Transcript أ. فاضل الصفار - Math
Slide 1
منطقة العاصمة التعليمية
ثانوية جابر املبارك
املوجهة األولى:
أ .حصة العلي
مدير املدرسة:
أ .فاضل الصفار
املوجه الفني:
أ .عبد الوهاب نور الدين
رئيس القسم:
أ .ابراهيم عيد
إعداد املعلم :محمد سامر القصار
Slide 2
قسم الرياضيات
في
ثانوية جابر املبارك
يشكر حضوركم
واصغائكم
Slide 3
وزارة التربية
ورشة عمل في البند 3-3
منطقة العاصمة التعليمية
ثانوية جابر املبارك
قسم الرياضيات
للصف الثاني عشر العلمي
Slide 4
تعلمت
Absolute Extreme Value القيم القصوى المطلقة
Local Extreme Value
القيم القصوى المحلية
Critical Point
Increasing And Decreasing Functions
النقط الحرجة
تزايد وتناقص الدوال
Interval Of Increasing And Decreasing فترات التزايد وفترات التناقص
Slide 5
سوف تتعلم
اختبارالمشتقة األولى لتحديد القيم القصوى المحلية
تحديد تقعر منحنى الدالة باستخدام المشتقة الثانية أو الرسم البياني
تحديد نقاط االنعطاف بدراسة المشتقة الثانية
اختبار المشتقة الثانية لتحديد القيم القصوى المحلية
Slide 6
دعنا نفكر ونناقش
انظر إلى بيان الدالة في الشكل أدناه ،ثم ضع )) لكل فقرة مناسبة في الجدول أدناه:
عالمة
الفترة
(المجال)
𝑎 , 𝑐2
قيمة
صغرى
مطلقة
قيمة
عظمى
مطلقة
) [𝑐1 , 𝑐3
[𝑐2 , 𝑐3
[𝑐3 , 𝑐5
𝑐1 , 𝑐4
𝑏 𝑐5 ,
قيمة
صغرى
محلية
قيمة
عظمى
محلية
تزايد في
فترة
تناقص في
فترة
Slide 7
نظرية )(5
اختبار المشتقة األولى للقيم القصوى المحلية
لتكن 𝑓 دالة متصلة على مجالها وكانت ) 𝑐 𝑓 (𝑐 ,نقطة حرجة.
) (1إذا كانت إشارة المشتقة 𝑓′تتغير من الموجب إلى السالب عند 𝑐 = 𝑥 ،
فإن 𝑓 يكون لها قيمة عظمى محلية عند 𝑐 .
منحنى الدالة تغير من التزايد الى التناقص عند 𝑐 = 𝑥
Slide 8
لتكن 𝑓 دالة متصلة على مجالها وكانت ) 𝑐 𝑓 (𝑐 ,نقطة حرجة.
) (2إذا تغيرت إشارة 𝑓′من السالب إلى الموجب عند 𝑐 = 𝑥 ،فإن 𝑓
يكون لها قيمة صغرى محلية عند 𝑐 .
منحنى الدالة تغير من التناقص الى التزايد عند 𝑐 = 𝑥
Slide 9
لتكن 𝑓 دالة متصلة على مجالها وكانت ) 𝑐 𝑓 (𝑐 ,نقطة حرجة.
) (3إذا لم تتغير إشارة 𝑓′عند 𝑐 = 𝑥 ،فإن 𝑓 ال يكون لها قيمة قصوى
محلية عند 𝑐 .
Slide 10
هنا نبين كيف ّ
نطبق اختبار المشتقة األولى
إليجاد القيم القصوى المحلية لدالّة.
األعداد الحرجة لدالة𝑓
ّ
تجزئ محور السينات إلى فترات تكون فيها 𝑓′موجبة أو سالبة
نح ّدد إشارة 𝑓′على كل فترة بإيجاد قيمة 𝑓′
لقيمة واحدة 𝑥على الفترة،
ثم نطبق نظرية )(5
كما في المثالين) (2و )(1التاليين:
Slide 11
مثال )(1
أوجد كالً مما يلي:
لتكن الدالة𝑓:
aالنقاط الحرجة للدالة.
bالفترات التي تكون الدالة 𝑓 متزايدة أو متناقصة عليها.
cالقيم القصوى المحلية.
الحل:
𝑓∵ aدالة كثيرة حدود.
𝑓 متصلة وقابلة لالشتقاق عند كل 𝑥 ، 𝑥 ∈ ℝ :
نوجد النقاط الحرجة فقط عند أصفار مشتقة الدالة . 𝑓′
𝑓′ 𝑥 = 3𝑥 2 − 12
نضع
𝑓′ 𝑥 = 0
:
2
3𝑥 − 12 = 0 ⇒ 3 𝑥 − 2 𝑥 + 2 = 0
𝑥 = −2
,
𝑥=2
𝑓 𝑥 = 𝑥 3 − 12𝑥 − 5
Slide 12
b
النقاط الحرجة هي
)−2 , 𝑓 −2 = (−2 , 11
)2 , 𝑓 2 = (2 , −21
نكون الجدول لدراسة إشارة : 𝑓′
∞
)∞ (2 ,
+++
متزايدة
2
)(−2 , 2
--متناقصة
−2
(−∞ , −
∞−
+++
متزايدة
الفترات
إشارة 𝑓′
سلوك الدالة
𝑓
نالحظ من الجدول :الدالة متزايدة على الفترة ) (−∞ , − 2والفترة )∞ (2 ,ومتناقصة
على الفترة ).(−2 ,2
cنستطيع أن نالحظ من الجدول أنه توجد قيمة عظمى محلية عند ،𝑥 = −2وقيمة
صغرى محلية عند .𝑥 = 2
القيمة العظمى المحلية هي ،𝑓 −2 = 11والقيمة الصغرى المحلية عند 𝑓 2
.= −21
Slide 13
حاول أن تحل )(1
لتكن الدالة 𝑓 :
aالنقاط الحرجة
للدالة.
ات التي تكون الدالة 𝑓 متزايدة أو متناقصة عليها.
bالفتر
𝑓 𝑥 = −𝑥 3 + 3𝑥 2 − 4
ً
أوجد كال مما يلي:
cالقيم القصوى املحلية.
الحل:
a
∵𝑓 دالة كثيرة حدود.
𝑓 متصلة وقابلة لالشتقاق عند كل 𝑥 ، 𝑥 ∈ ℝ :
نوجد النقاط الحرجة فقط عند أصفار مشتقة الدالة . 𝑓′
𝑥𝑓 ′ (𝑥) = −3𝑥 2 + 6
نضع
:
𝑓′ 𝑥 = 0
−3𝑥 2 + 6𝑥 = 0 ⇒ −3𝑥 𝑥 − 2 = 0
𝑥=0
,
𝑥=2
Slide 14
هي
)= (0 , −4
)= (2 , 0
النقاط الحرجة
0 ,𝑓 0
2 ,𝑓 2
bنكون الجدول لدراسة إشارة : 𝑓′
∞−
0
2
∞
(−∞ , 0
)(0 , 2
)∞ (2 ,
--+++
--متناقصة
متزايدة
متناقصة
الفترات
إشارة 𝑓′
سلوك الدالة
𝑓
نالحظ من الجدول :الدالة متزايدة على الفترة )(0 ,2
ومتناقصة على الفترة −∞ ,0والفترة )∞(2 ,
cنستطيع أن نالحظ من الجدول أنه توجد قيمة عظمى محلية عند ،𝑥 = 2وقيمة
صغرى محلية عند .𝑥 = 0
القيمة العظمى املحلية هي ،𝑓 2 = 0والقيمة الصغرى املحلية عند .𝑓 0 = −4
Slide 15
Slide 16
مثال )(2
4
𝑓 𝑥 =𝑥−3+
𝑥−1
ً
أوجد كال مما يلي:
لتكن الدالة 𝑓 :
aالنقاط الحرجة
للدالة.
