Slide 1

‫المستقيمات الموازية ألضالع مثلث‬
‫المادة ‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى ‪:‬‬

‫الثانية ثانوي إعدادي‬

‫‪1‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثانية ثانوي إعدادي‬

‫تذكيـــــــــــر‬

‫‪ -1‬مساحة مثلث‬
‫‪ -1‬أحسب مساحة مثلث ‪ ABC‬قائم الزاوية في ‪A‬‬
‫بحيث ‪ AC = 4‬و ‪AB = 3‬‬
‫‪ -2‬ماهي مساحة مثلث؟‬
‫مساحة مثلث =‬

‫القاعدة × اإلرتفاع‬

‫‪2‬‬
‫‪2‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثانية ثانوي إعدادي‬

‫تذكيـــــــــــر‬

‫‪ -2‬التناسبية‬
‫‪x 7‬‬
‫‪ -1‬أحسب ‪ x‬إذا علمت أن ‪‬‬
‫‪3 5‬‬
‫‪x x 1‬‬
‫‪‬‬
‫‪ -2‬أحسب ‪ x‬إذا علمت أن‬
‫‪2‬‬
‫‪3‬‬
‫‪a c‬‬
‫‪‬‬
‫‪b d‬‬

‫تعني ‪a × d = b × c‬‬

‫‪3‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثانية ثانوي إعدادي‬

‫المستقيم المار من منتصفي‬
‫ضلعين في مثلث‬

‫نشاط تمهيدي ‪: 1‬‬
‫‪ ABC‬مثلث و ’‪ B‬و ’‪ C‬على التوالي منتصفا القطعتين ]‪ [AC‬و ]‪.[AB‬‬
‫لتكن ‪ D‬مماثلة النقطة ’‪ B‬بالنسبة للنقطة ’‪C‬‬
‫‪ -1‬انشئ الشكل‪.‬‬
‫‪ -2‬بين أن )’‪(BD) // (CB‬‬
‫‪-3‬‬

‫أ‪ -‬بين أن )‪(B’C’) // (BC‬‬

‫ب‪ -‬بين أن‬

‫‪1‬‬
‫‪B C  BC‬‬
‫‪2‬‬
‫’‬

‫’‬

‫‪4‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثانية ثانوي إعدادي‬

‫المستقيم المار من منتصفي‬
‫ضلعين في مثلث‬

‫‪ -2‬الرباعي ‪ AB’BD‬متوازي األضالع‬
‫)للقطرين ]‪ [AB‬و ]‪ [DB′‬نفس المنتصف ‪(C′‬‬
‫إذن )‪(DB) // (AB′‬‬

‫•‪D‬‬

‫و حيث أن )‪(AB′) = (AC‬‬
‫فإن )‪(DB) // (CB′‬‬

‫‪5‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثانية ثانوي إعدادي‬

‫المستقيم المار من منتصفي‬
‫ضلعين في مثلث‬

‫‪ -3‬لدينا )‪ (BD) // (B’C‬و ‪BD = B’A = B’C‬‬
‫إذن ‪ BCB’D‬متوازي األضالع‬
‫أ‪ -‬وبالتالي )‪(B’D) // (BC‬‬

‫•‪D‬‬

‫أي )‪(B’C’) // (BC‬‬

‫ب‪-‬‬

‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪B’C’  B’D  BC‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪6‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثانية ثانوي إعدادي‬

‫المستقيم المار من منتصفي‬
‫ضلعين في مثلث‬

‫خاصية ‪1‬‬
‫‪ ‬المستقيم المار من منتصفي ضلعي في مثلث‬
‫يوازي الضلع الثالث‪.‬‬
‫‪ ‬طول القطعة التي تربط بين منتصفي ضلعي‬
‫مثلث يساوي نصف طول الضلع الثالث‪.‬‬

‫‪7‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثانية ثانوي إعدادي‬

‫المستقيم المار من منتصفي‬
‫ضلعين في مثلث‬

‫باستعمال الرموز‬
‫‪ ABC‬مثلث‬

‫إذا كان‬

‫’‪ B‬منتصف ]‪[AC‬‬
‫و‬
‫’‪ C‬منتصف ]‪[AB‬‬

‫فإن‬

‫)‪(B’C’) // (BC‬‬
‫و‬
‫‪1‬‬
‫‪B’C’  BC‬‬
‫‪2‬‬
‫‪8‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثانية ثانوي إعدادي‬

‫المستقيم المار من منتصفي‬
‫ضلعين في مثلث‬

‫تمارين تطبيقية‬
‫‪ ‬التمرين رقم ‪ 1‬صفحة ‪.133‬‬
‫)كتاب المسار(‬
‫‪ ‬التمرين رقم ‪ 7‬صفحة ‪.133‬‬
‫)كتاب المسار(‬

‫‪9‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثانية ثانوي إعدادي‬

‫المستقيم المار من منتصف ضلع‬
‫لمثلث و الموازي لضلع آخر‬

‫نشاط تمهيدي ‪: 2‬‬
‫النشاط رقم ‪ 2‬صفحة ‪.126‬‬
‫)كتاب المسار(‬
‫المعطيات‪:‬‬

‫؟‬

‫‪ ABC ‬مثلث‬
‫‪ C′ ‬منتصف ]‪[AB‬‬

‫‪ (∆) // (BC) ‬و )∆(‪C′Є‬‬
‫‪ (∆) ‬يقطع )‪ (AC‬في ‪K‬‬
‫‪ B′ ‬منتصف ]‪[CA‬‬
‫‪10‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثانية ثانوي إعدادي‬

‫المستقيم المار من منتصف ضلع‬
‫لمثلث و الموازي لضلع آخر‬

‫لنبين أن ‪B’ = K‬‬
‫‪‬المستقيمان )’‪ (B’C‬و )∆( يوازيان )‪(BC‬‬
‫و لهما نقطة مشتركة‬
‫إذن )’‪ (∆) = (B’C‬و منه ’‪K = B‬‬

‫‪11‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثانية ثانوي إعدادي‬

‫المستقيم المار من منتصف ضلع‬
‫لمثلث و الموازي لضلع آخر‬

‫خاصية ‪2‬‬
‫المستقيم المار من منتصف ضلع مثلث‬
‫و الموازي لضلع آخر في هذا المثلث‬
‫يمر من منتصف الضلع الثالث‪.‬‬

‫‪12‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثانية ثانوي إعدادي‬

‫المستقيم المار من منتصف ضلع‬
‫لمثلث و الموازي لضلع آخر‬

‫باستعمال الرموز‬
‫‪ ABC‬مثلث و ’‪ B‬منتصف ]‪ [AC‬و )∆( مستقيم‪.‬‬

‫إذا كان‬

‫فإن‬

‫)∆( يمر من ’‪B‬‬
‫و‬
‫)∆( يوازي )‪(BC‬‬

‫)∆( يقطع القطعة ]‪ [AB‬في منتصفها‪.‬‬

‫‪13‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثانية ثانوي إعدادي‬

‫المستقيم المار من منتصف ضلع‬
‫لمثلث و الموازي لضلع آخر‬

‫تمرين تطبيقي‬
‫تمرين ‪ 13‬صفحة ‪.134‬‬
‫)كتاب المسار(‬
‫المعطيات‪:‬‬
‫‪ B’‬منتصف ]‪[AC‬‬

‫المطلوب‪:‬‬
‫‪ K ‬منتصف ]‪[AM‬‬

‫‪ C’‬منتصف ]‪[AB‬‬
‫‪M Є (BC )‬‬
‫‪ (B’C’)‬يقطع )‪ (AM‬في ‪K‬‬
‫‪14‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثانية ثانوي إعدادي‬

‫المستقيم المار من منتصف ضلع‬
‫لمثلث و الموازي لضلع آخر‬

‫‪ ‬في المثلث ‪.ABC‬‬
‫بما أن ’‪ B‬و ’‪ C‬هما منتصفا ]‪ [AC‬و ]‪[AB‬‬
‫على التوالي فإن )‪(B’C’) // (BC‬‬

‫‪ ‬المستقيم )’‪ (B’C‬يمر من ’‪ B‬منتصف ]‪[AC‬‬
‫و يقطع ]‪ [AM‬في ‪ K‬و يوازي )‪(CM‬‬

‫في المثلث ‪ACM‬‬
‫إذن‪ K :‬منتصف ]‪[AM‬‬
‫‪15‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثانية ثانوي إعدادي‬

‫المستقيم الموازي لضلع في مثلث‬

‫نشاط تمهيدي ‪: 3‬‬
‫النشاط رقم ‪ 3‬صفحة ‪.126‬‬
‫)كتاب المسار(‬
‫‪ -1‬نحسب مساحة المثلث ‪ ABC‬بطريقتين‪:‬‬
‫‪AB  BC BH  AC‬‬
‫‪‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫إذن‪AB  BC  BH  AC :‬‬

‫و منه‪:‬‬

‫‪AB  BC‬‬
‫‪BH ‬‬
‫‪AC‬‬
‫‪16‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثانية ثانوي إعدادي‬

‫المستقيم الموازي لضلع في مثلث‬

‫‪ -2‬مساحة المثلث ‪:BCN‬‬
‫‪NN  BC BM  BC‬‬
‫‪‬‬
‫بإعتبار اإلرتفاع ]‪ [NN′‬نجد‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪BH  NC‬‬
‫‪2‬‬

‫بإعتبار اإلرتفاع )‪ (BH‬نجد‬
‫و منه نجد‪:‬‬

‫إذن‪:‬‬
‫أي‪:‬‬

‫‪(NN′ = BM) a ‬‬
‫‪a‬‬

‫‪BM  BC  BH  NC‬‬

‫‪AB  BC‬‬
‫‪ NC‬‬
‫‪AC‬‬

‫‪BM  BC ‬‬

‫‪BM  AC  BA  NC‬‬

‫وحيث أن‪NC  AC  AN :‬‬

‫و ‪BM  AB  AM‬‬

‫فإن‪AB  AC  AM  AC  AB  AC  AB  AN :‬‬

‫ومنه‪:‬‬

‫‪AM AN‬‬
‫‪‬‬
‫‪AB AC‬‬

‫و ‪AM  AC  AB  AN‬‬
‫‪17‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثانية ثانوي إعدادي‬

‫المستقيم الموازي لضلع في مثلث‬

‫خاصية ‪3‬‬
‫‪ ABC‬مثلث و ‪ M‬و ‪ N‬نقطتان من ]‪ [AB‬و ]‪ [AC‬على التوالي‬
‫إذا كان )‪(MN) // (BC‬‬
‫فإن‪:‬‬

‫‪AM AN MN‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪AB AC BC‬‬

‫‪18‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثانية ثانوي إعدادي‬

‫المستقيم الموازي لضلع في مثلث‬

‫تمرين تطبيقي‬
‫تمرين ‪ 19‬صفحة ‪.134‬‬
‫)كتاب المسار(‬
‫المطلوب‪:‬‬

‫المعطيات‪:‬‬
‫‪ AM = 5 ‬و ‪ AB = 8‬و ‪ BC = 9‬و )‪(MN) // (BC‬‬

‫بما أن‪ MЄ[AB] :‬و ]‪ NЄ[AC‬و )‪(MN) // (BC‬‬

‫أي‪:‬‬

‫‪MN 5‬‬
‫‪‬‬
‫‪9‬‬
‫‪8‬‬

‫ومنه‪:‬‬

‫فإن‪:‬‬

‫‪‬حساب المسافة ‪MN‬‬
‫‪MN AM‬‬
‫‪‬‬
‫‪BC AB‬‬

‫‪5  9 45‬‬
‫‪‬‬
‫‪8‬‬
‫‪8‬‬

‫‪MN ‬‬

‫‪19‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثانية ثانوي إعدادي‬

‫تقسيم قطعة إلى قطع متقايسة‬

‫نشاط تمهيدي ‪: 4‬‬
‫النشاط رقم ‪ 5‬صفحة ‪.126‬‬
‫)كتاب المسار(‬

‫في المثلث ´‪ AJJ‬لدينا ‪:‬‬
‫في‬

‫‪AI‬‬
‫‪AI' 1‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪AJ AJ' 2‬‬

‫إذن‪:‬‬

‫'‪2AI'  AJ‬‬

‫‪1‬‬
‫‪AC‬‬
‫‪3‬‬

‫‪AI‬‬
‫‪AI' 1‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫إذن‪:‬‬
‫المثلث ‪ ABC‬لدينا ‪:‬‬
‫‪AB AC 3‬‬
‫‪2‬‬
‫‪AC  AJ' J'C  2AI' J'C  AC  J'C‬‬
‫و لدينا‪:‬‬
‫‪3‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫إذن‪ J'C  AC  AC  AC :‬إذن‪AI'  J'C  AC  AC :‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬

‫وبالتالي‪:‬‬

‫‪1‬‬
‫‪AC‬‬
‫‪3‬‬

‫‪AI' ‬‬

‫‪I' J'  AI'  J'C ‬‬
‫‪20‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثانية ثانوي إعدادي‬

‫تقسيم قطعة إلى قطع متقايسة‬

‫كيف إذن أمكن تقسيم القطعة ]‪ [AC‬إلى ‪ 3‬قطع متقايسة ؟‬
‫‪ ‬ننشئ ]‪ [AB‬مخالفا لـ ]‪[AC‬‬
‫‪ ‬نقسم القطعة ]‪ [AB‬إلى ‪ 3‬قطع متقايسة ( بواسطة البركار)‬
‫‪ ‬لتكن ‪ I‬على ]‪ [AB‬بحيث ‪AI = 1‬‬

‫• ننشئ )∆) المار من ‪ I‬و الموازي لـ )‪ (BC‬يقطع ]‪ [AC‬في ’‪I‬‬
‫• لدينا إذن‬

‫‪AC‬‬
‫‪3‬‬

‫‪AI' ‬‬

‫• نقسم القطعة ]‪ [AC‬بإستعمال الوحدة ’‪AI‬‬
‫‪21‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثانية ثانوي إعدادي‬

‫تقسيم قطعة إلى قطع متقايسة‬

‫قاعـــــدة‬
‫لتقسيم قطعة ]‪ [AB‬إلى ‪ n‬قطع متقايسة نتبع الخطوات التالية‪:‬‬
‫‪‬ننشئ نصف مستقيم )∆) مار من ‪ A‬و حامله مختلفا عن )‪(AB‬‬
‫‪‬نعتبر على )∆) النقطة ‪ C‬بحيث ‪AC = n‬‬
‫‪ ‬على ]‪ [AC‬نأخذ ‪ I‬بحيث ‪AI = 1‬‬
‫‪ ‬نمثل )‪(BC‬‬
‫‪‬ننشئ المستقيم )∆) المار من ‪ I‬و الموازي ل (‪ )BC‬الذي يقطع ]‪ [AB‬في ’‪I‬‬
‫‪AC‬‬
‫‪ ‬لدينا إذن‪:‬‬
‫‪3‬‬
‫‪‬نقسم القطعة ]‪ [AB‬بإستعمال البركار و الوحدة ’‪. AI‬‬
‫‪AI' ‬‬

‫‪22‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثانية ثانوي إعدادي‬

‫مثــــــال‬

‫تقسيم قطعة إلى قطع متقايسة‬

‫)‪(n = 5‬‬

‫‪23‬‬


Slide 2

‫المستقيمات الموازية ألضالع مثلث‬
‫المادة ‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى ‪:‬‬

‫الثانية ثانوي إعدادي‬

‫‪1‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثانية ثانوي إعدادي‬

‫تذكيـــــــــــر‬

‫‪ -1‬مساحة مثلث‬
‫‪ -1‬أحسب مساحة مثلث ‪ ABC‬قائم الزاوية في ‪A‬‬
‫بحيث ‪ AC = 4‬و ‪AB = 3‬‬
‫‪ -2‬ماهي مساحة مثلث؟‬
‫مساحة مثلث =‬

‫القاعدة × اإلرتفاع‬

‫‪2‬‬
‫‪2‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثانية ثانوي إعدادي‬

‫تذكيـــــــــــر‬

‫‪ -2‬التناسبية‬
‫‪x 7‬‬
‫‪ -1‬أحسب ‪ x‬إذا علمت أن ‪‬‬
‫‪3 5‬‬
‫‪x x 1‬‬
‫‪‬‬
‫‪ -2‬أحسب ‪ x‬إذا علمت أن‬
‫‪2‬‬
‫‪3‬‬
‫‪a c‬‬
‫‪‬‬
‫‪b d‬‬

‫تعني ‪a × d = b × c‬‬

‫‪3‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثانية ثانوي إعدادي‬

‫المستقيم المار من منتصفي‬
‫ضلعين في مثلث‬

‫نشاط تمهيدي ‪: 1‬‬
‫‪ ABC‬مثلث و ’‪ B‬و ’‪ C‬على التوالي منتصفا القطعتين ]‪ [AC‬و ]‪.[AB‬‬
‫لتكن ‪ D‬مماثلة النقطة ’‪ B‬بالنسبة للنقطة ’‪C‬‬
‫‪ -1‬انشئ الشكل‪.‬‬
‫‪ -2‬بين أن )’‪(BD) // (CB‬‬
‫‪-3‬‬

‫أ‪ -‬بين أن )‪(B’C’) // (BC‬‬

‫ب‪ -‬بين أن‬

‫‪1‬‬
‫‪B C  BC‬‬
‫‪2‬‬
‫’‬

‫’‬

‫‪4‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثانية ثانوي إعدادي‬

‫المستقيم المار من منتصفي‬
‫ضلعين في مثلث‬

‫‪ -2‬الرباعي ‪ AB’BD‬متوازي األضالع‬
‫)للقطرين ]‪ [AB‬و ]‪ [DB′‬نفس المنتصف ‪(C′‬‬
‫إذن )‪(DB) // (AB′‬‬

‫•‪D‬‬

‫و حيث أن )‪(AB′) = (AC‬‬
‫فإن )‪(DB) // (CB′‬‬

‫‪5‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثانية ثانوي إعدادي‬

‫المستقيم المار من منتصفي‬
‫ضلعين في مثلث‬

‫‪ -3‬لدينا )‪ (BD) // (B’C‬و ‪BD = B’A = B’C‬‬
‫إذن ‪ BCB’D‬متوازي األضالع‬
‫أ‪ -‬وبالتالي )‪(B’D) // (BC‬‬

‫•‪D‬‬

‫أي )‪(B’C’) // (BC‬‬

‫ب‪-‬‬

‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪B’C’  B’D  BC‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪6‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثانية ثانوي إعدادي‬

‫المستقيم المار من منتصفي‬
‫ضلعين في مثلث‬

‫خاصية ‪1‬‬
‫‪ ‬المستقيم المار من منتصفي ضلعي في مثلث‬
‫يوازي الضلع الثالث‪.‬‬
‫‪ ‬طول القطعة التي تربط بين منتصفي ضلعي‬
‫مثلث يساوي نصف طول الضلع الثالث‪.‬‬

‫‪7‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثانية ثانوي إعدادي‬

‫المستقيم المار من منتصفي‬
‫ضلعين في مثلث‬

‫باستعمال الرموز‬
‫‪ ABC‬مثلث‬

‫إذا كان‬

‫’‪ B‬منتصف ]‪[AC‬‬
‫و‬
‫’‪ C‬منتصف ]‪[AB‬‬

‫فإن‬

‫)‪(B’C’) // (BC‬‬
‫و‬
‫‪1‬‬
‫‪B’C’  BC‬‬
‫‪2‬‬
‫‪8‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثانية ثانوي إعدادي‬

‫المستقيم المار من منتصفي‬
‫ضلعين في مثلث‬

‫تمارين تطبيقية‬
‫‪ ‬التمرين رقم ‪ 1‬صفحة ‪.133‬‬
‫)كتاب المسار(‬
‫‪ ‬التمرين رقم ‪ 7‬صفحة ‪.133‬‬
‫)كتاب المسار(‬

‫‪9‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثانية ثانوي إعدادي‬

‫المستقيم المار من منتصف ضلع‬
‫لمثلث و الموازي لضلع آخر‬

‫نشاط تمهيدي ‪: 2‬‬
‫النشاط رقم ‪ 2‬صفحة ‪.126‬‬
‫)كتاب المسار(‬
‫المعطيات‪:‬‬

‫؟‬

‫‪ ABC ‬مثلث‬
‫‪ C′ ‬منتصف ]‪[AB‬‬

‫‪ (∆) // (BC) ‬و )∆(‪C′Є‬‬
‫‪ (∆) ‬يقطع )‪ (AC‬في ‪K‬‬
‫‪ B′ ‬منتصف ]‪[CA‬‬
‫‪10‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثانية ثانوي إعدادي‬

‫المستقيم المار من منتصف ضلع‬
‫لمثلث و الموازي لضلع آخر‬

‫لنبين أن ‪B’ = K‬‬
‫‪‬المستقيمان )’‪ (B’C‬و )∆( يوازيان )‪(BC‬‬
‫و لهما نقطة مشتركة‬
‫إذن )’‪ (∆) = (B’C‬و منه ’‪K = B‬‬

‫‪11‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثانية ثانوي إعدادي‬

‫المستقيم المار من منتصف ضلع‬
‫لمثلث و الموازي لضلع آخر‬

‫خاصية ‪2‬‬
‫المستقيم المار من منتصف ضلع مثلث‬
‫و الموازي لضلع آخر في هذا المثلث‬
‫يمر من منتصف الضلع الثالث‪.‬‬

‫‪12‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثانية ثانوي إعدادي‬

‫المستقيم المار من منتصف ضلع‬
‫لمثلث و الموازي لضلع آخر‬

‫باستعمال الرموز‬
‫‪ ABC‬مثلث و ’‪ B‬منتصف ]‪ [AC‬و )∆( مستقيم‪.‬‬

‫إذا كان‬

‫فإن‬

‫)∆( يمر من ’‪B‬‬
‫و‬
‫)∆( يوازي )‪(BC‬‬

‫)∆( يقطع القطعة ]‪ [AB‬في منتصفها‪.‬‬

‫‪13‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثانية ثانوي إعدادي‬

‫المستقيم المار من منتصف ضلع‬
‫لمثلث و الموازي لضلع آخر‬

‫تمرين تطبيقي‬
‫تمرين ‪ 13‬صفحة ‪.134‬‬
‫)كتاب المسار(‬
‫المعطيات‪:‬‬
‫‪ B’‬منتصف ]‪[AC‬‬

‫المطلوب‪:‬‬
‫‪ K ‬منتصف ]‪[AM‬‬

‫‪ C’‬منتصف ]‪[AB‬‬
‫‪M Є (BC )‬‬
‫‪ (B’C’)‬يقطع )‪ (AM‬في ‪K‬‬
‫‪14‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثانية ثانوي إعدادي‬

‫المستقيم المار من منتصف ضلع‬
‫لمثلث و الموازي لضلع آخر‬

‫‪ ‬في المثلث ‪.ABC‬‬
‫بما أن ’‪ B‬و ’‪ C‬هما منتصفا ]‪ [AC‬و ]‪[AB‬‬
‫على التوالي فإن )‪(B’C’) // (BC‬‬

‫‪ ‬المستقيم )’‪ (B’C‬يمر من ’‪ B‬منتصف ]‪[AC‬‬
‫و يقطع ]‪ [AM‬في ‪ K‬و يوازي )‪(CM‬‬

‫في المثلث ‪ACM‬‬
‫إذن‪ K :‬منتصف ]‪[AM‬‬
‫‪15‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثانية ثانوي إعدادي‬

‫المستقيم الموازي لضلع في مثلث‬

‫نشاط تمهيدي ‪: 3‬‬
‫النشاط رقم ‪ 3‬صفحة ‪.126‬‬
‫)كتاب المسار(‬
‫‪ -1‬نحسب مساحة المثلث ‪ ABC‬بطريقتين‪:‬‬
‫‪AB  BC BH  AC‬‬
‫‪‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫إذن‪AB  BC  BH  AC :‬‬

‫و منه‪:‬‬

‫‪AB  BC‬‬
‫‪BH ‬‬
‫‪AC‬‬
‫‪16‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثانية ثانوي إعدادي‬

‫المستقيم الموازي لضلع في مثلث‬

‫‪ -2‬مساحة المثلث ‪:BCN‬‬
‫‪NN  BC BM  BC‬‬
‫‪‬‬
‫بإعتبار اإلرتفاع ]‪ [NN′‬نجد‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪BH  NC‬‬
‫‪2‬‬

‫بإعتبار اإلرتفاع )‪ (BH‬نجد‬
‫و منه نجد‪:‬‬

‫إذن‪:‬‬
‫أي‪:‬‬

‫‪(NN′ = BM) a ‬‬
‫‪a‬‬

‫‪BM  BC  BH  NC‬‬

‫‪AB  BC‬‬
‫‪ NC‬‬
‫‪AC‬‬

‫‪BM  BC ‬‬

‫‪BM  AC  BA  NC‬‬

‫وحيث أن‪NC  AC  AN :‬‬

‫و ‪BM  AB  AM‬‬

‫فإن‪AB  AC  AM  AC  AB  AC  AB  AN :‬‬

‫ومنه‪:‬‬

‫‪AM AN‬‬
‫‪‬‬
‫‪AB AC‬‬

‫و ‪AM  AC  AB  AN‬‬
‫‪17‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثانية ثانوي إعدادي‬

‫المستقيم الموازي لضلع في مثلث‬

‫خاصية ‪3‬‬
‫‪ ABC‬مثلث و ‪ M‬و ‪ N‬نقطتان من ]‪ [AB‬و ]‪ [AC‬على التوالي‬
‫إذا كان )‪(MN) // (BC‬‬
‫فإن‪:‬‬

