثيرة حدود متصلة على ‪ℝ‬‬
‫فهي متصلة على الفترة 𝟐‪ ، 𝟎,‬وقابلة لالشتقاق على 𝟐‪. 𝟎,‬‬
‫∴ شروط نظرية القيمة المتوسطة محققة على الفترة 𝟐‪. 𝟎,‬‬
‫∴ يوجد على األقل 𝟐‪ 𝒄 ∈ 𝟎,‬بحيث‪𝒇 𝒃 − 𝒇 𝒂 :‬‬
‫= 𝒄 ˈ𝒇‬
‫𝒂‪𝒃−‬‬
‫𝟎 𝒇‪𝒇 𝟐 −‬‬
‫=‬
‫𝟎‪𝟐−‬‬
‫𝟒 = 𝟐𝟐 = 𝟐 𝒇 ‪∵ 𝒇 𝟎 = 𝟎 𝟐 = 𝟎 ,‬‬
‫𝒙𝟐 = 𝒙 ˈ𝒇‬
‫𝒄𝟐 = 𝒄 ˈ𝒇 ‪,‬‬
‫𝟎 𝒇‪𝒇 𝟐 −‬‬
‫𝟎‪𝟐−‬‬
‫𝟎‪𝟒−‬‬
‫= 𝒄𝟐‬
‫𝟎‪𝟐−‬‬
‫𝟐 = 𝒄𝟐‬
‫𝟏=𝒄‬

‫= 𝒄𝟐 ∴‬

‫التفسير‬
‫يوجد مماس لمنحنى الدالة 𝒇 عند 𝟏 = 𝒙‬
‫يوازي القاطع المار بالنقطتين 𝟒‪𝟎,𝟎 , 𝟐,‬‬

‫التقييم‬

‫حاول أن تحل‬
‫ص‪133‬رقم)‪(1‬‬

‫الحل ‪:‬‬

‫بين أن الدالة 𝒙𝟐 ‪ 𝒇 𝒙 = 𝒙2 +‬تحقق شروط نظرية القيمة‬
‫المتوسطة على الفترة 𝟏‪ ، −𝟑 ,‬ثم أوجد قيمة 𝒄 الذي تنبئ‬
‫به النظرية وفسر اجابتك‬
‫متصلة على 𝟏‪−𝟑 ,‬‬

‫∵ الدالة 𝒇 دالة كثيرة حدود متصلة على ‪ℝ‬‬
‫وقابلة لالشتقاق على 𝟏‪−𝟑 ,‬‬
‫∴ شروط نظرية القيمة المتوسطة محققة على 𝟏‪−𝟑 ,‬‬
‫∴ يوجد على األقل 𝒄 ∶ 𝟏‪ 𝒄 ∈ −𝟑,‬بحيث‬
‫𝒂 𝒇‪𝒇 𝒃 −‬‬
‫𝒂‪𝒃−‬‬

‫= 𝒄 ˈ𝒇‬

‫𝟑 𝒇‪𝒇 𝟏 −‬‬
‫𝟑‪𝟑−‬‬
‫=‬
‫𝟎=‬
‫𝟑‪𝟏 − −‬‬
‫𝟒‬
‫𝟐 ‪𝒇ˈ 𝒄 = 𝟐𝒄 +‬‬

‫‪,‬‬

‫=‬

‫𝟐 ‪∵ 𝒇ˈ 𝒙 = 𝟐𝒙 +‬‬
‫𝟎 = 𝟐 ‪𝟐𝒄 +‬‬

‫𝟏‪𝒄 = −‬‬

‫𝟐‪𝟐𝒄 = −‬‬

‫∴ يوجد مماس لمنحنى الدالة 𝒇 عند 𝟏‪ 𝒙 = −‬يوازي القاطع المار بالنقطتين‬
‫𝟑‪𝟏,𝟑 , −𝟑,‬‬

‫مثال (‪)2‬‬

‫كتاب الطالب ص‪133‬مثال )‪(2‬‬

‫بين أن الدالة 𝒇 ∶ 𝟏 ‪ 𝒇 𝒙 = 𝒙𝟑 +‬تحقق شروط نظرية القيمة‬
‫المتوسطة على الفترة 𝟑‪ ، −𝟑 ,‬ثم أوجد قيمة 𝒄 الذي‬
‫تنبئ به النظرية وفسر اجابتك‪.‬‬

‫الدالة 𝒇 دالة كثيرة حدود متصلة على ‪ℝ‬‬
‫الحل ‪:‬‬
‫فهي متصلة على الفترة 𝟑‪ −𝟑,‬وقابلة لالشتقاق على الفترة 𝟑‪. −𝟑,‬‬
‫∴ شروط نظرية القيمة المتوسطة محققة على الفترة 𝟑‪−𝟑,‬‬
‫∴ يوجد على األقل 𝟑‪ 𝒄 ∈ −𝟑 ,‬بحيث‪:‬‬
‫𝒂 𝒇‪𝒇 𝒃 −‬‬
‫= 𝒄 ˈ𝒇‬
‫𝒂‪𝒃−‬‬
‫𝟑‪𝒇 𝟑 − 𝒇 −‬‬
‫= 𝒄 ˈ𝒇‬
‫𝟑‪𝟑 − −‬‬
‫‪∵ 𝒇 −𝟑 = −𝟑 𝟑 + 𝟏 = −𝟐𝟔 ,‬‬
‫𝟖𝟐 = 𝟏 ‪𝒇 𝟑 = 𝟑𝟑 +‬‬
‫‪𝒇ˈ 𝒙 = 𝟑𝒙𝟑 ,‬‬
‫𝟐𝒄𝟑 = 𝒄 ˈ𝒇‬
‫𝟑‪𝒇 𝟑 − 𝒇 −‬‬
‫التفسير‬
‫= 𝟐𝒄𝟑 ∴‬
‫𝟑‪𝟑 − −‬‬
‫𝟔𝟐‪𝟐𝟖 − −‬‬
‫𝟒𝟓‬
‫يوجد مماسان لمنحنى الدالة 𝒇 عند‪:‬‬
‫= 𝟐𝒄𝟑‬
‫=‬
‫𝟗=‬
‫𝟑‪𝟑+‬‬
‫𝟔‬
‫𝟑 =𝒙‬
‫𝟑 ‪, 𝒙=−‬‬
‫𝟗‬
‫والمماسان يوازيان القاطع المار بالنقطتين‪:‬‬
‫𝟑 = = 𝟐𝒄‬
‫𝟑‬
‫𝟖𝟐‪−𝟑 , − 𝟐𝟔 , 𝟑 ,‬‬
‫‪𝒄 = 𝟑 ∈ ]-3,3[,‬‬
‫[‪𝒄 = − 𝟑 ∈ ]-3,3‬‬

‫بين أن الدالة 𝟐 ‪ 𝒇 𝒙 = 𝒙𝟑 − 𝟑𝒙 +‬تحقق شروط نظرية القيمة‬
‫المتوسطة على الفترة 𝟒‪ ، 𝟎,‬ثم أوجد 𝒄 الذي تنبئ به‬
‫النظرية وفسر إجابتك‪.‬‬

‫التقييم‬

‫حاول أن تحل‬
‫ص‪134‬رقم)‪(2‬‬

‫الحل ‪:‬‬

‫متصلة على 𝟒‪𝟎,‬‬

‫∵ الدالة 𝒇 دالة كثيرة حدود متصلة على ‪ℝ‬‬
‫وقابلة لالشتقاق على 𝟒‪𝟎,‬‬
‫∴ شروط نظرية القيمة المتوسطة محققه على 𝟒‪𝟎,‬‬
‫∴ يوجد على األقل ∁ ‪ ∁∈ 𝟎,𝟒 :‬بحيث‬
‫𝒂 𝒇‪𝒇 𝒃 −‬‬
‫= 𝒄 ˈ𝒇‬
‫𝒂‪𝒃−‬‬
‫𝟎 𝒇‪𝒇 𝟒 −‬‬
‫𝟕𝟐 𝟒𝟓‬
‫=‬
‫=‬
‫=‬
‫𝟎‪𝟒−‬‬
‫𝟒‬
‫𝟐‬
‫𝟐 ‪𝒇ˈ 𝒙 = 𝟑𝒙𝟐 −‬‬

‫𝟐 ‪𝒇ˈ 𝒄 = 𝟑𝒄𝟐 −‬‬

‫𝟕𝟐‬
‫𝟐‬
‫𝟗‬
‫= 𝟏 ‪𝒄𝟐 −‬‬
‫𝟐‬

‫= 𝟑 ‪∴ 𝟑𝒄𝟐 −‬‬

‫𝟒‪∉ 𝟎,‬‬

‫𝟏𝟏‬
‫𝟐‬

‫‪𝒄=−‬‬

‫‪,‬‬

‫∴ يوجد مماس لمنحنى الدالة 𝒇 عند‬
‫𝟒𝟓‪𝟎,𝟐 , 𝟒,‬‬

‫𝟒‪∈ 𝟎,‬‬

‫𝟏𝟏‬
‫𝟐‬

‫=𝒄 ∴‬

‫𝟏𝟏 = 𝒙 يوازي القاطع المار بالنقطتين‬
‫𝟐‬

‫الخاتمة‬

‫بند (‪ )3‬موضوعي‬
‫صـ‪54‬‬

‫ظلل 𝒂 إذا كانت العبارة صحيحة و 𝒃 إذا كانت العبارة خاطئة‬
‫الدالة 𝒇 ∶‬

‫𝟑‬

‫𝟐‬

‫𝒙 = 𝒙 𝒇 تحقق شروط نظرية القيمة المتوسطة على 𝟏‪𝟎,‬‬

‫‪b‬‬

‫‪a‬‬

‫التطبيق‬
‫كراس التمارين‬
‫ص ‪54‬رقم )‪(2‬‬


Slide 8

‫وزارة التربية‬
‫اإلدارة العامة لمنطقة مبارك الكبير التعليمية‬
‫ثانوية العدان بنات‬
‫قسم الرياضيات‬

‫المركز اإلقليمي لتطوير البرمجيات التعليمية‬

‫تطبيقات على اإلشتقاق‬
‫الصف الثاني عشر ‪ -‬علمي‬
‫بند (‪)3-2‬‬
‫عدد الحصص (‪)3‬‬

‫الحصة االولى‬
‫إعداد معلمات قسم الرياضيات‬
‫رئيسة القسم‬
‫أ‪ /‬نورة العجمي‬

‫الموجهة الفنية‬
‫مديرة المدرسة‬
‫أ‪ /‬منى المسري‬
‫دشتي‬

‫أ‪/‬فاطمة‬

‫البند (‪ / )3-2‬الحصة االولى‬

‫تزايد وتناقص الدوال‬

‫الهدف العام‬
‫تطبيق نظرية القيمة المتوسطة‬
‫األهداف‬
‫السلوكية‬
‫‪1‬يوجد متوسط معدل التغير لدالة على فترة ما‪.‬‬
‫‪-2‬يذكر نظرية القيمة المتوسطة‪.‬‬
‫‪-3‬يحل تمارين باستخدام نظرية القيمة المتوسطة‪.‬‬

‫الوسائل‬
‫المستخدمة‬

‫المعلم‬

‫المتعلم‬

‫األقالم‬

‫كتاب الطالب‬

‫السبورة‬

‫كراس التمارين‬

‫داتا شو‬

‫الة حاسبة‬

‫المفردات‬
‫والمصطلحات‬
‫نظرية القيمة المتوسطة‬
‫االخطاء‬
‫المتوقعة‬

‫التمهيد‬

‫المستقيم القاطع‬
‫‪y‬‬
‫‪3‬‬

‫‪B‬‬

‫دعنا نفكر ونتناقش‬

‫‪2‬‬
‫‪1‬‬

‫إذا كانت 𝟏 ‪ 𝒇 𝒙 = 𝒙𝟐 −‬فأجب عما يلي‪:‬‬

‫‪ (1‬ارسم المستقيم المار بالنقطتين‬
‫𝑩𝑨 𝒎‪.‬‬

‫𝟐 𝒇‪, 𝑩 𝟐 ,‬‬

‫‪x‬‬

‫‪2‬‬

‫وهل 𝒇 قابلة لالشتقاق على الفترة 𝟐‪ −𝟏,‬؟‬
‫𝟏‬

‫‪ )4‬استنتج العالقة بين ‪.1 , 3‬‬

‫‪-2‬‬

‫𝟏‪ 𝑨 −𝟏 ,𝒇 −‬ثم أوجد الميل‬

‫‪ (2‬هل الدالة 𝒇 متصلة على 𝟐‪ −𝟏 ,‬؟‬

‫‪ )3‬أوجد ميل المماس لمنحنى 𝒇 عند 𝟐 = 𝒙‬

‫‪1‬‬

‫‪-1‬‬

‫‪A‬‬
‫‪-1‬‬

‫الحظ أن 𝟐 ‪∈ −𝟏 ,‬‬

‫𝟏‬
‫𝟐‬

‫التمهيد‬

‫المستقيم القاطع‬
‫‪y‬‬
‫‪3‬‬

‫‪B‬‬

‫دعنا نفكر ونتناقش‬

‫‪2‬‬
‫‪1‬‬

‫إذا كانت 𝟏 ‪ 𝒇 𝒙 = 𝒙𝟐 −‬فأجب عما يلي‪:‬‬

‫‪ (1‬ارسم المستقيم المار بالنقطتين‬
‫𝑩𝑨 𝒎‪.‬‬

‫‪x‬‬

‫𝟐 𝒇‪, 𝑩 𝟐 ,‬‬

‫‪2‬‬

‫وهل 𝒇 قابلة لالشتقاق على الفترة 𝟐‪ −𝟏,‬؟ ‪=1‬‬

‫‪-2‬‬

‫𝟏‪ 𝑨 −𝟏 ,𝒇 −‬ثم أوجد الميل‬

‫‪ (2‬هل الدالة 𝒇 متصلة على 𝟐‪ −𝟏 ,‬؟ نعم‬
‫𝟏‬
‫𝟐‬

‫‪1‬‬

‫‪-1‬‬

‫‪A‬‬
‫‪-1‬‬

‫`𝒇‬

‫𝟏‬

‫الحظ أن 𝟐 ‪∈ −𝟏 ,‬‬
‫‪ )3‬أوجد ميل المماس لمنحنى 𝒇 عند 𝟐 = 𝒙‬
‫ميل المماس = ‪1‬‬
‫‪ )4‬استنتج العالقة بين ‪ .1 , 3‬المستقيمان متوازيان‬

‫𝟏‬
‫𝟐‬

‫التدريس‬
‫تربط نظرية القيمة المتوسطة بين متوسط معدل تغير دالة على فترة‬

‫مماس مواز للقاطع‬

‫ما‪ ،‬ومعدل التغير للدالة عند نقطة تنتمي إلى هذه الفترة‪.‬‬

‫ميل المماس = 𝑐 ‪𝑓′‬‬
‫𝐵‬

‫تمكن نتائجها القوية في صميم بعض التطبيقات الكثيرة األهمية في علم‬
‫𝐴‬

‫حساب التفاضل والتكامل‪.‬‬
‫𝑥‬

‫𝑏‬

‫تقول النظرية انه في مكان ما بين النقطتين ‪A,B‬منحنى دالة قابلة‬
‫لالشتقاق‪ ،‬يوجد على األقل خط مماس واحد يوازي قاطع المنحنى‬
‫𝑩𝑨 ‪.‬‬
‫𝑦‬

‫𝒂 𝒇‪𝒇 𝒃 −‬‬
‫= 𝑩𝑨 𝒎‬
‫𝒂‪𝒃−‬‬
‫𝑥‬

‫𝑏‬

‫‪𝑐₂‬‬

‫‪𝑐₁‬‬

‫𝑎‬

‫𝑎‬
‫𝑐‬
‫𝑥 𝑓=𝑦‬

‫‪y‬‬

‫نظرية‬
‫(‪)3‬‬

‫نظرية القيمة المتوسطة‬

‫إذا كانت 𝒇 دالة‬
‫‪ )1‬متصلة على الفترة 𝒃‪𝒂,‬‬
‫‪ )2‬قابلة لالشتقاق على الفترة 𝒃‪𝒂,‬‬
‫فإنه يوجد على األقل 𝒃‪ 𝒄 ∈ 𝒂,‬بحيث‬
‫𝒂 𝒇‪𝒇 𝒃 −‬‬
‫= 𝒄 ˈ𝒇‬
‫𝒂‪𝒃−‬‬
‫انتبه‬
‫شروط النظرية كافية وليست الزمة أي ان توفر الشروط يؤكد وجود 𝒄‬
‫وعدم تحقق أحد الشرطين ال يعني بالضرورة عدم وجود 𝒄‬

‫مالحظات هامة‪:‬‬

‫‪ )1‬إذا لم يتحقق أحد شرطي النظرية (‪ )3‬فإنه قد ال يكون لبيان الدالة مماس موازي للقاطع 𝑩𝑨‪.‬‬
‫فمثال 𝒙 = 𝒙 𝒇 متصلة على الفترة 𝟏‪ ، −𝟏 ,‬وقابلة لالشتقاق عند كل 𝒙 تنتمي إلى 𝟏‪−𝟏 ,‬‬
‫باستثناء عند 𝟎 = 𝒙 ‪.‬‬
‫بيان الدالة ليس مماس يوازي 𝑩𝑨 (شكل ‪)2‬‬

‫𝑦‬

‫𝑥 =𝑦‬

‫‪1‬‬
‫𝐵‬

‫𝑥‬

‫𝐴‬

‫‪1‬‬

‫‪-1‬‬
‫شكل (‪)2‬‬

‫‪ )2‬يبين شكل (‪ )3‬بيان دالة 𝒇 قابلة لالشتقاق عند كل 𝒙 تنتمي إلى الفترة 𝒃‪𝒂 ,‬‬
‫ومتصلة على الفترة 𝒃‪ 𝒂 ,‬ولكن ال يوجد مماس يوازي 𝑩𝑨‪.‬‬

‫𝑥 𝑓=𝑦‬

‫𝐴‬

‫𝐵‬

‫𝑎‬

‫𝑏‬

‫شكل (‪)3‬‬

‫‪ )3‬بيان الدالة في الشكل (‪ )4‬يبين نقطة انفصال وبالرغم من عدم توفر شرط من‬
‫شروط نظرية القيمة المتوسطة إال انه يوجد مماس للمنحنى عند 𝒄 يوازي 𝑩𝑨‬
‫𝑦‬

‫𝐴‬

‫𝑥‬

‫𝑏‬

‫𝑐‬

‫𝐵‬
‫شكل (‪)4‬‬

‫𝑎‬

‫‪ )4‬يمكن إيجاد اكثر من نقطة واحدة بحيث 𝒃‪, 𝒄 ∈ 𝒂,‬‬
‫المماس عند كل النقاط‬

‫𝒂 𝒇‪𝒇 𝒃 −‬‬
‫𝒂‪𝒃−‬‬

‫= 𝒄 ˈ𝒇 أي ان‬

‫‪ 𝒄₁,𝒇 𝒄₁‬يوازي 𝑩𝑨 كما في الشكل (‪.)5‬‬

‫‪, 𝒄₂ ,𝒇 𝒄₂‬‬

‫𝑦‬

‫𝑏‬

‫𝑥‬

‫‪𝑐₁‬‬

‫‪𝑐₂‬‬

‫𝑎‬

‫شكل (‪)5‬‬

‫‪ )5‬في نظرية القيمة المتوسطة إذا كان 𝒃 𝒇 = 𝒂 𝒇 فإن 𝟎 = 𝒄 ˈ𝒇 أي ان‬
‫المماس للمنحنى عند 𝒄 يوازي القاطع ويوازي محور السينات أي أن المماس‬
‫افقي كما في الشكل‬
‫𝑦‬

‫𝐵‬

‫𝑥‬

‫𝐴‬

‫𝑏‬

‫𝑐‬
‫شكل (‪)6‬‬

‫𝑎‬

‫مثال (‪)1‬‬

‫كتاب الطالب ص‪133‬مثال )‪(1‬‬

‫الحل ‪:‬‬

‫بين أن الدالة 𝒇 ∶ ‪ 𝒇 𝒙 = 𝒙²‬تحقق شروط نظرية القيمة‬
‫المتوسطة على الفترة 𝟐‪ ، 𝟎,‬ثم أوجد 𝒄 الذي تنبئ به‬
‫النظرية وفسر إجابتك‪.‬‬

‫الدالة 𝒇 ∶ ‪ 𝒇 𝒙 = 𝒙²‬دالة كثيرة حدود متصلة على ‪ℝ‬‬
‫فهي متصلة على الفترة 𝟐‪ ، 𝟎,‬وقابلة لالشتقاق على 𝟐‪. 𝟎,‬‬
‫∴ شروط نظرية القيمة المتوسطة محققة على الفترة 𝟐‪. 𝟎,‬‬
‫∴ يوجد على األقل 𝟐‪ 𝒄 ∈ 𝟎,‬بحيث‪𝒇 𝒃 − 𝒇 𝒂 :‬‬
‫= 𝒄 ˈ𝒇‬
‫𝒂‪𝒃−‬‬
‫𝟎 𝒇‪𝒇 𝟐 −‬‬
‫=‬
‫𝟎‪𝟐−‬‬
‫𝟒 = 𝟐𝟐 = 𝟐 𝒇 ‪∵ 𝒇 𝟎 = 𝟎 𝟐 = 𝟎 ,‬‬
‫𝒙𝟐 = 𝒙 ˈ𝒇‬
‫𝒄𝟐 = 𝒄 ˈ𝒇 ‪,‬‬
‫𝟎 𝒇‪𝒇 𝟐 −‬‬
‫𝟎‪𝟐−‬‬
‫𝟎‪𝟒−‬‬
‫= 𝒄𝟐‬
‫𝟎‪𝟐−‬‬
‫𝟐 = 𝒄𝟐‬
‫𝟏=𝒄‬

‫= 𝒄𝟐 ∴‬

‫التفسير‬
‫يوجد مماس لمنحنى الدالة 𝒇 عند 𝟏 = 𝒙‬
‫يوازي القاطع المار بالنقطتين 𝟒‪𝟎,𝟎 , 𝟐,‬‬

‫التقييم‬

‫حاول أن تحل‬
‫ص‪133‬رقم)‪(1‬‬

‫الحل ‪:‬‬

‫بين أن الدالة 𝒙𝟐 ‪ 𝒇 𝒙 = 𝒙2 +‬تحقق شروط نظرية القيمة‬
‫المتوسطة على الفترة 𝟏‪ ، −𝟑 ,‬ثم أوجد قيمة 𝒄 الذي تنبئ‬
‫به النظرية وفسر اجابتك‬
‫متصلة على 𝟏‪−𝟑 ,‬‬

‫∵ الدالة 𝒇 دالة كثيرة حدود متصلة على ‪ℝ‬‬
‫وقابلة لالشتقاق على 𝟏‪−𝟑 ,‬‬
‫∴ شروط نظرية القيمة المتوسطة محققة على 𝟏‪−𝟑 ,‬‬
‫∴ يوجد على األقل 𝒄 ∶ 𝟏‪ 𝒄 ∈ −𝟑,‬بحيث‬
‫𝒂 𝒇‪𝒇 𝒃 −‬‬
‫𝒂‪𝒃−‬‬

‫= 𝒄 ˈ𝒇‬

‫𝟑 𝒇‪𝒇 𝟏 −‬‬
‫𝟑‪𝟑−‬‬
‫=‬
‫𝟎=‬
‫𝟑‪𝟏 − −‬‬
‫𝟒‬
‫𝟐 ‪𝒇ˈ 𝒄 = 𝟐𝒄 +‬‬

‫‪,‬‬

‫=‬

‫𝟐 ‪∵ 𝒇ˈ 𝒙 = 𝟐𝒙 +‬‬
‫𝟎 = 𝟐 ‪𝟐𝒄 +‬‬

‫𝟏‪𝒄 = −‬‬

‫𝟐‪𝟐𝒄 = −‬‬

‫∴ يوجد مماس لمنحنى الدالة 𝒇 عند 𝟏‪ 𝒙 = −‬يوازي القاطع المار بالنقطتين‬
‫𝟑‪𝟏,𝟑 , −𝟑,‬‬

