التكامل المحدد - Math
Download
Report
Transcript التكامل المحدد - Math
ورشة عمل للصف الثاني عشر علمي
للعام الدراسي 2015/2014
وزارة التربية
منطقة العاصمة التعليمية
التكامل المحدد
Definite Integral
أعداد وتقديم
أ .براك العلي
رئيس القسم
أ .موفق عقيل
بالتنسيق والتعاون
مع معلمي القسم
الموجهه األولى أ .حصة العلي
ثانوية عيسى الحمد
قسم الرياضيات
الموجه الفني باألنابة
أ .كارم عطية
الموجه الفني
أ .سعيد خلف
مدير المدرسة أ .عقيل محمد مهنا
محتوى الورشة
• األهداف السلوكية
• األدوات والوسائل التعليمية
• كتاب الطالب
األهداف السلوكية
األدوات والوسائل التعليمية
• أدوات المعلم :كتاب الطالب – كراسة التمارين – السبورة –
األقالم الملونة – المسطرة – دائرة – حاسب ألي – جهاز عرض
علوي – IPad
• أدوات الطالب :كتاب الطالب – كراسة التمارين
التكامل المحدد
كتاب الطالب
تمارين كتاب الطالب للبند 5 − 7
• مثال ()1
• مثال ()2
• مثال ()3
• مثال ()4
• مثال ()5
• مثال ()6
• مثال ()7
• مثال ()8
• مثال ()9
• مثال ()10
• مثال ()11
• حاول أن تحل ()1
• حاول أن تحل ()2
• حاول أن تحل ()3
• حاول أن تحل ()4
• حاول أن تحل ()5
• حاول أن تحل ()6
• حاول أن تحل ()7
• حاول أن تحل ()8
• حاول أن تحل ()9
• حاول أن تحل ()10
• حاول أن تحل ()11
سوف تتعلم
• التكامل المحدد والمساحة.
• خواص التكامل المحدد.
• قاعدة القوى في صورة التكامل.
• التعويض في التكامل المحدد.
:المفردات والمصطلحات
Definite Integral • تكامل محدد
Integration by Substitution • تكامل بالتعويض
دعنا نفكر ونتناقش
• لنعتبر 𝑓 𝑥 = 2𝑥 − 2على
الفترة ],[1 ,4
• من الشكل المقابل ,أوجد:
.A
.B
.C
.D
)𝑥(𝐹 المشتقة العكسية الدالة.
ثم احسب 𝐹 1 ,𝐹(4) ,
𝐹 4 −𝐹 1
مساحة المنطقة 𝐴.
ماذا تالحظ ؟
دعنا نفكر ونتناقش
• )𝒙(𝑭 المشتقة العكسية للدالة.
𝑥𝑑 2𝑥 − 2
= 𝑥𝑑 )𝑥(𝑓
•
•
𝐶 = 𝑥 2 − 2𝑥 +
𝐶 • ∴ 𝐹 𝑥 = 𝑥 2 − 2𝑥 +
• )𝟒(𝑭 , 𝑭 𝟏 ,ثم احسب 𝟏 𝑭 𝑭 𝟒 −
𝐶 • 𝐹 1 = (1)2 −2 1 +
•
𝐶 = −1 +
𝐶 • 𝐹 4 = (4)2 −2 4 +
•
𝐶=8+
) 𝐶 • 𝐹 4 − 𝐹 1 = 8 + 𝐶 − (−1 +
•
=9
دعنا نفكر ونتناقش
• مساحة المنطقة 𝑨.
𝑒𝑠𝑎𝐵 × 𝑡× 𝐻𝑒𝑖𝑔ℎ
1
2
1
2
= مساحة المنطقة 𝐴 •
=
•
𝑑𝑒𝑟𝑎𝑢𝑞𝑠 𝑠𝑡𝑖𝑛𝑢 = 9
•
× 6 ×3
• ماذا تالحظ ؟
• نالحظ أن
• ) = 𝐹 4 − 𝐹(1مساحة المنطقة 𝐴
التكامل المحدد
Definite Integral
• تعلمت فيما سبق إنه إذا كانت 𝑓 دالة متصلة على 𝑏 𝑎 ,وكانت الدالة 𝐹
مشتقة عكسية للدالة 𝑓 فإن التكامل غير المحدد للدالة 𝑓 هو:
𝐶 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 𝐹 𝑥 +
•
• وفي هذا البند سوف تتعلم التكامل المحدد للدالة 𝑓 من 𝑎 إلى 𝑏 وهو العدد
الحقيقي𝐹 𝑏 − 𝐹(𝑎) :
• حيث:
•
𝑏
𝑎
𝑥𝑑 𝑥 𝑓
𝑏
𝑎
= 𝑥𝑑 𝑥
𝑏
𝑓
𝑎
)𝑥(𝐹 =
)𝑎(𝐹 = 𝐹 𝑏 −
•
• ويس ّمى a , bحدّي التكامل ,والقواعد التي سبق ذكرها في التكامل غير
المحدد تطبق على التكامل المحدد.
معلومة
• عند كتابة 𝑥𝑑 𝑥
𝑏
𝑓
𝑎
يأخذ المتغيّر 𝑥 ك ّل القيم من 𝑎 إلى 𝑏.
