Transcript وزارة التربية منطقة العاصمة التعليمية ثانوية اإلسراء ورشة عمل في البند 2 – 2 املشتقة للصف الثاني عشر العلمي رئيسة القسم : أ . بدرية الكندري املوجهة الفنية : أ . رضية القطان املوجهة.

‫وزارة التربية‬
‫منطقة العاصمة التعليمية‬
‫ثانوية اإلسراء‬
‫ورشة عمل في البند ‪2 – 2‬‬
‫املشتقة‬
‫للصف الثاني عشر العلمي‬
‫رئيسة القسم‪:‬‬
‫أ‪ .‬بدرية الكندري‬
‫املوجهة الفنية‪:‬‬
‫أ‪ .‬رضية القطان‬
‫املوجهة األولى‪:‬‬
‫أ‪ .‬حصة العلي‬
‫تنسيق املعلمة‪ :‬رحاب محمد رشاد الحمد‬
‫مديرة املدرسة‪:‬‬
‫أ‪ .‬عزيزة الشمري‬
‫سوف تتعلم‬
‫‪ 1‬إيجاد امليل واملشتقات باستخدام تعريف املشتقة‪.‬‬
‫‪ 2‬إيجاد مشتقة الدالة عند نقطة‪.‬‬
‫‪3‬‬
‫‪4‬‬
‫إيجاد املشتقة من جهة واحدة‪.‬‬
‫قابلية االشتقاق على فترة‪.‬‬
‫‪ 5‬العالقة بين االتصال عند نقطة أو على فترة وقابلية االشتقاق‪.‬‬
‫‪ 6‬إيجاد النقاط الحرجة والتمييز بين األركان واألنياب‪.‬‬
‫املفردات واملصطلحات‬
‫املشتقة عند نقطة‬
‫مشتقة دالة‬
‫نقطة ركن‬
‫نقطة ناب‬
‫مشتقة من جهة واحدة‬
‫مماس رأس ي‬
‫عدم اتصال‬
‫دعنا نفكر ونناقش‬
‫ً‬
‫تعلمت فيما سبق أنه إذا كان 𝑙 مستقيما يصنع زاوية ‪θ‬‬
‫مع االتجاه املوجب ملحور السينات فإن ميل املستقيم‪:‬‬
‫‪𝑚 = tan θ‬‬
‫الشكل املقابل يمثل بيان الدالة ‪: f‬‬
‫𝑙 ‪ 𝑙 , 𝑙 ,‬مماسات ملنحنى ‪ f‬عند النقاط ‪ 𝑝1 , 𝑝2 , 𝑝3‬على الترتيب‬
‫‪1 2 3‬‬
‫‪1‬‬
‫ميل املماس ‪ 𝑙1‬ملنحنى ‪ f‬عند ‪ 𝑝1‬أكبر من الصفر ملاذا؟‬
‫‪2‬‬
‫ميل املماس ‪ 𝑙2‬ملنحنى ‪ f‬عند ‪ 𝑝2‬يساوي الصفر ملاذا؟‬
‫‪3‬‬
‫ميل املماس ‪ 𝑙3‬ملنحنى ‪ f‬عند ‪ 𝑝3‬أصغر من الصفر ملاذا؟‬
‫‪ 4‬إذا أمكن رسم مماسات عند نقاط مختلفة على املنحنى‪ ،‬فهل ميل املنحنى‬
‫عند كل نقطة من هذه النقاط يكون قيمة ثابتة أم متغيرة؟‬
‫تعريف املشتقة تعلمت أن ميل منحنى‬
‫𝑓 عند نقطة إحداثيها السيني 𝑎 = 𝑥‬
‫الدالة‬
‫𝑎 𝑓‪𝑓 𝑎+ℎ −‬‬
‫ه‬
‫‪𝑚 = lim‬‬
‫‪ℎ→0‬‬
‫‪ℎ‬‬
‫و‬
‫في حال وجود هذه النهاية فإنها تسمى مشتقة الدالة 𝑓 عند 𝑎‬
‫تعريف املشتقة عند‬
‫نقطة‬
‫مشتقة الدالة 𝑓 عند 𝑎 = 𝑥 هي )𝑎(‪𝑓′‬‬
‫𝑎 𝑓‪𝑓 𝑎+ℎ −‬‬
‫‪𝑓′(𝑎) = lim‬‬
‫‪ℎ→0‬‬
‫‪ℎ‬‬
‫شرط وجود النهاية‬
‫من التعريف السابق يمكننا القول أن 𝑓 قابلة لالشتقاق عند𝑎 = 𝑥‬
‫𝑦𝑑‬
‫إذا كانت النهاية موجودة ويرمز لذلك بالرمز‪:‬‬
‫أ )𝑎(‪𝑓′‬‬
‫𝑎=𝑥‬
‫𝑥𝑑 و‬
‫أما إذا كانت النهاية غير موجودة عند 𝑎 = 𝑥 نقول إن الدالة 𝑓 غير قابلة لالشتقاق عند‬
‫𝑎 = 𝑥 (غير موجودة )𝑎(‪)𝑓′‬‬
‫مثال (‪)1‬‬
‫باستخدام التعريف أوجد مشتقة الدالة 𝑓 ‪ 𝑓 𝑥 = 2𝑥 2 + 1:‬عند ‪𝑥 = 1‬‬
‫(إن وجدت)‬
‫𝑎 𝑓‪𝑓 𝑎+ℎ −‬‬
‫‪𝑓′(𝑎) = lim‬‬
‫‪ℎ→0‬‬
‫‪ℎ‬‬
‫‪𝑥 = 1 𝑎 = 1 , 𝑓 1 = 2(1)2 +1 = 3‬‬
‫‪2‬‬
‫𝑓‬
‫‪1‬‬
‫‪+‬‬
‫‪ℎ‬‬
‫‪−‬‬
‫𝑓‬
‫‪1‬‬
‫‪2(1‬‬
‫‪+‬‬
‫)‪ℎ‬‬
‫‪+1 − 3‬‬
‫‪′‬‬
‫‪𝑓 1 = lim‬‬
‫‪= lim‬‬
‫‪ℎ→0‬‬
‫‪ℎ→0‬‬
‫‪ℎ‬‬
‫‪ℎ‬‬
‫‪2 + 4ℎ + 2ℎ2 + 1 − 3‬‬
‫‪= lim‬‬
‫‪ℎ→0‬‬
‫‪ℎ‬‬
‫)‪1 ℎ(4 + 2ℎ‬‬
‫‪4ℎ + 2ℎ2‬‬
‫‪= lim‬‬
‫‪= lim‬‬
‫‪ℎ→0‬‬
‫‪ℎ→0‬‬
‫‪ℎ‬‬
‫‪ℎ‬‬
‫‪1‬‬
‫‪= lim (4 + 2ℎ) = 4 + 0 = 4‬‬
‫‪ℎ→0‬‬
‫مشتقة الدالة 𝑓‬
‫‪ 𝑥 = 1‬هي‬
‫‪∴ 𝑓′ 1 = 4‬‬
‫حاول أن تحل(‪)1‬‬
‫باستخدام التعريف أوجد مشتقة الدالة 𝑓 ‪ 𝑓 𝑥 = 3𝑥 2 :‬عند ‪𝑥 = −2‬‬
‫(إن وجدت)‬
‫𝑎 𝑓‪𝑓 𝑎+ℎ −‬‬
‫‪𝑓′(𝑎) = lim‬‬
‫‪ℎ→0‬‬
‫‪ℎ‬‬
