Transcript Ø - التوجيه الفني للرياضيات في الجهراء

‫وزارة التربية‬
‫منطقة الجهراء التعليمية‬
‫ثانوية الجهراء بنين‬
‫التوجيه الفني للرياضيات‬
‫قسم الرياضيات‬
‫يقدم‬
‫المتباينات والبرمجة الخطية‬
‫المحتوى‬
‫)‪(1‬المتباينات‪:‬‬
‫( أ ) المتباينة من الدرجة األولى في متغيرين‬
‫(ب) منطقة الحل لمتباينة من الدرجة األولى في متغيرين بيانيا‬
‫(جـ) منطقة الحل المشترك لمتباينتين أو أكثر من الدرجة األولى في متغيرين‬
‫( تقديم األستاذ‪ :‬محمد عبد المولى )‬
‫بيانيا‬
‫(‪ )2‬البرمجة الخطية ‪:‬‬
‫(أ) صياغة النموذج الرياضي لمسألة البرمجة الخطية‬
‫(ب) إيجاد الحل األمثل بيانيا لنموذج برمجة خطية في متغيرين باستخدام‬
‫طريقة الرسم أو طريقة التعويض‬
‫(تقديم األستاذ ‪ :‬محمد فرحان سعدي )‬
‫(‪ )3‬فقرة إثرائية‬
‫( تقديم رئيس القسم األستاذ ‪ :‬ماهر حامد )‬
‫(المتباينات)‬
‫(‪ )1‬المتباينة من الدرجة األولى في متغيرين‬
‫تأخذ المتباينة من الدرجة األولى في متغيرين أحد األشكال التالية‪:‬‬
‫)‪(1‬أ س ‪+‬ب ص < جـ‬
‫(‪ )2‬أ س ‪+‬ب ص ≤ جـ‬
‫(‪ )3‬أ س ‪ +‬ب ص > جـ‬
‫(‪ )4‬أ س ‪ +‬ب ص ≥ جـ‬
‫حيث إن أ ‪ ،‬ب ‪ ،‬جـ ثوابت وكل من س ‪ ،‬ص متغيرات مرفوعة إلى األس واحد‬
‫أمثلة‪:‬‬
‫بين أي من المتباينات من الدرجة األولى في متغيرين‬
‫)‪2(1‬س ‪5+‬ص ≤ ‪10‬‬
‫)‪ 5 (2‬س‪ 4 -‬ص‪9 > 2‬‬
‫)‪9 (3‬س ≥ ‪18‬‬
‫الحل‬
‫(‪)1‬متباينة من الدرجة األولى في متغيرين‬
‫(‪ )2‬ليست من الدرجة األولى ألن ص مرفوعة إلى األس ‪2‬‬
‫(‪ )3‬من الدرجة األولى في متغير واحد لكن يمكن اعتبارها في متغيرين ‪:‬‬
‫منطقة الحل لمتباينة من الدرجة األولى في متغيرين بيانيا‬
‫إليجاد منطقة الحل للمتباينة من الدرجة األولى في متغيرين نتبع ما يلي‪:‬‬
‫( أوال ) نرسم خط الحدود للمتباينة وهو الخط المستقيم الذي معادلته‬
‫و نميز حالتين لخط الحدود ‪:‬‬
‫( أ س ‪ +‬ب ص = جـ )‬
‫(‪ )1‬يكون خط الحدود بشكل متصل في حالة أي من المتباينتين ‪:‬‬
‫أ س ‪ +‬ب ص ≥ جـ‬
‫أ س ‪ +‬ب ص ≤ جـ‬
‫(‪ )2‬يكون خط الحدود بشكل متقطع في حالة أي من المتباينتين ‪:‬‬
‫أ س ‪ +‬ب ص < جـ‬
‫أ س ‪ +‬ب ص > جـ‬
‫( ثانيا ) نقوم بالتعويض بنقطة من المستوى اإلحداثي لتحديد أي من الجانبين يمثل منطقة الحل‬
‫للمتباينة‬
‫أمثلة ‪:‬‬
