Slide 1

‫المعادالت التوزيعية (‪)Distribution functions‬‬
‫‪ ‬المعادلة التوزيعية هي عالقة توضح عدد تكرارات مختلف قيم المتغير في‬
‫مجموعة كلية محددة‪.‬‬
‫‪ ‬بمعرفة المعادلة التوزيعية فإنه يمكن تحديد نسب المفردات في حدود كل‬
‫صف حجمي‪.‬‬
‫‪ ‬هنالك معادلة توزيعية محددة هي األكثر ورودا‪.‬‬

‫‪ ‬من أشهر المعادالت التوزيعية ما يلي‪:‬‬


Slide 2

‫المعادالت التوزيعية‬

)Normal distribution( ‫ التوزيع المثالي أو النموذجي‬
)Distribution of Student’s t( ‫ توزيع ستيودينت‬
)Binomial distribution( ‫ التوزيع الثنائي‬
)Poisson distribution( ‫ توزيع بواسون‬


Slide 3

‫التوزيع المثالي أو النموذجي (‪)Normal distribution‬‬
‫‪ ‬يتم التعبير عن التوزيع المثالي أو النموذجي وفقا للمعادلة‪:‬‬


Slide 4

‫التوزيع المثالي أو النموذجي‬
‫‪ ‬العناصر المهمة لتعريف أو تحديد التوزيع المثالي هي الوسط الحسابي‬
‫واإلنحراف المعياري‪.‬‬
‫‪ ‬يكثر استعمال التوزيع المثالي ذي الشكل الذي يشبه الجرس (‪Bell-‬‬
‫‪ )shaped‬في الحاالت التي تكون فيها المتغيرات مستمرة‪.‬‬
‫‪ ‬هنالك أعداد ال نهائية لمنحنيات التوزيع النموذجي ويعرف كل منها بناء‬

‫على الوسط الحسابي واإلنحراف المحددين‪.‬‬


Slide 5

‫التوزيع المثالي أو النموذجي‬
‫‪ ‬المنحني الذي يمثل التوزيع النموذجي متماثل الشقين‬
‫(‪ )Symmetrical‬حول وسط المجموعة الكلية‪.‬‬
‫‪ ‬وهذا المنحنى مرتفع نسبيا في وسطه وينخفض إلى قيم أصغر كلما زاد‬
‫البعد عن المركز (الوسط)‪.‬‬
‫‪‬‬

‫‪ ‬من خالل دراسات عديدة اتضح أن توزيع متوسطات مرابيع العينة‬
‫للمتغيرات المستمرة (عندما تؤخذ من عينات عشوائية) تأخذ أشكاال عامة‬
‫محددة تشبه التوزيع المثالي‪.‬‬


Slide 6

‫التوزيع المثالي أو النموذجي‬
‫‪ ‬إن أكثر الصفات فائدة في التوزيع النموذجي‪-‬بصرف النظر عن الوسط‬
‫الحسابي واإلنحراف المعياري‪-‬هو توزيع المساحة الداخلية‪.‬‬
‫‪ ‬حوالي ‪ %68‬من هذه المساحة (أي من وحدات المجموعة الكلية) تقع‬
‫داخل المدى المحصور بين موجب وسالب انحراف معياري واحد‬


Slide 7

‫التوزيع المثالي أو النموذجي‬
‫‪ ‬و‪ % 95.5‬من وحدات المجموعة الكلية تقع داخل المدى المحصور بين‬
‫الوسط ناقص ضعف اإلنحراف المعياري والوسط زائد ضعف اإلنحراف‬
‫المعياري‪.‬‬
‫‪ ‬و‪ %99.7‬من مجموع الوحدات يقع في المدى المحصور بين الوسط‬
‫ناقص ثالثة أضعاف اإلنحراف المعياري والوسط زائد ثالثة أضعاف‬
‫اإلنحراف المعياري‪.‬‬


Slide 8

‫التوزيع المثالي أو النموذجي‬

‫‪ ‬في بعض األحيان عندما يراد حساب حدود المدى الذي يحتوي على‬
‫‪ %95‬من قيم متغير معين‪ ،‬فإنه من الضروري التعبير عن (‪ )x‬كإنحراف‬
‫من الوسط الحسابي للمجموعة الكلية وانحراف معياري كوحدة للقياس‪.‬‬


