اإلدارة العامة لمنطقة العاصمة التعليمية ) (5-6 التكامل باستخدام الكسور الجزئية الموجهة األولى للمادة مدير المدرسة أ / حصة العلي أ / جاسم الطراروة تقديم أ / جالل.
Download ReportTranscript اإلدارة العامة لمنطقة العاصمة التعليمية ) (5-6 التكامل باستخدام الكسور الجزئية الموجهة األولى للمادة مدير المدرسة أ / حصة العلي أ / جاسم الطراروة تقديم أ / جالل.
اإلدارة العامة لمنطقة العاصمة التعليمية ) (5-6التكامل باستخدام الكسور الجزئية الموجهة األولى للمادة مدير المدرسة أ /حصة العلي أ /جاسم الطراروة تقديم أ /جالل محمد عثمان رئيس القسم أ /وليد طه محمد الموجه الفني أ /علي الخضري األهداف السلوكية يحلل كثيرة حدود إلى عوامل خطية. يوحد مقامات حدوديات نسبية. يكتب الحدودية النسبية بشكل كسور جزئية يستخدم القسمة المطولة لتبسيط الحدودية النسبية يوجد تكامل حدودية نسبية باستخدام الكسور الجزئية. المفردات والمفاهيم الجديدة كسور جزئية ()Partial Fractions تفكيك ()Expand عامل خطي ()Linear Factor الوسائل التعليمية الكتاب املدرس ي – كتاب التدريبات – كراسة الطالب -اآللة الحاسبة تذكر أن 1 𝑐 𝑑𝑥 = ln 𝑥 + 𝑥 ′ 𝑢 𝑐 𝑑𝑥 = ln 𝑢 + 𝑢 وبصورة أخرى 𝑐 𝑑𝑥 = ln 𝑔(𝑥) + ′ )𝑥( 𝑔 )𝑥(𝑔 دعنا نفكر و نتناقش 𝟐 𝟐 − لتكن الدالة 𝒇 : 𝟐𝒙− 𝟐𝒙+ )𝒙(𝒓 = اكتب )𝒙(𝒇على الصورة )𝒙(𝒉 𝟏 𝒙 𝒇 𝒙 = + الحل 𝒙 𝒇 حيث )𝒙(𝒉 هو المقام المشترك. )𝟐 𝒙 − 𝟐 𝒙 + 𝟐 + 𝟐𝒙 𝒙 + 𝟐 − 𝒙(𝒙 − = 𝒙 𝒇 )𝟐 𝒙(𝒙 − 𝟐)(𝒙 + 𝒙𝟐 𝒙𝟐 − 𝟒 + 𝟐𝒙𝟐 + 𝟒𝒙 − 𝒙𝟐 + = 𝒙 𝒇 )𝟐 𝒙(𝒙 − 𝟐)(𝒙 + 𝒙𝟐 𝒙𝟐 − 𝟒 + 𝟐𝒙𝟐 + 𝟒𝒙 − 𝒙𝟐 + = 𝒙 𝒇 )𝟐 𝒙(𝒙 − 𝟐)(𝒙 + 𝟒 𝟐𝒙𝟐 + 𝟔𝒙 − = 𝒙 𝒇 𝒙𝟒 𝒙𝟑 − دعنا نفكر و نتناقش لتكن الدالة : g نأخذ : 𝑪 𝟐𝒙+ + 𝟒𝒙𝟐 +𝟖𝒙− )𝟒𝒙(𝒙𝟐 − 𝑩 𝟐𝒙− 𝑨 𝒙 = + = 𝒙 𝒈 𝟒𝒙𝟐 +𝟖𝒙− )𝟐𝒙(𝒙−𝟐)(𝒙+ اضرب طرفي المعادلة في 𝒙 ثم بسط و عوض عن 𝒙 بالصفر ,استنتج قيمة .A 𝟒 𝒙𝟐 + 𝟖𝒙 − 𝒙𝑩 𝒙𝑪 =𝑨+ + 𝟐 𝟒𝒙 − 𝟐𝒙−𝟐 𝒙+ بالتعويض عن 𝟎 = 𝒙 𝟏=𝑨 اضرب طرفي المعادلة في )𝟐 (𝒙 −ثم بسط و عوض عن 𝒙 بـ ,2استنتج قيمة .B )𝟐 𝒙𝟐 + 𝟖𝒙 − 𝟒 𝑨(𝒙 − )𝟐 𝑪(𝒙 − = +𝑩+ )𝟐 𝒙(𝒙 + 𝒙 𝟐𝒙+ بالتعويض عن 𝟐 = 𝒙 𝟐=𝑩 دعنا نفكر و نتناقش اضرب طرفي المعادلة في )𝟐 (𝒙 +ثم بسط وعوض عن 𝒙 بـ ) ,(-2استنتج قيمة .C )𝟐 𝒙𝟐 + 𝟖𝒙 − 𝟒 𝑨(𝒙 + 𝟐) 𝑩(𝒙 + = + 𝑪+ )𝟐 𝒙(𝒙 − 𝒙 𝟐𝒙− بالتعويض عن 𝟐𝒙 = − ما العالقة بين 𝒇 𝒙 , 𝒈(𝒙). )𝒙(𝒈 = 𝒙 𝒇 𝟐𝑪 = − مقدمة ستقتصر دراستنا على تكامل الحدوديات النسبية التي يمكن تحليل المقام إلى عوامل خطية. 𝒙𝒅 𝒇 𝒙 . )𝒙(𝒓 حيث )𝒙(𝒉 = 𝒙 𝒇 ،المقام )𝒙(𝒉 على الصورة : ) 𝒌𝒃 𝒉 𝒙 = (𝒂𝟏 𝒙 + 𝒃𝟏 )(𝒂𝟐 𝒙 + 𝒃𝟐 )… (𝒂𝒌 𝒙 + او ال المقام يمكن تحليله إلى عوامل خطية غير مكررة المقام )𝒙(𝒉 عبارة عن ناتج ضرب عوامل خطية (من الدرجة األولى) غير مكررة. لتكن )𝒙(𝒓 )𝒙(𝒉 = 𝒙 𝒇 حيث المقام )𝒙(𝒉 على الصورة : ) 𝒌𝒃 𝒉 𝒙 = (𝒂𝟏 𝒙 + 𝒃𝟏 )(𝒂𝟐 𝒙 + 𝒃𝟐 )… (𝒂𝒌 𝒙 + حيث ال يوجد عوامل مكررة و ال يوجد عامل ثابت مضروب بآخر. في هذه الحالة تكون 𝒇 على صورة كسور جزئية كالتالي : )𝒙(𝒓 𝟏𝑨 𝟐𝑨 𝒌𝑨 = + + ⋯+ 𝟐𝒃 𝒉(𝒙) 𝒂𝟏 𝒙 + 𝒃𝟏 𝒂𝟐 𝒙 + 𝒌𝒃 𝒂𝒌 𝒙 + لتكن الدالة𝒇 : 𝟏𝟓𝒙− 𝟓𝟏𝒙𝟐 −𝟐𝒙− = 𝒙 𝒇 أوجد الكسور الجزئية 𝒙𝒅 𝒙 𝒇 الحل: المقام يحلل الى عوامل خطية غير مكررة )𝟓 𝒙𝟐 − 𝟐𝒙 − 𝟏𝟓 = (𝒙 + 𝟑)(𝒙 − 𝟏 𝟓𝒙 − 𝟏𝑨 𝟐𝑨 = + 𝟐 𝟓 𝒙 − 𝟐𝒙 − 𝟏𝟓 𝒙 + 𝟑 𝒙 − والتبسيط 𝟓𝒙 − 𝟏 = 𝑨𝟏 𝒙 − 𝟓 + )𝟑𝒙𝑨𝟐 (𝒙 + بضرب طرفي المعادلة في 𝟓 + 𝟑 𝒙 − بالتعويض عن𝟑𝟓== 𝟐𝑿𝑨 𝟑 𝟓 𝟓 − 𝟏 = 𝑨𝟏 𝟓 − 𝟓 + 𝑨𝟐 𝟓 + =𝑨𝑿 بالتعويض عن𝟐𝟑− = 𝟏 𝟑 𝟓 −𝟑 − 𝟏 = 𝑨𝟏 −𝟑 − 𝟓 + 𝑨𝟐 −𝟑 + 𝒖 𝒅𝒙 = 𝒍𝒏 𝒖 + 𝒄 𝒖 𝟓𝒙 − 𝟏 𝟐 𝟑 = + 𝟐 𝒙 − 𝟐𝒙 − 𝟏𝟓 𝒙 + 𝟑 𝒙 − 𝟓 𝒇 𝒙 𝒅𝒙 = = = =𝟐 𝟓𝒙 − 𝟏 𝒅𝒙 𝟐 𝒙 − 𝟐𝒙 − 𝟏𝟓 𝟐 𝟑 + 𝒅𝒙 𝒙+𝟑 𝒙−𝟓 𝟐 𝒅𝒙 + 𝒙+𝟑 𝟑 𝒅𝒙 𝒙−𝟓 𝟏 𝒅𝒙 + 𝟑 𝒙+𝟑 𝟏 𝒅𝒙 𝒙−𝟓 = 𝟐𝒍𝒏 𝒙 + 𝟑 + 𝟑𝒍𝒏 𝒙 − 𝟓 + 𝑪 لتكن الدالة : f 𝟏𝟐𝒙− 𝟑𝒙𝟐 −𝟒𝒙+ = 𝒙 𝒇 أوجد الكسور الجزئية 𝒙𝒅 𝒙 𝒇 الحل: المقام يحلل الى عوامل خطية غير مكررة )𝟏 𝒙𝟐 − 𝟒𝒙 + 𝟑 = (𝒙 − 𝟑)(𝒙 − 𝟐𝐀 = + 𝟏𝐱− بضرب طرفي المعادلة في 𝟏 − 𝟑 𝒙 − والتبسيط 𝟐𝒙 − 𝟏 = 𝑨𝟏 𝒙 − 𝟏 + )𝟑𝒙𝑨𝟐 (𝒙 − بالتعويض عن 𝟏 = 𝑿 𝟏− 𝟐 = 𝟐𝑨 𝟏𝑨 𝟑𝒙− 𝟏𝟐𝒙− 𝟑𝒙𝟐 −𝟒𝒙+ 𝟑 𝟐 𝟏 − 