مثال ()1
• أوجد التكامل المحدد للدالة 𝑓 𝑥 :من 𝑥 = −2إلى .𝑥 = 3
= 3𝑥 2 − 𝑥 + 4
• الحل:
𝑥𝑑 3𝑥 2 − 𝑥 + 4
3
)+ 4(−2
2
−2
−
1
𝑥 −
2
𝑥3
= •
1
3
)(3) − (3)2 +4(3
2
= •
−2
1
3
(−2) −
2
3
−2
= 𝑥𝑑 𝑥
3
𝑓
−2
•
𝑥+ 4
• = 34.5 + 18 = 52.5
حاول أن تحل ()1
• أوجد:
𝑥𝑑 𝑥 3 − 2𝑥 2 + 2
7
2
•
• الحل:
𝑥𝑑 𝑥 3 − 2𝑥 2 + 2
7
2
2
3
)− (2)3 +2(2
1
(2)4
4
7
2
𝑥+ 2
= 𝑥𝑑 𝑥
2 3
𝑥
3
2
3
1 4
𝑥
4
= •
1
(7)4
4
= •
−
− (7)3 +2(7) −
7
𝑓
2
•
• ≃ 382.91
خواص التكامل المحدد
Properties of the Definite Integral
• إذا كانت 𝑓 دالة متصلة على الفترة 𝐼 𝑎 ,𝑏 ,𝑐 ∈ 𝐼 ,𝑘 ∈ 𝑅 ,فإن ∶
𝒙𝒅 𝒙
𝒂
𝟎 = 𝒙𝒅 𝒙 𝒇
𝒂
𝒂
𝒃
𝒙𝒅 𝒙 𝒇 𝒂 𝒇 𝒙 𝒅𝒙 = −
𝒃
𝒃
)𝒂 𝒌 𝒅𝒙 = 𝒌(𝒃 −
𝒂
𝒃
𝒃
𝒙𝒅 𝒙 𝒇 𝒂 𝒌 = 𝒙𝒅 𝒙 𝒇 𝒌
𝒂
𝒃
𝒄
𝒃
𝒇 𝒄 𝒇 𝒙 𝒅𝒙 = 𝒂 𝒇 𝒙 𝒅𝒙 +
𝒂
• الحظ في خاصية 3أنه :إذا كان 𝑘 = 1فإن ∶ 𝑎 = 𝑏 −
𝑏
𝑥𝑑
𝑎
)• 1
)• 2
)• 3
)• 4
)• 5
مثال ()2
• أوجد:
−4
𝑥𝑑
−8
)𝑎 •
𝜋
4
𝜋
4
)𝑏 •
𝑥𝑑 )𝑥 (2 cos
𝑥𝑑 𝑥 + 1 − 3
𝑥𝑑
𝑒
+
𝑥
𝑥
𝑒3
−1
2
2
1
)𝑐 •
)𝑑 •
• الحل:
= −4 − −8 = 4
−4
−8
𝑥 =
−4
𝑥𝑑
−8
)𝑎 •
• الحل:
(2 cos 𝑥) 𝑑𝑥 = 0
خواص التكامل المحدد 𝑥 𝑑𝑥 = 0
𝑎
𝑓
𝑎
𝜋
4
𝜋
4
)𝑏 •
• الحل:
𝑥𝑑 𝑥 + 1 − 3
2
−1
2
1
2
• =−
2
𝑥(
3
• =−
𝑥+1
3
2
𝑥+ 1) −3
−1
)+ 1) +3(−1
2
−1
𝑥 + 1 − 3 𝑑𝑥 = −
𝑥𝑑 − 3
3
2
−1
2
)𝑐 •
2
(−1
3
3
2
+ 1) −3 2 −
2
(2
3
• =−
2
3
• =−
3 3 −6−3 =9−2 3
:• الحل
• 𝑑)
2
1
3𝑒 𝑥
+
𝑒
𝑥
𝑑𝑥 =
3𝑒 𝑥
+
𝑒 2
𝑥 1
• = 3𝑒 𝑥 + 𝑒 ln 2 − 3𝑒 𝑥 + 𝑒 ln 1
• = 3𝑒 𝑥 + 𝑒 ln 2 − 3𝑒
𝑏
𝑎
1
𝑑𝑥 = ln 𝑥
𝑥
𝑏
𝑎
حاول أن تحل ()2
• أوجد:
𝑥𝑑 𝑥 − 𝑐𝑠𝑐 2
1
𝑥sin 2
2
𝑥𝑑 + 𝑥 2
𝜋
2
𝜋
4
−3
𝑥𝑑 5
2
3
3
𝑥−2
3
𝑥𝑑 4
2 𝑥−1
)𝑎 •
)𝑏 •
)𝑐 •
)𝑑 •
:• الحل
• 𝑎)
𝜋
2
𝜋
4
1
4
1
sin 2𝑥
2
• = − cos 2
• =
• =
1
+
4
3
−
4
𝜋
2
1
4
− 𝑐𝑠𝑐 2 𝑥 𝑑𝑥 = − cos 2𝑥 + cot 𝑥
+ cot
0 − 0+1
𝜋
2
1
4
− − cos 2
𝜋
4
+ cot
𝜋
2
𝜋
4
