Transcript حل المعادلات و المتباينات
Slide 1
1
Slide 2
األهداف السلوكية
بند ()1-7
• يتعرف مفهوم المعادلة من الدرجة األولى في متغير واحد .
• يحل معادلة من الدرجة األولى في متغير واحد باستخدام العملية العكسية .
• يتحقق من صحة حل المعادلة .
بند ()2-7
•يتعرف مفهوم معادلة من الدرجة الثانية في متغير واحد.
• يميز بين معادلة الدرجة األولى ومعادلة الدرجة الثانية في متغير واحد .
• يذكر خاصية الضرب في صفر .
•يحل معادلة من الدرجة الثانية في متغير واحد .
• يتحقق من صحة الحل .
بند ()3-7
• يتعرف المتباينة من الدرجة األولى في متغير واحد .
• يكتب المعادلة المرتبطة ( المناظرة) للمتباينة .
• يحل متباينة من الدرجة األولى في متغير واحد باستخدام عملية التعويض .
• يوظف حل المتباينات في حل مسائل حياتية .
2
Slide 3
بند ()4-7
• يستنتج خواص عالقة التباين.
• يحل متباينة من الدرجة األولى في متغير واحد موظفا ً خواص
التباين .
• يعبر لفظيا ً عن مجموعة حل المتباينة .
•يكتب مجموعة حل المتباينة بالصفة المميزة .
3
Slide 4
4
Slide 5
المعادالت
الوحدة السابعة (أ)
( )1-7حل معادلة من الدرجة األولى في متغير واحد
المعادلة هي متساوية بين طرفين طرف أيمن و طرف أيسر يحتوي
أحد الطرفين أو كليهما على مجهول (رمز) أو أكثر .
حل المعادلة معناه إيجاد قيمة أو قيم المجهول (الرمز) الذي يحقق
تساوي الطرفين .
12
س
س
س
ودرجة المعادلة ُتحدد عن طريق أكبر قوة للرمز (س مثالً) في المعادلة
1
3س = 12
معادلة من الدرجة األولى
في متغير واحد
ص2 + 2ص = 10
معادلة من الدرجة الثانية
في متغير واحد
2ب3ـــ5ب 9 =1 +
معادلة من الدرجة الثالثة في
متغير واحد
2س +ص = 4
معادلة من الدرجة األولى
في متغيرين
و سوف نستخدم العمليات العكسية في حل معادالت من الدرجة األولى في متغير واحد.
5
Slide 6
س
6 = 5
الحل
س
5
×5×6 = 5
س
استخدام العملية العكسية لعملية القسمة وهي الضرب
= 30
س
6 = 5
30
6 = 5
6 = 6
6
Slide 7
الحل
50
50
باستخدام العملية العكسية لعملية الضرب وهي القسمة
7
Slide 8
الحل
س) = (+19ــ )5
2س 5-2(+ 5 +
= 14
2 × 1س
2
إضافة المعكوس الجمعي ( )5-إلى طرفي المعادلة
الضرب في المعكوس الضربى لمعامل س في طرفي المعادلة
= 14 × 1
2
س = 7
التحقق
7
عبارة صحيحة
8
Slide 9
الحل
2.100 -