‫‪AM AN MN‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪AB AC BC‬‬

‫‪18‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثانية ثانوي إعدادي‬

‫المستقيم الموازي لضلع في مثلث‬

‫تمرين تطبيقي‬
‫تمرين ‪ 19‬صفحة ‪.134‬‬
‫)كتاب المسار(‬
‫المطلوب‪:‬‬

‫المعطيات‪:‬‬
‫‪ AM = 5 ‬و ‪ AB = 8‬و ‪ BC = 9‬و )‪(MN) // (BC‬‬

‫بما أن‪ MЄ[AB] :‬و ]‪ NЄ[AC‬و )‪(MN) // (BC‬‬

‫أي‪:‬‬

‫‪MN 5‬‬
‫‪‬‬
‫‪9‬‬
‫‪8‬‬

‫ومنه‪:‬‬

‫فإن‪:‬‬

‫‪‬حساب المسافة ‪MN‬‬
‫‪MN AM‬‬
‫‪‬‬
‫‪BC AB‬‬

‫‪5  9 45‬‬
‫‪‬‬
‫‪8‬‬
‫‪8‬‬

‫‪MN ‬‬

‫‪19‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثانية ثانوي إعدادي‬

‫تقسيم قطعة إلى قطع متقايسة‬

‫نشاط تمهيدي ‪: 4‬‬
‫النشاط رقم ‪ 5‬صفحة ‪.126‬‬
‫)كتاب المسار(‬

‫في المثلث ´‪ AJJ‬لدينا ‪:‬‬
‫في‬

‫‪AI‬‬
‫‪AI' 1‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪AJ AJ' 2‬‬

‫إذن‪:‬‬

‫'‪2AI'  AJ‬‬

‫‪1‬‬
‫‪AC‬‬
‫‪3‬‬

‫‪AI‬‬
‫‪AI' 1‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫إذن‪:‬‬
‫المثلث ‪ ABC‬لدينا ‪:‬‬
‫‪AB AC 3‬‬
‫‪2‬‬
‫‪AC  AJ' J'C  2AI' J'C  AC  J'C‬‬
‫و لدينا‪:‬‬
‫‪3‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫إذن‪ J'C  AC  AC  AC :‬إذن‪AI'  J'C  AC  AC :‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬

‫وبالتالي‪:‬‬

‫‪1‬‬
‫‪AC‬‬
‫‪3‬‬

‫‪AI' ‬‬

‫‪I' J'  AI'  J'C ‬‬
‫‪20‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثانية ثانوي إعدادي‬

‫تقسيم قطعة إلى قطع متقايسة‬

‫كيف إذن أمكن تقسيم القطعة ]‪ [AC‬إلى ‪ 3‬قطع متقايسة ؟‬
‫‪ ‬ننشئ ]‪ [AB‬مخالفا لـ ]‪[AC‬‬
‫‪ ‬نقسم القطعة ]‪ [AB‬إلى ‪ 3‬قطع متقايسة ( بواسطة البركار)‬
‫‪ ‬لتكن ‪ I‬على ]‪ [AB‬بحيث ‪AI = 1‬‬

‫• ننشئ )∆) المار من ‪ I‬و الموازي لـ )‪ (BC‬يقطع ]‪ [AC‬في ’‪I‬‬
‫• لدينا إذن‬

‫‪AC‬‬
‫‪3‬‬

‫‪AI' ‬‬

‫• نقسم القطعة ]‪ [AC‬بإستعمال الوحدة ’‪AI‬‬
‫‪21‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثانية ثانوي إعدادي‬

‫تقسيم قطعة إلى قطع متقايسة‬

‫قاعـــــدة‬
‫لتقسيم قطعة ]‪ [AB‬إلى ‪ n‬قطع متقايسة نتبع الخطوات التالية‪:‬‬
‫‪‬ننشئ نصف مستقيم )∆) مار من ‪ A‬و حامله مختلفا عن )‪(AB‬‬
‫‪‬نعتبر على )∆) النقطة ‪ C‬بحيث ‪AC = n‬‬
‫‪ ‬على ]‪ [AC‬نأخذ ‪ I‬بحيث ‪AI = 1‬‬
‫‪ ‬نمثل )‪(BC‬‬
‫‪‬ننشئ المستقيم )∆) المار من ‪ I‬و الموازي ل (‪ )BC‬الذي يقطع ]‪ [AB‬في ’‪I‬‬
‫‪AC‬‬
‫‪ ‬لدينا إذن‪:‬‬
‫‪3‬‬
‫‪‬نقسم القطعة ]‪ [AB‬بإستعمال البركار و الوحدة ’‪. AI‬‬
‫‪AI' ‬‬

‫‪22‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثانية ثانوي إعدادي‬

‫مثــــــال‬

‫تقسيم قطعة إلى قطع متقايسة‬

‫)‪(n = 5‬‬

‫‪23‬‬


Slide 3

‫المستقيمات الموازية ألضالع مثلث‬
‫المادة ‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى ‪:‬‬

‫الثانية ثانوي إعدادي‬

‫‪1‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثانية ثانوي إعدادي‬

‫تذكيـــــــــــر‬

‫‪ -1‬مساحة مثلث‬
‫‪ -1‬أحسب مساحة مثلث ‪ ABC‬قائم الزاوية في ‪A‬‬
‫بحيث ‪ AC = 4‬و ‪AB = 3‬‬
‫‪ -2‬ماهي مساحة مثلث؟‬
‫مساحة مثلث =‬

‫القاعدة × اإلرتفاع‬

‫‪2‬‬
‫‪2‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثانية ثانوي إعدادي‬

‫تذكيـــــــــــر‬

‫‪ -2‬التناسبية‬
‫‪x 7‬‬
‫‪ -1‬أحسب ‪ x‬إذا علمت أن ‪‬‬
‫‪3 5‬‬
‫‪x x 1‬‬
‫‪‬‬
‫‪ -2‬أحسب ‪ x‬إذا علمت أن‬
‫‪2‬‬
‫‪3‬‬
‫‪a c‬‬
‫‪‬‬
‫‪b d‬‬

‫تعني ‪a × d = b × c‬‬

‫‪3‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثانية ثانوي إعدادي‬

‫المستقيم المار من منتصفي‬
‫ضلعين في مثلث‬

‫نشاط تمهيدي ‪: 1‬‬
‫‪ ABC‬مثلث و ’‪ B‬و ’‪ C‬على التوالي منتصفا القطعتين ]‪ [AC‬و ]‪.[AB‬‬
‫لتكن ‪ D‬مماثلة النقطة ’‪ B‬بالنسبة للنقطة ’‪C‬‬
‫‪ -1‬انشئ الشكل‪.‬‬
‫‪ -2‬بين أن )’‪(BD) // (CB‬‬
‫‪-3‬‬

‫أ‪ -‬بين أن )‪(B’C’) // (BC‬‬

‫ب‪ -‬بين أن‬

‫‪1‬‬
‫‪B C  BC‬‬
‫‪2‬‬
‫’‬

‫’‬

‫‪4‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثانية ثانوي إعدادي‬

‫المستقيم المار من منتصفي‬
‫ضلعين في مثلث‬

‫‪ -2‬الرباعي ‪ AB’BD‬متوازي األضالع‬
‫)للقطرين ]‪ [AB‬و ]‪ [DB′‬نفس المنتصف ‪(C′‬‬
‫إذن )‪(DB) // (AB′‬‬

‫•‪D‬‬

‫و حيث أن )‪(AB′) = (AC‬‬
‫فإن )‪(DB) // (CB′‬‬

‫‪5‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثانية ثانوي إعدادي‬

‫المستقيم المار من منتصفي‬
‫ضلعين في مثلث‬

‫‪ -3‬لدينا )‪ (BD) // (B’C‬و ‪BD = B’A = B’C‬‬
‫إذن ‪ BCB’D‬متوازي األضالع‬
‫أ‪ -‬وبالتالي )‪(B’D) // (BC‬‬

‫•‪D‬‬

‫أي )‪(B’C’) // (BC‬‬

‫ب‪-‬‬

‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪B’C’  B’D  BC‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪6‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثانية ثانوي إعدادي‬

‫المستقيم المار من منتصفي‬
‫ضلعين في مثلث‬

‫خاصية ‪1‬‬
‫‪ ‬المستقيم المار من منتصفي ضلعي في مثلث‬
‫يوازي الضلع الثالث‪.‬‬
‫‪ ‬طول القطعة التي تربط بين منتصفي ضلعي‬
‫مثلث يساوي نصف طول الضلع الثالث‪.‬‬

‫‪7‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثانية ثانوي إعدادي‬

‫المستقيم المار من منتصفي‬
‫ضلعين في مثلث‬

‫باستعمال الرموز‬
‫‪ ABC‬مثلث‬

‫إذا كان‬

‫’‪ B‬منتصف ]‪[AC‬‬
‫و‬
‫’‪ C‬منتصف ]‪[AB‬‬

‫فإن‬

‫)‪(B’C’) // (BC‬‬
‫و‬
‫‪1‬‬
‫‪B’C’  BC‬‬
‫‪2‬‬
‫‪8‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثانية ثانوي إعدادي‬

‫المستقيم المار من منتصفي‬
‫ضلعين في مثلث‬

‫تمارين تطبيقية‬
‫‪ ‬التمرين رقم ‪ 1‬صفحة ‪.133‬‬
‫)كتاب المسار(‬
‫‪ ‬التمرين رقم ‪ 7‬صفحة ‪.133‬‬
‫)كتاب المسار(‬

‫‪9‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثانية ثانوي إعدادي‬

‫المستقيم المار من منتصف ضلع‬
‫لمثلث و الموازي لضلع آخر‬

‫نشاط تمهيدي ‪: 2‬‬
‫النشاط رقم ‪ 2‬صفحة ‪.126‬‬
‫)كتاب المسار(‬
‫المعطيات‪:‬‬

‫؟‬

‫‪ ABC ‬مثلث‬
‫‪ C′ ‬منتصف ]‪[AB‬‬

‫‪ (∆) // (BC) ‬و )∆(‪C′Є‬‬
‫‪ (∆) ‬يقطع )‪ (AC‬في ‪K‬‬
‫‪ B′ ‬منتصف ]‪[CA‬‬
‫‪10‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثانية ثانوي إعدادي‬

‫المستقيم المار من منتصف ضلع‬
‫لمثلث و الموازي لضلع آخر‬

‫لنبين أن ‪B’ = K‬‬
‫‪‬المستقيمان )’‪ (B’C‬و )∆( يوازيان )‪(BC‬‬
‫و لهما نقطة مشتركة‬
‫إذن )’‪ (∆) = (B’C‬و منه ’‪K = B‬‬

‫‪11‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثانية ثانوي إعدادي‬

‫المستقيم المار من منتصف ضلع‬
‫لمثلث و الموازي لضلع آخر‬

‫خاصية ‪2‬‬
‫المستقيم المار من منتصف ضلع مثلث‬
‫و الموازي لضلع آخر في هذا المثلث‬
‫يمر من منتصف الضلع الثالث‪.‬‬

‫‪12‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثانية ثانوي إعدادي‬

‫المستقيم المار من منتصف ضلع‬
‫لمثلث و الموازي لضلع آخر‬

‫باستعمال الرموز‬
‫‪ ABC‬مثلث و ’‪ B‬منتصف ]‪ [AC‬و )∆( مستقيم‪.‬‬

‫إذا كان‬

‫فإن‬

‫)∆( يمر من ’‪B‬‬
‫و‬
‫)∆( يوازي )‪(BC‬‬

‫)∆( يقطع القطعة ]‪ [AB‬في منتصفها‪.‬‬

‫‪13‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثانية ثانوي إعدادي‬

‫المستقيم المار من منتصف ضلع‬
‫لمثلث و الموازي لضلع آخر‬

‫تمرين تطبيقي‬
‫تمرين ‪ 13‬صفحة ‪.134‬‬
‫)كتاب المسار(‬
‫المعطيات‪:‬‬
‫‪ B’‬منتصف ]‪[AC‬‬

‫المطلوب‪:‬‬
‫‪ K ‬منتصف ]‪[AM‬‬

‫‪ C’‬منتصف ]‪[AB‬‬
‫‪M Є (BC )‬‬
‫‪ (B’C’)‬يقطع )‪ (AM‬في ‪K‬‬
‫‪14‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثانية ثانوي إعدادي‬

‫المستقيم المار من منتصف ضلع‬
‫لمثلث و الموازي لضلع آخر‬

‫‪ ‬في المثلث ‪.ABC‬‬
‫بما أن ’‪ B‬و ’‪ C‬هما منتصفا ]‪ [AC‬و ]‪[AB‬‬
‫على التوالي فإن )‪(B’C’) // (BC‬‬

‫‪ ‬المستقيم )’‪ (B’C‬يمر من ’‪ B‬منتصف ]‪[AC‬‬
‫و يقطع ]‪ [AM‬في ‪ K‬و يوازي )‪(CM‬‬

‫في المثلث ‪ACM‬‬
‫إذن‪ K :‬منتصف ]‪[AM‬‬
‫‪15‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثانية ثانوي إعدادي‬

‫المستقيم الموازي لضلع في مثلث‬

‫نشاط تمهيدي ‪: 3‬‬
‫النشاط رقم ‪ 3‬صفحة ‪.126‬‬
‫)كتاب المسار(‬
‫‪ -1‬نحسب مساحة المثلث ‪ ABC‬بطريقتين‪:‬‬
‫‪AB  BC BH  AC‬‬
‫‪‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫إذن‪AB  BC  BH  AC :‬‬

‫و منه‪:‬‬

‫‪AB  BC‬‬
‫‪BH ‬‬
‫‪AC‬‬
‫‪16‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثانية ثانوي إعدادي‬

‫المستقيم الموازي لضلع في مثلث‬

‫‪ -2‬مساحة المثلث ‪:BCN‬‬
‫‪NN  BC BM  BC‬‬
‫‪‬‬
‫بإعتبار اإلرتفاع ]‪ [NN′‬نجد‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪BH  NC‬‬
‫‪2‬‬

‫بإعتبار اإلرتفاع )‪ (BH‬نجد‬
‫و منه نجد‪:‬‬

‫إذن‪:‬‬
‫أي‪:‬‬

‫‪(NN′ = BM) a ‬‬
‫‪a‬‬

‫‪BM  BC  BH  NC‬‬

‫‪AB  BC‬‬
‫‪ NC‬‬
‫‪AC‬‬

‫‪BM  BC ‬‬

‫‪BM  AC  BA  NC‬‬

‫وحيث أن‪NC  AC  AN :‬‬

‫و ‪BM  AB  AM‬‬

‫فإن‪AB  AC  AM  AC  AB  AC  AB  AN :‬‬

‫ومنه‪:‬‬

‫‪AM AN‬‬
‫‪‬‬
‫‪AB AC‬‬

‫و ‪AM  AC  AB  AN‬‬
‫‪17‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثانية ثانوي إعدادي‬

‫المستقيم الموازي لضلع في مثلث‬

‫خاصية ‪3‬‬
‫‪ ABC‬مثلث و ‪ M‬و ‪ N‬نقطتان من ]‪ [AB‬و ]‪ [AC‬على التوالي‬
‫إذا كان )‪(MN) // (BC‬‬
‫فإن‪:‬‬

‫‪AM AN MN‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪AB AC BC‬‬

‫‪18‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثانية ثانوي إعدادي‬

‫المستقيم الموازي لضلع في مثلث‬

‫تمرين تطبيقي‬
‫تمرين ‪ 19‬صفحة ‪.134‬‬
‫)كتاب المسار(‬
‫المطلوب‪:‬‬

‫المعطيات‪:‬‬
‫‪ AM = 5 ‬و ‪ AB = 8‬و ‪ BC = 9‬و )‪(MN) // (BC‬‬

‫بما أن‪ MЄ[AB] :‬و ]‪ NЄ[AC‬و )‪(MN) // (BC‬‬

‫أي‪:‬‬

‫‪MN 5‬‬
‫‪‬‬
‫‪9‬‬
‫‪8‬‬

‫ومنه‪:‬‬

‫فإن‪:‬‬

‫‪‬حساب المسافة ‪MN‬‬
‫‪MN AM‬‬
‫‪‬‬
‫‪BC AB‬‬

‫‪5  9 45‬‬
‫‪‬‬
‫‪8‬‬
‫‪8‬‬

‫‪MN ‬‬

‫‪19‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثانية ثانوي إعدادي‬

‫تقسيم قطعة إلى قطع متقايسة‬

‫نشاط تمهيدي ‪: 4‬‬
‫النشاط رقم ‪ 5‬صفحة ‪.126‬‬
‫)كتاب المسار(‬

‫في المثلث ´‪ AJJ‬لدينا ‪:‬‬
‫في‬

‫‪AI‬‬
‫‪AI' 1‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪AJ AJ' 2‬‬

‫إذن‪:‬‬

‫'‪2AI'  AJ‬‬

‫‪1‬‬
‫‪AC‬‬
‫‪3‬‬

‫‪AI‬‬
‫‪AI' 1‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫إذن‪:‬‬
‫المثلث ‪ ABC‬لدينا ‪:‬‬
‫‪AB AC 3‬‬
‫‪2‬‬
‫‪AC  AJ' J'C  2AI' J'C  AC  J'C‬‬
‫و لدينا‪:‬‬
‫‪3‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫إذن‪ J'C  AC  AC  AC :‬إذن‪AI'  J'C  AC  AC :‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬

‫وبالتالي‪:‬‬

‫‪1‬‬
‫‪AC‬‬
‫‪3‬‬

‫‪AI' ‬‬

‫‪I' J'  AI'  J'C ‬‬
‫‪20‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثانية ثانوي إعدادي‬

‫تقسيم قطعة إلى قطع متقايسة‬

‫كيف إذن أمكن تقسيم القطعة ]‪ [AC‬إلى ‪ 3‬قطع متقايسة ؟‬
‫‪ ‬ننشئ ]‪ [AB‬مخالفا لـ ]‪[AC‬‬
‫‪ ‬نقسم القطعة ]‪ [AB‬إلى ‪ 3‬قطع متقايسة ( بواسطة البركار)‬
‫‪ ‬لتكن ‪ I‬على ]‪ [AB‬بحيث ‪AI = 1‬‬

‫• ننشئ )∆) المار من ‪ I‬و الموازي لـ )‪ (BC‬يقطع ]‪ [AC‬في ’‪I‬‬
‫• لدينا إذن‬

‫‪AC‬‬
‫‪3‬‬

‫‪AI' ‬‬

‫• نقسم القطعة ]‪ [AC‬بإستعمال الوحدة ’‪AI‬‬
‫‪21‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثانية ثانوي إعدادي‬

‫تقسيم قطعة إلى قطع متقايسة‬

‫قاعـــــدة‬
‫لتقسيم قطعة ]‪ [AB‬إلى ‪ n‬قطع متقايسة نتبع الخطوات التالية‪:‬‬
‫‪‬ننشئ نصف مستقيم )∆) مار من ‪ A‬و حامله مختلفا عن )‪(AB‬‬
‫‪‬نعتبر على )∆) النقطة ‪ C‬بحيث ‪AC = n‬‬
‫‪ ‬على ]‪ [AC‬نأخذ ‪ I‬بحيث ‪AI = 1‬‬
‫‪ ‬نمثل )‪(BC‬‬
‫‪‬ننشئ المستقيم )∆) المار من ‪ I‬و الموازي ل (‪ )BC‬الذي يقطع ]‪ [AB‬في ’‪I‬‬
‫‪AC‬‬
‫‪ ‬لدينا إذن‪:‬‬
‫‪3‬‬
‫‪‬نقسم القطعة ]‪ [AB‬بإستعمال البركار و الوحدة ’‪. AI‬‬
‫‪AI' ‬‬

‫‪22‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثانية ثانوي إعدادي‬

‫مثــــــال‬

‫تقسيم قطعة إلى قطع متقايسة‬

‫)‪(n = 5‬‬

‫‪23‬‬


Slide 4

‫المستقيمات الموازية ألضالع مثلث‬
‫المادة ‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى ‪:‬‬

‫الثانية ثانوي إعدادي‬

‫‪1‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثانية ثانوي إعدادي‬

‫تذكيـــــــــــر‬

‫‪ -1‬مساحة مثلث‬
‫‪ -1‬أحسب مساحة مثلث ‪ ABC‬قائم الزاوية في ‪A‬‬
‫بحيث ‪ AC = 4‬و ‪AB = 3‬‬
‫‪ -2‬ماهي مساحة مثلث؟‬
‫مساحة مثلث =‬

‫القاعدة × اإلرتفاع‬

‫‪2‬‬
‫‪2‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثانية ثانوي إعدادي‬

‫تذكيـــــــــــر‬

‫‪ -2‬التناسبية‬
‫‪x 7‬‬
‫‪ -1‬أحسب ‪ x‬إذا علمت أن ‪‬‬
‫‪3 5‬‬
‫‪x x 1‬‬
‫‪‬‬
‫‪ -2‬أحسب ‪ x‬إذا علمت أن‬
‫‪2‬‬
‫‪3‬‬
‫‪a c‬‬
‫‪‬‬
‫‪b d‬‬

‫تعني ‪a × d = b × c‬‬

‫‪3‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثانية ثانوي إعدادي‬

‫المستقيم المار من منتصفي‬
‫ضلعين في مثلث‬

‫نشاط تمهيدي ‪: 1‬‬
‫‪ ABC‬مثلث و ’‪ B‬و ’‪ C‬على التوالي منتصفا القطعتين ]‪ [AC‬و ]‪.[AB‬‬
‫لتكن ‪ D‬مماثلة النقطة ’‪ B‬بالنسبة للنقطة ’‪C‬‬
‫‪ -1‬انشئ الشكل‪.‬‬
‫‪ -2‬بين أن )’‪(BD) // (CB‬‬
‫‪-3‬‬

‫أ‪ -‬بين أن )‪(B’C’) // (BC‬‬

‫ب‪ -‬بين أن‬

‫‪1‬‬
‫‪B C  BC‬‬
‫‪2‬‬
‫’‬

‫’‬

‫‪4‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثانية ثانوي إعدادي‬

‫المستقيم المار من منتصفي‬
‫ضلعين في مثلث‬

‫‪ -2‬الرباعي ‪ AB’BD‬متوازي األضالع‬
‫)للقطرين ]‪ [AB‬و ]‪ [DB′‬نفس المنتصف ‪(C′‬‬
‫إذن )‪(DB) // (AB′‬‬

‫•‪D‬‬

‫و حيث أن )‪(AB′) = (AC‬‬
‫فإن )‪(DB) // (CB′‬‬

‫‪5‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثانية ثانوي إعدادي‬

‫المستقيم المار من منتصفي‬
‫ضلعين في مثلث‬

‫‪ -3‬لدينا )‪ (BD) // (B’C‬و ‪BD = B’A = B’C‬‬
‫إذن ‪ BCB’D‬متوازي األضالع‬
‫أ‪ -‬وبالتالي )‪(B’D) // (BC‬‬

‫•‪D‬‬

‫أي )‪(B’C’) // (BC‬‬

‫ب‪-‬‬

‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪B’C’  B’D  BC‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪6‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثانية ثانوي إعدادي‬

‫المستقيم المار من منتصفي‬
‫ضلعين في مثلث‬

‫خاصية ‪1‬‬
‫‪ ‬المستقيم المار من منتصفي ضلعي في مثلث‬
‫يوازي الضلع الثالث‪.‬‬
‫‪ ‬طول القطعة التي تربط بين منتصفي ضلعي‬
‫مثلث يساوي نصف طول الضلع الثالث‪.‬‬

‫‪7‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثانية ثانوي إعدادي‬

‫المستقيم المار من منتصفي‬
‫ضلعين في مثلث‬

‫باستعمال الرموز‬
‫‪ ABC‬مثلث‬

‫إذا كان‬

‫’‪ B‬منتصف ]‪[AC‬‬
‫و‬
‫’‪ C‬منتصف ]‪[AB‬‬

‫فإن‬

‫)‪(B’C’) // (BC‬‬
‫و‬
‫‪1‬‬
‫‪B’C’  BC‬‬
‫‪2‬‬
‫‪8‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثانية ثانوي إعدادي‬

‫المستقيم المار من منتصفي‬
‫ضلعين في مثلث‬

‫تمارين تطبيقية‬
‫‪ ‬التمرين رقم ‪ 1‬صفحة ‪.133‬‬
‫)كتاب المسار(‬
‫‪ ‬التمرين رقم ‪ 7‬صفحة ‪.133‬‬
‫)كتاب المسار(‬

‫‪9‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثانية ثانوي إعدادي‬

‫المستقيم المار من منتصف ضلع‬
‫لمثلث و الموازي لضلع آخر‬

‫نشاط تمهيدي ‪: 2‬‬
‫النشاط رقم ‪ 2‬صفحة ‪.126‬‬
‫)كتاب المسار(‬
‫المعطيات‪:‬‬

‫؟‬

‫‪ ABC ‬مثلث‬
‫‪ C′ ‬منتصف ]‪[AB‬‬

‫‪ (∆) // (BC) ‬و )∆(‪C′Є‬‬
‫‪ (∆) ‬يقطع )‪ (AC‬في ‪K‬‬
‫‪ B′ ‬منتصف ]‪[CA‬‬
‫‪10‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثانية ثانوي إعدادي‬

‫المستقيم المار من منتصف ضلع‬
‫لمثلث و الموازي لضلع آخر‬

‫لنبين أن ‪B’ = K‬‬
‫‪‬المستقيمان )’‪ (B’C‬و )∆( يوازيان )‪(BC‬‬
‫و لهما نقطة مشتركة‬
‫إذن )’‪ (∆) = (B’C‬و منه ’‪K = B‬‬

‫‪11‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثانية ثانوي إعدادي‬

‫المستقيم المار من منتصف ضلع‬
‫لمثلث و الموازي لضلع آخر‬

‫خاصية ‪2‬‬
‫المستقيم المار من منتصف ضلع مثلث‬
‫و الموازي لضلع آخر في هذا المثلث‬
‫يمر من منتصف الضلع الثالث‪.‬‬

‫‪12‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثانية ثانوي إعدادي‬

‫المستقيم المار من منتصف ضلع‬
‫لمثلث و الموازي لضلع آخر‬

‫باستعمال الرموز‬
‫‪ ABC‬مثلث و ’‪ B‬منتصف ]‪ [AC‬و )∆( مستقيم‪.‬‬

‫إذا كان‬

‫فإن‬

‫)∆( يمر من ’‪B‬‬
‫و‬
‫)∆( يوازي )‪(BC‬‬

‫)∆( يقطع القطعة ]‪ [AB‬في منتصفها‪.‬‬

‫‪13‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثانية ثانوي إعدادي‬

‫المستقيم المار من منتصف ضلع‬
‫لمثلث و الموازي لضلع آخر‬

‫تمرين تطبيقي‬
‫تمرين ‪ 13‬صفحة ‪.134‬‬
‫)كتاب المسار(‬
‫المعطيات‪:‬‬
‫‪ B’‬منتصف ]‪[AC‬‬

