Transcript الوحدة 2: الحصة 13:قاعدة السلسلة
Slide 1
Slide 2
ورشة عمل في منهج الثاني عشر علمي
الوحدة الثانية
مشتقات الدوال المثلثية
بند ( ) 6 – 2 ( ) 5 – 2 ( ) 4 – 2
Slide 3
قسم الرياضيات
مديرة المدرسة
أ /هيا الشمري
رئيسة القسم
أ /منيفة الشمري
الموجهه األولي
أ /جميلة البيدان
الموجهه الفنية
أ /إقبال البحراني
Slide 4
إعداد
أ /سماح عبدهللا
أ /مروة محمد
بإشراف رئيسة القسم
أ /منيفة الشمري
إعداد حاسوب
أ /مروة محمد
Slide 5
*يوجد مشتقه تركيب دالتين باستخدام قاعده السلسله
*يعرف الصوره االخرى لقاعده السلسله
*يعرف قاعده سلسله القوى
Slide 6
Slide 7
بطريقتين مختلفتين :
اوجد :
ورقه عمل )(2
\
)(Fog)(x
الطريقة االولى
F(x) =2x2+2
g(x) = 3 x
الطريقه الثانيه
Slide 8
مناقشة دعنا نفكر ونناقش
لتكن الدوال التالية
أكمل ما يلي
))( h of) ( x ) = h ( f ( x
b
))( g o f )( x ) = g ( f ( x
) = h (3 x 2 + 1
) = g (3 x 2 + 1
= (3 x 2 + 1 )3
= (3 x 2 + 1 )2
( h o f) ( x )= 27 x 6 + 27 x 4 + 9 x2 + 1
=9 x 4 + 6 x 2 + 1
( h o f) ( x )= 162 x 5 + 108 x 3 + 18 x
) ) ( ( g o f) ( x
\
= 36 x 3 + 12 x
a
d
dx
قـاعـ ـ ـ ـ ـ ــدة الس ـ ـ ـ ـ ــلسـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ــة ( ) 2 – 5
f(x)=3x2+1
g(x)=x2
h(x)=x3
q ( x ) = x 10
Slide 9
) )(q o f )(x
هل من السهل ايجاد ) ( q o Fبنفس االسلوب السابق
= (3 x 2 + 1 )10
من فقرة دعنا نفكر ونناقش الحظنا انه عند إيجاد مشتقة
= (3 x 2 + 1 )10
سنجد صعوبة في فك هذا المقدار وتساعدنا القواعد التالية علي ايجاد مشتقة مثل هذه الدوال
قـاعـ ـ ـ ـ ـ ــدة الس ـ ـ ـ ـ ــلسـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ــة ( ) 2 – 5
(q o f) ( x ) = [ f ( x ) ] 10
c
Slide 10
قاعدة السلسلة ( التسلسل )
)) ( f o g ) ( x ) =f ( g ( x
تكون قابلة لالشتقاق عند ، Xويكون
\
\
\
) (f o g ) ( x ) = f ( g ( x ) ) . g ( x
أي يمكننا القول أن مشتقة الدالة المركبة) (f o g)( xعند Xهي مشتقة الدالة fعند)g ( x
مضروبة في مشتقة الدالة gعند X
قـاعـ ـ ـ ـ ـ ــدة الس ـ ـ ـ ـ ــلسـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ــة ( ) 2 – 5
اذا كانت الدالة fقابلة لالشتقاق عند) g ( xوالداله gقابلة لالشتقاق عند Xفإن الدالة المركبة
Slide 11
خطوات ايجاد مشتقة تركيب دالتين بإستخدام قاعدة السلسلة
خطوات إيجاد
نوجد
\
نوجد
) g\ (x
2
نوجد
)) f \ (g (x
3
نوجد
) ( fo g) \(x
4
) f (x
\
1
\
)= f (g (x)) . g (x
x
قـاعـ ـ ـ ـ ـ ــدة الس ـ ـ ـ ـ ــلسـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ــة ( ) 2 – 5
\
)(fog) (x
Slide 12
مثال ( ) 1
صــ 104
إذا كانت g ( x) = x 10وكانت f ( x) =3x 2 + 1
فأوجد بإستخدام قاعدة السلسلة
) ( f o g )\ ( x
\
\
) ) (f o g )(x) = f ( g ( x
= 3 ( x 10) 2 + 1
+1
20
=3 x
\
\
)=f (g(x)).g (x
\