‫‪2‬س ‪ +‬ص ≤ ‪ 4‬معادلة خط الحدود هي ‪2‬س ‪ +‬ص =‪ 4‬ويكون بشكل متصل‬
‫‪3‬س ‪5 -‬ص > ‪ 0‬معادلة خط الحدود هي ‪3‬س ‪5 -‬ص =‪ 0‬ويكون بشكل متقطع‬
‫مثال (‪:)1‬‬
‫مثل بيانيا منطقة الحل للمتباينة‬
‫‪2‬س ‪ +‬ص ≤ ‪4‬‬
‫الحل‪:‬‬
‫(‪ )1‬نرسم معادلة خط الحدود ‪:‬‬
‫‪2‬س ‪ +‬ص = ‪ 4‬وهي معادلة مستقيم يكفي لرسمه تعيين نقطتين‬
‫س‬
‫ص‬
‫‪0‬‬
‫‪4‬‬
‫‪2‬‬
‫‪0‬‬
‫(‪ )2‬لتحديد منطقة الحل للمتباينة نأخذ نقطة من المستوى اإلحداثي‬
‫وإذا اخترنا النقطة (‪ )0،0‬وعوضنا في المتباينة نجد ‪:‬‬
‫‪4 ≤ 0 + 0 ×2‬‬
‫وهي عبارة صحيحة‬
‫‪4 ≤0‬‬
‫إذن نقطة األصل تنتمي إلى منطقة الحل‬
‫واآلن لنمثل منطقة الحل للمتباينة في المستوى اإلحداثي‬
‫ص‬
‫‪4‬‬
‫‪3‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫س‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫و‬
‫مثال (‪)2‬‬
‫مثل بيانيا منطقة الحل للمتباينة‬
‫‪3‬س – ‪ 5‬ص > ‪0‬‬
‫الحل‪:‬‬
‫(‪ )1‬نرسم معادلة خط الحدود‬
‫‪3‬س – ‪5‬ص = ‪ 0‬يكفي لرسمه تعيين نقطتين‬
‫س‬
‫‪0‬‬
‫ص‬
‫‪0‬‬
‫‪1‬‬
‫‪3‬‬
‫‪5‬‬
‫─‬
‫نعوض في معادلة خط الحدود‬
‫‪5- 1×3‬ص =‪0‬‬
‫‪5‬ص =‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫ص=‬
‫─‬
‫‪5‬‬
‫(‪ )2‬لتحديد منطقة الحل للمتباينة نأخذ نقطة من المسوى اإلحداثي ولكن ال‬
‫نستطيع أخذ نقطة األصل ألنها تنتمي لخط الحدود فلتكن النقطة (‪)0،1‬بالتعويض‬
‫‪0 >0 ×5 - 1×3‬‬
‫‪ 0 > 3‬عبارة صحيحة وبالتالي النقطة (‪ )0،1‬تنتمي إلى منطقة الحل‬
‫واآلن لنمثل منطقة الحل للمتباينة في المستوى اإلحداثي‬
‫ص‬
‫‪3‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫س‬
‫‪3‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫و‬
‫منطقة الحل المشترك لمتباينتين أو أكثر من الدرجة األولى في متغيرين بيانيا‬
‫بيانيا ‪:‬‬
‫خطوات إيجاد منطقة الحل المشترك‬
‫(‪ )1‬نرسم خط الحدود لكل متباينة في نفس المستوى‬
‫(‪ )2‬نحدد منطقة الحل لكل متباينة‬
‫(‪ )3‬نوجد منطقة الحل المشترك والتي تتكون من جميع النقاط (س‪،‬ص)‬
‫التي تنتمي إلى منطقة الحل لكل من المتباينتين (المتباينات)‬
‫مثال ‪:‬‬
‫مثل بيانيا منطقة الحل المشترك للمتباينتين‬
‫س ‪3 +‬ص ≥ ‪9‬‬
‫‪3‬س ‪2-‬ص > ‪6‬‬
‫الحل ‪:‬‬
‫(‪ )1‬نرسم خط الحدود لكل من المتباينتين‬