‫المطلوب‪:‬‬
‫‪ K ‬منتصف ]‪[AM‬‬

‫‪ C’‬منتصف ]‪[AB‬‬
‫‪M Є (BC )‬‬
‫‪ (B’C’)‬يقطع )‪ (AM‬في ‪K‬‬
‫‪14‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثانية ثانوي إعدادي‬

‫المستقيم المار من منتصف ضلع‬
‫لمثلث و الموازي لضلع آخر‬

‫‪ ‬في المثلث ‪.ABC‬‬
‫بما أن ’‪ B‬و ’‪ C‬هما منتصفا ]‪ [AC‬و ]‪[AB‬‬
‫على التوالي فإن )‪(B’C’) // (BC‬‬

‫‪ ‬المستقيم )’‪ (B’C‬يمر من ’‪ B‬منتصف ]‪[AC‬‬
‫و يقطع ]‪ [AM‬في ‪ K‬و يوازي )‪(CM‬‬

‫في المثلث ‪ACM‬‬
‫إذن‪ K :‬منتصف ]‪[AM‬‬
‫‪15‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثانية ثانوي إعدادي‬

‫المستقيم الموازي لضلع في مثلث‬

‫نشاط تمهيدي ‪: 3‬‬
‫النشاط رقم ‪ 3‬صفحة ‪.126‬‬
‫)كتاب المسار(‬
‫‪ -1‬نحسب مساحة المثلث ‪ ABC‬بطريقتين‪:‬‬
‫‪AB  BC BH  AC‬‬
‫‪‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫إذن‪AB  BC  BH  AC :‬‬

‫و منه‪:‬‬

‫‪AB  BC‬‬
‫‪BH ‬‬
‫‪AC‬‬
‫‪16‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثانية ثانوي إعدادي‬

‫المستقيم الموازي لضلع في مثلث‬

‫‪ -2‬مساحة المثلث ‪:BCN‬‬
‫‪NN  BC BM  BC‬‬
‫‪‬‬
‫بإعتبار اإلرتفاع ]‪ [NN′‬نجد‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪BH  NC‬‬
‫‪2‬‬

‫بإعتبار اإلرتفاع )‪ (BH‬نجد‬
‫و منه نجد‪:‬‬

‫إذن‪:‬‬
‫أي‪:‬‬

‫‪(NN′ = BM) a ‬‬
‫‪a‬‬

‫‪BM  BC  BH  NC‬‬

‫‪AB  BC‬‬
‫‪ NC‬‬
‫‪AC‬‬

‫‪BM  BC ‬‬

‫‪BM  AC  BA  NC‬‬

‫وحيث أن‪NC  AC  AN :‬‬

‫و ‪BM  AB  AM‬‬

‫فإن‪AB  AC  AM  AC  AB  AC  AB  AN :‬‬

‫ومنه‪:‬‬

‫‪AM AN‬‬
‫‪‬‬
‫‪AB AC‬‬

‫و ‪AM  AC  AB  AN‬‬
‫‪17‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثانية ثانوي إعدادي‬

‫المستقيم الموازي لضلع في مثلث‬

‫خاصية ‪3‬‬
‫‪ ABC‬مثلث و ‪ M‬و ‪ N‬نقطتان من ]‪ [AB‬و ]‪ [AC‬على التوالي‬
‫إذا كان )‪(MN) // (BC‬‬
‫فإن‪:‬‬

‫‪AM AN MN‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪AB AC BC‬‬

‫‪18‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثانية ثانوي إعدادي‬

‫المستقيم الموازي لضلع في مثلث‬

‫تمرين تطبيقي‬
‫تمرين ‪ 19‬صفحة ‪.134‬‬
‫)كتاب المسار(‬
‫المطلوب‪:‬‬

‫المعطيات‪:‬‬
‫‪ AM = 5 ‬و ‪ AB = 8‬و ‪ BC = 9‬و )‪(MN) // (BC‬‬

‫بما أن‪ MЄ[AB] :‬و ]‪ NЄ[AC‬و )‪(MN) // (BC‬‬

‫أي‪:‬‬

‫‪MN 5‬‬
‫‪‬‬
‫‪9‬‬
‫‪8‬‬

‫ومنه‪:‬‬

‫فإن‪:‬‬

‫‪‬حساب المسافة ‪MN‬‬
‫‪MN AM‬‬
‫‪‬‬
‫‪BC AB‬‬

‫‪5  9 45‬‬
‫‪‬‬
‫‪8‬‬
‫‪8‬‬

‫‪MN ‬‬

‫‪19‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثانية ثانوي إعدادي‬

‫تقسيم قطعة إلى قطع متقايسة‬

‫نشاط تمهيدي ‪: 4‬‬
‫النشاط رقم ‪ 5‬صفحة ‪.126‬‬
‫)كتاب المسار(‬

‫في المثلث ´‪ AJJ‬لدينا ‪:‬‬
‫في‬

‫‪AI‬‬
‫‪AI' 1‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪AJ AJ' 2‬‬

‫إذن‪:‬‬

‫'‪2AI'  AJ‬‬

‫‪1‬‬
‫‪AC‬‬
‫‪3‬‬

‫‪AI‬‬
‫‪AI' 1‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫إذن‪:‬‬
‫المثلث ‪ ABC‬لدينا ‪:‬‬
‫‪AB AC 3‬‬
‫‪2‬‬
‫‪AC  AJ' J'C  2AI' J'C  AC  J'C‬‬
‫و لدينا‪:‬‬
‫‪3‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫إذن‪ J'C  AC  AC  AC :‬إذن‪AI'  J'C  AC  AC :‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬

‫وبالتالي‪:‬‬

‫‪1‬‬
‫‪AC‬‬
‫‪3‬‬

‫‪AI' ‬‬

‫‪I' J'  AI'  J'C ‬‬
‫‪20‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثانية ثانوي إعدادي‬

‫تقسيم قطعة إلى قطع متقايسة‬

‫كيف إذن أمكن تقسيم القطعة ]‪ [AC‬إلى ‪ 3‬قطع متقايسة ؟‬
‫‪ ‬ننشئ ]‪ [AB‬مخالفا لـ ]‪[AC‬‬
‫‪ ‬نقسم القطعة ]‪ [AB‬إلى ‪ 3‬قطع متقايسة ( بواسطة البركار)‬
‫‪ ‬لتكن ‪ I‬على ]‪ [AB‬بحيث ‪AI = 1‬‬

‫• ننشئ )∆) المار من ‪ I‬و الموازي لـ )‪ (BC‬يقطع ]‪ [AC‬في ’‪I‬‬
‫• لدينا إذن‬

‫‪AC‬‬
‫‪3‬‬

‫‪AI' ‬‬

‫• نقسم القطعة ]‪ [AC‬بإستعمال الوحدة ’‪AI‬‬
‫‪21‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثانية ثانوي إعدادي‬

‫تقسيم قطعة إلى قطع متقايسة‬

‫قاعـــــدة‬
‫لتقسيم قطعة ]‪ [AB‬إلى ‪ n‬قطع متقايسة نتبع الخطوات التالية‪:‬‬
‫‪‬ننشئ نصف مستقيم )∆) مار من ‪ A‬و حامله مختلفا عن )‪(AB‬‬
‫‪‬نعتبر على )∆) النقطة ‪ C‬بحيث ‪AC = n‬‬
‫‪ ‬على ]‪ [AC‬نأخذ ‪ I‬بحيث ‪AI = 1‬‬
‫‪ ‬نمثل )‪(BC‬‬
‫‪‬ننشئ المستقيم )∆) المار من ‪ I‬و الموازي ل (‪ )BC‬الذي يقطع ]‪ [AB‬في ’‪I‬‬
‫‪AC‬‬
‫‪ ‬لدينا إذن‪:‬‬
‫‪3‬‬
‫‪‬نقسم القطعة ]‪ [AB‬بإستعمال البركار و الوحدة ’‪. AI‬‬
‫‪AI' ‬‬

‫‪22‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثانية ثانوي إعدادي‬

‫مثــــــال‬

‫تقسيم قطعة إلى قطع متقايسة‬

‫)‪(n = 5‬‬

‫‪23‬‬


Slide 5

‫المستقيمات الموازية ألضالع مثلث‬
‫المادة ‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى ‪:‬‬

‫الثانية ثانوي إعدادي‬

‫‪1‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثانية ثانوي إعدادي‬

‫تذكيـــــــــــر‬

‫‪ -1‬مساحة مثلث‬
‫‪ -1‬أحسب مساحة مثلث ‪ ABC‬قائم الزاوية في ‪A‬‬
‫بحيث ‪ AC = 4‬و ‪AB = 3‬‬
‫‪ -2‬ماهي مساحة مثلث؟‬
‫مساحة مثلث =‬

‫القاعدة × اإلرتفاع‬

‫‪2‬‬
‫‪2‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثانية ثانوي إعدادي‬

‫تذكيـــــــــــر‬

‫‪ -2‬التناسبية‬
‫‪x 7‬‬
‫‪ -1‬أحسب ‪ x‬إذا علمت أن ‪‬‬
‫‪3 5‬‬
‫‪x x 1‬‬
‫‪‬‬
‫‪ -2‬أحسب ‪ x‬إذا علمت أن‬
‫‪2‬‬
‫‪3‬‬
‫‪a c‬‬
‫‪‬‬
‫‪b d‬‬

‫تعني ‪a × d = b × c‬‬

‫‪3‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثانية ثانوي إعدادي‬

‫المستقيم المار من منتصفي‬
‫ضلعين في مثلث‬

‫نشاط تمهيدي ‪: 1‬‬
‫‪ ABC‬مثلث و ’‪ B‬و ’‪ C‬على التوالي منتصفا القطعتين ]‪ [AC‬و ]‪.[AB‬‬
‫لتكن ‪ D‬مماثلة النقطة ’‪ B‬بالنسبة للنقطة ’‪C‬‬
‫‪ -1‬انشئ الشكل‪.‬‬
‫‪ -2‬بين أن )’‪(BD) // (CB‬‬
‫‪-3‬‬

‫أ‪ -‬بين أن )‪(B’C’) // (BC‬‬

‫ب‪ -‬بين أن‬

‫‪1‬‬
‫‪B C  BC‬‬
‫‪2‬‬
‫’‬

‫’‬

‫‪4‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثانية ثانوي إعدادي‬

‫المستقيم المار من منتصفي‬
‫ضلعين في مثلث‬

‫‪ -2‬الرباعي ‪ AB’BD‬متوازي األضالع‬
‫)للقطرين ]‪ [AB‬و ]‪ [DB′‬نفس المنتصف ‪(C′‬‬
‫إذن )‪(DB) // (AB′‬‬

‫•‪D‬‬

‫و حيث أن )‪(AB′) = (AC‬‬
‫فإن )‪(DB) // (CB′‬‬

‫‪5‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثانية ثانوي إعدادي‬

‫المستقيم المار من منتصفي‬
‫ضلعين في مثلث‬

‫‪ -3‬لدينا )‪ (BD) // (B’C‬و ‪BD = B’A = B’C‬‬
‫إذن ‪ BCB’D‬متوازي األضالع‬
‫أ‪ -‬وبالتالي )‪(B’D) // (BC‬‬

‫•‪D‬‬

‫أي )‪(B’C’) // (BC‬‬

‫ب‪-‬‬

‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪B’C’  B’D  BC‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪6‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثانية ثانوي إعدادي‬

‫المستقيم المار من منتصفي‬
‫ضلعين في مثلث‬

‫خاصية ‪1‬‬
‫‪ ‬المستقيم المار من منتصفي ضلعي في مثلث‬
‫يوازي الضلع الثالث‪.‬‬
‫‪ ‬طول القطعة التي تربط بين منتصفي ضلعي‬
‫مثلث يساوي نصف طول الضلع الثالث‪.‬‬

‫‪7‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثانية ثانوي إعدادي‬

‫المستقيم المار من منتصفي‬
‫ضلعين في مثلث‬

‫باستعمال الرموز‬
‫‪ ABC‬مثلث‬

‫إذا كان‬

‫’‪ B‬منتصف ]‪[AC‬‬
‫و‬
‫’‪ C‬منتصف ]‪[AB‬‬

‫فإن‬

‫)‪(B’C’) // (BC‬‬
‫و‬
‫‪1‬‬
‫‪B’C’  BC‬‬
‫‪2‬‬
‫‪8‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثانية ثانوي إعدادي‬

‫المستقيم المار من منتصفي‬
‫ضلعين في مثلث‬

‫تمارين تطبيقية‬
‫‪ ‬التمرين رقم ‪ 1‬صفحة ‪.133‬‬
‫)كتاب المسار(‬
‫‪ ‬التمرين رقم ‪ 7‬صفحة ‪.133‬‬
‫)كتاب المسار(‬

‫‪9‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثانية ثانوي إعدادي‬

‫المستقيم المار من منتصف ضلع‬
‫لمثلث و الموازي لضلع آخر‬

‫نشاط تمهيدي ‪: 2‬‬
‫النشاط رقم ‪ 2‬صفحة ‪.126‬‬
‫)كتاب المسار(‬
‫المعطيات‪:‬‬

‫؟‬

‫‪ ABC ‬مثلث‬
‫‪ C′ ‬منتصف ]‪[AB‬‬

‫‪ (∆) // (BC) ‬و )∆(‪C′Є‬‬
‫‪ (∆) ‬يقطع )‪ (AC‬في ‪K‬‬
‫‪ B′ ‬منتصف ]‪[CA‬‬
‫‪10‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثانية ثانوي إعدادي‬

‫المستقيم المار من منتصف ضلع‬
‫لمثلث و الموازي لضلع آخر‬

‫لنبين أن ‪B’ = K‬‬
‫‪‬المستقيمان )’‪ (B’C‬و )∆( يوازيان )‪(BC‬‬
‫و لهما نقطة مشتركة‬
‫إذن )’‪ (∆) = (B’C‬و منه ’‪K = B‬‬

‫‪11‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثانية ثانوي إعدادي‬

‫المستقيم المار من منتصف ضلع‬
‫لمثلث و الموازي لضلع آخر‬

‫خاصية ‪2‬‬
‫المستقيم المار من منتصف ضلع مثلث‬
‫و الموازي لضلع آخر في هذا المثلث‬
‫يمر من منتصف الضلع الثالث‪.‬‬

‫‪12‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثانية ثانوي إعدادي‬

‫المستقيم المار من منتصف ضلع‬
‫لمثلث و الموازي لضلع آخر‬

‫باستعمال الرموز‬
‫‪ ABC‬مثلث و ’‪ B‬منتصف ]‪ [AC‬و )∆( مستقيم‪.‬‬

‫إذا كان‬

‫فإن‬

‫)∆( يمر من ’‪B‬‬
‫و‬
‫)∆( يوازي )‪(BC‬‬

‫)∆( يقطع القطعة ]‪ [AB‬في منتصفها‪.‬‬

‫‪13‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثانية ثانوي إعدادي‬

‫المستقيم المار من منتصف ضلع‬
‫لمثلث و الموازي لضلع آخر‬

‫تمرين تطبيقي‬
‫تمرين ‪ 13‬صفحة ‪.134‬‬
‫)كتاب المسار(‬
‫المعطيات‪:‬‬
‫‪ B’‬منتصف ]‪[AC‬‬

‫المطلوب‪:‬‬
‫‪ K ‬منتصف ]‪[AM‬‬

‫‪ C’‬منتصف ]‪[AB‬‬
‫‪M Є (BC )‬‬
‫‪ (B’C’)‬يقطع )‪ (AM‬في ‪K‬‬
‫‪14‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثانية ثانوي إعدادي‬

‫المستقيم المار من منتصف ضلع‬
‫لمثلث و الموازي لضلع آخر‬

‫‪ ‬في المثلث ‪.ABC‬‬
‫بما أن ’‪ B‬و ’‪ C‬هما منتصفا ]‪ [AC‬و ]‪[AB‬‬
‫على التوالي فإن )‪(B’C’) // (BC‬‬

‫‪ ‬المستقيم )’‪ (B’C‬يمر من ’‪ B‬منتصف ]‪[AC‬‬
‫و يقطع ]‪ [AM‬في ‪ K‬و يوازي )‪(CM‬‬

‫في المثلث ‪ACM‬‬
‫إذن‪ K :‬منتصف ]‪[AM‬‬
‫‪15‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثانية ثانوي إعدادي‬

‫المستقيم الموازي لضلع في مثلث‬

‫نشاط تمهيدي ‪: 3‬‬
‫النشاط رقم ‪ 3‬صفحة ‪.126‬‬
‫)كتاب المسار(‬
‫‪ -1‬نحسب مساحة المثلث ‪ ABC‬بطريقتين‪:‬‬
‫‪AB  BC BH  AC‬‬
‫‪‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫إذن‪AB  BC  BH  AC :‬‬

‫و منه‪:‬‬

‫‪AB  BC‬‬
‫‪BH ‬‬
‫‪AC‬‬
‫‪16‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثانية ثانوي إعدادي‬

‫المستقيم الموازي لضلع في مثلث‬

‫‪ -2‬مساحة المثلث ‪:BCN‬‬
‫‪NN  BC BM  BC‬‬
‫‪‬‬
‫بإعتبار اإلرتفاع ]‪ [NN′‬نجد‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪BH  NC‬‬
‫‪2‬‬

‫بإعتبار اإلرتفاع )‪ (BH‬نجد‬
‫و منه نجد‪:‬‬

‫إذن‪:‬‬
‫أي‪:‬‬

‫‪(NN′ = BM) a ‬‬
‫‪a‬‬

‫‪BM  BC  BH  NC‬‬

‫‪AB  BC‬‬
‫‪ NC‬‬
‫‪AC‬‬

‫‪BM  BC ‬‬

‫‪BM  AC  BA  NC‬‬

‫وحيث أن‪NC  AC  AN :‬‬

‫و ‪BM  AB  AM‬‬

‫فإن‪AB  AC  AM  AC  AB  AC  AB  AN :‬‬

‫ومنه‪:‬‬

‫‪AM AN‬‬
‫‪‬‬
‫‪AB AC‬‬

‫و ‪AM  AC  AB  AN‬‬
‫‪17‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثانية ثانوي إعدادي‬

‫المستقيم الموازي لضلع في مثلث‬

‫خاصية ‪3‬‬
‫‪ ABC‬مثلث و ‪ M‬و ‪ N‬نقطتان من ]‪ [AB‬و ]‪ [AC‬على التوالي‬
‫إذا كان )‪(MN) // (BC‬‬
‫فإن‪:‬‬

‫‪AM AN MN‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪AB AC BC‬‬

‫‪18‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثانية ثانوي إعدادي‬

‫المستقيم الموازي لضلع في مثلث‬

‫تمرين تطبيقي‬
‫تمرين ‪ 19‬صفحة ‪.134‬‬
‫)كتاب المسار(‬
‫المطلوب‪:‬‬

‫المعطيات‪:‬‬
‫‪ AM = 5 ‬و ‪ AB = 8‬و ‪ BC = 9‬و )‪(MN) // (BC‬‬

‫بما أن‪ MЄ[AB] :‬و ]‪ NЄ[AC‬و )‪(MN) // (BC‬‬

‫أي‪:‬‬

‫‪MN 5‬‬
‫‪‬‬
‫‪9‬‬
‫‪8‬‬

‫ومنه‪:‬‬

‫فإن‪:‬‬

‫‪‬حساب المسافة ‪MN‬‬
‫‪MN AM‬‬
‫‪‬‬
‫‪BC AB‬‬

‫‪5  9 45‬‬
‫‪‬‬
‫‪8‬‬
‫‪8‬‬

‫‪MN ‬‬

‫‪19‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثانية ثانوي إعدادي‬

‫تقسيم قطعة إلى قطع متقايسة‬

‫نشاط تمهيدي ‪: 4‬‬
‫النشاط رقم ‪ 5‬صفحة ‪.126‬‬
‫)كتاب المسار(‬

‫في المثلث ´‪ AJJ‬لدينا ‪:‬‬
‫في‬

‫‪AI‬‬
‫‪AI' 1‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪AJ AJ' 2‬‬

‫إذن‪:‬‬

‫'‪2AI'  AJ‬‬

‫‪1‬‬
‫‪AC‬‬
‫‪3‬‬

‫‪AI‬‬
‫‪AI' 1‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫إذن‪:‬‬
‫المثلث ‪ ABC‬لدينا ‪:‬‬
‫‪AB AC 3‬‬
‫‪2‬‬
‫‪AC  AJ' J'C  2AI' J'C  AC  J'C‬‬
‫و لدينا‪:‬‬
‫‪3‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫إذن‪ J'C  AC  AC  AC :‬إذن‪AI'  J'C  AC  AC :‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬

‫وبالتالي‪:‬‬

‫‪1‬‬
‫‪AC‬‬
‫‪3‬‬

‫‪AI' ‬‬

‫‪I' J'  AI'  J'C ‬‬
‫‪20‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثانية ثانوي إعدادي‬

‫تقسيم قطعة إلى قطع متقايسة‬

‫كيف إذن أمكن تقسيم القطعة ]‪ [AC‬إلى ‪ 3‬قطع متقايسة ؟‬
‫‪ ‬ننشئ ]‪ [AB‬مخالفا لـ ]‪[AC‬‬
‫‪ ‬نقسم القطعة ]‪ [AB‬إلى ‪ 3‬قطع متقايسة ( بواسطة البركار)‬
‫‪ ‬لتكن ‪ I‬على ]‪ [AB‬بحيث ‪AI = 1‬‬

‫• ننشئ )∆) المار من ‪ I‬و الموازي لـ )‪ (BC‬يقطع ]‪ [AC‬في ’‪I‬‬
‫• لدينا إذن‬

‫‪AC‬‬
‫‪3‬‬

‫‪AI' ‬‬

‫• نقسم القطعة ]‪ [AC‬بإستعمال الوحدة ’‪AI‬‬
‫‪21‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثانية ثانوي إعدادي‬

‫تقسيم قطعة إلى قطع متقايسة‬

‫قاعـــــدة‬
‫لتقسيم قطعة ]‪ [AB‬إلى ‪ n‬قطع متقايسة نتبع الخطوات التالية‪:‬‬
‫‪‬ننشئ نصف مستقيم )∆) مار من ‪ A‬و حامله مختلفا عن )‪(AB‬‬
‫‪‬نعتبر على )∆) النقطة ‪ C‬بحيث ‪AC = n‬‬
‫‪ ‬على ]‪ [AC‬نأخذ ‪ I‬بحيث ‪AI = 1‬‬
‫‪ ‬نمثل )‪(BC‬‬
‫‪‬ننشئ المستقيم )∆) المار من ‪ I‬و الموازي ل (‪ )BC‬الذي يقطع ]‪ [AB‬في ’‪I‬‬
‫‪AC‬‬
‫‪ ‬لدينا إذن‪:‬‬
‫‪3‬‬
‫‪‬نقسم القطعة ]‪ [AB‬بإستعمال البركار و الوحدة ’‪. AI‬‬
‫‪AI' ‬‬

‫‪22‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثانية ثانوي إعدادي‬

‫مثــــــال‬

‫تقسيم قطعة إلى قطع متقايسة‬

‫)‪(n = 5‬‬

‫‪23‬‬


Slide 6

‫المستقيمات الموازية ألضالع مثلث‬
‫المادة ‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى ‪:‬‬

‫الثانية ثانوي إعدادي‬

‫‪1‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثانية ثانوي إعدادي‬

‫تذكيـــــــــــر‬

‫‪ -1‬مساحة مثلث‬
‫‪ -1‬أحسب مساحة مثلث ‪ ABC‬قائم الزاوية في ‪A‬‬
‫بحيث ‪ AC = 4‬و ‪AB = 3‬‬
‫‪ -2‬ماهي مساحة مثلث؟‬
‫مساحة مثلث =‬

‫القاعدة × اإلرتفاع‬

‫‪2‬‬
‫‪2‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثانية ثانوي إعدادي‬

‫تذكيـــــــــــر‬

‫‪ -2‬التناسبية‬
‫‪x 7‬‬
‫‪ -1‬أحسب ‪ x‬إذا علمت أن ‪‬‬
‫‪3 5‬‬
‫‪x x 1‬‬
‫‪‬‬
‫‪ -2‬أحسب ‪ x‬إذا علمت أن‬
‫‪2‬‬
‫‪3‬‬
‫‪a c‬‬
‫‪‬‬
‫‪b d‬‬

‫تعني ‪a × d = b × c‬‬

‫‪3‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثانية ثانوي إعدادي‬

‫المستقيم المار من منتصفي‬
‫ضلعين في مثلث‬

‫نشاط تمهيدي ‪: 1‬‬
‫‪ ABC‬مثلث و ’‪ B‬و ’‪ C‬على التوالي منتصفا القطعتين ]‪ [AC‬و ]‪.[AB‬‬
‫لتكن ‪ D‬مماثلة النقطة ’‪ B‬بالنسبة للنقطة ’‪C‬‬
‫‪ -1‬انشئ الشكل‪.‬‬
‫‪ -2‬بين أن )’‪(BD) // (CB‬‬
‫‪-3‬‬

‫أ‪ -‬بين أن )‪(B’C’) // (BC‬‬

‫ب‪ -‬بين أن‬

‫‪1‬‬
‫‪B C  BC‬‬
‫‪2‬‬
‫’‬

‫’‬

‫‪4‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثانية ثانوي إعدادي‬

‫المستقيم المار من منتصفي‬
‫ضلعين في مثلث‬

‫‪ -2‬الرباعي ‪ AB’BD‬متوازي األضالع‬
‫)للقطرين ]‪ [AB‬و ]‪ [DB′‬نفس المنتصف ‪(C′‬‬
‫إذن )‪(DB) // (AB′‬‬

‫•‪D‬‬

‫و حيث أن )‪(AB′) = (AC‬‬
‫فإن )‪(DB) // (CB′‬‬

‫‪5‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثانية ثانوي إعدادي‬

‫المستقيم المار من منتصفي‬
‫ضلعين في مثلث‬

‫‪ -3‬لدينا )‪ (BD) // (B’C‬و ‪BD = B’A = B’C‬‬
‫إذن ‪ BCB’D‬متوازي األضالع‬
‫أ‪ -‬وبالتالي )‪(B’D) // (BC‬‬

‫•‪D‬‬

‫أي )‪(B’C’) // (BC‬‬

‫ب‪-‬‬

‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪B’C’  B’D  BC‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪6‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثانية ثانوي إعدادي‬