g\ ( x ) = 10x9
f(x)=6x
\
f ( g ( x ) ) =6 x 10
\
( f o g ) ( x ) = 60 x 19
a
\
( f o g ) ( x )=6x10.10x9
\
( f o g ) ( x )=60x19
قـاعـ ـ ـ ـ ـ ــدة الس ـ ـ ـ ـ ــلسـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ــة ( ) 2 – 5
حاول ان تحل
رقم (a) 1
Slide 13
) (go f ) \ ( - 1
b
\
) = g\ ( f ( x ) ) . f ( x
\
(gof) (x ) =10(f(x))9.6x
\
(gof) (x ) =10(3x2+1))9.6x
= -( 60 ) ( 4 ) 9
\
(go f ) ( - 1 ) =-15728640
قـاعـ ـ ـ ـ ـ ــدة الس ـ ـ ـ ـ ــلسـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ــة ( ) 2 – 5
g\ ( x ) = 10x9
\
f(x)=6x
Slide 14
حاول ان تحل رقم ( b)1
وكانت g ( x) = x 13إذا كانت
فأوجد بإستخدام قاعدة السلسلة
b
)(gof) (0
\
\
) (f o g ) ( x
a
\
) (g o f) ( x ) = g\ (f (x)). f ( x
\
) = f ( g ( x )) . g ( x
g \(x ) = 13 x 12
\
\
f (x)=-6x2
f (x)=-6x2
\
(g o f)( x ) =13 [( -2x 3+ 4)] 12 . -6x2
\
(g o f)( x ) =13 [( -2(0) 3+ 4)] 12 . -6(0)2
\
(g o f)( 0 ) = 0
\
g (\ x )=13 x 12
26
) =-6x
2
13
f (x)=-2x3+4
g ( x )= x 13
\
f ( g ( x ))= - 6 ( x
\
( f o g ) ( x ) = - 6 x 26 . 13 x 12 = - 78 x 38
قـاعـ ـ ـ ـ ـ ــدة الس ـ ـ ـ ـ ــلسـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ــة ( ) 2 – 5
\
f ( x) = -2 x 3 +4
Slide 15
حاول ان تحل رقم
2صـ 105
لتكن
، g(x)= x
اوجد بإستخدام قاعدة السلسلة
=)f(x
\
)(fog)(1
\
\
) ( f o g ) ( x ) = f ( g ( x )) . g ( x
X
)2 + 4 ) 2
1
X
16
\
( ( X
16 X
( x2+4)2 2
= )) f (g ( x
\
=)(fog)(x
8
( x + 4) 2
8
25
)(x2+4).(2x)–(x2–4).(2x
=)f(x
( x 2 + 4 )2
\
\
=
=)( fog) (1
\
2x 3 + 8 x – 2 x 3 + 8 x
( x 2 + 4 )2
=)f(x
16 x
( x 2 + 4 )2
1
X
\
=)f(x
\
2
=)g(x
قـاعـ ـ ـ ـ ـ ــدة الس ـ ـ ـ ـ ــلسـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ــة ( ) 2 – 5
\
X2-4
X 2+ 4
Slide 16
مثال () 2
صــ 104
f ( x) = 2 xx+ 1
إذا كانت g ( x) = x 2 + 1وكانت
\
فأوجد بإستخدام قاعدة السلسلة ) (fo g ) ( x
-1
X2
=
-1
(X 2 + 1 ) 2
=
)f(x)= 2x–(2x+1
X2
\
\
g (x)=2x
المتغير ) g ( x
قاعدة السلسلة
-2X
(X 2 + 1 ) 2
=
\
\
) f ( g ( x )) = f ( X 2 + 1
.2x
-1
(X 2 + 1 ) 2
\
=) ) f o g ) ( x
قـاعـ ـ ـ ـ ـ ــدة الس ـ ـ ـ ـ ــلسـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ــة ( ) 2 – 5
\
\
\
) ( f o g ) ( x ) = f ( g ( x )) . g ( x
Slide 17
صور اخري لقاعدة السلسلة
du
dx
.
dy
du
يتم حسابها عند ) u = g( x
خطوات إيجاد
x
=
1
نوجد
2نوجد
3
4
نوجد
ثم التعويض عن u
= dy
dx
قـاعـ ـ ـ ـ ـ ــدة الس ـ ـ ـ ـ ــلسـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ــة ( ) 2 – 5
اذا
كانت
) y = f ( u ) , u = g( xفإن
Slide 18
مثال ( ) 3
صـ 105
إذا كانت y = u 3 – 3 u + 1
dy
فأوجد dx
u=5x2+2 ,
بإستخدام قاعدة التسلسل
.