𝜋
4
• الحل:
𝑥𝑑
2
5
−3
=−
−3
𝑥𝑑 5
2
5𝑥 2−3
)𝑏 •
=−
) = −(5 2 − 5 −3
= − 10 + 15
= −25
•
•
•
•
• حل آخر
)𝑎 = 𝑘(𝑏 −
𝑏
𝑥𝑑𝑘
𝑎
= 5 −3 − 2
= 5 −5
= −25
−3
𝑥𝑑5
2
•
•
•
• الحل:
−2𝑥 3 + 𝑥 2 𝑑𝑥 = 0
خواص التكامل المحدد 𝑥 𝑑𝑥 = 0
𝑎
𝑓
𝑎
3
3
)𝑐 •
:• الحل
• 𝑑)
4 𝑑𝑥
2 𝑥−1
= ln 𝑥 − 1
4
2
• = ln 4 − 1 − ln 2 − 1
• ≅ 1.0986
تذكر:
𝑥
∶𝑥>0
• 𝑥 = 0
∶𝑥=0
−𝑥 ∶ 𝑥 < 0
مثال ()3
• أوجد:
𝑥𝑑
3
𝑥𝑑 𝑥
−2
5
𝑥−3
0
)𝑎 •
)𝑏 •
• الحل:
𝑥𝑑 𝑥
3
0
+
0
𝑥𝑑 𝑥
−2
3
𝑥𝑑 𝑥
0
1 2 3
𝑥
2
0
= 𝑥𝑑
𝑑𝑥 +
3
𝑥
−2
0
𝑥−
−2
1 2 0
𝑥 −
+
2
−2
9
13
= 2+
2
2
)𝑎 •
=•
=•
=•
• الحل:
𝑥𝑑 𝑥 − 3
5
3
3
0
𝑥 − 3 𝑑𝑥 +
𝑥𝑑 𝑥 − 3
5
3
5
3
𝑥− 3
−9
= 𝑥𝑑 𝑥 − 3
−𝑥 + 3 𝑑𝑥 +
𝑥2
2
9
2
3
+
0
𝑥+ 3
− 15 −
5
0
3
0
𝑥2
−
2
9
25
+
2
2
13
2
)𝑏 •
=•
=•
=•
=•
حاول أن تحل ()3
• أوجد:
4
𝑥𝑑 2𝑥 − 4
−3
3
𝑥𝑑 𝑥 + 2
1
)𝑎 •
)𝑏 •
• الحل:
𝑥𝑑 2𝑥 − 4
4
−3
)𝑎 •
2𝑥 − 4 , 𝑥 ≥ 2
= • 2𝑥 − 4
−2𝑥 + 4 , 𝑥 < 2
𝑥𝑑 2𝑥 − 4
4
2
4
2
−2𝑥 + 4 𝑑𝑥 +
2
−3
•
𝑥• − 𝑥 2 − 4𝑥 2−3 + 𝑥 2 − 4
• = 4 + 21 + 0 + 4
• = 25 + 4 = 29
• الحل:
𝑥𝑑 𝑥 + 2
3
1
)𝑏 •
𝑥 + 2 , 𝑥 ≥ −2
= • 𝑥+2
−𝑥 − 2 , 𝑥 < −2
3
1
𝑥+ 2
1 2
𝑥
2
+2 =8
= 𝑥𝑑 𝑥 + 2
1
2
+6 −
9
2
3
1
•
=•
• لتكن 𝑓 دالة متصلة على ] 𝑏[ 𝑎 ,
• 𝟔( إذا كانت ] 𝒃𝒇 𝒙 ≥ 𝟎 ∀ 𝒙 ∈ [ 𝒂 ,
•
فإن𝒙 𝒅𝒙 ≥ 𝟎 :
𝒃
𝒇
𝒂
• 𝟕( إذا كانت ] 𝒃𝒇 𝒙 ≤ 𝟎 ∀ 𝒙 ∈ [ 𝒂 ,
•
فإن𝒙 𝒅𝒙 ≤ 𝟎 :
𝒃
𝒇
𝒂
مثال ()4
• دون حساب قيمة التكامل أثبت أن:
𝑥 2 + 𝑥 𝑑𝑥 ≥ 0
5
3
•
• الحل:
بفرض
نضع
∞+
+
𝟎.
−
𝑥 • 𝑓 𝑥 = 𝑥2 +
• 𝑥2 + 𝑥 = 0
• 𝑥 𝑥+1 =0
+
∞−
𝟏−
.
∞ • 𝑓 𝑥 ≥ 0 ∀ 𝑥 ∈ −∞ , −1 ∪ 0 ,
∞ • ... 3 , 5 ⊆ 0 ,
• ∴ 𝑥2 + 𝑥 ≥ 0 ∀ 𝑥 ∈ 3 , 5
𝑥 2 + 𝑥 𝑑𝑥 ≥ 0
5
3
•
حاول أن تحل ()4
• دون حساب قيمة التكامل أثبت أن:
𝑥 2 + 𝑥 𝑑𝑥 ≤ 0
0
−1
•
• الحل:
بفرض
نضع
𝑥 • 𝑓 𝑥 = 𝑥2 +
• 𝑥2 + 𝑥 = 0
• 𝑥 𝑥+1 =0
∞+
+
𝟎.
−
.