Slide 9

‫توزيع ستيودينت (‪)Distribution of Student’s t‬‬
‫‪ ‬هنالك ارتباط وثيق بين هذا التوزيع والتوزيع النموذجي أو المعياري‬
‫(‪.)Standard normal distribution‬‬
‫‪ ‬لنوزيع استيودينت أهمية خاصة في حساب مدى التأكد أو الثقة‬
‫(‪ )Confidence interval‬للمتوسطات التي يتم حسابها‬
‫والختبار بعض اإلفتراضات‪.‬‬


Slide 10

‫توزيع ستيودينت‬
‫‪ ‬يتم حساب توزيع (‪ )t‬كاآلتي‪:‬‬


Slide 11

‫توزيع ستيودينت‬
‫‪ ‬قيمة (‪ )t‬هي اإلنحراف للمتغير النموذجي (في هذه الحالة الوسط الحسابي)‬
‫للعينة من متوسط العينة نفسها‪.‬‬
‫‪ ‬يتم حساب توزيع (‪ )t‬بعدد درجات الحرية ( ‪Degrees of‬‬
‫‪.)freedom‬‬
‫‪ ‬بزيادة حجم العينة فإن اإلنحراف الذي يتم حسابه للعينة يميل نحو اإلنحراف‬
‫الحقيقي للمجموعة الكلية ويميل توزيع (‪ )t‬نحو التوزيع النموذجي للتفاوت‬
‫(‪ ،)z‬أي نحو التوزيع النموذجي المعياري‪.‬‬


Slide 12

‫التوزيع الثنائي (‪)Binomial distribution‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬

‫يرتبط التوزيع الثنائي (باينوميال) بمعلومات تحتوي على عدد ثابت من‬
‫المفردات يتم جمعها من مختلف وحدات المجموعة الكلية‬
‫تتميز كل وحدة بعدد من المفردات تحتوي على أو تفتقر إلى صفة معينة‬
‫يستعمل هذا النوع من التوزيع عادة عندما تكون المتغيرات غير مستمرة‬
‫(‪)Discrete variables‬‬
‫مثال‪ :‬النسبة بين األشجار المصابة واألشجار غير المصابة‬
‫يعتمد شكل توزيع باينوميال على حجم العينة (‪ )n‬ونسبة (إحتمال) الحدوث‪.‬‬


Slide 13

‫التوزيع الثنائي‬
‫‪ ‬مع زيادة حجم العينة ونقل نسبة الوحدات التي تحتوي على الصفة‬
‫المعينة نحو القيمة ‪ 0.5‬أي ‪%50‬فإن توزيع باينوميال سيصبح متماثال‬
‫(‪ )Symmetrical‬ويمكن التعامل معه في هذه الحالة كتوزيع‬
‫نموذجي (‪.)Normal distribution‬‬


Slide 14

‫توزيع بواسون (‪)Poisson distribution‬‬
‫‪ ‬يستعمل هذا النوع من التوزيع عندما تتميز مفردات الوحدات بعدد ال‬
‫يحتوي على قيمة عليا (‪ ،)upper limit‬خصوصا عندما تنعدم‬
‫الصفة أو تكون كميتها آيلة للصفر‪.‬‬
‫‪ ‬توزيع بواسون توزيع متقطع (غير مستمر) وتوجد أحيانا عالقة بينه‬
‫وبين توزيع باينوميال وذلك عندما تكون قيمة (‪ )p‬صغيرة جدا وقيمة‬
‫(‪ )n‬كبيرة جدا‪.‬‬
‫‪ ‬يهتم توزيع بواسون بتوزيع الصفات النادرة‪ ،‬مثل تعداد حشرات معينة‬
‫في منطقة محددة أو حصر أنواع شجرية أو أية نباتات أخرى نادرة‬
‫الوجود‪.‬‬


Slide 15

‫توزيع بواسون‬
‫‪ ‬في هذا التوزيع يتم حساب المتوسط بموجب المعادلة‪:‬‬


Slide 16

‫توزيع بواسون‬
‫‪ ‬ويتم حساب اإلنحراف بموجب المعادلة‪:‬‬


Slide 17

‫توزيع بواسون‬
‫‪ ‬يمكن أن يتبع توزيع بواسون التوزيع النموذجي إذا زيدت ‪p.n = M‬‬


Slide 18

‫تحويل المتغيرات‬
‫‪ ‬هنالك حاالت تستدعي إجراء بعض التغيير على المتغير ويعرف المتغير‬
‫الجديد ب "المتغير المحول (‪.)transformed variable‬‬
‫‪ ‬وتعرف العملية ب "التحويل" (‪.)transformation‬‬


