Transcript البرمجة الخطية Linear programming أوال - مفهوم اسلوب البرمجة الخطية هو احد االساليب المستخدمة بل اكثرها فى بحوث العمليات وبالتالى فهى من ضمن ادوات.

‫البرمجة الخطية‬
Linear programming
‫أوال‪ -‬مفهوم اسلوب البرمجة الخطية‬
‫هو احد االساليب المستخدمة بل اكثرها فى بحوث العمليات وبالتالى‬
‫فهى من ضمن ادوات بحوث العمليات لحل مشاكل التعظيم‪.‬‬
‫هذا االسلوب قائم على عالقات االمثالية بين متغيرات مواقف معينة‬
‫(مشكلة ادارية) وهى تلك العالقات التى تهدف الى تعظيم‬
‫الربح ‪ Maximization of Profit‬الى اقصى حد ممكن أو‬
‫تخفيض التكاليف ‪Minimization of Cost‬الى ادنى حد‬
‫ممكن‪.‬للوصول الى الحل االمثل ‪Optimal Solution‬‬
‫‪There is no the BEST one‬‬
‫ثانيا‪ -‬مكونات النموذج‬
‫‪ -1‬تحديد دالة الهدف‪:‬‬
‫‪Objective Function‬‬
‫فقد تكون دالة الهدف هى تعظيم الربح الى اقصى حد ممكن‬
‫مثال عظم ‪10‬س ‪6 +‬س‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ :10‬الربح الحدى للوحدة س‪1‬‬
‫س‪ :1‬الكمية المطلوب انتاجها وبيعها من س‪1‬‬
‫‪ :6‬الربح الحدى للوحدة س‪2‬‬
‫س‪ :2‬الكمية المطلوب انتاجها وبيعها من س‪2‬‬
‫الربح الحدى هو الفرق بين سعر البيع والتكلفة المتغيرة‬
‫افتراضات النموذج‪:‬‬
‫أ‪ -‬االعتماد على الربح الحدى وليس على صافى الربح عند‬
‫تكوين دالة الهدف وبالتالى فهناك شبه تجاهل للتكاليف‬
‫الثابتة‬
‫ب‪ -‬يفترض النموذج ان الكمية المنتجة يمكن بيعها بالكامل‪.‬‬
‫‪ -2‬تحديد القيود الفنية فى شكل متباينات‪:‬‬
‫القيود عبارة عن موارد محدودة وبالتالى فليس هناك مجال كبير‬
‫فى تعظيم الربح ما لم يتم تحديد القيود الفنية من المواد الخام‬
‫وساعات العمل مثال‬
‫بيان‬
‫س‪1‬‬
‫س‪2‬‬
‫المتاح‬
‫مادة خام‬
‫‪14‬‬
‫‪8‬‬
‫‪25000‬‬
‫وحدة‬
‫ساعات‬
‫العمل‬
‫‪6‬‬
‫‪10‬‬
‫‪20000‬‬
‫ساعة عمل‬
‫تلك هى القيود ويتم تحديدها فى شكل متباينات‬
‫‪ ‬القيد الفنى االول والخاص بالمادة الخام‬
‫‪25000‬‬
‫≤‬
‫‪14‬س‪8 + 1‬س‪2‬‬
‫‪ ‬القيد الفنى الثانى والخاص ساعات العمل المباشر‬
‫‪20000‬‬
‫‪6‬س‪10 + 1‬س‪≤ 2‬‬
‫‪ -3‬تحويل المتباينات الى معادالت‪:‬‬
‫‪25000‬‬
‫≤‬
‫المتباينة االولى ‪14 :‬س‪8 + 1‬س‪2‬‬
‫يتم تحويلها كما يلى‪:‬‬
