Slide 1

‫وزارة التربية‬
‫اإلدارة العامة لمنطقة مبارك الكبير التعليمية‬
‫ثانوية العدان بنات‬
‫قسم الرياضيات‬

‫المركز اإلقليمي لتطوير البرمجيات التعليمية‬

‫تطبيقات على اإلشتقاق‬
‫الصف الثاني عشر – علمي‬
‫بند (‪)3-1‬‬

‫الحصة الثانية‬
‫إعداد معلمات قسم الرياضيات‬
‫رئيسة القسم‬
‫أ‪ /‬نورة العجمي‬

‫الموجهة الفنية‬
‫مديرة المدرسة‬
‫أ‪ /‬منى المسري‬
‫دشتي‬

‫أ‪/‬فاطمة‬


Slide 2

‫البند (‪ / )3-1‬الحصة الثانية‬

‫القيم القصوى للدوال‬
‫الهدف العام‬
‫دراسة القيم القصوى للدوال‬
‫األهداف‬
‫السلوكية‬

‫‪ -1‬يحدد النقاط التى عندها قيم قصوى‬
‫‪ -2‬يحدد النقاط الطرفية‬
‫‪ -3‬يعرف النقاط الحرجةالتى عندها قيم قصوى‬


Slide 3

‫الوسائل‬
‫المستخدمة‬

‫المعلم‬

‫المتعلم‬

‫األقالم‬

‫كتاب الطالب‬

‫السبورة‬

‫كراس التمارين‬

‫داتا شو‬

‫الة حاسبة‬

‫المفردات‬
‫والمصطلحات‬

‫قيم قصوى مطلقة‬
‫قيم عظمى مطلقة‬
‫قيم صغرى مطلقة‬
‫االخطاء‬
‫المتوقعة‬


Slide 4

‫التمهيد‬


Slide 5

‫التمهيد‬

‫مساحة المربع االول= ‪𝑥 2‬‬
‫مساحة المربع الثانى= ‪(6 − 𝑥)2‬‬

‫𝑥‬

‫𝑥‪6−‬‬

‫∴ تكون )𝑥(𝑆دالة المجموع‬
‫‪𝑆 𝑥 = 2𝑥 2 − 12𝑥 + 36‬‬
‫‪6‬‬

‫‪5‬‬

‫‪4‬‬

‫‪3‬‬

‫‪2‬‬

‫‪1‬‬

‫‪0‬‬

‫𝑥‬

‫‪36‬‬

‫‪26‬‬

‫‪20‬‬

‫‪18‬‬

‫‪20‬‬

‫‪26‬‬

‫‪36‬‬

‫)𝑥(𝑆‬

‫عند قيمة ‪, 𝑥 =3‬قيمة الدالة ‪𝑆 3 = 18‬اصغر ما يمكن‬

‫ولكى تكون مجموع المساحتين اصغر ما يمكن يجب ان تكون‬
‫‪ M=3‬اى ان ‪ M‬تقع فى منتصف ‪AB‬‬


Slide 6

‫الشكل )‪:(1‬‬

‫يمثل بيان الدالة 𝒔‬

‫من دعنا نفكر ونناقش‬

‫ويتضح أن للدالة 𝒔 قيمة صغرى عند 𝟑 = 𝒙‬

‫وتسمى أيضا قيمة قصوى وفي هذه الحالة‬

‫)𝟑 (‪s( 𝒙 ) ≥ s‬‬

‫لكل 𝒙 تنتمي الى مجال 𝒔‪.‬‬

‫وهنا سنتعرف على القيم القصوى‬
‫والتي يمكن أن تكون‬
‫القيمة االصغر او القيمة االكبر للدالة‬
‫مستعينين بدراسة اشارة مشتقة الدالة ‪.‬‬


Slide 7

‫التدريس‬
‫تعريف (‪)1‬‬
‫القيم القصوى‬
‫المطلقة‬

‫اذا كانت 𝒇 دالة مجالها 𝐃 ‪, ∀ 𝒄 ∊ D,‬فان )𝑪(𝒇 تسمى ‪:‬‬
‫)‪(a‬قيمة عظمى مطلقة للدالة 𝒇 على 𝐃 عندما ‪:‬‬
‫𝒇𝑫 ∊ 𝒙 ∀ ‪𝒇(𝑪) ≥ 𝒇(𝒙) ,‬‬
‫)‪(b‬قيمة صغرى مطلقة للدالة 𝒇 على 𝐃 عندما ‪:‬‬
‫𝒇𝑫 ∊ 𝒙 ∀‪𝒇(𝑪) ≤ 𝒇(𝒙) ,‬‬

‫القيم العظمى المطلقة والقيم الصغرى المطلقة تسمى القيم القصوى المطلقة ‪.‬‬
‫تسمى القيم القصوى المطلقة بالقيم القصوى‬