‫‪𝑥 = −2 𝑎 = −2 , 𝑓 −2 = 3(−2)2 = 12‬‬
‫‪2‬‬
‫𝑓‬
‫‪−2‬‬
‫‪+‬‬
‫‪ℎ‬‬
‫‪−‬‬
‫𝑓‬
‫‪−2‬‬
‫‪3(−2‬‬
‫‪+‬‬
‫)‪ℎ‬‬
‫‪−12‬‬
‫‪′‬‬
‫‪𝑓 −2 = lim‬‬
‫‪= lim‬‬
‫‪ℎ→0‬‬
‫‪ℎ→0‬‬
‫‪ℎ‬‬
‫‪ℎ‬‬
‫‪12 − 12ℎ + 3ℎ2 − 12‬‬
‫‪−12ℎ + 3ℎ2‬‬
‫‪= lim‬‬
‫‪= lim‬‬
‫‪ℎ→0‬‬
‫‪ℎ→0‬‬
‫‪ℎ‬‬
‫‪ℎ‬‬
‫)‪1 ℎ(−12 + 3ℎ‬‬
‫‪= lim‬‬
‫)‪= lim (−12 + 3ℎ‬‬
‫‪ℎ→0‬‬
‫‪ℎ→0‬‬
‫‪ℎ1‬‬
‫‪= −12 + 0 = −12‬‬
‫مشتقة الدالة 𝑓‬
‫‪ 𝑥 = −2‬هي‬
‫‪∴ 𝑓 ′ −2 = −12‬‬
‫نحصل على مشتقة )𝑥(𝑓 عند 𝑎 = 𝑥 بأخذ النهاية عندما تقترب ‪ ℎ‬من الصفر )‪(ℎ → 0‬‬
‫مليل الخطوط القاطعة‪ ,‬كما في الشكل‪.‬‬
‫تعريف(بديل)‪ :‬املشتقة عند نقطة‬
‫مشتقة الدالة 𝑓 عند 𝑎 = 𝑥 هي‬
‫𝑎 𝑓‪𝑓 𝑥 −‬‬
‫‪𝑓′(𝑎) = lim‬‬
‫𝑎→𝑥‬
‫𝑎‪𝑥−‬‬
‫شرط وجود النهاية‬
‫مالحظة‪:‬‬
‫التعريف البديل للمشتقة هو صورة أخرى لتعريف املشتقة‪.‬‬
‫مثال (‪)2‬‬
‫باستخدام التعريف البديل أوجد مشتقة الدالة‪ 𝑓 𝑥 = 𝑥 :‬عند 𝑎 = 𝑥 حيث ‪𝑎 > 0‬‬
‫𝑎 𝑓‪𝑓 𝑥 −‬‬
‫‪𝑓′(𝑎) = lim‬‬
‫𝑎 = 𝑥 (إن وجدت)‬
‫عند‬
‫𝑎→𝑥‬
‫𝑎‪𝑥−‬‬
‫النقطة‬
‫𝑎 ‪𝑥−‬‬
‫‪= lim‬‬
‫𝑎 ‪𝑥→𝑎 𝑥 −‬‬
‫𝑎 ‪𝑥− 𝑎 𝑥+‬‬
‫ضرب البسط واملقام باملرافق )𝑎 ‪( 𝑥 +‬‬
‫‪= lim‬‬
‫‪.‬‬
‫𝑎 ‪𝑥→𝑎 𝑥 −‬‬
‫𝑎 ‪𝑥+‬‬
‫)𝑎 ‪(𝑥1−‬‬
‫‪= lim‬‬
‫)𝑎 ‪𝑥→𝑎 (𝑥 − 𝑎)( 𝑥 +‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪= lim‬‬
‫إيجاد‬
‫يمكننا اآلن‬
‫النهاية ‪lim 𝑥 + 𝑎 = lim‬‬
‫‪𝑥+‬‬
‫‪lim‬‬
‫𝑎‬
‫𝑎 ‪𝑥→𝑎 𝑥 +‬‬
‫𝑎→𝑥‬
‫𝑎→𝑥‬
‫𝑎→𝑥‬
‫‪= 𝑎 + 𝑎 ,𝑎 > 0‬‬
‫‪lim 1‬‬
‫‪1‬‬
‫𝑎→𝑥‬
‫𝑎 ‪=2‬‬
‫‪,2 𝑎 ≠ 0‬‬
‫=‬
‫=‬
‫𝑎 ‪lim ( 𝑥 + 𝑎) 2‬‬
‫𝑎→𝑥‬
‫حاول أن تحل(‪)2‬‬
‫‪1‬‬
‫أوجد مشتقة الدالة‪:‬‬
‫= 𝑥 𝑓 عند ‪𝑥 = 𝑏 , 𝑏 ≠ 0‬‬
‫𝑥‬
‫𝑏 𝑓‪𝑓 𝑥 −‬‬
‫𝑏 = 𝑥 (إن وجدت)‬
‫عند‬
‫‪𝑓′(𝑏) = lim‬‬
‫𝑏→𝑥‬
‫𝑏‪𝑥−‬‬
‫النقطة‬
‫‪1 1‬‬
‫‪−‬‬
‫𝑥‬
‫𝑏‬
‫‪= lim‬‬
‫𝑏 ‪𝑥→𝑏 𝑥 −‬‬
‫‪-1‬‬
‫𝑥‪𝑏−‬‬
‫𝑏𝑥 ‪= lim‬‬
‫𝑏 ‪𝑥→𝑏 𝑥 −‬‬
‫‪1‬‬
‫‪𝑏2 ≠ 0‬‬
‫‪lim 𝑥𝑏 = 𝑏 2 ,‬‬
‫𝑏→𝑥‬
‫‪−1‬‬
‫‪−1‬‬
‫‪= lim‬‬
‫‪= 2‬‬
‫𝑏𝑥 𝑏→𝑥‬
‫𝑏‬
‫املشتقة من جهة واحدة‬
‫مشتقة الدالة 𝑓 من اليمين يرمز لها بالرمز )𝑎(‪ 𝑓+ ′‬وهي‪:‬‬
‫(إن وجدت)‬
‫𝑎 𝑓‪𝑓 𝑎+ℎ −‬‬
‫‪lim+‬‬
‫‪ℎ→0‬‬
‫‪ℎ‬‬
‫ومشتقة الدالة 𝑓 من اليسار يرمز لها بالرمز )𝑎(‪ 𝑓− ′‬وهي‪:‬‬
‫(إن وجدت)‬
‫𝑎 𝑓‪𝑓 𝑎+ℎ −‬‬
‫‪lim‬‬
‫‪ℎ→0−‬‬
‫‪ℎ‬‬
‫إن الدالة لها مشتقة عند نقطة إذا وفقط إذا كانت املشتقتان لجهة اليمين ولجهة‬
‫اليسار ّ‬
‫معرفتين ومتساويتين عند تلك النقطة‪.‬‬
‫مثال (‪)3‬‬
‫ّ‬
‫بين أن الدالة التالية لها مشتقة لجهة اليمين ومشتقة لجهة اليسار عند ‪𝑥 = 0‬‬
‫لكن ليس لها مشتقة عند ‪𝑥 = 0‬‬
‫‪,𝑥 ≤ 0‬‬
‫‪,𝑥 > 0‬‬
‫‪𝑓 𝑥 = 𝑥2‬‬
‫𝑥‪2‬‬
‫(إن وجدت)‬
‫‪𝑓( ′(0) = lim 𝑓 0 + ℎ − 𝑓 0‬إن وجدت)‬
‫‪+‬‬
‫‪ℎ→0+‬‬
‫‪ℎ‬‬
‫‪𝑓 0+ℎ −𝑓 0‬‬
‫‪𝑓− ′(0) = lim−‬‬
‫‪ℎ→0‬‬
‫‪ℎ‬‬
‫‪2ℎ‬‬
‫‪2(0 + ℎ) − 02‬‬
‫‪= lim+‬‬
‫‪= lim+‬‬
‫‪ℎ→0 ℎ‬‬
‫‪ℎ→0‬‬
‫‪ℎ‬‬
‫‪(0 + ℎ)2 −02‬‬
‫‪ℎ2‬‬
‫‪= lim−‬‬
‫‪= lim−‬‬
‫‪ℎ→0‬‬
‫‪ℎ→0 ℎ‬‬
‫‪ℎ‬‬
‫‪= lim+ 2 = 2‬‬
‫‪= lim− ℎ = 0‬‬
‫)‪(2‬‬
‫‪ℎ→0‬‬
‫من )‪ (1‬و )‪(2‬‬
‫)‪𝑓− ′(0) ≠ 𝑓+ ′(0‬‬
‫)‪ 𝑓′(0‬ليست موجودة أي أن الدالة ليس لها مشتقة عند‪𝑥 = 0‬‬
‫)‪(1‬‬
‫‪ℎ→0‬‬
‫حاول أن تحل(‪ )3‬لتكن‪ 𝑓 𝑥 = 𝑥 − 2 :‬ابحث قابلية الدالة 𝑓 لالشتقاق عند‪𝑥 = 2‬‬
‫‪𝑥≥2‬‬
‫‪𝑥<2‬‬
‫‪𝑓 𝑥 = 𝑥−2 ,‬‬
‫‪−𝑥 + 2 ,‬‬
‫(إن وجدت)‬
‫‪𝑓 2+ℎ −𝑓 2‬‬
‫‪ℎ→0‬‬