‫س ‪3+‬ص = ‪ 9‬يكفي لرسمه تعيين نقطتين‬
‫(أ)‬
‫س‬
‫‪0‬‬
‫‪9‬‬
‫ص‬
‫‪3‬‬
‫‪0‬‬
‫نأخذ نقطة األصل (‪ )0 ، 0‬ونعوض بالمتباينة لتحديد منطقة الحل ‪9 ≥0×3+0‬‬
‫‪ 9 ≥ 0‬وهي عبارة خاطئة فإن نقطة األصل ال تنتمي إلى منطقة الحل‬
‫‪3‬س ‪2-‬ص = ‪ 6‬يكفي لرسمه تعيين نقطتين‬
‫(ب)‬
‫س‬
‫‪0‬‬
‫ص‬
‫‪3-‬‬
‫‪2‬‬
‫‪0‬‬
‫نأخذ نقطة األ صل (‪ )0 ، 0‬ونعوض بالمتباينة لتحديد منطقة الحل‬
‫‪6 >0×2- 0×3‬‬
‫‪ 6 > 0‬وهي عبارة خاطئة فإن نقطة األصل ال تنتمي إلى منطقة الحل‬
‫ص‬
‫‪3‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫س‬
‫‪9‬‬
‫‪8‬‬
‫‪7‬‬
‫‪6‬‬
‫‪5‬‬
‫‪4‬‬
‫‪3‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫و‬
‫‪1‬‬‫‪2-‬‬
‫‪3-‬‬
‫مثال ‪:‬‬
‫مثل بيانيا منطقة الحل المشترك للمتباينات‬
‫س‪+‬ص≥‪1‬‬
‫س–ص≤‪2‬‬
‫‪3‬س ‪4 +‬ص ≤ ‪12‬‬
‫الحل‪:‬‬
‫نرسم خط الحدود للمتباينات الثالث‬
‫ل ‪ :‬س ‪ +‬ص=‪1‬‬
‫س‬
‫‪0‬‬
‫ص ‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪0‬‬
‫‪،‬‬
‫ل‪ :‬س – ص=‪2‬‬
‫س‬
‫ص‬
‫‪0‬‬
‫‪2-‬‬
‫‪2‬‬
‫‪0‬‬
‫‪،‬‬
‫ل‪3 :‬س ‪4 +‬ص =‪12‬‬
‫‪0‬‬
‫‪4‬‬
‫س‬
‫ص ‪3‬‬
‫‪0‬‬
‫ص‬
‫‪4‬‬
‫‪3‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫س‬
‫‪4‬‬
‫‪3‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫و‬
‫‪1‬‬‫‪2-‬‬
‫‪1-‬‬
‫‪2-‬‬
‫الربجمة الطية‬
‫تعريف الربجمة الطية‬
‫تستخدم البرمجة الخطية في مسالة تعظيم ( تكبير)او تصغير دالة خطية‬
‫معينة تحت قيود على متغيرات هذه الدالة‪.‬‬
‫اساس يات الربجمة الطية‬
‫تشترك جميع مسائل البرمجة الخطية في العناصر‬
‫األساسية التالية ‪:‬‬
‫متغيرات القرار‬
‫هي المتغيرات التي يتوجب إيجاد قيمها التخاذ القرار‬
‫دالة الهدف‬
‫في كل مسائل البرمجة الخطية يرغب متخذ القرار في تعظيم‬
‫او تصغير دالة خطية في متغيرات القرار‪.‬‬
‫وهذه الدالة عادة تمثل األرباح أو اإليرادات في‬
‫(حالة التعظيم ) أو التكلفة أو كمية التالف في( حالة‬
‫التصغير)‪.‬‬
‫هذه الدالة تسمى دالة الهدف ‪.‬‬
‫القيود (( الشروط )) ‪:‬‬
‫القيود هي مجموعة من المتباينات أو المعادالت الواجب‬
‫تحقيقها من قبل متغيرات القرار‬
‫البرمجة الخطية‪:‬‬
‫تعالج البرمجة الخطية مسألة إيجاد الحل االمثل على النحو‬
‫التالي‪:‬‬
‫‪-1‬يتم تعظيم او تصغير دالة خطية في متغيرات القرار‪,‬هذه‬