ات التي تكون عليها الدالة 𝑓 متزايدة وتلك التي تكون عليها متناقصة.
bالفتر
cالقيم القصوى املحلية.
الحل:
𝑓 ∵ aمجموع دالتين إحداهما كثيرة حدود واألخرى حدودية نسبية.
مجال الدالة 𝑓 هو ℝ − 1
𝑓 متصلة وقابلة لالشتقاق على كل فترة من مجالها )∞−∞ .1 ∪ (1 ,
(𝑥 − 1)2 −4
=
(𝑥 − 1)2
2
4
′
𝑓 (𝑥) = 1 −
𝑥−1
)(𝑥 − 1 − 2)(𝑥 − 1 + 2) (𝑥 − 3)(𝑥 + 1
=
=
2
𝑥−1
(𝑥 − 1)2
Slide 17
نضع:
𝑥 = 3 , 𝑥 = −1
⇒ 𝑥−3 𝑥+1 =0
النقاط الحرجة هي )= (−1 , −6
bنكون الجدول لدراسة إشارة : 𝑓′
1
3
∞
)∞ (3 ,
--متناقصة
)(𝑥 − 3)(𝑥 + 1
=0
2
)(𝑥 − 1
⇒
−1 , 𝑓 −1
,
−1
(−1 , 1
غير معرفة
+++
متزايدة
)(1 , 3
𝑓′ 𝑥 = 0
--متناقصة
= 3 ,2
3 ,𝑓 3
∞−
(−∞ ,
+++
متزايدة
الفترات
إشارة 𝑓′
سلوك الدالة 𝑓
نالحظ من الجدول :الدالة متزايدة على كل من الفترتين )∞−∞ , − 1 , (3 ,
ومتناقصة على كل من الفترتين ). −1 ,1 ,(1 ,3
cتوجد قيمة عظمى محلية عند ،𝑥 = −1وقيمة صغرى محلية عند .𝑥 = 3
القيمة العظمى املحلية هي ،𝑓 −1 = −6والقيمة الصغرى املحلية هي .𝑓 3 = 2
Slide 18
حاول أن تحل )(2
𝑥
𝑔 𝑥 = 2
𝑥 +1
لتكن الدالة 𝑔 :
aالنقاط الحرجة
للدالة.
ات التي تكون الدالة 𝑔 متزايدة أو متناقصة عليها.
bالفتر
ً
أوجد كال مما يلي:
cالقيم القصوى املحلية.
الحل:
a
∵ 𝑔 دالة حدودية نسبية مجالها ℝ
𝑔 متصلة وقابلة لالشتقاق عند كل 𝑥 ، 𝑥 ∈ ℝ :
𝑥 𝑥2 + 1 − 2
2 + 1 − 2𝑥 2
2
𝑥
𝑥
1
−
𝑥
= 𝑥 𝑔′
=
= 2
2
2
2
2
𝑥 +1
𝑥 +1
𝑥 +1 2
نضع
𝑔′ 𝑥 = 0
:
2
1 − 𝑥 = 0 ⇒ (𝑥 − 1) 𝑥 + 1 = 0
: 𝑥2 + 1 ≠ 0
𝑥=1
,
𝑥 = −1
Slide 19
هي
bنكون الجدول لدراسة إشارة : 𝑔′
1
∞
1
) = (1 ,
2
النقاط الحرجة
−1
−1
) = (−1 ,
2
∞−
(−∞ , −
)(−1 , 1
)∞ (1 ,
--+++
--متناقصة
متزايدة
متناقصة
1 ,𝑔 1
−1 , 𝑔 −1
الفترات
إشارة 𝑓′
سلوك الدالة
𝑓
نالحظ من الجدول :الدالة متزايدة على الفترة )(−1 ,1
ومتناقصة على كل من الفترتين )∞−∞ , − 1 ,(1 ,
cتوجد قيمة عظمى محلية عند ،𝑥 = 1وقيمة صغرى محلية عند .𝑥 = −1
القيمة العظمى املحلية هي
1
2
= ،𝑔 1والقيمة الصغرى
−1
املحلية عند
2
= .𝑔 −1
Slide 20
Slide 21
ّ
التقعر
يبين الشكل املقابل أن الدالة 𝑓 𝑓 𝑥 = 𝑥 3 :
تتزايد مع تزايد قيم 𝑥 ،ولكن جزئي املنحنى ّ
املعرفين على
كل من الفترتين )0 ,∞ ,(−∞ ,0
ينعطفان بشكل مختلف.
إذا أمعنا النظر في املنحنى واملماسات وتفحصناها بدقة من
اليسار إلى اليمين
نالحظ أن املنحنى يقع أسفل املاسات على الفترة )(−∞ ,0
ويقع أعلى املاسات على الفترة )∞(0 ,
يمكننا القول إن منحنى الدالة 𝑓 مقعر لألسفل على الفترة )(−∞ ,0
ومقعر لألعلى على الفترة )∞(0 ,
Slide 22
تعريف )ّ :(5
التقعر
ً
إذا وقع منحنى الدالة أعلى جميع مماساته على فترة Iفإنه يكون مقعرا ألعلى على I
ً
وإذا وقع منحنى الدالة أسفل جميع مماساته على فترة Iفإنه يكون مقعرا ألسفل على
I
في الفترة )𝑏 (𝑎 ,نالحظ أن:
جميع نقاط املنحنى (ما عدا نقاط
التماس)
تقع أعلى املماسات.
في الفترة )𝑏 (𝑎 ,نالحظ أن:
جميع نقاط املنحنى (ما عدا نقاط
التماس)
تقع أسفل املماسات.
Slide 23
اختبار ّ
التقعر
a
إذا كانت
b
وإذا كانت
𝐼 ∈ 𝑥 ∀ 𝑓 ′′ 𝑥 > 0 ,
ً
فإن منحنى الدالة 𝑓 مقعرا ألعلى على I
𝐼 ∈ 𝑥 ∀𝑥 < 0 ,
𝑓 ′′
ً
فإن منحنى الدالة 𝑓 مقعرا ألسفل على I
Slide 24
تعريف ) :(6نقطة اإلنعطاف
نقطة
اإلنعطاف
تسمى النقطة ) 𝑐 𝑓 (𝑐 ,نقطة انعطاف ملنحنى الدالة 𝑓 إذا كانت 𝑓 دالة متصلة عند 𝑐،
ومنحنى الدالة 𝑓 ّ
يغير ّ
تقعره عند هذه النقطة من أعلى إلى أسفل أو من أسفل إلى أعلى.