‫‪ℎ‬‬
‫‪2+ℎ −2−0‬‬
‫‪= lim+‬‬
‫‪ℎ→0‬‬
‫‪ℎ‬‬
‫‪1ℎ‬‬
‫)‪(2‬‬
‫‪= lim− = 1‬‬
‫‪ℎ→0 ℎ‬‬
‫‪1‬‬
‫)‪′(2‬إن𝑓وجدت)‬
‫(‬
‫‪= lim+‬‬
‫‪+‬‬
‫من )‪ (1‬و )‪(2‬‬
‫‪𝑓 2+ℎ −𝑓 2‬‬
‫‪𝑓− ′(2) = lim−‬‬
‫‪ℎ→0‬‬
‫‪ℎ‬‬
‫‪− 2+ℎ +2−0‬‬
‫‪= lim−‬‬
‫‪ℎ→0‬‬
‫‪ℎ‬‬
‫‪1‬‬
‫‪−ℎ‬‬
‫‪= lim−‬‬
‫‪= −1‬‬
‫)‪(1‬‬
‫‪ℎ→0 ℎ‬‬
‫‪1‬‬
‫)‪𝑓− ′(2) ≠ 𝑓+ ′(2‬‬
‫)‪ 𝑓′(2‬ليست موجودة وبالتالي الدالة ليس لها مشتقة عند‬
‫‪𝑥=2‬‬
‫‪1 2 3‬‬
‫مثال (‪)4‬‬
‫= 𝑥 𝑓‬
‫‪𝑥 +‬‬
‫لتكن الدالة 𝑓 ‪, 𝑥 ≤ 1 :‬‬
‫‪4‬‬
‫‪4‬‬
‫𝑥‬
‫‪,𝑥 > 1‬‬
‫ّ‬
‫بين أن للدالة 𝑓 مشتقة لجهة اليمين مساوية للمشتقة لجهة اليسار عند ‪𝑥 = 1‬‬
‫‪1 1‬‬
‫‪+ ℎ‬‬
‫‪2 4‬‬
‫‪ℎ‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ℎ‬‬
‫‪= lim−‬‬
‫‪ℎ→0‬‬
‫‪1‬‬
‫)‪(1‬‬
‫‪1 1‬‬
‫‪1‬‬
‫= ‪+ ℎ‬‬
‫‪2 4‬‬
‫‪2‬‬
‫‪= lim−‬‬
‫‪ℎ→0‬‬
‫(إن وجدت)‬
‫‪𝑓 1+ℎ −𝑓 1‬‬
‫‪𝑓− ′(1) = lim−‬‬
‫‪ℎ→0‬‬
‫‪ℎ‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1 3‬‬
‫‪2 3‬‬
‫‪(1 + ℎ) + − +‬‬
‫‪4‬‬
‫‪4‬‬
‫‪4 4‬‬
‫‪= lim−‬‬
‫‪ℎ→0‬‬
‫‪ℎ‬‬
‫‪1‬‬
‫‪3‬‬
‫‪2‬‬
‫‪(1 + 2ℎ + ℎ ) + − 1‬‬
‫‪4‬‬
‫‪4‬‬
‫‪= lim−‬‬
‫‪ℎ→0‬‬
‫‪ℎ‬‬
‫‪1 ℎ ℎ2 3‬‬
‫‪+ + + −1‬‬
‫‪4‬‬
‫‪2 4 4‬‬
‫‪= lim−‬‬
‫‪ℎ→0‬‬
‫‪ℎ‬‬
‫‪1 2 3‬‬
‫تابع مثال (‪)4‬‬
‫= 𝑥 𝑓‬
‫‪𝑥 +‬‬
‫لتكن الدالة 𝑓 ‪, 𝑥 ≤ 1 :‬‬
‫‪4‬‬
‫‪4‬‬
‫‪1‬‬
‫𝑥‬
‫‪,𝑥 > 1‬‬
‫‪′‬‬
‫= ‪𝑓− 1‬‬
‫)‪(1‬‬
‫ّ‬
‫‪2‬‬
‫بين أن للدالة 𝑓 مشتقة لجهة اليمين مساوية للمشتقة لجهة اليسار عند ‪𝑥 = 1‬‬
‫‪𝑓 1+ℎ −𝑓 1‬‬
‫‪𝑓+ ′(1) = lim+‬‬
‫‪∵( lim (1 + ℎ) = 1 ,‬إن وجدت)‬
‫‪1>0‬‬
‫‪ℎ→0‬‬
‫‪ℎ‬‬
‫‪+‬‬
‫‪ℎ→0‬‬
‫= ‪∴ lim+ 1 + ℎ‬‬
‫‪lim (1 + ℎ) = 1‬‬
‫‪ℎ→0+‬‬
‫‪ℎ→0‬‬
‫= )‪lim ( 1 + ℎ + 1‬‬
‫‪ℎ→0+‬‬
‫‪= lim+ 1 + ℎ + lim+ 1‬‬
‫‪ℎ→0‬‬
‫‪ℎ→0‬‬
‫‪= 1 + 1 = 2 ,2 ≠ 0‬‬
‫=‬
‫)‪(2‬‬
‫‪1‬‬
‫)‪1 + ℎ + 1‬‬
‫‪lim+ 1‬‬
‫‪lim‬‬
‫( ‪ℎ→0+‬‬
‫‪1‬‬
‫=‬
‫=‬
‫‪lim+( 1 + ℎ + 1) 2‬‬
‫‪ℎ→0‬‬
‫‪ℎ→0‬‬
‫‪1+ℎ−1‬‬
‫‪ℎ‬‬
‫‪1+ℎ−1 1+ℎ+1‬‬
‫‪.‬‬
‫‪ℎ‬‬
‫‪1+ℎ+1‬‬
‫‪1+ℎ−1‬‬
‫)‪ℎ( 1 + ℎ + 1‬‬
‫‪1ℎ‬‬
‫)‪ℎ( 1 + ℎ + 1‬‬
‫‪= lim+‬‬
‫‪ℎ→0‬‬
‫‪= lim+‬‬
‫‪ℎ→0‬‬
‫‪= lim+‬‬
‫‪ℎ→0‬‬
‫‪= lim+‬‬
‫‪ℎ→0‬‬
‫‪1‬‬
‫من )‪ (1‬و )‪(2‬‬
‫)‪𝑓− ′(1) = 𝑓+ ′(1‬‬
‫‪1‬‬
‫حاول أن تحل(‪)4‬‬
‫لتكن الدالة 𝑓 ‪:‬‬
‫‪𝑥 ≤ −1‬‬
‫𝑥‬
‫‪1 2 3‬‬
‫‪𝑥 −‬‬
‫‪𝑥 > −1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫ّ‬
‫بين أن للدالة 𝑓 مشتقة لجهة اليمين مساوية للمشتقة لجهة اليسار عند‪𝑥 = −1‬‬
‫= 𝑥 𝑓‬
‫(إن وجدت) ‪𝑓 −1 + ℎ − 𝑓 −1‬‬
‫‪𝑓 −1 + ℎ − 𝑓 −1‬‬
‫‪𝑓+ ′(−1) = lim+‬‬
‫‪𝑓− ′(−1) = lim−‬‬
‫‪ℎ→0‬‬
‫‪ℎ‬‬
‫‪ℎ→0‬‬
‫‪ℎ‬‬
‫(إن وجدت)‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪3‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪−‬‬
‫‪(−1 + ℎ) − −‬‬
‫‪−1‬‬
‫‪−1‬‬
‫‪+‬‬
‫‪ℎ‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪−1‬‬
‫=‬
‫‪lim‬‬
‫‪= lim+‬‬
‫‪ℎ→0−‬‬
‫‪ℎ‬‬
‫‪ℎ→0‬‬
‫‪ℎ‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ℎ −1 + ℎ‬‬
‫‪2‬‬
‫‪= lim+‬‬
‫‪ℎ→0‬‬
‫‪ℎ‬‬
‫‪ℎ‬‬
‫‪1‬‬
‫‪−1‬‬
‫‪+‬‬
‫‪ℎ‬‬
‫‪= lim−‬‬
‫‪= lim−‬‬
‫‪ℎ→0 −1 + ℎ‬‬
‫‪ℎ→0‬‬
‫‪ℎ‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪lim −1 + ℎ = −1 , −1 ≠ 0‬‬
‫‪1‬‬
‫‪= −1‬‬