Slide 8


Slide 9

‫التقييم‬

‫حاول أن تحل ص‪ 124‬رقم )‪(1‬‬

‫الشكل يمثل بيان الدالة ‪𝒚 = 𝒙𝟐 − 𝟒𝒙 + 𝟑 :‬‬
‫أوجد القيم القصوى للدالة على المجاالت التالية‬
‫]‪(𝐚) (-∞,∞) , (𝐛) [2,3‬‬
‫)‪, (c) (1,3‬‬
‫)‪, (𝐝) [3,4‬‬

‫الحل ‪:‬‬
‫(‪ )a‬لها قيمة صغرى عند 𝟐 = 𝒙‬

‫(‪ )b‬لها قيمة صغرى عند 𝟐 = 𝒙 ‪ ,‬قيمة عظمى عند 𝟑 = 𝒙‬
‫(‪ )c‬لها قيمة صغرى عند 𝟐 = 𝒙‬
‫(‪ )d‬لها قيمة صغرى عند 𝟑 = 𝒙‬


Slide 10

‫نظرية (‪)1‬‬
‫نظرية القيمة‬
‫القصوى‬

‫اذا كانت ‪ f‬دالة متصلة على فترة مغلقة [𝒃 ‪ ]𝒂,‬فان𝒇 تكون لها‬
‫قيمة عظمى مطلقة و قيمة صغرى مطلقة على هذه الفترة‬


Slide 11


Slide 12

‫شروط نظريه القيمة القصوى كافيه وليست الزمة‬
‫بمعنى ‪ :‬اذا كانت الدالة ‪ f‬ليست متصلة على [𝒃 ‪ ]𝒂,‬فان‬
‫𝒇 قد يكون لها قيم قصوى أو ال يكون ‪.‬‬
‫)𝒙(𝒇 = 𝒚‬

‫في الشكل (‪)1‬‬
‫مجال𝒇 هو [𝒃 ‪]𝒂,‬‬
‫𝒇 ليست متصلة على[𝒃 ‪]𝒂,‬‬
‫𝒇 متصلة على (𝒃 ‪)𝒂,‬‬
‫𝒇 لها قيم قصوى (عظمى وصغرى)‬

‫‪b‬‬

‫‪a‬‬

‫الشكل (‪)1‬‬

‫)𝒙(𝒈 = 𝒚‬
‫في الشكل (‪)2‬‬
‫مجال 𝒈 هو [𝒃 ‪]𝒂,‬‬
‫𝒈 ليست متصلة على [𝒃 ‪]𝒂,‬‬
‫‪b‬‬
‫𝒈 متصلة على (𝒃 ‪)𝒂,‬‬
‫𝒈 ليس لها قيم قصوى (عظمى وصغرى)‬

‫‪a‬‬

‫الشكل (‪)2‬‬


Slide 13

‫نالحظ أن القيم القصوى المطلقة يمكن أن تكون‬

‫طرفية‬

‫)𝒙(ˋ𝒇‬
‫غير موجودة‬

‫داخلية (حرجة)‬

‫𝟎 = )𝒙(ˋ𝒇‬

‫)𝒙(ˋ𝒇‬
‫غير موجودة‬

‫𝟎 = )𝒙(ˋ𝒇‬

‫خطوات إيجاد القيم القصوى المطلقة للدالة 𝒇 في الفترة [𝒃 ‪]𝒂,‬‬
‫‪(1‬إيجاد قيم الدالة عند النقاط الطرفية ‪𝒙 = 𝒃 :‬‬
‫‪(2‬إيجاد النقاط الحرجة للدالة 𝒇 في الفترة 𝒃‪𝒂,‬‬

‫‪𝒙=𝒂 ,‬‬
‫إن وجدت ‪.‬‬

‫‪(3‬أكبر قيمة للدالة في الخطوتين )‪(1),(2‬هي قيمة عظمى مطلقة في [𝒃 ‪]𝒂,‬‬
‫واصغر قيمة للدالة هي قيمة صغرى مطلقة في [𝒃 ‪. ]𝒂,‬‬


Slide 14

‫مثال (‪)1‬‬

‫كتاب الطالب ص ‪128‬مثال )‪(3‬‬

‫اوجد القيم القصوى المطلقة للدالة المتصلة 𝒇 فى الفترة ]‪[0,3‬‬
‫الحل ‪:‬‬

‫𝟏 ‪𝒇 𝒙 = 𝒙 𝟑 − 𝟑𝒙 +‬‬
‫نوجد قيم الدالة عند النقاط الطرفية 𝟑 = 𝒙 ‪𝒙 = 𝟎 ,‬‬

‫𝟏 = 𝟏 ‪𝒇 𝟎 = (𝟎)𝟑 − 𝟑 𝟎 +‬‬
‫𝟗𝟏 = 𝟏 ‪𝒇 𝟑 = (𝟑)𝟑 − 𝟑 𝟑 +‬‬
‫𝟑 ‪𝒇ˋ 𝒙 = 𝟑𝒙𝟐 −‬‬
‫نضع‬