إذا كانت ) 𝑐 𝑓 (𝑐 ,نقطة انعطاف لبيان الدالة 𝑓 فإن 𝑓 ′′ 𝑐 = 0
أو )𝑐( 𝑓′′غير موجودة.
Slide 25
مثال )(3
ّ
التقعر ونقطة االنعطاف ملنحنى الدالة 𝑓 :
أوجد فترات
𝑓 𝑥 = 2𝑥 3 + 3𝑥 2 − 1
الحل:
∵ 𝑓 دالة كثيرة حدود.
𝑓 قابلة لالشتقاق على ℝ
𝑥𝑓 ′ 𝑥 = 6𝑥 2 + 6
𝑓 ′′ 𝑥 = 12𝑥 + 6
𝑓 ′′ 𝑥 = 0
1
12𝑥 + 6 = 0 ⇒ 𝑥 = −
2
Slide 26
نكون الجدول لدراسة إشارة : 𝑓′′
1
−
2
∞
1
∞− ,
2
+++
∪
ّ
مقعر ألعلى
∞−
−∞ , −
---
∩
ّ
مقعر ألسفل
الفترات
إشارة 𝑓 ′ ′
بيان الدالة 𝑓
1
نالحظ من الجدول :بيان الدالة 𝑓 ّ
مقعر ألسفل على الفترة , −
2
1
بيان الدالة 𝑓 ّ
مقعر ألعلى على الفترة ∞− ,
2
نقطة
إليجاد
3
2
1
1 3
1
االنعطاف:
+3 −
−1=− + −1=−
2
4 4
2
1
1
النقطة 𝐼 − , −هي نقطة انعطاف ملنحنى 𝑓
2
2
∞−
1
1
𝑓 −
=2 −
2
2
Slide 27
نالحظ في الشكل املقابل أن بيان الدالة 𝑓 في مثال )(3
ّ
مقعر لألسفل على الفترة
1
−∞ , −
2
ّ
ومقعر لألعلى على الفترة
1
∞− ,
2
1
1
وأن النقطة
− ,−
2
2
هي نقطة انعطاف
Slide 28
حاول أن تحل )(3
ّ
التقعر ونقطة االنعطاف ملنحنى الدالة 𝑓 :
أوجد فترات
الحل:
𝑓 𝑥 = 𝑥 3 − 2𝑥 2 + 1
∵ 𝑓 دالة كثيرة حدود.
𝑓 قابلة لالشتقاق على ℝ
𝑥𝑓 ′ 𝑥 = 3𝑥 2 − 4
𝑓 ′′ 𝑥 = 6𝑥 − 4
𝑓 ′′ 𝑥 = 0
2
= 𝑥 ⇒ 6𝑥 − 4 = 0
3
Slide 29
∞
2
∞,
3
+++
∪
2
3
2
−∞ ,
3
---
∩
نكون الجدول لدراسة إشارة : 𝑓′′
∞−
الفترات
إشارة 𝑓 ′ ′
بيان الدالة 𝑓
ّ
ّ
مقعر ألسفل
مقعر ألعلى
نالحظ من الجدول ان :بيان الدالة 𝑓 ّ
مقعر ألسفل على الفترة
بيان الدالة 𝑓 ّ
مقعر ألعلى على الفترة ∞,
2
3
2
3
−∞ ,
نقطة
إليجاد
3
2
2
2
2
8 8
11
االنعطاف:
𝑓
=
−2
=+1
=− +1
3
3
3
27 9
27
2 11
𝐼 ,هي نقطة انعطاف ملنحنى 𝑓
النقطة
27
3
Slide 30
نالحظ في الشكل املقابل أن بيان الدالة 𝑓
ّ
مقعر لألسفل على الفترة
2
−∞ ,
3
ّ
ومقعر لألعلى على الفترة
2
∞,
3
وأن النقطة
2 11
,
3 27
هي نقطة انعطاف
Slide 31
لدراسة حركة جسيم يتحرك على خط مستقيم
ً
غالبا
ما تحتاج إلى وصف هذه الحركة من خالل دالة املوقع (اإلزاحة)
ومشتقتها (السرعة) ومشتقتها الثانية (العجلة) في أي لحظة على
مساره.
Slide 32
مثال إثرائي:
يتحرك جسيم على خط مستقيم أفقي حيث دالة
موقعه
𝑠 𝑡 = 2𝑡 3 − 14𝑡 2 + 22𝑡 − 5 ,
t≥0
أوجد السرعة اللحظية للجسيم وعجلته ثم صف
حركته.:
الحل
𝑠 𝑡 = 2𝑡 3 − 14𝑡 2 + 22𝑡 − 5
السرعة اللحظية هي:
𝑣 𝑡 = 𝑠 ′ 𝑡 = 6𝑡 2 − 28𝑡 + 22
)= 2(𝑡 − 1)(3𝑡 − 11
والعجلة هي:
𝑎 𝑡 = 𝑣 ′ 𝑡 = 𝑠 ′′ 𝑡 = 12𝑡 − 28
)= 4 (3𝑡 − 7
Slide 33
عندما تتزايد الدالة )𝑡(𝑠 يتحرك الجسيم إلى اليمين،
وعندما تتناقص )𝑡(𝑠 يتحرك الجسيم إلى اليسار.
يبين الشكل أدناه الرسوم البيانية
والعجلة.
𝑠 ′′ 𝑡 = 12𝑡 − 28
والسرعة اللحظية
𝑠 ′ 𝑡 = 6𝑡 2 − 28𝑡 + 22
للموقع (املسافة)
𝑠 𝑡 = 2𝑡 3 − 14𝑡 2 + 22𝑡 − 5
t≥0
Slide 34
11
=𝑡
الحظ أن املشتقة األولى ) (𝑣 = 𝑠′تساوي 0عند , 𝑡 = 1
3
11
0
1
∞
3
11
11
الفترات
)(0 , 1
1,
∞,
3
3
𝑣 = 𝑠′
+++
--+++
متزايدة
متناقصة
متزايدة
سلوك 𝑠
حركة الجسيم
يمين
يسار
يمين
11
يتحرك الجسيم إلى اليمين على الفترة الزمنية )[0 ,1والفترة الزمنية ∞ ,
3
11
ويتحرك إلى اليسارعلى الفترة الزمنية
1,
3
Slide 35
7
العجلة تساوي 0عند:
=𝑡
3
7
0
∞
3
7
7
الفترات
0,
∞,
3
3
أشارة 𝑎 = 𝑠 ′′
--+++
∪
مقعر ألعلى
∩
مقعر ألسفل
اتجاه العجلة ناحية اليسار (العجلة سالبة) أثناءالفترة
الزمنيةفي لحظة تساوي صف ًرا عند 7
وتكون
=𝑡
3
واتجاهها ناحية اليمين(العجلة موجبة بعد ذلك).