𝟏−
+
∞−
] • 𝑓 𝑥 ≤ 0 ∀ 𝑥 ∈ [ −1 , 0
] • ... −1 , 0 ⊆ [ −1 , 0
• ∴ 𝑥 2 + 𝑥 ≤ 0 ∀ 𝑥 ∈ −1 , 0
𝑥 2 + 𝑥 𝑑𝑥 ≤ 0
0
−1
•
• (8لتكن الدالتين 𝑔 𝑓 ,متصلتين على ] 𝑏 [ 𝑎 ,وكانت𝑓 𝑥 :
𝑏≤ 𝑔 𝑥 ∀ 𝑥 ∈ 𝑎 ,
•
فإن𝑥 𝑑𝑥 :
𝑏
𝑔
𝑎
≤ 𝑥𝑑 𝑥
𝑏
𝑓
𝑎
مثال ()5
• دون حساب قيمة التكامل أثبت أن:
𝑥𝑑 𝑥 2 + 2
𝑏
𝑎
≤ 𝑥𝑑 2𝑥 − 3
𝑏
𝑎
•
• الحل:
• نفرض أن 𝑓 𝑥 = 2𝑥 − 3 ,𝑔 𝑥 = 𝑥 2 + 2
• وهما دالتان متصلتان على 𝑅
نوجد
𝑓 𝑥 − 𝑔 𝑥 = 2𝑥 − 3 − 𝑥 2 + 2
= 2𝑥 − 3 − 𝑥 2 − 2
= −𝑥 2 + 2𝑥 − 5
نضع
• ∴ ال توجد للمعادلة جذور حقيقية
•
•
•
• −𝑥 2 + 2𝑥 − 5 = 0
𝑐𝑎• ∆= 𝑏 2 − 4
)• = 4 − 4(−1)(−5
• = 4 − 20 = −16 , −16 < 0
)𝑥(𝑔 𝑓 𝑥 −وحيدة اإلشارة وبأخذ
قيمة اختيارية نجد أن
𝑅∈ 𝑥∀
• 𝑓 𝑥 −𝑔 𝑥 ≤0
أي أن ∶ • 𝑓 𝑥 − 𝑔 𝑥 ≤ 0 ∀ 𝑥 ∈ 1 , 3
• 2𝑥 − 3 − 𝑥 2 + 2 ≤ 0 ∀ 𝑥 ∈ 1 , 3
2𝑥 − 3 ≤ 𝑥 2 + 2
𝑥𝑑 𝑥 2 + 2
3
1
≤ 𝑥𝑑 2𝑥 − 3
3
1
•
∴
•
حاول أن تحل ()5
• دون حساب قيمة التكامل أثبت أن:
𝑥𝑑 𝑥 − 1
2
−1
≥ 𝑥𝑑 + 1
𝑥2
2
−1
•
• الحل:
• نفرض أن 𝑓 𝑥 = 𝑥 2 + 1,𝑔 𝑥 = 𝑥 − 1
• وهما دالتان متصلتان على 𝑅
𝑓 𝑥 − 𝑔 𝑥 = 𝑥2 + 1 − 𝑥 − 1
نوجد
= 𝑥2 + 1 − 𝑥 + 1
= 𝑥2 − 𝑥 + 2
نضع
• ∴ ال توجد للمعادلة جذور حقيقية
قيمة اختيارية نجد أن
•
•
•
• 𝑥2 − 𝑥 + 2 = 0
𝑐𝑎• ∆= 𝑏 2 − 4
)• = 1 − 4(1)(2
• = 1 − 8 = −7 , −7 < 0
)𝑥(𝑔 𝑓 𝑥 −وحيدة اإلشارة وبأخذ
𝑅∈ 𝑥∀
• 𝑓 𝑥 −𝑔 𝑥 ≥0
أي أن ∶ • 𝑓 𝑥 − 𝑔 𝑥 ≥ 0 ∀ 𝑥 ∈ −1 , 2
• 𝑥 2 + 1 − 𝑥 − 1 ≥ 0 ∀ 𝑥 ∈ −1 , 2
𝑥2 + 1 ≥ 𝑥 − 1
𝑥𝑑 𝑥 − 1
2
−1
≥ 𝑥𝑑 𝑥 2 + 1
2
−1
•
∴
•
التفسير البياني للتكامل المحدد
Graphical Interpretation of
Definite Integral
• في المستوى اإلحداثي لتكن 𝑓 دالة متصلة على
𝑏 𝐴 , 𝑎 ,تمثل مساحة المنطقة المحددة
بمنحنى الدالة 𝑓 ومحور السينات والمستقيمين
𝑏 = 𝑥𝑥 = 𝑎 ,
• (1إذا كانت𝑓 𝑥 ≥ 0 ∀ 𝑥 ∈ 𝑎 ,𝑏 :
فإن
𝐴 = 𝑥𝑑 𝑥
𝑏
𝑓
𝑎
•
• (2إذا كانت𝑓 𝑥 ≤ 0 ∀ 𝑥 ∈ 𝑎 ,𝑏 :
فإن
𝐴𝑥 𝑑𝑥 = −
𝑏
𝑓
𝑎
•
مثال ()6
• 𝒂( أوجد مساحة المنطقة المحددة بين منحنى الدالة 𝑥 𝑓
, = −3ومحور السينات ,والمستقيمين .𝑥 = 4 ,𝑥 = −2
• 𝒃( تحقق بيانيًّا.
• الحل:
• 𝒂)𝑓 𝑥 = −3
• ... 𝑓 𝑥 ≤ 0 ∀ 𝑥 ∈ −2 , 4
𝑓 سالبة على −2 , 4
𝑓 𝑥 = −3
𝑥𝑑 𝑥
4
𝑓
−2
𝑥𝑑 𝑥
• 𝐴=−
4
𝑓
−2
𝑥𝑑
• =−
4
3
−2
= •
• = 3 4 − −2
𝑑𝑒𝑟𝑎𝑢𝑞𝑠 𝑠𝑡𝑖𝑛𝑢 • = 18
• 𝒃( تحقق بيانيًّا:
• مساحة المنطقة تساوي مساحة المستطيل الذي بعديه 6 ,3وحدة طول
𝑑𝑒𝑟𝑎𝑢𝑞𝑠 𝑠𝑡𝑖𝑛𝑢 • ∴ 𝐴 = 3 × 6 = 18
حاول أن تحل ()6
• أوجد قيمة 𝑥𝑑 𝑥2 − 2
5
−1
بيانيًّا.