‫)‪(2‬‬
‫‪∴ lim−‬‬
‫‪ℎ→0 −1 + ℎ‬‬
‫من )‪ (1‬و )‪(2‬‬
‫‪ℎ→0−‬‬
‫‪1‬‬
‫)‪(1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪−1 + ℎ = −1‬‬
‫‪2‬‬
‫)‪𝑓+ ′(−1) = 𝑓− ′(−1‬‬
‫‪= lim+‬‬
‫‪ℎ→0‬‬
‫مالحظات‬
‫إذا كانت الدالة 𝑥 𝑓 = 𝑦 قابلة لالشتقاق عند كل 𝑥‪ ،𝑥 ∈ (𝑎 ,𝑏) :‬فإننا نقول‬
‫إن الدالة قابلة لالشتقاق على الفترة )𝑏‪.(𝑎 ,‬‬
‫إذا كانت الدالة 𝑥 𝑓 = 𝑦 قابلة لالشتقاق عند كل نقطة في الفترة )∞‪،(−∞ ,‬‬
‫فإننا نقول إن الدالة قابلة لالشتقاق على ‪.ℝ‬‬
‫ً‬
‫إذا وضعنا 𝑥 بدال من 𝑎 في تعريف املشتقة نحصل على 𝑥 ‪𝑓′‬‬
‫حيث‬
‫𝑥 𝑓‪𝑓 𝑥+ℎ −‬‬
‫‪𝑓′(𝑥) = lim‬‬
‫‪ℎ→0‬‬
‫‪ℎ‬‬
‫𝑑 𝑦𝑑‬
‫‪,‬‬
‫ويمكن أن نرمز للمشتقة بأحد الرموز التالية‪𝑓 𝑥 , 𝑓 ′ 𝑥 , 𝑦′ :‬‬
‫𝑥𝑑 𝑥𝑑‬
‫ّ‬
‫ألي دالة 𝑓 تكون ‪ 𝑓′‬دالة أخرى مجالها مكون من جميع قيم 𝑥 التي يكون للدالة‬
‫أي 𝑓𝐷 ⊆ ‪ 𝐷𝑓′‬أي أن ‪ 𝑓′‬دالة مستخلصة من الدالة 𝑓‪.‬‬
‫مشتقة عندها‪.‬‬
‫مثال (‪)5‬‬
‫لتكن ‪ 𝑓(𝑥) = 𝑥 3‬أوجد )𝑥(‪ 𝑓′‬باستخدام تعريف املشتقة إن وجدت‪.‬‬
‫𝑥 𝑓‪𝑓 𝑥+ℎ −‬‬
‫(إن وجدت)‬
‫‪𝑓′(𝑥) = lim‬‬
‫‪ℎ→0‬‬
‫‪ℎ‬‬
‫‪(𝑥 + ℎ)3 −𝑥 3‬‬
‫‪= lim‬‬
‫‪ℎ→0‬‬
‫‪ℎ‬‬
‫‪𝑥 3 + 3𝑥 2 ℎ + 3𝑥ℎ2 + ℎ3 − 𝑥 3‬‬
‫‪= lim‬‬
‫‪ℎ→0‬‬
‫‪ℎ‬‬
‫‪3𝑥 2 ℎ + 3𝑥ℎ2 + ℎ3‬‬
‫‪= lim‬‬
‫‪ℎ→0‬‬
‫‪ℎ‬‬
‫) ‪ℎ(3𝑥 2 + 3𝑥ℎ + ℎ2‬‬
‫‪= lim‬‬
‫‪ℎ→0‬‬
‫‪ℎ1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪∴ 𝑓 ′ 𝑥 = 3𝑥 2‬‬
‫‪= lim (3𝑥 2 + 3𝑥ℎ + ℎ2 ) = 3𝑥 2‬‬
‫‪ℎ→0‬‬
‫حاول أن تحل(‪)5‬‬
‫لتكن ‪𝑓 𝑥 = 𝑥 2 + 2‬‬
‫أوجد )𝑥(‪ 𝑓′‬باستخدام تعريف املشتقة إن وجدت‪.‬‬
‫(إن وجدت)‬
‫𝑥‪∴ 𝑓 ′ 𝑥 = 2‬‬
‫𝑥 𝑓‪𝑓 𝑥+ℎ −‬‬
‫‪𝑓′(𝑥) = lim‬‬
‫‪ℎ→0‬‬
‫‪ℎ‬‬
‫‪(𝑥 + ℎ)2 +2 − 𝑥 2 − 2‬‬
‫‪= lim‬‬
‫‪ℎ→0‬‬
‫‪ℎ‬‬
‫‪𝑥 2 + 2𝑥ℎ + ℎ2 − 𝑥 2‬‬
‫‪= lim‬‬
‫‪ℎ→0‬‬
‫‪ℎ‬‬
‫‪2𝑥ℎ + ℎ2‬‬
‫‪= lim‬‬
‫‪ℎ→0‬‬
‫‪ℎ‬‬
‫)‪1 ℎ(2𝑥 + ℎ‬‬
‫‪= lim‬‬
‫‪ℎ→0‬‬
‫‪ℎ1‬‬
‫𝑥‪= 2‬‬
‫)‪= lim (2𝑥 + ℎ‬‬
‫‪ℎ→0‬‬
‫متى تكون‬
‫𝑎 ‪ 𝑓′‬غير موجودة؟‬
‫𝑎 𝑓‪𝑓 𝑥 −‬‬
‫الدالة 𝑓 لن يكون لها مشتقة عند نقطة ) 𝑎 𝑓‪ 𝑝(𝑎 ,‬إذا كانت‬
‫‪lim‬‬
‫𝑎→𝑥‬
‫𝑎‪𝑥−‬‬
‫غير موجودة‪.‬‬
‫وتوضح األشكال التالية أربع حاالت تكون فيها النهاية غير موجودة‪:‬‬
‫ً‬
‫‪ a‬ركنا )‪ :(corner‬تكون املشتقتان من جهة اليمين ومن جهة اليسار عند التقاء‬
‫الشعاعين غير متساويتين‪ .‬مثال‪:‬‬
‫𝑥 = )𝑥(𝑓‬
‫يوجد ركن عند‬
‫)‪𝑓′(0‬‬
‫‪𝑥=0‬‬
‫غير موجودة‬
‫ً‬
‫ن‬
‫‪ b‬نابا )‪ :(Cusp‬يكو ميل املماس للمنحنى عند نقطة تقاطع محددة يقترب من ∞ في‬
‫إحدى الجهات ويقترب من ∞‪ -‬في الجهة الثانية ويوجد مماس رأس ي عندها‪ .‬مثال‪:‬‬
‫‪2‬‬
‫‪𝑥3‬‬
‫يوجد ناب عند‬
‫= )𝑥(𝑓‬
‫‪𝑥=0‬‬
‫)‪ 𝑓′(0‬غير موجودة ويوجد مماس رأس ي عندها‬
‫ً‬
‫ً‬
‫ً‬
‫‪ c‬مماسا رأسيا‪ :‬يكون املماس للمنحنى عند نقطة محددة رأسيا‪ .‬مثال‪:‬‬
‫‪𝑥−1‬‬
‫‪3‬‬
‫= )𝑥(𝑓‬
‫يوجد مماس رأس ي عند ‪𝑥 = 1‬‬
‫)‪𝑓′(1‬‬
‫غير موجودة‬
‫عدم اتصال‪ :‬تكون املشتقة من جهة واحدة أو ّ‬
‫كل من الجهتين غير موجودة‪ .‬مثال‪:‬‬
‫‪d‬‬
‫‪,𝑥 < 0‬‬
‫‪,𝑥 ≥ 0‬‬
‫‪𝑓 𝑥 = −1‬‬
‫‪1‬‬
‫يوجد عدم اتصال عند ‪𝑥 = 0‬‬
‫)‪𝑓′(0‬‬
‫غير موجودة‬
‫سوف نثبت بعد ذلك‪ ،‬نظرية تقول بأنه ينبغي أن تكون الدالة متصلة عند 𝑎 = 𝑥 كشرط‬
‫لدراسة قابلية االشتقاق عند 𝑎 = 𝑥 ‪.‬‬