‫الدالة تسمى دالة الهدف‪.‬‬
‫‪-2‬تحقق قيم متغيرات القرار مجموعة من القيود‪,‬يمكن‬
‫صياغتها في شكل متباينات او معادالت خطية‪.‬‬
‫فضاء الحلول الممكنة‪:‬‬
‫يتكون فضاء الحلول الممكنة من جميع النقاط التي تحقق‬
‫جميع القيود ‪.‬بمعنى آخر منطقة الحل المشترك‬
‫لقيود مسألة هي ‪ //‬فضاء الحلول الممكنة ‪//‬‬
‫تعريف الحل االمثل‪:‬‬
‫الحل االمثل لمسالة برمجة خطية لتعظيم او (تصغير) دالة‬
‫الهدف ‪ ,‬هو نقطة في فضاء الحلول الممكنة تكون عندها‬
‫دالة الهدف أكبر او( أصغر ) ما يمكن ‪.‬‬
‫مثال ( مصنع األجبان )‬
‫ينتج أحد مصانع األجبان عبوات من النوع الفاخر من الجبن ‪،‬‬
‫وعبوات من النوع الممتاز من الجبن ‪،‬تحتاج عبوة النوع الفاخر إلى‬
‫‪12‬كجم من الحليب و‪0 ,2‬ساعة عمل ‪،‬وتحتاج عبوة النوع الممتاز‬
‫إلى ‪6‬كجم من الحليب و ‪0,3‬ساعة عمل‪.‬‬
‫يربح المصنع ‪ 4‬دنانير من كل عبوة من النوع الفاخر ويربح ‪3‬‬
‫دنانير من كل عبوة من النوع الممتاز ‪ .‬ترغب إدارة المصنع في‬
‫تحديد عدد عبوات النوع الفاخر ‪ ،‬وعدد عبوات النوع الممتاز الالزم‬
‫إنتاجها يوميا‪ ،‬بحيث يكون إجمالي أرباح المصنع أكبر ما يمكن ‪ .‬علما‬
‫بأنه يتوفر يوميا بالمصنع ‪ 6000‬كجم من الحليب و ‪ 180‬ساعة‬
‫عمل‬
‫الحل البياني لنموذج برمجة خطية في متغيرين‪:‬‬
‫سوف نوضح طريقة إيجاد الحل االمثل بيانيا من خالل مثال مصنع االجبان ‪:‬‬
‫إذا قام مصنع األجبان بإنتاج عدد س من عبوات النوع الفاخر و عدد ص من‬
‫عبوات النوع الممتاز يكون لدينا المتباينات‪:‬‬
‫(‪ )1‬س ≥ ‪0‬‬
‫(‪ )2‬ص ≥ ‪0‬‬
‫(‪ )3‬كمية الحليب الالزمة يوميا ً ‪×12‬س ‪×6 +‬ص كجم‬
‫حيث إن المصنع لديه ‪ 6000‬كجم من الحليب يوميا ً‬
‫فإنه يتوجب أن تتحقق المتباينة ‪12‬س ‪6 +‬ص ≤ ‪6000‬‬
‫‪2‬س ‪ +‬ص ≤ ‪1000‬‬
‫أو‬
‫(‪ )4‬عدد ساعات العمل الالزمة يوميا ً ‪×0,2‬س ‪×0,3 +‬ص ساعة‬
‫وحيث المصنع إن المصنع لديه ‪180‬ساعة عمل‬
‫فإنه يتوجب ان تتحقق المتباينة ‪0,2‬س ‪0,3 +‬ص ≤ ‪180‬‬
‫‪2‬س ‪3+‬ص ≤ ‪1800‬‬
‫أو‬
‫المطلوب تعظيم دالة الهدف (الوصول بالربح إلى أكبر قيمة ممكنة)‬
‫هـ = ‪4‬س ‪3 +‬ص‬
‫تحت الشروط (القيود) التالية ‪:‬‬
‫س≥‪0‬‬
‫ص≥‪0‬‬
‫‪2‬س ‪ +‬ص ≤‪1000‬‬
‫‪2‬س ‪3+‬ص ≤ ‪1800‬‬
‫الخطوة االولى‬