‫‪14‬س‪8 + 1‬س‪ +2‬ل‪25000 = 1‬‬
‫ل‪ :1‬تعبر عن الطاقة العاطلة بمعنى انه لو تم استخدام س‪ & 1‬س‪ 2‬ما‬
‫يكفى إلنتاج ‪ 5000‬وحدة تكون ل‪ = 1‬صفر‬
‫≤‬
‫‪20000‬‬
‫المتباينة الثانية ‪6 :‬س‪10 + 1‬س‪2‬‬
‫يتم تحويلها كما يلى‪:‬‬
‫‪6‬س‪10 + 1‬س‪ +2‬ل‪20000 = 2‬‬
‫ل‪ :2‬تعبر عن الطاقة العاطلة بمعنى انه لو تم استخدام‬
‫س‪ &1‬س‪ 2‬ما يكفى لعدد ساعات عمل ‪ 20000‬ساعة‬
‫تكون ل‪ = 2‬صفر‬
‫‪ -4‬تعديل دالة الهدف‪:‬‬
‫نظرا الن هناك قاعدة تنص على‪:‬‬
‫يجب ان تعكس جميع متغيرات المشكلة‬
‫دالة الهدف‬
‫سواء كانت متغيرات اصلية أو وهمية أو صورية‪.‬‬
‫عظم ‪10 :‬س‪6 + 1‬س‪2‬‬
‫‪10‬س‪6 + 1‬س‪ + 2‬صفر ل‪ + 1‬صفر ل‪2‬‬
‫ل‪ & 1‬ل‪ 2‬هو معامل يفترض انه قيمة موجبة كبيرة جدا‬
‫للتسهيل ولعدم وجود قيمة حسابية لها ‪ .....‬وكذلك لعدم وجود‬
‫طاقة عاطلة‬
‫‪ -5‬شرط عدم السالبية‪:‬‬
‫ال يمكن تصور أن س‪ & 1‬س‪ & 2‬ل‪ &1‬ل‪ ......... 2‬ان‬
‫تكون تلك المتغيرات أرقام سلبية بمعنى ان قيمتها أقل من‬
‫الصفر‪.‬‬
‫ولكن يجب ان تكون اكبر من أو تساوى الصفر وذلك لكميات‬
‫االنتاج‪ ,‬أو ساعات العمل أو اى افتراض اخر من المتغيرات‬
‫ثالثا‪ :‬خصائص المشكالت التى يمكن ان يستخدم‬
‫فى حلها نموذج البرمجة الخطية‬
‫‪ -1‬االدارة تبحث عن حل يحقق االمثالية وهو تعظيم أو تخفيض‬
‫الى أقصى حد ممكن‪.‬‬
‫‪ -2‬هناك امكانية تبويب عناصر التكاليف الى ثابتة ومتغيرة‪.‬‬
‫‪ -3‬هناك امكانية لقياس الربح الحدى‪.‬‬
‫‪ -4‬الكمية التى يمكن انتاجها يمكن بيعها‪.‬‬
‫‪ -5‬هناك موارد فنية انتاجية متاحة ولكن بكميات قليلة‪.‬‬
‫تلك الخصائص اذا توافرت فى اى مشكلة يمكن حلها فى صورة‬
‫نموذج برمجة خطية‪.‬‬
‫رابعا ‪ :‬أهم تطبيقات اسلوب البرمجة الخطية‬
‫‪ -1‬تحديد تشكيلة المنتجات المثلى‪.‬‬
‫‪ -2‬مشكالت النقل‪.‬‬
‫‪ -3‬تحديد المزج االمثل للعناصر أو المدخالت‪.‬‬
‫‪ -4‬إعداد جداول تشغيل اآلالت‪.‬‬
‫‪ -5‬جدولة االنتاج وتخطيط المخزون السلعى‪.‬‬
‫‪ -6‬مشكالت التخطيط المالى وأعداد الموازنات التخطيطية‪.‬‬
‫حالة عملية لصياغة نموذج برمجة خطية‬
‫‪ LEGO‬شركة متخصصة فى انتاج لعب االطفال تقوم بإنتاج نوعين‬
‫من اللعب المطاطية جنود وقطارات‬
‫‪ ‬يباع الجندى ‪ 27‬جنيه ويستخدم ما قيمته ‪ 10‬جنيه مواد خام وكل‬