‫مثال (‪)2‬‬

‫كتاب الطالب ص‪133‬مثال )‪(2‬‬

‫بين أن الدالة 𝒇 ∶ 𝟏 ‪ 𝒇 𝒙 = 𝒙𝟑 +‬تحقق شروط نظرية القيمة‬
‫المتوسطة على الفترة 𝟑‪ ، −𝟑 ,‬ثم أوجد قيمة 𝒄 الذي‬
‫تنبئ به النظرية وفسر اجابتك‪.‬‬

‫الدالة 𝒇 دالة كثيرة حدود متصلة على ‪ℝ‬‬
‫الحل ‪:‬‬
‫فهي متصلة على الفترة 𝟑‪ −𝟑,‬وقابلة لالشتقاق على الفترة 𝟑‪. −𝟑,‬‬
‫∴ شروط نظرية القيمة المتوسطة محققة على الفترة 𝟑‪−𝟑,‬‬
‫∴ يوجد على األقل 𝟑‪ 𝒄 ∈ −𝟑 ,‬بحيث‪:‬‬
‫𝒂 𝒇‪𝒇 𝒃 −‬‬
‫= 𝒄 ˈ𝒇‬
‫𝒂‪𝒃−‬‬
‫𝟑‪𝒇 𝟑 − 𝒇 −‬‬
‫= 𝒄 ˈ𝒇‬
‫𝟑‪𝟑 − −‬‬
‫‪∵ 𝒇 −𝟑 = −𝟑 𝟑 + 𝟏 = −𝟐𝟔 ,‬‬
‫𝟖𝟐 = 𝟏 ‪𝒇 𝟑 = 𝟑𝟑 +‬‬
‫‪𝒇ˈ 𝒙 = 𝟑𝒙𝟑 ,‬‬
‫𝟐𝒄𝟑 = 𝒄 ˈ𝒇‬
‫𝟑‪𝒇 𝟑 − 𝒇 −‬‬
‫التفسير‬
‫= 𝟐𝒄𝟑 ∴‬
‫𝟑‪𝟑 − −‬‬
‫𝟔𝟐‪𝟐𝟖 − −‬‬
‫𝟒𝟓‬
‫يوجد مماسان لمنحنى الدالة 𝒇 عند‪:‬‬
‫= 𝟐𝒄𝟑‬
‫=‬
‫𝟗=‬
‫𝟑‪𝟑+‬‬
‫𝟔‬
‫𝟑 =𝒙‬
‫𝟑 ‪, 𝒙=−‬‬
‫𝟗‬
‫والمماسان يوازيان القاطع المار بالنقطتين‪:‬‬
‫𝟑 = = 𝟐𝒄‬
‫𝟑‬
‫𝟖𝟐‪−𝟑 , − 𝟐𝟔 , 𝟑 ,‬‬
‫‪𝒄 = 𝟑 ∈ ]-3,3[,‬‬
‫[‪𝒄 = − 𝟑 ∈ ]-3,3‬‬

‫بين أن الدالة 𝟐 ‪ 𝒇 𝒙 = 𝒙𝟑 − 𝟑𝒙 +‬تحقق شروط نظرية القيمة‬
‫المتوسطة على الفترة 𝟒‪ ، 𝟎,‬ثم أوجد 𝒄 الذي تنبئ به‬
‫النظرية وفسر إجابتك‪.‬‬

‫التقييم‬

‫حاول أن تحل‬
‫ص‪134‬رقم)‪(2‬‬

‫الحل ‪:‬‬

‫متصلة على 𝟒‪𝟎,‬‬

‫∵ الدالة 𝒇 دالة كثيرة حدود متصلة على ‪ℝ‬‬
‫وقابلة لالشتقاق على 𝟒‪𝟎,‬‬
‫∴ شروط نظرية القيمة المتوسطة محققه على 𝟒‪𝟎,‬‬
‫∴ يوجد على األقل ∁ ‪ ∁∈ 𝟎,𝟒 :‬بحيث‬
‫𝒂 𝒇‪𝒇 𝒃 −‬‬
‫= 𝒄 ˈ𝒇‬
‫𝒂‪𝒃−‬‬
‫𝟎 𝒇‪𝒇 𝟒 −‬‬
‫𝟕𝟐 𝟒𝟓‬
‫=‬
‫=‬
‫=‬
‫𝟎‪𝟒−‬‬
‫𝟒‬
‫𝟐‬
‫𝟐 ‪𝒇ˈ 𝒙 = 𝟑𝒙𝟐 −‬‬

‫𝟐 ‪𝒇ˈ 𝒄 = 𝟑𝒄𝟐 −‬‬

‫𝟕𝟐‬
‫𝟐‬
‫𝟗‬
‫= 𝟏 ‪𝒄𝟐 −‬‬
‫𝟐‬

‫= 𝟑 ‪∴ 𝟑𝒄𝟐 −‬‬

‫𝟒‪∉ 𝟎,‬‬

‫𝟏𝟏‬
‫𝟐‬

‫‪𝒄=−‬‬

‫‪,‬‬

‫∴ يوجد مماس لمنحنى الدالة 𝒇 عند‬
‫𝟒𝟓‪𝟎,𝟐 , 𝟒,‬‬

‫𝟒‪∈ 𝟎,‬‬

‫𝟏𝟏‬
‫𝟐‬

‫=𝒄 ∴‬

‫𝟏𝟏 = 𝒙 يوازي القاطع المار بالنقطتين‬
‫𝟐‬

‫الخاتمة‬

‫بند (‪ )3‬موضوعي‬
‫صـ‪54‬‬

‫ظلل 𝒂 إذا كانت العبارة صحيحة و 𝒃 إذا كانت العبارة خاطئة‬
‫الدالة 𝒇 ∶‬

‫𝟑‬

‫𝟐‬

‫𝒙 = 𝒙 𝒇 تحقق شروط نظرية القيمة المتوسطة على 𝟏‪𝟎,‬‬

‫‪b‬‬

‫‪a‬‬

‫التطبيق‬
‫كراس التمارين‬
‫ص ‪54‬رقم )‪(2‬‬


Slide 9

‫وزارة التربية‬
‫اإلدارة العامة لمنطقة مبارك الكبير التعليمية‬
‫ثانوية العدان بنات‬
‫قسم الرياضيات‬

‫المركز اإلقليمي لتطوير البرمجيات التعليمية‬

‫تطبيقات على اإلشتقاق‬
‫الصف الثاني عشر ‪ -‬علمي‬
‫بند (‪)3-2‬‬
‫عدد الحصص (‪)3‬‬

‫الحصة االولى‬
‫إعداد معلمات قسم الرياضيات‬
‫رئيسة القسم‬
‫أ‪ /‬نورة العجمي‬

‫الموجهة الفنية‬
‫مديرة المدرسة‬
‫أ‪ /‬منى المسري‬
‫دشتي‬

‫أ‪/‬فاطمة‬

‫البند (‪ / )3-2‬الحصة االولى‬

‫تزايد وتناقص الدوال‬

‫الهدف العام‬
‫تطبيق نظرية القيمة المتوسطة‬
‫األهداف‬
‫السلوكية‬
‫‪1‬يوجد متوسط معدل التغير لدالة على فترة ما‪.‬‬
‫‪-2‬يذكر نظرية القيمة المتوسطة‪.‬‬
‫‪-3‬يحل تمارين باستخدام نظرية القيمة المتوسطة‪.‬‬

‫الوسائل‬
‫المستخدمة‬

‫المعلم‬

‫المتعلم‬

‫األقالم‬

‫كتاب الطالب‬

‫السبورة‬

‫كراس التمارين‬

‫داتا شو‬

‫الة حاسبة‬

‫المفردات‬
‫والمصطلحات‬
‫نظرية القيمة المتوسطة‬
‫االخطاء‬
‫المتوقعة‬

‫التمهيد‬

‫المستقيم القاطع‬
‫‪y‬‬
‫‪3‬‬

‫‪B‬‬

‫دعنا نفكر ونتناقش‬

‫‪2‬‬
‫‪1‬‬

‫إذا كانت 𝟏 ‪ 𝒇 𝒙 = 𝒙𝟐 −‬فأجب عما يلي‪:‬‬

‫‪ (1‬ارسم المستقيم المار بالنقطتين‬
‫𝑩𝑨 𝒎‪.‬‬

‫𝟐 𝒇‪, 𝑩 𝟐 ,‬‬

‫‪x‬‬

‫‪2‬‬

‫وهل 𝒇 قابلة لالشتقاق على الفترة 𝟐‪ −𝟏,‬؟‬
‫𝟏‬

‫‪ )4‬استنتج العالقة بين ‪.1 , 3‬‬

‫‪-2‬‬

‫𝟏‪ 𝑨 −𝟏 ,𝒇 −‬ثم أوجد الميل‬

‫‪ (2‬هل الدالة 𝒇 متصلة على 𝟐‪ −𝟏 ,‬؟‬

‫‪ )3‬أوجد ميل المماس لمنحنى 𝒇 عند 𝟐 = 𝒙‬

‫‪1‬‬

‫‪-1‬‬

‫‪A‬‬
‫‪-1‬‬

‫الحظ أن 𝟐 ‪∈ −𝟏 ,‬‬

‫𝟏‬
‫𝟐‬

‫التمهيد‬

‫المستقيم القاطع‬
‫‪y‬‬
‫‪3‬‬

‫‪B‬‬

‫دعنا نفكر ونتناقش‬

‫‪2‬‬
‫‪1‬‬

‫إذا كانت 𝟏 ‪ 𝒇 𝒙 = 𝒙𝟐 −‬فأجب عما يلي‪:‬‬

‫‪ (1‬ارسم المستقيم المار بالنقطتين‬
‫𝑩𝑨 𝒎‪.‬‬

‫‪x‬‬

‫𝟐 𝒇‪, 𝑩 𝟐 ,‬‬

‫‪2‬‬

‫وهل 𝒇 قابلة لالشتقاق على الفترة 𝟐‪ −𝟏,‬؟ ‪=1‬‬

‫‪-2‬‬

‫𝟏‪ 𝑨 −𝟏 ,𝒇 −‬ثم أوجد الميل‬

‫‪ (2‬هل الدالة 𝒇 متصلة على 𝟐‪ −𝟏 ,‬؟ نعم‬
‫𝟏‬
‫𝟐‬

‫‪1‬‬

‫‪-1‬‬

‫‪A‬‬
‫‪-1‬‬

‫`𝒇‬

‫𝟏‬

‫الحظ أن 𝟐 ‪∈ −𝟏 ,‬‬
‫‪ )3‬أوجد ميل المماس لمنحنى 𝒇 عند 𝟐 = 𝒙‬
‫ميل المماس = ‪1‬‬
‫‪ )4‬استنتج العالقة بين ‪ .1 , 3‬المستقيمان متوازيان‬

‫𝟏‬
‫𝟐‬

‫التدريس‬
‫تربط نظرية القيمة المتوسطة بين متوسط معدل تغير دالة على فترة‬

‫مماس مواز للقاطع‬

‫ما‪ ،‬ومعدل التغير للدالة عند نقطة تنتمي إلى هذه الفترة‪.‬‬

‫ميل المماس = 𝑐 ‪𝑓′‬‬
‫𝐵‬

‫تمكن نتائجها القوية في صميم بعض التطبيقات الكثيرة األهمية في علم‬
‫𝐴‬

‫حساب التفاضل والتكامل‪.‬‬
‫𝑥‬

‫𝑏‬

‫تقول النظرية انه في مكان ما بين النقطتين ‪A,B‬منحنى دالة قابلة‬
‫لالشتقاق‪ ،‬يوجد على األقل خط مماس واحد يوازي قاطع المنحنى‬
‫𝑩𝑨 ‪.‬‬
‫𝑦‬

‫𝒂 𝒇‪𝒇 𝒃 −‬‬
‫= 𝑩𝑨 𝒎‬
‫𝒂‪𝒃−‬‬
‫𝑥‬

‫𝑏‬

‫‪𝑐₂‬‬

‫‪𝑐₁‬‬

‫𝑎‬

‫𝑎‬
‫𝑐‬
‫𝑥 𝑓=𝑦‬

‫‪y‬‬

‫نظرية‬
‫(‪)3‬‬

‫نظرية القيمة المتوسطة‬

‫إذا كانت 𝒇 دالة‬
‫‪ )1‬متصلة على الفترة 𝒃‪𝒂,‬‬
‫‪ )2‬قابلة لالشتقاق على الفترة 𝒃‪𝒂,‬‬
‫فإنه يوجد على األقل 𝒃‪ 𝒄 ∈ 𝒂,‬بحيث‬
‫𝒂 𝒇‪𝒇 𝒃 −‬‬
‫= 𝒄 ˈ𝒇‬
‫𝒂‪𝒃−‬‬
‫انتبه‬
‫شروط النظرية كافية وليست الزمة أي ان توفر الشروط يؤكد وجود 𝒄‬
‫وعدم تحقق أحد الشرطين ال يعني بالضرورة عدم وجود 𝒄‬

‫مالحظات هامة‪:‬‬

‫‪ )1‬إذا لم يتحقق أحد شرطي النظرية (‪ )3‬فإنه قد ال يكون لبيان الدالة مماس موازي للقاطع 𝑩𝑨‪.‬‬
‫فمثال 𝒙 = 𝒙 𝒇 متصلة على الفترة 𝟏‪ ، −𝟏 ,‬وقابلة لالشتقاق عند كل 𝒙 تنتمي إلى 𝟏‪−𝟏 ,‬‬
‫باستثناء عند 𝟎 = 𝒙 ‪.‬‬
‫بيان الدالة ليس مماس يوازي 𝑩𝑨 (شكل ‪)2‬‬

‫𝑦‬

‫𝑥 =𝑦‬

‫‪1‬‬
‫𝐵‬

‫𝑥‬

‫𝐴‬

‫‪1‬‬

‫‪-1‬‬
‫شكل (‪)2‬‬

‫‪ )2‬يبين شكل (‪ )3‬بيان دالة 𝒇 قابلة لالشتقاق عند كل 𝒙 تنتمي إلى الفترة 𝒃‪𝒂 ,‬‬
‫ومتصلة على الفترة 𝒃‪ 𝒂 ,‬ولكن ال يوجد مماس يوازي 𝑩𝑨‪.‬‬

‫𝑥 𝑓=𝑦‬

‫𝐴‬

‫𝐵‬

‫𝑎‬

‫𝑏‬

‫شكل (‪)3‬‬

‫‪ )3‬بيان الدالة في الشكل (‪ )4‬يبين نقطة انفصال وبالرغم من عدم توفر شرط من‬
‫شروط نظرية القيمة المتوسطة إال انه يوجد مماس للمنحنى عند 𝒄 يوازي 𝑩𝑨‬
‫𝑦‬

‫𝐴‬

‫𝑥‬

‫𝑏‬

‫𝑐‬

‫𝐵‬
‫شكل (‪)4‬‬

‫𝑎‬

‫‪ )4‬يمكن إيجاد اكثر من نقطة واحدة بحيث 𝒃‪, 𝒄 ∈ 𝒂,‬‬
‫المماس عند كل النقاط‬

‫𝒂 𝒇‪𝒇 𝒃 −‬‬
‫𝒂‪𝒃−‬‬

‫= 𝒄 ˈ𝒇 أي ان‬

‫‪ 𝒄₁,𝒇 𝒄₁‬يوازي 𝑩𝑨 كما في الشكل (‪.)5‬‬

‫‪, 𝒄₂ ,𝒇 𝒄₂‬‬

‫𝑦‬

‫𝑏‬

‫𝑥‬

‫‪𝑐₁‬‬

‫‪𝑐₂‬‬

‫𝑎‬

‫شكل (‪)5‬‬

‫‪ )5‬في نظرية القيمة المتوسطة إذا كان 𝒃 𝒇 = 𝒂 𝒇 فإن 𝟎 = 𝒄 ˈ𝒇 أي ان‬
‫المماس للمنحنى عند 𝒄 يوازي القاطع ويوازي محور السينات أي أن المماس‬
‫افقي كما في الشكل‬
‫𝑦‬

‫𝐵‬

‫𝑥‬

‫𝐴‬

‫𝑏‬

‫𝑐‬
‫شكل (‪)6‬‬

‫𝑎‬

‫مثال (‪)1‬‬

‫كتاب الطالب ص‪133‬مثال )‪(1‬‬

‫الحل ‪:‬‬

‫بين أن الدالة 𝒇 ∶ ‪ 𝒇 𝒙 = 𝒙²‬تحقق شروط نظرية القيمة‬
‫المتوسطة على الفترة 𝟐‪ ، 𝟎,‬ثم أوجد 𝒄 الذي تنبئ به‬
‫النظرية وفسر إجابتك‪.‬‬

‫الدالة 𝒇 ∶ ‪ 𝒇 𝒙 = 𝒙²‬دالة كثيرة حدود متصلة على ‪ℝ‬‬
‫فهي متصلة على الفترة 𝟐‪ ، 𝟎,‬وقابلة لالشتقاق على 𝟐‪. 𝟎,‬‬
‫∴ شروط نظرية القيمة المتوسطة محققة على الفترة 𝟐‪. 𝟎,‬‬
‫∴ يوجد على األقل 𝟐‪ 𝒄 ∈ 𝟎,‬بحيث‪𝒇 𝒃 − 𝒇 𝒂 :‬‬
‫= 𝒄 ˈ𝒇‬
‫𝒂‪𝒃−‬‬
‫𝟎 𝒇‪𝒇 𝟐 −‬‬
‫=‬
‫𝟎‪𝟐−‬‬
‫𝟒 = 𝟐𝟐 = 𝟐 𝒇 ‪∵ 𝒇 𝟎 = 𝟎 𝟐 = 𝟎 ,‬‬
‫𝒙𝟐 = 𝒙 ˈ𝒇‬
‫𝒄𝟐 = 𝒄 ˈ𝒇 ‪,‬‬
‫𝟎 𝒇‪𝒇 𝟐 −‬‬
‫𝟎‪𝟐−‬‬
‫𝟎‪𝟒−‬‬
‫= 𝒄𝟐‬
‫𝟎‪𝟐−‬‬
‫𝟐 = 𝒄𝟐‬
‫𝟏=𝒄‬

‫= 𝒄𝟐 ∴‬

‫التفسير‬
‫يوجد مماس لمنحنى الدالة 𝒇 عند 𝟏 = 𝒙‬
‫يوازي القاطع المار بالنقطتين 𝟒‪𝟎,𝟎 , 𝟐,‬‬

‫التقييم‬

‫حاول أن تحل‬
‫ص‪133‬رقم)‪(1‬‬

‫الحل ‪:‬‬

‫بين أن الدالة 𝒙𝟐 ‪ 𝒇 𝒙 = 𝒙2 +‬تحقق شروط نظرية القيمة‬
‫المتوسطة على الفترة 𝟏‪ ، −𝟑 ,‬ثم أوجد قيمة 𝒄 الذي تنبئ‬
‫به النظرية وفسر اجابتك‬
‫متصلة على 𝟏‪−𝟑 ,‬‬

‫∵ الدالة 𝒇 دالة كثيرة حدود متصلة على ‪ℝ‬‬
‫وقابلة لالشتقاق على 𝟏‪−𝟑 ,‬‬
‫∴ شروط نظرية القيمة المتوسطة محققة على 𝟏‪−𝟑 ,‬‬
‫∴ يوجد على األقل 𝒄 ∶ 𝟏‪ 𝒄 ∈ −𝟑,‬بحيث‬
‫𝒂 𝒇‪𝒇 𝒃 −‬‬
‫𝒂‪𝒃−‬‬

‫= 𝒄 ˈ𝒇‬

‫𝟑 𝒇‪𝒇 𝟏 −‬‬
‫𝟑‪𝟑−‬‬
‫=‬
‫𝟎=‬
‫𝟑‪𝟏 − −‬‬
‫𝟒‬
‫𝟐 ‪𝒇ˈ 𝒄 = 𝟐𝒄 +‬‬

‫‪,‬‬

‫=‬

‫𝟐 ‪∵ 𝒇ˈ 𝒙 = 𝟐𝒙 +‬‬
‫𝟎 = 𝟐 ‪𝟐𝒄 +‬‬

‫𝟏‪𝒄 = −‬‬

‫𝟐‪𝟐𝒄 = −‬‬

‫∴ يوجد مماس لمنحنى الدالة 𝒇 عند 𝟏‪ 𝒙 = −‬يوازي القاطع المار بالنقطتين‬
‫𝟑‪𝟏,𝟑 , −𝟑,‬‬

‫مثال (‪)2‬‬

‫كتاب الطالب ص‪133‬مثال )‪(2‬‬

‫بين أن الدالة 𝒇 ∶ 𝟏 ‪ 𝒇 𝒙 = 𝒙𝟑 +‬تحقق شروط نظرية القيمة‬
‫المتوسطة على الفترة 𝟑‪ ، −𝟑 ,‬ثم أوجد قيمة 𝒄 الذي‬
‫تنبئ به النظرية وفسر اجابتك‪.‬‬

‫الدالة 𝒇 دالة كثيرة حدود متصلة على ‪ℝ‬‬
‫الحل ‪:‬‬
‫فهي متصلة على الفترة 𝟑‪ −𝟑,‬وقابلة لالشتقاق على الفترة 𝟑‪. −𝟑,‬‬
‫∴ شروط نظرية القيمة المتوسطة محققة على الفترة 𝟑‪−𝟑,‬‬
‫∴ يوجد على األقل 𝟑‪ 𝒄 ∈ −𝟑 ,‬بحيث‪:‬‬
‫𝒂 𝒇‪𝒇 𝒃 −‬‬
‫= 𝒄 ˈ𝒇‬
‫𝒂‪𝒃−‬‬
‫𝟑‪𝒇 𝟑 − 𝒇 −‬‬
‫= 𝒄 ˈ𝒇‬
‫𝟑‪𝟑 − −‬‬
‫‪∵ 𝒇 −𝟑 = −𝟑 𝟑 + 𝟏 = −𝟐𝟔 ,‬‬
‫𝟖𝟐 = 𝟏 ‪𝒇 𝟑 = 𝟑𝟑 +‬‬
‫‪𝒇ˈ 𝒙 = 𝟑𝒙𝟑 ,‬‬
‫𝟐𝒄𝟑 = 𝒄 ˈ𝒇‬
‫𝟑‪𝒇 𝟑 − 𝒇 −‬‬
‫التفسير‬
‫= 𝟐𝒄𝟑 ∴‬
‫𝟑‪𝟑 − −‬‬
‫𝟔𝟐‪𝟐𝟖 − −‬‬
‫𝟒𝟓‬
‫يوجد مماسان لمنحنى الدالة 𝒇 عند‪:‬‬
‫= 𝟐𝒄𝟑‬
‫=‬
‫𝟗=‬
‫𝟑‪𝟑+‬‬
‫𝟔‬
‫𝟑 =𝒙‬
‫𝟑 ‪, 𝒙=−‬‬
‫𝟗‬
‫والمماسان يوازيان القاطع المار بالنقطتين‪:‬‬
‫𝟑 = = 𝟐𝒄‬
‫𝟑‬
‫𝟖𝟐‪−𝟑 , − 𝟐𝟔 , 𝟑 ,‬‬
‫‪𝒄 = 𝟑 ∈ ]-3,3[,‬‬
‫[‪𝒄 = − 𝟑 ∈ ]-3,3‬‬

‫بين أن الدالة 𝟐 ‪ 𝒇 𝒙 = 𝒙𝟑 − 𝟑𝒙 +‬تحقق شروط نظرية القيمة‬
‫المتوسطة على الفترة 𝟒‪ ، 𝟎,‬ثم أوجد 𝒄 الذي تنبئ به‬
‫النظرية وفسر إجابتك‪.‬‬