Slide 19

‫تحويل المتغيرات‬
‫‪ ‬إذا كانت هنالك طريقة تتطلب عالقةً خطيةً ( ‪linear‬‬
‫‪ )relationship‬بين متغيرين فإنه من الضروري تغيير واحد من‬
‫هذين المتغيرين أو كليهما لإليفاء بما هو مطلوب‪.‬‬

‫‪ ‬على سبيل المثال فإن العالقة بين أقطار األشجار عند مستوى الصدر‬
‫وارتفاعاتها عالقة غير خطية (‪.)non-linear relationship‬‬
‫‪ ‬بتحويل لوغريثمي (‪)logarithmic transformation‬‬
‫لقيم أقطار األشجار عند مستوى الصدر يمكننا الحصول على عالقة‬
‫خطية بين المتغيرين من أجل رسم مستقيم يوضح العالقة بين االرتفاع‬
‫والقطر (‪)height-over-diameter line‬‬


Slide 20

‫تحويل المتغيرات‬
‫‪ ‬ومن الواضح أنه يسهل التعبير عن العالقة بين القطر واالرتفاع بخط‬
‫مستقيم عنه بمنحنى‪ .‬تستعمل العالقة الخطية عادةً لتحديد متوسط‬
‫االرتفاع للمشاجر الغابية‪.‬‬
‫‪ ‬الشرط األساسي في عملية التحويل هو‪ :‬أن يكون التفاوت أو التباين‬
‫(‪ )variability‬مستقالً عن المتوسط‪.‬‬
‫‪ ‬إن عملية التحويل تجعل من الممكن وضع المعلومات أو البيانات‬
‫األصلية في مقياس يجعل هذا التباين مستقالً عن المتوسط‪.‬‬


Slide 21

‫تحويل المتغيرات‬
‫‪ ‬من الممكن أيضا ً تحويل المتغير ليصبح توزيعه طبيعياً‪ ،‬وتنبع أهمية‬
‫ذلك من أن العديد من الطرق اإلحصائية تؤسس على التوزيع الطبيعي‬
‫(‪.)normal distribution‬‬
‫‪ ‬من عمليات التحويل األكثر استخداما ً‪:‬‬
‫‪ ‬التحويل عن طريق ايجاد الجذر التربيعي‪:‬‬


Slide 22

‫تحويل المتغيرات‬
‫‪ ‬التحويل اللوغريثمي‪:‬‬


Slide 23

‫تحويل المتغيرات‬
‫‪ ‬التحويل عن طريق الزوايا أو جيب تمام الزاوية‪:‬‬


Slide 24

‫تحويل المتغيرات‬
‫‪ ‬من الممكن تحويل توزيعات المساحة والحجم ذات األعداد القليلة إلى‬
‫توزيعات طبيعية بتحويلها عن طريق الجذور التربيعية‪.‬‬
‫‪ ‬يتم تحليل بيانات نماذج كهذه (في العادة) بأخذ الجذر التربيعي لكل‬
‫قيمة أوالً وقبل المواصلة في تحليل االنحراف‪.‬‬
‫‪ ‬من الممكن أيضا ً تحليل البيانات المئوية والبيانات الكسرية ذات‬
‫المقام المشترك والتي يقع مداها بين صفر و ‪ 20‬أو بين ‪ %80‬و‬
‫‪ %100‬بتحويلها إلى جذور تربيعية ( ‪square root‬‬
‫‪.)transformation‬‬


Slide 25

‫تحويل المتغيرات‬
‫‪ ‬يجب في حالة النسب المئوية الواقعة بين ‪ %80‬و ‪ %100‬طرح‬
‫القيم من ‪ 100‬قبل اجراء عملية التحويل‪.‬‬
‫‪ ‬من الممكن استخدام التحويل الجذري للحصول على عالقة خطية بين‬
‫متغيرين‪.‬‬
‫‪ ‬يستعمل التحويل عن طريق الزوايا )(‪ )arc sin (x‬أو جيوب‬
‫تمامها ()‪ )sin (x‬للبيانات ثنائية التوزيع (‪)binomial‬‬
‫المرصودة لكسور عشرية أو نسب مئوية‪.‬‬
‫ى واسعا ً‬
‫‪ ‬يوصى باستخدام هذه الطريقة عندما تغطي النسب المئوية مد ً‬
‫من القيم (البيانات)‪.‬‬