𝟏 = 𝑨𝟏 𝟏 − 𝟏 + 𝑨𝟐 𝟏 − بالتعويض عن 𝟑 = 𝑿 𝟓 = 𝟏𝑨 𝟐 𝟑 𝟐 𝟑 − 𝟏 = 𝑨𝟏 𝟑 − 𝟏 + 𝑨𝟐 𝟑 − 𝟓 −𝟏 𝟐𝒙 − 𝟏 𝟐 + 𝟐 = 𝒙𝟐 − 𝟒𝒙 + 𝟑 𝒙 − 𝟑 𝒙 − 𝟏 𝟐𝒙 − 𝟏 𝒇 𝒙 𝒅𝒙 = 𝒅𝒙 𝟐 𝒙 − 𝟒𝒙 + 𝟑 = = 𝟓 = 𝟐 𝟓 −𝟏 𝟐 + 𝟐 𝒅𝒙 𝒙−𝟑 𝒙−𝟏 𝟓 𝟐 𝒅𝒙 + 𝒙−𝟑 −𝟏 𝟐 𝒅𝒙 𝒙−𝟏 𝟏 𝟏 𝒅𝒙 − 𝒙−𝟑 𝟐 𝟏 𝒅𝒙 𝒙−𝟏 𝟓 𝟏 = 𝒍𝒏 𝒙 − 𝟑 − 𝒍𝒏 𝒙 − 𝟏 + 𝑪 𝟐 𝟐 أوجد : 𝟏𝒙𝟐 +𝟐𝒙− 𝒙𝒅 𝒙𝟐𝟐𝒙𝟑 +𝟑𝒙𝟐 − الحل: المقام يحلل الى عوامل خطية غير مكررة 𝟐 𝟐𝒙𝟑 + 𝟑𝒙𝟐 − 𝟐𝒙 = 𝒙 𝟐𝒙𝟐 + 𝟑𝒙 − 𝟐 = 𝒙 𝟐𝒙 − 𝟏 𝒙 + 𝟏 𝒙𝟐 + 𝟐𝒙 − 𝟏𝑨 𝟐𝑨 𝟑𝑨 = + + 𝟐 𝒙 𝟐𝒙 − 𝟏 𝒙 + 𝟐 𝒙 𝟐𝒙 − 𝟏 𝒙 + والتبسيط𝟏 𝒙𝟐 + 𝟐𝒙 − 𝟏 = 𝑨𝟏 𝟐𝒙 − 𝒙 + 𝟐𝒙 + ++ في 𝟐 𝟐+ المعادلة𝟑𝑨 𝒙 𝟐𝒙 − بضرب 𝟏 𝒙 𝒙 𝟏𝒙 𝟐 𝟐𝒙𝑨− طرفي بالتعويض عن 𝟎 = 𝑿𝟎 𝟑𝑨 𝟎𝟐 + 𝟐 𝟎 − 𝟏 = 𝑨𝟏 𝟎 − 𝟏 𝟎 + 𝟐 + 𝑨𝟐 𝟎 + 𝟏 𝟐 = 𝟏𝑨 𝟏 𝒙𝟐 + 𝟐𝒙 − 𝟏 = 𝑨𝟏 𝟐𝒙 − 𝟏 𝒙 + 𝟐 + 𝑨𝟐 𝒙 𝒙 + 𝟐 + 𝑨𝟑 𝒙 𝟐𝒙 − 𝟏 𝟐 بالتعويض عن = 𝑿 𝟏 𝟓 𝟐𝑨 − 𝟏 = 𝑨𝟏 𝟎 + 𝟎 𝟑𝑨 + 𝟐 𝟐 𝟏 𝟐+ 𝟐 𝟐 𝟏 𝟐 𝟏 = 𝟐𝑨 𝟓 بالتعويض عن 𝟐𝑿 = − 𝟓+ 𝟐 −𝟐 − 𝟏 = 𝑨𝟏 𝟎 + 𝑨𝟐 𝟎 + 𝑨𝟑 −𝟐 − 𝟐 𝟐− 𝟏 𝑨𝟑 = − 𝟎𝟏 𝟏 𝟏− 𝟏 𝟏 𝒙 + 𝟐𝒙 − 𝟎𝟏 = 𝟐 + 𝟓 + 𝟐 𝒙 𝟐𝒙 − 𝟏 𝒙 + 𝟐 𝒙 𝟐𝒙 − 𝟏 𝒙 + 𝟐 𝒙𝟐 + 𝟐𝒙 − 𝟏 𝒅𝒙 𝟑 𝟐 𝟐𝒙 + 𝟑𝒙 − 𝟐𝒙 = 𝟏 = 𝟐 𝟏 −𝟏 𝟏 𝟐 + 𝟓 + 𝟏𝟎 𝒅𝒙 𝒙 𝟐𝒙 − 𝟏 𝒙 + 𝟐 𝟏 𝒙 𝟏 𝒅𝒙 + 𝟓 𝟏 𝟏 𝒅𝒙 − 𝟐𝒙 − 𝟏 𝟏𝟎 𝟏 𝒅𝒙 𝒙+𝟐 𝟏 𝟏 𝟏 = 𝒍𝒏 𝒙 + 𝒍𝒏 𝟐𝒙 − 𝟏 − 𝒍𝒏 𝒙 + 𝟐 + 𝑪 𝟐 𝟏𝟎 𝟏𝟎 أوجد : 𝟐𝒙𝟐 − 𝒙𝒅 𝒙𝟑𝟐𝒙𝟑 −𝟓𝒙𝟐 − الحل: المقام يحلل الى عوامل خطية غير مكررة 𝟑 𝟐𝒙𝟑 − 𝟓𝒙𝟐 − 𝟑𝒙 = 𝒙 𝟐𝒙𝟐 − 𝟓𝒙 − 𝟑 = 𝒙 𝟐𝒙 + 𝟏 𝒙 − 𝟐 𝒙𝟐 − 𝟏𝑨 𝟐𝑨 𝟑𝑨 = + + 𝟑 𝒙 𝟐𝒙 + 𝟏 𝒙 − 𝟑 𝒙 𝟐𝒙 + 𝟏 𝒙 − والتبسيط 𝒙𝟐 − 𝟐 = 𝑨𝟏 𝟐𝒙 + 𝟏 𝒙 − 𝟑 + 𝑨𝒙𝟐 𝒙𝟐𝒙𝒙+ 𝒙 𝟑𝟏− +− في 𝒙𝟑𝟑𝑨 المعادلة𝒙𝟐 بضرب طرفي 𝟏 + بالتعويض عن 𝟎 = 𝑿 𝟎 𝟑𝑨 𝟎𝟐 − 𝟐 = 𝑨𝟏 𝟎 + 𝟏 𝟎 − 𝟑 + 𝑨𝟐 𝟎 + 𝟐 𝟑 = 𝟏𝑨 𝟏 𝒙𝟐 − 𝟐 = 𝑨𝟏 𝟐𝒙 + 𝟏 𝒙 − 𝟑 + 𝑨𝟐 𝒙 𝒙 − 𝟑 + 𝑨𝟑 𝒙 𝟐𝒙 + بالتعويض عن 𝟏− 𝟐 =𝑿 𝟏 𝟕 𝟎 𝟑𝑨 − 𝟐 = 𝑨𝟏 𝟎 − 𝑨𝟐 − + 𝟐 𝟐 𝟐 𝟏 − 𝟐 𝟏𝑨𝟐 = − بالتعويض عن 𝟑 = 𝑿 𝟕 𝟑𝑨 𝟑 − 𝟐 = 𝑨𝟏 𝟎 + 𝑨𝟐 𝟎 + 𝟐 𝟑 𝟏 = 𝟑𝑨 𝟑 𝟐 𝟏 𝟐𝒙 − 𝟏− 𝟑 = + 𝟑 + 𝟑 𝒙 𝟐𝒙 + 𝟏 𝒙 − 𝟑 𝒙 𝟐𝒙 + 𝟏 𝒙 − 𝟐 𝒙𝟐 − 𝟐 𝒅𝒙 𝟑 𝟐 𝟐𝒙 − 𝟓𝒙 − 𝟑𝒙 𝟐 𝟏 𝟑− 𝟏 + 𝟑 𝒅𝒙 𝒙 𝟐𝒙 + 𝟏 𝒙 − 