‫نوجد فضاء الحلول الممكنة (منطقة الحل المشترك للقيود بيانيا ً )‬
‫نرسم خط الحدود لكل من المتباينات السابقة ثم نوجد منطقة الحل المشترك‬
‫للمتباينات السابقة فتكون هي فضاء الحلول الممكنة‬
‫خط الحدود للقيد الثالث ‪2‬س ‪+‬ص = ‪، 1000‬‬
‫س‬
‫ص‬
‫‪0‬‬
‫‪500‬‬
‫‪0 1000‬‬
‫خط الحدود للقيد الرابع ‪2‬س ‪3+‬ص =‪1800‬‬
‫س‬
‫‪0‬‬
‫‪900‬‬
‫ص‬
‫‪600‬‬
‫‪0‬‬
‫‪1000‬‬
‫ص‬
‫‪500‬‬
‫س‬
‫‪1000‬‬
‫‪600‬‬
‫‪400‬‬
‫‪20‬‬
‫الخطوة الثانية‬
‫نالحظ ان دالة الهدف هـ= ‪4‬س ‪3+‬ص هي دالة خط مستقيم‬
‫إذا اخذت هـ قيم مختلفة نحصل على خطوط متوازية‪.‬‬
‫على سبيل المثال إذا اخذت هـ القيم المتزايدة‬
‫‪2600 , 2400, 2000 , 1000‬‬
‫نحصل على الخطوط ‪:‬‬
‫ل ‪4 : 1‬س‪3+‬ص=‪1000‬‬
‫ل ‪4 : 2‬س‪3+‬ص=‪2000‬‬
‫ل ‪4 :3‬س‪3+‬ص=‪2400‬‬
‫ل ‪4 : 4‬س‪3+‬ص=‪2600‬‬
‫وهي خطوط متوازية وتبتعد عن نقطة االصل ‪ ,‬نستنتج من ذلك انه‬
‫كلما زادت قيمة دالة الهدف ( قيمة هـ ) ابتعد الخط المستقيم‬
‫‪4‬س‪3+‬ص =هـ عن نقطة االصل كما هو موضح في الشكل ‪.‬‬
‫‪1000‬‬
‫ص‬
‫الحل األمثل هـ‬
‫ع‬
‫‪500‬‬
‫س‬
‫‪1000‬‬
‫‪600‬‬
‫‪400‬‬
‫‪20‬‬
‫وبالتالي إليجاد الحل االمثل نقوم بتحريك دالة الهدف بشكل متوازي‬
‫في اتجاه زيادتها (تباعديا ً عن نقطة األصل ) وتتوقف عندما نصل‬
‫إلى قيمة ‪ //‬هـ ع ‪ //‬التي إذا زدنا عنها يكون خط دالة الهدف‬
‫بالكامل خارج فضاء الحلول الممكنة‪.‬‬
‫هذه القيمة ‪ //‬هـ ع ‪ //‬هي القيمة العظمى لدالة الهدف ‪,‬‬
‫ونقطة تماس الخط ‪4‬س‪3+‬ص = هـ ع‬
‫مع فضاء الحلول الممكنة التي توقفنا عندها هي الحل االمثل‪,‬‬
‫وبتطبيق هذه الخطوة نجد ان الحل االمثل هو‬
‫س=‪ , 300‬ص= ‪ 400‬والقيمة العظمى لدالة الهدف‬
‫هـ ع = ‪2400 = 400× 3 + 300×4‬‬
‫‪1000‬‬
‫ص‬
‫الحل األمثل هـ‬
‫ع‬
‫‪500‬‬
‫س‬
‫‪1000‬‬
‫‪600‬‬
‫‪400‬‬
‫‪20‬‬
‫مالحظات مهمة‬
‫(‪ )1‬دائما يكون الحل األمثل عند أحد أركان مضلع‬
‫فضاء الحلول الممكنة وفي هذه الحالة يوجد حل أمثل‬
‫وحيد‬
‫(‪ )2‬إذا كانت دالة الهدف موازية ألحد أضالع مضلع‬
‫فضاء الحلول الممكنة (أحد القيود) تكون كل نقطة‬
‫على هذا الضلع حل أمثل للمشكلة أي يوجد عدد‬
‫النهائي من الحلول المثلى‬
‫(‪ )3‬يكون الحل األمثل عند إحداثيات الركن الذي تكون‬
‫عنده قيمة هـ أكبرمايمكن (في حالة تعظيم دالة الهدف)‬