‫التقييم‬

‫حاول أن تحل‬
‫ص‪134‬رقم)‪(2‬‬

‫الحل ‪:‬‬

‫متصلة على 𝟒‪𝟎,‬‬

‫∵ الدالة 𝒇 دالة كثيرة حدود متصلة على ‪ℝ‬‬
‫وقابلة لالشتقاق على 𝟒‪𝟎,‬‬
‫∴ شروط نظرية القيمة المتوسطة محققه على 𝟒‪𝟎,‬‬
‫∴ يوجد على األقل ∁ ‪ ∁∈ 𝟎,𝟒 :‬بحيث‬
‫𝒂 𝒇‪𝒇 𝒃 −‬‬
‫= 𝒄 ˈ𝒇‬
‫𝒂‪𝒃−‬‬
‫𝟎 𝒇‪𝒇 𝟒 −‬‬
‫𝟕𝟐 𝟒𝟓‬
‫=‬
‫=‬
‫=‬
‫𝟎‪𝟒−‬‬
‫𝟒‬
‫𝟐‬
‫𝟐 ‪𝒇ˈ 𝒙 = 𝟑𝒙𝟐 −‬‬

‫𝟐 ‪𝒇ˈ 𝒄 = 𝟑𝒄𝟐 −‬‬

‫𝟕𝟐‬
‫𝟐‬
‫𝟗‬
‫= 𝟏 ‪𝒄𝟐 −‬‬
‫𝟐‬

‫= 𝟑 ‪∴ 𝟑𝒄𝟐 −‬‬

‫𝟒‪∉ 𝟎,‬‬

‫𝟏𝟏‬
‫𝟐‬

‫‪𝒄=−‬‬

‫‪,‬‬

‫∴ يوجد مماس لمنحنى الدالة 𝒇 عند‬
‫𝟒𝟓‪𝟎,𝟐 , 𝟒,‬‬

‫𝟒‪∈ 𝟎,‬‬

‫𝟏𝟏‬
‫𝟐‬

‫=𝒄 ∴‬

‫𝟏𝟏 = 𝒙 يوازي القاطع المار بالنقطتين‬
‫𝟐‬

‫الخاتمة‬

‫بند (‪ )3‬موضوعي‬
‫صـ‪54‬‬

‫ظلل 𝒂 إذا كانت العبارة صحيحة و 𝒃 إذا كانت العبارة خاطئة‬
‫الدالة 𝒇 ∶‬

‫𝟑‬

‫𝟐‬

‫𝒙 = 𝒙 𝒇 تحقق شروط نظرية القيمة المتوسطة على 𝟏‪𝟎,‬‬

‫‪b‬‬

‫‪a‬‬

‫التطبيق‬
‫كراس التمارين‬
‫ص ‪54‬رقم )‪(2‬‬


Slide 10

‫وزارة التربية‬
‫اإلدارة العامة لمنطقة مبارك الكبير التعليمية‬
‫ثانوية العدان بنات‬
‫قسم الرياضيات‬

‫المركز اإلقليمي لتطوير البرمجيات التعليمية‬

‫تطبيقات على اإلشتقاق‬
‫الصف الثاني عشر ‪ -‬علمي‬
‫بند (‪)3-2‬‬
‫عدد الحصص (‪)3‬‬

‫الحصة االولى‬
‫إعداد معلمات قسم الرياضيات‬
‫رئيسة القسم‬
‫أ‪ /‬نورة العجمي‬

‫الموجهة الفنية‬
‫مديرة المدرسة‬
‫أ‪ /‬منى المسري‬
‫دشتي‬

‫أ‪/‬فاطمة‬

‫البند (‪ / )3-2‬الحصة االولى‬

‫تزايد وتناقص الدوال‬

‫الهدف العام‬
‫تطبيق نظرية القيمة المتوسطة‬
‫األهداف‬
‫السلوكية‬
‫‪1‬يوجد متوسط معدل التغير لدالة على فترة ما‪.‬‬
‫‪-2‬يذكر نظرية القيمة المتوسطة‪.‬‬
‫‪-3‬يحل تمارين باستخدام نظرية القيمة المتوسطة‪.‬‬

‫الوسائل‬
‫المستخدمة‬

‫المعلم‬

‫المتعلم‬

‫األقالم‬

‫كتاب الطالب‬

‫السبورة‬

‫كراس التمارين‬

‫داتا شو‬

‫الة حاسبة‬

‫المفردات‬
‫والمصطلحات‬
‫نظرية القيمة المتوسطة‬
‫االخطاء‬
‫المتوقعة‬

‫التمهيد‬

‫المستقيم القاطع‬
‫‪y‬‬
‫‪3‬‬

‫‪B‬‬

‫دعنا نفكر ونتناقش‬

‫‪2‬‬
‫‪1‬‬

‫إذا كانت 𝟏 ‪ 𝒇 𝒙 = 𝒙𝟐 −‬فأجب عما يلي‪:‬‬

‫‪ (1‬ارسم المستقيم المار بالنقطتين‬
‫𝑩𝑨 𝒎‪.‬‬

‫𝟐 𝒇‪, 𝑩 𝟐 ,‬‬

‫‪x‬‬

‫‪2‬‬

‫وهل 𝒇 قابلة لالشتقاق على الفترة 𝟐‪ −𝟏,‬؟‬
‫𝟏‬

‫‪ )4‬استنتج العالقة بين ‪.1 , 3‬‬

‫‪-2‬‬

‫𝟏‪ 𝑨 −𝟏 ,𝒇 −‬ثم أوجد الميل‬

‫‪ (2‬هل الدالة 𝒇 متصلة على 𝟐‪ −𝟏 ,‬؟‬

‫‪ )3‬أوجد ميل المماس لمنحنى 𝒇 عند 𝟐 = 𝒙‬

‫‪1‬‬

‫‪-1‬‬

‫‪A‬‬
‫‪-1‬‬

‫الحظ أن 𝟐 ‪∈ −𝟏 ,‬‬

‫𝟏‬
‫𝟐‬

‫التمهيد‬

‫المستقيم القاطع‬
‫‪y‬‬
‫‪3‬‬

‫‪B‬‬

‫دعنا نفكر ونتناقش‬

‫‪2‬‬
‫‪1‬‬

‫إذا كانت 𝟏 ‪ 𝒇 𝒙 = 𝒙𝟐 −‬فأجب عما يلي‪:‬‬

‫‪ (1‬ارسم المستقيم المار بالنقطتين‬
‫𝑩𝑨 𝒎‪.‬‬

‫‪x‬‬

‫𝟐 𝒇‪, 𝑩 𝟐 ,‬‬

‫‪2‬‬

‫وهل 𝒇 قابلة لالشتقاق على الفترة 𝟐‪ −𝟏,‬؟ ‪=1‬‬

‫‪-2‬‬

‫𝟏‪ 𝑨 −𝟏 ,𝒇 −‬ثم أوجد الميل‬

‫‪ (2‬هل الدالة 𝒇 متصلة على 𝟐‪ −𝟏 ,‬؟ نعم‬
‫𝟏‬
‫𝟐‬

‫‪1‬‬

‫‪-1‬‬

‫‪A‬‬
‫‪-1‬‬

‫`𝒇‬

‫𝟏‬

‫الحظ أن 𝟐 ‪∈ −𝟏 ,‬‬
‫‪ )3‬أوجد ميل المماس لمنحنى 𝒇 عند 𝟐 = 𝒙‬
‫ميل المماس = ‪1‬‬
‫‪ )4‬استنتج العالقة بين ‪ .1 , 3‬المستقيمان متوازيان‬

‫𝟏‬
‫𝟐‬

‫التدريس‬
‫تربط نظرية القيمة المتوسطة بين متوسط معدل تغير دالة على فترة‬

‫مماس مواز للقاطع‬

‫ما‪ ،‬ومعدل التغير للدالة عند نقطة تنتمي إلى هذه الفترة‪.‬‬

‫ميل المماس = 𝑐 ‪𝑓′‬‬
‫𝐵‬

‫تمكن نتائجها القوية في صميم بعض التطبيقات الكثيرة األهمية في علم‬
‫𝐴‬

‫حساب التفاضل والتكامل‪.‬‬
‫𝑥‬

‫𝑏‬

‫تقول النظرية انه في مكان ما بين النقطتين ‪A,B‬منحنى دالة قابلة‬
‫لالشتقاق‪ ،‬يوجد على األقل خط مماس واحد يوازي قاطع المنحنى‬
‫𝑩𝑨 ‪.‬‬
‫𝑦‬

‫𝒂 𝒇‪𝒇 𝒃 −‬‬
‫= 𝑩𝑨 𝒎‬
‫𝒂‪𝒃−‬‬
‫𝑥‬

‫𝑏‬

‫‪𝑐₂‬‬

‫‪𝑐₁‬‬

‫𝑎‬

‫𝑎‬
‫𝑐‬
‫𝑥 𝑓=𝑦‬

‫‪y‬‬

‫نظرية‬
‫(‪)3‬‬

‫نظرية القيمة المتوسطة‬

‫إذا كانت 𝒇 دالة‬
‫‪ )1‬متصلة على الفترة 𝒃‪𝒂,‬‬
‫‪ )2‬قابلة لالشتقاق على الفترة 𝒃‪𝒂,‬‬
‫فإنه يوجد على األقل 𝒃‪ 𝒄 ∈ 𝒂,‬بحيث‬
‫𝒂 𝒇‪𝒇 𝒃 −‬‬
‫= 𝒄 ˈ𝒇‬
‫𝒂‪𝒃−‬‬
‫انتبه‬
‫شروط النظرية كافية وليست الزمة أي ان توفر الشروط يؤكد وجود 𝒄‬
‫وعدم تحقق أحد الشرطين ال يعني بالضرورة عدم وجود 𝒄‬

‫مالحظات هامة‪:‬‬

‫‪ )1‬إذا لم يتحقق أحد شرطي النظرية (‪ )3‬فإنه قد ال يكون لبيان الدالة مماس موازي للقاطع 𝑩𝑨‪.‬‬
‫فمثال 𝒙 = 𝒙 𝒇 متصلة على الفترة 𝟏‪ ، −𝟏 ,‬وقابلة لالشتقاق عند كل 𝒙 تنتمي إلى 𝟏‪−𝟏 ,‬‬
‫باستثناء عند 𝟎 = 𝒙 ‪.‬‬
‫بيان الدالة ليس مماس يوازي 𝑩𝑨 (شكل ‪)2‬‬

‫𝑦‬

‫𝑥 =𝑦‬

‫‪1‬‬
‫𝐵‬

‫𝑥‬

‫𝐴‬

‫‪1‬‬

‫‪-1‬‬
‫شكل (‪)2‬‬

‫‪ )2‬يبين شكل (‪ )3‬بيان دالة 𝒇 قابلة لالشتقاق عند كل 𝒙 تنتمي إلى الفترة 𝒃‪𝒂 ,‬‬
‫ومتصلة على الفترة 𝒃‪ 𝒂 ,‬ولكن ال يوجد مماس يوازي 𝑩𝑨‪.‬‬

‫𝑥 𝑓=𝑦‬

‫𝐴‬

‫𝐵‬

‫𝑎‬

‫𝑏‬

‫شكل (‪)3‬‬

‫‪ )3‬بيان الدالة في الشكل (‪ )4‬يبين نقطة انفصال وبالرغم من عدم توفر شرط من‬
‫شروط نظرية القيمة المتوسطة إال انه يوجد مماس للمنحنى عند 𝒄 يوازي 𝑩𝑨‬
‫𝑦‬

‫𝐴‬

‫𝑥‬

‫𝑏‬

‫𝑐‬

‫𝐵‬
‫شكل (‪)4‬‬

‫𝑎‬

‫‪ )4‬يمكن إيجاد اكثر من نقطة واحدة بحيث 𝒃‪, 𝒄 ∈ 𝒂,‬‬
‫المماس عند كل النقاط‬

‫𝒂 𝒇‪𝒇 𝒃 −‬‬
‫𝒂‪𝒃−‬‬

‫= 𝒄 ˈ𝒇 أي ان‬

‫‪ 𝒄₁,𝒇 𝒄₁‬يوازي 𝑩𝑨 كما في الشكل (‪.)5‬‬

‫‪, 𝒄₂ ,𝒇 𝒄₂‬‬

‫𝑦‬

‫𝑏‬

‫𝑥‬

‫‪𝑐₁‬‬

‫‪𝑐₂‬‬

‫𝑎‬

‫شكل (‪)5‬‬

‫‪ )5‬في نظرية القيمة المتوسطة إذا كان 𝒃 𝒇 = 𝒂 𝒇 فإن 𝟎 = 𝒄 ˈ𝒇 أي ان‬
‫المماس للمنحنى عند 𝒄 يوازي القاطع ويوازي محور السينات أي أن المماس‬
‫افقي كما في الشكل‬
‫𝑦‬

‫𝐵‬

‫𝑥‬

‫𝐴‬

‫𝑏‬

‫𝑐‬
‫شكل (‪)6‬‬

‫𝑎‬

‫مثال (‪)1‬‬

‫كتاب الطالب ص‪133‬مثال )‪(1‬‬

‫الحل ‪:‬‬

‫بين أن الدالة 𝒇 ∶ ‪ 𝒇 𝒙 = 𝒙²‬تحقق شروط نظرية القيمة‬
‫المتوسطة على الفترة 𝟐‪ ، 𝟎,‬ثم أوجد 𝒄 الذي تنبئ به‬
‫النظرية وفسر إجابتك‪.‬‬

‫الدالة 𝒇 ∶ ‪ 𝒇 𝒙 = 𝒙²‬دالة كثيرة حدود متصلة على ‪ℝ‬‬
‫فهي متصلة على الفترة 𝟐‪ ، 𝟎,‬وقابلة لالشتقاق على 𝟐‪. 𝟎,‬‬
‫∴ شروط نظرية القيمة المتوسطة محققة على الفترة 𝟐‪. 𝟎,‬‬
‫∴ يوجد على األقل 𝟐‪ 𝒄 ∈ 𝟎,‬بحيث‪𝒇 𝒃 − 𝒇 𝒂 :‬‬
‫= 𝒄 ˈ𝒇‬
‫𝒂‪𝒃−‬‬
‫𝟎 𝒇‪𝒇 𝟐 −‬‬
‫=‬
‫𝟎‪𝟐−‬‬
‫𝟒 = 𝟐𝟐 = 𝟐 𝒇 ‪∵ 𝒇 𝟎 = 𝟎 𝟐 = 𝟎 ,‬‬
‫𝒙𝟐 = 𝒙 ˈ𝒇‬
‫𝒄𝟐 = 𝒄 ˈ𝒇 ‪,‬‬
‫𝟎 𝒇‪𝒇 𝟐 −‬‬
‫𝟎‪𝟐−‬‬
‫𝟎‪𝟒−‬‬
‫= 𝒄𝟐‬
‫𝟎‪𝟐−‬‬
‫𝟐 = 𝒄𝟐‬
‫𝟏=𝒄‬

‫= 𝒄𝟐 ∴‬

‫التفسير‬
‫يوجد مماس لمنحنى الدالة 𝒇 عند 𝟏 = 𝒙‬
‫يوازي القاطع المار بالنقطتين 𝟒‪𝟎,𝟎 , 𝟐,‬‬

‫التقييم‬

‫حاول أن تحل‬
‫ص‪133‬رقم)‪(1‬‬

‫الحل ‪:‬‬

‫بين أن الدالة 𝒙𝟐 ‪ 𝒇 𝒙 = 𝒙2 +‬تحقق شروط نظرية القيمة‬
‫المتوسطة على الفترة 𝟏‪ ، −𝟑 ,‬ثم أوجد قيمة 𝒄 الذي تنبئ‬
‫به النظرية وفسر اجابتك‬
‫متصلة على 𝟏‪−𝟑 ,‬‬

‫∵ الدالة 𝒇 دالة كثيرة حدود متصلة على ‪ℝ‬‬
‫وقابلة لالشتقاق على 𝟏‪−𝟑 ,‬‬
‫∴ شروط نظرية القيمة المتوسطة محققة على 𝟏‪−𝟑 ,‬‬
‫∴ يوجد على األقل 𝒄 ∶ 𝟏‪ 𝒄 ∈ −𝟑,‬بحيث‬
‫𝒂 𝒇‪𝒇 𝒃 −‬‬
‫𝒂‪𝒃−‬‬

‫= 𝒄 ˈ𝒇‬

‫𝟑 𝒇‪𝒇 𝟏 −‬‬
‫𝟑‪𝟑−‬‬
‫=‬
‫𝟎=‬
‫𝟑‪𝟏 − −‬‬
‫𝟒‬
‫𝟐 ‪𝒇ˈ 𝒄 = 𝟐𝒄 +‬‬

‫‪,‬‬

‫=‬

‫𝟐 ‪∵ 𝒇ˈ 𝒙 = 𝟐𝒙 +‬‬
‫𝟎 = 𝟐 ‪𝟐𝒄 +‬‬

‫𝟏‪𝒄 = −‬‬

‫𝟐‪𝟐𝒄 = −‬‬

‫∴ يوجد مماس لمنحنى الدالة 𝒇 عند 𝟏‪ 𝒙 = −‬يوازي القاطع المار بالنقطتين‬
‫𝟑‪𝟏,𝟑 , −𝟑,‬‬

‫مثال (‪)2‬‬

‫كتاب الطالب ص‪133‬مثال )‪(2‬‬

‫بين أن الدالة 𝒇 ∶ 𝟏 ‪ 𝒇 𝒙 = 𝒙𝟑 +‬تحقق شروط نظرية القيمة‬
‫المتوسطة على الفترة 𝟑‪ ، −𝟑 ,‬ثم أوجد قيمة 𝒄 الذي‬
‫تنبئ به النظرية وفسر اجابتك‪.‬‬

‫الدالة 𝒇 دالة كثيرة حدود متصلة على ‪ℝ‬‬
‫الحل ‪:‬‬
‫فهي متصلة على الفترة 𝟑‪ −𝟑,‬وقابلة لالشتقاق على الفترة 𝟑‪. −𝟑,‬‬
‫∴ شروط نظرية القيمة المتوسطة محققة على الفترة 𝟑‪−𝟑,‬‬
‫∴ يوجد على األقل 𝟑‪ 𝒄 ∈ −𝟑 ,‬بحيث‪:‬‬
‫𝒂 𝒇‪𝒇 𝒃 −‬‬
‫= 𝒄 ˈ𝒇‬
‫𝒂‪𝒃−‬‬
‫𝟑‪𝒇 𝟑 − 𝒇 −‬‬
‫= 𝒄 ˈ𝒇‬
‫𝟑‪𝟑 − −‬‬
‫‪∵ 𝒇 −𝟑 = −𝟑 𝟑 + 𝟏 = −𝟐𝟔 ,‬‬
‫𝟖𝟐 = 𝟏 ‪𝒇 𝟑 = 𝟑𝟑 +‬‬
‫‪𝒇ˈ 𝒙 = 𝟑𝒙𝟑 ,‬‬
‫𝟐𝒄𝟑 = 𝒄 ˈ𝒇‬
‫𝟑‪𝒇 𝟑 − 𝒇 −‬‬
‫التفسير‬
‫= 𝟐𝒄𝟑 ∴‬
‫𝟑‪𝟑 − −‬‬
‫𝟔𝟐‪𝟐𝟖 − −‬‬
‫𝟒𝟓‬
‫يوجد مماسان لمنحنى الدالة 𝒇 عند‪:‬‬
‫= 𝟐𝒄𝟑‬
‫=‬
‫𝟗=‬
‫𝟑‪𝟑+‬‬
‫𝟔‬
‫𝟑 =𝒙‬
‫𝟑 ‪, 𝒙=−‬‬
‫𝟗‬
‫والمماسان يوازيان القاطع المار بالنقطتين‪:‬‬
‫𝟑 = = 𝟐𝒄‬
‫𝟑‬
‫𝟖𝟐‪−𝟑 , − 𝟐𝟔 , 𝟑 ,‬‬
‫‪𝒄 = 𝟑 ∈ ]-3,3[,‬‬
‫[‪𝒄 = − 𝟑 ∈ ]-3,3‬‬

‫بين أن الدالة 𝟐 ‪ 𝒇 𝒙 = 𝒙𝟑 − 𝟑𝒙 +‬تحقق شروط نظرية القيمة‬
‫المتوسطة على الفترة 𝟒‪ ، 𝟎,‬ثم أوجد 𝒄 الذي تنبئ به‬
‫النظرية وفسر إجابتك‪.‬‬

‫التقييم‬

‫حاول أن تحل‬
‫ص‪134‬رقم)‪(2‬‬

‫الحل ‪:‬‬

‫متصلة على 𝟒‪𝟎,‬‬

‫∵ الدالة 𝒇 دالة كثيرة حدود متصلة على ‪ℝ‬‬
‫وقابلة لالشتقاق على 𝟒‪𝟎,‬‬
‫∴ شروط نظرية القيمة المتوسطة محققه على 𝟒‪𝟎,‬‬
‫∴ يوجد على األقل ∁ ‪ ∁∈ 𝟎,𝟒 :‬بحيث‬
‫𝒂 𝒇‪𝒇 𝒃 −‬‬
‫= 𝒄 ˈ𝒇‬
‫𝒂‪𝒃−‬‬
‫𝟎 𝒇‪𝒇 𝟒 −‬‬
‫𝟕𝟐 𝟒𝟓‬
‫=‬
‫=‬
‫=‬
‫𝟎‪𝟒−‬‬
‫𝟒‬
‫𝟐‬
‫𝟐 ‪𝒇ˈ 𝒙 = 𝟑𝒙𝟐 −‬‬

‫𝟐 ‪𝒇ˈ 𝒄 = 𝟑𝒄𝟐 −‬‬

‫𝟕𝟐‬
‫𝟐‬
‫𝟗‬
‫= 𝟏 ‪𝒄𝟐 −‬‬
‫𝟐‬

‫= 𝟑 ‪∴ 𝟑𝒄𝟐 −‬‬

‫𝟒‪∉ 𝟎,‬‬

‫𝟏𝟏‬
‫𝟐‬

‫‪𝒄=−‬‬

‫‪,‬‬

‫∴ يوجد مماس لمنحنى الدالة 𝒇 عند‬
‫𝟒𝟓‪𝟎,𝟐 , 𝟒,‬‬

‫𝟒‪∈ 𝟎,‬‬

‫𝟏𝟏‬
‫𝟐‬

‫=𝒄 ∴‬

‫𝟏𝟏 = 𝒙 يوازي القاطع المار بالنقطتين‬
‫𝟐‬

‫الخاتمة‬

‫بند (‪ )3‬موضوعي‬
‫صـ‪54‬‬

‫ظلل 𝒂 إذا كانت العبارة صحيحة و 𝒃 إذا كانت العبارة خاطئة‬
‫الدالة 𝒇 ∶‬

‫𝟑‬

‫𝟐‬

‫𝒙 = 𝒙 𝒇 تحقق شروط نظرية القيمة المتوسطة على 𝟏‪𝟎,‬‬

‫‪b‬‬

‫‪a‬‬

‫التطبيق‬
‫كراس التمارين‬
‫ص ‪54‬رقم )‪(2‬‬


Slide 11

‫وزارة التربية‬
‫اإلدارة العامة لمنطقة مبارك الكبير التعليمية‬
‫ثانوية العدان بنات‬
‫قسم الرياضيات‬

‫المركز اإلقليمي لتطوير البرمجيات التعليمية‬

‫تطبيقات على اإلشتقاق‬
‫الصف الثاني عشر ‪ -‬علمي‬
‫بند (‪)3-2‬‬
‫عدد الحصص (‪)3‬‬

‫الحصة االولى‬
‫إعداد معلمات قسم الرياضيات‬
‫رئيسة القسم‬
‫أ‪ /‬نورة العجمي‬

‫الموجهة الفنية‬
‫مديرة المدرسة‬
‫أ‪ /‬منى المسري‬
‫دشتي‬

‫أ‪/‬فاطمة‬

‫البند (‪ / )3-2‬الحصة االولى‬

‫تزايد وتناقص الدوال‬

‫الهدف العام‬
‫تطبيق نظرية القيمة المتوسطة‬
‫األهداف‬
‫السلوكية‬
‫‪1‬يوجد متوسط معدل التغير لدالة على فترة ما‪.‬‬
‫‪-2‬يذكر نظرية القيمة المتوسطة‪.‬‬
‫‪-3‬يحل تمارين باستخدام نظرية القيمة المتوسطة‪.‬‬