• الحل:
• من الرسم تصبح المنطقة مثلث قائم الزاوية األول قاعدتة 4
وارتفاعة 8على الترتيب
• مساحة المثلث =
1
×
2
القاعدة × االرتفاع
×4 ×8
1
2
=•
𝑑𝑒𝑟𝑎𝑢𝑞𝑠 𝑠𝑡𝑖𝑛𝑢 • = 16
𝑑𝑒𝑟𝑎𝑢𝑞𝑠 𝑠𝑡𝑖𝑛𝑢 2 − 2𝑥 𝑑𝑥 = 16
5
1
•∴−
مثال ()7
• أوجد:
𝑥𝑑 9 − 𝑥 2
3
−
0
)𝑏
𝑥𝑑 𝑥 2
4−
2
−2
)𝑎 •
• الحل:
𝑥𝑑 4 − 𝑥 2
•
•
•
•
• مساحة المنطقة المظللة = 𝑥𝑑 4 − 𝑥 2
•
)𝒂 •
نأخذ𝑦 = 4 − 𝑥 2 :
𝑦2 = 4 − 𝑥2
𝑥2 + 𝑦2 = 4
وهي معادلة دائرة مركزها نقطة األصل ونصف قطرها 2وحدة طول.
• والدالة 𝑦 = 4 − 𝑥 2 :تمثل معادلة النصف العلوي للدائرة
•
2
−2
1
𝜋(2)2
2
=
𝜋= 2
𝑥𝑑 − 𝑥 2
4
2
−2
2
−2
• الحل:
𝑥𝑑 9 − 𝑥 2
•
•
•
•
نأخذ𝑦 = − 9 − 𝑥 2 :
𝑦2 = 9 − 𝑥2
𝑥2 + 𝑦2 = 9
وهي معادلة دائرة مركزها نقطة األصل وطول نصف قطرها 3وحدات طول.
• والدالة 𝑦 = − 9 − 𝑥 2 :تمثل معادلة الربع السفلي للدائرة
• فيكون
•
•
•
3
−
0
𝐴9 − 𝑥 2 𝑑𝑥 = −
2
3
−1
𝜋
4
𝜋−9
=
4
=
3
−
0
)𝒃 •
حاول أن تحل ()7
• أوجد:
𝑥𝑑 16 − 𝑥 2
4
−
0
)𝑏
𝑥𝑑 𝑥 2
25 −
5
−5
)𝑎 •
• الحل:
𝑥𝑑 25 − 𝑥 2
•
•
•
•
• مساحة المنطقة المظللة = 𝑥𝑑 25 − 𝑥 2
•
)𝒂 •
نأخذ𝑦 = 25 − 𝑥 2 :
𝑦 2 = 25 − 𝑥 2
𝑥 2 + 𝑦 2 = 25
وهي معادلة دائرة مركزها نقطة األصل ونصف قطرها 5وحدة طول.
• والدالة 𝑦 = 25 − 𝑥 2 :تمثل معادلة النصف العلوي للدائرة
•
5
−5
1
2
25
𝜋 =
2
25 − 𝑥 2 𝑑𝑥 = 𝜋(5)2
5
−5
5
−5
• الحل:
𝑥𝑑 16 − 𝑥 2
•
•
•
•
4
−
0
نأخذ𝑦 = − 16 − 𝑥 2 :
𝑦 2 = 16 − 𝑥 2
𝑥 2 + 𝑦 2 = 16
وهي معادلة دائرة مركزها نقطة األصل وطول نصف قطرها 4وحدات
طول.
• والدالة 𝑦 = − 16 − 𝑥 2 :تمثل معادلة الربع السفلي للدائرة
• فيكون
•
•
•
)𝒃 •
𝐴16 − 𝑥 2 𝑑𝑥 = −
2
4
−1
𝜋
4
=
𝜋= −4
4
−
0
• تعلمت في البنود السابقة طرائق عدة إليجاد التكامل غير المحدد منها
التكامل بالتعويض والتكامل بالتجزيء والتكامل بالكسور الجزئية .وتستخدم
ضا في إيجاد التكامالت المحددة.
هذه الطرائق أي ً
• ويجب مراعاة ما يلي عند استخدام طريقة التعويض في إيجاد التكامل
المحدد:
𝑥𝑑 𝑥 𝑔 𝑥 𝑔′
بفرض
𝑏
𝑓
𝑎
•
𝑥𝑑 𝑥 • 𝑢 = 𝑔 𝑥 , 𝑑𝑢 = 𝑔′
• ثم كامل بالنسبة لـ 𝑢 من 𝑎 𝑔 = 𝑢 إلى 𝑏 𝑔 = 𝑢 بحيث يكون ∶
𝑢𝑑 𝑢 .
)𝑏(𝑔
𝑓
)𝑎(𝑔
′
= 𝑥𝑑 𝑥 𝑔 𝑔 𝑥 .
𝑏
𝑓
𝑐
•
مثال ()8
• أوجد:
𝑥𝑑 𝑥 tan 𝑥 𝑠𝑒𝑐 2
𝜋
4
0
•
• الحل:
𝑥𝑑 𝑥 • 𝑢 = tan 𝑥 , 𝑑𝑢 = 𝑠𝑒𝑐 2
• عندما 𝑥 = 0فإن 𝑢 = tan 0 = 0
• عندما
𝜋
4
= 𝑥 فإن = 1
𝜋
tan
4
1
𝑢𝑑 𝑢
0
1
𝑢2
2 0
1
2
=−0
1
2
=𝑢
= 𝑥𝑑
=
=
𝑥 tan 𝑥 𝑠𝑒𝑐 2
𝜋
4
0
•
•
•
حاول أن تحل ()8
سر إجابتك.