‫وسوف تمدنا هذه النظرية بطريقة سريعة وسهلة للتحقق من أن الدالة 𝑓 غير قابلة لالشتقاق‬
‫عند 𝑎 = 𝑥‬
‫تدريب‬
‫أوجد كل النقاط في مجال الدالة حيث تكون الدالة غير قابلة لالشتقاق في كل مما‬
‫يلي‪:‬‬
‫‪𝑓 𝑥 = 𝑥2 − 1‬‬
‫‪b‬‬
‫)‪𝑓 ′ 1 , 𝑓′(−1‬‬
‫غير موجودة‬
‫يوجد عدم اتصال‬
‫عند ‪𝑥 = 3‬‬
‫)‪ 𝑓′(3‬غير موجودة‬
‫‪a‬‬
‫يوجد ركن عند‬
‫‪𝑥=2‬‬
‫)‪ 𝑓′(2‬غير موجودة‬
‫يوجد ناب عند‬
‫‪𝑥 = 1 , 𝑥 = −1‬‬
‫‪𝑓 𝑥 = 2‬‬
‫‪,𝑥 > 3‬‬
‫‪𝑥 + 1 ,𝑥 ≤ 3‬‬
‫‪𝑓 𝑥 = 𝑥−2 +3‬‬
‫‪d‬‬
‫‪2‬‬
‫‪3‬‬
‫‪𝑓 𝑥 = 𝑥−1‬‬
‫‪c‬‬
‫يوجد ناب عند‬
‫‪𝑥=1‬‬
‫)‪ 𝑓′(1‬غير موجودة ويوجد مماس رأس ي عندها‬
‫االشتقاق واالتصال‬
‫ّ‬
‫العادية التي يمكن أن تفشل في أن تكون فيها‬
‫نبدأ هذا الجزء بإلقاء نظرة على الطرائق‬
‫ّ‬
‫ّ‬
‫للدالة مشتقة عند نقطة‪.‬‬
‫ًّ‬
‫ّ‬
‫ّ‬
‫كأحد األمثلة‪ ،‬قد أظهرنا بيانيا أن عدم اتصال الدالة عند نقطة يسبب عدم وجود مشتقة‬
‫للدالة عند هذه النقطة‪.‬‬
‫وعليه إذا كانت الدالة 𝑓 ليست متصلة عند نقطة ) 𝑎 𝑓‪ (𝑎 ,‬فإنها غير قابلة لالشتقاق‬
‫عند هذه النقطة‪.‬‬
‫مثال (‪)6‬‬
‫لتكن 𝑓‬
‫‪,𝑥 < 2‬‬
‫‪,𝑥 ≥ 2‬‬
‫‪𝑓 𝑥 = 𝑥2‬‬
‫‪2𝑥 − 1‬‬
‫ابحث قابلية االشتقاق للدالة 𝑓 عند‪𝑥 = 2‬‬
‫نبحث اتصال الدالة 𝑓 عند ‪𝑥 = 2‬‬
‫‪𝑓 2 =2 2 −1=3‬‬
‫‪lim− 𝑓(𝑥) = lim− 𝑥 2 = (2)2 = 4‬‬
‫‪𝑥→2‬‬
‫‪𝑥→2‬‬
‫‪lim+ 𝑓(𝑥) = lim+(2𝑥 − 1) = 2 2 − 1 = 3‬‬
‫‪𝑥→2‬‬
‫)𝑥(𝑓 ‪∵ lim− 𝑓(𝑥) ≠ lim+‬‬
‫‪𝑥→2‬‬
‫𝑓 ليست متصلة عند ‪𝑥 = 2‬‬
‫𝑓 غير قابلة لالشتقاق عند ‪𝑥 = 2‬‬
‫‪𝑥→2‬‬
‫‪𝑥→2‬‬
‫حاول أن تحل(‪)6‬‬
‫لتكن 𝑓‬
‫‪,𝑥 ≤ 2‬‬
‫‪,𝑥 > 2‬‬
‫‪𝑓 𝑥 = 𝑥2 − 4‬‬
‫‪3𝑥 − 2‬‬
‫ابحث قابلية االشتقاق للدالة 𝑓 عند‪𝑥 = 2‬‬
‫نبحث اتصال الدالة 𝑓 عند ‪𝑥 = 2‬‬
‫‪𝑓 2 = 22 − 4 = 0‬‬
‫‪−4=0‬‬
‫‪2‬‬
‫‪lim− 𝑓(𝑥) = lim− (𝑥 2 − 4) = 2‬‬
‫‪𝑥→2‬‬
‫‪𝑥→2‬‬
‫‪lim+ 𝑓(𝑥) = lim+(3𝑥 − 2) = 3 2 − 2 = 4‬‬
‫‪𝑥→2‬‬
‫)𝑥(𝑓 ‪∵ lim− 𝑓(𝑥) ≠ lim+‬‬
‫‪𝑥→2‬‬
‫𝑓 ليست متصلة عند ‪𝑥 = 2‬‬
‫𝑓 غير قابلة لالشتقاق عند ‪𝑥 = 2‬‬
‫‪𝑥→2‬‬
‫‪𝑥→2‬‬
‫وفي الحقيقة إن االتصال شرط جوهري إلمكانية وجود املشتقة‪ ،‬والنظرية التالية تبين‬
‫العالقة بين االشتقاق واالتصال‪.‬‬
‫نظرية االشتقاق واالتصال‬
‫إذا كانت الدالة 𝑓 لها مشتقة عند نقطة‪ ،‬فإنها تكون متصلة عند هذه النقطة‪.‬‬
‫البرهان‬
‫ً‬
‫ً‬
‫لتكن النقطة ) 𝑎 𝑓‪ (𝑎 ,‬تنتمي لبيان الدالة 𝑓 ً‬
‫معكوس النظرية ليس صحيحا ًدائما كما رأينا سابقا‪:‬‬
‫علينا أن ّ‬
‫نبين أن )𝑎(𝑓 = )𝑥(𝑓 ‪ lim‬أو مكافئاُ لذلك أن‪lim [ 𝑓(𝑥) − 𝑓(𝑎)] = 0 :‬‬
‫𝑎→𝑥‬
‫ناب أو مماس رأس ي‪ ،‬ومن ثم ال تكون قابلة لالشتقاق‬
‫فالدالة املتصلة قد يكون لها ركن أو‬
‫باستخدام قاعدة حاصل ضرب النهايات (ومالحظة أن ‪) 𝑥 − 𝑎 ≠ 0‬‬
‫عند نقطة معينة‪.‬‬
‫𝑎→𝑥‬
‫نستطيع أن نكتب‪:‬‬
‫‪= 0 . 𝑓′ 𝑎 = 0‬‬
‫حيث 𝑎 ‪ 𝑓 ′‬موجودة‬
‫)𝑎(𝑓‪𝑓 𝑥 −‬‬
‫)𝑎 ‪−‬‬
‫𝑎‪𝑥−‬‬
‫𝑥( ‪lim [ 𝑓(𝑥) − 𝑓(𝑎)] = lim‬‬
‫)𝑎(𝑓‪𝑓 𝑥 −‬‬
‫‪− 𝑎) . lim‬‬
‫𝑎‪𝑥−‬‬
‫𝑎→𝑥‬
‫𝑎→𝑥‬
‫𝑥( ‪= lim‬‬
‫𝑎→𝑥‬
‫𝑎→𝑥‬
‫‪1‬‬
‫مثال (‪)7‬‬
‫لتكن 𝑓‪:‬‬
‫‪𝑓 𝑥 = 6𝑥 − 1‬‬
‫> 𝑥‪,‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2𝑥 + 1‬‬
‫≤ 𝑥‪,‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫= 𝑥 ولكنها غير قابلة لالشتقاق عندها‪.‬‬