‫𝟎 = 𝟑 ‪𝟑𝒙𝟐 −‬‬

‫𝟑 = 𝟐𝒙𝟑‬
‫)𝟑 ‪𝟏 ∈ (𝟎,‬‬

‫)𝟑 ‪−𝟏 ∉ (𝟎,‬‬

‫𝟎 = )𝒙(ˋ𝒇‬

‫‪∴𝒙=𝟏 ,‬‬

‫𝟏 = 𝟐𝒙‬

‫‪∴ 𝒙 = −𝟏 ,‬‬
‫𝟏‪𝒇 𝟏 = (𝟏)𝟑 − 𝟑 𝟏 + 𝟏 = −‬‬


Slide 15

‫∴ النقطة )‪ (1,-1‬نقطة حرجة‬

‫‪3‬‬

‫‪1‬‬

‫‪0‬‬

‫𝒙‬

‫‪19‬‬

‫‪-1‬‬

‫‪1‬‬

‫)𝒙(𝒇‬

‫من الجدول ‪:‬‬
‫اكبر قيمة للدالة 𝒇 فى الفترة ]‪ [0,3‬هى ‪19‬‬
‫∴‪19‬‬

‫قيمة عظمى مطلقة‬

‫اصغر قيمة للدالة 𝒇 فى الفترة ]‪ [0,3‬هى ‪-1‬‬
‫∴ 𝟏‪ -‬قيمة صغرى مطلقة‬


Slide 16

‫حاول أن تحل‬
‫ص ‪128‬رقم )‪(3‬‬

‫اوجد القيم القصوى المطلقة للدالة المتصلة ‪f‬فى الفترة ]‪[-2,1‬‬
‫𝟏 ‪𝒇 𝒙 = 𝒙𝟑 − 𝟑𝒙 +‬‬
‫الحل ‪:‬‬

‫نوجد قيم الدالة عند النقاط الطرفية 𝟏 = 𝒙‪𝒙 = −𝟐 ,‬‬
‫𝟏‪𝒇 𝟎 = (−𝟐)𝟑 − 𝟑 −𝟐 + 𝟏 = −‬‬
‫𝟏‪𝒇 𝟏 = (𝟏)𝟑 − 𝟑 𝟏 + 𝟏 = −‬‬
‫𝟏 ‪𝒇 𝒙 = 𝒙𝟑 − 𝟑𝒙 +‬‬
‫𝟑 ‪𝒇ˋ (𝒙) = 𝟑𝒙𝟐 −‬‬
‫𝟎 = )𝟏 ‪𝟑(𝒙𝟐 −‬‬

‫𝟎 = )𝒙( ˋ𝒇‬

‫نضع‬

‫𝟎 = )𝟏 ‪(𝒙 − 𝟏)(𝒙 +‬‬
‫)𝟏 ‪𝟏 ∉ (−𝟐,‬‬
‫)𝟏 ‪−𝟏 ∈ (−𝟐,‬‬

‫‪∴𝒙=𝟏 ,‬‬
‫‪∴ 𝒙 = −𝟏 ,‬‬

‫𝟑 = 𝟏 ‪𝒇 −𝟏 = (−𝟏)𝟑 − 𝟑 −𝟏 +‬‬


Slide 17

‫∴ النقطة )‪ (-1,3‬نقطة حرجة‬
‫‪1‬‬

‫‪-1‬‬

‫‪-2‬‬

‫𝒙‬

‫‪-1‬‬

‫‪3‬‬

‫‪-1‬‬

‫)𝒙(𝒇‬

‫من الجدول ‪:‬‬
‫اكبر قيمة للدالة 𝒇 فى الفترة ]‪ [2,1‬هى ‪3‬‬
‫∴ ‪3‬‬

‫قيمة عظمى مطلقة‬

‫اصغر قيمة للدالة 𝒇فى الفترة ]‪ [-2,1‬هى ‪-1‬‬
‫∴ 𝟏‪ -‬قيمة صغرى مطلقة‬


Slide 18

‫الخاتمة‬

‫كراس التمارين‬
‫(موضوعي) ص ‪51‬رقم )‪(6‬‬

‫ظلل رمز الدائرة الدال على االجابة الصحيحة‬

‫‪ (6‬لتكن │𝒙│ = 𝒚 فان الدالة 𝒚 ‪:‬‬

‫‪a‬‬

‫لها قيمة عظمى مطلقة فقط ‪.‬‬

‫‪b‬‬

‫لها قيمة صغرى مطلقة فقط‬

‫‪c‬‬

‫لها قيمة عظمى مطلقة وقيمة صغرى مطلقة‪.‬‬

‫‪d‬‬

‫ليس لها قيمة عظمى مطلقة وقيمة صغرى مطلقة‪.‬‬


Slide 19

‫التطبيق‬

‫كراس التمارين ص ‪50‬‬
‫)‪(1-6) , (10‬‬