• 𝑎( هل يمكن حل مثال ( )8بطريقة آخرى ؟ ف ّ
• 𝑏( أوجدsin 2𝑥 cos 2𝑥 𝑑𝑥 :
𝜋
3
𝜋
6
• الحل:
• 𝑎( نعم يمكن حل المثال بأخذ 𝑥 𝑢 = sec
• 𝑥 𝑢 = sec 𝑥 , 𝑑𝑢 = sec 𝑥 tan
• عندما 𝑥 = 0فإن
• عندما
𝜋
4
𝑢 = sec 0 = 1
𝜋
4
= 𝑥 فإن 𝑢 = sec = 2
𝑢𝑑 𝑢
2
1
2
𝑢2
2 1
1
1
= 1−
2
2
= 𝑥𝑑 𝑥 tan 𝑥 𝑠𝑒𝑐 2
𝜋
4
0
•
=
•
=
•
:• الحل
𝜋
3
𝜋
6
• 𝑏)
sin 2𝑥 cos 2𝑥 𝑑𝑥
• 𝑢 = sin 2𝑥 ,
𝑑𝑢
𝑑𝑥
= 2 cos 2𝑥 , 𝑑𝑥 =
𝑢 = sin 2
𝜋
3
𝑢 = sin 2
•
𝜋
3
𝜋
6
• =
sin 2𝑥 cos 2𝑥 𝑑𝑥 =
1
2
3
2
3
2
𝑢 𝑑𝑢 = 0
3
2
3
2
𝑢 cos 2𝑥
𝑑𝑢
2 cos 2𝑥
=
𝜋
6
𝑑𝑢
2 cos 2𝑥
3
2
=
= 𝑥 فإن
3
فإن
2
𝑥=
𝜋
3
𝜋
4
• عندما
• عندما
:• حل آخر
𝜋
3
𝜋
6
• 𝑏)
sin 2𝑥 cos 2𝑥 𝑑𝑥
𝜋
•
1 3
𝜋 sin 4𝑥 𝑑𝑥
2
=
6
• =−
1
8
1
2
− − −
1
−
8
1
2
cos 4𝑥
=0
𝜋
3
𝜋
6
مثال ()9
• أوجد:
𝑥𝑑 3 𝑥 + 1
1
2
𝑥
+ 2𝑥 −
−1
3
𝑥𝑑 𝑥 𝑥 + 1
0
)𝑎 •
)𝑏 •
• الحل:
𝑥𝑑 3 𝑥 + 1
لتكن:
فإن
𝑥𝑑 = 𝑥 + 1
1
𝑢𝑑
2
1
2 + 2𝑥 −
𝑥
−1
= 𝑥 2 + 2𝑥 − 3
)𝑎 •
𝑢 •
𝑥𝑑 • 𝑑𝑢 = 2𝑥 + 2
• عندما 𝑥 = −1فإن 𝑢 = −4
• عندما
• عندئذ
𝑥 = 1فإن
𝑢=0
1 0 2
𝑢𝑑 𝑢
2 −4
= 𝑥𝑑 𝑥 + 1
2
𝑥 2 + 2𝑥 − 3
1
−1
0
1 𝑢3
2 3 −4
1
64
0+
2
3
32
3
= •
= •
= •
• الحل:
طريقة أولى بالتجزيء:
𝑥𝑑 𝑥 + 1
1
2
𝑥𝑑 𝑑𝑣 = 𝑥 + 1
3
2
𝑥+1
2
3
=𝑣
𝑢𝑑 𝑣
3
3
2
𝑥𝑑 𝑥 + 1
3
0
5
2
116
15
𝑥+1
3
2
2 3
− 0
3
0
3 3
4
2
0 − 15
5
2
= 4 −1
4
−
15
𝑥+1
𝑥2
3
𝑥 𝑥+1
3
2
3× 4
3
𝑥
0
)𝑏 •
𝑥=𝑢 •
𝑥𝑑 = 𝑢𝑑 •
𝑢 𝑑𝑣 = 𝑢𝑣 −
= 𝑥𝑑𝑥 + 1
2
3
=
2
3
=
3
𝑥
0
•
•
•
•
• الحل:
طريقة ثانية ∶
1
2
𝑥𝑑 )+ 1
𝑥𝑑+ 1 − 1) 𝑥 + 1
3
𝑥(
0
1
2
3
0
= 𝑥𝑑𝑥 + 1
3
𝑥(
0
=
3
𝑥(
0
=
+ 1) 𝑥 + 1𝑑𝑥 −
𝑥𝑑 )+ 1
3
𝑥(
0
3
2
+ 1) 𝑑𝑥 −
3
3
2
3
𝑥(
0
)(𝑥 + 1
2
−
0
3
5
2
)+ 1
2
𝑥(
5
116
15
3
𝑥
0
•
•
•
=
•
=
•
حاول أن تحل ()9
• أوجد:
𝑥𝑑 + 2𝑥 + 5
1
2
𝑥(
+
)1
𝑥
−1
5
𝑥𝑑𝑥 𝑥 − 1
2
)𝑎 •
)𝑏 •
• الحل:
𝑥𝑑 (𝑥 + 1) 𝑥 2 + 2𝑥 + 5
𝑢𝑑
)2(𝑥+1
= 2𝑥 + 2
= 𝑥𝑑
𝑢𝑑
𝑥𝑑
1
−1
)𝑎 •
• 𝑢 = 𝑥 2 + 2𝑥 + 5 ,
• عندما 𝑥 = −1فإن 𝑢 = 4
• عندما
𝑥 = 1فإن
𝑢𝑑
)2(𝑥+1
1
2
𝑢)+ 1
8
4
3
2
𝑢=8
8
𝑥(
4
= 𝑥𝑑 (𝑥 + 1) 𝑥 2 + 2𝑥 + 5
𝑥 2 + 2𝑥 + 5
1
3
=
8
1 2 3
𝑢2
2 3
4
=
1
−1
1 1 1
𝑢𝑑 𝑢2
−1
2
•
•
• ≃ 4.8758
• الحل:
𝑥𝑑𝑥 − 1
5
𝑥
2
)𝑏 •
𝑥𝑑 = 𝑢𝑑 • 𝑢 = 𝑥 − 1 , 𝑥 = 𝑢 + 1 ,
• عندما 𝑥 = 2فإن 𝑢 = 1
• عندما
𝑥 = 5فإن
𝑢=4
3
2
1
2