‫المستقيم المار من منتصفي‬
‫ضلعين في مثلث‬

‫خاصية ‪1‬‬
‫‪ ‬المستقيم المار من منتصفي ضلعي في مثلث‬
‫يوازي الضلع الثالث‪.‬‬
‫‪ ‬طول القطعة التي تربط بين منتصفي ضلعي‬
‫مثلث يساوي نصف طول الضلع الثالث‪.‬‬

‫‪7‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثانية ثانوي إعدادي‬

‫المستقيم المار من منتصفي‬
‫ضلعين في مثلث‬

‫باستعمال الرموز‬
‫‪ ABC‬مثلث‬

‫إذا كان‬

‫’‪ B‬منتصف ]‪[AC‬‬
‫و‬
‫’‪ C‬منتصف ]‪[AB‬‬

‫فإن‬

‫)‪(B’C’) // (BC‬‬
‫و‬
‫‪1‬‬
‫‪B’C’  BC‬‬
‫‪2‬‬
‫‪8‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثانية ثانوي إعدادي‬

‫المستقيم المار من منتصفي‬
‫ضلعين في مثلث‬

‫تمارين تطبيقية‬
‫‪ ‬التمرين رقم ‪ 1‬صفحة ‪.133‬‬
‫)كتاب المسار(‬
‫‪ ‬التمرين رقم ‪ 7‬صفحة ‪.133‬‬
‫)كتاب المسار(‬

‫‪9‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثانية ثانوي إعدادي‬

‫المستقيم المار من منتصف ضلع‬
‫لمثلث و الموازي لضلع آخر‬

‫نشاط تمهيدي ‪: 2‬‬
‫النشاط رقم ‪ 2‬صفحة ‪.126‬‬
‫)كتاب المسار(‬
‫المعطيات‪:‬‬

‫؟‬

‫‪ ABC ‬مثلث‬
‫‪ C′ ‬منتصف ]‪[AB‬‬

‫‪ (∆) // (BC) ‬و )∆(‪C′Є‬‬
‫‪ (∆) ‬يقطع )‪ (AC‬في ‪K‬‬
‫‪ B′ ‬منتصف ]‪[CA‬‬
‫‪10‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثانية ثانوي إعدادي‬

‫المستقيم المار من منتصف ضلع‬
‫لمثلث و الموازي لضلع آخر‬

‫لنبين أن ‪B’ = K‬‬
‫‪‬المستقيمان )’‪ (B’C‬و )∆( يوازيان )‪(BC‬‬
‫و لهما نقطة مشتركة‬
‫إذن )’‪ (∆) = (B’C‬و منه ’‪K = B‬‬

‫‪11‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثانية ثانوي إعدادي‬

‫المستقيم المار من منتصف ضلع‬
‫لمثلث و الموازي لضلع آخر‬

‫خاصية ‪2‬‬
‫المستقيم المار من منتصف ضلع مثلث‬
‫و الموازي لضلع آخر في هذا المثلث‬
‫يمر من منتصف الضلع الثالث‪.‬‬

‫‪12‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثانية ثانوي إعدادي‬

‫المستقيم المار من منتصف ضلع‬
‫لمثلث و الموازي لضلع آخر‬

‫باستعمال الرموز‬
‫‪ ABC‬مثلث و ’‪ B‬منتصف ]‪ [AC‬و )∆( مستقيم‪.‬‬

‫إذا كان‬

‫فإن‬

‫)∆( يمر من ’‪B‬‬
‫و‬
‫)∆( يوازي )‪(BC‬‬

‫)∆( يقطع القطعة ]‪ [AB‬في منتصفها‪.‬‬

‫‪13‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثانية ثانوي إعدادي‬

‫المستقيم المار من منتصف ضلع‬
‫لمثلث و الموازي لضلع آخر‬

‫تمرين تطبيقي‬
‫تمرين ‪ 13‬صفحة ‪.134‬‬
‫)كتاب المسار(‬
‫المعطيات‪:‬‬
‫‪ B’‬منتصف ]‪[AC‬‬

‫المطلوب‪:‬‬
‫‪ K ‬منتصف ]‪[AM‬‬

‫‪ C’‬منتصف ]‪[AB‬‬
‫‪M Є (BC )‬‬
‫‪ (B’C’)‬يقطع )‪ (AM‬في ‪K‬‬
‫‪14‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثانية ثانوي إعدادي‬

‫المستقيم المار من منتصف ضلع‬
‫لمثلث و الموازي لضلع آخر‬

‫‪ ‬في المثلث ‪.ABC‬‬
‫بما أن ’‪ B‬و ’‪ C‬هما منتصفا ]‪ [AC‬و ]‪[AB‬‬
‫على التوالي فإن )‪(B’C’) // (BC‬‬

‫‪ ‬المستقيم )’‪ (B’C‬يمر من ’‪ B‬منتصف ]‪[AC‬‬
‫و يقطع ]‪ [AM‬في ‪ K‬و يوازي )‪(CM‬‬

‫في المثلث ‪ACM‬‬
‫إذن‪ K :‬منتصف ]‪[AM‬‬
‫‪15‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثانية ثانوي إعدادي‬

‫المستقيم الموازي لضلع في مثلث‬

‫نشاط تمهيدي ‪: 3‬‬
‫النشاط رقم ‪ 3‬صفحة ‪.126‬‬
‫)كتاب المسار(‬
‫‪ -1‬نحسب مساحة المثلث ‪ ABC‬بطريقتين‪:‬‬
‫‪AB  BC BH  AC‬‬
‫‪‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫إذن‪AB  BC  BH  AC :‬‬

‫و منه‪:‬‬

‫‪AB  BC‬‬
‫‪BH ‬‬
‫‪AC‬‬
‫‪16‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثانية ثانوي إعدادي‬

‫المستقيم الموازي لضلع في مثلث‬

‫‪ -2‬مساحة المثلث ‪:BCN‬‬
‫‪NN  BC BM  BC‬‬
‫‪‬‬
‫بإعتبار اإلرتفاع ]‪ [NN′‬نجد‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪BH  NC‬‬
‫‪2‬‬

‫بإعتبار اإلرتفاع )‪ (BH‬نجد‬
‫و منه نجد‪:‬‬

‫إذن‪:‬‬
‫أي‪:‬‬

‫‪(NN′ = BM) a ‬‬
‫‪a‬‬

‫‪BM  BC  BH  NC‬‬

‫‪AB  BC‬‬
‫‪ NC‬‬
‫‪AC‬‬

‫‪BM  BC ‬‬

‫‪BM  AC  BA  NC‬‬

‫وحيث أن‪NC  AC  AN :‬‬

‫و ‪BM  AB  AM‬‬

‫فإن‪AB  AC  AM  AC  AB  AC  AB  AN :‬‬

‫ومنه‪:‬‬

‫‪AM AN‬‬
‫‪‬‬
‫‪AB AC‬‬

‫و ‪AM  AC  AB  AN‬‬
‫‪17‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثانية ثانوي إعدادي‬

‫المستقيم الموازي لضلع في مثلث‬

‫خاصية ‪3‬‬
‫‪ ABC‬مثلث و ‪ M‬و ‪ N‬نقطتان من ]‪ [AB‬و ]‪ [AC‬على التوالي‬
‫إذا كان )‪(MN) // (BC‬‬
‫فإن‪:‬‬

‫‪AM AN MN‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪AB AC BC‬‬

‫‪18‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثانية ثانوي إعدادي‬

‫المستقيم الموازي لضلع في مثلث‬

‫تمرين تطبيقي‬
‫تمرين ‪ 19‬صفحة ‪.134‬‬
‫)كتاب المسار(‬
‫المطلوب‪:‬‬

‫المعطيات‪:‬‬
‫‪ AM = 5 ‬و ‪ AB = 8‬و ‪ BC = 9‬و )‪(MN) // (BC‬‬

‫بما أن‪ MЄ[AB] :‬و ]‪ NЄ[AC‬و )‪(MN) // (BC‬‬

‫أي‪:‬‬

‫‪MN 5‬‬
‫‪‬‬
‫‪9‬‬
‫‪8‬‬

‫ومنه‪:‬‬

‫فإن‪:‬‬

‫‪‬حساب المسافة ‪MN‬‬
‫‪MN AM‬‬
‫‪‬‬
‫‪BC AB‬‬

‫‪5  9 45‬‬
‫‪‬‬
‫‪8‬‬
‫‪8‬‬

‫‪MN ‬‬

‫‪19‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثانية ثانوي إعدادي‬

‫تقسيم قطعة إلى قطع متقايسة‬

‫نشاط تمهيدي ‪: 4‬‬
‫النشاط رقم ‪ 5‬صفحة ‪.126‬‬
‫)كتاب المسار(‬

‫في المثلث ´‪ AJJ‬لدينا ‪:‬‬
‫في‬

‫‪AI‬‬
‫‪AI' 1‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪AJ AJ' 2‬‬

‫إذن‪:‬‬

‫'‪2AI'  AJ‬‬

‫‪1‬‬
‫‪AC‬‬
‫‪3‬‬

‫‪AI‬‬
‫‪AI' 1‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫إذن‪:‬‬
‫المثلث ‪ ABC‬لدينا ‪:‬‬
‫‪AB AC 3‬‬
‫‪2‬‬
‫‪AC  AJ' J'C  2AI' J'C  AC  J'C‬‬
‫و لدينا‪:‬‬
‫‪3‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫إذن‪ J'C  AC  AC  AC :‬إذن‪AI'  J'C  AC  AC :‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬

‫وبالتالي‪:‬‬

‫‪1‬‬
‫‪AC‬‬
‫‪3‬‬

‫‪AI' ‬‬

‫‪I' J'  AI'  J'C ‬‬
‫‪20‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثانية ثانوي إعدادي‬

‫تقسيم قطعة إلى قطع متقايسة‬

‫كيف إذن أمكن تقسيم القطعة ]‪ [AC‬إلى ‪ 3‬قطع متقايسة ؟‬
‫‪ ‬ننشئ ]‪ [AB‬مخالفا لـ ]‪[AC‬‬
‫‪ ‬نقسم القطعة ]‪ [AB‬إلى ‪ 3‬قطع متقايسة ( بواسطة البركار)‬
‫‪ ‬لتكن ‪ I‬على ]‪ [AB‬بحيث ‪AI = 1‬‬

‫• ننشئ )∆) المار من ‪ I‬و الموازي لـ )‪ (BC‬يقطع ]‪ [AC‬في ’‪I‬‬
‫• لدينا إذن‬

‫‪AC‬‬
‫‪3‬‬

‫‪AI' ‬‬

‫• نقسم القطعة ]‪ [AC‬بإستعمال الوحدة ’‪AI‬‬
‫‪21‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثانية ثانوي إعدادي‬

‫تقسيم قطعة إلى قطع متقايسة‬

‫قاعـــــدة‬
‫لتقسيم قطعة ]‪ [AB‬إلى ‪ n‬قطع متقايسة نتبع الخطوات التالية‪:‬‬
‫‪‬ننشئ نصف مستقيم )∆) مار من ‪ A‬و حامله مختلفا عن )‪(AB‬‬
‫‪‬نعتبر على )∆) النقطة ‪ C‬بحيث ‪AC = n‬‬
‫‪ ‬على ]‪ [AC‬نأخذ ‪ I‬بحيث ‪AI = 1‬‬
‫‪ ‬نمثل )‪(BC‬‬
‫‪‬ننشئ المستقيم )∆) المار من ‪ I‬و الموازي ل (‪ )BC‬الذي يقطع ]‪ [AB‬في ’‪I‬‬
‫‪AC‬‬
‫‪ ‬لدينا إذن‪:‬‬
‫‪3‬‬
‫‪‬نقسم القطعة ]‪ [AB‬بإستعمال البركار و الوحدة ’‪. AI‬‬
‫‪AI' ‬‬

‫‪22‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثانية ثانوي إعدادي‬

‫مثــــــال‬

‫تقسيم قطعة إلى قطع متقايسة‬

‫)‪(n = 5‬‬

‫‪23‬‬


Slide 7

‫المستقيمات الموازية ألضالع مثلث‬
‫المادة ‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى ‪:‬‬

‫الثانية ثانوي إعدادي‬

‫‪1‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثانية ثانوي إعدادي‬

‫تذكيـــــــــــر‬

‫‪ -1‬مساحة مثلث‬
‫‪ -1‬أحسب مساحة مثلث ‪ ABC‬قائم الزاوية في ‪A‬‬
‫بحيث ‪ AC = 4‬و ‪AB = 3‬‬
‫‪ -2‬ماهي مساحة مثلث؟‬
‫مساحة مثلث =‬

‫القاعدة × اإلرتفاع‬

‫‪2‬‬
‫‪2‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثانية ثانوي إعدادي‬

‫تذكيـــــــــــر‬

‫‪ -2‬التناسبية‬
‫‪x 7‬‬
‫‪ -1‬أحسب ‪ x‬إذا علمت أن ‪‬‬
‫‪3 5‬‬
‫‪x x 1‬‬
‫‪‬‬
‫‪ -2‬أحسب ‪ x‬إذا علمت أن‬
‫‪2‬‬
‫‪3‬‬
‫‪a c‬‬
‫‪‬‬
‫‪b d‬‬

‫تعني ‪a × d = b × c‬‬

‫‪3‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثانية ثانوي إعدادي‬

‫المستقيم المار من منتصفي‬
‫ضلعين في مثلث‬

‫نشاط تمهيدي ‪: 1‬‬
‫‪ ABC‬مثلث و ’‪ B‬و ’‪ C‬على التوالي منتصفا القطعتين ]‪ [AC‬و ]‪.[AB‬‬
‫لتكن ‪ D‬مماثلة النقطة ’‪ B‬بالنسبة للنقطة ’‪C‬‬
‫‪ -1‬انشئ الشكل‪.‬‬
‫‪ -2‬بين أن )’‪(BD) // (CB‬‬
‫‪-3‬‬

‫أ‪ -‬بين أن )‪(B’C’) // (BC‬‬

‫ب‪ -‬بين أن‬

‫‪1‬‬
‫‪B C  BC‬‬
‫‪2‬‬
‫’‬

‫’‬

‫‪4‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثانية ثانوي إعدادي‬

‫المستقيم المار من منتصفي‬
‫ضلعين في مثلث‬

‫‪ -2‬الرباعي ‪ AB’BD‬متوازي األضالع‬
‫)للقطرين ]‪ [AB‬و ]‪ [DB′‬نفس المنتصف ‪(C′‬‬
‫إذن )‪(DB) // (AB′‬‬

‫•‪D‬‬

‫و حيث أن )‪(AB′) = (AC‬‬
‫فإن )‪(DB) // (CB′‬‬

‫‪5‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثانية ثانوي إعدادي‬

‫المستقيم المار من منتصفي‬
‫ضلعين في مثلث‬

‫‪ -3‬لدينا )‪ (BD) // (B’C‬و ‪BD = B’A = B’C‬‬
‫إذن ‪ BCB’D‬متوازي األضالع‬
‫أ‪ -‬وبالتالي )‪(B’D) // (BC‬‬

‫•‪D‬‬

‫أي )‪(B’C’) // (BC‬‬

‫ب‪-‬‬

‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪B’C’  B’D  BC‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪6‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثانية ثانوي إعدادي‬

‫المستقيم المار من منتصفي‬
‫ضلعين في مثلث‬

‫خاصية ‪1‬‬
‫‪ ‬المستقيم المار من منتصفي ضلعي في مثلث‬
‫يوازي الضلع الثالث‪.‬‬
‫‪ ‬طول القطعة التي تربط بين منتصفي ضلعي‬
‫مثلث يساوي نصف طول الضلع الثالث‪.‬‬

‫‪7‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثانية ثانوي إعدادي‬

‫المستقيم المار من منتصفي‬
‫ضلعين في مثلث‬

‫باستعمال الرموز‬
‫‪ ABC‬مثلث‬

‫إذا كان‬

‫’‪ B‬منتصف ]‪[AC‬‬
‫و‬
‫’‪ C‬منتصف ]‪[AB‬‬

‫فإن‬

‫)‪(B’C’) // (BC‬‬
‫و‬
‫‪1‬‬
‫‪B’C’  BC‬‬
‫‪2‬‬
‫‪8‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثانية ثانوي إعدادي‬

‫المستقيم المار من منتصفي‬
‫ضلعين في مثلث‬

‫تمارين تطبيقية‬
‫‪ ‬التمرين رقم ‪ 1‬صفحة ‪.133‬‬
‫)كتاب المسار(‬
‫‪ ‬التمرين رقم ‪ 7‬صفحة ‪.133‬‬
‫)كتاب المسار(‬

‫‪9‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثانية ثانوي إعدادي‬

‫المستقيم المار من منتصف ضلع‬
‫لمثلث و الموازي لضلع آخر‬

‫نشاط تمهيدي ‪: 2‬‬
‫النشاط رقم ‪ 2‬صفحة ‪.126‬‬
‫)كتاب المسار(‬
‫المعطيات‪:‬‬

‫؟‬

‫‪ ABC ‬مثلث‬
‫‪ C′ ‬منتصف ]‪[AB‬‬

‫‪ (∆) // (BC) ‬و )∆(‪C′Є‬‬
‫‪ (∆) ‬يقطع )‪ (AC‬في ‪K‬‬
‫‪ B′ ‬منتصف ]‪[CA‬‬
‫‪10‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثانية ثانوي إعدادي‬

‫المستقيم المار من منتصف ضلع‬
‫لمثلث و الموازي لضلع آخر‬

‫لنبين أن ‪B’ = K‬‬
‫‪‬المستقيمان )’‪ (B’C‬و )∆( يوازيان )‪(BC‬‬
‫و لهما نقطة مشتركة‬
‫إذن )’‪ (∆) = (B’C‬و منه ’‪K = B‬‬

‫‪11‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثانية ثانوي إعدادي‬

‫المستقيم المار من منتصف ضلع‬
‫لمثلث و الموازي لضلع آخر‬

‫خاصية ‪2‬‬
‫المستقيم المار من منتصف ضلع مثلث‬
‫و الموازي لضلع آخر في هذا المثلث‬
‫يمر من منتصف الضلع الثالث‪.‬‬

‫‪12‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثانية ثانوي إعدادي‬

‫المستقيم المار من منتصف ضلع‬
‫لمثلث و الموازي لضلع آخر‬

‫باستعمال الرموز‬
‫‪ ABC‬مثلث و ’‪ B‬منتصف ]‪ [AC‬و )∆( مستقيم‪.‬‬

‫إذا كان‬

‫فإن‬

‫)∆( يمر من ’‪B‬‬
‫و‬
‫)∆( يوازي )‪(BC‬‬

‫)∆( يقطع القطعة ]‪ [AB‬في منتصفها‪.‬‬

‫‪13‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثانية ثانوي إعدادي‬

‫المستقيم المار من منتصف ضلع‬
‫لمثلث و الموازي لضلع آخر‬

‫تمرين تطبيقي‬
‫تمرين ‪ 13‬صفحة ‪.134‬‬
‫)كتاب المسار(‬
‫المعطيات‪:‬‬
‫‪ B’‬منتصف ]‪[AC‬‬

‫المطلوب‪:‬‬
‫‪ K ‬منتصف ]‪[AM‬‬

‫‪ C’‬منتصف ]‪[AB‬‬
‫‪M Є (BC )‬‬
‫‪ (B’C’)‬يقطع )‪ (AM‬في ‪K‬‬
‫‪14‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثانية ثانوي إعدادي‬

‫المستقيم المار من منتصف ضلع‬
‫لمثلث و الموازي لضلع آخر‬

‫‪ ‬في المثلث ‪.ABC‬‬
‫بما أن ’‪ B‬و ’‪ C‬هما منتصفا ]‪ [AC‬و ]‪[AB‬‬
‫على التوالي فإن )‪(B’C’) // (BC‬‬

‫‪ ‬المستقيم )’‪ (B’C‬يمر من ’‪ B‬منتصف ]‪[AC‬‬
‫و يقطع ]‪ [AM‬في ‪ K‬و يوازي )‪(CM‬‬

‫في المثلث ‪ACM‬‬
‫إذن‪ K :‬منتصف ]‪[AM‬‬
‫‪15‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثانية ثانوي إعدادي‬

‫المستقيم الموازي لضلع في مثلث‬

‫نشاط تمهيدي ‪: 3‬‬
‫النشاط رقم ‪ 3‬صفحة ‪.126‬‬
‫)كتاب المسار(‬
‫‪ -1‬نحسب مساحة المثلث ‪ ABC‬بطريقتين‪:‬‬
‫‪AB  BC BH  AC‬‬
‫‪‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫إذن‪AB  BC  BH  AC :‬‬

‫و منه‪:‬‬

‫‪AB  BC‬‬
‫‪BH ‬‬
‫‪AC‬‬
‫‪16‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثانية ثانوي إعدادي‬

‫المستقيم الموازي لضلع في مثلث‬

‫‪ -2‬مساحة المثلث ‪:BCN‬‬
‫‪NN  BC BM  BC‬‬
‫‪‬‬
‫بإعتبار اإلرتفاع ]‪ [NN′‬نجد‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪BH  NC‬‬
‫‪2‬‬

‫بإعتبار اإلرتفاع )‪ (BH‬نجد‬
‫و منه نجد‪:‬‬

‫إذن‪:‬‬
‫أي‪:‬‬

‫‪(NN′ = BM) a ‬‬
‫‪a‬‬

‫‪BM  BC  BH  NC‬‬

‫‪AB  BC‬‬
‫‪ NC‬‬
‫‪AC‬‬

‫‪BM  BC ‬‬

‫‪BM  AC  BA  NC‬‬

‫وحيث أن‪NC  AC  AN :‬‬

‫و ‪BM  AB  AM‬‬

‫فإن‪AB  AC  AM  AC  AB  AC  AB  AN :‬‬

‫ومنه‪:‬‬

‫‪AM AN‬‬
‫‪‬‬
‫‪AB AC‬‬

‫و ‪AM  AC  AB  AN‬‬
‫‪17‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثانية ثانوي إعدادي‬

‫المستقيم الموازي لضلع في مثلث‬

‫خاصية ‪3‬‬
‫‪ ABC‬مثلث و ‪ M‬و ‪ N‬نقطتان من ]‪ [AB‬و ]‪ [AC‬على التوالي‬
‫إذا كان )‪(MN) // (BC‬‬
‫فإن‪:‬‬

‫‪AM AN MN‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪AB AC BC‬‬

‫‪18‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثانية ثانوي إعدادي‬

‫المستقيم الموازي لضلع في مثلث‬

‫تمرين تطبيقي‬
‫تمرين ‪ 19‬صفحة ‪.134‬‬
‫)كتاب المسار(‬
‫المطلوب‪:‬‬

‫المعطيات‪:‬‬
‫‪ AM = 5 ‬و ‪ AB = 8‬و ‪ BC = 9‬و )‪(MN) // (BC‬‬

‫بما أن‪ MЄ[AB] :‬و ]‪ NЄ[AC‬و )‪(MN) // (BC‬‬

‫أي‪:‬‬

‫‪MN 5‬‬
‫‪‬‬
‫‪9‬‬
‫‪8‬‬

‫ومنه‪:‬‬

‫فإن‪:‬‬

‫‪‬حساب المسافة ‪MN‬‬
‫‪MN AM‬‬
‫‪‬‬
‫‪BC AB‬‬

‫‪5  9 45‬‬
‫‪‬‬
‫‪8‬‬
‫‪8‬‬

‫‪MN ‬‬

‫‪19‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثانية ثانوي إعدادي‬

‫تقسيم قطعة إلى قطع متقايسة‬

‫نشاط تمهيدي ‪: 4‬‬
‫النشاط رقم ‪ 5‬صفحة ‪.126‬‬
‫)كتاب المسار(‬

‫في المثلث ´‪ AJJ‬لدينا ‪:‬‬
‫في‬

‫‪AI‬‬
‫‪AI' 1‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪AJ AJ' 2‬‬

‫إذن‪:‬‬

‫'‪2AI'  AJ‬‬

‫‪1‬‬
‫‪AC‬‬
‫‪3‬‬

‫‪AI‬‬
‫‪AI' 1‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫إذن‪:‬‬
‫المثلث ‪ ABC‬لدينا ‪:‬‬
‫‪AB AC 3‬‬
‫‪2‬‬
‫‪AC  AJ' J'C  2AI' J'C  AC  J'C‬‬
‫و لدينا‪:‬‬
‫‪3‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫إذن‪ J'C  AC  AC  AC :‬إذن‪AI'  J'C  AC  AC :‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬

‫وبالتالي‪:‬‬

‫‪1‬‬
‫‪AC‬‬
‫‪3‬‬

‫‪AI' ‬‬

‫‪I' J'  AI'  J'C ‬‬
‫‪20‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثانية ثانوي إعدادي‬

‫تقسيم قطعة إلى قطع متقايسة‬

‫كيف إذن أمكن تقسيم القطعة ]‪ [AC‬إلى ‪ 3‬قطع متقايسة ؟‬
‫‪ ‬ننشئ ]‪ [AB‬مخالفا لـ ]‪[AC‬‬
‫‪ ‬نقسم القطعة ]‪ [AB‬إلى ‪ 3‬قطع متقايسة ( بواسطة البركار)‬
‫‪ ‬لتكن ‪ I‬على ]‪ [AB‬بحيث ‪AI = 1‬‬

‫• ننشئ )∆) المار من ‪ I‬و الموازي لـ )‪ (BC‬يقطع ]‪ [AC‬في ’‪I‬‬
‫• لدينا إذن‬

‫‪AC‬‬
‫‪3‬‬

‫‪AI' ‬‬

‫• نقسم القطعة ]‪ [AC‬بإستعمال الوحدة ’‪AI‬‬
‫‪21‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثانية ثانوي إعدادي‬

‫تقسيم قطعة إلى قطع متقايسة‬

‫قاعـــــدة‬
‫لتقسيم قطعة ]‪ [AB‬إلى ‪ n‬قطع متقايسة نتبع الخطوات التالية‪:‬‬
‫‪‬ننشئ نصف مستقيم )∆) مار من ‪ A‬و حامله مختلفا عن )‪(AB‬‬
‫‪‬نعتبر على )∆) النقطة ‪ C‬بحيث ‪AC = n‬‬
‫‪ ‬على ]‪ [AC‬نأخذ ‪ I‬بحيث ‪AI = 1‬‬
‫‪ ‬نمثل )‪(BC‬‬
‫‪‬ننشئ المستقيم )∆) المار من ‪ I‬و الموازي ل (‪ )BC‬الذي يقطع ]‪ [AB‬في ’‪I‬‬
‫‪AC‬‬
‫‪ ‬لدينا إذن‪:‬‬
‫‪3‬‬
‫‪‬نقسم القطعة ]‪ [AB‬بإستعمال البركار و الوحدة ’‪. AI‬‬
‫‪AI' ‬‬