𝟑 = 𝟐 = 𝟑 = 𝟏 𝒅𝒙 − 𝒙 𝟐 𝒍𝒏 𝟑 𝒙 − 𝟏 𝟏 𝒅𝒙 + 𝟐𝒙 + 𝟏 𝟑 𝟏 𝒍𝒏 𝟐 𝟐𝒙 + 𝟏 𝟏 𝒅𝒙 𝒙−𝟑 𝟏 + 𝒍𝒏 𝟑 𝒙−𝟑 +𝑪 ثانياا :المقام يمكن تحليله إلى عوامل خطية بعضها متكرر المقام ) h(xعبارة عن ناتج ضرب عوامل خطية بعضها متكرر. لكل عامل من عوامل ) h(xعلى الصورة: 𝒌)𝒏 (𝒎 𝒙 + يجب أن يحتوي التفكيك إلى كسور جزئية على مجموع حدود عددها .k 𝟏𝑨 𝟐𝑨 𝒌𝑨 + + ⋯+ 𝟐 )𝒏 𝒎 𝒙 + 𝒏 (𝒎 𝒙 + 𝒌)𝒏 (𝒎 𝒙 + أوجد : 𝟒−𝒙𝟐 +𝟐𝒙+ 𝒙𝒅 𝒙𝟒𝒙𝟑 −𝟒𝒙𝟐 + الحل: 𝟐 المقام يحلل الى عوامل خطية بعضها مكررة 𝟐)𝟐 (𝒙 − يفكك الى حدين 𝟐 𝒙𝟑 − 𝟒𝒙𝟐 + 𝟒𝒙 = 𝒙 𝒙𝟐 − 𝟒𝒙 + 𝟒 = 𝒙 𝒙 − 𝟐 𝟏𝑨 𝟒 −𝒙𝟐 + 𝟐𝒙 + 𝟐𝑨 𝟑𝑨 = + + 𝟑 𝟐 𝒙𝟒 𝒙 − 𝟒𝒙 + 𝟐𝒙 𝒙− 𝟐𝒙− 𝒙 𝑨 𝟐 + 𝑨 𝒙 𝒙 − 𝟐𝟐 + والتبسيط𝟐 −𝒙𝟐 + 𝟐𝒙 + 𝟒 = 𝑨𝟏 𝒙 − المعادلة في 𝟐 𝟐𝒙 𝒙 − 𝟑 بضرب طرفي 𝑨𝑿 عن=𝟐 𝟑= بالتعويض 𝟐 𝟐 𝟑𝑨 −(𝟐)𝟐 + 𝟐 𝟐 + 𝟒 = 𝑨𝟏 𝟎 + 𝑨𝟐 𝟎 + بالتعويض 𝟏 =𝑨𝑿 عن 𝟎 = 𝟏 𝟎 𝟑𝑨 −𝟎𝟐 + 𝟐 𝟎 + 𝟒 = 𝑨𝟏 𝟒 + 𝑨𝟐 𝟎 + نعوض في المعادلة عن قيمة 𝟏𝑨 و 𝟑𝑨 و إحدى القيم لـ 𝒙 و لتكن 𝟏 = 𝒙 𝟐𝑨𝟐 = − 𝟏 𝟐 + 𝑨𝟐 𝟏 𝟏 − 𝟐 + 𝟐 𝟐 −(𝟏)𝟐 + 𝟐 𝟏 + 𝟒 = 𝟏 𝟏 − 𝟐 𝟏 𝟒 −𝒙𝟐 + 𝟐𝒙 + 𝟐− 𝟐 = + + 𝟑 𝟐 𝟐 𝒙 − 𝟒𝒙 + 𝟒𝒙 𝒙 𝒙 − 𝟐𝒙− 𝟒 −𝒙𝟐 + 𝟐𝒙 + 𝒙𝒅 𝟑 𝟐 𝒙𝟒 𝒙 − 𝟒𝒙 + تذكر أن : +c 𝟏(𝒙−𝟐)− 𝟏− = 𝒙𝒅 𝟐𝟐)− (𝒙 − 𝒙𝒅 dx 𝒙𝒅 𝟐− 𝟐𝒙− 𝑪+ 𝟐− 𝟐 𝟐 𝟐𝒙− + 𝟐+𝟐 𝒙− 𝟏 𝟐 𝒅𝒙 + 𝟐𝒙− 𝟐 𝟐𝒙− 𝟐− + 𝟐𝒙− 𝟐 𝟐𝒙− − 𝟏 𝒙 𝟏 𝒙 𝟏 𝟐 𝒅𝒙 − 𝒙 = = = = 𝒍𝒏 𝒙 − 𝟐𝒍𝒏 𝒙 − 𝟐 − أوجد : 𝟏𝟒𝒙𝟐 −𝟒𝒙+ 𝒙𝒅 𝒙𝒙𝟑 −𝟐𝒙𝟐 + الحل: المقام يحلل الى عوامل خطية بعضها مكررة 𝟐 𝟐)𝟏 (𝒙 − يفكك الى حدين 𝟏 𝒙𝟑 − 𝟐𝒙𝟐 + 𝒙 = 𝒙 𝒙𝟐 − 𝟐𝒙 + 𝟏 = 𝒙 𝒙 − 𝟐 𝟏 𝟒𝒙𝟐 − 𝟒𝒙 + 𝟏𝑨 𝟐𝑨 𝟑𝑨 = + + 𝟑 𝟐 𝒙𝟒 𝒙 − 𝟒𝒙 + 𝟏𝒙 𝒙− 𝟏𝒙− 𝒙 𝑨 𝟐 + 𝑨 𝒙 𝒙 − 𝟏𝟐 + والتبسيط𝟏 𝟒𝒙𝟐 − 𝟒𝒙 + 𝟏 = 𝑨𝟏 𝒙 − بضرب طرفي المعادلة في 𝟏 𝟐𝒙 𝒙 − 𝟑 بالتعويض 𝟏 عن=𝟏 𝟑=𝑨𝑿 𝟏 𝟑𝑨 𝟒(𝟏)𝟐 − 𝟒 𝟏 + 𝟏 = 𝑨𝟏 𝟎 + 𝑨𝟐 𝟎 + = 𝟎𝟏𝑨 =𝑿 بالتعويض𝟏عن 𝟎 𝟑𝑨 𝟒(𝟎)𝟐 − 𝟒 𝟎 + 𝟏 = 𝑨𝟏 𝟏 + 𝑨𝟐 𝟎 + نعوض في المعادلة عن قيمة 𝟏𝑨 و 𝟑𝑨 و إحدى القيم لـ 𝒙 و لتكن 𝟐 = 𝒙 𝟑 = 𝟐𝑨 𝟐 𝟏 + 𝑨𝟐 𝟐 𝟐 − 𝟏 + 𝟐 𝟏 𝟒(𝟐)𝟐 − 𝟒 𝟐 + 𝟏 = 𝟏 𝟐 − 𝟒𝒙𝟐 − 𝟒𝒙 + 𝟏 𝟏 𝟑 𝟏 = + + 𝟑 𝟐 