=3u2-3
dy
du
= 10 x
du
dx
) = ( 3 u 2 – 3 ) . ( 10 x
خطأ مطبعي بالكتاب
dy
du
dx
) dy = ( 3 ( 5 x 2 + 2 ) 2 – 3 ) . ( 10 x
dx
تعـــــــــــــــويـــــض
dy = 750 x 5 + 600 x 3 + 90x
dx
قـاعـ ـ ـ ـ ـ ــدة الس ـ ـ ـ ـ ــلسـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ــة ( ) 2 – 5
du
dx
dy
du
=
dy
dx
Slide 19
حاول ان تحل
( ) 3صـ
105
إذا كانت y = u + 4 u - 3
2
dy
فأوجد dx
3
u=2x +x ,
بإستخدام قاعدة التسلسل
dy
)= 24 x 5+ 4 x 3 + 12 x 3 + 2x +24x 2 +4
dx
=2u+4
dy
)= 24 x 5+ 16 x 3 + 24x 2 + 2x +4
dx
=6x2+1
dy
du
du
dx
dy
)2+1
=
(
2
u
+
4
)
.
(
6
x
dx
dy
) = ( 2 ( 2 x 3 + x ) + 4 ) .( ( 6 x 2 + 1
dx
dy
)=(4x3+2x+4)(6x2+1
dx
قـاعـ ـ ـ ـ ـ ــدة الس ـ ـ ـ ـ ــلسـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ــة ( ) 2 – 5
du
dx
.
dy
du
=
dy
dx
Slide 20
الربط بالفيزياء
إذا كانت ) S ( tدالة موقع جسم بعد tثانية من حركته فإن سرعته
اللحظيه Vهي ) V = ds = s ( t
dt
Slide 21
مثال ( ) 4
صـ 106
يتحرك جسيم علي محور السينات بحيث ان موضعه عند أي لحظه t > 0
يعطي بالداله ) S = cos ( t 2 + 1
اوجد السرعه اللحظيه للجسيم كداله في t
نعاـــــــــــــــم أن
في هذه الحاله s
داله مركبه حيث:
لدينـــــــــــــــا
u=t2+1
) = - sin ( u
) S = cos ( u
S = cos ( u ) ,
ds
du
=2t
u=t2+1
du
dt
قـاعـ ـ ـ ـ ـ ــدة الس ـ ـ ـ ـ ــلسـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ــة ( ) 2 – 5
ds
V = dt
Vهي السرعه اللحظية
Slide 22
الربط بالفيزياء
Slide 23
ds
dt
=
ds
du
بإستخدام قاعدة السلسله
.
du
dt
= - ( sin ( u )) . 2 t
= - ( sin (t 2 + 1 )) . 2 t
مالحظه
= - 2 t sin (t 2 + 1 )
) يمكن ايجاد المشتقة باستخدام القاعده التاليه4 ( من مثال
d
dx
( cos ( t 2 + 1 ) = - sin( t 2 + 1 ) . 2 t
\
d
(
cos
f
(
x
)
)=(
sin
f
(
x
))
.
f
(X)
dx
\
d
dx ( sin f ( x ) )=( cos f ( x )) . f ( X )
\
d
2f ( x )) . f ( X )
(
tan
f
(
x
)
)=(
sec
dx
Slide 24
اقتصرت دراستنا علي دوال قابله للتركيب
تذكــــــــــــــــر
حاول ان تحل
صـ 106
()4
اوجد مشتقة
نفــــــــــــــرض أن
) y = sin ( x 2 + x
بالنسبة للمتغير X
u=x2+x
y = sin u
dy = cos u
du
)= (2x+1
=)) ( sin ( x 2 + x
\
) = cos f ( x ) . f ( X
)= cos ( x2 + x ) .( 2 x + 1
d
dx
du
dx
.
