Transcript الشريحة 1 - مدارس صدى الإبداع الأهلية

‫إعداد ‪ :‬أسرة الرياضيات‬
‫بمدارس صدى اإلبداع األهلية‬
‫يبين الجدول أدناه أكبر وأقل عدد لألثواب المنتجة من المقاسين الكبير والصغير‪ ،‬وتكلفة إنتاج كل ثوب منها في‬
‫أحد المشاغل الوطنية‪.‬‬
‫إذا كان عدد األثواب المطلوب إنتاجها من المقاسين في اليوم الواحد ال يقل عن ‪ 2000‬ثوب‪ ،‬فكم ثو ًبا من كل‬
‫مقاس يجب إنتاجه لتكون التكلفة أقل ما يمكن ؟‬
‫هناك قيود أو حدود على إنتاج المشغل ناجمة عن الطلب‪ ،‬والشحن وكفاءة المشغل‪ ،‬وللتعبير عن هذه القيود‬
‫يمكن استعمال أنظمة المتباينات الخطية‪.‬‬
‫أوضاعا ضمن قيود مختلفة وتسعى‬
‫القيمة العظمى والقيمة الصغرى‪ :‬تواجه الشركات في كثير من األحيان‬
‫ً‬
‫للوصول إلى أقل تكلفة أو إلى أعلى ربح‪ .‬مثل هذه القضايا يمكن أن توجه عادة باستعمال البرمجة الخطية‪.‬‬
‫البرمجة الخطية‪ :‬هي طريقة إليجاد القيمة العظمى أو الصغرى لدالة ما تحت قيود معينة كل‬
‫منها عبارة عن متباينة خطية‪ ،‬وذلك بعد تمثيل نظام المتباينات بيان ًيا‪ ،‬وتوجد القيمة العظمى أو‬
‫الصغرى للدالة ذات الصلة دائ ًما عند أحد رؤوس منطقة الحل‪.‬‬
‫تكون منطقة الحل محدودة أو محصورة بقيود‪،‬‬
‫وتظهر القيمة العظمى أو القيمة الصغرى للدالة‬
‫عادة عند رؤوس منطقة الحل‪.‬‬
‫تكون منطقة الحل مفتوحة وممتدة‪ ،‬فهي بذلك‬
‫غير محدودة ويمكن أن تحتوي قيمة عظمى أو‬
‫قيمة صغرى‪.‬‬
‫مثــّـل نظام المتباينات اآلتي بيان ًيا‪ ،‬ثم حدد إحداثيات رؤوس منطقة الحل‪ ،‬وأوجد القيمة العظمى والقيمة الصغرى‬
‫للدالة المعطاة في هذه المنطقة‪:‬‬
‫‪3FyF6‬‬
‫‪y F 3x + 12‬‬
‫‪y F -2x + 6‬‬
‫‪f(x, y) = 4x - 2y‬‬
‫الخطوة ‪ :1‬مثل المتباينات بيانيا ً‪ ،‬وحدّد إحداثيات الرؤوس‬
‫الخطوة ‪ :2‬جد قيمة الدالة عند كل رأس‬
‫قيمة عظمى‬
‫قيمة صغرى‬
‫القيمة العظمى للدالة تساوي ‪ 0‬وتكون عند النقطة ( ‪ ،) 3,1.5‬والقيمة الصغرى‬
‫للدالة تساوي ‪ - 20‬وتكون عند النقطة ( ‪.)-2,6‬‬
‫إذا نتج عن‬
‫التمثيل البياني‬
‫لنظام متباينات‬
‫ُ‬
‫منطقة غير‬
‫مغلقة فإن النظام‬
‫غير محدود‪.‬‬
-6 F y F -2
y F -x + 2
y F 2x + 2
f(x, y) = 6x + 4y
-2 F x F 6
1FyF5
yFx+3
f(x,y)= - 5x + 2y
‫مثــّـل نظام المتباينات اآلتي بيان ًيا ‪ ،‬ثم حدّد إحداثيات رؤوس منطقة الحل‪ ،‬وأوجد القيمة العظمى والقيمة الصغرى‬
‫للدالة المعطاة في هذه المنطقة‪:‬‬