‫الوسائل‬
‫المستخدمة‬

‫المعلم‬

‫المتعلم‬

‫األقالم‬

‫كتاب الطالب‬

‫السبورة‬

‫كراس التمارين‬

‫داتا شو‬

‫الة حاسبة‬

‫المفردات‬
‫والمصطلحات‬
‫نظرية القيمة المتوسطة‬
‫االخطاء‬
‫المتوقعة‬

‫التمهيد‬

‫المستقيم القاطع‬
‫‪y‬‬
‫‪3‬‬

‫‪B‬‬

‫دعنا نفكر ونتناقش‬

‫‪2‬‬
‫‪1‬‬

‫إذا كانت 𝟏 ‪ 𝒇 𝒙 = 𝒙𝟐 −‬فأجب عما يلي‪:‬‬

‫‪ (1‬ارسم المستقيم المار بالنقطتين‬
‫𝑩𝑨 𝒎‪.‬‬

‫𝟐 𝒇‪, 𝑩 𝟐 ,‬‬

‫‪x‬‬

‫‪2‬‬

‫وهل 𝒇 قابلة لالشتقاق على الفترة 𝟐‪ −𝟏,‬؟‬
‫𝟏‬

‫‪ )4‬استنتج العالقة بين ‪.1 , 3‬‬

‫‪-2‬‬

‫𝟏‪ 𝑨 −𝟏 ,𝒇 −‬ثم أوجد الميل‬

‫‪ (2‬هل الدالة 𝒇 متصلة على 𝟐‪ −𝟏 ,‬؟‬

‫‪ )3‬أوجد ميل المماس لمنحنى 𝒇 عند 𝟐 = 𝒙‬

‫‪1‬‬

‫‪-1‬‬

‫‪A‬‬
‫‪-1‬‬

‫الحظ أن 𝟐 ‪∈ −𝟏 ,‬‬

‫𝟏‬
‫𝟐‬

‫التمهيد‬

‫المستقيم القاطع‬
‫‪y‬‬
‫‪3‬‬

‫‪B‬‬

‫دعنا نفكر ونتناقش‬

‫‪2‬‬
‫‪1‬‬

‫إذا كانت 𝟏 ‪ 𝒇 𝒙 = 𝒙𝟐 −‬فأجب عما يلي‪:‬‬

‫‪ (1‬ارسم المستقيم المار بالنقطتين‬
‫𝑩𝑨 𝒎‪.‬‬

‫‪x‬‬

‫𝟐 𝒇‪, 𝑩 𝟐 ,‬‬

‫‪2‬‬

‫وهل 𝒇 قابلة لالشتقاق على الفترة 𝟐‪ −𝟏,‬؟ ‪=1‬‬

‫‪-2‬‬

‫𝟏‪ 𝑨 −𝟏 ,𝒇 −‬ثم أوجد الميل‬

‫‪ (2‬هل الدالة 𝒇 متصلة على 𝟐‪ −𝟏 ,‬؟ نعم‬
‫𝟏‬
‫𝟐‬

‫‪1‬‬

‫‪-1‬‬

‫‪A‬‬
‫‪-1‬‬

‫`𝒇‬

‫𝟏‬

‫الحظ أن 𝟐 ‪∈ −𝟏 ,‬‬
‫‪ )3‬أوجد ميل المماس لمنحنى 𝒇 عند 𝟐 = 𝒙‬
‫ميل المماس = ‪1‬‬
‫‪ )4‬استنتج العالقة بين ‪ .1 , 3‬المستقيمان متوازيان‬

‫𝟏‬
‫𝟐‬

‫التدريس‬
‫تربط نظرية القيمة المتوسطة بين متوسط معدل تغير دالة على فترة‬

‫مماس مواز للقاطع‬

‫ما‪ ،‬ومعدل التغير للدالة عند نقطة تنتمي إلى هذه الفترة‪.‬‬

‫ميل المماس = 𝑐 ‪𝑓′‬‬
‫𝐵‬

‫تمكن نتائجها القوية في صميم بعض التطبيقات الكثيرة األهمية في علم‬
‫𝐴‬

‫حساب التفاضل والتكامل‪.‬‬
‫𝑥‬

‫𝑏‬

‫تقول النظرية انه في مكان ما بين النقطتين ‪A,B‬منحنى دالة قابلة‬
‫لالشتقاق‪ ،‬يوجد على األقل خط مماس واحد يوازي قاطع المنحنى‬
‫𝑩𝑨 ‪.‬‬
‫𝑦‬

‫𝒂 𝒇‪𝒇 𝒃 −‬‬
‫= 𝑩𝑨 𝒎‬
‫𝒂‪𝒃−‬‬
‫𝑥‬

‫𝑏‬

‫‪𝑐₂‬‬

‫‪𝑐₁‬‬

‫𝑎‬

‫𝑎‬
‫𝑐‬
‫𝑥 𝑓=𝑦‬

‫‪y‬‬

‫نظرية‬
‫(‪)3‬‬

‫نظرية القيمة المتوسطة‬

‫إذا كانت 𝒇 دالة‬
‫‪ )1‬متصلة على الفترة 𝒃‪𝒂,‬‬
‫‪ )2‬قابلة لالشتقاق على الفترة 𝒃‪𝒂,‬‬
‫فإنه يوجد على األقل 𝒃‪ 𝒄 ∈ 𝒂,‬بحيث‬
‫𝒂 𝒇‪𝒇 𝒃 −‬‬
‫= 𝒄 ˈ𝒇‬
‫𝒂‪𝒃−‬‬
‫انتبه‬
‫شروط النظرية كافية وليست الزمة أي ان توفر الشروط يؤكد وجود 𝒄‬
‫وعدم تحقق أحد الشرطين ال يعني بالضرورة عدم وجود 𝒄‬

‫مالحظات هامة‪:‬‬

‫‪ )1‬إذا لم يتحقق أحد شرطي النظرية (‪ )3‬فإنه قد ال يكون لبيان الدالة مماس موازي للقاطع 𝑩𝑨‪.‬‬
‫فمثال 𝒙 = 𝒙 𝒇 متصلة على الفترة 𝟏‪ ، −𝟏 ,‬وقابلة لالشتقاق عند كل 𝒙 تنتمي إلى 𝟏‪−𝟏 ,‬‬
‫باستثناء عند 𝟎 = 𝒙 ‪.‬‬
‫بيان الدالة ليس مماس يوازي 𝑩𝑨 (شكل ‪)2‬‬

‫𝑦‬

‫𝑥 =𝑦‬

‫‪1‬‬
‫𝐵‬

‫𝑥‬

‫𝐴‬

‫‪1‬‬

‫‪-1‬‬
‫شكل (‪)2‬‬

‫‪ )2‬يبين شكل (‪ )3‬بيان دالة 𝒇 قابلة لالشتقاق عند كل 𝒙 تنتمي إلى الفترة 𝒃‪𝒂 ,‬‬
‫ومتصلة على الفترة 𝒃‪ 𝒂 ,‬ولكن ال يوجد مماس يوازي 𝑩𝑨‪.‬‬

‫𝑥 𝑓=𝑦‬

‫𝐴‬

‫𝐵‬

‫𝑎‬

‫𝑏‬

‫شكل (‪)3‬‬

‫‪ )3‬بيان الدالة في الشكل (‪ )4‬يبين نقطة انفصال وبالرغم من عدم توفر شرط من‬
‫شروط نظرية القيمة المتوسطة إال انه يوجد مماس للمنحنى عند 𝒄 يوازي 𝑩𝑨‬
‫𝑦‬

‫𝐴‬

‫𝑥‬

‫𝑏‬

‫𝑐‬

‫𝐵‬
‫شكل (‪)4‬‬

‫𝑎‬

‫‪ )4‬يمكن إيجاد اكثر من نقطة واحدة بحيث 𝒃‪, 𝒄 ∈ 𝒂,‬‬
‫المماس عند كل النقاط‬

‫𝒂 𝒇‪𝒇 𝒃 −‬‬
‫𝒂‪𝒃−‬‬

‫= 𝒄 ˈ𝒇 أي ان‬

‫‪ 𝒄₁,𝒇 𝒄₁‬يوازي 𝑩𝑨 كما في الشكل (‪.)5‬‬

‫‪, 𝒄₂ ,𝒇 𝒄₂‬‬

‫𝑦‬

‫𝑏‬

‫𝑥‬

‫‪𝑐₁‬‬

‫‪𝑐₂‬‬

‫𝑎‬

‫شكل (‪)5‬‬

‫‪ )5‬في نظرية القيمة المتوسطة إذا كان 𝒃 𝒇 = 𝒂 𝒇 فإن 𝟎 = 𝒄 ˈ𝒇 أي ان‬
‫المماس للمنحنى عند 𝒄 يوازي القاطع ويوازي محور السينات أي أن المماس‬
‫افقي كما في الشكل‬
‫𝑦‬

‫𝐵‬

‫𝑥‬

‫𝐴‬

‫𝑏‬

‫𝑐‬
‫شكل (‪)6‬‬

‫𝑎‬

‫مثال (‪)1‬‬

‫كتاب الطالب ص‪133‬مثال )‪(1‬‬

‫الحل ‪:‬‬

‫بين أن الدالة 𝒇 ∶ ‪ 𝒇 𝒙 = 𝒙²‬تحقق شروط نظرية القيمة‬
‫المتوسطة على الفترة 𝟐‪ ، 𝟎,‬ثم أوجد 𝒄 الذي تنبئ به‬
‫النظرية وفسر إجابتك‪.‬‬

‫الدالة 𝒇 ∶ ‪ 𝒇 𝒙 = 𝒙²‬دالة كثيرة حدود متصلة على ‪ℝ‬‬
‫فهي متصلة على الفترة 𝟐‪ ، 𝟎,‬وقابلة لالشتقاق على 𝟐‪. 𝟎,‬‬
‫∴ شروط نظرية القيمة المتوسطة محققة على الفترة 𝟐‪. 𝟎,‬‬
‫∴ يوجد على األقل 𝟐‪ 𝒄 ∈ 𝟎,‬بحيث‪𝒇 𝒃 − 𝒇 𝒂 :‬‬
‫= 𝒄 ˈ𝒇‬
‫𝒂‪𝒃−‬‬
‫𝟎 𝒇‪𝒇 𝟐 −‬‬
‫=‬
‫𝟎‪𝟐−‬‬
‫𝟒 = 𝟐𝟐 = 𝟐 𝒇 ‪∵ 𝒇 𝟎 = 𝟎 𝟐 = 𝟎 ,‬‬
‫𝒙𝟐 = 𝒙 ˈ𝒇‬
‫𝒄𝟐 = 𝒄 ˈ𝒇 ‪,‬‬
‫𝟎 𝒇‪𝒇 𝟐 −‬‬
‫𝟎‪𝟐−‬‬
‫𝟎‪𝟒−‬‬
‫= 𝒄𝟐‬
‫𝟎‪𝟐−‬‬
‫𝟐 = 𝒄𝟐‬
‫𝟏=𝒄‬

‫= 𝒄𝟐 ∴‬

‫التفسير‬
‫يوجد مماس لمنحنى الدالة 𝒇 عند 𝟏 = 𝒙‬
‫يوازي القاطع المار بالنقطتين 𝟒‪𝟎,𝟎 , 𝟐,‬‬

‫التقييم‬

‫حاول أن تحل‬
‫ص‪133‬رقم)‪(1‬‬

‫الحل ‪:‬‬

‫بين أن الدالة 𝒙𝟐 ‪ 𝒇 𝒙 = 𝒙2 +‬تحقق شروط نظرية القيمة‬
‫المتوسطة على الفترة 𝟏‪ ، −𝟑 ,‬ثم أوجد قيمة 𝒄 الذي تنبئ‬
‫به النظرية وفسر اجابتك‬
‫متصلة على 𝟏‪−𝟑 ,‬‬

‫∵ الدالة 𝒇 دالة كثيرة حدود متصلة على ‪ℝ‬‬
‫وقابلة لالشتقاق على 𝟏‪−𝟑 ,‬‬
‫∴ شروط نظرية القيمة المتوسطة محققة على 𝟏‪−𝟑 ,‬‬
‫∴ يوجد على األقل 𝒄 ∶ 𝟏‪ 𝒄 ∈ −𝟑,‬بحيث‬
‫𝒂 𝒇‪𝒇 𝒃 −‬‬
‫𝒂‪𝒃−‬‬

‫= 𝒄 ˈ𝒇‬

‫𝟑 𝒇‪𝒇 𝟏 −‬‬
‫𝟑‪𝟑−‬‬
‫=‬
‫𝟎=‬
‫𝟑‪𝟏 − −‬‬
‫𝟒‬
‫𝟐 ‪𝒇ˈ 𝒄 = 𝟐𝒄 +‬‬

‫‪,‬‬

‫=‬

‫𝟐 ‪∵ 𝒇ˈ 𝒙 = 𝟐𝒙 +‬‬
‫𝟎 = 𝟐 ‪𝟐𝒄 +‬‬

‫𝟏‪𝒄 = −‬‬

‫𝟐‪𝟐𝒄 = −‬‬

‫∴ يوجد مماس لمنحنى الدالة 𝒇 عند 𝟏‪ 𝒙 = −‬يوازي القاطع المار بالنقطتين‬
‫𝟑‪𝟏,𝟑 , −𝟑,‬‬

‫مثال (‪)2‬‬

‫كتاب الطالب ص‪133‬مثال )‪(2‬‬

‫بين أن الدالة 𝒇 ∶ 𝟏 ‪ 𝒇 𝒙 = 𝒙𝟑 +‬تحقق شروط نظرية القيمة‬
‫المتوسطة على الفترة 𝟑‪ ، −𝟑 ,‬ثم أوجد قيمة 𝒄 الذي‬
‫تنبئ به النظرية وفسر اجابتك‪.‬‬

‫الدالة 𝒇 دالة كثيرة حدود متصلة على ‪ℝ‬‬
‫الحل ‪:‬‬
‫فهي متصلة على الفترة 𝟑‪ −𝟑,‬وقابلة لالشتقاق على الفترة 𝟑‪. −𝟑,‬‬
‫∴ شروط نظرية القيمة المتوسطة محققة على الفترة 𝟑‪−𝟑,‬‬
‫∴ يوجد على األقل 𝟑‪ 𝒄 ∈ −𝟑 ,‬بحيث‪:‬‬
‫𝒂 𝒇‪𝒇 𝒃 −‬‬
‫= 𝒄 ˈ𝒇‬
‫𝒂‪𝒃−‬‬
‫𝟑‪𝒇 𝟑 − 𝒇 −‬‬
‫= 𝒄 ˈ𝒇‬
‫𝟑‪𝟑 − −‬‬
‫‪∵ 𝒇 −𝟑 = −𝟑 𝟑 + 𝟏 = −𝟐𝟔 ,‬‬
‫𝟖𝟐 = 𝟏 ‪𝒇 𝟑 = 𝟑𝟑 +‬‬
‫‪𝒇ˈ 𝒙 = 𝟑𝒙𝟑 ,‬‬
‫𝟐𝒄𝟑 = 𝒄 ˈ𝒇‬
‫𝟑‪𝒇 𝟑 − 𝒇 −‬‬
‫التفسير‬
‫= 𝟐𝒄𝟑 ∴‬
‫𝟑‪𝟑 − −‬‬
‫𝟔𝟐‪𝟐𝟖 − −‬‬
‫𝟒𝟓‬
‫يوجد مماسان لمنحنى الدالة 𝒇 عند‪:‬‬
‫= 𝟐𝒄𝟑‬
‫=‬
‫𝟗=‬
‫𝟑‪𝟑+‬‬
‫𝟔‬
‫𝟑 =𝒙‬
‫𝟑 ‪, 𝒙=−‬‬
‫𝟗‬
‫والمماسان يوازيان القاطع المار بالنقطتين‪:‬‬
‫𝟑 = = 𝟐𝒄‬
‫𝟑‬
‫𝟖𝟐‪−𝟑 , − 𝟐𝟔 , 𝟑 ,‬‬
‫‪𝒄 = 𝟑 ∈ ]-3,3[,‬‬
‫[‪𝒄 = − 𝟑 ∈ ]-3,3‬‬

‫بين أن الدالة 𝟐 ‪ 𝒇 𝒙 = 𝒙𝟑 − 𝟑𝒙 +‬تحقق شروط نظرية القيمة‬
‫المتوسطة على الفترة 𝟒‪ ، 𝟎,‬ثم أوجد 𝒄 الذي تنبئ به‬
‫النظرية وفسر إجابتك‪.‬‬

‫التقييم‬

‫حاول أن تحل‬
‫ص‪134‬رقم)‪(2‬‬

‫الحل ‪:‬‬

‫متصلة على 𝟒‪𝟎,‬‬

‫∵ الدالة 𝒇 دالة كثيرة حدود متصلة على ‪ℝ‬‬
‫وقابلة لالشتقاق على 𝟒‪𝟎,‬‬
‫∴ شروط نظرية القيمة المتوسطة محققه على 𝟒‪𝟎,‬‬
‫∴ يوجد على األقل ∁ ‪ ∁∈ 𝟎,𝟒 :‬بحيث‬
‫𝒂 𝒇‪𝒇 𝒃 −‬‬
‫= 𝒄 ˈ𝒇‬
‫𝒂‪𝒃−‬‬
‫𝟎 𝒇‪𝒇 𝟒 −‬‬
‫𝟕𝟐 𝟒𝟓‬
‫=‬
‫=‬
‫=‬
‫𝟎‪𝟒−‬‬
‫𝟒‬
‫𝟐‬
‫𝟐 ‪𝒇ˈ 𝒙 = 𝟑𝒙𝟐 −‬‬

‫𝟐 ‪𝒇ˈ 𝒄 = 𝟑𝒄𝟐 −‬‬

‫𝟕𝟐‬
‫𝟐‬
‫𝟗‬
‫= 𝟏 ‪𝒄𝟐 −‬‬
‫𝟐‬

‫= 𝟑 ‪∴ 𝟑𝒄𝟐 −‬‬

‫𝟒‪∉ 𝟎,‬‬

‫𝟏𝟏‬
‫𝟐‬

‫‪𝒄=−‬‬

‫‪,‬‬

‫∴ يوجد مماس لمنحنى الدالة 𝒇 عند‬
‫𝟒𝟓‪𝟎,𝟐 , 𝟒,‬‬

‫𝟒‪∈ 𝟎,‬‬

‫𝟏𝟏‬
‫𝟐‬

‫=𝒄 ∴‬

‫𝟏𝟏 = 𝒙 يوازي القاطع المار بالنقطتين‬
‫𝟐‬

‫الخاتمة‬

‫بند (‪ )3‬موضوعي‬
‫صـ‪54‬‬

‫ظلل 𝒂 إذا كانت العبارة صحيحة و 𝒃 إذا كانت العبارة خاطئة‬
‫الدالة 𝒇 ∶‬

‫𝟑‬

‫𝟐‬

‫𝒙 = 𝒙 𝒇 تحقق شروط نظرية القيمة المتوسطة على 𝟏‪𝟎,‬‬

‫‪b‬‬

‫‪a‬‬

‫التطبيق‬
‫كراس التمارين‬
‫ص ‪54‬رقم )‪(2‬‬


Slide 12

‫وزارة التربية‬
‫اإلدارة العامة لمنطقة مبارك الكبير التعليمية‬
‫ثانوية العدان بنات‬
‫قسم الرياضيات‬

‫المركز اإلقليمي لتطوير البرمجيات التعليمية‬

‫تطبيقات على اإلشتقاق‬
‫الصف الثاني عشر ‪ -‬علمي‬
‫بند (‪)3-2‬‬
‫عدد الحصص (‪)3‬‬

‫الحصة االولى‬
‫إعداد معلمات قسم الرياضيات‬
‫رئيسة القسم‬
‫أ‪ /‬نورة العجمي‬

‫الموجهة الفنية‬
‫مديرة المدرسة‬
‫أ‪ /‬منى المسري‬
‫دشتي‬

‫أ‪/‬فاطمة‬

‫البند (‪ / )3-2‬الحصة االولى‬

‫تزايد وتناقص الدوال‬

‫الهدف العام‬
‫تطبيق نظرية القيمة المتوسطة‬
‫األهداف‬
‫السلوكية‬
‫‪1‬يوجد متوسط معدل التغير لدالة على فترة ما‪.‬‬
‫‪-2‬يذكر نظرية القيمة المتوسطة‪.‬‬
‫‪-3‬يحل تمارين باستخدام نظرية القيمة المتوسطة‪.‬‬

‫الوسائل‬
‫المستخدمة‬

‫المعلم‬

‫المتعلم‬

‫األقالم‬

‫كتاب الطالب‬

‫السبورة‬

‫كراس التمارين‬

‫داتا شو‬

‫الة حاسبة‬

‫المفردات‬
‫والمصطلحات‬
‫نظرية القيمة المتوسطة‬
‫االخطاء‬
‫المتوقعة‬

‫التمهيد‬

‫المستقيم القاطع‬
‫‪y‬‬
‫‪3‬‬

‫‪B‬‬

‫دعنا نفكر ونتناقش‬

‫‪2‬‬
‫‪1‬‬

‫إذا كانت 𝟏 ‪ 𝒇 𝒙 = 𝒙𝟐 −‬فأجب عما يلي‪:‬‬

‫‪ (1‬ارسم المستقيم المار بالنقطتين‬
‫𝑩𝑨 𝒎‪.‬‬

‫𝟐 𝒇‪, 𝑩 𝟐 ,‬‬

‫‪x‬‬

‫‪2‬‬

‫وهل 𝒇 قابلة لالشتقاق على الفترة 𝟐‪ −𝟏,‬؟‬
‫𝟏‬

‫‪ )4‬استنتج العالقة بين ‪.1 , 3‬‬

‫‪-2‬‬

‫𝟏‪ 𝑨 −𝟏 ,𝒇 −‬ثم أوجد الميل‬

‫‪ (2‬هل الدالة 𝒇 متصلة على 𝟐‪ −𝟏 ,‬؟‬

‫‪ )3‬أوجد ميل المماس لمنحنى 𝒇 عند 𝟐 = 𝒙‬

‫‪1‬‬

‫‪-1‬‬

‫‪A‬‬
‫‪-1‬‬

‫الحظ أن 𝟐 ‪∈ −𝟏 ,‬‬

‫𝟏‬
‫𝟐‬

‫التمهيد‬

‫المستقيم القاطع‬
‫‪y‬‬
‫‪3‬‬

‫‪B‬‬

‫دعنا نفكر ونتناقش‬

‫‪2‬‬
‫‪1‬‬

‫إذا كانت 𝟏 ‪ 𝒇 𝒙 = 𝒙𝟐 −‬فأجب عما يلي‪:‬‬

‫‪ (1‬ارسم المستقيم المار بالنقطتين‬
‫𝑩𝑨 𝒎‪.‬‬

‫‪x‬‬

‫𝟐 𝒇‪, 𝑩 𝟐 ,‬‬

‫‪2‬‬

‫وهل 𝒇 قابلة لالشتقاق على الفترة 𝟐‪ −𝟏,‬؟ ‪=1‬‬

‫‪-2‬‬

‫𝟏‪ 𝑨 −𝟏 ,𝒇 −‬ثم أوجد الميل‬

‫‪ (2‬هل الدالة 𝒇 متصلة على 𝟐‪ −𝟏 ,‬؟ نعم‬
‫𝟏‬
‫𝟐‬

‫‪1‬‬

‫‪-1‬‬

‫‪A‬‬
‫‪-1‬‬

‫`𝒇‬

‫𝟏‬

‫الحظ أن 𝟐 ‪∈ −𝟏 ,‬‬
‫‪ )3‬أوجد ميل المماس لمنحنى 𝒇 عند 𝟐 = 𝒙‬
‫ميل المماس = ‪1‬‬
‫‪ )4‬استنتج العالقة بين ‪ .1 , 3‬المستقيمان متوازيان‬

‫𝟏‬
‫𝟐‬

‫التدريس‬
‫تربط نظرية القيمة المتوسطة بين متوسط معدل تغير دالة على فترة‬

‫مماس مواز للقاطع‬

‫ما‪ ،‬ومعدل التغير للدالة عند نقطة تنتمي إلى هذه الفترة‪.‬‬

‫ميل المماس = 𝑐 ‪𝑓′‬‬
‫𝐵‬

‫تمكن نتائجها القوية في صميم بعض التطبيقات الكثيرة األهمية في علم‬
‫𝐴‬

‫حساب التفاضل والتكامل‪.‬‬
‫𝑥‬

‫𝑏‬

‫تقول النظرية انه في مكان ما بين النقطتين ‪A,B‬منحنى دالة قابلة‬
‫لالشتقاق‪ ،‬يوجد على األقل خط مماس واحد يوازي قاطع المنحنى‬
‫𝑩𝑨 ‪.‬‬
‫𝑦‬