بيان الدالة 𝑠
7
0,
3
Slide 36
تدريب إثرائي:
يتحرك جسيم معين على خط مستقيم أفقي حيث دالة موقعه:
𝑠 𝑡 = 𝑡 3 − 3𝑡 2 + 5 ,
t≥0
أوجد السرعة اللحظية للجسيم وعجلته ثم صف
حركته.:
الحل
𝑠 𝑡 = 𝑡 3 − 3𝑡 2 + 5
السرعة اللحظية هي:
𝑡𝑣 𝑡 = 𝑠 ′ 𝑡 = 3𝑡 2 − 6
)= 3𝑡 (𝑡 − 2
والعجلة هي:
𝑎 𝑡 = 𝑣 ′ 𝑡 = 𝑠 ′′ 𝑡 = 6𝑡 − 6
Slide 37
الحظ أن املشتقة األولى ) (𝑣 = 𝑠′تساوي 0عند
𝑡 = 0 ,𝑡 = 2
0
2
∞
الفترات
)(0 , 2
∞2 ,
𝑣 = 𝑠′
--+++
متناقصة
متزايدة
سلوك 𝑠
حركة الجسيم
يسار
يمين
يتحرك الجسيم إلى اليمين على الفترة الزمنية )∞(2 ,
ويتحرك إلى اليسارعلى الفترة الزمنية )[0 ,2
Slide 38
العجلة تساوي 0عند:
∞
∞1 ,
+++
∪
مقعر ألعلى
1
𝑡=1
0
0 ,1
---
∩
مقعر ألسفل
اتجاه العجلة ناحية اليسار (العجلة سالبة) أثناءالفترة
الزمنية
ً
ي
وتكون في لحظة تساو صفرا عند 𝑡 = 1
واتجاهها ناحية اليمين(العجلة موجبة بعد ذلك).
الفترات
𝑎 = 𝑠′′
بيان الدالة 𝑠
0 ,1
Slide 39
اختبار املشتقة الثانية للقيم القصوى
املحليةنقاط حرجة،
بدالً من النظر إلى إشارة التغير في 𝒚′عند
يمكننا أن نستخدم احيانا
االختبار اآلتي لتحديد وجود قيم قصوى محلية.
نظرية ) :(6اختبار املشتقة الثانية للقيم القصوى املحلية
1
2
إذا كانت 𝑓 ′ 𝑐 = 0و 𝑓 ′′ 𝑐 < 0
فإن 𝑓 تكون لها قيمة عظمى محلية عند 𝑐 = 𝑥
إذا كانت 𝑐 = 0
𝑓′
و𝑐 >0
𝑓 ′′
فإن 𝑓 تكون لها قيمة صغرى محلية عند 𝑐 = 𝑥
Slide 40
يتطلب منا هذا االختبار أن نعرف 𝑓′′فقط عند العدد 𝑐 نفسه وليس على فترة تشمل 𝑐.
ً
وهذا يجعل االختبار سهال للتطبيق.
هذا االختبار ال يصلح (يفشل) إذا كانت 𝑓 ′′ = 0أو ال يكون لها وجود.
فمثلً الدالة 𝑓 ، 𝑓(𝑥) = 𝑥 4 :مشتقتها األولى هي𝑓 ′ 𝑥 = 4𝑥 3 :
ومشتقتها الثانية هي𝑓 ′′ 𝑥 = 12𝑥 2 :
عندما
𝑓′ 𝑥 = 0 ⇒ 𝑥 = 0
ومنها
𝑓 ′′ 𝑥 = 0
عندما يحدث ذلك نعود إلى اختبار المشتقة األولى للبحث عن القيم القصوى المحلية.
في مثال ) (4نطبق اختبار املشتقة الثانية للدالة املوجودة في مثال ).(1
Slide 41
مثال )(1
أوجد كالً مما يلي:
لتكن الدالة𝑓:
aالنقاط الحرجة للدالة.
bالفترات التي تكون الدالة 𝑓 متزايدة أو متناقصة عليها.
cالقيم القصوى المحلية.
الحل:
𝑓∵ aدالة كثيرة حدود.
𝑓 متصلة وقابلة لالشتقاق عند كل 𝑥 ، 𝑥 ∈ ℝ :
نوجد النقاط الحرجة فقط عند أصفار مشتقة الدالة . 𝑓′
𝑓′ 𝑥 = 3𝑥 2 − 12
نضع
𝑓′ 𝑥 = 0
:
2
3𝑥 − 12 = 0 ⇒ 3 𝑥 − 2 𝑥 + 2 = 0
𝑥 = −2
,
𝑥=2
𝑓 𝑥 = 𝑥 3 − 12𝑥 − 5
Slide 42
b
النقاط الحرجة هي
)−2 , 𝑓 −2 = (−2 , 11
)2 , 𝑓 2 = (2 , −21
نكون الجدول لدراسة إشارة : 𝑓′
∞
)∞ (2 ,
+++
متزايدة
2
)(−2 , 2
--متناقصة
−2
(−∞ , −
∞−
+++
متزايدة
الفترات
إشارة 𝑓′
سلوك الدالة
𝑓
نالحظ من الجدول :الدالة متزايدة على الفترة ) (−∞ , − 2والفترة )∞ (2 ,ومتناقصة
على الفترة ).(−2 ,2
cنستطيع أن نالحظ من الجدول أنه توجد قيمة عظمى محلية عند ،𝑥 = −2وقيمة
صغرى محلية عند .𝑥 = 2
القيمة العظمى المحلية هي ،𝑓 −2 = 11والقيمة الصغرى المحلية عند 𝑓 2
.= −21
Slide 43
مثال )(4
أوجد القيم القصوى املحلية
للدالة:
الحل:
𝑓 𝑥 = 𝑥 3 − 12𝑥 − 5
𝑓 ′ 𝑥 = 3𝑥 2 − 12
)= 3 𝑥 2 − 4 = 3(x − 2)(x + 2
𝑥=2
𝑥 = −2 ,
⇒ 𝑓′ 𝑥 = 0
𝑥𝑓 ′′ 𝑥 = 6
باختبار األعداد الحرجة ،𝑥 = ±2نجد أن:
𝑓 ′′ −2 = −12 , −12 < 0
فيكون للدالة 𝑓 قيمة عظمى محلية عند 𝑥 = −2وهي 𝑓 −2 = 11
𝑓 ′′ 2 = 12 , 12 > 0
فيكون للدالة 𝑓 قيمة صغرى محلية عند 𝑥 = 2وهي 𝑓 2 = −21
Slide 44
حاول أن تحل )(4
استخدم اختبار املشتقة الثانية اليجاد القيم القصوى املحلية للدالة
𝑓:
𝑓 𝑥 = 4𝑥 3 − 12𝑥 2
الحل:
𝑓 ′ 𝑥 = 12𝑥 2 − 24𝑥 = 12𝑥 𝑥 − 2
𝑥 = 0 ,𝑥 = 2
⇒
𝑓′ 𝑥 = 0
𝑓 ′′ 𝑥 = 24𝑥 − 24
باختبار األعداد الحرجة ،𝑥 = 0 ,𝑥 = 2نجد أن:
𝑓 ′′ 0 = −24 , −24 < 0
فيكون للدالة 𝑓 قيمة عظمى محلية عند 𝑥 = 0وهي 𝑓 0 = 0
𝑓 ′′ 2 = 24 , 24 > 0
فيكون للدالة 𝑓 قيمة صغرى محلية عند 𝑥 = 2وهي 𝑓 2 = −16
Slide 45
منطقة العاصمة التعليمية
ثانوية جابر املبارك
املوجهة األولى:
أ .حصة العلي
مدير املدرسة:
أ .فاضل الصفار
املوجه الفني:
أ .عبد الوهاب نور الدين
رئيس القسم:
أ .ابراهيم عيد
إعداد املعلم :محمد سامر القصار
Slide 2
قسم الرياضيات
في
ثانوية جابر املبارك
يشكر حضوركم
واصغائكم
Slide 3
وزارة التربية