du
dx
dy
= dy
dx
du
) = cos u . ( 2 x + 1
dy
dx
) = ( 2 x + 1 ) cos ( x 2 + x
dy
dx
Slide 25
مثال ( ) 5
صـ106
اوجد مشتقة f ( x ) = sin3 x
باستخدام قاعدة السلسلة
نفــــــــــــــرض أن
3
h(x)=x
) f( x ) = ( h o g ) ( x
\
h ( x ) =3x2
\
) f( x ) = ( h o g ) ( x
\
\
\
\
) = h ( g ( x )) . g ( x
g ( x ) = cos x
=3 ( g ( x ) ) 2 . Cos x
=3 sin2 x . Cos x
قـاعـ ـ ـ ـ ـ ــدة الس ـ ـ ـ ـ ــلسـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ــة ( ) 2 – 5
g ( x ) = sin x
Slide 26
حـــــــــــــــل آ
خر
بالصوره األخري لقاعده السلسلة
y = ( sin x ) 3
y=(u)3
u = sin x
نفــــــــــــــرض أن
) = 3 u 2 ( cos x
dy
dx
=3u2
dy
du
) = 3 ( sin 2 x ) .( cos x
dy
dx
= cos x
du
dx
du
dx
.
dy
dy
=
dx
du
قـاعـ ـ ـ ـ ـ ــدة الس ـ ـ ـ ـ ــلسـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ــة ( ) 2 – 5
f ( x ) = sin 3 x
Slide 27
y = [ f(x ) ] n
لذلك نستخدم القاعدة التالية والمسماه بقاعدة سلسلة القوي
اذا كانت) f ( xقابله لالشتقاق علي مجالها وكان
فإن
\
n
عددا ً نسبياً
) )f ( x ) (n = n ( f ( X ) ) n – 1 . f ( x
d
dx
قـاعـ ـ ـ ـ ـ ــدة الس ـ ـ ـ ـ ــلسـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ــة ( ) 2 – 5
n
Slide 28
مثــــــال
( ) 6صـ 107
لنأخذ
لتكن
(x2+3x+5)3
2
)(x +3x+5
3
5
).(2x+3
).(2x+3
-1
=y
3
5
-2
5
= y
)y =(x2+3x+5
)(x2+3x+5
)(x2+3x+5
)(x2+3x+5
5
3
5
3
5
\
= y
\
= y
\
)3(2x+3
2
5
= y
5
قـاعـ ـ ـ ـ ـ ــدة الس ـ ـ ـ ـ ــلسـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ــة ( ) 2 – 5
خطأ مطبعي بالكتاب
3
5
\
أوجد y
Slide 29
) 2 – 5 ( قـاعـ ـ ـ ـ ـ ــدة الس ـ ـ ـ ـ ــلسـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ــة
بإستخدام قاعدة السلسلة
y= ( u )
حل آ خر
y =(x2+3x+5)
3
5
حل آ خر
)2(
g(x) =(x2+3x+5)
3
5
g\ ( x ) =2 x + 3
u=x2+3x+5
3
5
-52
dy = 3
u
5
du
du
=2x+3
dx
h(x) =x
dy = 3 u
(2x+3)
dx
5
dy = 3 ( x 2 + 3 x + 5 ) -52 ( 2 x + 3 )
5
dx
f ( x ) =( h o g ) ( x )
dy =
dx
\
h ( x )=
5
x
-52
\
\
f ( x ) =( h o g ) ( x )
\
\
= h ( g ( x )) . g ( x )
3(2x+3)
5
3
5
3
=
5
(x2+3x+5)2
=
3
5
( g (x )
-52
(x2+3x+5)
. ( 2 x + 3)
-52
( 2 x + 3)
Slide 30
مثال 7
صـ107
اوجد ميل مماس المنحني
عند
X =π
y = sin 5 x
3
) = 5 sin 4 x ( cos x
ميل المماس هو :
45
32
=) 1
2
()4
3
2
dy
dx
(=5
X = π
3
قـاعـ ـ ـ ـ ـ ــدة الس ـ ـ ـ ـ ــلسـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ــة ( ) 2 – 5
\ ) d y = 5 sin 4 x ( sin x
dx
Slide 31
حاول ان تحل
صـ) 7 ( 107
1
(-2x–1)3
بين ان ميل اي مماس للمنحني
دائما يكون موجب حيث
= y
X ǂ -1
2
) d y = - 3 (- 2 x – 1 ) – 4 ( - 2
dx
d y = 6 (- 2 x – 1 ) – 4
dx
>0
ميل المماس دائما ً موجب y \ > 0
6
(- 2 x – 1 ) 4
= dy
dx