‫𝒂 𝒇‪𝒇 𝒃 −‬‬
‫= 𝑩𝑨 𝒎‬
‫𝒂‪𝒃−‬‬
‫𝑥‬

‫𝑏‬

‫‪𝑐₂‬‬

‫‪𝑐₁‬‬

‫𝑎‬

‫𝑎‬
‫𝑐‬
‫𝑥 𝑓=𝑦‬

‫‪y‬‬

‫نظرية‬
‫(‪)3‬‬

‫نظرية القيمة المتوسطة‬

‫إذا كانت 𝒇 دالة‬
‫‪ )1‬متصلة على الفترة 𝒃‪𝒂,‬‬
‫‪ )2‬قابلة لالشتقاق على الفترة 𝒃‪𝒂,‬‬
‫فإنه يوجد على األقل 𝒃‪ 𝒄 ∈ 𝒂,‬بحيث‬
‫𝒂 𝒇‪𝒇 𝒃 −‬‬
‫= 𝒄 ˈ𝒇‬
‫𝒂‪𝒃−‬‬
‫انتبه‬
‫شروط النظرية كافية وليست الزمة أي ان توفر الشروط يؤكد وجود 𝒄‬
‫وعدم تحقق أحد الشرطين ال يعني بالضرورة عدم وجود 𝒄‬

‫مالحظات هامة‪:‬‬

‫‪ )1‬إذا لم يتحقق أحد شرطي النظرية (‪ )3‬فإنه قد ال يكون لبيان الدالة مماس موازي للقاطع 𝑩𝑨‪.‬‬
‫فمثال 𝒙 = 𝒙 𝒇 متصلة على الفترة 𝟏‪ ، −𝟏 ,‬وقابلة لالشتقاق عند كل 𝒙 تنتمي إلى 𝟏‪−𝟏 ,‬‬
‫باستثناء عند 𝟎 = 𝒙 ‪.‬‬
‫بيان الدالة ليس مماس يوازي 𝑩𝑨 (شكل ‪)2‬‬

‫𝑦‬

‫𝑥 =𝑦‬

‫‪1‬‬
‫𝐵‬

‫𝑥‬

‫𝐴‬

‫‪1‬‬

‫‪-1‬‬
‫شكل (‪)2‬‬

‫‪ )2‬يبين شكل (‪ )3‬بيان دالة 𝒇 قابلة لالشتقاق عند كل 𝒙 تنتمي إلى الفترة 𝒃‪𝒂 ,‬‬
‫ومتصلة على الفترة 𝒃‪ 𝒂 ,‬ولكن ال يوجد مماس يوازي 𝑩𝑨‪.‬‬

‫𝑥 𝑓=𝑦‬

‫𝐴‬

‫𝐵‬

‫𝑎‬

‫𝑏‬

‫شكل (‪)3‬‬

‫‪ )3‬بيان الدالة في الشكل (‪ )4‬يبين نقطة انفصال وبالرغم من عدم توفر شرط من‬
‫شروط نظرية القيمة المتوسطة إال انه يوجد مماس للمنحنى عند 𝒄 يوازي 𝑩𝑨‬
‫𝑦‬

‫𝐴‬

‫𝑥‬

‫𝑏‬

‫𝑐‬

‫𝐵‬
‫شكل (‪)4‬‬

‫𝑎‬

‫‪ )4‬يمكن إيجاد اكثر من نقطة واحدة بحيث 𝒃‪, 𝒄 ∈ 𝒂,‬‬
‫المماس عند كل النقاط‬

‫𝒂 𝒇‪𝒇 𝒃 −‬‬
‫𝒂‪𝒃−‬‬

‫= 𝒄 ˈ𝒇 أي ان‬

‫‪ 𝒄₁,𝒇 𝒄₁‬يوازي 𝑩𝑨 كما في الشكل (‪.)5‬‬

‫‪, 𝒄₂ ,𝒇 𝒄₂‬‬

‫𝑦‬

‫𝑏‬

‫𝑥‬

‫‪𝑐₁‬‬

‫‪𝑐₂‬‬

‫𝑎‬

‫شكل (‪)5‬‬

‫‪ )5‬في نظرية القيمة المتوسطة إذا كان 𝒃 𝒇 = 𝒂 𝒇 فإن 𝟎 = 𝒄 ˈ𝒇 أي ان‬
‫المماس للمنحنى عند 𝒄 يوازي القاطع ويوازي محور السينات أي أن المماس‬
‫افقي كما في الشكل‬
‫𝑦‬

‫𝐵‬

‫𝑥‬

‫𝐴‬

‫𝑏‬

‫𝑐‬
‫شكل (‪)6‬‬

‫𝑎‬

‫مثال (‪)1‬‬

‫كتاب الطالب ص‪133‬مثال )‪(1‬‬

‫الحل ‪:‬‬

‫بين أن الدالة 𝒇 ∶ ‪ 𝒇 𝒙 = 𝒙²‬تحقق شروط نظرية القيمة‬
‫المتوسطة على الفترة 𝟐‪ ، 𝟎,‬ثم أوجد 𝒄 الذي تنبئ به‬
‫النظرية وفسر إجابتك‪.‬‬

‫الدالة 𝒇 ∶ ‪ 𝒇 𝒙 = 𝒙²‬دالة كثيرة حدود متصلة على ‪ℝ‬‬
‫فهي متصلة على الفترة 𝟐‪ ، 𝟎,‬وقابلة لالشتقاق على 𝟐‪. 𝟎,‬‬
‫∴ شروط نظرية القيمة المتوسطة محققة على الفترة 𝟐‪. 𝟎,‬‬
‫∴ يوجد على األقل 𝟐‪ 𝒄 ∈ 𝟎,‬بحيث‪𝒇 𝒃 − 𝒇 𝒂 :‬‬
‫= 𝒄 ˈ𝒇‬
‫𝒂‪𝒃−‬‬
‫𝟎 𝒇‪𝒇 𝟐 −‬‬
‫=‬
‫𝟎‪𝟐−‬‬
‫𝟒 = 𝟐𝟐 = 𝟐 𝒇 ‪∵ 𝒇 𝟎 = 𝟎 𝟐 = 𝟎 ,‬‬
‫𝒙𝟐 = 𝒙 ˈ𝒇‬
‫𝒄𝟐 = 𝒄 ˈ𝒇 ‪,‬‬
‫𝟎 𝒇‪𝒇 𝟐 −‬‬
‫𝟎‪𝟐−‬‬
‫𝟎‪𝟒−‬‬
‫= 𝒄𝟐‬
‫𝟎‪𝟐−‬‬
‫𝟐 = 𝒄𝟐‬
‫𝟏=𝒄‬

‫= 𝒄𝟐 ∴‬

‫التفسير‬
‫يوجد مماس لمنحنى الدالة 𝒇 عند 𝟏 = 𝒙‬
‫يوازي القاطع المار بالنقطتين 𝟒‪𝟎,𝟎 , 𝟐,‬‬

‫التقييم‬

‫حاول أن تحل‬
‫ص‪133‬رقم)‪(1‬‬

‫الحل ‪:‬‬

‫بين أن الدالة 𝒙𝟐 ‪ 𝒇 𝒙 = 𝒙2 +‬تحقق شروط نظرية القيمة‬
‫المتوسطة على الفترة 𝟏‪ ، −𝟑 ,‬ثم أوجد قيمة 𝒄 الذي تنبئ‬
‫به النظرية وفسر اجابتك‬
‫متصلة على 𝟏‪−𝟑 ,‬‬

‫∵ الدالة 𝒇 دالة كثيرة حدود متصلة على ‪ℝ‬‬
‫وقابلة لالشتقاق على 𝟏‪−𝟑 ,‬‬
‫∴ شروط نظرية القيمة المتوسطة محققة على 𝟏‪−𝟑 ,‬‬
‫∴ يوجد على األقل 𝒄 ∶ 𝟏‪ 𝒄 ∈ −𝟑,‬بحيث‬
‫𝒂 𝒇‪𝒇 𝒃 −‬‬
‫𝒂‪𝒃−‬‬

‫= 𝒄 ˈ𝒇‬

‫𝟑 𝒇‪𝒇 𝟏 −‬‬
‫𝟑‪𝟑−‬‬
‫=‬
‫𝟎=‬
‫𝟑‪𝟏 − −‬‬
‫𝟒‬
‫𝟐 ‪𝒇ˈ 𝒄 = 𝟐𝒄 +‬‬

‫‪,‬‬

‫=‬

‫𝟐 ‪∵ 𝒇ˈ 𝒙 = 𝟐𝒙 +‬‬
‫𝟎 = 𝟐 ‪𝟐𝒄 +‬‬

‫𝟏‪𝒄 = −‬‬

‫𝟐‪𝟐𝒄 = −‬‬

‫∴ يوجد مماس لمنحنى الدالة 𝒇 عند 𝟏‪ 𝒙 = −‬يوازي القاطع المار بالنقطتين‬
‫𝟑‪𝟏,𝟑 , −𝟑,‬‬

‫مثال (‪)2‬‬

‫كتاب الطالب ص‪133‬مثال )‪(2‬‬

‫بين أن الدالة 𝒇 ∶ 𝟏 ‪ 𝒇 𝒙 = 𝒙𝟑 +‬تحقق شروط نظرية القيمة‬
‫المتوسطة على الفترة 𝟑‪ ، −𝟑 ,‬ثم أوجد قيمة 𝒄 الذي‬
‫تنبئ به النظرية وفسر اجابتك‪.‬‬

‫الدالة 𝒇 دالة كثيرة حدود متصلة على ‪ℝ‬‬
‫الحل ‪:‬‬
‫فهي متصلة على الفترة 𝟑‪ −𝟑,‬وقابلة لالشتقاق على الفترة 𝟑‪. −𝟑,‬‬
‫∴ شروط نظرية القيمة المتوسطة محققة على الفترة 𝟑‪−𝟑,‬‬
‫∴ يوجد على األقل 𝟑‪ 𝒄 ∈ −𝟑 ,‬بحيث‪:‬‬
‫𝒂 𝒇‪𝒇 𝒃 −‬‬
‫= 𝒄 ˈ𝒇‬
‫𝒂‪𝒃−‬‬
‫𝟑‪𝒇 𝟑 − 𝒇 −‬‬
‫= 𝒄 ˈ𝒇‬
‫𝟑‪𝟑 − −‬‬
‫‪∵ 𝒇 −𝟑 = −𝟑 𝟑 + 𝟏 = −𝟐𝟔 ,‬‬
‫𝟖𝟐 = 𝟏 ‪𝒇 𝟑 = 𝟑𝟑 +‬‬
‫‪𝒇ˈ 𝒙 = 𝟑𝒙𝟑 ,‬‬
‫𝟐𝒄𝟑 = 𝒄 ˈ𝒇‬
‫𝟑‪𝒇 𝟑 − 𝒇 −‬‬
‫التفسير‬
‫= 𝟐𝒄𝟑 ∴‬
‫𝟑‪𝟑 − −‬‬
‫𝟔𝟐‪𝟐𝟖 − −‬‬
‫𝟒𝟓‬
‫يوجد مماسان لمنحنى الدالة 𝒇 عند‪:‬‬
‫= 𝟐𝒄𝟑‬
‫=‬
‫𝟗=‬
‫𝟑‪𝟑+‬‬
‫𝟔‬
‫𝟑 =𝒙‬
‫𝟑 ‪, 𝒙=−‬‬
‫𝟗‬
‫والمماسان يوازيان القاطع المار بالنقطتين‪:‬‬
‫𝟑 = = 𝟐𝒄‬
‫𝟑‬
‫𝟖𝟐‪−𝟑 , − 𝟐𝟔 , 𝟑 ,‬‬
‫‪𝒄 = 𝟑 ∈ ]-3,3[,‬‬
‫[‪𝒄 = − 𝟑 ∈ ]-3,3‬‬

‫بين أن الدالة 𝟐 ‪ 𝒇 𝒙 = 𝒙𝟑 − 𝟑𝒙 +‬تحقق شروط نظرية القيمة‬
‫المتوسطة على الفترة 𝟒‪ ، 𝟎,‬ثم أوجد 𝒄 الذي تنبئ به‬
‫النظرية وفسر إجابتك‪.‬‬

‫التقييم‬

‫حاول أن تحل‬
‫ص‪134‬رقم)‪(2‬‬

‫الحل ‪:‬‬

‫متصلة على 𝟒‪𝟎,‬‬

‫∵ الدالة 𝒇 دالة كثيرة حدود متصلة على ‪ℝ‬‬
‫وقابلة لالشتقاق على 𝟒‪𝟎,‬‬
‫∴ شروط نظرية القيمة المتوسطة محققه على 𝟒‪𝟎,‬‬
‫∴ يوجد على األقل ∁ ‪ ∁∈ 𝟎,𝟒 :‬بحيث‬
‫𝒂 𝒇‪𝒇 𝒃 −‬‬
‫= 𝒄 ˈ𝒇‬
‫𝒂‪𝒃−‬‬
‫𝟎 𝒇‪𝒇 𝟒 −‬‬
‫𝟕𝟐 𝟒𝟓‬
‫=‬
‫=‬
‫=‬
‫𝟎‪𝟒−‬‬
‫𝟒‬
‫𝟐‬
‫𝟐 ‪𝒇ˈ 𝒙 = 𝟑𝒙𝟐 −‬‬

‫𝟐 ‪𝒇ˈ 𝒄 = 𝟑𝒄𝟐 −‬‬

‫𝟕𝟐‬
‫𝟐‬
‫𝟗‬
‫= 𝟏 ‪𝒄𝟐 −‬‬
‫𝟐‬

‫= 𝟑 ‪∴ 𝟑𝒄𝟐 −‬‬

‫𝟒‪∉ 𝟎,‬‬

‫𝟏𝟏‬
‫𝟐‬

‫‪𝒄=−‬‬

‫‪,‬‬

‫∴ يوجد مماس لمنحنى الدالة 𝒇 عند‬
‫𝟒𝟓‪𝟎,𝟐 , 𝟒,‬‬

‫𝟒‪∈ 𝟎,‬‬

‫𝟏𝟏‬
‫𝟐‬

‫=𝒄 ∴‬

‫𝟏𝟏 = 𝒙 يوازي القاطع المار بالنقطتين‬
‫𝟐‬

‫الخاتمة‬

‫بند (‪ )3‬موضوعي‬
‫صـ‪54‬‬

‫ظلل 𝒂 إذا كانت العبارة صحيحة و 𝒃 إذا كانت العبارة خاطئة‬
‫الدالة 𝒇 ∶‬

‫𝟑‬

‫𝟐‬

‫𝒙 = 𝒙 𝒇 تحقق شروط نظرية القيمة المتوسطة على 𝟏‪𝟎,‬‬

‫‪b‬‬

‫‪a‬‬

‫التطبيق‬
‫كراس التمارين‬
‫ص ‪54‬رقم )‪(2‬‬


Slide 13

‫وزارة التربية‬
‫اإلدارة العامة لمنطقة مبارك الكبير التعليمية‬
‫ثانوية العدان بنات‬
‫قسم الرياضيات‬

‫المركز اإلقليمي لتطوير البرمجيات التعليمية‬

‫تطبيقات على اإلشتقاق‬
‫الصف الثاني عشر ‪ -‬علمي‬
‫بند (‪)3-2‬‬
‫عدد الحصص (‪)3‬‬

‫الحصة االولى‬
‫إعداد معلمات قسم الرياضيات‬
‫رئيسة القسم‬
‫أ‪ /‬نورة العجمي‬

‫الموجهة الفنية‬
‫مديرة المدرسة‬
‫أ‪ /‬منى المسري‬
‫دشتي‬

‫أ‪/‬فاطمة‬

‫البند (‪ / )3-2‬الحصة االولى‬

‫تزايد وتناقص الدوال‬

‫الهدف العام‬
‫تطبيق نظرية القيمة المتوسطة‬
‫األهداف‬
‫السلوكية‬
‫‪1‬يوجد متوسط معدل التغير لدالة على فترة ما‪.‬‬
‫‪-2‬يذكر نظرية القيمة المتوسطة‪.‬‬
‫‪-3‬يحل تمارين باستخدام نظرية القيمة المتوسطة‪.‬‬

‫الوسائل‬
‫المستخدمة‬

‫المعلم‬

‫المتعلم‬

‫األقالم‬

‫كتاب الطالب‬

‫السبورة‬

‫كراس التمارين‬

‫داتا شو‬

‫الة حاسبة‬

‫المفردات‬
‫والمصطلحات‬
‫نظرية القيمة المتوسطة‬
‫االخطاء‬
‫المتوقعة‬

‫التمهيد‬

‫المستقيم القاطع‬
‫‪y‬‬
‫‪3‬‬

‫‪B‬‬

‫دعنا نفكر ونتناقش‬

‫‪2‬‬
‫‪1‬‬

‫إذا كانت 𝟏 ‪ 𝒇 𝒙 = 𝒙𝟐 −‬فأجب عما يلي‪:‬‬

‫‪ (1‬ارسم المستقيم المار بالنقطتين‬
‫𝑩𝑨 𝒎‪.‬‬

‫𝟐 𝒇‪, 𝑩 𝟐 ,‬‬

‫‪x‬‬

‫‪2‬‬

‫وهل 𝒇 قابلة لالشتقاق على الفترة 𝟐‪ −𝟏,‬؟‬
‫𝟏‬

‫‪ )4‬استنتج العالقة بين ‪.1 , 3‬‬

‫‪-2‬‬

‫𝟏‪ 𝑨 −𝟏 ,𝒇 −‬ثم أوجد الميل‬

‫‪ (2‬هل الدالة 𝒇 متصلة على 𝟐‪ −𝟏 ,‬؟‬

‫‪ )3‬أوجد ميل المماس لمنحنى 𝒇 عند 𝟐 = 𝒙‬

‫‪1‬‬

‫‪-1‬‬

‫‪A‬‬
‫‪-1‬‬

‫الحظ أن 𝟐 ‪∈ −𝟏 ,‬‬

‫𝟏‬
‫𝟐‬

‫التمهيد‬

‫المستقيم القاطع‬
‫‪y‬‬
‫‪3‬‬

‫‪B‬‬

‫دعنا نفكر ونتناقش‬

‫‪2‬‬
‫‪1‬‬

‫إذا كانت 𝟏 ‪ 𝒇 𝒙 = 𝒙𝟐 −‬فأجب عما يلي‪:‬‬

‫‪ (1‬ارسم المستقيم المار بالنقطتين‬
‫𝑩𝑨 𝒎‪.‬‬

‫‪x‬‬

‫𝟐 𝒇‪, 𝑩 𝟐 ,‬‬

‫‪2‬‬

‫وهل 𝒇 قابلة لالشتقاق على الفترة 𝟐‪ −𝟏,‬؟ ‪=1‬‬

‫‪-2‬‬

‫𝟏‪ 𝑨 −𝟏 ,𝒇 −‬ثم أوجد الميل‬

‫‪ (2‬هل الدالة 𝒇 متصلة على 𝟐‪ −𝟏 ,‬؟ نعم‬
‫𝟏‬
‫𝟐‬

‫‪1‬‬

‫‪-1‬‬

‫‪A‬‬
‫‪-1‬‬

‫`𝒇‬

‫𝟏‬

‫الحظ أن 𝟐 ‪∈ −𝟏 ,‬‬
‫‪ )3‬أوجد ميل المماس لمنحنى 𝒇 عند 𝟐 = 𝒙‬
‫ميل المماس = ‪1‬‬
‫‪ )4‬استنتج العالقة بين ‪ .1 , 3‬المستقيمان متوازيان‬

‫𝟏‬
‫𝟐‬

‫التدريس‬
‫تربط نظرية القيمة المتوسطة بين متوسط معدل تغير دالة على فترة‬

‫مماس مواز للقاطع‬

‫ما‪ ،‬ومعدل التغير للدالة عند نقطة تنتمي إلى هذه الفترة‪.‬‬

‫ميل المماس = 𝑐 ‪𝑓′‬‬
‫𝐵‬

‫تمكن نتائجها القوية في صميم بعض التطبيقات الكثيرة األهمية في علم‬
‫𝐴‬

‫حساب التفاضل والتكامل‪.‬‬
‫𝑥‬

‫𝑏‬

‫تقول النظرية انه في مكان ما بين النقطتين ‪A,B‬منحنى دالة قابلة‬
‫لالشتقاق‪ ،‬يوجد على األقل خط مماس واحد يوازي قاطع المنحنى‬
‫𝑩𝑨 ‪.‬‬
‫𝑦‬

‫𝒂 𝒇‪𝒇 𝒃 −‬‬
‫= 𝑩𝑨 𝒎‬
‫𝒂‪𝒃−‬‬
‫𝑥‬

‫𝑏‬

‫‪𝑐₂‬‬

‫‪𝑐₁‬‬

‫𝑎‬

‫𝑎‬
‫𝑐‬
‫𝑥 𝑓=𝑦‬

‫‪y‬‬

‫نظرية‬
‫(‪)3‬‬

‫نظرية القيمة المتوسطة‬

‫إذا كانت 𝒇 دالة‬
‫‪ )1‬متصلة على الفترة 𝒃‪𝒂,‬‬
‫‪ )2‬قابلة لالشتقاق على الفترة 𝒃‪𝒂,‬‬
‫فإنه يوجد على األقل 𝒃‪ 𝒄 ∈ 𝒂,‬بحيث‬
‫𝒂 𝒇‪𝒇 𝒃 −‬‬
‫= 𝒄 ˈ𝒇‬
‫𝒂‪𝒃−‬‬
‫انتبه‬
‫شروط النظرية كافية وليست الزمة أي ان توفر الشروط يؤكد وجود 𝒄‬
‫وعدم تحقق أحد الشرطين ال يعني بالضرورة عدم وجود 𝒄‬

‫مالحظات هامة‪:‬‬

‫‪ )1‬إذا لم يتحقق أحد شرطي النظرية (‪ )3‬فإنه قد ال يكون لبيان الدالة مماس موازي للقاطع 𝑩𝑨‪.‬‬
‫فمثال 𝒙 = 𝒙 𝒇 متصلة على الفترة 𝟏‪ ، −𝟏 ,‬وقابلة لالشتقاق عند كل 𝒙 تنتمي إلى 𝟏‪−𝟏 ,‬‬
‫باستثناء عند 𝟎 = 𝒙 ‪.‬‬
‫بيان الدالة ليس مماس يوازي 𝑩𝑨 (شكل ‪)2‬‬

‫𝑦‬

‫𝑥 =𝑦‬

‫‪1‬‬
‫𝐵‬

‫𝑥‬

‫𝐴‬

‫‪1‬‬

‫‪-1‬‬
‫شكل (‪)2‬‬

‫‪ )2‬يبين شكل (‪ )3‬بيان دالة 𝒇 قابلة لالشتقاق عند كل 𝒙 تنتمي إلى الفترة 𝒃‪𝒂 ,‬‬
‫ومتصلة على الفترة 𝒃‪ 𝒂 ,‬ولكن ال يوجد مماس يوازي 𝑩𝑨‪.‬‬

‫𝑥 𝑓=𝑦‬

‫𝐴‬

‫𝐵‬

‫𝑎‬

‫𝑏‬

‫شكل (‪)3‬‬

‫‪ )3‬بيان الدالة في الشكل (‪ )4‬يبين نقطة انفصال وبالرغم من عدم توفر شرط من‬
‫شروط نظرية القيمة المتوسطة إال انه يوجد مماس للمنحنى عند 𝒄 يوازي 𝑩𝑨‬
‫𝑦‬