ورشة عمل في البند 3-3
منطقة العاصمة التعليمية
ثانوية جابر املبارك
قسم الرياضيات
للصف الثاني عشر العلمي
Slide 4
تعلمت
Absolute Extreme Value القيم القصوى المطلقة
Local Extreme Value
القيم القصوى المحلية
Critical Point
Increasing And Decreasing Functions
النقط الحرجة
تزايد وتناقص الدوال
Interval Of Increasing And Decreasing فترات التزايد وفترات التناقص
Slide 5
سوف تتعلم
اختبارالمشتقة األولى لتحديد القيم القصوى المحلية
تحديد تقعر منحنى الدالة باستخدام المشتقة الثانية أو الرسم البياني
تحديد نقاط االنعطاف بدراسة المشتقة الثانية
اختبار المشتقة الثانية لتحديد القيم القصوى المحلية
Slide 6
دعنا نفكر ونناقش
انظر إلى بيان الدالة في الشكل أدناه ،ثم ضع )) لكل فقرة مناسبة في الجدول أدناه:
عالمة
الفترة
(المجال)
𝑎 , 𝑐2
قيمة
صغرى
مطلقة
قيمة
عظمى
مطلقة
) [𝑐1 , 𝑐3
[𝑐2 , 𝑐3
[𝑐3 , 𝑐5
𝑐1 , 𝑐4
𝑏 𝑐5 ,
قيمة
صغرى
محلية
قيمة
عظمى
محلية
تزايد في
فترة
تناقص في
فترة
Slide 7
نظرية )(5
اختبار المشتقة األولى للقيم القصوى المحلية
لتكن 𝑓 دالة متصلة على مجالها وكانت ) 𝑐 𝑓 (𝑐 ,نقطة حرجة.
) (1إذا كانت إشارة المشتقة 𝑓′تتغير من الموجب إلى السالب عند 𝑐 = 𝑥 ،
فإن 𝑓 يكون لها قيمة عظمى محلية عند 𝑐 .
منحنى الدالة تغير من التزايد الى التناقص عند 𝑐 = 𝑥
Slide 8
لتكن 𝑓 دالة متصلة على مجالها وكانت ) 𝑐 𝑓 (𝑐 ,نقطة حرجة.
) (2إذا تغيرت إشارة 𝑓′من السالب إلى الموجب عند 𝑐 = 𝑥 ،فإن 𝑓
يكون لها قيمة صغرى محلية عند 𝑐 .
منحنى الدالة تغير من التناقص الى التزايد عند 𝑐 = 𝑥
Slide 9
لتكن 𝑓 دالة متصلة على مجالها وكانت ) 𝑐 𝑓 (𝑐 ,نقطة حرجة.
) (3إذا لم تتغير إشارة 𝑓′عند 𝑐 = 𝑥 ،فإن 𝑓 ال يكون لها قيمة قصوى
محلية عند 𝑐 .
Slide 10
هنا نبين كيف ّ
نطبق اختبار المشتقة األولى
إليجاد القيم القصوى المحلية لدالّة.
األعداد الحرجة لدالة𝑓
ّ
تجزئ محور السينات إلى فترات تكون فيها 𝑓′موجبة أو سالبة
نح ّدد إشارة 𝑓′على كل فترة بإيجاد قيمة 𝑓′
لقيمة واحدة 𝑥على الفترة،
ثم نطبق نظرية )(5
كما في المثالين) (2و )(1التاليين:
Slide 11
مثال )(1
أوجد كالً مما يلي:
لتكن الدالة𝑓:
aالنقاط الحرجة للدالة.
bالفترات التي تكون الدالة 𝑓 متزايدة أو متناقصة عليها.
cالقيم القصوى المحلية.
الحل:
𝑓∵ aدالة كثيرة حدود.
𝑓 متصلة وقابلة لالشتقاق عند كل 𝑥 ، 𝑥 ∈ ℝ :
نوجد النقاط الحرجة فقط عند أصفار مشتقة الدالة . 𝑓′
𝑓′ 𝑥 = 3𝑥 2 − 12
نضع
𝑓′ 𝑥 = 0
:
2
3𝑥 − 12 = 0 ⇒ 3 𝑥 − 2 𝑥 + 2 = 0
𝑥 = −2
,
𝑥=2
𝑓 𝑥 = 𝑥 3 − 12𝑥 − 5
Slide 12
b
النقاط الحرجة هي
)−2 , 𝑓 −2 = (−2 , 11
)2 , 𝑓 2 = (2 , −21
نكون الجدول لدراسة إشارة : 𝑓′
∞
)∞ (2 ,
+++
متزايدة
2
)(−2 , 2
--متناقصة
−2
(−∞ , −
∞−
+++
متزايدة
الفترات
إشارة 𝑓′
سلوك الدالة
𝑓
نالحظ من الجدول :الدالة متزايدة على الفترة ) (−∞ , − 2والفترة )∞ (2 ,ومتناقصة
على الفترة ).(−2 ,2
cنستطيع أن نالحظ من الجدول أنه توجد قيمة عظمى محلية عند ،𝑥 = −2وقيمة
صغرى محلية عند .𝑥 = 2
القيمة العظمى المحلية هي ،𝑓 −2 = 11والقيمة الصغرى المحلية عند 𝑓 2
.= −21
Slide 13
حاول أن تحل )(1
لتكن الدالة 𝑓 :
aالنقاط الحرجة
للدالة.
ات التي تكون الدالة 𝑓 متزايدة أو متناقصة عليها.
bالفتر
𝑓 𝑥 = −𝑥 3 + 3𝑥 2 − 4
ً
أوجد كال مما يلي:
cالقيم القصوى املحلية.
الحل:
a
∵𝑓 دالة كثيرة حدود.
𝑓 متصلة وقابلة لالشتقاق عند كل 𝑥 ، 𝑥 ∈ ℝ :
نوجد النقاط الحرجة فقط عند أصفار مشتقة الدالة . 𝑓′
𝑥𝑓 ′ (𝑥) = −3𝑥 2 + 6
نضع
:
𝑓′ 𝑥 = 0
−3𝑥 2 + 6𝑥 = 0 ⇒ −3𝑥 𝑥 − 2 = 0
𝑥=0
,
𝑥=2
Slide 14
هي
)= (0 , −4
)= (2 , 0
النقاط الحرجة
0 ,𝑓 0
2 ,𝑓 2
bنكون الجدول لدراسة إشارة : 𝑓′
∞−
0
2
∞
(−∞ , 0
)(0 , 2
)∞ (2 ,
--+++
--متناقصة
متزايدة
متناقصة
الفترات
إشارة 𝑓′
سلوك الدالة
𝑓
نالحظ من الجدول :الدالة متزايدة على الفترة )(0 ,2
ومتناقصة على الفترة −∞ ,0والفترة )∞(2 ,
cنستطيع أن نالحظ من الجدول أنه توجد قيمة عظمى محلية عند ،𝑥 = 2وقيمة
صغرى محلية عند .𝑥 = 0
القيمة العظمى املحلية هي ،𝑓 2 = 0والقيمة الصغرى املحلية عند .𝑓 0 = −4
Slide 15
Slide 16
مثال )(2
4
𝑓 𝑥 =𝑥−3+
𝑥−1
ً
أوجد كال مما يلي:
لتكن الدالة 𝑓 :
aالنقاط الحرجة
للدالة.