𝒙 − 𝟒𝒙 + 𝟒𝒙 𝒙 𝒙 − 𝟏 𝒙−𝟏 𝟐 𝟒𝒙𝟐 − 𝟒𝒙 + 𝟏 𝒅𝒙 𝟑 𝟐 𝒙 − 𝟒𝒙 + 𝟒𝒙 = = 𝟏 𝟑 𝟏 + + 𝒙 𝒙−𝟏 𝒙−𝟏 𝟏 𝒅𝒙 + 𝟑 𝒙 𝟐 𝟏 𝒅𝒙 + 𝒙−𝟏 = 𝒍𝒏 𝒙 + 𝟑𝒍𝒏 𝒙 − 𝟏 − 𝒅𝒙 𝟏 𝒙−𝟏 𝟏 𝒙−𝟏 𝟐 𝒅𝒙 +𝑪 أوجد : 𝟐𝒙𝟑+𝒙+ 𝒙𝒅 𝟐𝒙𝟐𝒙𝟑 + الحل: المقام يحلل الى عوامل خطية بعضها مكررة 𝟐 𝒙𝟑 + 𝟐𝒙𝟐 = 𝒙𝟐 𝒙 + 𝟐𝑨 𝟏𝑨 𝟐𝒙 𝟑 + 𝒙 + 𝟑𝑨 = + 𝟐+ 𝟑 𝟐 𝒙𝟐 𝒙 + 𝒙 𝒙 𝟐𝒙+ 𝟐)𝒙( يفكك الى حدين والتبسيط𝟐 𝟑 + 𝒙 + 𝒙𝟐 = 𝑨𝟏 𝒙 𝒙 + بضرب طرفي المعادلة𝟐𝒙في𝟑𝑨 + 𝑨𝟐 𝒙𝒙𝟐+𝒙𝟐+ 𝟐+ 𝟎 𝟑𝑨 𝟑 + 𝟎 + (𝟎)𝟐 = 𝑨𝟏 𝟎 + 𝑨𝟐 𝟐 + =𝑿 بالتعويض 𝟐𝟑/عن=𝟎𝟐𝑨 𝟐𝑿 =𝑨− 𝟒𝟓/عن بالتعويض = 𝟑 𝟐 𝟐𝟑 − 𝟐 + (−𝟐)𝟐 = 𝑨𝟏 𝟎 + 𝑨𝟐 𝟎 + 𝑨𝟑 − نعوض في المعادلة عن قيمة 𝟐𝑨 و 𝟑𝑨 و إحدى القيم لـ 𝒙 و لتكن 𝟏 = 𝒙 𝟏− 𝟒 = 𝟏𝑨 𝟐 𝟓 𝟏 ) (𝟑 + 𝟒 𝟑 𝟐 𝟑 + 𝟏 + (𝟏)𝟐 = 𝟑𝑨𝟏 + 𝒙𝟐 𝟑+𝒙+ 𝒙𝟑 + 𝟐𝒙𝟐 𝟏 𝟑 𝟓 = 𝟒 + 𝟐𝟐 + 𝟒 𝒙 𝒙 𝒙+𝟐 − 𝟑 + 𝒙 + 𝒙𝟐 𝒅𝒙 𝟑 𝟐 𝒙 + 𝟐𝒙 −𝟏/𝟒 𝟑/𝟐 𝟓/𝟒 + 𝟐 + 𝒅𝒙 𝒙 𝒙 𝒙+𝟐 = 𝟏 =− 𝟒 =− 𝟏 𝟒 𝟏 𝟑 𝒅𝒙 + 𝒙 𝟐 𝒍𝒏 𝒙 − 𝟑 𝟐𝒙 𝟏 𝟓 𝒅𝒙 + 𝟐 𝒙 𝟒 + 𝟓 𝒍𝒏 𝟒 𝟏 𝒅𝒙 𝒙+𝟐 𝒙+𝟐 +𝑪 أوجد : 𝟏𝒙𝟐 + 𝒙𝒅 𝟐𝒙𝟒𝒙𝟑 + الحل: المقام يحلل الى عوامل خطية بعضها مكررة 𝟐)𝒙( يفكك الى حدين 𝟒 𝒙𝟑 + 𝟒𝒙𝟐 = 𝒙𝟐 𝒙 + 𝟏 𝒙𝟐 + 𝟐𝑨 𝟏𝑨 𝟑𝑨 = + 𝟐+ 𝟑 𝟐 𝒙𝟒 𝒙 + 𝒙 𝒙 𝟒𝒙+ 𝟐 والتبسيط 𝟒𝑨𝒙 + 𝑨 𝒙𝟐 + 𝟏 = 𝑨𝟏 𝒙 𝒙 + 𝟒 + 𝟒𝟐 + 𝒙𝟐 𝒙 + بضرب طرفي المعادلة في 𝒙 𝟑 𝟎 𝟑𝑨 (𝟎)𝟐 +𝟏 = 𝑨𝟏 𝟎 + 𝑨𝟐 𝟒 + بالتعويض عن 𝟎 = 𝟒𝑨𝟐 =𝑿𝟏/ بالتعويض عن 𝟒𝑿 = − 𝑨𝟑 = 17/16 𝟐 𝟒= 𝑨𝟏 𝟎 + 𝑨𝟐 𝟎 + 𝑨𝟑 − 𝟏(−𝟒)𝟐 + نعوض في المعادلة 𝟐𝑨 و 𝟑𝑨 و قيمة لـ 𝒙 و لتكن 𝟏 = 𝒙 𝑨𝟏 = −𝟏/16 𝟐 𝟏 𝟓 + 17/16 𝟒(𝟏)𝟐 +𝟏 = 𝟓𝑨𝟏 + 𝟏/ 𝒙𝟐 + 𝟏 −𝟏/𝟏𝟔 𝟏/𝟒 17/16 = + 𝟐 + 𝒙𝟑 + 𝟒𝒙𝟐 𝒙 𝒙 𝒙+𝟒 𝒙𝟐 + 𝟏 𝒅𝒙 𝟑 𝟐 𝒙 + 𝟒𝒙 −𝟏/𝟏𝟔 𝟏/𝟒 17/16 + 𝟐 + 𝒅𝒙 𝒙 𝒙 𝒙+𝟒 = −𝟏 = 𝟏𝟔 = −𝟏 𝟏𝟔 𝟏 𝟏 𝒅𝒙 + 𝒙 𝟒 𝒍𝒏 𝒙 − 𝟏 𝟏𝟕 𝒅𝒙 + 𝒙𝟐 𝟏𝟔 𝟏 𝟒𝒙 + 𝟏𝟕 𝒍𝒏 𝟏𝟔 𝟏 𝒅𝒙 𝒙+𝟒 𝒙+𝟒 +𝑪 عندما تكون درجة البسط ≤ درجة المقام في الحدودية : )𝒙(𝒓 = 𝒙 𝒇 )𝒙(𝒉 نوجد ناتج القسمة بالقسمة المطولة ثم نكتب الدالة على الصورة : حيث 𝒑(𝒙) :الباقي 𝒒 𝒙 ,الناتج . 