‫𝐴‬

‫𝑥‬

‫𝑏‬

‫𝑐‬

‫𝐵‬
‫شكل (‪)4‬‬

‫𝑎‬

‫‪ )4‬يمكن إيجاد اكثر من نقطة واحدة بحيث 𝒃‪, 𝒄 ∈ 𝒂,‬‬
‫المماس عند كل النقاط‬

‫𝒂 𝒇‪𝒇 𝒃 −‬‬
‫𝒂‪𝒃−‬‬

‫= 𝒄 ˈ𝒇 أي ان‬

‫‪ 𝒄₁,𝒇 𝒄₁‬يوازي 𝑩𝑨 كما في الشكل (‪.)5‬‬

‫‪, 𝒄₂ ,𝒇 𝒄₂‬‬

‫𝑦‬

‫𝑏‬

‫𝑥‬

‫‪𝑐₁‬‬

‫‪𝑐₂‬‬

‫𝑎‬

‫شكل (‪)5‬‬

‫‪ )5‬في نظرية القيمة المتوسطة إذا كان 𝒃 𝒇 = 𝒂 𝒇 فإن 𝟎 = 𝒄 ˈ𝒇 أي ان‬
‫المماس للمنحنى عند 𝒄 يوازي القاطع ويوازي محور السينات أي أن المماس‬
‫افقي كما في الشكل‬
‫𝑦‬

‫𝐵‬

‫𝑥‬

‫𝐴‬

‫𝑏‬

‫𝑐‬
‫شكل (‪)6‬‬

‫𝑎‬

‫مثال (‪)1‬‬

‫كتاب الطالب ص‪133‬مثال )‪(1‬‬

‫الحل ‪:‬‬

‫بين أن الدالة 𝒇 ∶ ‪ 𝒇 𝒙 = 𝒙²‬تحقق شروط نظرية القيمة‬
‫المتوسطة على الفترة 𝟐‪ ، 𝟎,‬ثم أوجد 𝒄 الذي تنبئ به‬
‫النظرية وفسر إجابتك‪.‬‬

‫الدالة 𝒇 ∶ ‪ 𝒇 𝒙 = 𝒙²‬دالة كثيرة حدود متصلة على ‪ℝ‬‬
‫فهي متصلة على الفترة 𝟐‪ ، 𝟎,‬وقابلة لالشتقاق على 𝟐‪. 𝟎,‬‬
‫∴ شروط نظرية القيمة المتوسطة محققة على الفترة 𝟐‪. 𝟎,‬‬
‫∴ يوجد على األقل 𝟐‪ 𝒄 ∈ 𝟎,‬بحيث‪𝒇 𝒃 − 𝒇 𝒂 :‬‬
‫= 𝒄 ˈ𝒇‬
‫𝒂‪𝒃−‬‬
‫𝟎 𝒇‪𝒇 𝟐 −‬‬
‫=‬
‫𝟎‪𝟐−‬‬
‫𝟒 = 𝟐𝟐 = 𝟐 𝒇 ‪∵ 𝒇 𝟎 = 𝟎 𝟐 = 𝟎 ,‬‬
‫𝒙𝟐 = 𝒙 ˈ𝒇‬
‫𝒄𝟐 = 𝒄 ˈ𝒇 ‪,‬‬
‫𝟎 𝒇‪𝒇 𝟐 −‬‬
‫𝟎‪𝟐−‬‬
‫𝟎‪𝟒−‬‬
‫= 𝒄𝟐‬
‫𝟎‪𝟐−‬‬
‫𝟐 = 𝒄𝟐‬
‫𝟏=𝒄‬

‫= 𝒄𝟐 ∴‬

‫التفسير‬
‫يوجد مماس لمنحنى الدالة 𝒇 عند 𝟏 = 𝒙‬
‫يوازي القاطع المار بالنقطتين 𝟒‪𝟎,𝟎 , 𝟐,‬‬

‫التقييم‬

‫حاول أن تحل‬
‫ص‪133‬رقم)‪(1‬‬

‫الحل ‪:‬‬

‫بين أن الدالة 𝒙𝟐 ‪ 𝒇 𝒙 = 𝒙2 +‬تحقق شروط نظرية القيمة‬
‫المتوسطة على الفترة 𝟏‪ ، −𝟑 ,‬ثم أوجد قيمة 𝒄 الذي تنبئ‬
‫به النظرية وفسر اجابتك‬
‫متصلة على 𝟏‪−𝟑 ,‬‬

‫∵ الدالة 𝒇 دالة كثيرة حدود متصلة على ‪ℝ‬‬
‫وقابلة لالشتقاق على 𝟏‪−𝟑 ,‬‬
‫∴ شروط نظرية القيمة المتوسطة محققة على 𝟏‪−𝟑 ,‬‬
‫∴ يوجد على األقل 𝒄 ∶ 𝟏‪ 𝒄 ∈ −𝟑,‬بحيث‬
‫𝒂 𝒇‪𝒇 𝒃 −‬‬
‫𝒂‪𝒃−‬‬

‫= 𝒄 ˈ𝒇‬

‫𝟑 𝒇‪𝒇 𝟏 −‬‬
‫𝟑‪𝟑−‬‬
‫=‬
‫𝟎=‬
‫𝟑‪𝟏 − −‬‬
‫𝟒‬
‫𝟐 ‪𝒇ˈ 𝒄 = 𝟐𝒄 +‬‬

‫‪,‬‬

‫=‬

‫𝟐 ‪∵ 𝒇ˈ 𝒙 = 𝟐𝒙 +‬‬
‫𝟎 = 𝟐 ‪𝟐𝒄 +‬‬

‫𝟏‪𝒄 = −‬‬

‫𝟐‪𝟐𝒄 = −‬‬

‫∴ يوجد مماس لمنحنى الدالة 𝒇 عند 𝟏‪ 𝒙 = −‬يوازي القاطع المار بالنقطتين‬
‫𝟑‪𝟏,𝟑 , −𝟑,‬‬

‫مثال (‪)2‬‬

‫كتاب الطالب ص‪133‬مثال )‪(2‬‬

‫بين أن الدالة 𝒇 ∶ 𝟏 ‪ 𝒇 𝒙 = 𝒙𝟑 +‬تحقق شروط نظرية القيمة‬
‫المتوسطة على الفترة 𝟑‪ ، −𝟑 ,‬ثم أوجد قيمة 𝒄 الذي‬
‫تنبئ به النظرية وفسر اجابتك‪.‬‬

‫الدالة 𝒇 دالة كثيرة حدود متصلة على ‪ℝ‬‬
‫الحل ‪:‬‬
‫فهي متصلة على الفترة 𝟑‪ −𝟑,‬وقابلة لالشتقاق على الفترة 𝟑‪. −𝟑,‬‬
‫∴ شروط نظرية القيمة المتوسطة محققة على الفترة 𝟑‪−𝟑,‬‬
‫∴ يوجد على األقل 𝟑‪ 𝒄 ∈ −𝟑 ,‬بحيث‪:‬‬
‫𝒂 𝒇‪𝒇 𝒃 −‬‬
‫= 𝒄 ˈ𝒇‬
‫𝒂‪𝒃−‬‬
‫𝟑‪𝒇 𝟑 − 𝒇 −‬‬
‫= 𝒄 ˈ𝒇‬
‫𝟑‪𝟑 − −‬‬
‫‪∵ 𝒇 −𝟑 = −𝟑 𝟑 + 𝟏 = −𝟐𝟔 ,‬‬
‫𝟖𝟐 = 𝟏 ‪𝒇 𝟑 = 𝟑𝟑 +‬‬
‫‪𝒇ˈ 𝒙 = 𝟑𝒙𝟑 ,‬‬
‫𝟐𝒄𝟑 = 𝒄 ˈ𝒇‬
‫𝟑‪𝒇 𝟑 − 𝒇 −‬‬
‫التفسير‬
‫= 𝟐𝒄𝟑 ∴‬
‫𝟑‪𝟑 − −‬‬
‫𝟔𝟐‪𝟐𝟖 − −‬‬
‫𝟒𝟓‬
‫يوجد مماسان لمنحنى الدالة 𝒇 عند‪:‬‬
‫= 𝟐𝒄𝟑‬
‫=‬
‫𝟗=‬
‫𝟑‪𝟑+‬‬
‫𝟔‬
‫𝟑 =𝒙‬
‫𝟑 ‪, 𝒙=−‬‬
‫𝟗‬
‫والمماسان يوازيان القاطع المار بالنقطتين‪:‬‬
‫𝟑 = = 𝟐𝒄‬
‫𝟑‬
‫𝟖𝟐‪−𝟑 , − 𝟐𝟔 , 𝟑 ,‬‬
‫‪𝒄 = 𝟑 ∈ ]-3,3[,‬‬
‫[‪𝒄 = − 𝟑 ∈ ]-3,3‬‬

‫بين أن الدالة 𝟐 ‪ 𝒇 𝒙 = 𝒙𝟑 − 𝟑𝒙 +‬تحقق شروط نظرية القيمة‬
‫المتوسطة على الفترة 𝟒‪ ، 𝟎,‬ثم أوجد 𝒄 الذي تنبئ به‬
‫النظرية وفسر إجابتك‪.‬‬

‫التقييم‬

‫حاول أن تحل‬
‫ص‪134‬رقم)‪(2‬‬

‫الحل ‪:‬‬

‫متصلة على 𝟒‪𝟎,‬‬

‫∵ الدالة 𝒇 دالة كثيرة حدود متصلة على ‪ℝ‬‬
‫وقابلة لالشتقاق على 𝟒‪𝟎,‬‬
‫∴ شروط نظرية القيمة المتوسطة محققه على 𝟒‪𝟎,‬‬
‫∴ يوجد على األقل ∁ ‪ ∁∈ 𝟎,𝟒 :‬بحيث‬
‫𝒂 𝒇‪𝒇 𝒃 −‬‬
‫= 𝒄 ˈ𝒇‬
‫𝒂‪𝒃−‬‬
‫𝟎 𝒇‪𝒇 𝟒 −‬‬
‫𝟕𝟐 𝟒𝟓‬
‫=‬
‫=‬
‫=‬
‫𝟎‪𝟒−‬‬
‫𝟒‬
‫𝟐‬
‫𝟐 ‪𝒇ˈ 𝒙 = 𝟑𝒙𝟐 −‬‬

‫𝟐 ‪𝒇ˈ 𝒄 = 𝟑𝒄𝟐 −‬‬

‫𝟕𝟐‬
‫𝟐‬
‫𝟗‬
‫= 𝟏 ‪𝒄𝟐 −‬‬
‫𝟐‬

‫= 𝟑 ‪∴ 𝟑𝒄𝟐 −‬‬

‫𝟒‪∉ 𝟎,‬‬

‫𝟏𝟏‬
‫𝟐‬

‫‪𝒄=−‬‬

‫‪,‬‬

‫∴ يوجد مماس لمنحنى الدالة 𝒇 عند‬
‫𝟒𝟓‪𝟎,𝟐 , 𝟒,‬‬

‫𝟒‪∈ 𝟎,‬‬

‫𝟏𝟏‬
‫𝟐‬

‫=𝒄 ∴‬

‫𝟏𝟏 = 𝒙 يوازي القاطع المار بالنقطتين‬
‫𝟐‬

‫الخاتمة‬

‫بند (‪ )3‬موضوعي‬
‫صـ‪54‬‬

‫ظلل 𝒂 إذا كانت العبارة صحيحة و 𝒃 إذا كانت العبارة خاطئة‬
‫الدالة 𝒇 ∶‬

‫𝟑‬

‫𝟐‬

‫𝒙 = 𝒙 𝒇 تحقق شروط نظرية القيمة المتوسطة على 𝟏‪𝟎,‬‬

‫‪b‬‬

‫‪a‬‬

‫التطبيق‬
‫كراس التمارين‬
‫ص ‪54‬رقم )‪(2‬‬


Slide 14

‫وزارة التربية‬
‫اإلدارة العامة لمنطقة مبارك الكبير التعليمية‬
‫ثانوية العدان بنات‬
‫قسم الرياضيات‬

‫المركز اإلقليمي لتطوير البرمجيات التعليمية‬

‫تطبيقات على اإلشتقاق‬
‫الصف الثاني عشر ‪ -‬علمي‬
‫بند (‪)3-2‬‬
‫عدد الحصص (‪)3‬‬

‫الحصة االولى‬
‫إعداد معلمات قسم الرياضيات‬
‫رئيسة القسم‬
‫أ‪ /‬نورة العجمي‬

‫الموجهة الفنية‬
‫مديرة المدرسة‬
‫أ‪ /‬منى المسري‬
‫دشتي‬

‫أ‪/‬فاطمة‬

‫البند (‪ / )3-2‬الحصة االولى‬

‫تزايد وتناقص الدوال‬

‫الهدف العام‬
‫تطبيق نظرية القيمة المتوسطة‬
‫األهداف‬
‫السلوكية‬
‫‪1‬يوجد متوسط معدل التغير لدالة على فترة ما‪.‬‬
‫‪-2‬يذكر نظرية القيمة المتوسطة‪.‬‬
‫‪-3‬يحل تمارين باستخدام نظرية القيمة المتوسطة‪.‬‬

‫الوسائل‬
‫المستخدمة‬

‫المعلم‬

‫المتعلم‬

‫األقالم‬

‫كتاب الطالب‬

‫السبورة‬

‫كراس التمارين‬

‫داتا شو‬

‫الة حاسبة‬

‫المفردات‬
‫والمصطلحات‬
‫نظرية القيمة المتوسطة‬
‫االخطاء‬
‫المتوقعة‬

‫التمهيد‬

‫المستقيم القاطع‬
‫‪y‬‬
‫‪3‬‬

‫‪B‬‬

‫دعنا نفكر ونتناقش‬

‫‪2‬‬
‫‪1‬‬

‫إذا كانت 𝟏 ‪ 𝒇 𝒙 = 𝒙𝟐 −‬فأجب عما يلي‪:‬‬

‫‪ (1‬ارسم المستقيم المار بالنقطتين‬
‫𝑩𝑨 𝒎‪.‬‬

‫𝟐 𝒇‪, 𝑩 𝟐 ,‬‬

‫‪x‬‬

‫‪2‬‬

‫وهل 𝒇 قابلة لالشتقاق على الفترة 𝟐‪ −𝟏,‬؟‬
‫𝟏‬

‫‪ )4‬استنتج العالقة بين ‪.1 , 3‬‬

‫‪-2‬‬

‫𝟏‪ 𝑨 −𝟏 ,𝒇 −‬ثم أوجد الميل‬

‫‪ (2‬هل الدالة 𝒇 متصلة على 𝟐‪ −𝟏 ,‬؟‬

‫‪ )3‬أوجد ميل المماس لمنحنى 𝒇 عند 𝟐 = 𝒙‬

‫‪1‬‬

‫‪-1‬‬

‫‪A‬‬
‫‪-1‬‬

‫الحظ أن 𝟐 ‪∈ −𝟏 ,‬‬

‫𝟏‬
‫𝟐‬

‫التمهيد‬

‫المستقيم القاطع‬
‫‪y‬‬
‫‪3‬‬

‫‪B‬‬

‫دعنا نفكر ونتناقش‬

‫‪2‬‬
‫‪1‬‬

‫إذا كانت 𝟏 ‪ 𝒇 𝒙 = 𝒙𝟐 −‬فأجب عما يلي‪:‬‬

‫‪ (1‬ارسم المستقيم المار بالنقطتين‬
‫𝑩𝑨 𝒎‪.‬‬

‫‪x‬‬

‫𝟐 𝒇‪, 𝑩 𝟐 ,‬‬

‫‪2‬‬

‫وهل 𝒇 قابلة لالشتقاق على الفترة 𝟐‪ −𝟏,‬؟ ‪=1‬‬

‫‪-2‬‬

‫𝟏‪ 𝑨 −𝟏 ,𝒇 −‬ثم أوجد الميل‬

‫‪ (2‬هل الدالة 𝒇 متصلة على 𝟐‪ −𝟏 ,‬؟ نعم‬
‫𝟏‬
‫𝟐‬

‫‪1‬‬

‫‪-1‬‬

‫‪A‬‬
‫‪-1‬‬

‫`𝒇‬

‫𝟏‬

‫الحظ أن 𝟐 ‪∈ −𝟏 ,‬‬
‫‪ )3‬أوجد ميل المماس لمنحنى 𝒇 عند 𝟐 = 𝒙‬
‫ميل المماس = ‪1‬‬
‫‪ )4‬استنتج العالقة بين ‪ .1 , 3‬المستقيمان متوازيان‬

‫𝟏‬
‫𝟐‬

‫التدريس‬
‫تربط نظرية القيمة المتوسطة بين متوسط معدل تغير دالة على فترة‬

‫مماس مواز للقاطع‬

‫ما‪ ،‬ومعدل التغير للدالة عند نقطة تنتمي إلى هذه الفترة‪.‬‬

‫ميل المماس = 𝑐 ‪𝑓′‬‬
‫𝐵‬

‫تمكن نتائجها القوية في صميم بعض التطبيقات الكثيرة األهمية في علم‬
‫𝐴‬

‫حساب التفاضل والتكامل‪.‬‬
‫𝑥‬

‫𝑏‬

‫تقول النظرية انه في مكان ما بين النقطتين ‪A,B‬منحنى دالة قابلة‬
‫لالشتقاق‪ ،‬يوجد على األقل خط مماس واحد يوازي قاطع المنحنى‬
‫𝑩𝑨 ‪.‬‬
‫𝑦‬

‫𝒂 𝒇‪𝒇 𝒃 −‬‬
‫= 𝑩𝑨 𝒎‬
‫𝒂‪𝒃−‬‬
‫𝑥‬

‫𝑏‬

‫‪𝑐₂‬‬

‫‪𝑐₁‬‬

‫𝑎‬

‫𝑎‬
‫𝑐‬
‫𝑥 𝑓=𝑦‬

‫‪y‬‬

‫نظرية‬
‫(‪)3‬‬

‫نظرية القيمة المتوسطة‬

‫إذا كانت 𝒇 دالة‬
‫‪ )1‬متصلة على الفترة 𝒃‪𝒂,‬‬
‫‪ )2‬قابلة لالشتقاق على الفترة 𝒃‪𝒂,‬‬
‫فإنه يوجد على األقل 𝒃‪ 𝒄 ∈ 𝒂,‬بحيث‬
‫𝒂 𝒇‪𝒇 𝒃 −‬‬
‫= 𝒄 ˈ𝒇‬
‫𝒂‪𝒃−‬‬
‫انتبه‬
‫شروط النظرية كافية وليست الزمة أي ان توفر الشروط يؤكد وجود 𝒄‬
‫وعدم تحقق أحد الشرطين ال يعني بالضرورة عدم وجود 𝒄‬

‫مالحظات هامة‪:‬‬

‫‪ )1‬إذا لم يتحقق أحد شرطي النظرية (‪ )3‬فإنه قد ال يكون لبيان الدالة مماس موازي للقاطع 𝑩𝑨‪.‬‬
‫فمثال 𝒙 = 𝒙 𝒇 متصلة على الفترة 𝟏‪ ، −𝟏 ,‬وقابلة لالشتقاق عند كل 𝒙 تنتمي إلى 𝟏‪−𝟏 ,‬‬
‫باستثناء عند 𝟎 = 𝒙 ‪.‬‬
‫بيان الدالة ليس مماس يوازي 𝑩𝑨 (شكل ‪)2‬‬

‫𝑦‬

‫𝑥 =𝑦‬

‫‪1‬‬
‫𝐵‬

‫𝑥‬

‫𝐴‬

‫‪1‬‬

‫‪-1‬‬
‫شكل (‪)2‬‬

‫‪ )2‬يبين شكل (‪ )3‬بيان دالة 𝒇 قابلة لالشتقاق عند كل 𝒙 تنتمي إلى الفترة 𝒃‪𝒂 ,‬‬
‫ومتصلة على الفترة 𝒃‪ 𝒂 ,‬ولكن ال يوجد مماس يوازي 𝑩𝑨‪.‬‬

‫𝑥 𝑓=𝑦‬

‫𝐴‬

‫𝐵‬

‫𝑎‬

‫𝑏‬

‫شكل (‪)3‬‬

‫‪ )3‬بيان الدالة في الشكل (‪ )4‬يبين نقطة انفصال وبالرغم من عدم توفر شرط من‬
‫شروط نظرية القيمة المتوسطة إال انه يوجد مماس للمنحنى عند 𝒄 يوازي 𝑩𝑨‬
‫𝑦‬

‫𝐴‬

‫𝑥‬

‫𝑏‬

‫𝑐‬

‫𝐵‬
‫شكل (‪)4‬‬

‫𝑎‬

‫‪ )4‬يمكن إيجاد اكثر من نقطة واحدة بحيث 𝒃‪, 𝒄 ∈ 𝒂,‬‬
‫المماس عند كل النقاط‬

‫𝒂 𝒇‪𝒇 𝒃 −‬‬
‫𝒂‪𝒃−‬‬

‫= 𝒄 ˈ𝒇 أي ان‬

‫‪ 𝒄₁,𝒇 𝒄₁‬يوازي 𝑩𝑨 كما في الشكل (‪.)5‬‬

‫‪, 𝒄₂ ,𝒇 𝒄₂‬‬

‫𝑦‬

‫𝑏‬

‫𝑥‬

‫‪𝑐₁‬‬

‫‪𝑐₂‬‬

‫𝑎‬

‫شكل (‪)5‬‬

‫‪ )5‬في نظرية القيمة المتوسطة إذا كان 𝒃 𝒇 = 𝒂 𝒇 فإن 𝟎 = 𝒄 ˈ𝒇 أي ان‬
‫المماس للمنحنى عند 𝒄 يوازي القاطع ويوازي محور السينات أي أن المماس‬
‫افقي كما في الشكل‬
‫𝑦‬

‫𝐵‬

‫𝑥‬

‫𝐴‬

‫𝑏‬

‫𝑐‬
‫شكل (‪)6‬‬

‫𝑎‬

‫مثال (‪)1‬‬

‫كتاب الطالب ص‪133‬مثال )‪(1‬‬

‫الحل ‪:‬‬

‫بين أن الدالة 𝒇 ∶ ‪ 𝒇 𝒙 = 𝒙²‬تحقق شروط نظرية القيمة‬
‫المتوسطة على الفترة 𝟐‪ ، 𝟎,‬ثم أوجد 𝒄 الذي تنبئ به‬
‫النظرية وفسر إجابتك‪.‬‬

‫الدالة 𝒇 ∶ ‪ 𝒇 𝒙 = 𝒙²‬دالة كثيرة حدود متصلة على ‪ℝ‬‬
‫فهي متصلة على الفترة 𝟐‪ ، 𝟎,‬وقابلة لالشتقاق على 𝟐‪. 𝟎,‬‬
‫∴ شروط نظرية القيمة المتوسطة محققة على الفترة 𝟐‪. 𝟎,‬‬
‫∴ يوجد على األقل 𝟐‪ 𝒄 ∈ 𝟎,‬بحيث‪𝒇 𝒃 − 𝒇 𝒂 :‬‬
‫= 𝒄 ˈ𝒇‬
‫𝒂‪𝒃−‬‬
‫𝟎 𝒇‪𝒇 𝟐 −‬‬
‫=‬
‫𝟎‪𝟐−‬‬
‫𝟒 = 𝟐𝟐 = 𝟐 𝒇 ‪∵ 𝒇 𝟎 = 𝟎 𝟐 = 𝟎 ,‬‬
‫𝒙𝟐 = 𝒙 ˈ𝒇‬
‫𝒄𝟐 = 𝒄 ˈ𝒇 ‪,‬‬
‫𝟎 𝒇‪𝒇 𝟐 −‬‬
‫𝟎‪𝟐−‬‬
‫𝟎‪𝟒−‬‬
‫= 𝒄𝟐‬
‫𝟎‪𝟐−‬‬
‫𝟐 = 𝒄𝟐‬
‫𝟏=𝒄‬

‫= 𝒄𝟐 ∴‬

‫التفسير‬
‫يوجد مماس لمنحنى الدالة 𝒇 عند 𝟏 = 𝒙‬
‫يوازي القاطع المار بالنقطتين 𝟒‪𝟎,𝟎 , 𝟐,‬‬

‫التقييم‬

‫حاول أن تحل‬
‫ص‪133‬رقم)‪(1‬‬

‫الحل ‪:‬‬

‫بين أن الدالة 𝒙𝟐 ‪ 𝒇 𝒙 = 𝒙2 +‬تحقق شروط نظرية القيمة‬
‫المتوسطة على الفترة 𝟏‪ ، −𝟑 ,‬ثم أوجد قيمة 𝒄 الذي تنبئ‬
‫به النظرية وفسر اجابتك‬
‫متصلة على 𝟏‪−𝟑 ,‬‬