ات التي تكون عليها الدالة 𝑓 متزايدة وتلك التي تكون عليها متناقصة.
bالفتر
cالقيم القصوى املحلية.
الحل:
𝑓 ∵ aمجموع دالتين إحداهما كثيرة حدود واألخرى حدودية نسبية.
مجال الدالة 𝑓 هو ℝ − 1
𝑓 متصلة وقابلة لالشتقاق على كل فترة من مجالها )∞−∞ .1 ∪ (1 ,
(𝑥 − 1)2 −4
=
(𝑥 − 1)2
2
4
′
𝑓 (𝑥) = 1 −
𝑥−1
)(𝑥 − 1 − 2)(𝑥 − 1 + 2) (𝑥 − 3)(𝑥 + 1
=
=
2
𝑥−1
(𝑥 − 1)2
Slide 17
نضع:
𝑥 = 3 , 𝑥 = −1
⇒ 𝑥−3 𝑥+1 =0
النقاط الحرجة هي )= (−1 , −6
bنكون الجدول لدراسة إشارة : 𝑓′
1
3
∞
)∞ (3 ,
--متناقصة
)(𝑥 − 3)(𝑥 + 1
=0
2
)(𝑥 − 1
⇒
−1 , 𝑓 −1
,
−1
(−1 , 1
غير معرفة
+++
متزايدة
)(1 , 3
𝑓′ 𝑥 = 0
--متناقصة
= 3 ,2
3 ,𝑓 3
∞−
(−∞ ,
+++
متزايدة
الفترات
إشارة 𝑓′
سلوك الدالة 𝑓
نالحظ من الجدول :الدالة متزايدة على كل من الفترتين )∞−∞ , − 1 , (3 ,
ومتناقصة على كل من الفترتين ). −1 ,1 ,(1 ,3
cتوجد قيمة عظمى محلية عند ،𝑥 = −1وقيمة صغرى محلية عند .𝑥 = 3
القيمة العظمى املحلية هي ،𝑓 −1 = −6والقيمة الصغرى املحلية هي .𝑓 3 = 2
Slide 18
حاول أن تحل )(2
𝑥
𝑔 𝑥 = 2
𝑥 +1
لتكن الدالة 𝑔 :
aالنقاط الحرجة
للدالة.
ات التي تكون الدالة 𝑔 متزايدة أو متناقصة عليها.
bالفتر
ً
أوجد كال مما يلي:
cالقيم القصوى املحلية.
الحل:
a
∵ 𝑔 دالة حدودية نسبية مجالها ℝ
𝑔 متصلة وقابلة لالشتقاق عند كل 𝑥 ، 𝑥 ∈ ℝ :
𝑥 𝑥2 + 1 − 2
2 + 1 − 2𝑥 2
2
𝑥
𝑥
1
−
𝑥
= 𝑥 𝑔′
=
= 2
2
2
2
2
𝑥 +1
𝑥 +1
𝑥 +1 2
نضع
𝑔′ 𝑥 = 0
:
2
1 − 𝑥 = 0 ⇒ (𝑥 − 1) 𝑥 + 1 = 0
: 𝑥2 + 1 ≠ 0
𝑥=1
,
𝑥 = −1
Slide 19
هي
bنكون الجدول لدراسة إشارة : 𝑔′
1
∞
1
) = (1 ,
2
النقاط الحرجة
−1
−1
) = (−1 ,
2
∞−
(−∞ , −
)(−1 , 1
)∞ (1 ,
--+++
--متناقصة
متزايدة
متناقصة
1 ,𝑔 1
−1 , 𝑔 −1
الفترات
إشارة 𝑓′
سلوك الدالة
𝑓
نالحظ من الجدول :الدالة متزايدة على الفترة )(−1 ,1
ومتناقصة على كل من الفترتين )∞−∞ , − 1 ,(1 ,
cتوجد قيمة عظمى محلية عند ،𝑥 = 1وقيمة صغرى محلية عند .𝑥 = −1
القيمة العظمى املحلية هي
1
2
= ،𝑔 1والقيمة الصغرى
−1
املحلية عند
2
= .𝑔 −1
Slide 20
Slide 21
ّ
التقعر
يبين الشكل املقابل أن الدالة 𝑓 𝑓 𝑥 = 𝑥 3 :
تتزايد مع تزايد قيم 𝑥 ،ولكن جزئي املنحنى ّ
املعرفين على
كل من الفترتين )0 ,∞ ,(−∞ ,0
ينعطفان بشكل مختلف.
إذا أمعنا النظر في املنحنى واملماسات وتفحصناها بدقة من
اليسار إلى اليمين
نالحظ أن املنحنى يقع أسفل املاسات على الفترة )(−∞ ,0
ويقع أعلى املاسات على الفترة )∞(0 ,
يمكننا القول إن منحنى الدالة 𝑓 مقعر لألسفل على الفترة )(−∞ ,0
ومقعر لألعلى على الفترة )∞(0 ,
Slide 22
تعريف )ّ :(5
التقعر
ً
إذا وقع منحنى الدالة أعلى جميع مماساته على فترة Iفإنه يكون مقعرا ألعلى على I
ً
وإذا وقع منحنى الدالة أسفل جميع مماساته على فترة Iفإنه يكون مقعرا ألسفل على
I
في الفترة )𝑏 (𝑎 ,نالحظ أن:
جميع نقاط املنحنى (ما عدا نقاط
التماس)
تقع أعلى املماسات.
في الفترة )𝑏 (𝑎 ,نالحظ أن:
جميع نقاط املنحنى (ما عدا نقاط
التماس)
تقع أسفل املماسات.
Slide 23
اختبار ّ
التقعر
a
إذا كانت
b
وإذا كانت
𝐼 ∈ 𝑥 ∀ 𝑓 ′′ 𝑥 > 0 ,
ً
فإن منحنى الدالة 𝑓 مقعرا ألعلى على I
𝐼 ∈ 𝑥 ∀𝑥 < 0 ,
𝑓 ′′
ً
فإن منحنى الدالة 𝑓 مقعرا ألسفل على I
Slide 24
تعريف ) :(6نقطة اإلنعطاف
نقطة
اإلنعطاف
تسمى النقطة ) 𝑐 𝑓 (𝑐 ,نقطة انعطاف ملنحنى الدالة 𝑓 إذا كانت 𝑓 دالة متصلة عند 𝑐،
ومنحنى الدالة 𝑓 ّ
يغير ّ
تقعره عند هذه النقطة من أعلى إلى أسفل أو من أسفل إلى أعلى.