𝑥𝑑 𝑢 𝑢 +
4
1
1
2
= 𝑢𝑑 𝑢)+ 1
4
1
3
2
𝑥−1
2
3
3
2
4
𝑢
+
2
+
3
1
5
2
−1
5
2
5
𝑢(
2
•
2
5
= •
2
𝑥
5
256
15
= •
𝑢
= •
مثال ()10
• أوجد:
𝑥 0
𝑥𝑑
𝑥 𝑒 −2
•
• الحل:
0
𝑥𝑑 𝑥−
𝑒𝑥
−2
نستخدم التكامل بالتجزيء ∶
•
𝑥𝑑 𝑥𝑑𝑣 = 𝑒 −
𝑥𝑣 = −𝑒 −
𝑥=𝑢 •
𝑥𝑑 = 𝑢𝑑 •
𝑢𝑑 𝑣
•
0
𝑥𝑑 𝑥−
𝑒−
−2
1 − 𝑒2
−
0
−2
+ 2𝑒 2
𝑢 𝑑𝑣 = 𝑢𝑣 −
𝑥= − 𝑥𝑒 −
=− 0
−
= −2𝑒 2 − 1 + 𝑒 2
= −𝑒 2 − 1
0
𝑥𝑑 𝑥−
𝑒𝑥
−2
•
•
•
•
حاول أن تحل ()10
• أوجد:
𝑥𝑑 𝑥 𝑥 𝑠𝑒𝑐 2
𝜋
4
0
•
:• الحل
•
𝜋
4
0
𝑥 𝑠𝑒𝑐 2 𝑥 𝑑𝑥
• 𝑢=𝑥
• 𝑑𝑢 = 𝑑𝑥
•
•
𝑑𝑣 = 𝑠𝑒𝑐 2 𝑥 𝑑𝑥
𝑣 = tan 𝑥
𝑢 𝑑𝑣 = 𝑢𝑣 −
𝜋
4
0
𝑣 𝑑𝑢
𝑥 𝑠𝑒𝑐 2 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑥 tan 𝑥
•
= 𝑥 tan 𝑥
•
=
•
=
𝜋
−0
4
𝜋
− ln
4
𝜋
4
0
𝜋
4
0
−
𝜋
4
0
tan 𝑥 𝑑𝑥
− ln sec 𝑥
𝜋
4
0
− ln 2 − ln 1
2
مثال ()11
• أوجد:
5 2𝑥+8
𝑥𝑑
1 𝑥 2 +4𝑥+3
•
• الحل:
• نوجد الكسور الجزئية للدالة الحدودية النسبية
نكتب ∶
2𝑥+8
𝑓 𝑥 = 2
𝑥 +4𝑥+3
2𝑥+8
=
)(𝑥+1)(𝑥+3
𝐵
𝑥+3
+
𝐴
𝑥+1
=
𝑥 𝑓 •
2𝑥+8
)(𝑥+1)(𝑥+3
•
ونعوض 𝑥 و 𝑥 = −3
• نضرب طرفي المعادلة بـ )(𝑥 + 1)(𝑥 + 3
ّ
= −1فنجد على الترتيب 𝐵 = −1 ,𝐴 = 3
• وبالتالي:
ومنه ∶
1
𝑥+3
−
3
𝑥+1
= 𝑥 𝑓
5
3
1
−
𝑥𝑑
1 𝑥+1
𝑥+3
𝑥𝑑 5
𝑥𝑑 5
3 1
− 1
𝑥+1
𝑥+3
=
=
5 2𝑥+8
𝑥𝑑
1 𝑥 2 +4𝑥+3
•
•
•
•
•
•
5 2𝑥+8
𝑑𝑥
1 𝑥 2 +4𝑥+3
5
3
1
= 1
−
𝑑𝑥
𝑥+1
𝑥+3
5 𝑑𝑥
5 𝑑𝑥
=3 1
− 1
𝑥+1
𝑥+3
= 3 ln 𝑥 + 1 15 − ln
𝑥 + 3 15
= 3 ln 6 − ln 2 − ln 8 − ln 4
6
2
8
4
•
= 3 ln − ln
•
= 3 ln 3 − ln 2
∶ ومنه
حاول أن تحل ()11
• أوجد:
7 3𝑥 2 −17
𝑥𝑑
4 𝑥 2 −𝑥−6
•
• الحل:
• نوجد الكسور الجزئية للدالة الحدودية النسبية
3𝑥 2 −17
𝑥 2 −𝑥−6
= 𝑥 𝑓
3𝑥 2 −17
)(𝑥−3)(𝑥+2
• نكتب ∶
3𝑥 2 −17
)(𝑥−3)(𝑥+2
باستخدام القسمة المطولة
3
3𝑥 2
− 17
3𝑥 2 − 3𝑥 − 18
3𝑥 + 1
𝐵
+ 𝑥+2
= 𝑥 𝑓
𝐴
𝑥−3
=3+
•
•
•
•
𝑥2 − 𝑥 − 6
3𝑥+1
)(𝑥−3)(𝑥+2
=3+
•
3𝑥 2 −17
)(𝑥−3)(𝑥+2
•
ونعوض 𝑥 و 𝑥 = 3
• نضرب طرفي المعادلة بـ )(𝑥 − 3)(𝑥 + 2
ّ
= −2فنجد على الترتيب 𝐵 = 1 ,𝐴 = 2
• وبالتالي:
2
1
+
𝑥−3
𝑥+2
= 𝑥 𝑓
7 3𝑥 2 −17
7
2
1
𝑥𝑑
=
3
+
+
𝑥𝑑
4 𝑥 2 −𝑥−6
4
𝑥−3
𝑥+2
7
𝑥𝑑 7
𝑥𝑑 7
= 4 3𝑑𝑥 + 2 4
+ 4
𝑥−3
𝑥+2
= 3 7 − 4 + 2 ln 𝑥 − 3 74 + ln 𝑥 + 2 74
•
•
•
• = 9 + 2 ln 4 − ln 1 + ln 9 − ln 6
9
ln
6
3
ln
2
• = 9 + 2 ln 4 +