‫∵ الدالة 𝒇 دالة كثيرة حدود متصلة على ‪ℝ‬‬
‫وقابلة لالشتقاق على 𝟏‪−𝟑 ,‬‬
‫∴ شروط نظرية القيمة المتوسطة محققة على 𝟏‪−𝟑 ,‬‬
‫∴ يوجد على األقل 𝒄 ∶ 𝟏‪ 𝒄 ∈ −𝟑,‬بحيث‬
‫𝒂 𝒇‪𝒇 𝒃 −‬‬
‫𝒂‪𝒃−‬‬

‫= 𝒄 ˈ𝒇‬

‫𝟑 𝒇‪𝒇 𝟏 −‬‬
‫𝟑‪𝟑−‬‬
‫=‬
‫𝟎=‬
‫𝟑‪𝟏 − −‬‬
‫𝟒‬
‫𝟐 ‪𝒇ˈ 𝒄 = 𝟐𝒄 +‬‬

‫‪,‬‬

‫=‬

‫𝟐 ‪∵ 𝒇ˈ 𝒙 = 𝟐𝒙 +‬‬
‫𝟎 = 𝟐 ‪𝟐𝒄 +‬‬

‫𝟏‪𝒄 = −‬‬

‫𝟐‪𝟐𝒄 = −‬‬

‫∴ يوجد مماس لمنحنى الدالة 𝒇 عند 𝟏‪ 𝒙 = −‬يوازي القاطع المار بالنقطتين‬
‫𝟑‪𝟏,𝟑 , −𝟑,‬‬

‫مثال (‪)2‬‬

‫كتاب الطالب ص‪133‬مثال )‪(2‬‬

‫بين أن الدالة 𝒇 ∶ 𝟏 ‪ 𝒇 𝒙 = 𝒙𝟑 +‬تحقق شروط نظرية القيمة‬
‫المتوسطة على الفترة 𝟑‪ ، −𝟑 ,‬ثم أوجد قيمة 𝒄 الذي‬
‫تنبئ به النظرية وفسر اجابتك‪.‬‬

‫الدالة 𝒇 دالة كثيرة حدود متصلة على ‪ℝ‬‬
‫الحل ‪:‬‬
‫فهي متصلة على الفترة 𝟑‪ −𝟑,‬وقابلة لالشتقاق على الفترة 𝟑‪. −𝟑,‬‬
‫∴ شروط نظرية القيمة المتوسطة محققة على الفترة 𝟑‪−𝟑,‬‬
‫∴ يوجد على األقل 𝟑‪ 𝒄 ∈ −𝟑 ,‬بحيث‪:‬‬
‫𝒂 𝒇‪𝒇 𝒃 −‬‬
‫= 𝒄 ˈ𝒇‬
‫𝒂‪𝒃−‬‬
‫𝟑‪𝒇 𝟑 − 𝒇 −‬‬
‫= 𝒄 ˈ𝒇‬
‫𝟑‪𝟑 − −‬‬
‫‪∵ 𝒇 −𝟑 = −𝟑 𝟑 + 𝟏 = −𝟐𝟔 ,‬‬
‫𝟖𝟐 = 𝟏 ‪𝒇 𝟑 = 𝟑𝟑 +‬‬
‫‪𝒇ˈ 𝒙 = 𝟑𝒙𝟑 ,‬‬
‫𝟐𝒄𝟑 = 𝒄 ˈ𝒇‬
‫𝟑‪𝒇 𝟑 − 𝒇 −‬‬
‫التفسير‬
‫= 𝟐𝒄𝟑 ∴‬
‫𝟑‪𝟑 − −‬‬
‫𝟔𝟐‪𝟐𝟖 − −‬‬
‫𝟒𝟓‬
‫يوجد مماسان لمنحنى الدالة 𝒇 عند‪:‬‬
‫= 𝟐𝒄𝟑‬
‫=‬
‫𝟗=‬
‫𝟑‪𝟑+‬‬
‫𝟔‬
‫𝟑 =𝒙‬
‫𝟑 ‪, 𝒙=−‬‬
‫𝟗‬
‫والمماسان يوازيان القاطع المار بالنقطتين‪:‬‬
‫𝟑 = = 𝟐𝒄‬
‫𝟑‬
‫𝟖𝟐‪−𝟑 , − 𝟐𝟔 , 𝟑 ,‬‬
‫‪𝒄 = 𝟑 ∈ ]-3,3[,‬‬
‫[‪𝒄 = − 𝟑 ∈ ]-3,3‬‬

‫بين أن الدالة 𝟐 ‪ 𝒇 𝒙 = 𝒙𝟑 − 𝟑𝒙 +‬تحقق شروط نظرية القيمة‬
‫المتوسطة على الفترة 𝟒‪ ، 𝟎,‬ثم أوجد 𝒄 الذي تنبئ به‬
‫النظرية وفسر إجابتك‪.‬‬

‫التقييم‬

‫حاول أن تحل‬
‫ص‪134‬رقم)‪(2‬‬

‫الحل ‪:‬‬

‫متصلة على 𝟒‪𝟎,‬‬

‫∵ الدالة 𝒇 دالة كثيرة حدود متصلة على ‪ℝ‬‬
‫وقابلة لالشتقاق على 𝟒‪𝟎,‬‬
‫∴ شروط نظرية القيمة المتوسطة محققه على 𝟒‪𝟎,‬‬
‫∴ يوجد على األقل ∁ ‪ ∁∈ 𝟎,𝟒 :‬بحيث‬
‫𝒂 𝒇‪𝒇 𝒃 −‬‬
‫= 𝒄 ˈ𝒇‬
‫𝒂‪𝒃−‬‬
‫𝟎 𝒇‪𝒇 𝟒 −‬‬
‫𝟕𝟐 𝟒𝟓‬
‫=‬
‫=‬
‫=‬
‫𝟎‪𝟒−‬‬
‫𝟒‬
‫𝟐‬
‫𝟐 ‪𝒇ˈ 𝒙 = 𝟑𝒙𝟐 −‬‬

‫𝟐 ‪𝒇ˈ 𝒄 = 𝟑𝒄𝟐 −‬‬

‫𝟕𝟐‬
‫𝟐‬
‫𝟗‬
‫= 𝟏 ‪𝒄𝟐 −‬‬
‫𝟐‬

‫= 𝟑 ‪∴ 𝟑𝒄𝟐 −‬‬

‫𝟒‪∉ 𝟎,‬‬

‫𝟏𝟏‬
‫𝟐‬

‫‪𝒄=−‬‬

‫‪,‬‬

‫∴ يوجد مماس لمنحنى الدالة 𝒇 عند‬
‫𝟒𝟓‪𝟎,𝟐 , 𝟒,‬‬

‫𝟒‪∈ 𝟎,‬‬

‫𝟏𝟏‬
‫𝟐‬

‫=𝒄 ∴‬

‫𝟏𝟏 = 𝒙 يوازي القاطع المار بالنقطتين‬
‫𝟐‬

‫الخاتمة‬

‫بند (‪ )3‬موضوعي‬
‫صـ‪54‬‬

‫ظلل 𝒂 إذا كانت العبارة صحيحة و 𝒃 إذا كانت العبارة خاطئة‬
‫الدالة 𝒇 ∶‬

‫𝟑‬

‫𝟐‬

‫𝒙 = 𝒙 𝒇 تحقق شروط نظرية القيمة المتوسطة على 𝟏‪𝟎,‬‬

‫‪b‬‬

‫‪a‬‬

‫التطبيق‬
‫كراس التمارين‬
‫ص ‪54‬رقم )‪(2‬‬


Slide 15

‫وزارة التربية‬
‫اإلدارة العامة لمنطقة مبارك الكبير التعليمية‬
‫ثانوية العدان بنات‬
‫قسم الرياضيات‬

‫المركز اإلقليمي لتطوير البرمجيات التعليمية‬

‫تطبيقات على اإلشتقاق‬
‫الصف الثاني عشر ‪ -‬علمي‬
‫بند (‪)3-2‬‬
‫عدد الحصص (‪)3‬‬

‫الحصة االولى‬
‫إعداد معلمات قسم الرياضيات‬
‫رئيسة القسم‬
‫أ‪ /‬نورة العجمي‬

‫الموجهة الفنية‬
‫مديرة المدرسة‬
‫أ‪ /‬منى المسري‬
‫دشتي‬

‫أ‪/‬فاطمة‬

‫البند (‪ / )3-2‬الحصة االولى‬

‫تزايد وتناقص الدوال‬

‫الهدف العام‬
‫تطبيق نظرية القيمة المتوسطة‬
‫األهداف‬
‫السلوكية‬
‫‪1‬يوجد متوسط معدل التغير لدالة على فترة ما‪.‬‬
‫‪-2‬يذكر نظرية القيمة المتوسطة‪.‬‬
‫‪-3‬يحل تمارين باستخدام نظرية القيمة المتوسطة‪.‬‬

‫الوسائل‬
‫المستخدمة‬

‫المعلم‬

‫المتعلم‬

‫األقالم‬

‫كتاب الطالب‬

‫السبورة‬

‫كراس التمارين‬

‫داتا شو‬

‫الة حاسبة‬

‫المفردات‬
‫والمصطلحات‬
‫نظرية القيمة المتوسطة‬
‫االخطاء‬
‫المتوقعة‬

‫التمهيد‬

‫المستقيم القاطع‬
‫‪y‬‬
‫‪3‬‬

‫‪B‬‬

‫دعنا نفكر ونتناقش‬

‫‪2‬‬
‫‪1‬‬

‫إذا كانت 𝟏 ‪ 𝒇 𝒙 = 𝒙𝟐 −‬فأجب عما يلي‪:‬‬

‫‪ (1‬ارسم المستقيم المار بالنقطتين‬
‫𝑩𝑨 𝒎‪.‬‬

‫𝟐 𝒇‪, 𝑩 𝟐 ,‬‬

‫‪x‬‬

‫‪2‬‬

‫وهل 𝒇 قابلة لالشتقاق على الفترة 𝟐‪ −𝟏,‬؟‬
‫𝟏‬

‫‪ )4‬استنتج العالقة بين ‪.1 , 3‬‬

‫‪-2‬‬

‫𝟏‪ 𝑨 −𝟏 ,𝒇 −‬ثم أوجد الميل‬

‫‪ (2‬هل الدالة 𝒇 متصلة على 𝟐‪ −𝟏 ,‬؟‬

‫‪ )3‬أوجد ميل المماس لمنحنى 𝒇 عند 𝟐 = 𝒙‬

‫‪1‬‬

‫‪-1‬‬

‫‪A‬‬
‫‪-1‬‬

‫الحظ أن 𝟐 ‪∈ −𝟏 ,‬‬

‫𝟏‬
‫𝟐‬

‫التمهيد‬

‫المستقيم القاطع‬
‫‪y‬‬
‫‪3‬‬

‫‪B‬‬

‫دعنا نفكر ونتناقش‬

‫‪2‬‬
‫‪1‬‬

‫إذا كانت 𝟏 ‪ 𝒇 𝒙 = 𝒙𝟐 −‬فأجب عما يلي‪:‬‬

‫‪ (1‬ارسم المستقيم المار بالنقطتين‬
‫𝑩𝑨 𝒎‪.‬‬

‫‪x‬‬

‫𝟐 𝒇‪, 𝑩 𝟐 ,‬‬

‫‪2‬‬

‫وهل 𝒇 قابلة لالشتقاق على الفترة 𝟐‪ −𝟏,‬؟ ‪=1‬‬

‫‪-2‬‬

‫𝟏‪ 𝑨 −𝟏 ,𝒇 −‬ثم أوجد الميل‬

‫‪ (2‬هل الدالة 𝒇 متصلة على 𝟐‪ −𝟏 ,‬؟ نعم‬
‫𝟏‬
‫𝟐‬

‫‪1‬‬

‫‪-1‬‬

‫‪A‬‬
‫‪-1‬‬

‫`𝒇‬

‫𝟏‬

‫الحظ أن 𝟐 ‪∈ −𝟏 ,‬‬
‫‪ )3‬أوجد ميل المماس لمنحنى 𝒇 عند 𝟐 = 𝒙‬
‫ميل المماس = ‪1‬‬
‫‪ )4‬استنتج العالقة بين ‪ .1 , 3‬المستقيمان متوازيان‬

‫𝟏‬
‫𝟐‬

‫التدريس‬
‫تربط نظرية القيمة المتوسطة بين متوسط معدل تغير دالة على فترة‬

‫مماس مواز للقاطع‬

‫ما‪ ،‬ومعدل التغير للدالة عند نقطة تنتمي إلى هذه الفترة‪.‬‬

‫ميل المماس = 𝑐 ‪𝑓′‬‬
‫𝐵‬

‫تمكن نتائجها القوية في صميم بعض التطبيقات الكثيرة األهمية في علم‬
‫𝐴‬

‫حساب التفاضل والتكامل‪.‬‬
‫𝑥‬

‫𝑏‬

‫تقول النظرية انه في مكان ما بين النقطتين ‪A,B‬منحنى دالة قابلة‬
‫لالشتقاق‪ ،‬يوجد على األقل خط مماس واحد يوازي قاطع المنحنى‬
‫𝑩𝑨 ‪.‬‬
‫𝑦‬

‫𝒂 𝒇‪𝒇 𝒃 −‬‬
‫= 𝑩𝑨 𝒎‬
‫𝒂‪𝒃−‬‬
‫𝑥‬

‫𝑏‬

‫‪𝑐₂‬‬

‫‪𝑐₁‬‬

‫𝑎‬

‫𝑎‬
‫𝑐‬
‫𝑥 𝑓=𝑦‬

‫‪y‬‬

‫نظرية‬
‫(‪)3‬‬

‫نظرية القيمة المتوسطة‬

‫إذا كانت 𝒇 دالة‬
‫‪ )1‬متصلة على الفترة 𝒃‪𝒂,‬‬
‫‪ )2‬قابلة لالشتقاق على الفترة 𝒃‪𝒂,‬‬
‫فإنه يوجد على األقل 𝒃‪ 𝒄 ∈ 𝒂,‬بحيث‬
‫𝒂 𝒇‪𝒇 𝒃 −‬‬
‫= 𝒄 ˈ𝒇‬
‫𝒂‪𝒃−‬‬
‫انتبه‬
‫شروط النظرية كافية وليست الزمة أي ان توفر الشروط يؤكد وجود 𝒄‬
‫وعدم تحقق أحد الشرطين ال يعني بالضرورة عدم وجود 𝒄‬

‫مالحظات هامة‪:‬‬

‫‪ )1‬إذا لم يتحقق أحد شرطي النظرية (‪ )3‬فإنه قد ال يكون لبيان الدالة مماس موازي للقاطع 𝑩𝑨‪.‬‬
‫فمثال 𝒙 = 𝒙 𝒇 متصلة على الفترة 𝟏‪ ، −𝟏 ,‬وقابلة لالشتقاق عند كل 𝒙 تنتمي إلى 𝟏‪−𝟏 ,‬‬
‫باستثناء عند 𝟎 = 𝒙 ‪.‬‬
‫بيان الدالة ليس مماس يوازي 𝑩𝑨 (شكل ‪)2‬‬

‫𝑦‬

‫𝑥 =𝑦‬

‫‪1‬‬
‫𝐵‬

‫𝑥‬

‫𝐴‬

‫‪1‬‬

‫‪-1‬‬
‫شكل (‪)2‬‬

‫‪ )2‬يبين شكل (‪ )3‬بيان دالة 𝒇 قابلة لالشتقاق عند كل 𝒙 تنتمي إلى الفترة 𝒃‪𝒂 ,‬‬
‫ومتصلة على الفترة 𝒃‪ 𝒂 ,‬ولكن ال يوجد مماس يوازي 𝑩𝑨‪.‬‬

‫𝑥 𝑓=𝑦‬

‫𝐴‬

‫𝐵‬

‫𝑎‬

‫𝑏‬

‫شكل (‪)3‬‬

‫‪ )3‬بيان الدالة في الشكل (‪ )4‬يبين نقطة انفصال وبالرغم من عدم توفر شرط من‬
‫شروط نظرية القيمة المتوسطة إال انه يوجد مماس للمنحنى عند 𝒄 يوازي 𝑩𝑨‬
‫𝑦‬

‫𝐴‬

‫𝑥‬

‫𝑏‬

‫𝑐‬

‫𝐵‬
‫شكل (‪)4‬‬

‫𝑎‬

‫‪ )4‬يمكن إيجاد اكثر من نقطة واحدة بحيث 𝒃‪, 𝒄 ∈ 𝒂,‬‬
‫المماس عند كل النقاط‬

‫𝒂 𝒇‪𝒇 𝒃 −‬‬
‫𝒂‪𝒃−‬‬

‫= 𝒄 ˈ𝒇 أي ان‬

‫‪ 𝒄₁,𝒇 𝒄₁‬يوازي 𝑩𝑨 كما في الشكل (‪.)5‬‬

‫‪, 𝒄₂ ,𝒇 𝒄₂‬‬

‫𝑦‬

‫𝑏‬

‫𝑥‬

‫‪𝑐₁‬‬

‫‪𝑐₂‬‬

‫𝑎‬

‫شكل (‪)5‬‬

‫‪ )5‬في نظرية القيمة المتوسطة إذا كان 𝒃 𝒇 = 𝒂 𝒇 فإن 𝟎 = 𝒄 ˈ𝒇 أي ان‬
‫المماس للمنحنى عند 𝒄 يوازي القاطع ويوازي محور السينات أي أن المماس‬
‫افقي كما في الشكل‬
‫𝑦‬

‫𝐵‬

‫𝑥‬

‫𝐴‬

‫𝑏‬

‫𝑐‬
‫شكل (‪)6‬‬

‫𝑎‬

‫مثال (‪)1‬‬

‫كتاب الطالب ص‪133‬مثال )‪(1‬‬

‫الحل ‪:‬‬

‫بين أن الدالة 𝒇 ∶ ‪ 𝒇 𝒙 = 𝒙²‬تحقق شروط نظرية القيمة‬
‫المتوسطة على الفترة 𝟐‪ ، 𝟎,‬ثم أوجد 𝒄 الذي تنبئ به‬
‫النظرية وفسر إجابتك‪.‬‬

‫الدالة 𝒇 ∶ ‪ 𝒇 𝒙 = 𝒙²‬دالة كثيرة حدود متصلة على ‪ℝ‬‬
‫فهي متصلة على الفترة 𝟐‪ ، 𝟎,‬وقابلة لالشتقاق على 𝟐‪. 𝟎,‬‬
‫∴ شروط نظرية القيمة المتوسطة محققة على الفترة 𝟐‪. 𝟎,‬‬
‫∴ يوجد على األقل 𝟐‪ 𝒄 ∈ 𝟎,‬بحيث‪𝒇 𝒃 − 𝒇 𝒂 :‬‬
‫= 𝒄 ˈ𝒇‬
‫𝒂‪𝒃−‬‬
‫𝟎 𝒇‪𝒇 𝟐 −‬‬
‫=‬
‫𝟎‪𝟐−‬‬
‫𝟒 = 𝟐𝟐 = 𝟐 𝒇 ‪∵ 𝒇 𝟎 = 𝟎 𝟐 = 𝟎 ,‬‬
‫𝒙𝟐 = 𝒙 ˈ𝒇‬
‫𝒄𝟐 = 𝒄 ˈ𝒇 ‪,‬‬
‫𝟎 𝒇‪𝒇 𝟐 −‬‬
‫𝟎‪𝟐−‬‬
‫𝟎‪𝟒−‬‬
‫= 𝒄𝟐‬
‫𝟎‪𝟐−‬‬
‫𝟐 = 𝒄𝟐‬
‫𝟏=𝒄‬

‫= 𝒄𝟐 ∴‬

‫التفسير‬
‫يوجد مماس لمنحنى الدالة 𝒇 عند 𝟏 = 𝒙‬
‫يوازي القاطع المار بالنقطتين 𝟒‪𝟎,𝟎 , 𝟐,‬‬

‫التقييم‬

‫حاول أن تحل‬
‫ص‪133‬رقم)‪(1‬‬

‫الحل ‪:‬‬

‫بين أن الدالة 𝒙𝟐 ‪ 𝒇 𝒙 = 𝒙2 +‬تحقق شروط نظرية القيمة‬
‫المتوسطة على الفترة 𝟏‪ ، −𝟑 ,‬ثم أوجد قيمة 𝒄 الذي تنبئ‬
‫به النظرية وفسر اجابتك‬
‫متصلة على 𝟏‪−𝟑 ,‬‬

‫∵ الدالة 𝒇 دالة كثيرة حدود متصلة على ‪ℝ‬‬
‫وقابلة لالشتقاق على 𝟏‪−𝟑 ,‬‬
‫∴ شروط نظرية القيمة المتوسطة محققة على 𝟏‪−𝟑 ,‬‬
‫∴ يوجد على األقل 𝒄 ∶ 𝟏‪ 𝒄 ∈ −𝟑,‬بحيث‬
‫𝒂 𝒇‪𝒇 𝒃 −‬‬
‫𝒂‪𝒃−‬‬

‫= 𝒄 ˈ𝒇‬

‫𝟑 𝒇‪𝒇 𝟏 −‬‬
‫𝟑‪𝟑−‬‬
‫=‬
‫𝟎=‬
‫𝟑‪𝟏 − −‬‬
‫𝟒‬
‫𝟐 ‪𝒇ˈ 𝒄 = 𝟐𝒄 +‬‬

‫‪,‬‬

‫=‬

‫𝟐 ‪∵ 𝒇ˈ 𝒙 = 𝟐𝒙 +‬‬
‫𝟎 = 𝟐 ‪𝟐𝒄 +‬‬

‫𝟏‪𝒄 = −‬‬

‫𝟐‪𝟐𝒄 = −‬‬

‫∴ يوجد مماس لمنحنى الدالة 𝒇 عند 𝟏‪ 𝒙 = −‬يوازي القاطع المار بالنقطتين‬
‫𝟑‪𝟏,𝟑 , −𝟑,‬‬

‫مثال (‪)2‬‬

‫كتاب الطالب ص‪133‬مثال )‪(2‬‬

‫بين أن الدالة 𝒇 ∶ 𝟏 ‪ 𝒇 𝒙 = 𝒙𝟑 +‬تحقق شروط نظرية القيمة‬
‫المتوسطة على الفترة 𝟑‪ ، −𝟑 ,‬ثم أوجد قيمة 𝒄 الذي‬
‫تنبئ به النظرية وفسر اجابتك‪.‬‬

‫الدالة 𝒇 دالة كثيرة حدود متصلة على ‪ℝ‬‬
‫الحل ‪:‬‬
‫فهي متصلة على الفترة 𝟑‪ −𝟑,‬وقابلة لالشتقاق على الفترة 𝟑‪. −𝟑,‬‬
‫∴ شروط نظرية القيمة المتوسطة محققة على الفترة 𝟑‪−𝟑,‬‬
‫∴ يوجد على األقل 𝟑‪ 𝒄 ∈ −𝟑 ,‬بحيث‪:‬‬
‫𝒂 𝒇‪𝒇 𝒃 −‬‬
‫= 𝒄 ˈ𝒇‬
‫𝒂‪𝒃−‬‬
‫𝟑‪𝒇 𝟑 − 𝒇 −‬‬
‫= 𝒄 ˈ𝒇‬
‫𝟑‪𝟑 − −‬‬
‫‪∵ 𝒇 −𝟑 = −𝟑 𝟑 + 𝟏 = −𝟐𝟔 ,‬‬
‫𝟖𝟐 = 𝟏 ‪𝒇 𝟑 = 𝟑𝟑 +‬‬
‫‪𝒇ˈ 𝒙 = 𝟑𝒙𝟑 ,‬‬
‫𝟐𝒄𝟑 = 𝒄 ˈ𝒇‬
‫𝟑‪𝒇 𝟑 − 𝒇 −‬‬
‫التفسير‬
‫= 𝟐𝒄𝟑 ∴‬
‫𝟑‪𝟑 − −‬‬
‫𝟔𝟐‪𝟐𝟖 − −‬‬
‫𝟒𝟓‬
‫يوجد مماسان لمنحنى الدالة 𝒇 عند‪:‬‬
‫= 𝟐𝒄𝟑‬
‫=‬
‫𝟗=‬
‫𝟑‪𝟑+‬‬
‫𝟔‬
‫𝟑 =𝒙‬
‫𝟑 ‪, 𝒙=−‬‬
‫𝟗‬
‫والمماسان يوازيان القاطع المار بالنقطتين‪:‬‬
‫𝟑 = = 𝟐𝒄‬
‫𝟑‬
‫𝟖𝟐‪−𝟑 , − 𝟐𝟔 , 𝟑 ,‬‬
‫‪𝒄 = 𝟑 ∈ ]-3,3[,‬‬
‫[‪𝒄 = − 𝟑 ∈ ]-3,3‬‬