إذا كانت ) 𝑐 𝑓 (𝑐 ,نقطة انعطاف لبيان الدالة 𝑓 فإن 𝑓 ′′ 𝑐 = 0
أو )𝑐( 𝑓′′غير موجودة.
Slide 25
مثال )(3
ّ
التقعر ونقطة االنعطاف ملنحنى الدالة 𝑓 :
أوجد فترات
𝑓 𝑥 = 2𝑥 3 + 3𝑥 2 − 1
الحل:
∵ 𝑓 دالة كثيرة حدود.
𝑓 قابلة لالشتقاق على ℝ
𝑥𝑓 ′ 𝑥 = 6𝑥 2 + 6
𝑓 ′′ 𝑥 = 12𝑥 + 6
𝑓 ′′ 𝑥 = 0
1
12𝑥 + 6 = 0 ⇒ 𝑥 = −
2
Slide 26
نكون الجدول لدراسة إشارة : 𝑓′′
1
−
2
∞
1
∞− ,
2
+++
∪
ّ
مقعر ألعلى
∞−
−∞ , −
---
∩
ّ
مقعر ألسفل
الفترات
إشارة 𝑓 ′ ′
بيان الدالة 𝑓
1
نالحظ من الجدول :بيان الدالة 𝑓 ّ
مقعر ألسفل على الفترة , −
2
1
بيان الدالة 𝑓 ّ
مقعر ألعلى على الفترة ∞− ,
2
نقطة
إليجاد
3
2
1
1 3
1
االنعطاف:
+3 −
−1=− + −1=−
2
4 4
2
1
1
النقطة 𝐼 − , −هي نقطة انعطاف ملنحنى 𝑓
2
2
∞−
1
1
𝑓 −
=2 −
2
2
Slide 27
نالحظ في الشكل املقابل أن بيان الدالة 𝑓 في مثال )(3
ّ
مقعر لألسفل على الفترة
1
−∞ , −
2
ّ
ومقعر لألعلى على الفترة
1
∞− ,
2
1
1
وأن النقطة
− ,−
2
2
هي نقطة انعطاف
Slide 28
حاول أن تحل )(3
ّ
التقعر ونقطة االنعطاف ملنحنى الدالة 𝑓 :
أوجد فترات
الحل:
𝑓 𝑥 = 𝑥 3 − 2𝑥 2 + 1
∵ 𝑓 دالة كثيرة حدود.
𝑓 قابلة لالشتقاق على ℝ
𝑥𝑓 ′ 𝑥 = 3𝑥 2 − 4
𝑓 ′′ 𝑥 = 6𝑥 − 4
𝑓 ′′ 𝑥 = 0
2
= 𝑥 ⇒ 6𝑥 − 4 = 0
3
Slide 29
∞
2
∞,
3
+++
∪
2
3
2
−∞ ,
3
---
∩
نكون الجدول لدراسة إشارة : 𝑓′′
∞−
الفترات
إشارة 𝑓 ′ ′
بيان الدالة 𝑓
ّ
ّ
مقعر ألسفل
مقعر ألعلى
نالحظ من الجدول ان :بيان الدالة 𝑓 ّ
مقعر ألسفل على الفترة
بيان الدالة 𝑓 ّ
مقعر ألعلى على الفترة ∞,
2
3
2
3
−∞ ,
نقطة
إليجاد
3
2
2
2
2
8 8
11
االنعطاف:
𝑓
=
−2
=+1
=− +1
3
3
3
27 9
27
2 11
𝐼 ,هي نقطة انعطاف ملنحنى 𝑓
النقطة
27
3
Slide 30
نالحظ في الشكل املقابل أن بيان الدالة 𝑓
ّ
مقعر لألسفل على الفترة
2
−∞ ,
3
ّ
ومقعر لألعلى على الفترة
2
∞,
3
وأن النقطة
2 11
,
3 27
هي نقطة انعطاف
Slide 31
لدراسة حركة جسيم يتحرك على خط مستقيم
ً
غالبا
ما تحتاج إلى وصف هذه الحركة من خالل دالة املوقع (اإلزاحة)
ومشتقتها (السرعة) ومشتقتها الثانية (العجلة) في أي لحظة على
مساره.
Slide 32
مثال إثرائي:
يتحرك جسيم على خط مستقيم أفقي حيث دالة
موقعه
𝑠 𝑡 = 2𝑡 3 − 14𝑡 2 + 22𝑡 − 5 ,
t≥0
أوجد السرعة اللحظية للجسيم وعجلته ثم صف
حركته.:
الحل
𝑠 𝑡 = 2𝑡 3 − 14𝑡 2 + 22𝑡 − 5
السرعة اللحظية هي:
𝑣 𝑡 = 𝑠 ′ 𝑡 = 6𝑡 2 − 28𝑡 + 22
)= 2(𝑡 − 1)(3𝑡 − 11
والعجلة هي:
𝑎 𝑡 = 𝑣 ′ 𝑡 = 𝑠 ′′ 𝑡 = 12𝑡 − 28
)= 4 (3𝑡 − 7
Slide 33
عندما تتزايد الدالة )𝑡(𝑠 يتحرك الجسيم إلى اليمين،
وعندما تتناقص )𝑡(𝑠 يتحرك الجسيم إلى اليسار.
يبين الشكل أدناه الرسوم البيانية
والعجلة.
𝑠 ′′ 𝑡 = 12𝑡 − 28
والسرعة اللحظية
𝑠 ′ 𝑡 = 6𝑡 2 − 28𝑡 + 22
للموقع (املسافة)
𝑠 𝑡 = 2𝑡 3 − 14𝑡 2 + 22𝑡 − 5
t≥0
Slide 34
11
=𝑡
الحظ أن املشتقة األولى ) (𝑣 = 𝑠′تساوي 0عند , 𝑡 = 1
3
11
0
1
∞
3
11
11
الفترات
)(0 , 1
1,
∞,
3
3
𝑣 = 𝑠′
+++
--+++
متزايدة
متناقصة
متزايدة
سلوك 𝑠
حركة الجسيم
يمين
يسار
يمين
11
يتحرك الجسيم إلى اليمين على الفترة الزمنية )[0 ,1والفترة الزمنية ∞ ,
3
11
ويتحرك إلى اليسارعلى الفترة الزمنية
1,
3
Slide 35
7
العجلة تساوي 0عند:
=𝑡
3
7
0
∞
3
7
7
الفترات
0,
∞,
3
3
أشارة 𝑎 = 𝑠 ′′
--+++
∪
مقعر ألعلى
∩
مقعر ألسفل
اتجاه العجلة ناحية اليسار (العجلة سالبة) أثناءالفترة
الزمنيةفي لحظة تساوي صف ًرا عند 7
وتكون
=𝑡
3
واتجاهها ناحية اليمين(العجلة موجبة بعد ذلك).