‫بين أن الدالة 𝑓 متصلة عند‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫لنبحث اتصال الدالة 𝑓 عند = 𝑥‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫𝑓‬
‫‪=2‬‬
‫‪+1=2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪lim+ 𝑓(𝑥) = lim+(6𝑥 − 1) = 6‬‬
‫‪−1=2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫→𝑥‬
‫→𝑥‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪lim− 𝑓(𝑥) = lim−(2𝑥 + 1) = 2‬‬
‫‪+1=2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫→𝑥‬
‫→𝑥‬
‫‪1‬‬
‫𝑓 متصلة عند = 𝑥‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫𝑓 = )𝑥(𝑓 ‪∵ lim+ 𝑓(𝑥) = lim−‬‬
‫‪=2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫→𝑥‬
‫→𝑥‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫مثال (‪)7‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫نبحث اشتقاق الدالة 𝑓 عند‬
‫(إن وجدت) ‪2 𝑥 = 2‬‬
‫𝑓‪𝑓 𝑥 −‬‬
‫‪1‬‬
‫‪= lim+‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫→𝑥‬
‫‪𝑓+′‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪𝑓+′‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪𝑓−′‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪𝑓−′‬‬
‫‪1‬‬
‫‪𝑥−‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪6‬‬
‫𝑥‬
‫‪−‬‬
‫‪6𝑥 − 1 − 2‬‬
‫‪2 =6‬‬
‫‪= lim+‬‬
‫‪= lim+‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪𝑥−‬‬
‫‪𝑥−‬‬
‫‪𝑥→ 2‬‬
‫‪𝑥→ 2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪12‬‬
‫‪1‬‬
‫𝑓‪𝑓 𝑥 −‬‬
‫‪2‬‬
‫(إن وجدت)‬
‫‪= lim−‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪𝑥→ 2‬‬
‫‪𝑥−‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫𝑥‬
‫‪−‬‬
‫‪2𝑥 + 1 − 2‬‬
‫‪2 =2‬‬
‫‪= lim−‬‬
‫‪= lim−‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪𝑥→ 2‬‬
‫→𝑥‬
‫‪𝑥−‬‬
‫‪𝑥−‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1 2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪′‬‬
‫‪≠ 𝑓+‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫عند‬
‫لالشتقاق‬
‫قابلة‬
‫غير‬
‫ولكنها‬
‫=𝑥‬
‫أي أن 𝑓 متصلة عند = 𝑥‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪∴ 𝑓−′‬‬
‫‪−1‬‬
‫حاول أن تحل(‪ )7‬لتكن 𝑓‪:‬‬
‫‪𝑓 𝑥 = −𝑥 − 1‬‬
‫> 𝑥‪,‬‬
‫‪3‬‬
‫‪−1‬‬
‫‪5𝑥 + 1‬‬
‫≤ 𝑥‪,‬‬
‫‪3‬‬
‫‪−1‬‬
‫بين أن الدالة 𝑓 متصلة وغير قابلة لالشتقاق عند‬
‫=𝑥‬
‫‪3‬‬
‫‪−1‬‬
‫لنبحث اتصال الدالة 𝑓 عند‬
‫=𝑥‬
‫‪−1‬‬
‫‪−1‬‬
‫‪−2‬‬
‫‪3‬‬
‫𝑓‬
‫‪=5‬‬
‫=‪+1‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫‪−1‬‬
‫‪−2‬‬
‫‪lim + 𝑓(𝑥) = lim + (−𝑥 − 1) = −‬‬
‫=‪−1‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫‪−1‬‬
‫‪−1‬‬
‫→𝑥‬
‫→𝑥‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫‪−1‬‬
‫‪−2‬‬
‫‪lim − 𝑓(𝑥) = lim −(5𝑥 + 1) = 5‬‬
‫=‪+1‬‬
‫‪−1‬‬
‫‪−1‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫→𝑥‬
‫→𝑥‬
‫‪−1‬‬
‫‪−2‬‬
‫𝑓 = )𝑥(𝑓 ‪∵ lim + 𝑓(𝑥) = lim −‬‬
‫=‬
‫‪−1‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫‪−1‬‬
‫→𝑥‬
‫→𝑥‬
‫‪−1‬‬
‫𝑓 متصلة عند‬
‫=𝑥‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫‪−1‬‬
‫‪−1‬‬
‫حاول أن تحل(‪ )7‬نبحث اشتقاق الدالة 𝑓 عند‬
‫𝑓‬