𝟕𝒙𝟐 −𝟑𝒙+ 𝒙𝒅 𝟒𝒙𝟐 −𝟒𝒙+ أوجد : الحل: درجة البسط = درجة المقام 𝟏 𝟕 𝒙𝟐 − 𝟑𝒙 + 𝟒 𝒙𝟐 − 𝟒𝒙 + 𝟑𝒙+ - المقام يحلل الى عوامل𝟐𝒙 𝟒 − 𝟒𝒙 + خطية بعضها مكررة 𝟐)𝟐 (𝒙 − يفكك الى حدين 𝟕 𝒙𝟐 − 𝟑𝒙 + 𝟑𝒙+ =𝟏+ 𝟒 𝒙𝟐 − 𝟒𝒙 + 𝟐)𝟐 (𝒙 − 𝟑𝒙+ 𝟏𝑨 𝟐𝑨 = + 𝟐 )𝟐 (𝒙 − 𝟐)𝟐 𝒙 − 𝟐 (𝒙 − بضرب طرفي المعادلة في 𝟐)𝟐 (𝒙 −والتبسيط بالتعويض عن 𝟐 = 𝑿 𝟐𝑨 𝒙 + 𝟑 = 𝑨𝟏 𝒙 − 𝟐 + 𝟓 = 𝟐𝑨 𝟐𝑨 𝟐 + 𝟑 = 𝑨𝟏 𝟎 + نعوض في المعادلة 𝟐𝑨 و قيمة لـ 𝒙 و لتكن 𝟏 = 𝒙 𝟏 = 𝟏𝑨 𝟓 𝟏 + 𝟑 = 𝑨𝟏 −𝟏 + 𝒙+𝟑 𝟏 𝟓 = + 𝟐 (𝒙 − 𝟐) 𝒙 − 𝟐 (𝒙 − 𝟐)𝟐 𝒙𝟐 − 𝟑𝒙 + 𝟕 𝒅𝒙 𝟐 𝒙 − 𝟒𝒙 + 𝟒 = = 𝟏 𝟓 𝟏+ + 𝒅𝒙 𝟐 𝒙 − 𝟐 (𝒙 − 𝟐) 𝒅𝒙 + 𝟏 𝒅𝒙 + 𝟓 𝒙−𝟐 = 𝒙 + 𝒍𝒏 𝒙 − 𝟐 𝟓 − 𝒙−𝟐 𝟏 𝒅𝒙 (𝒙 − 𝟐)𝟐 +𝑪 𝟒𝒙𝟑 −𝟐𝒙𝟐 − 𝒙𝒅 𝟐𝒙𝟐𝒙𝟑 − أوجد : الحل: درجة البسط = درجة المقام 𝟏 𝟒 𝒙𝟑 − 𝟐𝒙𝟐 − 𝟐𝒙𝟐 𝒙𝟑 − 𝟒− 𝟒 𝒙𝟑 − 𝟐𝒙𝟐 − 𝟒− 𝟐 =𝟏+ 𝟐𝒙𝟐 𝒙𝟑 − )𝟐 𝒙 (𝒙 − المقام يحلل الى عوامل خطية 𝟐𝒙𝟐 𝒙𝟑 − بعضها مكررة - 𝟒− 𝟐𝑨 𝟏𝑨 𝟑𝑨 = + 𝟐+ 𝟐 𝒙𝟐 𝒙 − 𝒙 𝒙 𝟐𝒙− 𝟐𝒙 يفكك الى حدين 𝟐𝟐𝒙 𝟑𝑨 −𝟒 = 𝑨𝟏 𝒙 𝒙 − 𝟐 + 𝑨𝟐 𝒙 − 𝟐 + بضرب طرفي المعادلة في )𝟐 𝒙 (𝒙 −والتبسيط بالتعويض عن 𝟎 = 𝑿 𝟐 = 𝟐𝑨 بالتعويض عن 𝟐 = 𝑿 𝟏𝑨𝟑 = − 𝟎 𝟑𝑨 −𝟒 = 𝑨𝟏 𝟎 + 𝑨𝟐 −𝟐 + 𝟒 𝟑𝑨 −𝟒 = 𝑨𝟏 𝟎 + 𝑨𝟐 𝟎 + نعوض في المعادلة 𝟐𝑨 و 𝟑𝑨 و قيمة لـ 𝒙 و لتكن 𝟏 = 𝒙 𝟏 𝟏−𝟒 = 𝑨𝟏 −𝟏 + 𝟐 −𝟏 + − 𝟏 = 𝟏𝑨 𝟒 𝟏 𝟐 −𝟏 = + 𝟐+ 𝟐 𝒙 𝒙−𝟐 𝒙 𝒙 𝒙−𝟐 𝒙𝟑 − 𝟐𝒙𝟐 − 𝟒 𝒅𝒙 𝟑 𝟐 𝒙 − 𝟐𝒙 = = 𝟏 𝟐 −𝟏 𝟏+ + 𝟐+ 𝒅𝒙 𝒙 𝒙 𝒙−𝟐 𝒅𝒙 + 𝟏 𝒅𝒙 + 𝟐 𝒙 = 𝒙 + 𝒍𝒏 𝒙 − 𝟐 𝒙 𝟏 𝒅𝒙 − 𝟐 𝒙 𝟏 𝒅𝒙 𝒙−𝟐 − 𝒍𝒏 𝒙 − 𝟐 + 𝑪 أوجد : 𝟓𝟐𝟐𝒙𝟑 −𝟗𝒙𝟐 + 𝒙𝒅 𝟖𝒙𝟐 −𝟔𝒙+ الحل: درجة البسط < درجة المقام 𝟑𝟐𝒙 + 𝒙𝟐 − 𝟔𝒙 + 𝟖 𝟐𝒙𝟑 − 𝟗𝒙𝟐 + 𝟓𝟐 𝒙𝟔𝟏 𝟐𝒙𝟑 − 𝟏𝟐𝒙𝟐 + 𝟓𝟐 𝟑𝒙𝟐 − 𝟏𝟔𝒙 + 𝟒𝟐 𝟑𝒙𝟐 − 𝟏𝟖𝒙 + 𝟏 𝟐𝒙 + 𝟓𝟐 𝟐𝒙𝟑 − 𝟗𝒙𝟐 + 𝟏 𝟐𝒙 + 𝟐 = 𝟐𝒙 + 𝟑 + 𝟖 𝒙𝟐 − 𝟔𝒙 + 𝟖 𝒙 − 𝟔𝒙 + المقام يحلل الى - عوامل خطية غير مكررة - 𝟏 𝟐𝒙 + = 𝟐𝒙 + 𝟑 + )𝟒 (𝒙 − 𝟐)(𝒙 − 𝟏 𝟐𝒙 + 𝑨 𝑩 = + 𝟒 (𝒙 − 𝟐)(𝒙 − 𝟒) 𝒙 − 𝟐 𝒙 − بضرب طرفي المعادلة في 𝟒 𝒙 − 𝟐 𝒙 −والتبسيط )𝟐 𝟐𝒙 + 𝟏 = 𝑨 𝒙 − 𝟒 + 𝑩(𝒙 − 𝟗 بالتعويض عن 𝟒 = 𝑿 )𝟐(𝑩 𝟐(𝟒) + 𝟏 = 𝑨(𝟎) + =𝑩 𝟐 𝟓 بالتعويض عن 𝟐 = 𝑿 𝟐(𝟐) + 𝟏 = 𝑨 −𝟐 + 𝑩 𝟎 𝑨 = − 𝟐 𝟓 𝟗 𝟏 𝟐𝒙 + 𝟐 𝟐 + = 𝟒 (𝒙 − 𝟐)(𝒙 − 𝟒) 