قـاعـ ـ ـ ـ ـ ــدة الس ـ ـ ـ ـ ــلسـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ــة ( ) 2 – 5
y = (- 2 x – 1 ) – 3
Slide 2
ورشة عمل في منهج الثاني عشر علمي
الوحدة الثانية
مشتقات الدوال المثلثية
بند ( ) 6 – 2 ( ) 5 – 2 ( ) 4 – 2
Slide 3
قسم الرياضيات
مديرة المدرسة
أ /هيا الشمري
رئيسة القسم
أ /منيفة الشمري
الموجهه األولي
أ /جميلة البيدان
الموجهه الفنية
أ /إقبال البحراني
Slide 4
إعداد
أ /سماح عبدهللا
أ /مروة محمد
بإشراف رئيسة القسم
أ /منيفة الشمري
إعداد حاسوب
أ /مروة محمد
Slide 5
*يوجد مشتقه تركيب دالتين باستخدام قاعده السلسله
*يعرف الصوره االخرى لقاعده السلسله
*يعرف قاعده سلسله القوى
Slide 6
Slide 7
بطريقتين مختلفتين :
اوجد :
ورقه عمل )(2
\
)(Fog)(x
الطريقة االولى
F(x) =2x2+2
g(x) = 3 x
الطريقه الثانيه
Slide 8
مناقشة دعنا نفكر ونناقش
لتكن الدوال التالية
أكمل ما يلي
))( h of) ( x ) = h ( f ( x
b
))( g o f )( x ) = g ( f ( x
) = h (3 x 2 + 1
) = g (3 x 2 + 1
= (3 x 2 + 1 )3
= (3 x 2 + 1 )2
( h o f) ( x )= 27 x 6 + 27 x 4 + 9 x2 + 1
=9 x 4 + 6 x 2 + 1
( h o f) ( x )= 162 x 5 + 108 x 3 + 18 x
) ) ( ( g o f) ( x
\
= 36 x 3 + 12 x
a
d
dx
قـاعـ ـ ـ ـ ـ ــدة الس ـ ـ ـ ـ ــلسـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ــة ( ) 2 – 5
f(x)=3x2+1
g(x)=x2
h(x)=x3
q ( x ) = x 10
Slide 9
) )(q o f )(x
هل من السهل ايجاد ) ( q o Fبنفس االسلوب السابق
= (3 x 2 + 1 )10
من فقرة دعنا نفكر ونناقش الحظنا انه عند إيجاد مشتقة
= (3 x 2 + 1 )10
سنجد صعوبة في فك هذا المقدار وتساعدنا القواعد التالية علي ايجاد مشتقة مثل هذه الدوال
قـاعـ ـ ـ ـ ـ ــدة الس ـ ـ ـ ـ ــلسـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ــة ( ) 2 – 5
(q o f) ( x ) = [ f ( x ) ] 10
c
Slide 10
قاعدة السلسلة ( التسلسل )
)) ( f o g ) ( x ) =f ( g ( x
تكون قابلة لالشتقاق عند ، Xويكون
\
\
\
) (f o g ) ( x ) = f ( g ( x ) ) . g ( x
أي يمكننا القول أن مشتقة الدالة المركبة) (f o g)( xعند Xهي مشتقة الدالة fعند)g ( x
مضروبة في مشتقة الدالة gعند X
قـاعـ ـ ـ ـ ـ ــدة الس ـ ـ ـ ـ ــلسـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ــة ( ) 2 – 5
اذا كانت الدالة fقابلة لالشتقاق عند) g ( xوالداله gقابلة لالشتقاق عند Xفإن الدالة المركبة
Slide 11
خطوات ايجاد مشتقة تركيب دالتين بإستخدام قاعدة السلسلة
خطوات إيجاد
نوجد
\
نوجد
) g\ (x
2
نوجد
)) f \ (g (x
3
نوجد
) ( fo g) \(x
4
) f (x
\
1
\
)= f (g (x)) . g (x
x
قـاعـ ـ ـ ـ ـ ــدة الس ـ ـ ـ ـ ــلسـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ــة ( ) 2 – 5
\
)(fog) (x
Slide 12
مثال ( ) 1
صــ 104
إذا كانت g ( x) = x 10وكانت f ( x) =3x 2 + 1
فأوجد بإستخدام قاعدة السلسلة
) ( f o g )\ ( x
\
\
) ) (f o g )(x) = f ( g ( x
= 3 ( x 10) 2 + 1
+1
20