‫𝑥‬
‫‪−‬‬
‫𝑓‬
‫𝑥‬
‫=‬
‫‪−1‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫(إن وجدت)‬
‫‪𝑓+′‬‬
‫‪= lim +‬‬
‫‪−1‬‬
‫‪3‬‬
‫‪−1‬‬
‫‪𝑥−‬‬
‫→𝑥‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪−‬‬
‫𝑥‬
‫‪+‬‬
‫‪−𝑥 − 1 + 3‬‬
‫‪−1‬‬
‫‪3 = −1‬‬
‫‪′‬‬
‫‪𝑓+‬‬
‫‪= lim +‬‬
‫‪= lim +‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪3‬‬
‫‪−1‬‬
‫‪−1‬‬
‫‪𝑥+‬‬
‫‪𝑥+‬‬
‫‪𝑥→ 3‬‬
‫‪𝑥→ 3‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫‪1‬‬
‫‪−1‬‬
‫𝑓‪𝑓 𝑥 −‬‬
‫‪−1‬‬
‫‪3‬‬
‫(إن وجدت)‬
‫‪𝑓−′‬‬
‫‪= lim −‬‬
‫‪−1‬‬
‫‪−1‬‬
‫‪3‬‬
‫‪𝑥→ 3‬‬
‫‪𝑥−‬‬
‫‪3‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪5‬‬
‫𝑥‬
‫‪+‬‬
‫‪5𝑥 + 1 + 3‬‬
‫‪−1‬‬
‫‪3 =5‬‬
‫‪′‬‬
‫‪𝑓−‬‬
‫‪= lim −‬‬
‫‪= lim −‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪−1‬‬
‫‪−1‬‬
‫‪3‬‬
‫‪𝑥→ 3‬‬
‫‪𝑥→ 3‬‬
‫‪𝑥+‬‬
‫‪𝑥+‬‬
‫‪3‬‬
‫‪1 3‬‬
‫‪−1‬‬
‫‪−1‬‬
‫‪′‬‬
‫‪′‬‬
‫‪∴ 𝑓−‬‬
‫‪≠ 𝑓+‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫‪−1‬‬
‫‪−1‬‬
‫عند‬
‫لالشتقاق‬
‫قابلة‬
‫غير‬
‫ولكنها‬
‫أي أن 𝑓 متصلة عند‬
‫=𝑥‬
‫=𝑥‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫مثال (‪)8‬‬
‫لتكن الدالة 𝑓‪:‬‬
‫‪,𝑥 ≤ 2‬‬
‫‪,𝑥 > 2‬‬
‫‪𝑓 𝑥 = 𝑥2 − 𝑥 − 2‬‬
‫‪−𝑥 2 + 7𝑥 − 10‬‬
‫بين أن الدالة 𝑓 متصلة عند‪ 𝑥 = 2‬ادرس قابلية االشتقاق عندها‪.‬‬
‫لنبحث اتصال الدالة 𝑓 عند ‪𝑥 = 2‬‬
‫‪𝑓 2 = (2)2 − 2 − 2 = 0‬‬
‫‪lim− 𝑓(𝑥) = lim− (𝑥 2 − 𝑥 − 2) = 4 − 2 − 2 = 0‬‬
‫‪𝑥→ 2‬‬
‫‪𝑥→ 2‬‬
‫‪lim+ 𝑓(𝑥) = lim+(−𝑥 2 + 7𝑥 − 10) = −4 + 14 − 10 = 0‬‬
‫‪𝑥→ 2‬‬
‫‪𝑥→ 2‬‬
‫‪∵ lim+ 𝑓(𝑥) = lim− 𝑓(𝑥) = 𝑓 2 = 0‬‬
‫‪𝑥→ 2‬‬
‫𝑓 متصلة عند ‪𝑥 = 2‬‬
‫‪𝑥→ 2‬‬
‫مثال (‪)8‬‬
‫ندرس قابلية االشتقاق عند ‪𝑥 = 2‬‬
‫𝑓‬
‫𝑥‬
‫‪−‬‬
‫𝑓‬
‫‪2‬‬
‫(إن وجدت)‬
‫‪𝑓−′ 2 = lim−‬‬
‫‪𝑥→ 2‬‬
‫‪𝑥−2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪𝑥 −𝑥−2−0‬‬
‫‪𝑥+1 𝑥−2‬‬
‫‪′‬‬
‫‪𝑓− 2 = lim−‬‬
‫‪= lim−‬‬
‫‪𝑥→ 2‬‬
‫‪𝑥→ 2‬‬
‫‪𝑥−2‬‬
‫‪𝑥−2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪∴ 𝑓−′ 2 = 3‬‬
‫‪= lim− (𝑥 + 1) = 2 + 1 = 3‬‬
‫‪𝑥→ 2‬‬
‫‪𝑓 𝑥 −𝑓 2‬‬
‫(إن وجدت)‬
‫‪2 = lim+‬‬
‫‪𝑥→ 2‬‬
‫‪𝑥−2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪−𝑥 + 7𝑥 − 10 − 0‬‬
‫‪− 𝑥−2 𝑥−5‬‬
‫‪′‬‬
‫‪𝑓+ 2 = lim+‬‬
‫‪= lim+‬‬
‫‪𝑥→ 2‬‬
‫‪𝑥→ 2‬‬
‫‪𝑥−2‬‬
‫‪𝑥−2‬‬
‫‪𝑓+′‬‬
‫‪∴ 𝑓+′ 2 = 3‬‬
‫‪1‬‬
‫‪= lim+ −(𝑥 − 5) = −(2 − 5) = 3‬‬
‫‪𝑥→ 2‬‬
‫‪∴ 𝑓−′ 2 = 𝑓+′ 2‬‬
‫لالشتقاق=عند‪′ 2‬‬
‫هذه𝑓النقطة‬
‫الدالة𝑓 𝑓متصلة‬
‫أي أن‬
‫وقابلة 𝑥 و ‪3‬‬
‫عند‪= 2‬‬
‫لالشتقاق= 𝑥‬
‫قابلة عند ‪2‬‬
‫حاول أن تحل(‪ )8‬ادرس اتصال الدالة 𝑓 عند ‪ 𝑥 = 1‬وقابلية اشتقاقها عند هذه النقطة حيث‪:‬‬
‫‪2‬‬
‫= 𝑥 𝑓‬
‫‪,𝑥 ≤ 1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪𝑥 +1‬‬
‫‪2𝑥 − 1‬‬
‫‪,𝑥 > 1‬‬
‫لنبحث اتصال الدالة 𝑓 عند ‪𝑥 = 1‬‬
‫‪2‬‬
‫= ‪𝑓 1‬‬
‫‪=1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪(1) +1‬‬
‫‪lim− 𝑥 2 + 1 = 1 + 1 = 2 , 2 ≠ 0‬‬
‫‪𝑥→ 1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫=‬
‫‪=1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪𝑥 +1‬‬
‫‪(1) +1‬‬
‫‪lim− 𝑓(𝑥) = lim−‬‬
‫‪𝑥→ 1‬‬