‫لعبة من الجنود يتم تصنيعها تزيد من تكلفة الشركة المتغيرة من‬
‫العمالة وكذلك التكلفة المتغيرة غير المباشرة بمقدار ‪ 14‬جنيه‪.‬‬
‫‪ ‬يباع القطار ‪ 21‬جنيه ويستخدم ما قيمته ‪ 9‬جنيه مواد خام وكل لعبة‬
‫من القطارات يتم تصنيعها تزيد من تكلفة الشركة المتغيرة من‬
‫العمالة وكذلك التكلفة المتغيرة غير المباشرة بمقدار ‪ 10‬جنيه‪.‬‬
‫‪ ‬تمر العملية االنتاجية من خالل مراحل تتمثل فى التقطيع والتشطيب‬
‫‪ ‬كل جندى يتطلب ‪ 1‬ساعة من عمالة التقطيع و‪ 2‬ساعة من‬
‫عمالة التشطيب كل اسبوع‪.‬‬
‫‪ ‬كل قطار يتطلب ‪ 1‬ساعة من عمالة التقطيع و‪ 1‬ساعة من‬
‫عمالة التشطيب كل اسبوع‪.‬‬
‫‪ ‬المتاح من ساعات عمالة التقطيع ‪ 80‬ساعة‬
‫‪ ‬المتاح من ساعات عمالة التشطيب ‪ 100‬ساعة‬
‫‪ ‬الطلب على القطارات ال نهائى ولكن المبيعات بالنسبة‬
‫للجنود ‪ 40‬جندى على االكثر اسبوعيا‪.‬‬
‫تريد الشركة تعظيم الربح االسبوعى الى أقصى حد ممكن‪ .‬كون‬
‫نموذج برمجة خطية يحقق هدف الشركة‪.‬‬
‫الحل‬
‫أوال ‪ :‬متغيرات المشكلة ‪:‬‬
‫س‪ 1‬عدد الجنود التى يتم تصنيعها كل اسبوع‬
‫س‪ 2‬عدد القطارات التى يتم تصنيعها كل اسبوع‬
‫التكلفة التى يتطلبها الجندى = ‪ 10‬جنيه مادة خام ‪ 14 ------‬جنيه ساعات عمالة‬
‫التكلفة التى يتطلبها القطار = ‪ 9‬جنيه مادة خام ‪ 10 ------‬جنيه ساعات عمالة‬
‫ثانيا ‪ :‬الربح الحدى‬
‫للجندى = ‪3 = ) 14 +10( – 27‬‬
‫للقطار = ‪2 = )10+ 9( – 21‬‬
‫وبالتالى كل جندى يساهم فى االرباح الكلية‬
‫وبالتالى كل قطار يساهم فى االرباح الكلية‬
‫‪ 3‬جنيه‬
‫‪ 2‬جنيه‬
‫التكلفة االسبوعية للمواد الخام = ‪10‬س‪9 + 1‬س‪2‬‬
‫التكلفة المتغيرة االسبوعية االخرى = ‪14‬س‪ 10 + 1‬س‪2‬‬
‫ثالثا ‪ :‬بناء النموذج ‪:‬‬
‫وبالتالى فالشركة تريد تعظيم الدالة ‪3 :‬س‪2 + 1‬س‪2‬‬
‫ص = ‪3‬س‪2 + 1‬س‪2‬‬
‫معامل دالة الهدف ‪Objective Function Coefficient‬‬
‫للمتغير س‪3 = 1‬‬
‫للمتغير س‪2 = 2‬‬
‫رابعا ‪ :‬القيود‬
‫‪ ‬القيد االول ‪ 100 :‬ساعة من وقت التشطيب متاحة اسبوعيا‪.‬‬
‫‪ ‬القيد الثانى ‪ 80‬ساعة من وقت التقطيع متاحة اسبوعيا‪.‬‬
‫‪ ‬وفق الطلب المحدد فان ‪ 40‬جندى فقط يجب انتاجهم اسبوعيا‬
‫‪ -1‬الساعات المتاحة للتشطيب = ‪ 100‬ساعة‬
‫كل جندى (س‪ )1‬يتطلب ‪ 2‬ساعة تشطيب‬
