Transcript MATH105-3
Differential Calculus (Math 105) Sameh Saadeldin Ahmed Associate Professor of Environmental Eng. Civil Engineering Department Almajma’a Eng. College KSU [email protected] 2009 Math 105 Dr SaMeH 1 Chapter 1 Week 1st week Math 105 Subject Content Real Natural, Integer, Numbers and Rational, Irrational and, Inequalities Real numbers • Inequalities Dr SaMeH 2 2. Inequalities • Some Rules يقال للعدد aأنه موجبا إذا كان أكبر من الصفرa > 0 ، ويقال أنه سالبا إذا كان أصغر من الصفرa < 0 ، ويقال أنه غير موجبا إذا كان أصغر من أو يساوي الصفرa 0 ، ويقال أنه غير سالبا إذا كان أكبر من أو يساوي الصفرa 0 ، ويقال أنه غير موجبا وغير سالبا إذا كان مساويا للصفر. ويقال للعددين a , bأن لهما إشارتين مختلفتين إذا كان أحدهما موجبا واألخر سالبا. وأن لهما نفس اإلشارة إذا كان كالهما موجبين أو سالبين 3 Dr SaMeH Math 105 2.1 Properties of Inequalities .1إذا كان a , bأي عددين حقيقيين فإن واحد فقط مما يل ي يكون متحققا: a<b or a=b or a>b .2إذا كان a < bو cأي عدد موجب فإن ca < cb .3إذا كان a < bو cأي عدد سالب فإن ca > cb .4إذا كان a < bفإن –a > -b .5إذا كان a > bفإن –a < -b .6إذا كان a < bو cأي عدد موجب فإن a b c c a b .7إذا كان a < bو cأي عدد سالب فإن c c 4 Dr SaMeH Math 105 .8إذا كان a < bو b < cفإنa < c : .9إذا كان a < cو b < dفإن: a + b < c +d .10إذا كان a < bو cأي عدد حقيقي فإنa c < b c : .11إذا كان a , bكالهما موجبيين أو كالهما سالبين وكان a < bفإن: 1 1 a b .12إذا كان 0< a < bو 0< c < dفإنac < bd : .13إذا كان a < bفإنa – b < 0 : .14إذا كان a > bفإن: a–b>0 .15إذا كان 0< a < bو nأي عدد صحيح موجب فإن: a n < bn 5 Dr SaMeH Math 105 Examples -1أوجد حلول المتباينة 2x + 1 > 2 2X>1 ½>x أي أن أي عدد أكبر من 1/2يعتبر حال لهذه المتباينة. -2إذا كان ،1 – 3x > 2أوجد حلول هذه المتباينة؟ إذن - 3x > 1 1 3 x وعند تغير إشارة المتباينة يتغير تبعا لها إشارة المتباينة 1 x 3 6 Dr SaMeH Math 105 2.3 Intervals الفترات العددية: إذا كان a , b Rوكان a < bفإن: .1الفترة المفتوحة ):Open interval (a , b هي مجموعة كل األعداد الحقيقية xالتي تقع بيي ، a , bبحيي a , bفي هذه المجموعة. كويوا الديدداا }(a , b) = {x: a <x < b وتمثل على خط األعداد a b 7 Dr SaMeH Math 105 -2الفترة المغلقة ]:Closed interval [a , b هي مجموعة كل األعداد الحقيقية xالتي تقع بي ، a , bبما في ذلك .a , b }[a , b] = {x: a x b وتمثل على خط األعداد b 8 a Dr SaMeH Math 105 -3الفترة نصف المفتوحة م جهة اليمي )[a , b Half – open Interval from the Right هي مجموعة كل األعداد الحقيقية xالتي تقع بي ، a , bبما في ذلك الددد .a }[a , b) = {x: a x b وتمثل على خط األعداد b 9 a Dr SaMeH Math 105 -4الفترة نصف المفتوحة م جهة اليسار ](a , b Half – open Interval from the Left هي مجموعة كل األعداد الحقيقية xالتي تقع بي ، a , bبما في ذلك الددد .b }(a , b] = {x: a x b وتمثل على خط األعداد b 10 a Dr SaMeH Math 105 Unlimited intervals -5فترة عددكة نهائية )(a , ) (Infinite Interval وهي كل األعداد الحقيقية xاألكبر م الددد a }(a , ) = {x: x >a وتمثل على خط األعداد a 11 Dr SaMeH Math 105 -6فترة عددكة نهائية )(- , b) (Infinite Interval وهي كل األعداد الحقيقية xاألصغر م الددد b }(- , b) = {x: x <b وتمثل على خط األعداد b 12 Dr SaMeH Math 105 -7فترة عددكة نهائية )[a , ) (Infinite Interval وهي كل األعداد الحقيقية xاألكبر م الددد aأو تساوكه }[a , ) = {x: x a وتمثل على خط األعداد a 13 Dr SaMeH Math 105 -8فترة عددكة نهائية )(- , b] (Infinite Interval وهي كل األعداد الحقيقية xاألصغر م الددد bأو تساوكه }(-, b] = {x: x b وتمثل على خط األعداد b 14 Dr SaMeH Math 105 -9فترة عددكة نهائية )(- , ) (Infinite Interval تمثل مجموعة كل األعداد الحقيقية وتمثل على خط األعداد 15 Dr SaMeH Math 105 2.4 Solving Inequalities حل المتباينة هو إيجاد مجموعة كل األعداد الحقيقية (مجموعة الحل) التي تجعل المتباينة صحيحة. أهم العمليات الجبرية التي يمكن إجراؤها على المتباينات دون أن تحدث أي تغير في مجموعة الحل. يمكن إضافة نفس المقدار إلى طرفي المتباينة يمكن ضرب طرفي المتباينة بعدد موجب يمكن ضرب طرفي المتباينة بعدد سالب مع ضرورة عكس إتجاه إشارة المتباينة. 16 Dr SaMeH Math 105 Examples Example (1) Solve the inequality 2x -7 < 4x – 2 then explain the set of solution graphically. Solution: 2x -7 < 4x – 2 2x -4x < -2 + 7 -2x < 5 2x > -5 x > -5/2 {x:x > -5/2} = (-5/2 , ∞) Math 105 Dr SaMeH 17 Examples Example (2) Solve the inequality -5 ≤ 2x + 6 < 4 Solution: -5 ≤ 2x + 6 < 4 Add -6 to all parts -11 ≤ 2x < -2 Multiply all by ½ -11/2 ≤ x < -1 { x: -11/2 ≤ x < -1} = [-11/2 , -1) Math 105 Dr SaMeH 18 Examples )Example (3 Solve the inequality x2 - x < 6 Solution: x2 - x < 6 Add -6 to both sides x2 – x - 6 < 0 (x - 3) (x + 2) < 0 x = 3 , x = -2 )∞ (-∞ , -2) , (-2,3) , (3, ملحوظة:حل المتباينة السابقة يعني ايجاد الفترة او الفترات التي يكون عندها المقدار ) (x - 3) (x + 2أقل من الصفر (اي عندما تكون اشارته سالبة) 19 Dr SaMeH Math 105 وباختبار نقاط التقسيم الثالث التي حصلنا عليها كحل للمتباينة نجد أن الفترتين ) (-∞ , -2و )∞ (3,تعطيان مقدارا موجبا بينما الفترة ) (-2,3تعطي مقدارا سالبا يحقق المتباينة المعطاه وبالتالي: ) (-2,3هي مجموعة الحل التي تحقق المتباينة وتمثل على خط األعداد كما يلي 20 Dr SaMeH Math 105 Examples )Example (4 Solve the inequality 3x2 – x – 2 > 0 Solution: )3x2 – x – 2= (x – 1 ) (3x + 2 فإن نقطتي التقسيم هما –2 /3و 1وبالتالي فإنهما يقسمان الخط الحقيقي الى ثالث فترات هي )∞ (1,و ( )-∞, - 2/3) , )-2/3 , 1 وباخذ - 2كعدد اختبار من الفترة ) )-∞,- 2/3فإننا نجد أن إشارة المقدار ) (x – 1 ) (3x + 2تكون موجبة (أي أكبر من الصفر وبالتالي فإن هذه الفترة تكون محققة للحل. 21 Dr SaMeH Math 105 Examples وبأخد 0كعدد أختبار من الفترة ( )-2/3 , 1فإننا نجد أن إشارة المقدار ) (x – 1 ) (3x + 2تكون سالبة (أصغر من الصفر) وبالتالي فإن هذه الفترة تكون غير محققة للحل. وباخذ 2كعدد اختبار من الفترة )∞ (1 ,فإننا نجد أن إشارة المقدار ) (x – 1 ) (3x + 2تكون موجبة (أي أكبر من الصفر وبالتالي فإن هذه الفترة تكون محققة للحل. وهكذا فإن مجموعة حل المتباينة المعطاه تكون عبارة عن األعداد المنتمية إما إلى ) )-∞,- 2/3أو إلى ) ∞ .(1,وبلغة المجموعات فإن مجموعة الحل تكون عبارة عن إتحاد هاتين الفترتين. )∞ )-∞ , -2/3( (1, 22 Dr SaMeH Math 105 Examples Example (5) Solve the inequality (2x – 5) / (x-2) ≤ 1 Solution: ولذلك نعيد.من الضروري أن نجعل أحد طرفي هذه المتباينة صفرا :كتابتها كاآلتي [(2x-5( / )x-2( ] – 1 ≤ 0 [(2x-5) – (x-2( ]/ x - 2 ≤ 0 x–3/x–2≤0 Math 105 Dr SaMeH 23 Examples وبمساواة كل من البسط والمقام بالصفر فإننا نجد أن نقطتي التقسيم وهما 2,3ستقسمان الخط الحقيقي إلى ثالث فترات: )∞ [3,و ] (2,3و ) .(-∞,2وبإختبار كل من هذه الفترات فإننا نجد أن مجموعة الحل هي ].)2,3 أرسم الحل: 24 Dr SaMeH Math 105 Thanks for your attention and see you next lecture Math 105 Dr SaMeH 25