‫‪22‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثانية ثانوي إعدادي‬

‫مثــــــال‬

‫تقسيم قطعة إلى قطع متقايسة‬

‫)‪(n = 5‬‬

‫‪23‬‬


Slide 8

‫المستقيمات الموازية ألضالع مثلث‬
‫المادة ‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى ‪:‬‬

‫الثانية ثانوي إعدادي‬

‫‪1‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثانية ثانوي إعدادي‬

‫تذكيـــــــــــر‬

‫‪ -1‬مساحة مثلث‬
‫‪ -1‬أحسب مساحة مثلث ‪ ABC‬قائم الزاوية في ‪A‬‬
‫بحيث ‪ AC = 4‬و ‪AB = 3‬‬
‫‪ -2‬ماهي مساحة مثلث؟‬
‫مساحة مثلث =‬

‫القاعدة × اإلرتفاع‬

‫‪2‬‬
‫‪2‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثانية ثانوي إعدادي‬

‫تذكيـــــــــــر‬

‫‪ -2‬التناسبية‬
‫‪x 7‬‬
‫‪ -1‬أحسب ‪ x‬إذا علمت أن ‪‬‬
‫‪3 5‬‬
‫‪x x 1‬‬
‫‪‬‬
‫‪ -2‬أحسب ‪ x‬إذا علمت أن‬
‫‪2‬‬
‫‪3‬‬
‫‪a c‬‬
‫‪‬‬
‫‪b d‬‬

‫تعني ‪a × d = b × c‬‬

‫‪3‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثانية ثانوي إعدادي‬

‫المستقيم المار من منتصفي‬
‫ضلعين في مثلث‬

‫نشاط تمهيدي ‪: 1‬‬
‫‪ ABC‬مثلث و ’‪ B‬و ’‪ C‬على التوالي منتصفا القطعتين ]‪ [AC‬و ]‪.[AB‬‬
‫لتكن ‪ D‬مماثلة النقطة ’‪ B‬بالنسبة للنقطة ’‪C‬‬
‫‪ -1‬انشئ الشكل‪.‬‬
‫‪ -2‬بين أن )’‪(BD) // (CB‬‬
‫‪-3‬‬

‫أ‪ -‬بين أن )‪(B’C’) // (BC‬‬

‫ب‪ -‬بين أن‬

‫‪1‬‬
‫‪B C  BC‬‬
‫‪2‬‬
‫’‬

‫’‬

‫‪4‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثانية ثانوي إعدادي‬

‫المستقيم المار من منتصفي‬
‫ضلعين في مثلث‬

‫‪ -2‬الرباعي ‪ AB’BD‬متوازي األضالع‬
‫)للقطرين ]‪ [AB‬و ]‪ [DB′‬نفس المنتصف ‪(C′‬‬
‫إذن )‪(DB) // (AB′‬‬

‫•‪D‬‬

‫و حيث أن )‪(AB′) = (AC‬‬
‫فإن )‪(DB) // (CB′‬‬

‫‪5‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثانية ثانوي إعدادي‬

‫المستقيم المار من منتصفي‬
‫ضلعين في مثلث‬

‫‪ -3‬لدينا )‪ (BD) // (B’C‬و ‪BD = B’A = B’C‬‬
‫إذن ‪ BCB’D‬متوازي األضالع‬
‫أ‪ -‬وبالتالي )‪(B’D) // (BC‬‬

‫•‪D‬‬

‫أي )‪(B’C’) // (BC‬‬

‫ب‪-‬‬

‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪B’C’  B’D  BC‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪6‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثانية ثانوي إعدادي‬

‫المستقيم المار من منتصفي‬
‫ضلعين في مثلث‬

‫خاصية ‪1‬‬
‫‪ ‬المستقيم المار من منتصفي ضلعي في مثلث‬
‫يوازي الضلع الثالث‪.‬‬
‫‪ ‬طول القطعة التي تربط بين منتصفي ضلعي‬
‫مثلث يساوي نصف طول الضلع الثالث‪.‬‬

‫‪7‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثانية ثانوي إعدادي‬

‫المستقيم المار من منتصفي‬
‫ضلعين في مثلث‬

‫باستعمال الرموز‬
‫‪ ABC‬مثلث‬

‫إذا كان‬

‫’‪ B‬منتصف ]‪[AC‬‬
‫و‬
‫’‪ C‬منتصف ]‪[AB‬‬

‫فإن‬

‫)‪(B’C’) // (BC‬‬
‫و‬
‫‪1‬‬
‫‪B’C’  BC‬‬
‫‪2‬‬
‫‪8‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثانية ثانوي إعدادي‬

‫المستقيم المار من منتصفي‬
‫ضلعين في مثلث‬

‫تمارين تطبيقية‬
‫‪ ‬التمرين رقم ‪ 1‬صفحة ‪.133‬‬
‫)كتاب المسار(‬
‫‪ ‬التمرين رقم ‪ 7‬صفحة ‪.133‬‬
‫)كتاب المسار(‬

‫‪9‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثانية ثانوي إعدادي‬

‫المستقيم المار من منتصف ضلع‬
‫لمثلث و الموازي لضلع آخر‬

‫نشاط تمهيدي ‪: 2‬‬
‫النشاط رقم ‪ 2‬صفحة ‪.126‬‬
‫)كتاب المسار(‬
‫المعطيات‪:‬‬

‫؟‬

‫‪ ABC ‬مثلث‬
‫‪ C′ ‬منتصف ]‪[AB‬‬

‫‪ (∆) // (BC) ‬و )∆(‪C′Є‬‬
‫‪ (∆) ‬يقطع )‪ (AC‬في ‪K‬‬
‫‪ B′ ‬منتصف ]‪[CA‬‬
‫‪10‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثانية ثانوي إعدادي‬

‫المستقيم المار من منتصف ضلع‬
‫لمثلث و الموازي لضلع آخر‬

‫لنبين أن ‪B’ = K‬‬
‫‪‬المستقيمان )’‪ (B’C‬و )∆( يوازيان )‪(BC‬‬
‫و لهما نقطة مشتركة‬
‫إذن )’‪ (∆) = (B’C‬و منه ’‪K = B‬‬

‫‪11‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثانية ثانوي إعدادي‬

‫المستقيم المار من منتصف ضلع‬
‫لمثلث و الموازي لضلع آخر‬

‫خاصية ‪2‬‬
‫المستقيم المار من منتصف ضلع مثلث‬
‫و الموازي لضلع آخر في هذا المثلث‬
‫يمر من منتصف الضلع الثالث‪.‬‬

‫‪12‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثانية ثانوي إعدادي‬

‫المستقيم المار من منتصف ضلع‬
‫لمثلث و الموازي لضلع آخر‬

‫باستعمال الرموز‬
‫‪ ABC‬مثلث و ’‪ B‬منتصف ]‪ [AC‬و )∆( مستقيم‪.‬‬

‫إذا كان‬

‫فإن‬

‫)∆( يمر من ’‪B‬‬
‫و‬
‫)∆( يوازي )‪(BC‬‬

‫)∆( يقطع القطعة ]‪ [AB‬في منتصفها‪.‬‬

‫‪13‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثانية ثانوي إعدادي‬

‫المستقيم المار من منتصف ضلع‬
‫لمثلث و الموازي لضلع آخر‬

‫تمرين تطبيقي‬
‫تمرين ‪ 13‬صفحة ‪.134‬‬
‫)كتاب المسار(‬
‫المعطيات‪:‬‬
‫‪ B’‬منتصف ]‪[AC‬‬

‫المطلوب‪:‬‬
‫‪ K ‬منتصف ]‪[AM‬‬

‫‪ C’‬منتصف ]‪[AB‬‬
‫‪M Є (BC )‬‬
‫‪ (B’C’)‬يقطع )‪ (AM‬في ‪K‬‬
‫‪14‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثانية ثانوي إعدادي‬

‫المستقيم المار من منتصف ضلع‬
‫لمثلث و الموازي لضلع آخر‬

‫‪ ‬في المثلث ‪.ABC‬‬
‫بما أن ’‪ B‬و ’‪ C‬هما منتصفا ]‪ [AC‬و ]‪[AB‬‬
‫على التوالي فإن )‪(B’C’) // (BC‬‬

‫‪ ‬المستقيم )’‪ (B’C‬يمر من ’‪ B‬منتصف ]‪[AC‬‬
‫و يقطع ]‪ [AM‬في ‪ K‬و يوازي )‪(CM‬‬

‫في المثلث ‪ACM‬‬
‫إذن‪ K :‬منتصف ]‪[AM‬‬
‫‪15‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثانية ثانوي إعدادي‬

‫المستقيم الموازي لضلع في مثلث‬

‫نشاط تمهيدي ‪: 3‬‬
‫النشاط رقم ‪ 3‬صفحة ‪.126‬‬
‫)كتاب المسار(‬
‫‪ -1‬نحسب مساحة المثلث ‪ ABC‬بطريقتين‪:‬‬
‫‪AB  BC BH  AC‬‬
‫‪‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫إذن‪AB  BC  BH  AC :‬‬

‫و منه‪:‬‬

‫‪AB  BC‬‬
‫‪BH ‬‬
‫‪AC‬‬
‫‪16‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثانية ثانوي إعدادي‬

‫المستقيم الموازي لضلع في مثلث‬

‫‪ -2‬مساحة المثلث ‪:BCN‬‬
‫‪NN  BC BM  BC‬‬
‫‪‬‬
‫بإعتبار اإلرتفاع ]‪ [NN′‬نجد‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪BH  NC‬‬
‫‪2‬‬

‫بإعتبار اإلرتفاع )‪ (BH‬نجد‬
‫و منه نجد‪:‬‬

‫إذن‪:‬‬
‫أي‪:‬‬

‫‪(NN′ = BM) a ‬‬
‫‪a‬‬

‫‪BM  BC  BH  NC‬‬

‫‪AB  BC‬‬
‫‪ NC‬‬
‫‪AC‬‬

‫‪BM  BC ‬‬

‫‪BM  AC  BA  NC‬‬

‫وحيث أن‪NC  AC  AN :‬‬

‫و ‪BM  AB  AM‬‬

‫فإن‪AB  AC  AM  AC  AB  AC  AB  AN :‬‬

‫ومنه‪:‬‬

‫‪AM AN‬‬
‫‪‬‬
‫‪AB AC‬‬

‫و ‪AM  AC  AB  AN‬‬
‫‪17‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثانية ثانوي إعدادي‬

‫المستقيم الموازي لضلع في مثلث‬

‫خاصية ‪3‬‬
‫‪ ABC‬مثلث و ‪ M‬و ‪ N‬نقطتان من ]‪ [AB‬و ]‪ [AC‬على التوالي‬
‫إذا كان )‪(MN) // (BC‬‬
‫فإن‪:‬‬

‫‪AM AN MN‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪AB AC BC‬‬

‫‪18‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثانية ثانوي إعدادي‬

‫المستقيم الموازي لضلع في مثلث‬

‫تمرين تطبيقي‬
‫تمرين ‪ 19‬صفحة ‪.134‬‬
‫)كتاب المسار(‬
‫المطلوب‪:‬‬

‫المعطيات‪:‬‬
‫‪ AM = 5 ‬و ‪ AB = 8‬و ‪ BC = 9‬و )‪(MN) // (BC‬‬

‫بما أن‪ MЄ[AB] :‬و ]‪ NЄ[AC‬و )‪(MN) // (BC‬‬

‫أي‪:‬‬

‫‪MN 5‬‬
‫‪‬‬
‫‪9‬‬
‫‪8‬‬

‫ومنه‪:‬‬

‫فإن‪:‬‬

‫‪‬حساب المسافة ‪MN‬‬
‫‪MN AM‬‬
‫‪‬‬
‫‪BC AB‬‬

‫‪5  9 45‬‬
‫‪‬‬
‫‪8‬‬
‫‪8‬‬

‫‪MN ‬‬

‫‪19‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثانية ثانوي إعدادي‬

‫تقسيم قطعة إلى قطع متقايسة‬

‫نشاط تمهيدي ‪: 4‬‬
‫النشاط رقم ‪ 5‬صفحة ‪.126‬‬
‫)كتاب المسار(‬

‫في المثلث ´‪ AJJ‬لدينا ‪:‬‬
‫في‬

‫‪AI‬‬
‫‪AI' 1‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪AJ AJ' 2‬‬

‫إذن‪:‬‬

‫'‪2AI'  AJ‬‬

‫‪1‬‬
‫‪AC‬‬
‫‪3‬‬

‫‪AI‬‬
‫‪AI' 1‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫إذن‪:‬‬
‫المثلث ‪ ABC‬لدينا ‪:‬‬
‫‪AB AC 3‬‬
‫‪2‬‬
‫‪AC  AJ' J'C  2AI' J'C  AC  J'C‬‬
‫و لدينا‪:‬‬
‫‪3‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫إذن‪ J'C  AC  AC  AC :‬إذن‪AI'  J'C  AC  AC :‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬

‫وبالتالي‪:‬‬

‫‪1‬‬
‫‪AC‬‬
‫‪3‬‬

‫‪AI' ‬‬

‫‪I' J'  AI'  J'C ‬‬
‫‪20‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثانية ثانوي إعدادي‬

‫تقسيم قطعة إلى قطع متقايسة‬

‫كيف إذن أمكن تقسيم القطعة ]‪ [AC‬إلى ‪ 3‬قطع متقايسة ؟‬
‫‪ ‬ننشئ ]‪ [AB‬مخالفا لـ ]‪[AC‬‬
‫‪ ‬نقسم القطعة ]‪ [AB‬إلى ‪ 3‬قطع متقايسة ( بواسطة البركار)‬
‫‪ ‬لتكن ‪ I‬على ]‪ [AB‬بحيث ‪AI = 1‬‬

‫• ننشئ )∆) المار من ‪ I‬و الموازي لـ )‪ (BC‬يقطع ]‪ [AC‬في ’‪I‬‬
‫• لدينا إذن‬

‫‪AC‬‬
‫‪3‬‬

‫‪AI' ‬‬

‫• نقسم القطعة ]‪ [AC‬بإستعمال الوحدة ’‪AI‬‬
‫‪21‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثانية ثانوي إعدادي‬

‫تقسيم قطعة إلى قطع متقايسة‬

‫قاعـــــدة‬
‫لتقسيم قطعة ]‪ [AB‬إلى ‪ n‬قطع متقايسة نتبع الخطوات التالية‪:‬‬
‫‪‬ننشئ نصف مستقيم )∆) مار من ‪ A‬و حامله مختلفا عن )‪(AB‬‬
‫‪‬نعتبر على )∆) النقطة ‪ C‬بحيث ‪AC = n‬‬
‫‪ ‬على ]‪ [AC‬نأخذ ‪ I‬بحيث ‪AI = 1‬‬
‫‪ ‬نمثل )‪(BC‬‬
‫‪‬ننشئ المستقيم )∆) المار من ‪ I‬و الموازي ل (‪ )BC‬الذي يقطع ]‪ [AB‬في ’‪I‬‬
‫‪AC‬‬
‫‪ ‬لدينا إذن‪:‬‬
‫‪3‬‬
‫‪‬نقسم القطعة ]‪ [AB‬بإستعمال البركار و الوحدة ’‪. AI‬‬
‫‪AI' ‬‬

‫‪22‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثانية ثانوي إعدادي‬

‫مثــــــال‬

‫تقسيم قطعة إلى قطع متقايسة‬

‫)‪(n = 5‬‬

‫‪23‬‬


Slide 9

‫المستقيمات الموازية ألضالع مثلث‬
‫المادة ‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى ‪:‬‬

‫الثانية ثانوي إعدادي‬

‫‪1‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثانية ثانوي إعدادي‬

‫تذكيـــــــــــر‬

‫‪ -1‬مساحة مثلث‬
‫‪ -1‬أحسب مساحة مثلث ‪ ABC‬قائم الزاوية في ‪A‬‬
‫بحيث ‪ AC = 4‬و ‪AB = 3‬‬
‫‪ -2‬ماهي مساحة مثلث؟‬
‫مساحة مثلث =‬

‫القاعدة × اإلرتفاع‬

‫‪2‬‬
‫‪2‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثانية ثانوي إعدادي‬

‫تذكيـــــــــــر‬

‫‪ -2‬التناسبية‬
‫‪x 7‬‬
‫‪ -1‬أحسب ‪ x‬إذا علمت أن ‪‬‬
‫‪3 5‬‬
‫‪x x 1‬‬
‫‪‬‬
‫‪ -2‬أحسب ‪ x‬إذا علمت أن‬
‫‪2‬‬
‫‪3‬‬
‫‪a c‬‬
‫‪‬‬
‫‪b d‬‬

‫تعني ‪a × d = b × c‬‬

‫‪3‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثانية ثانوي إعدادي‬

‫المستقيم المار من منتصفي‬
‫ضلعين في مثلث‬

‫نشاط تمهيدي ‪: 1‬‬
‫‪ ABC‬مثلث و ’‪ B‬و ’‪ C‬على التوالي منتصفا القطعتين ]‪ [AC‬و ]‪.[AB‬‬
‫لتكن ‪ D‬مماثلة النقطة ’‪ B‬بالنسبة للنقطة ’‪C‬‬
‫‪ -1‬انشئ الشكل‪.‬‬
‫‪ -2‬بين أن )’‪(BD) // (CB‬‬
‫‪-3‬‬

‫أ‪ -‬بين أن )‪(B’C’) // (BC‬‬

‫ب‪ -‬بين أن‬

‫‪1‬‬
‫‪B C  BC‬‬
‫‪2‬‬
‫’‬

‫’‬

‫‪4‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثانية ثانوي إعدادي‬

‫المستقيم المار من منتصفي‬
‫ضلعين في مثلث‬

‫‪ -2‬الرباعي ‪ AB’BD‬متوازي األضالع‬
‫)للقطرين ]‪ [AB‬و ]‪ [DB′‬نفس المنتصف ‪(C′‬‬
‫إذن )‪(DB) // (AB′‬‬

‫•‪D‬‬

‫و حيث أن )‪(AB′) = (AC‬‬
‫فإن )‪(DB) // (CB′‬‬

‫‪5‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثانية ثانوي إعدادي‬

‫المستقيم المار من منتصفي‬
‫ضلعين في مثلث‬

‫‪ -3‬لدينا )‪ (BD) // (B’C‬و ‪BD = B’A = B’C‬‬
‫إذن ‪ BCB’D‬متوازي األضالع‬
‫أ‪ -‬وبالتالي )‪(B’D) // (BC‬‬

‫•‪D‬‬

‫أي )‪(B’C’) // (BC‬‬

‫ب‪-‬‬

‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪B’C’  B’D  BC‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪6‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثانية ثانوي إعدادي‬

‫المستقيم المار من منتصفي‬
‫ضلعين في مثلث‬

‫خاصية ‪1‬‬
‫‪ ‬المستقيم المار من منتصفي ضلعي في مثلث‬
‫يوازي الضلع الثالث‪.‬‬
‫‪ ‬طول القطعة التي تربط بين منتصفي ضلعي‬
‫مثلث يساوي نصف طول الضلع الثالث‪.‬‬

‫‪7‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثانية ثانوي إعدادي‬

‫المستقيم المار من منتصفي‬
‫ضلعين في مثلث‬

‫باستعمال الرموز‬
‫‪ ABC‬مثلث‬

‫إذا كان‬

‫’‪ B‬منتصف ]‪[AC‬‬
‫و‬
‫’‪ C‬منتصف ]‪[AB‬‬

‫فإن‬

‫)‪(B’C’) // (BC‬‬
‫و‬
‫‪1‬‬
‫‪B’C’  BC‬‬
‫‪2‬‬
‫‪8‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثانية ثانوي إعدادي‬

‫المستقيم المار من منتصفي‬
‫ضلعين في مثلث‬

‫تمارين تطبيقية‬
‫‪ ‬التمرين رقم ‪ 1‬صفحة ‪.133‬‬
‫)كتاب المسار(‬
‫‪ ‬التمرين رقم ‪ 7‬صفحة ‪.133‬‬
‫)كتاب المسار(‬

‫‪9‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثانية ثانوي إعدادي‬

‫المستقيم المار من منتصف ضلع‬
‫لمثلث و الموازي لضلع آخر‬

‫نشاط تمهيدي ‪: 2‬‬
‫النشاط رقم ‪ 2‬صفحة ‪.126‬‬
‫)كتاب المسار(‬
‫المعطيات‪:‬‬

‫؟‬

‫‪ ABC ‬مثلث‬
‫‪ C′ ‬منتصف ]‪[AB‬‬

‫‪ (∆) // (BC) ‬و )∆(‪C′Є‬‬
‫‪ (∆) ‬يقطع )‪ (AC‬في ‪K‬‬
‫‪ B′ ‬منتصف ]‪[CA‬‬
‫‪10‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثانية ثانوي إعدادي‬

‫المستقيم المار من منتصف ضلع‬
‫لمثلث و الموازي لضلع آخر‬

‫لنبين أن ‪B’ = K‬‬
‫‪‬المستقيمان )’‪ (B’C‬و )∆( يوازيان )‪(BC‬‬
‫و لهما نقطة مشتركة‬
‫إذن )’‪ (∆) = (B’C‬و منه ’‪K = B‬‬

‫‪11‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثانية ثانوي إعدادي‬

‫المستقيم المار من منتصف ضلع‬
‫لمثلث و الموازي لضلع آخر‬

‫خاصية ‪2‬‬
‫المستقيم المار من منتصف ضلع مثلث‬
‫و الموازي لضلع آخر في هذا المثلث‬
‫يمر من منتصف الضلع الثالث‪.‬‬

‫‪12‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثانية ثانوي إعدادي‬

‫المستقيم المار من منتصف ضلع‬
‫لمثلث و الموازي لضلع آخر‬

‫باستعمال الرموز‬
‫‪ ABC‬مثلث و ’‪ B‬منتصف ]‪ [AC‬و )∆( مستقيم‪.‬‬

‫إذا كان‬

‫فإن‬

‫)∆( يمر من ’‪B‬‬
‫و‬
‫)∆( يوازي )‪(BC‬‬

‫)∆( يقطع القطعة ]‪ [AB‬في منتصفها‪.‬‬

‫‪13‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثانية ثانوي إعدادي‬

‫المستقيم المار من منتصف ضلع‬
‫لمثلث و الموازي لضلع آخر‬

‫تمرين تطبيقي‬
‫تمرين ‪ 13‬صفحة ‪.134‬‬
‫)كتاب المسار(‬
‫المعطيات‪:‬‬
‫‪ B’‬منتصف ]‪[AC‬‬

‫المطلوب‪:‬‬
‫‪ K ‬منتصف ]‪[AM‬‬

‫‪ C’‬منتصف ]‪[AB‬‬
‫‪M Є (BC )‬‬
‫‪ (B’C’)‬يقطع )‪ (AM‬في ‪K‬‬
‫‪14‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثانية ثانوي إعدادي‬

‫المستقيم المار من منتصف ضلع‬
‫لمثلث و الموازي لضلع آخر‬

‫‪ ‬في المثلث ‪.ABC‬‬
‫بما أن ’‪ B‬و ’‪ C‬هما منتصفا ]‪ [AC‬و ]‪[AB‬‬
‫على التوالي فإن )‪(B’C’) // (BC‬‬

‫‪ ‬المستقيم )’‪ (B’C‬يمر من ’‪ B‬منتصف ]‪[AC‬‬
‫و يقطع ]‪ [AM‬في ‪ K‬و يوازي )‪(CM‬‬

‫في المثلث ‪ACM‬‬
‫إذن‪ K :‬منتصف ]‪[AM‬‬
‫‪15‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثانية ثانوي إعدادي‬

‫المستقيم الموازي لضلع في مثلث‬

‫نشاط تمهيدي ‪: 3‬‬
‫النشاط رقم ‪ 3‬صفحة ‪.126‬‬
‫)كتاب المسار(‬
‫‪ -1‬نحسب مساحة المثلث ‪ ABC‬بطريقتين‪:‬‬
‫‪AB  BC BH  AC‬‬
‫‪‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫إذن‪AB  BC  BH  AC :‬‬

‫و منه‪:‬‬

‫‪AB  BC‬‬
‫‪BH ‬‬
‫‪AC‬‬
‫‪16‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثانية ثانوي إعدادي‬

‫المستقيم الموازي لضلع في مثلث‬

‫‪ -2‬مساحة المثلث ‪:BCN‬‬
‫‪NN  BC BM  BC‬‬
‫‪‬‬
‫بإعتبار اإلرتفاع ]‪ [NN′‬نجد‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪BH  NC‬‬
‫‪2‬‬

‫بإعتبار اإلرتفاع )‪ (BH‬نجد‬
‫و منه نجد‪:‬‬

‫إذن‪:‬‬
‫أي‪:‬‬

‫‪(NN′ = BM) a ‬‬
‫‪a‬‬

‫‪BM  BC  BH  NC‬‬

‫‪AB  BC‬‬
‫‪ NC‬‬
‫‪AC‬‬

‫‪BM  BC ‬‬

‫‪BM  AC  BA  NC‬‬

‫وحيث أن‪NC  AC  AN :‬‬

‫و ‪BM  AB  AM‬‬

‫فإن‪AB  AC  AM  AC  AB  AC  AB  AN :‬‬

‫ومنه‪:‬‬

‫‪AM AN‬‬
‫‪‬‬
‫‪AB AC‬‬

‫و ‪AM  AC  AB  AN‬‬
‫‪17‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثانية ثانوي إعدادي‬

‫المستقيم الموازي لضلع في مثلث‬

‫خاصية ‪3‬‬
‫‪ ABC‬مثلث و ‪ M‬و ‪ N‬نقطتان من ]‪ [AB‬و ]‪ [AC‬على التوالي‬
‫إذا كان )‪(MN) // (BC‬‬
‫فإن‪:‬‬