‫كل قطار (س‪ )2‬يتطلب ‪ 1‬ساعة تشطيب‬
‫‪2‬س‪ + 1‬س‪100 ≤ 2‬‬
‫‪ -2‬الساعات المتاحة للتقطيع = ‪ 80‬ساعة‬
‫كل جندى (س‪ )1‬يتطلب ‪ 1‬ساعة تقطيع‬
‫كل قطار (س‪ )2‬يتطلب ‪ 1‬ساعة تقطيع‬
‫س‪ + 1‬س‪80 ≤ 2‬‬
‫‪ -3‬قيد الطلب‬
‫س‪40 ≤ 1‬‬
‫خامسا ‪ :‬شرط عدم السالبية‬
‫س‪ ≤ 2‬صفر‬
‫س‪ ≤ 1‬صفر‬
‫دالة الهدف ‪ :‬ينظر للمعامل ص على انه أعظم ربح يمكن تحقيقه‬
‫عظم ص = ‪3‬س‪2 + 1‬س‪ 2‬فى ظل القيود التالية‬
‫قيد التشطيب ‪2‬س‪ + 1‬س‪100 ≤ 2‬‬
‫قيد التقطيع س‪ + 1‬س‪80 ≤ 2‬‬
‫قيد الطلب س‪40 ≤ 1‬‬
‫قيد االشارة س‪0 ≤ 1‬‬
‫قيد االشارة س‪0 ≤ 2‬‬
‫الطريقة البيانية‬
‫‪2‬س‪ + 1‬س‪100 = 2‬‬
‫(‪) 100 , 0‬‬
‫س‪ 0 = 1‬س‪100 = 2‬‬
‫( ‪) 0 , 50‬‬
‫س‪ 0 = 2‬س‪50 = 2 ÷ 100 = 1‬‬
‫س‪ + 1‬س‪80 = 2‬‬
‫(‪) 80 , 0‬‬
‫س‪ 0 = 1‬س‪80 = 2‬‬
‫(‪) 0 , 80‬‬
‫س‪ 0 = 2‬س‪80 = 1‬‬
‫قيد الجنود ان س‪ 40 = 1‬وبالتالى س‪) 0 , 40( 0 = 2‬‬
‫انظر الشكل البيانى على االكسيل‬
‫ومن خالل الطريقة الجبرية نجد ان تعظيم الدالة‬
‫ص = ‪3‬س‪2 + 1‬س‪2‬‬
‫تتمثل فى الحل الجبرى للقيود التى تم بناءها على شكل متباينات‬
‫و تم تحويلها الى معادالت كما يلى‪:‬‬
‫‪2‬س‪ + 1‬س‪100 = 2‬‬
‫س‪ + 1‬س‪80 = 2‬‬
‫بالطريقة الجبرية يمكن ايجاد قيمة المتغيرات لكل من ‪:‬‬
‫س‪ & 1‬س‪ 2‬بالتعويض الحدهما فى االخر‬
‫س‪2 – 100 = 2‬س‪1‬‬
‫س‪2 – 100 = 2‬س‪1‬‬
‫س‪ + 1‬س‪80 = 2‬‬
‫س‪2 – 100( + 1‬س‪80 = )1‬‬
‫‪ - 100‬س‪80 = 1‬‬
‫‪ = 80 – 100‬س‪1‬‬
‫س‪20 = 1‬‬
‫س‪2 – 100 = 2‬س‪1‬‬
‫س‪)20( 2 – 100 = 2‬‬
‫= ‪40 – 100‬‬
‫س‪60 = 2‬‬
‫وبالتالى تكون الدالة =‬
‫‪3‬س‪2 + 1‬س‪2‬‬
‫‪180 = 120 + 60 = )60(2 + )20(3‬‬
‫وهى منطقة الربح الممكن تحقيقه فى ظل المتغيرات والقيود‬
‫السابقة‪ .‬سواء للمواد الخام أو ساعات العمل‬
‫ومن ثما فالشركة يمكنها انتاج ‪ 20‬جندى‬
‫‪ 60‬قطار‬
‫وتحقيق ربح ممكن = ‪ 180‬جنيه فى االسبوع‬
‫اختبار الحل االمثل‬
‫نقاط االرتكاز لتعظيم دالة الهدف ‪3 :‬س‪2 + 1‬س‪2‬‬
‫االولى ‪180 = 60×2 + 20×3 = ) 60, 20( :‬‬
‫الثانية ‪200 = 40×2 + 40×3 = ) 40 , 40( :‬‬
‫الثالثة ‪160 = 20×2 + 40×3 = )20 , 40( :‬‬
‫الحل االمثل عند النقطة الثانية ‪ ) 40 , 40( :‬عندها تحقق‬
‫الشركة أعظم ربح قدره = ‪200‬‬