‫‪𝑥→ 1‬‬
‫‪lim+ 𝑓(𝑥) = lim+ 2𝑥 − 1 = 2 1 − 1 = 1‬‬
‫‪𝑥→ 1‬‬
‫‪𝑥→ 1‬‬
‫‪∵ lim+ 𝑓(𝑥) = lim− 𝑓(𝑥) = 𝑓 1 = 1‬‬
‫𝑓 متصلة عند ‪𝑥 = 1‬‬
‫‪𝑥→ 1‬‬
‫‪𝑥→ 1‬‬
‫‪𝑓 𝑥 −𝑓 1‬‬
‫االشتقاق‬
‫(‬
‫حاول أن تحل(‪ )8‬ندرس قابلية‬
‫وجدت)= 𝑥‬
‫إن عند ‪1‬‬
‫‪1 = lim−‬‬
‫‪𝑥→ 1‬‬
‫‪𝑥−1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2 − 𝑥2 − 1‬‬
‫‪1 − 𝑥2‬‬
‫‪2+1−1‬‬
‫‪2+1‬‬
‫‪2+1‬‬
‫𝑥‬
‫𝑥‬
‫𝑥‬
‫‪′‬‬
‫‪𝑓− 1 = lim−‬‬
‫‪= lim−‬‬
‫‪= lim−‬‬
‫‪𝑥→ 1‬‬
‫→𝑥‬
‫‪1‬‬
‫‪𝑥→ 1 𝑥 − 1‬‬
‫‪𝑥−1‬‬
‫‪𝑥−1‬‬
‫‪𝑓−′‬‬
‫‪-1‬‬
‫)𝑥 ‪(1 − 𝑥)(1 +‬‬
‫‪2+1‬‬
‫𝑥 ‪−1 −‬‬
‫‪−1 − 1‬‬
‫𝑥‬
‫‪= −1‬‬
‫‪= lim− 2‬‬
‫=‬
‫‪= lim−‬‬
‫‪𝑥→ 1 𝑥 + 1‬‬
‫‪𝑥→ 1‬‬
‫‪2‬‬
‫)‪(𝑥 − 1‬‬
‫‪lim− 𝑥 2 + 1 = 1 + 1 = 2 , 2 ≠ 0‬‬
‫‪1‬‬
‫‪𝑥→ 1‬‬
‫(إن وجدت)‬
‫‪1‬‬
‫‪𝑓 𝑥 −𝑓 1‬‬
‫‪1 = lim+‬‬
‫‪𝑥→ 1‬‬
‫‪𝑥−1‬‬
‫‪2𝑥 − 1 − 1‬‬
‫‪2𝑥 − 2‬‬
‫)‪2(𝑥 − 1‬‬
‫‪1 = lim+‬‬
‫‪= lim+‬‬
‫‪= lim+‬‬
‫‪=2‬‬
‫‪𝑥→ 1‬‬
‫‪𝑥→ 1 𝑥 − 1‬‬
‫‪𝑥→ 1‬‬
‫‪𝑥−1‬‬
‫‪𝑥−1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪∴ 𝑓−′ 1 ≠ 𝑓+′ 1‬‬
‫لالشتقاق عند‬
‫الدالة 𝑓‬
‫لالشتقاق عند هذه النقطة‬
‫غير عند‬
‫متصلة‬
‫أي أن 𝑓‬
‫قابلة= 𝑥‬
‫وغير ‪1‬‬
‫قابلة ‪𝑥 = 1‬‬
‫‪𝑓+′‬‬
‫‪𝑓+′‬‬
‫مثال (‪)9‬‬
‫‪,𝑥 ≤ 3‬‬
‫‪,𝑥 > 3‬‬
‫لتكن الدالة 𝑓‪:‬‬
‫أوجد إن أمكن )‪𝑓′(3‬‬
‫‪∴ 𝑓−′ 3 = 1‬‬
‫‪𝑓 𝑥 = 𝑥+5‬‬
‫‪𝑥2 − 1‬‬
‫‪𝑓 𝑥 −𝑓 3‬‬
‫‪′‬‬
‫(إن وجدت)‬
‫‪𝑓− 3 = lim−‬‬
‫‪𝑥→ 3‬‬
‫‪𝑥−3‬‬
‫‪𝑥+5−8‬‬
‫‪𝑥−3‬‬
‫‪′‬‬
‫‪𝑓− 3 = lim−‬‬
‫‪= lim−‬‬
‫‪=1‬‬
‫‪𝑥→ 3‬‬
‫‪𝑥→ 3 𝑥 − 3‬‬
‫‪𝑥−3‬‬
‫‪𝑓 𝑥 −𝑓 3‬‬
‫(إن وجدت)‬
‫‪3 = lim+‬‬
‫‪𝑥→ 3‬‬
‫‪𝑥−3‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2−1−8‬‬
‫‪2−9‬‬
‫𝑥‬
‫𝑥‬
‫)‪(𝑥 − 3)(𝑥 + 3‬‬
‫‪′‬‬
‫‪𝑓+ 3 = lim+‬‬
‫‪= lim+‬‬
‫‪= lim+‬‬
‫‪𝑥→ 3‬‬
‫‪𝑥→ 3 𝑥 − 3‬‬
‫‪𝑥→ 3‬‬
‫‪𝑥−3‬‬
‫‪𝑥−3‬‬
‫‪𝑓+′‬‬
‫‪1‬‬
‫‪= lim+(𝑥 + 3) = 6‬‬
‫‪∴ 𝑓+′ 3 = 6‬‬
‫‪𝑥→ 3‬‬
‫‪∵ 𝑓−′ 3 ≠ 𝑓+′ 3‬‬
‫غير موجودة‬
‫‪∴ 𝑓′ 3‬‬
‫حاول أن تحل(‪)9‬‬
‫لتكن الدالة 𝑓‪:‬‬
‫‪, 𝑥 ≤ −1‬‬
‫‪, 𝑥 > −1‬‬
‫𝑥 ‪𝑓 𝑥 = 𝑥2 +‬‬
‫‪𝑥2 − 𝑥 − 2‬‬
‫أوجد إن أمكن )‪𝑓′(−1‬‬
‫𝑓‬
‫𝑥‬
‫‪−‬‬
‫𝑓‬
‫‪−1‬‬
‫(إن وجدت)‬
‫‪𝑓−′ −1 = lim −‬‬
‫‪𝑥→ −1‬‬
‫‪𝑥+1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2+𝑥−0‬‬
‫𝑥‬
‫)‪𝑥(𝑥 + 1‬‬
‫‪′‬‬
‫‪= lim − 𝑥 = −1‬‬
‫‪𝑓− −1 = lim −‬‬
‫‪= lim −‬‬
‫‪𝑥→ −1‬‬
‫‪𝑥→ −1‬‬
‫‪𝑥→ −1‬‬
‫‪𝑥+1‬‬
‫‪𝑥+1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪−1 = −1‬‬
‫‪𝑓−′‬‬
‫∴‬
‫‪𝑓 𝑥 − 𝑓 −1‬‬
‫(إن وجدت)‬
‫‪−1 = lim +‬‬
‫‪𝑥→ −1‬‬
‫‪𝑥+1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2−𝑥−2−0‬‬
‫𝑥‬
‫)‪(𝑥 − 2)(𝑥 + 1‬‬
‫‪′‬‬
‫‪𝑓+ −1 = lim +‬‬
‫‪= lim +‬‬
‫‪𝑥→ −1‬‬
‫‪𝑥→ −1‬‬
‫‪𝑥+1‬‬
‫‪𝑥+1‬‬
‫‪𝑓+′‬‬
‫‪1‬‬
‫‪= lim + (𝑥 − 2) = −3‬‬
‫‪∵ 𝑓−′ −1 ≠ 𝑓+′ −1‬‬
‫‪𝑥→ −1‬‬
‫غير موجودة ‪∴ 𝑓 ′ −1‬‬
‫‪∴ 𝑓+′ −1 = −3‬‬
‫وزارة التربية‬
‫منطقة العاصمة التعليمية‬
‫ثانوية اإلسراء‬
‫ورشة عمل في البند ‪2 – 2‬‬
‫املشتقة‬
‫للصف الثاني عشر العلمي‬
‫رئيسة القسم‪:‬‬
‫أ‪ .‬بدرية الكندري‬
‫املوجهة الفنية‪:‬‬
‫أ‪ .‬رضية القطان‬
‫املوجهة األولى‪:‬‬
‫أ‪ .‬حصة العلي‬
‫تنسيق املعلمة‪ :‬رحاب محمد رشاد الحمد‬
‫مديرة املدرسة‪:‬‬
‫أ‪ .‬عزيزة الشمري‬