‫‪AM AN MN‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪AB AC BC‬‬

‫‪18‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثانية ثانوي إعدادي‬

‫المستقيم الموازي لضلع في مثلث‬

‫تمرين تطبيقي‬
‫تمرين ‪ 19‬صفحة ‪.134‬‬
‫)كتاب المسار(‬
‫المطلوب‪:‬‬

‫المعطيات‪:‬‬
‫‪ AM = 5 ‬و ‪ AB = 8‬و ‪ BC = 9‬و )‪(MN) // (BC‬‬

‫بما أن‪ MЄ[AB] :‬و ]‪ NЄ[AC‬و )‪(MN) // (BC‬‬

‫أي‪:‬‬

‫‪MN 5‬‬
‫‪‬‬
‫‪9‬‬
‫‪8‬‬

‫ومنه‪:‬‬

‫فإن‪:‬‬

‫‪‬حساب المسافة ‪MN‬‬
‫‪MN AM‬‬
‫‪‬‬
‫‪BC AB‬‬

‫‪5  9 45‬‬
‫‪‬‬
‫‪8‬‬
‫‪8‬‬

‫‪MN ‬‬

‫‪19‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثانية ثانوي إعدادي‬

‫تقسيم قطعة إلى قطع متقايسة‬

‫نشاط تمهيدي ‪: 4‬‬
‫النشاط رقم ‪ 5‬صفحة ‪.126‬‬
‫)كتاب المسار(‬

‫في المثلث ´‪ AJJ‬لدينا ‪:‬‬
‫في‬

‫‪AI‬‬
‫‪AI' 1‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪AJ AJ' 2‬‬

‫إذن‪:‬‬

‫'‪2AI'  AJ‬‬

‫‪1‬‬
‫‪AC‬‬
‫‪3‬‬

‫‪AI‬‬
‫‪AI' 1‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫إذن‪:‬‬
‫المثلث ‪ ABC‬لدينا ‪:‬‬
‫‪AB AC 3‬‬
‫‪2‬‬
‫‪AC  AJ' J'C  2AI' J'C  AC  J'C‬‬
‫و لدينا‪:‬‬
‫‪3‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫إذن‪ J'C  AC  AC  AC :‬إذن‪AI'  J'C  AC  AC :‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬

‫وبالتالي‪:‬‬

‫‪1‬‬
‫‪AC‬‬
‫‪3‬‬

‫‪AI' ‬‬

‫‪I' J'  AI'  J'C ‬‬
‫‪20‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثانية ثانوي إعدادي‬

‫تقسيم قطعة إلى قطع متقايسة‬

‫كيف إذن أمكن تقسيم القطعة ]‪ [AC‬إلى ‪ 3‬قطع متقايسة ؟‬
‫‪ ‬ننشئ ]‪ [AB‬مخالفا لـ ]‪[AC‬‬
‫‪ ‬نقسم القطعة ]‪ [AB‬إلى ‪ 3‬قطع متقايسة ( بواسطة البركار)‬
‫‪ ‬لتكن ‪ I‬على ]‪ [AB‬بحيث ‪AI = 1‬‬

‫• ننشئ )∆) المار من ‪ I‬و الموازي لـ )‪ (BC‬يقطع ]‪ [AC‬في ’‪I‬‬
‫• لدينا إذن‬

‫‪AC‬‬
‫‪3‬‬

‫‪AI' ‬‬

‫• نقسم القطعة ]‪ [AC‬بإستعمال الوحدة ’‪AI‬‬
‫‪21‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثانية ثانوي إعدادي‬

‫تقسيم قطعة إلى قطع متقايسة‬

‫قاعـــــدة‬
‫لتقسيم قطعة ]‪ [AB‬إلى ‪ n‬قطع متقايسة نتبع الخطوات التالية‪:‬‬
‫‪‬ننشئ نصف مستقيم )∆) مار من ‪ A‬و حامله مختلفا عن )‪(AB‬‬
‫‪‬نعتبر على )∆) النقطة ‪ C‬بحيث ‪AC = n‬‬
‫‪ ‬على ]‪ [AC‬نأخذ ‪ I‬بحيث ‪AI = 1‬‬
‫‪ ‬نمثل )‪(BC‬‬
‫‪‬ننشئ المستقيم )∆) المار من ‪ I‬و الموازي ل (‪ )BC‬الذي يقطع ]‪ [AB‬في ’‪I‬‬
‫‪AC‬‬
‫‪ ‬لدينا إذن‪:‬‬
‫‪3‬‬
‫‪‬نقسم القطعة ]‪ [AB‬بإستعمال البركار و الوحدة ’‪. AI‬‬
‫‪AI' ‬‬

‫‪22‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثانية ثانوي إعدادي‬

‫مثــــــال‬

‫تقسيم قطعة إلى قطع متقايسة‬

‫)‪(n = 5‬‬

‫‪23‬‬


Slide 10

‫المستقيمات الموازية ألضالع مثلث‬
‫المادة ‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى ‪:‬‬

‫الثانية ثانوي إعدادي‬

‫‪1‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثانية ثانوي إعدادي‬

‫تذكيـــــــــــر‬

‫‪ -1‬مساحة مثلث‬
‫‪ -1‬أحسب مساحة مثلث ‪ ABC‬قائم الزاوية في ‪A‬‬
‫بحيث ‪ AC = 4‬و ‪AB = 3‬‬
‫‪ -2‬ماهي مساحة مثلث؟‬
‫مساحة مثلث =‬

‫القاعدة × اإلرتفاع‬

‫‪2‬‬
‫‪2‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثانية ثانوي إعدادي‬

‫تذكيـــــــــــر‬

‫‪ -2‬التناسبية‬
‫‪x 7‬‬
‫‪ -1‬أحسب ‪ x‬إذا علمت أن ‪‬‬
‫‪3 5‬‬
‫‪x x 1‬‬
‫‪‬‬
‫‪ -2‬أحسب ‪ x‬إذا علمت أن‬
‫‪2‬‬
‫‪3‬‬
‫‪a c‬‬
‫‪‬‬
‫‪b d‬‬

‫تعني ‪a × d = b × c‬‬

‫‪3‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثانية ثانوي إعدادي‬

‫المستقيم المار من منتصفي‬
‫ضلعين في مثلث‬

‫نشاط تمهيدي ‪: 1‬‬
‫‪ ABC‬مثلث و ’‪ B‬و ’‪ C‬على التوالي منتصفا القطعتين ]‪ [AC‬و ]‪.[AB‬‬
‫لتكن ‪ D‬مماثلة النقطة ’‪ B‬بالنسبة للنقطة ’‪C‬‬
‫‪ -1‬انشئ الشكل‪.‬‬
‫‪ -2‬بين أن )’‪(BD) // (CB‬‬
‫‪-3‬‬

‫أ‪ -‬بين أن )‪(B’C’) // (BC‬‬

‫ب‪ -‬بين أن‬

‫‪1‬‬
‫‪B C  BC‬‬
‫‪2‬‬
‫’‬

‫’‬

‫‪4‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثانية ثانوي إعدادي‬

‫المستقيم المار من منتصفي‬
‫ضلعين في مثلث‬

‫‪ -2‬الرباعي ‪ AB’BD‬متوازي األضالع‬
‫)للقطرين ]‪ [AB‬و ]‪ [DB′‬نفس المنتصف ‪(C′‬‬
‫إذن )‪(DB) // (AB′‬‬

‫•‪D‬‬

‫و حيث أن )‪(AB′) = (AC‬‬
‫فإن )‪(DB) // (CB′‬‬

‫‪5‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثانية ثانوي إعدادي‬

‫المستقيم المار من منتصفي‬
‫ضلعين في مثلث‬

‫‪ -3‬لدينا )‪ (BD) // (B’C‬و ‪BD = B’A = B’C‬‬
‫إذن ‪ BCB’D‬متوازي األضالع‬
‫أ‪ -‬وبالتالي )‪(B’D) // (BC‬‬

‫•‪D‬‬

‫أي )‪(B’C’) // (BC‬‬

‫ب‪-‬‬

‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪B’C’  B’D  BC‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪6‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثانية ثانوي إعدادي‬

‫المستقيم المار من منتصفي‬
‫ضلعين في مثلث‬

‫خاصية ‪1‬‬
‫‪ ‬المستقيم المار من منتصفي ضلعي في مثلث‬
‫يوازي الضلع الثالث‪.‬‬
‫‪ ‬طول القطعة التي تربط بين منتصفي ضلعي‬
‫مثلث يساوي نصف طول الضلع الثالث‪.‬‬

‫‪7‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثانية ثانوي إعدادي‬

‫المستقيم المار من منتصفي‬
‫ضلعين في مثلث‬

‫باستعمال الرموز‬
‫‪ ABC‬مثلث‬

‫إذا كان‬

‫’‪ B‬منتصف ]‪[AC‬‬
‫و‬
‫’‪ C‬منتصف ]‪[AB‬‬

‫فإن‬

‫)‪(B’C’) // (BC‬‬
‫و‬
‫‪1‬‬
‫‪B’C’  BC‬‬
‫‪2‬‬
‫‪8‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثانية ثانوي إعدادي‬

‫المستقيم المار من منتصفي‬
‫ضلعين في مثلث‬

‫تمارين تطبيقية‬
‫‪ ‬التمرين رقم ‪ 1‬صفحة ‪.133‬‬
‫)كتاب المسار(‬
‫‪ ‬التمرين رقم ‪ 7‬صفحة ‪.133‬‬
‫)كتاب المسار(‬

‫‪9‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثانية ثانوي إعدادي‬

‫المستقيم المار من منتصف ضلع‬
‫لمثلث و الموازي لضلع آخر‬

‫نشاط تمهيدي ‪: 2‬‬
‫النشاط رقم ‪ 2‬صفحة ‪.126‬‬
‫)كتاب المسار(‬
‫المعطيات‪:‬‬

‫؟‬

‫‪ ABC ‬مثلث‬
‫‪ C′ ‬منتصف ]‪[AB‬‬

‫‪ (∆) // (BC) ‬و )∆(‪C′Є‬‬
‫‪ (∆) ‬يقطع )‪ (AC‬في ‪K‬‬
‫‪ B′ ‬منتصف ]‪[CA‬‬
‫‪10‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثانية ثانوي إعدادي‬

‫المستقيم المار من منتصف ضلع‬
‫لمثلث و الموازي لضلع آخر‬

‫لنبين أن ‪B’ = K‬‬
‫‪‬المستقيمان )’‪ (B’C‬و )∆( يوازيان )‪(BC‬‬
‫و لهما نقطة مشتركة‬
‫إذن )’‪ (∆) = (B’C‬و منه ’‪K = B‬‬

‫‪11‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثانية ثانوي إعدادي‬

‫المستقيم المار من منتصف ضلع‬
‫لمثلث و الموازي لضلع آخر‬

‫خاصية ‪2‬‬
‫المستقيم المار من منتصف ضلع مثلث‬
‫و الموازي لضلع آخر في هذا المثلث‬
‫يمر من منتصف الضلع الثالث‪.‬‬

‫‪12‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثانية ثانوي إعدادي‬

‫المستقيم المار من منتصف ضلع‬
‫لمثلث و الموازي لضلع آخر‬

‫باستعمال الرموز‬
‫‪ ABC‬مثلث و ’‪ B‬منتصف ]‪ [AC‬و )∆( مستقيم‪.‬‬

‫إذا كان‬

‫فإن‬

‫)∆( يمر من ’‪B‬‬
‫و‬
‫)∆( يوازي )‪(BC‬‬

‫)∆( يقطع القطعة ]‪ [AB‬في منتصفها‪.‬‬

‫‪13‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثانية ثانوي إعدادي‬

‫المستقيم المار من منتصف ضلع‬
‫لمثلث و الموازي لضلع آخر‬

‫تمرين تطبيقي‬
‫تمرين ‪ 13‬صفحة ‪.134‬‬
‫)كتاب المسار(‬
‫المعطيات‪:‬‬
‫‪ B’‬منتصف ]‪[AC‬‬

‫المطلوب‪:‬‬
‫‪ K ‬منتصف ]‪[AM‬‬

‫‪ C’‬منتصف ]‪[AB‬‬
‫‪M Є (BC )‬‬
‫‪ (B’C’)‬يقطع )‪ (AM‬في ‪K‬‬
‫‪14‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثانية ثانوي إعدادي‬

‫المستقيم المار من منتصف ضلع‬
‫لمثلث و الموازي لضلع آخر‬

‫‪ ‬في المثلث ‪.ABC‬‬
‫بما أن ’‪ B‬و ’‪ C‬هما منتصفا ]‪ [AC‬و ]‪[AB‬‬
‫على التوالي فإن )‪(B’C’) // (BC‬‬

‫‪ ‬المستقيم )’‪ (B’C‬يمر من ’‪ B‬منتصف ]‪[AC‬‬
‫و يقطع ]‪ [AM‬في ‪ K‬و يوازي )‪(CM‬‬

‫في المثلث ‪ACM‬‬
‫إذن‪ K :‬منتصف ]‪[AM‬‬
‫‪15‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثانية ثانوي إعدادي‬

‫المستقيم الموازي لضلع في مثلث‬

‫نشاط تمهيدي ‪: 3‬‬
‫النشاط رقم ‪ 3‬صفحة ‪.126‬‬
‫)كتاب المسار(‬
‫‪ -1‬نحسب مساحة المثلث ‪ ABC‬بطريقتين‪:‬‬
‫‪AB  BC BH  AC‬‬
‫‪‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫إذن‪AB  BC  BH  AC :‬‬

‫و منه‪:‬‬

‫‪AB  BC‬‬
‫‪BH ‬‬
‫‪AC‬‬
‫‪16‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثانية ثانوي إعدادي‬

‫المستقيم الموازي لضلع في مثلث‬

‫‪ -2‬مساحة المثلث ‪:BCN‬‬
‫‪NN  BC BM  BC‬‬
‫‪‬‬
‫بإعتبار اإلرتفاع ]‪ [NN′‬نجد‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪BH  NC‬‬
‫‪2‬‬

‫بإعتبار اإلرتفاع )‪ (BH‬نجد‬
‫و منه نجد‪:‬‬

‫إذن‪:‬‬
‫أي‪:‬‬

‫‪(NN′ = BM) a ‬‬
‫‪a‬‬

‫‪BM  BC  BH  NC‬‬

‫‪AB  BC‬‬
‫‪ NC‬‬
‫‪AC‬‬

‫‪BM  BC ‬‬

‫‪BM  AC  BA  NC‬‬

‫وحيث أن‪NC  AC  AN :‬‬

‫و ‪BM  AB  AM‬‬

‫فإن‪AB  AC  AM  AC  AB  AC  AB  AN :‬‬

‫ومنه‪:‬‬

‫‪AM AN‬‬
‫‪‬‬
‫‪AB AC‬‬

‫و ‪AM  AC  AB  AN‬‬
‫‪17‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثانية ثانوي إعدادي‬

‫المستقيم الموازي لضلع في مثلث‬

‫خاصية ‪3‬‬
‫‪ ABC‬مثلث و ‪ M‬و ‪ N‬نقطتان من ]‪ [AB‬و ]‪ [AC‬على التوالي‬
‫إذا كان )‪(MN) // (BC‬‬
‫فإن‪:‬‬

‫‪AM AN MN‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪AB AC BC‬‬

‫‪18‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثانية ثانوي إعدادي‬

‫المستقيم الموازي لضلع في مثلث‬

‫تمرين تطبيقي‬
‫تمرين ‪ 19‬صفحة ‪.134‬‬
‫)كتاب المسار(‬
‫المطلوب‪:‬‬

‫المعطيات‪:‬‬
‫‪ AM = 5 ‬و ‪ AB = 8‬و ‪ BC = 9‬و )‪(MN) // (BC‬‬

‫بما أن‪ MЄ[AB] :‬و ]‪ NЄ[AC‬و )‪(MN) // (BC‬‬

‫أي‪:‬‬

‫‪MN 5‬‬
‫‪‬‬
‫‪9‬‬
‫‪8‬‬

‫ومنه‪:‬‬

‫فإن‪:‬‬

‫‪‬حساب المسافة ‪MN‬‬
‫‪MN AM‬‬
‫‪‬‬
‫‪BC AB‬‬

‫‪5  9 45‬‬
‫‪‬‬
‫‪8‬‬
‫‪8‬‬

‫‪MN ‬‬

‫‪19‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثانية ثانوي إعدادي‬

‫تقسيم قطعة إلى قطع متقايسة‬

‫نشاط تمهيدي ‪: 4‬‬
‫النشاط رقم ‪ 5‬صفحة ‪.126‬‬
‫)كتاب المسار(‬

‫في المثلث ´‪ AJJ‬لدينا ‪:‬‬
‫في‬

‫‪AI‬‬
‫‪AI' 1‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪AJ AJ' 2‬‬

‫إذن‪:‬‬

‫'‪2AI'  AJ‬‬

‫‪1‬‬
‫‪AC‬‬
‫‪3‬‬

‫‪AI‬‬
‫‪AI' 1‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫إذن‪:‬‬
‫المثلث ‪ ABC‬لدينا ‪:‬‬
‫‪AB AC 3‬‬
‫‪2‬‬
‫‪AC  AJ' J'C  2AI' J'C  AC  J'C‬‬
‫و لدينا‪:‬‬
‫‪3‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫إذن‪ J'C  AC  AC  AC :‬إذن‪AI'  J'C  AC  AC :‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬

‫وبالتالي‪:‬‬

‫‪1‬‬
‫‪AC‬‬
‫‪3‬‬

‫‪AI' ‬‬

‫‪I' J'  AI'  J'C ‬‬
‫‪20‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثانية ثانوي إعدادي‬

‫تقسيم قطعة إلى قطع متقايسة‬

‫كيف إذن أمكن تقسيم القطعة ]‪ [AC‬إلى ‪ 3‬قطع متقايسة ؟‬
‫‪ ‬ننشئ ]‪ [AB‬مخالفا لـ ]‪[AC‬‬
‫‪ ‬نقسم القطعة ]‪ [AB‬إلى ‪ 3‬قطع متقايسة ( بواسطة البركار)‬
‫‪ ‬لتكن ‪ I‬على ]‪ [AB‬بحيث ‪AI = 1‬‬

‫• ننشئ )∆) المار من ‪ I‬و الموازي لـ )‪ (BC‬يقطع ]‪ [AC‬في ’‪I‬‬
‫• لدينا إذن‬

‫‪AC‬‬
‫‪3‬‬

‫‪AI' ‬‬

‫• نقسم القطعة ]‪ [AC‬بإستعمال الوحدة ’‪AI‬‬
‫‪21‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثانية ثانوي إعدادي‬

‫تقسيم قطعة إلى قطع متقايسة‬

‫قاعـــــدة‬
‫لتقسيم قطعة ]‪ [AB‬إلى ‪ n‬قطع متقايسة نتبع الخطوات التالية‪:‬‬
‫‪‬ننشئ نصف مستقيم )∆) مار من ‪ A‬و حامله مختلفا عن )‪(AB‬‬
‫‪‬نعتبر على )∆) النقطة ‪ C‬بحيث ‪AC = n‬‬
‫‪ ‬على ]‪ [AC‬نأخذ ‪ I‬بحيث ‪AI = 1‬‬
‫‪ ‬نمثل )‪(BC‬‬
‫‪‬ننشئ المستقيم )∆) المار من ‪ I‬و الموازي ل (‪ )BC‬الذي يقطع ]‪ [AB‬في ’‪I‬‬
‫‪AC‬‬
‫‪ ‬لدينا إذن‪:‬‬
‫‪3‬‬
‫‪‬نقسم القطعة ]‪ [AB‬بإستعمال البركار و الوحدة ’‪. AI‬‬
‫‪AI' ‬‬

‫‪22‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثانية ثانوي إعدادي‬

‫مثــــــال‬

‫تقسيم قطعة إلى قطع متقايسة‬

‫)‪(n = 5‬‬

‫‪23‬‬


Slide 11

‫المستقيمات الموازية ألضالع مثلث‬
‫المادة ‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى ‪:‬‬

‫الثانية ثانوي إعدادي‬

‫‪1‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثانية ثانوي إعدادي‬

‫تذكيـــــــــــر‬

‫‪ -1‬مساحة مثلث‬
‫‪ -1‬أحسب مساحة مثلث ‪ ABC‬قائم الزاوية في ‪A‬‬
‫بحيث ‪ AC = 4‬و ‪AB = 3‬‬
‫‪ -2‬ماهي مساحة مثلث؟‬
‫مساحة مثلث =‬

‫القاعدة × اإلرتفاع‬

‫‪2‬‬
‫‪2‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثانية ثانوي إعدادي‬

‫تذكيـــــــــــر‬

‫‪ -2‬التناسبية‬
‫‪x 7‬‬
‫‪ -1‬أحسب ‪ x‬إذا علمت أن ‪‬‬
‫‪3 5‬‬
‫‪x x 1‬‬
‫‪‬‬
‫‪ -2‬أحسب ‪ x‬إذا علمت أن‬
‫‪2‬‬
‫‪3‬‬
‫‪a c‬‬
‫‪‬‬
‫‪b d‬‬

‫تعني ‪a × d = b × c‬‬

‫‪3‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثانية ثانوي إعدادي‬

‫المستقيم المار من منتصفي‬
‫ضلعين في مثلث‬

‫نشاط تمهيدي ‪: 1‬‬
‫‪ ABC‬مثلث و ’‪ B‬و ’‪ C‬على التوالي منتصفا القطعتين ]‪ [AC‬و ]‪.[AB‬‬
‫لتكن ‪ D‬مماثلة النقطة ’‪ B‬بالنسبة للنقطة ’‪C‬‬
‫‪ -1‬انشئ الشكل‪.‬‬
‫‪ -2‬بين أن )’‪(BD) // (CB‬‬
‫‪-3‬‬

‫أ‪ -‬بين أن )‪(B’C’) // (BC‬‬

‫ب‪ -‬بين أن‬

‫‪1‬‬
‫‪B C  BC‬‬
‫‪2‬‬
‫’‬

‫’‬

‫‪4‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثانية ثانوي إعدادي‬

‫المستقيم المار من منتصفي‬
‫ضلعين في مثلث‬

‫‪ -2‬الرباعي ‪ AB’BD‬متوازي األضالع‬
‫)للقطرين ]‪ [AB‬و ]‪ [DB′‬نفس المنتصف ‪(C′‬‬
‫إذن )‪(DB) // (AB′‬‬

‫•‪D‬‬

‫و حيث أن )‪(AB′) = (AC‬‬
‫فإن )‪(DB) // (CB′‬‬

‫‪5‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثانية ثانوي إعدادي‬

‫المستقيم المار من منتصفي‬
‫ضلعين في مثلث‬

‫‪ -3‬لدينا )‪ (BD) // (B’C‬و ‪BD = B’A = B’C‬‬
‫إذن ‪ BCB’D‬متوازي األضالع‬
‫أ‪ -‬وبالتالي )‪(B’D) // (BC‬‬

‫•‪D‬‬

‫أي )‪(B’C’) // (BC‬‬

‫ب‪-‬‬

‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪B’C’  B’D  BC‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪6‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثانية ثانوي إعدادي‬

‫المستقيم المار من منتصفي‬
‫ضلعين في مثلث‬

‫خاصية ‪1‬‬
‫‪ ‬المستقيم المار من منتصفي ضلعي في مثلث‬
‫يوازي الضلع الثالث‪.‬‬
‫‪ ‬طول القطعة التي تربط بين منتصفي ضلعي‬
‫مثلث يساوي نصف طول الضلع الثالث‪.‬‬

‫‪7‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثانية ثانوي إعدادي‬

‫المستقيم المار من منتصفي‬
‫ضلعين في مثلث‬

‫باستعمال الرموز‬
‫‪ ABC‬مثلث‬

‫إذا كان‬

‫’‪ B‬منتصف ]‪[AC‬‬
‫و‬
‫’‪ C‬منتصف ]‪[AB‬‬

‫فإن‬

‫)‪(B’C’) // (BC‬‬
‫و‬
‫‪1‬‬
‫‪B’C’  BC‬‬
‫‪2‬‬
‫‪8‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثانية ثانوي إعدادي‬

‫المستقيم المار من منتصفي‬
‫ضلعين في مثلث‬

‫تمارين تطبيقية‬
‫‪ ‬التمرين رقم ‪ 1‬صفحة ‪.133‬‬
‫)كتاب المسار(‬
‫‪ ‬التمرين رقم ‪ 7‬صفحة ‪.133‬‬
‫)كتاب المسار(‬

‫‪9‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثانية ثانوي إعدادي‬

‫المستقيم المار من منتصف ضلع‬
‫لمثلث و الموازي لضلع آخر‬

‫نشاط تمهيدي ‪: 2‬‬
‫النشاط رقم ‪ 2‬صفحة ‪.126‬‬
‫)كتاب المسار(‬
‫المعطيات‪:‬‬

‫؟‬

‫‪ ABC ‬مثلث‬
‫‪ C′ ‬منتصف ]‪[AB‬‬

‫‪ (∆) // (BC) ‬و )∆(‪C′Є‬‬
‫‪ (∆) ‬يقطع )‪ (AC‬في ‪K‬‬
‫‪ B′ ‬منتصف ]‪[CA‬‬
‫‪10‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثانية ثانوي إعدادي‬

‫المستقيم المار من منتصف ضلع‬
‫لمثلث و الموازي لضلع آخر‬

‫لنبين أن ‪B’ = K‬‬
‫‪‬المستقيمان )’‪ (B’C‬و )∆( يوازيان )‪(BC‬‬
‫و لهما نقطة مشتركة‬
‫إذن )’‪ (∆) = (B’C‬و منه ’‪K = B‬‬

‫‪11‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثانية ثانوي إعدادي‬

‫المستقيم المار من منتصف ضلع‬
‫لمثلث و الموازي لضلع آخر‬

‫خاصية ‪2‬‬
‫المستقيم المار من منتصف ضلع مثلث‬
‫و الموازي لضلع آخر في هذا المثلث‬
‫يمر من منتصف الضلع الثالث‪.‬‬