=3 x
\
\
)=f (g(x)).g (x
\
g\ ( x ) = 10x9
f(x)=6x
\
f ( g ( x ) ) =6 x 10
\
( f o g ) ( x ) = 60 x 19
a
\
( f o g ) ( x )=6x10.10x9
\
( f o g ) ( x )=60x19
قـاعـ ـ ـ ـ ـ ــدة الس ـ ـ ـ ـ ــلسـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ــة ( ) 2 – 5
حاول ان تحل
رقم (a) 1
Slide 13
) (go f ) \ ( - 1
b
\
) = g\ ( f ( x ) ) . f ( x
\
(gof) (x ) =10(f(x))9.6x
\
(gof) (x ) =10(3x2+1))9.6x
= -( 60 ) ( 4 ) 9
\
(go f ) ( - 1 ) =-15728640
قـاعـ ـ ـ ـ ـ ــدة الس ـ ـ ـ ـ ــلسـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ــة ( ) 2 – 5
g\ ( x ) = 10x9
\
f(x)=6x
Slide 14
حاول ان تحل رقم ( b)1
وكانت g ( x) = x 13إذا كانت
فأوجد بإستخدام قاعدة السلسلة
b
)(gof) (0
\
\
) (f o g ) ( x
a
\
) (g o f) ( x ) = g\ (f (x)). f ( x
\
) = f ( g ( x )) . g ( x
g \(x ) = 13 x 12
\
\
f (x)=-6x2
f (x)=-6x2
\
(g o f)( x ) =13 [( -2x 3+ 4)] 12 . -6x2
\
(g o f)( x ) =13 [( -2(0) 3+ 4)] 12 . -6(0)2
\
(g o f)( 0 ) = 0
\
g (\ x )=13 x 12
26
) =-6x
2
13
f (x)=-2x3+4
g ( x )= x 13
\
f ( g ( x ))= - 6 ( x
\
( f o g ) ( x ) = - 6 x 26 . 13 x 12 = - 78 x 38
قـاعـ ـ ـ ـ ـ ــدة الس ـ ـ ـ ـ ــلسـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ــة ( ) 2 – 5
\
f ( x) = -2 x 3 +4
Slide 15
حاول ان تحل رقم
2صـ 105
لتكن
، g(x)= x
اوجد بإستخدام قاعدة السلسلة
=)f(x
\
)(fog)(1
\
\
) ( f o g ) ( x ) = f ( g ( x )) . g ( x
X
)2 + 4 ) 2
1
X
16
\
( ( X
16 X
( x2+4)2 2
= )) f (g ( x
\
=)(fog)(x
8
( x + 4) 2
8
25
)(x2+4).(2x)–(x2–4).(2x
=)f(x
( x 2 + 4 )2
\
\
=
=)( fog) (1
\
2x 3 + 8 x – 2 x 3 + 8 x
( x 2 + 4 )2
=)f(x
16 x
( x 2 + 4 )2
1
X
\
=)f(x
\
2
=)g(x
قـاعـ ـ ـ ـ ـ ــدة الس ـ ـ ـ ـ ــلسـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ــة ( ) 2 – 5
\
X2-4
X 2+ 4
Slide 16
مثال () 2
صــ 104
f ( x) = 2 xx+ 1
إذا كانت g ( x) = x 2 + 1وكانت
\
فأوجد بإستخدام قاعدة السلسلة ) (fo g ) ( x
-1
X2
=
-1
(X 2 + 1 ) 2
=
)f(x)= 2x–(2x+1
X2
\
\
g (x)=2x
المتغير ) g ( x
قاعدة السلسلة
-2X
(X 2 + 1 ) 2
=
\
\
) f ( g ( x )) = f ( X 2 + 1
.2x
-1
(X 2 + 1 ) 2
\
=) ) f o g ) ( x
قـاعـ ـ ـ ـ ـ ــدة الس ـ ـ ـ ـ ــلسـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ــة ( ) 2 – 5
\
\
\
) ( f o g ) ( x ) = f ( g ( x )) . g ( x
Slide 17
صور اخري لقاعدة السلسلة
du
dx
.
dy
du
يتم حسابها عند ) u = g( x
خطوات إيجاد
x
=
1
نوجد
2نوجد
3
4
نوجد
ثم التعويض عن u
= dy
dx
قـاعـ ـ ـ ـ ـ ــدة الس ـ ـ ـ ـ ــلسـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ــة ( ) 2 – 5
اذا
كانت
) y = f ( u ) , u = g( xفإن
Slide 18
مثال ( ) 3
صـ 105
إذا كانت y = u 3 – 3 u + 1
dy
فأوجد dx
u=5x2+2 ,
بإستخدام قاعدة التسلسل
.