2.1001
2
1
2
إضافة المعكوس الجمعي
( ـــ )2.100إلى طرفي
المعادلة
الضرب في المعكوس الضربي
لمعامل س في طرفي المعادلة
9
Slide 10
الحل
∈ن
∈ن
10
Slide 11
الحل
4س 7 – 2س = 0
س ( 4س – 0 =) 7
أو
4س–0= 7
س=0
أو
س = ∈0ن
أو
4س=7
س= 7
4
س=0
∈ن
11
Slide 12
أوجد مجموعة حل المعادلة :س 9 = 2حيث س ∈ ن
الحل
س9 = 2
س 2ــــ 0 =9
(س ــــ ( ) 3س 0 =) 3 +
(س ــــ ( ) 3س 0 =) 3 +
س ــــ 0 = 3
س=∈ 3ن
س0=3 +
س = ـــ ∈ 3ن
مجموعة الحل = ، 3 ــ 3
12
Slide 13
أوجد مجموعة حل المعادلة ( :ص 2) 2 +ـــ 0 = 25حيث ص ∈ ن
الحل
أو
∈ن
أو
∈ن
13
Slide 14
(5س)1+سم
المرشد لحل المسائل ()2-7
ب
أ
(5س)3+سم
الحل
مساحة المربع الصغير (5س5( )1+س)1+
مساحة المربع الكبير (5س5( )3+س)3+
الفرق بين المساحتين = 28سم
2
=(5س 2)1+سم2
=(5س 2)3+سم2
تذكر
مساحة المنطقة
المربعة = طول
الضلع × نفسه
(5س 2)3+ــــ (5س28 = 2)1+
[(5س5(+)3+س5([ ])1+س )3+ـــ (5س28 = ])1+
[5س5+3+س5[ ]1 +س 3+ـــ 5س ــ28 = ]1
14
Slide 15
(10س 28 = 2 × )4+
20س 8 +ـــ 28 = 8ـــ 8
20س = 20
20
20
س = 1
إضافة المعكوس الجمعي ( )8-إلى طرفي المعادلة
استخدام العملية العكسية للضرب وهي القسمة
طول ضلع المربع الصغير= 5س 6 = 1 + 1 × 5 = 1+سم
طول ضلع المربع الكبير= 5س 8 = 3 + 1 × 5 = 3+سم
الفرق بين المساحتين = ( 2)8ــــ ( 64 = 2)6ـــ = 36
28سم2
15
Slide 16
أوجد عدداً غير صفري يساوي مثلي مربعه
بفرض العدد س
∴ مربعه
∴ مثلي مربعه
س2
س=2
س2
2س 2ـــ س = 0
التحليل بإخراج العامل المشترك
س (2س ـــ 0 = )1
س = 0مستبعد أو
∴ العدد هو
1
2
2س2
2س ـــ 0 = 1
2س = 1
س= 1
2
التحقق
( 2) 1
×2 = 1
2
1 × 2 = 12
4
2
1 = 1
عبارة صحيحة
2
2
16
Slide 17
الوحدة السابعة (ب)
( 7ــــ )3
من المعلوم أن رموز عالقات التباين هي
>≤، <،≥،
و الجمل التي تستخدم هذه الرموز تسمى متباينات
للمعادلة س 5 = 2 +حل واحد هو س = 3
ولكن المتباينة س < 3حلول عديدة مثل 1.5 - ، 2.1 ، 1ولكن 3ليس حالً
للمتباينة ومن المستحيل تنظيم قائمة بكل الحلول ألنها قد تكون غير منتهية
كذلك المتباينة س ≤ 3حلول عديدة تبدأ بالعدد 3ومنها ، 4.1- ، 2.5الصفر ومن
المستحيل تنظيم قائمة بكل الحلول
كل متباينة لها معادلة مرتبطة بها وهي التي تنشأ باستبدال رمز التباين برمز
التساوي.