𝒙 − 𝟐 𝒙 − − 𝟓 𝟗 − 𝟓𝟐 + 𝟐 𝟐 + = 𝒙𝟐 + 𝟑 + 𝟖 𝒙𝟐 − 𝟔𝒙 + 𝟒𝒙−𝟐 𝒙− − 𝟐𝒙𝟗 𝟑𝒙𝟐 𝟐𝒙𝟑 − 𝟗𝒙𝟐 + 𝟐𝟓 𝒅𝒙 𝟐 𝒙 − 𝟔𝒙 + 𝟖 = =𝟐 𝟓 𝟗 − 𝟐 + 𝟐 𝟐𝒙 + 𝟑 + 𝒅𝒙 𝒙−𝟐 𝒙−𝟒 𝒙𝒅𝒙 + 𝟑 𝟓 𝟐 𝟓 𝒅𝒙 − 𝟐 𝟏 𝟗 𝒅𝒙 + 𝒙−𝟐 𝟐 𝟗 𝟐 = 𝒙𝟐 + 𝟑𝒙 − 𝒍𝒏 𝒙 − 𝟐 + 𝒍𝒏 𝒙 − 𝟒 + 𝑪 𝟏 𝒅𝒙 𝒙−𝟒 أوجد : 𝟗𝒙𝟑 −𝟕𝒙+ 𝒙𝒅 𝟐𝒙𝟐 −𝟑𝒙+ الحل: درجة البسط < درجة المقام 𝟑𝒙 + 𝒙𝟑 − 𝟕𝒙 + 𝟗 𝒙𝟐 𝒙𝟑 − 𝟑𝒙𝟐 + 𝟗 𝟑𝒙𝟐 − 𝟗𝒙 + 𝟔 𝟑𝒙𝟐 − 𝟗𝒙 + 𝟑 - 𝟐 𝒙𝟐 − 𝟑𝒙 + - 𝟗 𝒙𝟑 − 𝟕𝒙 + 𝟑 = 𝒙 + 𝟑 + 𝟐 𝒙𝟐 − 𝟑𝒙 + 𝟐 𝒙𝟐 − 𝟑𝒙 + المقام يحلل الى عوامل خطية غير مكررة 𝟑 )𝟐 (𝒙 − 𝟏)(𝒙 − =𝒙+𝟑+ 𝟑 𝑨 𝑩 = + 𝟐 (𝒙 − 𝟏)(𝒙 − 𝟐) 𝒙 − 𝟏 𝒙 − بضرب طرفي المعادلة في 𝟒 𝒙 − 𝟏 𝒙 −والتبسيط )𝟏 𝟑 = 𝑨 𝒙 − 𝟐 + 𝑩(𝒙 − بالتعويض عن 𝟐 = 𝑿 𝟑=𝑩 𝟏 𝑩𝟑=𝑨 𝟎 + بالتعويض عن 𝟏 = 𝑿 𝟑𝑨 = − 𝟎 𝑩 𝟑 = 𝑨 −𝟏 + 𝟑 𝟑− 𝟑 = + 𝟐 (𝒙 − 𝟏)(𝒙 − 𝟐) 𝒙 − 𝟏 𝒙 − 𝟗 𝒙𝟑 − 𝟕𝒙 + 𝟑− 𝟑 =𝒙+𝟑+ + 𝟐 𝒙𝟐 − 𝟑𝒙 + 𝟐𝒙−𝟏 𝒙− 𝒙𝟑 − 𝟕𝒙 + 𝟗 𝒅𝒙 𝟐 𝒙 − 𝟑𝒙 + 𝟐 −𝟑 𝟑 𝒙+𝟑+ + 𝒅𝒙 𝒙−𝟏 𝒙−𝟐 = = 𝒙𝒅𝒙 + 𝟑 𝟏 𝟐 𝒅𝒙 − 𝟑 𝟏 𝒅𝒙 + 𝟑 𝒙−𝟏 𝟏 𝒅𝒙 𝒙−𝟐 = 𝒙𝟐 + 𝟑𝒙 − 𝟑𝒍𝒏 𝒙 − 𝟏 + 𝟑𝒍𝒏 𝒙 − 𝟐 + 𝑪 أوجد : 𝟐𝒙𝟒 −𝟐𝒙𝟑 +𝟒𝒙+ 𝒙𝒅 𝟏𝒙𝟑 −𝒙𝟐 −𝒙+ الحل: درجة البسط < درجة المقام 𝟏𝒙 − 𝟐 𝒙𝟒 − 𝟐𝒙𝟑 + 𝟒𝒙 + 𝒙 𝒙𝟒 − 𝒙𝟑 − 𝒙𝟐 + 𝟐 −𝒙𝟑 + 𝒙𝟐 + 𝟑𝒙 + 𝟏 −𝒙𝟑 + 𝒙𝟐 + 𝒙 − 𝟑 𝟐𝒙 + - المقام يحلل الى عوامل خطية بعضها مكررة 𝟏 𝒙𝟑 − 𝒙𝟐 − 𝒙 + 𝟐 𝒙𝟒 − 𝟐𝒙𝟑 + 𝟒𝒙 + 𝟑 𝟐𝒙 + 𝟑 =𝒙−𝟏+ 𝟏 𝒙𝟑 − 𝒙𝟐 − 𝒙 + 𝟏 𝒙 − 𝒙𝟐 − 𝒙 + 𝟑 𝟐𝒙 + )𝟏 𝒙 − 𝟏 𝟐 (𝒙 + =𝒙−𝟏+ 𝟐)𝟏 (𝒙 − يفكك الى حدين 𝟑𝑨 + 𝟐 𝟏𝒙+ 𝟑 𝟐𝒙 + 𝟏𝑨 𝟐𝑨 = + 𝟏 𝒙 − 𝟏 𝟐 (𝒙 + 𝟏) 𝒙 − 𝟏𝒙− 𝟐 والتبسيط 𝒙 − 𝟏 𝟐𝒙 + 𝟑 = 𝑨𝟏 𝒙 − 𝟏 (𝒙 + 𝟏) + 𝑨𝟐 𝒙 + 𝟏 + 𝑨(𝒙𝟑 + )𝟏 𝒙 بضرب طرفي المعادلة𝟐في𝟏 − بالتعويض عن 𝟏 = 𝑿 𝟐𝑨𝟐 = 𝟓/ بالتعويض عن 𝟏𝑨𝟑 = 𝟏/𝟒 𝑿 = − )𝟎( 𝟑𝑨 𝟐 𝟏 + 𝟑 = 𝑨𝟏 𝟎 + 𝑨𝟐 𝟐 + )𝟒( 𝟑𝑨 𝟐(−𝟏) + 𝟑 = 𝑨𝟏 𝟎 + 𝑨𝟐 𝟎 + نعوض في المعادلة 𝟐𝑨 و 𝟑𝑨 و قيمة لـ 𝒙 و لتكن 𝟎 = 𝒙 𝟒𝑨𝟏 = −𝟏/ 𝟏 )𝟒𝟐 𝟎 + 𝟑 = 𝑨𝟏 −𝟏 + (𝟓/𝟐) 𝟏 + (𝟏/ 𝟒𝟏/ + 𝟐 𝟏𝒙+ 𝟒𝟏/ 𝟏𝒙+ 𝟐+ 𝟑 𝟐𝒙 + 𝟒−𝟏/ 𝟐𝟓/ = + 𝟐 𝟏 𝒙 − 𝟏 (𝒙 + 𝟏) 𝒙 − 𝟏𝒙− 𝟐 𝒙𝟒 − 𝟐𝒙𝟑 + 𝟒𝒙 + 𝟒−𝟏/ 𝟐𝟓/ = 𝒙 − 𝟏 + + 𝟏 𝒙 𝟑 − 𝒙𝟐 − 𝒙 + 𝟏𝒙− 𝟏𝒙− 𝟒 𝟑 𝒙 − 𝟐𝒙 + 𝟒𝒙 + 𝟐 𝟑 𝟐 𝒙 −𝒙 −𝒙+𝟏 𝒅𝒙 − = 𝒙−𝟏+ = 𝒙𝒅𝒙 − 𝟏 𝟐 𝟏 𝟒 𝒙−𝟏 𝒅𝒙 − 𝟏 𝟒 𝟏 𝟒 𝟓 + 𝟏 𝟐 𝒙−𝟏 𝟐 + 𝟒 𝒙+𝟏 𝟏 𝟓 𝒅𝒙 + 𝒙−𝟏 𝟐 = 𝒙𝟐 − 𝒙 − 𝒍𝒏 𝒙 − 𝟏 − 𝒅𝒙 𝟓 𝟐(𝒙−𝟏) 𝟏 𝒙−𝟏 𝟏 𝟒 𝒅𝒙 + 𝟐 𝟏 𝟒 𝟏 𝒅𝒙 𝒙+𝟏 + 𝒍𝒏 𝒙 + 𝟏 + 𝑪 أوجد : 𝟕𝟐𝒙𝟒 +𝟑𝒙𝟐 − 𝒙𝒅 𝒙𝟗𝒙𝟑 −𝟔𝒙𝟐 + الحل: درجة البسط < درجة المقام 𝟐𝟏𝟐𝒙 + 𝟐𝒙𝟒 + 𝟕 𝟑𝒙𝟐 − 𝟐𝒙𝟖𝟏 𝟐𝒙𝟒 − 𝟏𝟐𝒙𝟑 + 𝟕 1𝟐𝒙𝟑 − 𝟏𝟓𝒙𝟐 − 𝒙𝟖𝟎𝟏 𝟏𝟐𝒙𝟑 − 𝟕𝟐𝒙𝟐 + - 𝒙𝟗 𝒙𝟑 − 𝟔𝒙𝟐 + - 𝟕 𝟓𝟕𝒙𝟐 − 𝟏𝟎𝟖𝒙 − المقام يحلل الى عوامل خطية بعضها مكررة 𝟕 𝟐𝒙𝟒 + 𝟑𝒙𝟐 − 𝟕 𝟓𝟕𝒙𝟐 − 𝟏𝟎𝟖𝒙 − = 𝟐𝒙 + 𝟏𝟐 + 𝒙𝟗 𝒙𝟑 − 𝟔𝒙𝟐 + 𝒙𝟗 𝒙𝟑 − 𝟔𝒙𝟐 + 𝟕 𝟓𝟕𝒙𝟐 − 𝟏𝟎𝟖𝒙 − = 𝟐𝒙 + 𝟏𝟐 + 𝟐 𝟑𝒙 𝒙− 𝟐)𝟑 (𝒙 − يفكك الى حدين 𝟐𝒙𝟕𝟓 𝟐 𝟏𝑨 𝟕 − 𝟏𝟎𝟖𝒙 − 𝟐𝑨 𝟑𝑨 = + + 𝟐 𝟑𝒙 𝒙− 𝟑𝒙 𝒙− 𝟑𝒙− والتبسيط بضرب طرفي المعادلة في 𝟐 𝟑 𝒙 𝒙 − 𝟐 𝒙 𝟑𝑨 − 𝟏𝟎𝟖𝒙 − 𝟕 = 𝑨𝟏 𝒙 − 𝟑 + 𝑨𝟐 𝒙 𝒙 − 𝟑 + 𝟐𝒙𝟕𝟓 𝑿 بالتعويض عن 𝟗𝑨𝟏==𝟎−𝟕/ 𝟎 𝟑𝑨 𝟓𝟕(𝟎)𝟐 −𝟏𝟎𝟖 𝟎 − 𝟕 = 𝑨𝟏 𝟗 + 𝑨𝟐 𝟎 + بالتعويض عن = 𝟑𝑿𝑨 𝟑= 𝟑𝟏𝟖𝟐/ )𝟑( 𝟑𝑨 𝟓𝟕(𝟑)𝟐 −𝟏𝟎𝟖(𝟑) − 𝟕 = 𝑨𝟏 𝟎 + 𝑨𝟐 𝟎 + نعوض في المعادلة 𝟏𝑨 و 𝟑𝑨 و قيمة لـ 𝒙 و لتكن 𝟏 = 𝒙 𝟗𝑨𝟐 = 𝟓𝟐𝟎/ 𝟏 )𝟑𝟓𝟕(𝟏)𝟐 −𝟏𝟎𝟖(𝟏) − 𝟕 = (−𝟕/𝟗) 𝟏 + 𝑨𝟐 (−𝟐) + (𝟏𝟖𝟐/ 𝟗𝟓𝟕𝒙𝟐 − 𝟏𝟎𝟖𝒙 − 𝟕 −𝟕/𝟗 𝟓𝟐𝟎/ 𝟑𝟏𝟖𝟐/ = + + 𝟐 𝟑𝒙 𝒙− 𝒙 𝟑𝒙− 𝟐 𝟑𝒙− 𝟕 𝟐𝒙𝟒 + 𝟑𝒙𝟐 − 𝟗−𝟕/𝟗 𝟓𝟐𝟎/ 𝟑𝟏𝟖𝟐/ = 𝟐𝒙 + 𝟏𝟐 + + + 𝒙𝟗 𝒙𝟑 − 𝟔𝒙𝟐 + 𝒙 𝟑𝒙− 𝟐 𝟑𝒙− 𝟐𝒙𝟒 + 𝟑𝒙𝟐 − 𝟕 𝒅𝒙 𝟑 𝟐 𝒙 − 𝟔𝒙 + 𝟗𝒙 = =𝟐 𝟓𝟐𝟎 𝟏𝟖𝟐 −𝟕/𝟗 𝟑 𝟐𝒙 + 𝟏𝟐 + + 𝟗 + 𝒙 𝒙−𝟑 𝒙−𝟑 𝒙𝒅𝒙 + 𝟏𝟐 𝒅𝒙 − 𝟕 𝟗 𝟕 𝟗 𝟏 𝟓𝟐𝟎 𝒅𝒙 + 𝒙 𝟗 = 𝒙𝟐 + 𝟏𝟐𝒙 − 𝒍𝒏 𝒙 + 𝟓𝟐𝟎 𝒍𝒏 𝟗 𝟐 𝒅𝒙 𝟏 𝟏𝟖𝟐 𝒅𝒙 + 𝒙−𝟑 𝟑 𝒙−𝟑 − 𝟏𝟖𝟐 𝟑(𝒙−𝟑) 𝟏 𝒙−𝟑 +𝑪 𝟐 𝒅𝒙 المقام ) h(xعبارة عن ناتج ضرب عوامل تربيعية . لتكن )𝒙(𝒓 )𝒙(𝒉 = 𝒙 𝒇 حيث المقام ) h(xعلى الصورة: ) 𝒌𝒄 𝒉 𝒙 = (𝒂𝟏 𝒙𝟐 + 𝒃𝟏 𝒙 + 𝒄𝟏 )(𝒂𝟐 𝒙𝟐 + 𝒃𝟐 𝒙 + 𝒄𝟐 )… (𝒂𝒌 𝒙𝟐 + 𝒃𝒌 𝒙 + في هذه الحالة تكون fعلى صورة كسور جزئية كالتالي : )𝒙(𝒓 𝟏𝑩 𝑨𝟏 𝒙 + 𝟏𝑩 𝑨𝟏 𝒙 + 𝒌𝑩 𝑨𝒌 𝒙 + = + + ⋯+ 𝟐𝒄 𝒉(𝒙) 𝒂𝟏 𝒙𝟐 + 𝒃𝟏 𝒙 + 𝒄𝟏 𝒂𝟐 𝒙𝟐 + 𝒃𝟐 𝒙 + 𝒌𝒄 𝒂𝒌 𝒙𝟐 + 𝒃𝒌 𝒙 + و في هذه نستخدم التكامل التالي: 𝒙𝒅 𝟏 𝒙 = 𝒏𝒂𝒕𝒄𝒓𝒂 𝒄+ 𝒂 𝒂 𝟐𝒂 𝒙 𝟐 + ن شكراا لحسن اصغائكم