‫مثال‬
‫استخدم طريقة التعويض إليجاد الحل األمثل لتعظيم دالة الهدف‬
‫هـ = ‪5‬س ‪4 +‬ص‬
‫تحت القيود‬
‫س‪+‬ص≤‪3‬‬
‫‪2‬س ‪ +‬ص ≤ ‪4‬‬
‫س≥‪، 0‬ص≥‪0‬‬
‫الحل‪:‬‬
‫نرسم خط الحدود لكل من القيود السابقة‬
‫س‪+‬ص=‪3‬‬
‫‪2‬س ‪ +‬ص = ‪4‬‬
‫س‬
‫‪0‬‬
‫‪3‬‬
‫س‬
‫‪0‬‬
‫ص‬
‫‪3‬‬
‫‪0‬‬
‫ص‬
‫‪4‬‬
‫‪2‬‬
‫‪0‬‬
‫ص‬
‫‪4‬‬
‫‪3‬‬
‫د(‪)2،1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫س‬
‫‪4‬‬
‫‪3‬‬
‫أ(‪)0،2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫و(‪)0،0‬‬
‫المضلع أ و جـ د هو فضاء الحلول الممكنة‬
‫نحل المعادلتين س ‪+‬ص=‪2 ، 3‬س ‪+‬ص =‪ 4‬حل مشترك فنجد‬
‫فتكون النقطة د(‪)2،1‬‬
‫س=‪ ، 1‬ص=‪2‬‬
‫نأخذ رؤوس المضلع ونعوض في دالة الهدف لنجد الحل األمثل‬
‫هـ = ‪10 = 0× 4+ 2× 5‬‬
‫أ( ‪) 0 ، 2‬‬
‫هـ = ‪0 = 0×4 +0× 5‬‬
‫و(‪) 0 ، 0‬‬
‫هـ = ‪8 = 2× 4 + 0× 5‬‬
‫جـ ( ‪) 2 ، 0‬‬
‫هـ = ‪13 = 2 ×4 + 1 × 5‬‬
‫د(‪)2،1‬‬
‫ص =‪2‬‬
‫الحل األمثل س =‪، 1‬‬
‫القيمة العظمى لدالة الهدف هـ =‪13‬‬
‫سنحل مثال على تصغير دالة الهدف‬
‫يقوم جزار بعمل شطائر اللحم تتكون من لحم بقري و لحم ماعز يحتوي لحم البقر على‬
‫‪ % 80‬لحم و ‪ %20‬دهن ويكلف ‪4‬دنانير لكل كيلو في حين أن لحم الماعز يحتوي‬
‫‪ % 68‬لحم و ‪ %32‬دهن ويكلف ‪ 3‬دنانير لكل كيلو ما هي كمية اللحم من كل نوع يجب‬
‫أن يستخدمها المحل في كل كيلو من شطائر اللحم إذا علمت أنه يجب تخفيض التكاليف و‬
‫المحافظة على نسبة الدهون بحيث ال تزيد عن ‪% 25‬‬
‫الحل‬
‫المتغيرات‬
‫نفرض أن وزن لحم البقر المستخدم في الكيلو هو‬
‫نفرض أن وزن لحم الماعز المستخدم في الكيلو هو‬
‫هـ = ‪4‬س ‪3 +‬ص‬
‫دالة الهدف‬
‫س‬
‫ص‬
‫القيد األول ‪:‬‬
‫يحتوي كل كيلو من لحم البقر على ‪0,20‬من الدهون فإن كمية اللحم‬
‫تحوي على ‪0,20‬س من الدهون‬
‫س‬
‫يحتوي كل كيلو من لحم الماعز على ‪0,32‬من الدهون فإن كمية اللحم‬
‫ص تحوي على ‪0,32‬ص من الدهون‬
‫ويجب أال تزيد الدهون في الشطيرة عن ‪ 0,25‬من وزنها‬
‫‪0,20‬س ‪0,32 +‬ص ≤ ‪0,25‬‬
‫‪20‬س ‪32 +‬ص ≤ ‪25‬‬
‫القيد الثاني‪:‬‬
‫يجب أن يكون وزن لحم البقر و لحم الماعز مجتمعين هو كيلو واحد‬
‫س‪+‬ص=‪1‬‬
‫القيد الثالث‪ :‬قيد عدم السالبية‬
‫ص ≥‪0‬‬
‫س≥‪، 0‬‬
‫النموذج الرياضي‬