17
Slide 18
س ــــ 5 + 3 = 5 + 5
نضيف 5إلى كل طرف
س = 8
عبارة خطأ
عبارة صحيحة
∴ كل عدد أكبر من 8هو حل للمتباينة س ـــ 3 > 5
18
Slide 19
نفرض أن عدد النوافذ = س فيكون إجمالي تكلفة تركيب النوافذ 10س
10س 25 +ـــ 100 = 25ـــ 25
10 × 1س = 75 × 1
10
10
س = 7.5 = 75
10
نضيف (ـــ )25من الطرفين
بالضرب في النظير الضربي لمعامل س
نجرب عدداً أصغر من 7.5وآخر أكبر من 7.5
19
Slide 20
100> 25+ 10×10
100 >25+100
100 > 125
20
100> 25+ 5×10
100 >25+50
100 > 75
Slide 21
المرشد لحل المسائل ()3-7
صلت في أول امتحانين لمادة الرياضيات على 75درجة و 82درجة فكم درجة يجب أن تحصل
ح ُ
عليها في االمتحان القادم إذا كنت تريد متوسطا ً ال يقل عن 80درجة ؟
س82+75+
3
س157+
3
نكتب المعادلة المرتبطة
س157+
3
س157+
س 157+
س
تذكر
المتوسط الحسابي
لمجموعة من القيم =
مجموع القيم
عددها
21
Slide 22
80
80
80
22
157 + 86
3
243
3
81
80
80
80
157 +77
3
234
3
78
Slide 23
( 7ــــ )4
إذا كان أ > ب فإن أ +جـ > ب +جـ
أ ـــ جــ > ب ـــ جـ
إذا كان أ > ب ،جـ > 0فإن أ جـ > ب جـ
إذا كان أ< ب ،جـ > 0فإن أ جـ < ب جـ
إذا كان أ < ب فإن أ +جـ < ب +جـ
أ ـــ جــ < ب ـــ جـ
إذا كان أ > ب ،جـ < 0فإن أ جـ < ب جـ
حيث أ ،ب ،جـ أعداداً نسبية
إذا كان أ< ب ،جـ < 0فإن أ جـ > ب جـ
حيث أ ،ب ،جـ أعداداً نسبية
إذا جمعت أو طرحت العدد نفسه من
طرفي متباينة فإن العالقة بين الطرفين
ال تتغير
عندما نضرب طرفي متباينة في عدد
موجب ال تتغير العالقة بين طرفي المتباينة
وتعكس هذه العالقة عند الضرب في عدد
سالب
23
Slide 24
نضيف (ــ )5للطرفين
تذكر
الضرب في
عدد سالب
يعكس عالقة
التباين
<
<
24
Slide 25
و يمكن كتابة مجموعة الحل باستخدام التعبير عن
المجموعة بالصفة المميزة
مجموعة الحل = { أ :أ < ـــ ، 6أ ∈ ن }
25
Slide 26
الضرب في المعكوس الضربى لمعامل س في
طرفي المعادلة
26
Slide 27
27
1
Slide 2
األهداف السلوكية
بند ()1-7
• يتعرف مفهوم المعادلة من الدرجة األولى في متغير واحد .
• يحل معادلة من الدرجة األولى في متغير واحد باستخدام العملية العكسية .
• يتحقق من صحة حل المعادلة .
بند ()2-7
•يتعرف مفهوم معادلة من الدرجة الثانية في متغير واحد.
• يميز بين معادلة الدرجة األولى ومعادلة الدرجة الثانية في متغير واحد .
• يذكر خاصية الضرب في صفر .
•يحل معادلة من الدرجة الثانية في متغير واحد .
• يتحقق من صحة الحل .
بند ()3-7
• يتعرف المتباينة من الدرجة األولى في متغير واحد .
• يكتب المعادلة المرتبطة ( المناظرة) للمتباينة .
• يحل متباينة من الدرجة األولى في متغير واحد باستخدام عملية التعويض .
• يوظف حل المتباينات في حل مسائل حياتية .
2
Slide 3
بند ()4-7
• يستنتج خواص عالقة التباين.
• يحل متباينة من الدرجة األولى في متغير واحد موظفا ً خواص
التباين .
• يعبر لفظيا ً عن مجموعة حل المتباينة .
•يكتب مجموعة حل المتباينة بالصفة المميزة .
3
Slide 4
4
Slide 5
المعادالت
الوحدة السابعة (أ)
( )1-7حل معادلة من الدرجة األولى في متغير واحد
المعادلة هي متساوية بين طرفين طرف أيمن و طرف أيسر يحتوي
أحد الطرفين أو كليهما على مجهول (رمز) أو أكثر .
حل المعادلة معناه إيجاد قيمة أو قيم المجهول (الرمز) الذي يحقق
تساوي الطرفين .