=3u2-3
dy
du
= 10 x
du
dx
) = ( 3 u 2 – 3 ) . ( 10 x
خطأ مطبعي بالكتاب
dy
du
dx
) dy = ( 3 ( 5 x 2 + 2 ) 2 – 3 ) . ( 10 x
dx
تعـــــــــــــــويـــــض
dy = 750 x 5 + 600 x 3 + 90x
dx
قـاعـ ـ ـ ـ ـ ــدة الس ـ ـ ـ ـ ــلسـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ــة ( ) 2 – 5
du
dx
dy
du
=
dy
dx
Slide 19
حاول ان تحل
( ) 3صـ
105
إذا كانت y = u + 4 u - 3
2
dy
فأوجد dx
3
u=2x +x ,
بإستخدام قاعدة التسلسل
dy
)= 24 x 5+ 4 x 3 + 12 x 3 + 2x +24x 2 +4
dx
=2u+4
dy
)= 24 x 5+ 16 x 3 + 24x 2 + 2x +4
dx
=6x2+1
dy
du
du
dx
dy
)2+1
=
(
2
u
+
4
)
.
(
6
x
dx
dy
) = ( 2 ( 2 x 3 + x ) + 4 ) .( ( 6 x 2 + 1
dx
dy
)=(4x3+2x+4)(6x2+1
dx
قـاعـ ـ ـ ـ ـ ــدة الس ـ ـ ـ ـ ــلسـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ــة ( ) 2 – 5
du
dx
.
dy
du
=
dy
dx
Slide 20
الربط بالفيزياء
إذا كانت ) S ( tدالة موقع جسم بعد tثانية من حركته فإن سرعته
اللحظيه Vهي ) V = ds = s ( t
dt
Slide 21
مثال ( ) 4
صـ 106
يتحرك جسيم علي محور السينات بحيث ان موضعه عند أي لحظه t > 0
يعطي بالداله ) S = cos ( t 2 + 1
اوجد السرعه اللحظيه للجسيم كداله في t
نعاـــــــــــــــم أن
في هذه الحاله s
داله مركبه حيث:
لدينـــــــــــــــا
u=t2+1
) = - sin ( u
) S = cos ( u
S = cos ( u ) ,
ds
du
=2t
u=t2+1
du
dt
قـاعـ ـ ـ ـ ـ ــدة الس ـ ـ ـ ـ ــلسـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ــة ( ) 2 – 5
ds
V = dt
Vهي السرعه اللحظية
Slide 22
الربط بالفيزياء
Slide 23
ds
dt
=
ds
du
بإستخدام قاعدة السلسله
.
du
dt
= - ( sin ( u )) . 2 t
= - ( sin (t 2 + 1 )) . 2 t
مالحظه
= - 2 t sin (t 2 + 1 )
) يمكن ايجاد المشتقة باستخدام القاعده التاليه4 ( من مثال
d
dx
( cos ( t 2 + 1 ) = - sin( t 2 + 1 ) . 2 t
\
d
(
cos
f
(
x
)
)=(
sin
f
(
x
))
.
f
(X)
dx
\
d
dx ( sin f ( x ) )=( cos f ( x )) . f ( X )
\
d
2f ( x )) . f ( X )
(
tan
f
(
x
)
)=(
sec
dx
Slide 24
اقتصرت دراستنا علي دوال قابله للتركيب
تذكــــــــــــــــر
حاول ان تحل
صـ 106
()4
اوجد مشتقة
نفــــــــــــــرض أن
) y = sin ( x 2 + x
بالنسبة للمتغير X
u=x2+x
y = sin u
dy = cos u
du
)= (2x+1
=)) ( sin ( x 2 + x
\
) = cos f ( x ) . f ( X
)= cos ( x2 + x ) .( 2 x + 1
d
dx
du
dx
.