‫بين أن الدالة 𝟐 ‪ 𝒇 𝒙 = 𝒙𝟑 − 𝟑𝒙 +‬تحقق شروط نظرية القيمة‬
‫المتوسطة على الفترة 𝟒‪ ، 𝟎,‬ثم أوجد 𝒄 الذي تنبئ به‬
‫النظرية وفسر إجابتك‪.‬‬

‫التقييم‬

‫حاول أن تحل‬
‫ص‪134‬رقم)‪(2‬‬

‫الحل ‪:‬‬

‫متصلة على 𝟒‪𝟎,‬‬

‫∵ الدالة 𝒇 دالة كثيرة حدود متصلة على ‪ℝ‬‬
‫وقابلة لالشتقاق على 𝟒‪𝟎,‬‬
‫∴ شروط نظرية القيمة المتوسطة محققه على 𝟒‪𝟎,‬‬
‫∴ يوجد على األقل ∁ ‪ ∁∈ 𝟎,𝟒 :‬بحيث‬
‫𝒂 𝒇‪𝒇 𝒃 −‬‬
‫= 𝒄 ˈ𝒇‬
‫𝒂‪𝒃−‬‬
‫𝟎 𝒇‪𝒇 𝟒 −‬‬
‫𝟕𝟐 𝟒𝟓‬
‫=‬
‫=‬
‫=‬
‫𝟎‪𝟒−‬‬
‫𝟒‬
‫𝟐‬
‫𝟐 ‪𝒇ˈ 𝒙 = 𝟑𝒙𝟐 −‬‬

‫𝟐 ‪𝒇ˈ 𝒄 = 𝟑𝒄𝟐 −‬‬

‫𝟕𝟐‬
‫𝟐‬
‫𝟗‬
‫= 𝟏 ‪𝒄𝟐 −‬‬
‫𝟐‬

‫= 𝟑 ‪∴ 𝟑𝒄𝟐 −‬‬

‫𝟒‪∉ 𝟎,‬‬

‫𝟏𝟏‬
‫𝟐‬

‫‪𝒄=−‬‬

‫‪,‬‬

‫∴ يوجد مماس لمنحنى الدالة 𝒇 عند‬
‫𝟒𝟓‪𝟎,𝟐 , 𝟒,‬‬

‫𝟒‪∈ 𝟎,‬‬

‫𝟏𝟏‬
‫𝟐‬

‫=𝒄 ∴‬

‫𝟏𝟏 = 𝒙 يوازي القاطع المار بالنقطتين‬
‫𝟐‬

‫الخاتمة‬

‫بند (‪ )3‬موضوعي‬
‫صـ‪54‬‬

‫ظلل 𝒂 إذا كانت العبارة صحيحة و 𝒃 إذا كانت العبارة خاطئة‬
‫الدالة 𝒇 ∶‬

‫𝟑‬

‫𝟐‬

‫𝒙 = 𝒙 𝒇 تحقق شروط نظرية القيمة المتوسطة على 𝟏‪𝟎,‬‬

‫‪b‬‬

‫‪a‬‬

‫التطبيق‬
‫كراس التمارين‬
‫ص ‪54‬رقم )‪(2‬‬


Slide 16

‫وزارة التربية‬
‫اإلدارة العامة لمنطقة مبارك الكبير التعليمية‬
‫ثانوية العدان بنات‬
‫قسم الرياضيات‬

‫المركز اإلقليمي لتطوير البرمجيات التعليمية‬

‫تطبيقات على اإلشتقاق‬
‫الصف الثاني عشر ‪ -‬علمي‬
‫بند (‪)3-2‬‬
‫عدد الحصص (‪)3‬‬

‫الحصة االولى‬
‫إعداد معلمات قسم الرياضيات‬
‫رئيسة القسم‬
‫أ‪ /‬نورة العجمي‬

‫الموجهة الفنية‬
‫مديرة المدرسة‬
‫أ‪ /‬منى المسري‬
‫دشتي‬

‫أ‪/‬فاطمة‬

‫البند (‪ / )3-2‬الحصة االولى‬

‫تزايد وتناقص الدوال‬

‫الهدف العام‬
‫تطبيق نظرية القيمة المتوسطة‬
‫األهداف‬
‫السلوكية‬
‫‪1‬يوجد متوسط معدل التغير لدالة على فترة ما‪.‬‬
‫‪-2‬يذكر نظرية القيمة المتوسطة‪.‬‬
‫‪-3‬يحل تمارين باستخدام نظرية القيمة المتوسطة‪.‬‬

‫الوسائل‬
‫المستخدمة‬

‫المعلم‬

‫المتعلم‬

‫األقالم‬

‫كتاب الطالب‬

‫السبورة‬

‫كراس التمارين‬

‫داتا شو‬

‫الة حاسبة‬

‫المفردات‬
‫والمصطلحات‬
‫نظرية القيمة المتوسطة‬
‫االخطاء‬
‫المتوقعة‬

‫التمهيد‬

‫المستقيم القاطع‬
‫‪y‬‬
‫‪3‬‬

‫‪B‬‬

‫دعنا نفكر ونتناقش‬

‫‪2‬‬
‫‪1‬‬

‫إذا كانت 𝟏 ‪ 𝒇 𝒙 = 𝒙𝟐 −‬فأجب عما يلي‪:‬‬

‫‪ (1‬ارسم المستقيم المار بالنقطتين‬
‫𝑩𝑨 𝒎‪.‬‬

‫𝟐 𝒇‪, 𝑩 𝟐 ,‬‬

‫‪x‬‬

‫‪2‬‬

‫وهل 𝒇 قابلة لالشتقاق على الفترة 𝟐‪ −𝟏,‬؟‬
‫𝟏‬

‫‪ )4‬استنتج العالقة بين ‪.1 , 3‬‬

‫‪-2‬‬

‫𝟏‪ 𝑨 −𝟏 ,𝒇 −‬ثم أوجد الميل‬

‫‪ (2‬هل الدالة 𝒇 متصلة على 𝟐‪ −𝟏 ,‬؟‬

‫‪ )3‬أوجد ميل المماس لمنحنى 𝒇 عند 𝟐 = 𝒙‬

‫‪1‬‬

‫‪-1‬‬

‫‪A‬‬
‫‪-1‬‬

‫الحظ أن 𝟐 ‪∈ −𝟏 ,‬‬

‫𝟏‬
‫𝟐‬

‫التمهيد‬

‫المستقيم القاطع‬
‫‪y‬‬
‫‪3‬‬

‫‪B‬‬

‫دعنا نفكر ونتناقش‬

‫‪2‬‬
‫‪1‬‬

‫إذا كانت 𝟏 ‪ 𝒇 𝒙 = 𝒙𝟐 −‬فأجب عما يلي‪:‬‬

‫‪ (1‬ارسم المستقيم المار بالنقطتين‬
‫𝑩𝑨 𝒎‪.‬‬

‫‪x‬‬

‫𝟐 𝒇‪, 𝑩 𝟐 ,‬‬

‫‪2‬‬

‫وهل 𝒇 قابلة لالشتقاق على الفترة 𝟐‪ −𝟏,‬؟ ‪=1‬‬

‫‪-2‬‬

‫𝟏‪ 𝑨 −𝟏 ,𝒇 −‬ثم أوجد الميل‬

‫‪ (2‬هل الدالة 𝒇 متصلة على 𝟐‪ −𝟏 ,‬؟ نعم‬
‫𝟏‬
‫𝟐‬

‫‪1‬‬

‫‪-1‬‬

‫‪A‬‬
‫‪-1‬‬

‫`𝒇‬

‫𝟏‬

‫الحظ أن 𝟐 ‪∈ −𝟏 ,‬‬
‫‪ )3‬أوجد ميل المماس لمنحنى 𝒇 عند 𝟐 = 𝒙‬
‫ميل المماس = ‪1‬‬
‫‪ )4‬استنتج العالقة بين ‪ .1 , 3‬المستقيمان متوازيان‬

‫𝟏‬
‫𝟐‬

‫التدريس‬
‫تربط نظرية القيمة المتوسطة بين متوسط معدل تغير دالة على فترة‬

‫مماس مواز للقاطع‬

‫ما‪ ،‬ومعدل التغير للدالة عند نقطة تنتمي إلى هذه الفترة‪.‬‬

‫ميل المماس = 𝑐 ‪𝑓′‬‬
‫𝐵‬

‫تمكن نتائجها القوية في صميم بعض التطبيقات الكثيرة األهمية في علم‬
‫𝐴‬

‫حساب التفاضل والتكامل‪.‬‬
‫𝑥‬

‫𝑏‬

‫تقول النظرية انه في مكان ما بين النقطتين ‪A,B‬منحنى دالة قابلة‬
‫لالشتقاق‪ ،‬يوجد على األقل خط مماس واحد يوازي قاطع المنحنى‬
‫𝑩𝑨 ‪.‬‬
‫𝑦‬

‫𝒂 𝒇‪𝒇 𝒃 −‬‬
‫= 𝑩𝑨 𝒎‬
‫𝒂‪𝒃−‬‬
‫𝑥‬

‫𝑏‬

‫‪𝑐₂‬‬

‫‪𝑐₁‬‬

‫𝑎‬

‫𝑎‬
‫𝑐‬
‫𝑥 𝑓=𝑦‬

‫‪y‬‬

‫نظرية‬
‫(‪)3‬‬

‫نظرية القيمة المتوسطة‬

‫إذا كانت 𝒇 دالة‬
‫‪ )1‬متصلة على الفترة 𝒃‪𝒂,‬‬
‫‪ )2‬قابلة لالشتقاق على الفترة 𝒃‪𝒂,‬‬
‫فإنه يوجد على األقل 𝒃‪ 𝒄 ∈ 𝒂,‬بحيث‬
‫𝒂 𝒇‪𝒇 𝒃 −‬‬
‫= 𝒄 ˈ𝒇‬
‫𝒂‪𝒃−‬‬
‫انتبه‬
‫شروط النظرية كافية وليست الزمة أي ان توفر الشروط يؤكد وجود 𝒄‬
‫وعدم تحقق أحد الشرطين ال يعني بالضرورة عدم وجود 𝒄‬

‫مالحظات هامة‪:‬‬

‫‪ )1‬إذا لم يتحقق أحد شرطي النظرية (‪ )3‬فإنه قد ال يكون لبيان الدالة مماس موازي للقاطع 𝑩𝑨‪.‬‬
‫فمثال 𝒙 = 𝒙 𝒇 متصلة على الفترة 𝟏‪ ، −𝟏 ,‬وقابلة لالشتقاق عند كل 𝒙 تنتمي إلى 𝟏‪−𝟏 ,‬‬
‫باستثناء عند 𝟎 = 𝒙 ‪.‬‬
‫بيان الدالة ليس مماس يوازي 𝑩𝑨 (شكل ‪)2‬‬

‫𝑦‬

‫𝑥 =𝑦‬

‫‪1‬‬
‫𝐵‬

‫𝑥‬

‫𝐴‬

‫‪1‬‬

‫‪-1‬‬
‫شكل (‪)2‬‬

‫‪ )2‬يبين شكل (‪ )3‬بيان دالة 𝒇 قابلة لالشتقاق عند كل 𝒙 تنتمي إلى الفترة 𝒃‪𝒂 ,‬‬
‫ومتصلة على الفترة 𝒃‪ 𝒂 ,‬ولكن ال يوجد مماس يوازي 𝑩𝑨‪.‬‬

‫𝑥 𝑓=𝑦‬

‫𝐴‬

‫𝐵‬

‫𝑎‬

‫𝑏‬

‫شكل (‪)3‬‬

‫‪ )3‬بيان الدالة في الشكل (‪ )4‬يبين نقطة انفصال وبالرغم من عدم توفر شرط من‬
‫شروط نظرية القيمة المتوسطة إال انه يوجد مماس للمنحنى عند 𝒄 يوازي 𝑩𝑨‬
‫𝑦‬

‫𝐴‬

‫𝑥‬

‫𝑏‬

‫𝑐‬

‫𝐵‬
‫شكل (‪)4‬‬

‫𝑎‬

‫‪ )4‬يمكن إيجاد اكثر من نقطة واحدة بحيث 𝒃‪, 𝒄 ∈ 𝒂,‬‬
‫المماس عند كل النقاط‬

‫𝒂 𝒇‪𝒇 𝒃 −‬‬
‫𝒂‪𝒃−‬‬

‫= 𝒄 ˈ𝒇 أي ان‬

‫‪ 𝒄₁,𝒇 𝒄₁‬يوازي 𝑩𝑨 كما في الشكل (‪.)5‬‬

‫‪, 𝒄₂ ,𝒇 𝒄₂‬‬

‫𝑦‬

‫𝑏‬

‫𝑥‬

‫‪𝑐₁‬‬

‫‪𝑐₂‬‬

‫𝑎‬

‫شكل (‪)5‬‬

‫‪ )5‬في نظرية القيمة المتوسطة إذا كان 𝒃 𝒇 = 𝒂 𝒇 فإن 𝟎 = 𝒄 ˈ𝒇 أي ان‬
‫المماس للمنحنى عند 𝒄 يوازي القاطع ويوازي محور السينات أي أن المماس‬
‫افقي كما في الشكل‬
‫𝑦‬

‫𝐵‬

‫𝑥‬

‫𝐴‬

‫𝑏‬

‫𝑐‬
‫شكل (‪)6‬‬

‫𝑎‬

‫مثال (‪)1‬‬

‫كتاب الطالب ص‪133‬مثال )‪(1‬‬

‫الحل ‪:‬‬

‫بين أن الدالة 𝒇 ∶ ‪ 𝒇 𝒙 = 𝒙²‬تحقق شروط نظرية القيمة‬
‫المتوسطة على الفترة 𝟐‪ ، 𝟎,‬ثم أوجد 𝒄 الذي تنبئ به‬
‫النظرية وفسر إجابتك‪.‬‬

‫الدالة 𝒇 ∶ ‪ 𝒇 𝒙 = 𝒙²‬دالة كثيرة حدود متصلة على ‪ℝ‬‬
‫فهي متصلة على الفترة 𝟐‪ ، 𝟎,‬وقابلة لالشتقاق على 𝟐‪. 𝟎,‬‬
‫∴ شروط نظرية القيمة المتوسطة محققة على الفترة 𝟐‪. 𝟎,‬‬
‫∴ يوجد على األقل 𝟐‪ 𝒄 ∈ 𝟎,‬بحيث‪𝒇 𝒃 − 𝒇 𝒂 :‬‬
‫= 𝒄 ˈ𝒇‬
‫𝒂‪𝒃−‬‬
‫𝟎 𝒇‪𝒇 𝟐 −‬‬
‫=‬
‫𝟎‪𝟐−‬‬
‫𝟒 = 𝟐𝟐 = 𝟐 𝒇 ‪∵ 𝒇 𝟎 = 𝟎 𝟐 = 𝟎 ,‬‬
‫𝒙𝟐 = 𝒙 ˈ𝒇‬
‫𝒄𝟐 = 𝒄 ˈ𝒇 ‪,‬‬
‫𝟎 𝒇‪𝒇 𝟐 −‬‬
‫𝟎‪𝟐−‬‬
‫𝟎‪𝟒−‬‬
‫= 𝒄𝟐‬
‫𝟎‪𝟐−‬‬
‫𝟐 = 𝒄𝟐‬
‫𝟏=𝒄‬

‫= 𝒄𝟐 ∴‬

‫التفسير‬
‫يوجد مماس لمنحنى الدالة 𝒇 عند 𝟏 = 𝒙‬
‫يوازي القاطع المار بالنقطتين 𝟒‪𝟎,𝟎 , 𝟐,‬‬

‫التقييم‬

‫حاول أن تحل‬
‫ص‪133‬رقم)‪(1‬‬

‫الحل ‪:‬‬

‫بين أن الدالة 𝒙𝟐 ‪ 𝒇 𝒙 = 𝒙2 +‬تحقق شروط نظرية القيمة‬
‫المتوسطة على الفترة 𝟏‪ ، −𝟑 ,‬ثم أوجد قيمة 𝒄 الذي تنبئ‬
‫به النظرية وفسر اجابتك‬
‫متصلة على 𝟏‪−𝟑 ,‬‬

‫∵ الدالة 𝒇 دالة كثيرة حدود متصلة على ‪ℝ‬‬
‫وقابلة لالشتقاق على 𝟏‪−𝟑 ,‬‬
‫∴ شروط نظرية القيمة المتوسطة محققة على 𝟏‪−𝟑 ,‬‬
‫∴ يوجد على األقل 𝒄 ∶ 𝟏‪ 𝒄 ∈ −𝟑,‬بحيث‬
‫𝒂 𝒇‪𝒇 𝒃 −‬‬
‫𝒂‪𝒃−‬‬

‫= 𝒄 ˈ𝒇‬

‫𝟑 𝒇‪𝒇 𝟏 −‬‬
‫𝟑‪𝟑−‬‬
‫=‬
‫𝟎=‬
‫𝟑‪𝟏 − −‬‬
‫𝟒‬
‫𝟐 ‪𝒇ˈ 𝒄 = 𝟐𝒄 +‬‬

‫‪,‬‬

‫=‬

‫𝟐 ‪∵ 𝒇ˈ 𝒙 = 𝟐𝒙 +‬‬
‫𝟎 = 𝟐 ‪𝟐𝒄 +‬‬

‫𝟏‪𝒄 = −‬‬

‫𝟐‪𝟐𝒄 = −‬‬

‫∴ يوجد مماس لمنحنى الدالة 𝒇 عند 𝟏‪ 𝒙 = −‬يوازي القاطع المار بالنقطتين‬
‫𝟑‪𝟏,𝟑 , −𝟑,‬‬

‫مثال (‪)2‬‬

‫كتاب الطالب ص‪133‬مثال )‪(2‬‬

‫بين أن الدالة 𝒇 ∶ 𝟏 ‪ 𝒇 𝒙 = 𝒙𝟑 +‬تحقق شروط نظرية القيمة‬
‫المتوسطة على الفترة 𝟑‪ ، −𝟑 ,‬ثم أوجد قيمة 𝒄 الذي‬
‫تنبئ به النظرية وفسر اجابتك‪.‬‬

‫الدالة 𝒇 دالة كثيرة حدود متصلة على ‪ℝ‬‬
‫الحل ‪:‬‬
‫فهي متصلة على الفترة 𝟑‪ −𝟑,‬وقابلة لالشتقاق على الفترة 𝟑‪. −𝟑,‬‬
‫∴ شروط نظرية القيمة المتوسطة محققة على الفترة 𝟑‪−𝟑,‬‬
‫∴ يوجد على األقل 𝟑‪ 𝒄 ∈ −𝟑 ,‬بحيث‪:‬‬
‫𝒂 𝒇‪𝒇 𝒃 −‬‬
‫= 𝒄 ˈ𝒇‬
‫𝒂‪𝒃−‬‬
‫𝟑‪𝒇 𝟑 − 𝒇 −‬‬
‫= 𝒄 ˈ𝒇‬
‫𝟑‪𝟑 − −‬‬
‫‪∵ 𝒇 −𝟑 = −𝟑 𝟑 + 𝟏 = −𝟐𝟔 ,‬‬
‫𝟖𝟐 = 𝟏 ‪𝒇 𝟑 = 𝟑𝟑 +‬‬
‫‪𝒇ˈ 𝒙 = 𝟑𝒙𝟑 ,‬‬
‫𝟐𝒄𝟑 = 𝒄 ˈ𝒇‬
‫𝟑‪𝒇 𝟑 − 𝒇 −‬‬
‫التفسير‬
‫= 𝟐𝒄𝟑 ∴‬
‫𝟑‪𝟑 − −‬‬
‫𝟔𝟐‪𝟐𝟖 − −‬‬
‫𝟒𝟓‬
‫يوجد مماسان لمنحنى الدالة 𝒇 عند‪:‬‬
‫= 𝟐𝒄𝟑‬
‫=‬
‫𝟗=‬
‫𝟑‪𝟑+‬‬
‫𝟔‬
‫𝟑 =𝒙‬
‫𝟑 ‪, 𝒙=−‬‬
‫𝟗‬
‫والمماسان يوازيان القاطع المار بالنقطتين‪:‬‬
‫𝟑 = = 𝟐𝒄‬
‫𝟑‬
‫𝟖𝟐‪−𝟑 , − 𝟐𝟔 , 𝟑 ,‬‬
‫‪𝒄 = 𝟑 ∈ ]-3,3[,‬‬
‫[‪𝒄 = − 𝟑 ∈ ]-3,3‬‬

‫بين أن الدالة 𝟐 ‪ 𝒇 𝒙 = 𝒙𝟑 − 𝟑𝒙 +‬تحقق شروط نظرية القيمة‬
‫المتوسطة على الفترة 𝟒‪ ، 𝟎,‬ثم أوجد 𝒄 الذي تنبئ به‬
‫النظرية وفسر إجابتك‪.‬‬

‫التقييم‬

‫حاول أن تحل‬
‫ص‪134‬رقم)‪(2‬‬

‫الحل ‪:‬‬

‫متصلة على 𝟒‪𝟎,‬‬

‫∵ الدالة 𝒇 دالة كثيرة حدود متصلة على ‪ℝ‬‬
‫وقابلة لالشتقاق على 𝟒‪𝟎,‬‬
‫∴ شروط نظرية القيمة المتوسطة محققه على 𝟒‪𝟎,‬‬
‫∴ يوجد على األقل ∁ ‪ ∁∈ 𝟎,𝟒 :‬بحيث‬
‫𝒂 𝒇‪𝒇 𝒃 −‬‬
‫= 𝒄 ˈ𝒇‬
‫𝒂‪𝒃−‬‬
‫𝟎 𝒇‪𝒇 𝟒 −‬‬
‫𝟕𝟐 𝟒𝟓‬
‫=‬
‫=‬
‫=‬
‫𝟎‪𝟒−‬‬
‫𝟒‬
‫𝟐‬
‫𝟐 ‪𝒇ˈ 𝒙 = 𝟑𝒙𝟐 −‬‬

‫𝟐 ‪𝒇ˈ 𝒄 = 𝟑𝒄𝟐 −‬‬

‫𝟕𝟐‬
‫𝟐‬
‫𝟗‬
‫= 𝟏 ‪𝒄𝟐 −‬‬
‫𝟐‬

‫= 𝟑 ‪∴ 𝟑𝒄𝟐 −‬‬

‫𝟒‪∉ 𝟎,‬‬

‫𝟏𝟏‬
‫𝟐‬

‫‪𝒄=−‬‬

‫‪,‬‬

‫∴ يوجد مماس لمنحنى الدالة 𝒇 عند‬
‫𝟒𝟓‪𝟎,𝟐 , 𝟒,‬‬

‫𝟒‪∈ 𝟎,‬‬

‫𝟏𝟏‬
‫𝟐‬

‫=𝒄 ∴‬

‫𝟏𝟏 = 𝒙 يوازي القاطع المار بالنقطتين‬
‫𝟐‬

‫الخاتمة‬

‫بند (‪ )3‬موضوعي‬
‫صـ‪54‬‬

‫ظلل 𝒂 إذا كانت العبارة صحيحة و 𝒃 إذا كانت العبارة خاطئة‬
‫الدالة 𝒇 ∶‬

‫𝟑‬

‫𝟐‬

‫𝒙 = 𝒙 𝒇 تحقق شروط نظرية القيمة المتوسطة على 𝟏‪𝟎,‬‬

‫‪b‬‬

‫‪a‬‬

‫التطبيق‬
‫كراس التمارين‬
‫ص ‪54‬رقم )‪(2‬‬