‫‪12‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثانية ثانوي إعدادي‬

‫المستقيم المار من منتصف ضلع‬
‫لمثلث و الموازي لضلع آخر‬

‫باستعمال الرموز‬
‫‪ ABC‬مثلث و ’‪ B‬منتصف ]‪ [AC‬و )∆( مستقيم‪.‬‬

‫إذا كان‬

‫فإن‬

‫)∆( يمر من ’‪B‬‬
‫و‬
‫)∆( يوازي )‪(BC‬‬

‫)∆( يقطع القطعة ]‪ [AB‬في منتصفها‪.‬‬

‫‪13‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثانية ثانوي إعدادي‬

‫المستقيم المار من منتصف ضلع‬
‫لمثلث و الموازي لضلع آخر‬

‫تمرين تطبيقي‬
‫تمرين ‪ 13‬صفحة ‪.134‬‬
‫)كتاب المسار(‬
‫المعطيات‪:‬‬
‫‪ B’‬منتصف ]‪[AC‬‬

‫المطلوب‪:‬‬
‫‪ K ‬منتصف ]‪[AM‬‬

‫‪ C’‬منتصف ]‪[AB‬‬
‫‪M Є (BC )‬‬
‫‪ (B’C’)‬يقطع )‪ (AM‬في ‪K‬‬
‫‪14‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثانية ثانوي إعدادي‬

‫المستقيم المار من منتصف ضلع‬
‫لمثلث و الموازي لضلع آخر‬

‫‪ ‬في المثلث ‪.ABC‬‬
‫بما أن ’‪ B‬و ’‪ C‬هما منتصفا ]‪ [AC‬و ]‪[AB‬‬
‫على التوالي فإن )‪(B’C’) // (BC‬‬

‫‪ ‬المستقيم )’‪ (B’C‬يمر من ’‪ B‬منتصف ]‪[AC‬‬
‫و يقطع ]‪ [AM‬في ‪ K‬و يوازي )‪(CM‬‬

‫في المثلث ‪ACM‬‬
‫إذن‪ K :‬منتصف ]‪[AM‬‬
‫‪15‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثانية ثانوي إعدادي‬

‫المستقيم الموازي لضلع في مثلث‬

‫نشاط تمهيدي ‪: 3‬‬
‫النشاط رقم ‪ 3‬صفحة ‪.126‬‬
‫)كتاب المسار(‬
‫‪ -1‬نحسب مساحة المثلث ‪ ABC‬بطريقتين‪:‬‬
‫‪AB  BC BH  AC‬‬
‫‪‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫إذن‪AB  BC  BH  AC :‬‬

‫و منه‪:‬‬

‫‪AB  BC‬‬
‫‪BH ‬‬
‫‪AC‬‬
‫‪16‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثانية ثانوي إعدادي‬

‫المستقيم الموازي لضلع في مثلث‬

‫‪ -2‬مساحة المثلث ‪:BCN‬‬
‫‪NN  BC BM  BC‬‬
‫‪‬‬
‫بإعتبار اإلرتفاع ]‪ [NN′‬نجد‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪BH  NC‬‬
‫‪2‬‬

‫بإعتبار اإلرتفاع )‪ (BH‬نجد‬
‫و منه نجد‪:‬‬

‫إذن‪:‬‬
‫أي‪:‬‬

‫‪(NN′ = BM) a ‬‬
‫‪a‬‬

‫‪BM  BC  BH  NC‬‬

‫‪AB  BC‬‬
‫‪ NC‬‬
‫‪AC‬‬

‫‪BM  BC ‬‬

‫‪BM  AC  BA  NC‬‬

‫وحيث أن‪NC  AC  AN :‬‬

‫و ‪BM  AB  AM‬‬

‫فإن‪AB  AC  AM  AC  AB  AC  AB  AN :‬‬

‫ومنه‪:‬‬

‫‪AM AN‬‬
‫‪‬‬
‫‪AB AC‬‬

‫و ‪AM  AC  AB  AN‬‬
‫‪17‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثانية ثانوي إعدادي‬

‫المستقيم الموازي لضلع في مثلث‬

‫خاصية ‪3‬‬
‫‪ ABC‬مثلث و ‪ M‬و ‪ N‬نقطتان من ]‪ [AB‬و ]‪ [AC‬على التوالي‬
‫إذا كان )‪(MN) // (BC‬‬
‫فإن‪:‬‬

‫‪AM AN MN‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪AB AC BC‬‬

‫‪18‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثانية ثانوي إعدادي‬

‫المستقيم الموازي لضلع في مثلث‬

‫تمرين تطبيقي‬
‫تمرين ‪ 19‬صفحة ‪.134‬‬
‫)كتاب المسار(‬
‫المطلوب‪:‬‬

‫المعطيات‪:‬‬
‫‪ AM = 5 ‬و ‪ AB = 8‬و ‪ BC = 9‬و )‪(MN) // (BC‬‬

‫بما أن‪ MЄ[AB] :‬و ]‪ NЄ[AC‬و )‪(MN) // (BC‬‬

‫أي‪:‬‬

‫‪MN 5‬‬
‫‪‬‬
‫‪9‬‬
‫‪8‬‬

‫ومنه‪:‬‬

‫فإن‪:‬‬

‫‪‬حساب المسافة ‪MN‬‬
‫‪MN AM‬‬
‫‪‬‬
‫‪BC AB‬‬

‫‪5  9 45‬‬
‫‪‬‬
‫‪8‬‬
‫‪8‬‬

‫‪MN ‬‬

‫‪19‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثانية ثانوي إعدادي‬

‫تقسيم قطعة إلى قطع متقايسة‬

‫نشاط تمهيدي ‪: 4‬‬
‫النشاط رقم ‪ 5‬صفحة ‪.126‬‬
‫)كتاب المسار(‬

‫في المثلث ´‪ AJJ‬لدينا ‪:‬‬
‫في‬

‫‪AI‬‬
‫‪AI' 1‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪AJ AJ' 2‬‬

‫إذن‪:‬‬

‫'‪2AI'  AJ‬‬

‫‪1‬‬
‫‪AC‬‬
‫‪3‬‬

‫‪AI‬‬
‫‪AI' 1‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫إذن‪:‬‬
‫المثلث ‪ ABC‬لدينا ‪:‬‬
‫‪AB AC 3‬‬
‫‪2‬‬
‫‪AC  AJ' J'C  2AI' J'C  AC  J'C‬‬
‫و لدينا‪:‬‬
‫‪3‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫إذن‪ J'C  AC  AC  AC :‬إذن‪AI'  J'C  AC  AC :‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬

‫وبالتالي‪:‬‬

‫‪1‬‬
‫‪AC‬‬
‫‪3‬‬

‫‪AI' ‬‬

‫‪I' J'  AI'  J'C ‬‬
‫‪20‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثانية ثانوي إعدادي‬

‫تقسيم قطعة إلى قطع متقايسة‬

‫كيف إذن أمكن تقسيم القطعة ]‪ [AC‬إلى ‪ 3‬قطع متقايسة ؟‬
‫‪ ‬ننشئ ]‪ [AB‬مخالفا لـ ]‪[AC‬‬
‫‪ ‬نقسم القطعة ]‪ [AB‬إلى ‪ 3‬قطع متقايسة ( بواسطة البركار)‬
‫‪ ‬لتكن ‪ I‬على ]‪ [AB‬بحيث ‪AI = 1‬‬

‫• ننشئ )∆) المار من ‪ I‬و الموازي لـ )‪ (BC‬يقطع ]‪ [AC‬في ’‪I‬‬
‫• لدينا إذن‬

‫‪AC‬‬
‫‪3‬‬

‫‪AI' ‬‬

‫• نقسم القطعة ]‪ [AC‬بإستعمال الوحدة ’‪AI‬‬
‫‪21‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثانية ثانوي إعدادي‬

‫تقسيم قطعة إلى قطع متقايسة‬

‫قاعـــــدة‬
‫لتقسيم قطعة ]‪ [AB‬إلى ‪ n‬قطع متقايسة نتبع الخطوات التالية‪:‬‬
‫‪‬ننشئ نصف مستقيم )∆) مار من ‪ A‬و حامله مختلفا عن )‪(AB‬‬
‫‪‬نعتبر على )∆) النقطة ‪ C‬بحيث ‪AC = n‬‬
‫‪ ‬على ]‪ [AC‬نأخذ ‪ I‬بحيث ‪AI = 1‬‬
‫‪ ‬نمثل )‪(BC‬‬
‫‪‬ننشئ المستقيم )∆) المار من ‪ I‬و الموازي ل (‪ )BC‬الذي يقطع ]‪ [AB‬في ’‪I‬‬
‫‪AC‬‬
‫‪ ‬لدينا إذن‪:‬‬
‫‪3‬‬
‫‪‬نقسم القطعة ]‪ [AB‬بإستعمال البركار و الوحدة ’‪. AI‬‬
‫‪AI' ‬‬

‫‪22‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثانية ثانوي إعدادي‬

‫مثــــــال‬

‫تقسيم قطعة إلى قطع متقايسة‬

‫)‪(n = 5‬‬

‫‪23‬‬


Slide 12

‫المستقيمات الموازية ألضالع مثلث‬
‫المادة ‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى ‪:‬‬

‫الثانية ثانوي إعدادي‬

‫‪1‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثانية ثانوي إعدادي‬

‫تذكيـــــــــــر‬

‫‪ -1‬مساحة مثلث‬
‫‪ -1‬أحسب مساحة مثلث ‪ ABC‬قائم الزاوية في ‪A‬‬
‫بحيث ‪ AC = 4‬و ‪AB = 3‬‬
‫‪ -2‬ماهي مساحة مثلث؟‬
‫مساحة مثلث =‬

‫القاعدة × اإلرتفاع‬

‫‪2‬‬
‫‪2‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثانية ثانوي إعدادي‬

‫تذكيـــــــــــر‬

‫‪ -2‬التناسبية‬
‫‪x 7‬‬
‫‪ -1‬أحسب ‪ x‬إذا علمت أن ‪‬‬
‫‪3 5‬‬
‫‪x x 1‬‬
‫‪‬‬
‫‪ -2‬أحسب ‪ x‬إذا علمت أن‬
‫‪2‬‬
‫‪3‬‬
‫‪a c‬‬
‫‪‬‬
‫‪b d‬‬

‫تعني ‪a × d = b × c‬‬

‫‪3‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثانية ثانوي إعدادي‬

‫المستقيم المار من منتصفي‬
‫ضلعين في مثلث‬

‫نشاط تمهيدي ‪: 1‬‬
‫‪ ABC‬مثلث و ’‪ B‬و ’‪ C‬على التوالي منتصفا القطعتين ]‪ [AC‬و ]‪.[AB‬‬
‫لتكن ‪ D‬مماثلة النقطة ’‪ B‬بالنسبة للنقطة ’‪C‬‬
‫‪ -1‬انشئ الشكل‪.‬‬
‫‪ -2‬بين أن )’‪(BD) // (CB‬‬
‫‪-3‬‬

‫أ‪ -‬بين أن )‪(B’C’) // (BC‬‬

‫ب‪ -‬بين أن‬

‫‪1‬‬
‫‪B C  BC‬‬
‫‪2‬‬
‫’‬

‫’‬

‫‪4‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثانية ثانوي إعدادي‬

‫المستقيم المار من منتصفي‬
‫ضلعين في مثلث‬

‫‪ -2‬الرباعي ‪ AB’BD‬متوازي األضالع‬
‫)للقطرين ]‪ [AB‬و ]‪ [DB′‬نفس المنتصف ‪(C′‬‬
‫إذن )‪(DB) // (AB′‬‬

‫•‪D‬‬

‫و حيث أن )‪(AB′) = (AC‬‬
‫فإن )‪(DB) // (CB′‬‬

‫‪5‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثانية ثانوي إعدادي‬

‫المستقيم المار من منتصفي‬
‫ضلعين في مثلث‬

‫‪ -3‬لدينا )‪ (BD) // (B’C‬و ‪BD = B’A = B’C‬‬
‫إذن ‪ BCB’D‬متوازي األضالع‬
‫أ‪ -‬وبالتالي )‪(B’D) // (BC‬‬

‫•‪D‬‬

‫أي )‪(B’C’) // (BC‬‬

‫ب‪-‬‬

‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪B’C’  B’D  BC‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪6‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثانية ثانوي إعدادي‬

‫المستقيم المار من منتصفي‬
‫ضلعين في مثلث‬

‫خاصية ‪1‬‬
‫‪ ‬المستقيم المار من منتصفي ضلعي في مثلث‬
‫يوازي الضلع الثالث‪.‬‬
‫‪ ‬طول القطعة التي تربط بين منتصفي ضلعي‬
‫مثلث يساوي نصف طول الضلع الثالث‪.‬‬

‫‪7‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثانية ثانوي إعدادي‬

‫المستقيم المار من منتصفي‬
‫ضلعين في مثلث‬

‫باستعمال الرموز‬
‫‪ ABC‬مثلث‬

‫إذا كان‬

‫’‪ B‬منتصف ]‪[AC‬‬
‫و‬
‫’‪ C‬منتصف ]‪[AB‬‬

‫فإن‬

‫)‪(B’C’) // (BC‬‬
‫و‬
‫‪1‬‬
‫‪B’C’  BC‬‬
‫‪2‬‬
‫‪8‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثانية ثانوي إعدادي‬

‫المستقيم المار من منتصفي‬
‫ضلعين في مثلث‬

‫تمارين تطبيقية‬
‫‪ ‬التمرين رقم ‪ 1‬صفحة ‪.133‬‬
‫)كتاب المسار(‬
‫‪ ‬التمرين رقم ‪ 7‬صفحة ‪.133‬‬
‫)كتاب المسار(‬

‫‪9‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثانية ثانوي إعدادي‬

‫المستقيم المار من منتصف ضلع‬
‫لمثلث و الموازي لضلع آخر‬

‫نشاط تمهيدي ‪: 2‬‬
‫النشاط رقم ‪ 2‬صفحة ‪.126‬‬
‫)كتاب المسار(‬
‫المعطيات‪:‬‬

‫؟‬

‫‪ ABC ‬مثلث‬
‫‪ C′ ‬منتصف ]‪[AB‬‬

‫‪ (∆) // (BC) ‬و )∆(‪C′Є‬‬
‫‪ (∆) ‬يقطع )‪ (AC‬في ‪K‬‬
‫‪ B′ ‬منتصف ]‪[CA‬‬
‫‪10‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثانية ثانوي إعدادي‬

‫المستقيم المار من منتصف ضلع‬
‫لمثلث و الموازي لضلع آخر‬

‫لنبين أن ‪B’ = K‬‬
‫‪‬المستقيمان )’‪ (B’C‬و )∆( يوازيان )‪(BC‬‬
‫و لهما نقطة مشتركة‬
‫إذن )’‪ (∆) = (B’C‬و منه ’‪K = B‬‬

‫‪11‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثانية ثانوي إعدادي‬

‫المستقيم المار من منتصف ضلع‬
‫لمثلث و الموازي لضلع آخر‬

‫خاصية ‪2‬‬
‫المستقيم المار من منتصف ضلع مثلث‬
‫و الموازي لضلع آخر في هذا المثلث‬
‫يمر من منتصف الضلع الثالث‪.‬‬

‫‪12‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثانية ثانوي إعدادي‬

‫المستقيم المار من منتصف ضلع‬
‫لمثلث و الموازي لضلع آخر‬

‫باستعمال الرموز‬
‫‪ ABC‬مثلث و ’‪ B‬منتصف ]‪ [AC‬و )∆( مستقيم‪.‬‬

‫إذا كان‬

‫فإن‬

‫)∆( يمر من ’‪B‬‬
‫و‬
‫)∆( يوازي )‪(BC‬‬

‫)∆( يقطع القطعة ]‪ [AB‬في منتصفها‪.‬‬

‫‪13‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثانية ثانوي إعدادي‬

‫المستقيم المار من منتصف ضلع‬
‫لمثلث و الموازي لضلع آخر‬

‫تمرين تطبيقي‬
‫تمرين ‪ 13‬صفحة ‪.134‬‬
‫)كتاب المسار(‬
‫المعطيات‪:‬‬
‫‪ B’‬منتصف ]‪[AC‬‬

‫المطلوب‪:‬‬
‫‪ K ‬منتصف ]‪[AM‬‬

‫‪ C’‬منتصف ]‪[AB‬‬
‫‪M Є (BC )‬‬
‫‪ (B’C’)‬يقطع )‪ (AM‬في ‪K‬‬
‫‪14‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثانية ثانوي إعدادي‬

‫المستقيم المار من منتصف ضلع‬
‫لمثلث و الموازي لضلع آخر‬

‫‪ ‬في المثلث ‪.ABC‬‬
‫بما أن ’‪ B‬و ’‪ C‬هما منتصفا ]‪ [AC‬و ]‪[AB‬‬
‫على التوالي فإن )‪(B’C’) // (BC‬‬

‫‪ ‬المستقيم )’‪ (B’C‬يمر من ’‪ B‬منتصف ]‪[AC‬‬
‫و يقطع ]‪ [AM‬في ‪ K‬و يوازي )‪(CM‬‬

‫في المثلث ‪ACM‬‬
‫إذن‪ K :‬منتصف ]‪[AM‬‬
‫‪15‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثانية ثانوي إعدادي‬

‫المستقيم الموازي لضلع في مثلث‬

‫نشاط تمهيدي ‪: 3‬‬
‫النشاط رقم ‪ 3‬صفحة ‪.126‬‬
‫)كتاب المسار(‬
‫‪ -1‬نحسب مساحة المثلث ‪ ABC‬بطريقتين‪:‬‬
‫‪AB  BC BH  AC‬‬
‫‪‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫إذن‪AB  BC  BH  AC :‬‬

‫و منه‪:‬‬

‫‪AB  BC‬‬
‫‪BH ‬‬
‫‪AC‬‬
‫‪16‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثانية ثانوي إعدادي‬

‫المستقيم الموازي لضلع في مثلث‬

‫‪ -2‬مساحة المثلث ‪:BCN‬‬
‫‪NN  BC BM  BC‬‬
‫‪‬‬
‫بإعتبار اإلرتفاع ]‪ [NN′‬نجد‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪BH  NC‬‬
‫‪2‬‬

‫بإعتبار اإلرتفاع )‪ (BH‬نجد‬
‫و منه نجد‪:‬‬

‫إذن‪:‬‬
‫أي‪:‬‬

‫‪(NN′ = BM) a ‬‬
‫‪a‬‬

‫‪BM  BC  BH  NC‬‬

‫‪AB  BC‬‬
‫‪ NC‬‬
‫‪AC‬‬

‫‪BM  BC ‬‬

‫‪BM  AC  BA  NC‬‬

‫وحيث أن‪NC  AC  AN :‬‬

‫و ‪BM  AB  AM‬‬

‫فإن‪AB  AC  AM  AC  AB  AC  AB  AN :‬‬

‫ومنه‪:‬‬

‫‪AM AN‬‬
‫‪‬‬
‫‪AB AC‬‬

‫و ‪AM  AC  AB  AN‬‬
‫‪17‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثانية ثانوي إعدادي‬

‫المستقيم الموازي لضلع في مثلث‬

‫خاصية ‪3‬‬
‫‪ ABC‬مثلث و ‪ M‬و ‪ N‬نقطتان من ]‪ [AB‬و ]‪ [AC‬على التوالي‬
‫إذا كان )‪(MN) // (BC‬‬
‫فإن‪:‬‬

‫‪AM AN MN‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪AB AC BC‬‬

‫‪18‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثانية ثانوي إعدادي‬

‫المستقيم الموازي لضلع في مثلث‬

‫تمرين تطبيقي‬
‫تمرين ‪ 19‬صفحة ‪.134‬‬
‫)كتاب المسار(‬
‫المطلوب‪:‬‬

‫المعطيات‪:‬‬
‫‪ AM = 5 ‬و ‪ AB = 8‬و ‪ BC = 9‬و )‪(MN) // (BC‬‬

‫بما أن‪ MЄ[AB] :‬و ]‪ NЄ[AC‬و )‪(MN) // (BC‬‬

‫أي‪:‬‬

‫‪MN 5‬‬
‫‪‬‬
‫‪9‬‬
‫‪8‬‬

‫ومنه‪:‬‬

‫فإن‪:‬‬

‫‪‬حساب المسافة ‪MN‬‬
‫‪MN AM‬‬
‫‪‬‬
‫‪BC AB‬‬

‫‪5  9 45‬‬
‫‪‬‬
‫‪8‬‬
‫‪8‬‬

‫‪MN ‬‬

‫‪19‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثانية ثانوي إعدادي‬

‫تقسيم قطعة إلى قطع متقايسة‬

‫نشاط تمهيدي ‪: 4‬‬
‫النشاط رقم ‪ 5‬صفحة ‪.126‬‬
‫)كتاب المسار(‬

‫في المثلث ´‪ AJJ‬لدينا ‪:‬‬
‫في‬

‫‪AI‬‬
‫‪AI' 1‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪AJ AJ' 2‬‬

‫إذن‪:‬‬

‫'‪2AI'  AJ‬‬

‫‪1‬‬
‫‪AC‬‬
‫‪3‬‬

‫‪AI‬‬
‫‪AI' 1‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫إذن‪:‬‬
‫المثلث ‪ ABC‬لدينا ‪:‬‬
‫‪AB AC 3‬‬
‫‪2‬‬
‫‪AC  AJ' J'C  2AI' J'C  AC  J'C‬‬
‫و لدينا‪:‬‬
‫‪3‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫إذن‪ J'C  AC  AC  AC :‬إذن‪AI'  J'C  AC  AC :‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬

‫وبالتالي‪:‬‬

‫‪1‬‬
‫‪AC‬‬
‫‪3‬‬

‫‪AI' ‬‬

‫‪I' J'  AI'  J'C ‬‬
‫‪20‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثانية ثانوي إعدادي‬

‫تقسيم قطعة إلى قطع متقايسة‬

‫كيف إذن أمكن تقسيم القطعة ]‪ [AC‬إلى ‪ 3‬قطع متقايسة ؟‬
‫‪ ‬ننشئ ]‪ [AB‬مخالفا لـ ]‪[AC‬‬
‫‪ ‬نقسم القطعة ]‪ [AB‬إلى ‪ 3‬قطع متقايسة ( بواسطة البركار)‬
‫‪ ‬لتكن ‪ I‬على ]‪ [AB‬بحيث ‪AI = 1‬‬

‫• ننشئ )∆) المار من ‪ I‬و الموازي لـ )‪ (BC‬يقطع ]‪ [AC‬في ’‪I‬‬
‫• لدينا إذن‬

‫‪AC‬‬
‫‪3‬‬

‫‪AI' ‬‬

‫• نقسم القطعة ]‪ [AC‬بإستعمال الوحدة ’‪AI‬‬
‫‪21‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثانية ثانوي إعدادي‬

‫تقسيم قطعة إلى قطع متقايسة‬

‫قاعـــــدة‬
‫لتقسيم قطعة ]‪ [AB‬إلى ‪ n‬قطع متقايسة نتبع الخطوات التالية‪:‬‬
‫‪‬ننشئ نصف مستقيم )∆) مار من ‪ A‬و حامله مختلفا عن )‪(AB‬‬
‫‪‬نعتبر على )∆) النقطة ‪ C‬بحيث ‪AC = n‬‬
‫‪ ‬على ]‪ [AC‬نأخذ ‪ I‬بحيث ‪AI = 1‬‬
‫‪ ‬نمثل )‪(BC‬‬
‫‪‬ننشئ المستقيم )∆) المار من ‪ I‬و الموازي ل (‪ )BC‬الذي يقطع ]‪ [AB‬في ’‪I‬‬
‫‪AC‬‬
‫‪ ‬لدينا إذن‪:‬‬
‫‪3‬‬
‫‪‬نقسم القطعة ]‪ [AB‬بإستعمال البركار و الوحدة ’‪. AI‬‬
‫‪AI' ‬‬

‫‪22‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثانية ثانوي إعدادي‬

‫مثــــــال‬

‫تقسيم قطعة إلى قطع متقايسة‬

‫)‪(n = 5‬‬

‫‪23‬‬


Slide 13

‫المستقيمات الموازية ألضالع مثلث‬
‫المادة ‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى ‪:‬‬

‫الثانية ثانوي إعدادي‬

‫‪1‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثانية ثانوي إعدادي‬

‫تذكيـــــــــــر‬

‫‪ -1‬مساحة مثلث‬
‫‪ -1‬أحسب مساحة مثلث ‪ ABC‬قائم الزاوية في ‪A‬‬
‫بحيث ‪ AC = 4‬و ‪AB = 3‬‬
‫‪ -2‬ماهي مساحة مثلث؟‬
‫مساحة مثلث =‬

‫القاعدة × اإلرتفاع‬

‫‪2‬‬
‫‪2‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثانية ثانوي إعدادي‬

‫تذكيـــــــــــر‬

‫‪ -2‬التناسبية‬
‫‪x 7‬‬
‫‪ -1‬أحسب ‪ x‬إذا علمت أن ‪‬‬
‫‪3 5‬‬
‫‪x x 1‬‬
‫‪‬‬
‫‪ -2‬أحسب ‪ x‬إذا علمت أن‬
‫‪2‬‬
‫‪3‬‬
‫‪a c‬‬
‫‪‬‬
‫‪b d‬‬

‫تعني ‪a × d = b × c‬‬

‫‪3‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثانية ثانوي إعدادي‬

‫المستقيم المار من منتصفي‬
‫ضلعين في مثلث‬

‫نشاط تمهيدي ‪: 1‬‬
‫‪ ABC‬مثلث و ’‪ B‬و ’‪ C‬على التوالي منتصفا القطعتين ]‪ [AC‬و ]‪.[AB‬‬
‫لتكن ‪ D‬مماثلة النقطة ’‪ B‬بالنسبة للنقطة ’‪C‬‬
‫‪ -1‬انشئ الشكل‪.‬‬
‫‪ -2‬بين أن )’‪(BD) // (CB‬‬
‫‪-3‬‬

‫أ‪ -‬بين أن )‪(B’C’) // (BC‬‬

‫ب‪ -‬بين أن‬

‫‪1‬‬
‫‪B C  BC‬‬
‫‪2‬‬
‫’‬

‫’‬

‫‪4‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثانية ثانوي إعدادي‬

‫المستقيم المار من منتصفي‬
‫ضلعين في مثلث‬

‫‪ -2‬الرباعي ‪ AB’BD‬متوازي األضالع‬
‫)للقطرين ]‪ [AB‬و ]‪ [DB′‬نفس المنتصف ‪(C′‬‬
‫إذن )‪(DB) // (AB′‬‬