du
dx
dy
= dy
dx
du
) = cos u . ( 2 x + 1
dy
dx
) = ( 2 x + 1 ) cos ( x 2 + x
dy
dx
Slide 25
مثال ( ) 5
صـ106
اوجد مشتقة f ( x ) = sin3 x
باستخدام قاعدة السلسلة
نفــــــــــــــرض أن
3
h(x)=x
) f( x ) = ( h o g ) ( x
\
h ( x ) =3x2
\
) f( x ) = ( h o g ) ( x
\
\
\
\
) = h ( g ( x )) . g ( x
g ( x ) = cos x
=3 ( g ( x ) ) 2 . Cos x
=3 sin2 x . Cos x
قـاعـ ـ ـ ـ ـ ــدة الس ـ ـ ـ ـ ــلسـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ــة ( ) 2 – 5
g ( x ) = sin x
Slide 26
حـــــــــــــــل آ
خر
بالصوره األخري لقاعده السلسلة
y = ( sin x ) 3
y=(u)3
u = sin x
نفــــــــــــــرض أن
) = 3 u 2 ( cos x
dy
dx
=3u2
dy
du
) = 3 ( sin 2 x ) .( cos x
dy
dx
= cos x
du
dx
du
dx
.
dy
dy
=
dx
du
قـاعـ ـ ـ ـ ـ ــدة الس ـ ـ ـ ـ ــلسـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ــة ( ) 2 – 5
f ( x ) = sin 3 x
Slide 27
y = [ f(x ) ] n
لذلك نستخدم القاعدة التالية والمسماه بقاعدة سلسلة القوي
اذا كانت) f ( xقابله لالشتقاق علي مجالها وكان
فإن
\
n
عددا ً نسبياً
) )f ( x ) (n = n ( f ( X ) ) n – 1 . f ( x
d
dx
قـاعـ ـ ـ ـ ـ ــدة الس ـ ـ ـ ـ ــلسـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ــة ( ) 2 – 5
n
Slide 28
مثــــــال
( ) 6صـ 107
لنأخذ
لتكن
(x2+3x+5)3
2
)(x +3x+5
3
5
).(2x+3
).(2x+3
-1
=y
3
5
-2
5
= y
)y =(x2+3x+5
)(x2+3x+5
)(x2+3x+5
)(x2+3x+5
5
3
5
3
5
\
= y
\
= y
\
)3(2x+3
2
5
= y
5
قـاعـ ـ ـ ـ ـ ــدة الس ـ ـ ـ ـ ــلسـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ــة ( ) 2 – 5
خطأ مطبعي بالكتاب
3
5
\
أوجد y
Slide 29
) 2 – 5 ( قـاعـ ـ ـ ـ ـ ــدة الس ـ ـ ـ ـ ــلسـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ــة
بإستخدام قاعدة السلسلة
y= ( u )
حل آ خر
y =(x2+3x+5)
3
5
حل آ خر
)2(
g(x) =(x2+3x+5)
3
5
g\ ( x ) =2 x + 3
u=x2+3x+5
3
5
-52
dy = 3
u
5
du
du
=2x+3
dx
h(x) =x
dy = 3 u
(2x+3)
dx
5
dy = 3 ( x 2 + 3 x + 5 ) -52 ( 2 x + 3 )
5
dx
f ( x ) =( h o g ) ( x )
dy =
dx
\
h ( x )=
5
x
-52
\
\
f ( x ) =( h o g ) ( x )
\
\
= h ( g ( x )) . g ( x )
3(2x+3)
5
3
5
3
=
5
(x2+3x+5)2
=
3
5
( g (x )
-52
(x2+3x+5)
. ( 2 x + 3)
-52
( 2 x + 3)
Slide 30
مثال 7
صـ107
اوجد ميل مماس المنحني
عند
X =π
y = sin 5 x
3
) = 5 sin 4 x ( cos x
ميل المماس هو :
45
32
=) 1
2
()4
3
2
dy
dx
(=5
X = π
3
قـاعـ ـ ـ ـ ـ ــدة الس ـ ـ ـ ـ ــلسـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ــة ( ) 2 – 5
\ ) d y = 5 sin 4 x ( sin x
dx
Slide 31
حاول ان تحل
صـ) 7 ( 107
1
(-2x–1)3
بين ان ميل اي مماس للمنحني
دائما يكون موجب حيث
= y
X ǂ -1
2
) d y = - 3 (- 2 x – 1 ) – 4 ( - 2
dx
d y = 6 (- 2 x – 1 ) – 4
dx
>0
ميل المماس دائما ً موجب y \ > 0
6
(- 2 x – 1 ) 4
= dy
dx
قـاعـ ـ ـ ـ ـ ــدة الس ـ ـ ـ ـ ــلسـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ــة ( ) 2 – 5
y = (- 2 x – 1 ) – 3