• = 9 + 2 ln 4 +
المرشد لحل المسائل
المرشد لحل المسائل
• إن معدل التغير الشهري في دالة العائدات للمتجر الذي يملكه فهد من بيع
𝑅𝑑
حيث 𝑥 هو عدد الوحدات
سلعة معينة هو 𝑥 = 𝑅′ 𝑥 = 𝑥 2 −
𝑥𝑑
المباعة شهريًّا من السعلة و 𝑅 هو العائدات الشهرية من بيع 𝑥 وحدات من
السلعة نفسها بالدينار.
• 𝑎( اشرح كيف يمكن لفهد أن يجد الدالة التي تمثل العائدات الشهرية في
متجره من بيع السلعة المذكورة.
• 𝑏( ما هي عائدات فهد في الشهر الذي يباع خالله 30وحدة من السلعة
المذكورة؟
• الحل:
• 𝑎( إليجاد دالة العائدات ف ّكر فهد بإيجاد المشتقة العكسية لمعدل التغير الشهري,
وهنا قام بوضع 𝑥𝑑 𝑥 𝑅′
= 𝑥 𝑅 أي 𝑥𝑑 𝑥 𝑥 2 −
= 𝑥 𝑅 مما
𝑥3 𝑥2
يعطي دالة العائدات على النحو 𝐶 𝑅 𝑥 = − +مما يجعل وجود الثابت
3
2
𝐶 ً
لغزا ,عندها ف ّكر وانتبه أنه عندما ال تباع أي وحدة شهريًا يكون العائد هو
0أي 𝑅 0 = 0مما يعطيه أن 𝐶 = 0وهنا تأكد أن دالة العائدات الشهرية
𝑥3 𝑥2
هي( 𝑅 𝑥 = − :دينار) في الشهر عندما يبيع 𝑥 وحدة.
3
2
• 𝑏( أما عائدات المتجر من السلعة عندما يبيع 30وحدة هو:
)دينارا( = 9000 − 450 = 8550
ً
30 2
2
−
30 3
3
= • 𝑅 30
مسألة إضافية
• إن معدل التغير األسبوعي في دالة التكلفة لمصنع اإلطارات الذي يملكه
𝐶𝑑
إطارا أسبوعيًّا هو = 𝐶 ′ 𝑥 = 10𝑥 + 50 :
عيسى عند صنع 𝑥
ً
𝑥𝑑
حيث )𝑥(𝐶 هي التكلفة األسبوعية من بيع 𝑥 إطار بالدينار.
• 𝑎( اشرح كيف يمكن لعيسى أن يجد الدالة التي يمثل التكلفة األسبوعية
لصنع 𝑥 إطار عل ًما أن التكلفة لصنع 10إطارات أسبوعيًّا هي 2000
دينار.
• 𝑏( ما هي تكلفة صنع 20
إطارا في األسبوع الواحد في مصنع عيسى؟
ً
• الحل:
• 𝑎( إليجاد الدالة التي تمثل التكلفة األسبوعية فيجب إيجاد المشتقة العكسية
لمعدل التغير األسبوعي ,وذلك عن طريق 𝑥𝑑 𝐶 𝑥 = 10𝑥 + 50
مما يعطي دالة التكلفة األسبوعية على النحو 𝑐 𝐶 𝑥 = 5𝑥 2 + 50𝑥 +
وإليجاد قيمة الثابت نستطيع عن طريق التعويض بعدد اإلطارات المعطى
بالسؤال لتصبح القيمة 2000دينار عن طريق𝐶 10 :
= 5(10)2 +50 10 + 𝑐 = 2000فإن1000 + 𝑐 = 2000 :
أي أن الثابت 𝑐 = 1000
• فتصبح الدالة . 𝐶 𝑥 = 5𝑥 2 + 50𝑥 + 1000
• 𝑏( إليجاد التكلفة يجب التعويض بـ 𝑥 = 20فتصبح:
)دينارا( • 𝐶 20 = 5(20)2 +50 20 + 1000 = 4000
ً
مع جزيل الشكر
أ .براك فايز العلي