‫‪2y + 3x G -12 , y F 3x + 12 , y G 3x - 6 , f(x, y) = 9x - 6y‬‬
‫مثــّـل المتباينات بيان ًيا‪ ،‬وأوجد قيمة الدالة عند كل رأس‪.‬‬
‫القيمة العظمى للدالة تساوي ‪ 36‬وتكون عند النقطة ( ‪ ،)0 , -6‬وال توجد قيمة‬
‫صغرى للدالة؛ ألن هناك نقطة أخرى في منطقة الحل وهي ( ‪ )0 , 8‬و ُتعطى‬
‫القيمة ‪ - 48‬للدالة وهي أقل من ‪.- 36‬‬
yGx-9
y F -4x + 16
y G -4x - 4
f(x, y) = 10x + 7y
yF8
y G -x + 4
y F -x + 10
f(x, y) = -6x + 8y
‫يس ّمى البحث عن السعر أو الكمية األفضل أو األنسب لتقليل التكلفة أو زيادة الربح بالحل األمثل‪،‬‬
‫ويمكن الحصول على ذلك الحل باستعمال البرمجة الخطية‪.‬‬
‫مفهوم أساسي (‪ -: )2‬استعمال البرمجة الخطية إليجاد الحل األمثل‬
‫‪-------------------------------------------------------------‬‬‫الخطوة ‪ -: 1‬حدد المتغيرات‬
‫الخطوة ‪ -: 2‬اكتب نظام متباينات خطية يم ّثل المسألة‬
‫الخطوة ‪ -: 3‬مثل نظام المتباينات بيان ًّيا‬
‫الخطوة ‪ -: 4‬جد إحداثيات رؤوس منطقة الحل‬
‫الخطوة ‪ -: 5‬اكتب الدالة الخطية التي تريد إيجاد قيمتها العظمى أو الصغرى‬
‫الخطوة ‪ -: 6‬عوض إحداثيات الرؤوس في الدالة‬
‫الخطوة ‪ -: 7‬اختر القيمة العظمى أو الصغرى وف ًقا لما هو مطلوب في المسألة‬
‫عد إلى الموقف الوارد في بداية هذا الدرس‪ ،‬واستعمل البرمجة الخطية إليجاد عدد القطع من المقاسين التي يتطلب‬
‫إنتاجها لتكون التكلفة أقل ما يمكن‪:‬‬
‫افرض أن ‪a‬هي عدد األثواب المنتجة من المقاس الصغير‪،‬‬
‫الخطوة ‪-:1‬‬
‫و ‪v‬هو عدد األثواب المنتجة من المقاس الكبير‪.‬‬
‫‪600 F a F 1500‬‬
‫الخطوة ‪-:2‬‬
‫‪800 F v F 1700‬‬
‫‪a + v G 2000‬‬
‫الخطوتان ‪ 3‬و ‪ -:4‬م ِّثل نظام المتباينات بيان ًيا كما في الشكل المجاور‪،‬‬
‫ثم الحظ رؤوس منطقة الحل‪.‬‬
‫الدالة التي تريد إيجاد قيمتها الصغرى هي‪f(a, v) = 55a + 95v :‬‬
‫الخطوة ‪-:5‬‬
‫الخطوة ‪-:6‬‬
‫قيمة عظمى‬
‫قيمة صغرى‬
‫الخطوة ‪ -:7‬يجب إنتاج ‪ 1200‬ثو ًبا من المقاس الصغير‪ ،‬و ‪ 800‬ثو ًبا من المقاس الكبير لتكون التكلفة أقل ما يمكن‪.‬‬
‫سوارا شهر ًيا‪ .‬فإذا كانت أجرة صياغة العقد ‪50‬‬
‫يصوغ فهد من ‪ 10‬إلى ‪ 25‬عقدًا‪ ،‬ومن ‪ 15‬إلى ‪40‬‬
‫ً‬
‫رياال‪ .‬وأجرة صياغة السوار ‪ً 30‬‬
‫ً‬
‫رياال‪ ،‬وصاغ في أحد األشهر على األقل ‪ 30‬قطعة من العقود‬
‫واألساور‪ ،‬فكم قطعة من كال النوعين عليه صياغتها ليحصل على أكبر أجر؟‬