12
س
س
س
ودرجة المعادلة ُتحدد عن طريق أكبر قوة للرمز (س مثالً) في المعادلة
1
3س = 12
معادلة من الدرجة األولى
في متغير واحد
ص2 + 2ص = 10
معادلة من الدرجة الثانية
في متغير واحد
2ب3ـــ5ب 9 =1 +
معادلة من الدرجة الثالثة في
متغير واحد
2س +ص = 4
معادلة من الدرجة األولى
في متغيرين
و سوف نستخدم العمليات العكسية في حل معادالت من الدرجة األولى في متغير واحد.
5
Slide 6
س
6 = 5
الحل
س
5
×5×6 = 5
س
استخدام العملية العكسية لعملية القسمة وهي الضرب
= 30
س
6 = 5
30
6 = 5
6 = 6
6
Slide 7
الحل
50
50
باستخدام العملية العكسية لعملية الضرب وهي القسمة
7
Slide 8
الحل
س) = (+19ــ )5
2س 5-2(+ 5 +
= 14
2 × 1س
2
إضافة المعكوس الجمعي ( )5-إلى طرفي المعادلة
الضرب في المعكوس الضربى لمعامل س في طرفي المعادلة
= 14 × 1
2
س = 7
التحقق
7
عبارة صحيحة
8
Slide 9
الحل
2.100 -
2.1001
2
1
2
إضافة المعكوس الجمعي
( ـــ )2.100إلى طرفي
المعادلة
الضرب في المعكوس الضربي
لمعامل س في طرفي المعادلة
9
Slide 10
الحل
∈ن
∈ن
10
Slide 11
الحل
4س 7 – 2س = 0
س ( 4س – 0 =) 7
أو
4س–0= 7
س=0
أو
س = ∈0ن
أو
4س=7
س= 7
4
س=0
∈ن
11
Slide 12
أوجد مجموعة حل المعادلة :س 9 = 2حيث س ∈ ن
الحل
س9 = 2
س 2ــــ 0 =9
(س ــــ ( ) 3س 0 =) 3 +
(س ــــ ( ) 3س 0 =) 3 +
س ــــ 0 = 3
س=∈ 3ن
س0=3 +
س = ـــ ∈ 3ن
مجموعة الحل = ، 3 ــ 3
12
Slide 13
أوجد مجموعة حل المعادلة ( :ص 2) 2 +ـــ 0 = 25حيث ص ∈ ن
الحل
أو
∈ن
أو
∈ن
13
Slide 14
(5س)1+سم
المرشد لحل المسائل ()2-7
ب
أ
(5س)3+سم
الحل
مساحة المربع الصغير (5س5( )1+س)1+
مساحة المربع الكبير (5س5( )3+س)3+
الفرق بين المساحتين = 28سم
2
=(5س 2)1+سم2
=(5س 2)3+سم2
تذكر
مساحة المنطقة
المربعة = طول
الضلع × نفسه
(5س 2)3+ــــ (5س28 = 2)1+
[(5س5(+)3+س5([ ])1+س )3+ـــ (5س28 = ])1+
[5س5+3+س5[ ]1 +س 3+ـــ 5س ــ28 = ]1
14
Slide 15
(10س 28 = 2 × )4+
20س 8 +ـــ 28 = 8ـــ 8
20س = 20
20
20
س = 1
إضافة المعكوس الجمعي ( )8-إلى طرفي المعادلة
استخدام العملية العكسية للضرب وهي القسمة
طول ضلع المربع الصغير= 5س 6 = 1 + 1 × 5 = 1+سم
طول ضلع المربع الكبير= 5س 8 = 3 + 1 × 5 = 3+سم
الفرق بين المساحتين = ( 2)8ــــ ( 64 = 2)6ـــ = 36
28سم2
15
Slide 16
أوجد عدداً غير صفري يساوي مثلي مربعه
بفرض العدد س
∴ مربعه
∴ مثلي مربعه
س2
س=2
س2
2س 2ـــ س = 0
التحليل بإخراج العامل المشترك
س (2س ـــ 0 = )1
س = 0مستبعد أو
∴ العدد هو
1
2
2س2
2س ـــ 0 = 1
2س = 1
س= 1
2
التحقق
( 2) 1
×2 = 1
2
1 × 2 = 12
4
2
1 = 1
عبارة صحيحة
2
2
16
Slide 17
الوحدة السابعة (ب)
( 7ــــ )3
من المعلوم أن رموز عالقات التباين هي
>≤، <،≥،
و الجمل التي تستخدم هذه الرموز تسمى متباينات
للمعادلة س 5 = 2 +حل واحد هو س = 3
ولكن المتباينة س < 3حلول عديدة مثل 1.5 - ، 2.1 ، 1ولكن 3ليس حالً
للمتباينة ومن المستحيل تنظيم قائمة بكل الحلول ألنها قد تكون غير منتهية
كذلك المتباينة س ≤ 3حلول عديدة تبدأ بالعدد 3ومنها ، 4.1- ، 2.5الصفر ومن
المستحيل تنظيم قائمة بكل الحلول
كل متباينة لها معادلة مرتبطة بها وهي التي تنشأ باستبدال رمز التباين برمز
التساوي.