بيان الدالة 𝑠
7
0,
3
Slide 36
تدريب إثرائي:
يتحرك جسيم معين على خط مستقيم أفقي حيث دالة موقعه:
𝑠 𝑡 = 𝑡 3 − 3𝑡 2 + 5 ,
t≥0
أوجد السرعة اللحظية للجسيم وعجلته ثم صف
حركته.:
الحل
𝑠 𝑡 = 𝑡 3 − 3𝑡 2 + 5
السرعة اللحظية هي:
𝑡𝑣 𝑡 = 𝑠 ′ 𝑡 = 3𝑡 2 − 6
)= 3𝑡 (𝑡 − 2
والعجلة هي:
𝑎 𝑡 = 𝑣 ′ 𝑡 = 𝑠 ′′ 𝑡 = 6𝑡 − 6
Slide 37
الحظ أن املشتقة األولى ) (𝑣 = 𝑠′تساوي 0عند
𝑡 = 0 ,𝑡 = 2
0
2
∞
الفترات
)(0 , 2
∞2 ,
𝑣 = 𝑠′
--+++
متناقصة
متزايدة
سلوك 𝑠
حركة الجسيم
يسار
يمين
يتحرك الجسيم إلى اليمين على الفترة الزمنية )∞(2 ,
ويتحرك إلى اليسارعلى الفترة الزمنية )[0 ,2
Slide 38
العجلة تساوي 0عند:
∞
∞1 ,
+++
∪
مقعر ألعلى
1
𝑡=1
0
0 ,1
---
∩
مقعر ألسفل
اتجاه العجلة ناحية اليسار (العجلة سالبة) أثناءالفترة
الزمنية
ً
ي
وتكون في لحظة تساو صفرا عند 𝑡 = 1
واتجاهها ناحية اليمين(العجلة موجبة بعد ذلك).
الفترات
𝑎 = 𝑠′′
بيان الدالة 𝑠
0 ,1
Slide 39
اختبار املشتقة الثانية للقيم القصوى
املحليةنقاط حرجة،
بدالً من النظر إلى إشارة التغير في 𝒚′عند
يمكننا أن نستخدم احيانا
االختبار اآلتي لتحديد وجود قيم قصوى محلية.
نظرية ) :(6اختبار املشتقة الثانية للقيم القصوى املحلية
1
2
إذا كانت 𝑓 ′ 𝑐 = 0و 𝑓 ′′ 𝑐 < 0
فإن 𝑓 تكون لها قيمة عظمى محلية عند 𝑐 = 𝑥
إذا كانت 𝑐 = 0
𝑓′
و𝑐 >0
𝑓 ′′
فإن 𝑓 تكون لها قيمة صغرى محلية عند 𝑐 = 𝑥
Slide 40
يتطلب منا هذا االختبار أن نعرف 𝑓′′فقط عند العدد 𝑐 نفسه وليس على فترة تشمل 𝑐.
ً
وهذا يجعل االختبار سهال للتطبيق.
هذا االختبار ال يصلح (يفشل) إذا كانت 𝑓 ′′ = 0أو ال يكون لها وجود.
فمثلً الدالة 𝑓 ، 𝑓(𝑥) = 𝑥 4 :مشتقتها األولى هي𝑓 ′ 𝑥 = 4𝑥 3 :
ومشتقتها الثانية هي𝑓 ′′ 𝑥 = 12𝑥 2 :
عندما
𝑓′ 𝑥 = 0 ⇒ 𝑥 = 0
ومنها
𝑓 ′′ 𝑥 = 0
عندما يحدث ذلك نعود إلى اختبار المشتقة األولى للبحث عن القيم القصوى المحلية.
في مثال ) (4نطبق اختبار املشتقة الثانية للدالة املوجودة في مثال ).(1
Slide 41
مثال )(1
أوجد كالً مما يلي:
لتكن الدالة𝑓:
aالنقاط الحرجة للدالة.
bالفترات التي تكون الدالة 𝑓 متزايدة أو متناقصة عليها.
cالقيم القصوى المحلية.
الحل:
𝑓∵ aدالة كثيرة حدود.
𝑓 متصلة وقابلة لالشتقاق عند كل 𝑥 ، 𝑥 ∈ ℝ :
نوجد النقاط الحرجة فقط عند أصفار مشتقة الدالة . 𝑓′
𝑓′ 𝑥 = 3𝑥 2 − 12
نضع
𝑓′ 𝑥 = 0
:
2
3𝑥 − 12 = 0 ⇒ 3 𝑥 − 2 𝑥 + 2 = 0
𝑥 = −2
,
𝑥=2
𝑓 𝑥 = 𝑥 3 − 12𝑥 − 5
Slide 42
b
النقاط الحرجة هي
)−2 , 𝑓 −2 = (−2 , 11
)2 , 𝑓 2 = (2 , −21
نكون الجدول لدراسة إشارة : 𝑓′
∞
)∞ (2 ,
+++
متزايدة
2
)(−2 , 2
--متناقصة
−2
(−∞ , −
∞−
+++
متزايدة
الفترات
إشارة 𝑓′
سلوك الدالة
𝑓
نالحظ من الجدول :الدالة متزايدة على الفترة ) (−∞ , − 2والفترة )∞ (2 ,ومتناقصة
على الفترة ).(−2 ,2
cنستطيع أن نالحظ من الجدول أنه توجد قيمة عظمى محلية عند ،𝑥 = −2وقيمة
صغرى محلية عند .𝑥 = 2
القيمة العظمى المحلية هي ،𝑓 −2 = 11والقيمة الصغرى المحلية عند 𝑓 2
.= −21
Slide 43
مثال )(4
أوجد القيم القصوى املحلية
للدالة:
الحل:
𝑓 𝑥 = 𝑥 3 − 12𝑥 − 5
𝑓 ′ 𝑥 = 3𝑥 2 − 12
)= 3 𝑥 2 − 4 = 3(x − 2)(x + 2
𝑥=2
𝑥 = −2 ,
⇒ 𝑓′ 𝑥 = 0
𝑥𝑓 ′′ 𝑥 = 6
باختبار األعداد الحرجة ،𝑥 = ±2نجد أن:
𝑓 ′′ −2 = −12 , −12 < 0
فيكون للدالة 𝑓 قيمة عظمى محلية عند 𝑥 = −2وهي 𝑓 −2 = 11
𝑓 ′′ 2 = 12 , 12 > 0
فيكون للدالة 𝑓 قيمة صغرى محلية عند 𝑥 = 2وهي 𝑓 2 = −21
Slide 44
حاول أن تحل )(4
استخدم اختبار املشتقة الثانية اليجاد القيم القصوى املحلية للدالة
𝑓:
𝑓 𝑥 = 4𝑥 3 − 12𝑥 2
الحل:
𝑓 ′ 𝑥 = 12𝑥 2 − 24𝑥 = 12𝑥 𝑥 − 2
𝑥 = 0 ,𝑥 = 2
⇒
𝑓′ 𝑥 = 0
𝑓 ′′ 𝑥 = 24𝑥 − 24
باختبار األعداد الحرجة ،𝑥 = 0 ,𝑥 = 2نجد أن:
𝑓 ′′ 0 = −24 , −24 < 0
فيكون للدالة 𝑓 قيمة عظمى محلية عند 𝑥 = 0وهي 𝑓 0 = 0
𝑓 ′′ 2 = 24 , 24 > 0
فيكون للدالة 𝑓 قيمة صغرى محلية عند 𝑥 = 2وهي 𝑓 2 = −16
Slide 45