‫هـ = ‪4‬س ‪3 +‬ص‬
‫القيود‪:‬‬
‫‪20‬س ‪32 +‬ص ≤ ‪25‬‬
‫س‪+‬ص=‪1‬‬
‫س≥‪ ، 0‬ص≥‪0‬‬
‫نرسم خط الحدود لكل من القيود‬
‫س‪+‬ص=‪1‬‬
‫‪20‬س ‪32 +‬ص = ‪25‬‬
‫س ‪1,25 0‬‬
‫ص ‪0 0,78‬‬
‫س ‪1 0‬‬
‫ص ‪0 1‬‬
‫‪4‬‬
‫‪3‬‬
‫الحل األمثل‬
‫هـ ع‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪4‬‬
‫‪3‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫نحل المعادلتين س ‪ +‬ص =‪1‬‬
‫فنجد‬
‫س=‬
‫‪7‬‬
‫‪12‬‬
‫‪،‬‬
‫‪ 5‬نعوض في دالة الهدف‬
‫‪12‬‬
‫‪ ،‬ص=‬
‫‪5‬‬
‫‪7‬‬
‫‪×3+‬‬
‫هـ = ‪× 4‬‬
‫‪12‬‬
‫‪12‬‬
‫‪20‬س ‪32 +‬ص =‪25‬‬
‫= ‪3,583‬‬
‫مما يعني أن المحل يجب أن يستخدم‬
‫‪ 7‬من لحم البقر و‬
‫‪12‬‬
‫‪5‬‬
‫من لحم الماعز وذلك يحقق أقل تكلفة والتي تساوي‬
‫‪12‬‬
‫‪ 3,583‬دينار للكيلو‬
‫فقرة إثرائية‬
‫سنوجد الحل األمثل لتعظيم دالة الهدف هـ في السؤال التالي بالطريقة‬
‫الجبرية حيث دالة الهدف هي‪:‬‬
‫تحت القيود ‪:‬‬
‫هـ =‪5‬س ‪4 +‬ص‬
‫س ‪+‬ص ≤ ‪3‬‬
‫‪2‬س ‪ +‬ص ≤ ‪4‬‬
‫س ≥‪ ، 0‬ص ≥‪0‬‬
‫الحل ‪:‬‬
‫نحول القيود السابقة إلى معادالت عن طريق المتغيرات المتممة‬
‫س ‪ +‬ص ≤ ‪ 3‬يصبح س ‪ +‬ص ‪ +‬ك = ‪ 3‬حيث ك ≥ ‪0‬‬
‫‪2‬س ‪ +‬ص ≤ ‪ 4‬يصبح ‪2‬س ‪ +‬ص ‪ +‬ن = ‪ 4‬حيث ن ≥ ‪0‬‬
‫هـ = ‪5‬س ‪4 +‬ص ‪0 +‬ك ‪0 +‬ن‬
‫عندئذ تصبح دالة الهدف‬
‫أصبح لدينا ‪ 4‬متغيرات ومعادلتين فإن عدد الفروض‬
‫‪4‬‬
‫‪6= 2‬‬
‫)(‬
‫)‪ (1‬س = ص = ‪ 0‬فإن المعادلتين هما ك =‪ ، 3‬ن = ‪4‬‬
‫عندئذ هـ = ‪0‬‬
‫(‪ )2‬س = ك = ‪ 0‬فإن المعادلتين هما ص = ‪3‬‬
‫ص‪+‬ن=‪4‬‬
‫وبالتالي ص = ‪ ، 3‬ن = ‪ 4‬عندئذ هـ = ‪12‬‬
‫(‪ )3‬س = ن= ‪ 0‬فإن المعادلتين هما ص ‪ +‬ك = ‪ ،3‬ص =‪4‬‬
‫وبالتالي ص = ‪ ، 4‬ك = ‪ 1-‬عندئذ هـ = ‪15‬‬
‫مرفوض ألن ك سالبة‬
‫(‪ )4‬ص = ك =‪ 0‬فإن المعادلتين هما س =‪2 ، 3‬س ‪ +‬ن = ‪4‬‬
‫وبالتالي س = ‪ ، 3‬ن = ‪ 2-‬عندئذ هـ = ‪15‬‬
‫مرفوض ألن ن سالبة‬
‫(‪ )5‬ص = ن =‪ 0‬فإن المعادلتين هما ‪2‬س = ‪ ، 4‬س ‪ +‬ك = ‪3‬‬
‫وبالتالي س = ‪ ، 2‬ك = ‪ 1‬عندئذ هـ = ‪10‬‬
‫(‪ )6‬ك = ن = ‪ 0‬فإن المعادلتين هما س ‪ +‬ص = ‪3‬‬
‫‪2‬س ‪ +‬ص = ‪4‬‬
‫وبالتالي س = ‪ ، 1‬ص = ‪ 2‬عندئذ هـ = ‪13‬‬
‫وهي القيمة العظمى لدالة الهدف‬
‫إذن الحل األمثل هو ( ‪ ) 2 ، 1‬عندها دالة الهدف هـ = ‪13‬‬