17
Slide 18
س ــــ 5 + 3 = 5 + 5
نضيف 5إلى كل طرف
س = 8
عبارة خطأ
عبارة صحيحة
∴ كل عدد أكبر من 8هو حل للمتباينة س ـــ 3 > 5
18
Slide 19
نفرض أن عدد النوافذ = س فيكون إجمالي تكلفة تركيب النوافذ 10س
10س 25 +ـــ 100 = 25ـــ 25
10 × 1س = 75 × 1
10
10
س = 7.5 = 75
10
نضيف (ـــ )25من الطرفين
بالضرب في النظير الضربي لمعامل س
نجرب عدداً أصغر من 7.5وآخر أكبر من 7.5
19
Slide 20
100> 25+ 10×10
100 >25+100
100 > 125
20
100> 25+ 5×10
100 >25+50
100 > 75
Slide 21
المرشد لحل المسائل ()3-7
صلت في أول امتحانين لمادة الرياضيات على 75درجة و 82درجة فكم درجة يجب أن تحصل
ح ُ
عليها في االمتحان القادم إذا كنت تريد متوسطا ً ال يقل عن 80درجة ؟
س82+75+
3
س157+
3
نكتب المعادلة المرتبطة
س157+
3
س157+
س 157+
س
تذكر
المتوسط الحسابي
لمجموعة من القيم =
مجموع القيم
عددها
21
Slide 22
80
80
80
22
157 + 86
3
243
3
81
80
80
80
157 +77
3
234
3
78
Slide 23
( 7ــــ )4
إذا كان أ > ب فإن أ +جـ > ب +جـ
أ ـــ جــ > ب ـــ جـ
إذا كان أ > ب ،جـ > 0فإن أ جـ > ب جـ
إذا كان أ< ب ،جـ > 0فإن أ جـ < ب جـ
إذا كان أ < ب فإن أ +جـ < ب +جـ
أ ـــ جــ < ب ـــ جـ
إذا كان أ > ب ،جـ < 0فإن أ جـ < ب جـ
حيث أ ،ب ،جـ أعداداً نسبية
إذا كان أ< ب ،جـ < 0فإن أ جـ > ب جـ
حيث أ ،ب ،جـ أعداداً نسبية
إذا جمعت أو طرحت العدد نفسه من
طرفي متباينة فإن العالقة بين الطرفين
ال تتغير
عندما نضرب طرفي متباينة في عدد
موجب ال تتغير العالقة بين طرفي المتباينة
وتعكس هذه العالقة عند الضرب في عدد
سالب
23
Slide 24
نضيف (ــ )5للطرفين
تذكر
الضرب في
عدد سالب
يعكس عالقة
التباين
<
<
24
Slide 25
و يمكن كتابة مجموعة الحل باستخدام التعبير عن
المجموعة بالصفة المميزة
مجموعة الحل = { أ :أ < ـــ ، 6أ ∈ ن }
25
Slide 26
الضرب في المعكوس الضربى لمعامل س في
طرفي المعادلة
26
Slide 27
27