‫•‪D‬‬

‫و حيث أن )‪(AB′) = (AC‬‬
‫فإن )‪(DB) // (CB′‬‬

‫‪5‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثانية ثانوي إعدادي‬

‫المستقيم المار من منتصفي‬
‫ضلعين في مثلث‬

‫‪ -3‬لدينا )‪ (BD) // (B’C‬و ‪BD = B’A = B’C‬‬
‫إذن ‪ BCB’D‬متوازي األضالع‬
‫أ‪ -‬وبالتالي )‪(B’D) // (BC‬‬

‫•‪D‬‬

‫أي )‪(B’C’) // (BC‬‬

‫ب‪-‬‬

‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪B’C’  B’D  BC‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪6‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثانية ثانوي إعدادي‬

‫المستقيم المار من منتصفي‬
‫ضلعين في مثلث‬

‫خاصية ‪1‬‬
‫‪ ‬المستقيم المار من منتصفي ضلعي في مثلث‬
‫يوازي الضلع الثالث‪.‬‬
‫‪ ‬طول القطعة التي تربط بين منتصفي ضلعي‬
‫مثلث يساوي نصف طول الضلع الثالث‪.‬‬

‫‪7‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثانية ثانوي إعدادي‬

‫المستقيم المار من منتصفي‬
‫ضلعين في مثلث‬

‫باستعمال الرموز‬
‫‪ ABC‬مثلث‬

‫إذا كان‬

‫’‪ B‬منتصف ]‪[AC‬‬
‫و‬
‫’‪ C‬منتصف ]‪[AB‬‬

‫فإن‬

‫)‪(B’C’) // (BC‬‬
‫و‬
‫‪1‬‬
‫‪B’C’  BC‬‬
‫‪2‬‬
‫‪8‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثانية ثانوي إعدادي‬

‫المستقيم المار من منتصفي‬
‫ضلعين في مثلث‬

‫تمارين تطبيقية‬
‫‪ ‬التمرين رقم ‪ 1‬صفحة ‪.133‬‬
‫)كتاب المسار(‬
‫‪ ‬التمرين رقم ‪ 7‬صفحة ‪.133‬‬
‫)كتاب المسار(‬

‫‪9‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثانية ثانوي إعدادي‬

‫المستقيم المار من منتصف ضلع‬
‫لمثلث و الموازي لضلع آخر‬

‫نشاط تمهيدي ‪: 2‬‬
‫النشاط رقم ‪ 2‬صفحة ‪.126‬‬
‫)كتاب المسار(‬
‫المعطيات‪:‬‬

‫؟‬

‫‪ ABC ‬مثلث‬
‫‪ C′ ‬منتصف ]‪[AB‬‬

‫‪ (∆) // (BC) ‬و )∆(‪C′Є‬‬
‫‪ (∆) ‬يقطع )‪ (AC‬في ‪K‬‬
‫‪ B′ ‬منتصف ]‪[CA‬‬
‫‪10‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثانية ثانوي إعدادي‬

‫المستقيم المار من منتصف ضلع‬
‫لمثلث و الموازي لضلع آخر‬

‫لنبين أن ‪B’ = K‬‬
‫‪‬المستقيمان )’‪ (B’C‬و )∆( يوازيان )‪(BC‬‬
‫و لهما نقطة مشتركة‬
‫إذن )’‪ (∆) = (B’C‬و منه ’‪K = B‬‬

‫‪11‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثانية ثانوي إعدادي‬

‫المستقيم المار من منتصف ضلع‬
‫لمثلث و الموازي لضلع آخر‬

‫خاصية ‪2‬‬
‫المستقيم المار من منتصف ضلع مثلث‬
‫و الموازي لضلع آخر في هذا المثلث‬
‫يمر من منتصف الضلع الثالث‪.‬‬

‫‪12‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثانية ثانوي إعدادي‬

‫المستقيم المار من منتصف ضلع‬
‫لمثلث و الموازي لضلع آخر‬

‫باستعمال الرموز‬
‫‪ ABC‬مثلث و ’‪ B‬منتصف ]‪ [AC‬و )∆( مستقيم‪.‬‬

‫إذا كان‬

‫فإن‬

‫)∆( يمر من ’‪B‬‬
‫و‬
‫)∆( يوازي )‪(BC‬‬

‫)∆( يقطع القطعة ]‪ [AB‬في منتصفها‪.‬‬

‫‪13‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثانية ثانوي إعدادي‬

‫المستقيم المار من منتصف ضلع‬
‫لمثلث و الموازي لضلع آخر‬

‫تمرين تطبيقي‬
‫تمرين ‪ 13‬صفحة ‪.134‬‬
‫)كتاب المسار(‬
‫المعطيات‪:‬‬
‫‪ B’‬منتصف ]‪[AC‬‬

‫المطلوب‪:‬‬
‫‪ K ‬منتصف ]‪[AM‬‬

‫‪ C’‬منتصف ]‪[AB‬‬
‫‪M Є (BC )‬‬
‫‪ (B’C’)‬يقطع )‪ (AM‬في ‪K‬‬
‫‪14‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثانية ثانوي إعدادي‬

‫المستقيم المار من منتصف ضلع‬
‫لمثلث و الموازي لضلع آخر‬

‫‪ ‬في المثلث ‪.ABC‬‬
‫بما أن ’‪ B‬و ’‪ C‬هما منتصفا ]‪ [AC‬و ]‪[AB‬‬
‫على التوالي فإن )‪(B’C’) // (BC‬‬

‫‪ ‬المستقيم )’‪ (B’C‬يمر من ’‪ B‬منتصف ]‪[AC‬‬
‫و يقطع ]‪ [AM‬في ‪ K‬و يوازي )‪(CM‬‬

‫في المثلث ‪ACM‬‬
‫إذن‪ K :‬منتصف ]‪[AM‬‬
‫‪15‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثانية ثانوي إعدادي‬

‫المستقيم الموازي لضلع في مثلث‬

‫نشاط تمهيدي ‪: 3‬‬
‫النشاط رقم ‪ 3‬صفحة ‪.126‬‬
‫)كتاب المسار(‬
‫‪ -1‬نحسب مساحة المثلث ‪ ABC‬بطريقتين‪:‬‬
‫‪AB  BC BH  AC‬‬
‫‪‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫إذن‪AB  BC  BH  AC :‬‬

‫و منه‪:‬‬

‫‪AB  BC‬‬
‫‪BH ‬‬
‫‪AC‬‬
‫‪16‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثانية ثانوي إعدادي‬

‫المستقيم الموازي لضلع في مثلث‬

‫‪ -2‬مساحة المثلث ‪:BCN‬‬
‫‪NN  BC BM  BC‬‬
‫‪‬‬
‫بإعتبار اإلرتفاع ]‪ [NN′‬نجد‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪BH  NC‬‬
‫‪2‬‬

‫بإعتبار اإلرتفاع )‪ (BH‬نجد‬
‫و منه نجد‪:‬‬

‫إذن‪:‬‬
‫أي‪:‬‬

‫‪(NN′ = BM) a ‬‬
‫‪a‬‬

‫‪BM  BC  BH  NC‬‬

‫‪AB  BC‬‬
‫‪ NC‬‬
‫‪AC‬‬

‫‪BM  BC ‬‬

‫‪BM  AC  BA  NC‬‬

‫وحيث أن‪NC  AC  AN :‬‬

‫و ‪BM  AB  AM‬‬

‫فإن‪AB  AC  AM  AC  AB  AC  AB  AN :‬‬

‫ومنه‪:‬‬

‫‪AM AN‬‬
‫‪‬‬
‫‪AB AC‬‬

‫و ‪AM  AC  AB  AN‬‬
‫‪17‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثانية ثانوي إعدادي‬

‫المستقيم الموازي لضلع في مثلث‬

‫خاصية ‪3‬‬
‫‪ ABC‬مثلث و ‪ M‬و ‪ N‬نقطتان من ]‪ [AB‬و ]‪ [AC‬على التوالي‬
‫إذا كان )‪(MN) // (BC‬‬
‫فإن‪:‬‬

‫‪AM AN MN‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪AB AC BC‬‬

‫‪18‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثانية ثانوي إعدادي‬

‫المستقيم الموازي لضلع في مثلث‬

‫تمرين تطبيقي‬
‫تمرين ‪ 19‬صفحة ‪.134‬‬
‫)كتاب المسار(‬
‫المطلوب‪:‬‬

‫المعطيات‪:‬‬
‫‪ AM = 5 ‬و ‪ AB = 8‬و ‪ BC = 9‬و )‪(MN) // (BC‬‬

‫بما أن‪ MЄ[AB] :‬و ]‪ NЄ[AC‬و )‪(MN) // (BC‬‬

‫أي‪:‬‬

‫‪MN 5‬‬
‫‪‬‬
‫‪9‬‬
‫‪8‬‬

‫ومنه‪:‬‬

‫فإن‪:‬‬

‫‪‬حساب المسافة ‪MN‬‬
‫‪MN AM‬‬
‫‪‬‬
‫‪BC AB‬‬

‫‪5  9 45‬‬
‫‪‬‬
‫‪8‬‬
‫‪8‬‬

‫‪MN ‬‬

‫‪19‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثانية ثانوي إعدادي‬

‫تقسيم قطعة إلى قطع متقايسة‬

‫نشاط تمهيدي ‪: 4‬‬
‫النشاط رقم ‪ 5‬صفحة ‪.126‬‬
‫)كتاب المسار(‬

‫في المثلث ´‪ AJJ‬لدينا ‪:‬‬
‫في‬

‫‪AI‬‬
‫‪AI' 1‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪AJ AJ' 2‬‬

‫إذن‪:‬‬

‫'‪2AI'  AJ‬‬

‫‪1‬‬
‫‪AC‬‬
‫‪3‬‬

‫‪AI‬‬
‫‪AI' 1‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫إذن‪:‬‬
‫المثلث ‪ ABC‬لدينا ‪:‬‬
‫‪AB AC 3‬‬
‫‪2‬‬
‫‪AC  AJ' J'C  2AI' J'C  AC  J'C‬‬
‫و لدينا‪:‬‬
‫‪3‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫إذن‪ J'C  AC  AC  AC :‬إذن‪AI'  J'C  AC  AC :‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬

‫وبالتالي‪:‬‬

‫‪1‬‬
‫‪AC‬‬
‫‪3‬‬

‫‪AI' ‬‬

‫‪I' J'  AI'  J'C ‬‬
‫‪20‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثانية ثانوي إعدادي‬

‫تقسيم قطعة إلى قطع متقايسة‬

‫كيف إذن أمكن تقسيم القطعة ]‪ [AC‬إلى ‪ 3‬قطع متقايسة ؟‬
‫‪ ‬ننشئ ]‪ [AB‬مخالفا لـ ]‪[AC‬‬
‫‪ ‬نقسم القطعة ]‪ [AB‬إلى ‪ 3‬قطع متقايسة ( بواسطة البركار)‬
‫‪ ‬لتكن ‪ I‬على ]‪ [AB‬بحيث ‪AI = 1‬‬

‫• ننشئ )∆) المار من ‪ I‬و الموازي لـ )‪ (BC‬يقطع ]‪ [AC‬في ’‪I‬‬
‫• لدينا إذن‬

‫‪AC‬‬
‫‪3‬‬

‫‪AI' ‬‬

‫• نقسم القطعة ]‪ [AC‬بإستعمال الوحدة ’‪AI‬‬
‫‪21‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثانية ثانوي إعدادي‬

‫تقسيم قطعة إلى قطع متقايسة‬

‫قاعـــــدة‬
‫لتقسيم قطعة ]‪ [AB‬إلى ‪ n‬قطع متقايسة نتبع الخطوات التالية‪:‬‬
‫‪‬ننشئ نصف مستقيم )∆) مار من ‪ A‬و حامله مختلفا عن )‪(AB‬‬
‫‪‬نعتبر على )∆) النقطة ‪ C‬بحيث ‪AC = n‬‬
‫‪ ‬على ]‪ [AC‬نأخذ ‪ I‬بحيث ‪AI = 1‬‬
‫‪ ‬نمثل )‪(BC‬‬
‫‪‬ننشئ المستقيم )∆) المار من ‪ I‬و الموازي ل (‪ )BC‬الذي يقطع ]‪ [AB‬في ’‪I‬‬
‫‪AC‬‬
‫‪ ‬لدينا إذن‪:‬‬
‫‪3‬‬
‫‪‬نقسم القطعة ]‪ [AB‬بإستعمال البركار و الوحدة ’‪. AI‬‬
‫‪AI' ‬‬

‫‪22‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثانية ثانوي إعدادي‬

‫مثــــــال‬

‫تقسيم قطعة إلى قطع متقايسة‬

‫)‪(n = 5‬‬

‫‪23‬‬


Slide 14

‫المستقيمات الموازية ألضالع مثلث‬
‫المادة ‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى ‪:‬‬

‫الثانية ثانوي إعدادي‬

‫‪1‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثانية ثانوي إعدادي‬

‫تذكيـــــــــــر‬

‫‪ -1‬مساحة مثلث‬
‫‪ -1‬أحسب مساحة مثلث ‪ ABC‬قائم الزاوية في ‪A‬‬
‫بحيث ‪ AC = 4‬و ‪AB = 3‬‬
‫‪ -2‬ماهي مساحة مثلث؟‬
‫مساحة مثلث =‬

‫القاعدة × اإلرتفاع‬

‫‪2‬‬
‫‪2‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثانية ثانوي إعدادي‬

‫تذكيـــــــــــر‬

‫‪ -2‬التناسبية‬
‫‪x 7‬‬
‫‪ -1‬أحسب ‪ x‬إذا علمت أن ‪‬‬
‫‪3 5‬‬
‫‪x x 1‬‬
‫‪‬‬
‫‪ -2‬أحسب ‪ x‬إذا علمت أن‬
‫‪2‬‬
‫‪3‬‬
‫‪a c‬‬
‫‪‬‬
‫‪b d‬‬

‫تعني ‪a × d = b × c‬‬

‫‪3‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثانية ثانوي إعدادي‬

‫المستقيم المار من منتصفي‬
‫ضلعين في مثلث‬

‫نشاط تمهيدي ‪: 1‬‬
‫‪ ABC‬مثلث و ’‪ B‬و ’‪ C‬على التوالي منتصفا القطعتين ]‪ [AC‬و ]‪.[AB‬‬
‫لتكن ‪ D‬مماثلة النقطة ’‪ B‬بالنسبة للنقطة ’‪C‬‬
‫‪ -1‬انشئ الشكل‪.‬‬
‫‪ -2‬بين أن )’‪(BD) // (CB‬‬
‫‪-3‬‬

‫أ‪ -‬بين أن )‪(B’C’) // (BC‬‬

‫ب‪ -‬بين أن‬

‫‪1‬‬
‫‪B C  BC‬‬
‫‪2‬‬
‫’‬

‫’‬

‫‪4‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثانية ثانوي إعدادي‬

‫المستقيم المار من منتصفي‬
‫ضلعين في مثلث‬

‫‪ -2‬الرباعي ‪ AB’BD‬متوازي األضالع‬
‫)للقطرين ]‪ [AB‬و ]‪ [DB′‬نفس المنتصف ‪(C′‬‬
‫إذن )‪(DB) // (AB′‬‬

‫•‪D‬‬

‫و حيث أن )‪(AB′) = (AC‬‬
‫فإن )‪(DB) // (CB′‬‬

‫‪5‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثانية ثانوي إعدادي‬

‫المستقيم المار من منتصفي‬
‫ضلعين في مثلث‬

‫‪ -3‬لدينا )‪ (BD) // (B’C‬و ‪BD = B’A = B’C‬‬
‫إذن ‪ BCB’D‬متوازي األضالع‬
‫أ‪ -‬وبالتالي )‪(B’D) // (BC‬‬

‫•‪D‬‬

‫أي )‪(B’C’) // (BC‬‬

‫ب‪-‬‬

‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪B’C’  B’D  BC‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪6‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثانية ثانوي إعدادي‬

‫المستقيم المار من منتصفي‬
‫ضلعين في مثلث‬

‫خاصية ‪1‬‬
‫‪ ‬المستقيم المار من منتصفي ضلعي في مثلث‬
‫يوازي الضلع الثالث‪.‬‬
‫‪ ‬طول القطعة التي تربط بين منتصفي ضلعي‬
‫مثلث يساوي نصف طول الضلع الثالث‪.‬‬

‫‪7‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثانية ثانوي إعدادي‬

‫المستقيم المار من منتصفي‬
‫ضلعين في مثلث‬

‫باستعمال الرموز‬
‫‪ ABC‬مثلث‬

‫إذا كان‬

‫’‪ B‬منتصف ]‪[AC‬‬
‫و‬
‫’‪ C‬منتصف ]‪[AB‬‬

‫فإن‬

‫)‪(B’C’) // (BC‬‬
‫و‬
‫‪1‬‬
‫‪B’C’  BC‬‬
‫‪2‬‬
‫‪8‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثانية ثانوي إعدادي‬

‫المستقيم المار من منتصفي‬
‫ضلعين في مثلث‬

‫تمارين تطبيقية‬
‫‪ ‬التمرين رقم ‪ 1‬صفحة ‪.133‬‬
‫)كتاب المسار(‬
‫‪ ‬التمرين رقم ‪ 7‬صفحة ‪.133‬‬
‫)كتاب المسار(‬

‫‪9‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثانية ثانوي إعدادي‬

‫المستقيم المار من منتصف ضلع‬
‫لمثلث و الموازي لضلع آخر‬

‫نشاط تمهيدي ‪: 2‬‬
‫النشاط رقم ‪ 2‬صفحة ‪.126‬‬
‫)كتاب المسار(‬
‫المعطيات‪:‬‬

‫؟‬

‫‪ ABC ‬مثلث‬
‫‪ C′ ‬منتصف ]‪[AB‬‬

‫‪ (∆) // (BC) ‬و )∆(‪C′Є‬‬
‫‪ (∆) ‬يقطع )‪ (AC‬في ‪K‬‬
‫‪ B′ ‬منتصف ]‪[CA‬‬
‫‪10‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثانية ثانوي إعدادي‬

‫المستقيم المار من منتصف ضلع‬
‫لمثلث و الموازي لضلع آخر‬

‫لنبين أن ‪B’ = K‬‬
‫‪‬المستقيمان )’‪ (B’C‬و )∆( يوازيان )‪(BC‬‬
‫و لهما نقطة مشتركة‬
‫إذن )’‪ (∆) = (B’C‬و منه ’‪K = B‬‬

‫‪11‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثانية ثانوي إعدادي‬

‫المستقيم المار من منتصف ضلع‬
‫لمثلث و الموازي لضلع آخر‬

‫خاصية ‪2‬‬
‫المستقيم المار من منتصف ضلع مثلث‬
‫و الموازي لضلع آخر في هذا المثلث‬
‫يمر من منتصف الضلع الثالث‪.‬‬

‫‪12‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثانية ثانوي إعدادي‬

‫المستقيم المار من منتصف ضلع‬
‫لمثلث و الموازي لضلع آخر‬

‫باستعمال الرموز‬
‫‪ ABC‬مثلث و ’‪ B‬منتصف ]‪ [AC‬و )∆( مستقيم‪.‬‬

‫إذا كان‬

‫فإن‬

‫)∆( يمر من ’‪B‬‬
‫و‬
‫)∆( يوازي )‪(BC‬‬

‫)∆( يقطع القطعة ]‪ [AB‬في منتصفها‪.‬‬

‫‪13‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثانية ثانوي إعدادي‬

‫المستقيم المار من منتصف ضلع‬
‫لمثلث و الموازي لضلع آخر‬

‫تمرين تطبيقي‬
‫تمرين ‪ 13‬صفحة ‪.134‬‬
‫)كتاب المسار(‬
‫المعطيات‪:‬‬
‫‪ B’‬منتصف ]‪[AC‬‬

‫المطلوب‪:‬‬
‫‪ K ‬منتصف ]‪[AM‬‬

‫‪ C’‬منتصف ]‪[AB‬‬
‫‪M Є (BC )‬‬
‫‪ (B’C’)‬يقطع )‪ (AM‬في ‪K‬‬
‫‪14‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثانية ثانوي إعدادي‬

‫المستقيم المار من منتصف ضلع‬
‫لمثلث و الموازي لضلع آخر‬

‫‪ ‬في المثلث ‪.ABC‬‬
‫بما أن ’‪ B‬و ’‪ C‬هما منتصفا ]‪ [AC‬و ]‪[AB‬‬
‫على التوالي فإن )‪(B’C’) // (BC‬‬

‫‪ ‬المستقيم )’‪ (B’C‬يمر من ’‪ B‬منتصف ]‪[AC‬‬
‫و يقطع ]‪ [AM‬في ‪ K‬و يوازي )‪(CM‬‬

‫في المثلث ‪ACM‬‬
‫إذن‪ K :‬منتصف ]‪[AM‬‬
‫‪15‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثانية ثانوي إعدادي‬

‫المستقيم الموازي لضلع في مثلث‬

‫نشاط تمهيدي ‪: 3‬‬
‫النشاط رقم ‪ 3‬صفحة ‪.126‬‬
‫)كتاب المسار(‬
‫‪ -1‬نحسب مساحة المثلث ‪ ABC‬بطريقتين‪:‬‬
‫‪AB  BC BH  AC‬‬
‫‪‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫إذن‪AB  BC  BH  AC :‬‬

‫و منه‪:‬‬

‫‪AB  BC‬‬
‫‪BH ‬‬
‫‪AC‬‬
‫‪16‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثانية ثانوي إعدادي‬

‫المستقيم الموازي لضلع في مثلث‬

‫‪ -2‬مساحة المثلث ‪:BCN‬‬
‫‪NN  BC BM  BC‬‬
‫‪‬‬
‫بإعتبار اإلرتفاع ]‪ [NN′‬نجد‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪BH  NC‬‬
‫‪2‬‬

‫بإعتبار اإلرتفاع )‪ (BH‬نجد‬
‫و منه نجد‪:‬‬

‫إذن‪:‬‬
‫أي‪:‬‬

‫‪(NN′ = BM) a ‬‬
‫‪a‬‬

‫‪BM  BC  BH  NC‬‬

‫‪AB  BC‬‬
‫‪ NC‬‬
‫‪AC‬‬

‫‪BM  BC ‬‬

‫‪BM  AC  BA  NC‬‬

‫وحيث أن‪NC  AC  AN :‬‬

‫و ‪BM  AB  AM‬‬

‫فإن‪AB  AC  AM  AC  AB  AC  AB  AN :‬‬

‫ومنه‪:‬‬

‫‪AM AN‬‬
‫‪‬‬
‫‪AB AC‬‬

‫و ‪AM  AC  AB  AN‬‬
‫‪17‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثانية ثانوي إعدادي‬

‫المستقيم الموازي لضلع في مثلث‬

‫خاصية ‪3‬‬
‫‪ ABC‬مثلث و ‪ M‬و ‪ N‬نقطتان من ]‪ [AB‬و ]‪ [AC‬على التوالي‬
‫إذا كان )‪(MN) // (BC‬‬
‫فإن‪:‬‬

‫‪AM AN MN‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪AB AC BC‬‬

‫‪18‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثانية ثانوي إعدادي‬

‫المستقيم الموازي لضلع في مثلث‬

‫تمرين تطبيقي‬
‫تمرين ‪ 19‬صفحة ‪.134‬‬
‫)كتاب المسار(‬
‫المطلوب‪:‬‬

‫المعطيات‪:‬‬
‫‪ AM = 5 ‬و ‪ AB = 8‬و ‪ BC = 9‬و )‪(MN) // (BC‬‬

‫بما أن‪ MЄ[AB] :‬و ]‪ NЄ[AC‬و )‪(MN) // (BC‬‬

‫أي‪:‬‬

‫‪MN 5‬‬
‫‪‬‬
‫‪9‬‬
‫‪8‬‬

‫ومنه‪:‬‬

‫فإن‪:‬‬

‫‪‬حساب المسافة ‪MN‬‬
‫‪MN AM‬‬
‫‪‬‬
‫‪BC AB‬‬

‫‪5  9 45‬‬
‫‪‬‬
‫‪8‬‬
‫‪8‬‬

‫‪MN ‬‬

‫‪19‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثانية ثانوي إعدادي‬

‫تقسيم قطعة إلى قطع متقايسة‬

‫نشاط تمهيدي ‪: 4‬‬
‫النشاط رقم ‪ 5‬صفحة ‪.126‬‬
‫)كتاب المسار(‬

‫في المثلث ´‪ AJJ‬لدينا ‪:‬‬
‫في‬

‫‪AI‬‬
‫‪AI' 1‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪AJ AJ' 2‬‬

‫إذن‪:‬‬

‫'‪2AI'  AJ‬‬

‫‪1‬‬
‫‪AC‬‬
‫‪3‬‬

‫‪AI‬‬
‫‪AI' 1‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫إذن‪:‬‬
‫المثلث ‪ ABC‬لدينا ‪:‬‬
‫‪AB AC 3‬‬
‫‪2‬‬
‫‪AC  AJ' J'C  2AI' J'C  AC  J'C‬‬
‫و لدينا‪:‬‬
‫‪3‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫إذن‪ J'C  AC  AC  AC :‬إذن‪AI'  J'C  AC  AC :‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬

‫وبالتالي‪:‬‬

‫‪1‬‬
‫‪AC‬‬
‫‪3‬‬

‫‪AI' ‬‬

‫‪I' J'  AI'  J'C ‬‬
‫‪20‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثانية ثانوي إعدادي‬

‫تقسيم قطعة إلى قطع متقايسة‬

‫كيف إذن أمكن تقسيم القطعة ]‪ [AC‬إلى ‪ 3‬قطع متقايسة ؟‬
‫‪ ‬ننشئ ]‪ [AB‬مخالفا لـ ]‪[AC‬‬
‫‪ ‬نقسم القطعة ]‪ [AB‬إلى ‪ 3‬قطع متقايسة ( بواسطة البركار)‬
‫‪ ‬لتكن ‪ I‬على ]‪ [AB‬بحيث ‪AI = 1‬‬

‫• ننشئ )∆) المار من ‪ I‬و الموازي لـ )‪ (BC‬يقطع ]‪ [AC‬في ’‪I‬‬
‫• لدينا إذن‬

‫‪AC‬‬
‫‪3‬‬

‫‪AI' ‬‬

‫• نقسم القطعة ]‪ [AC‬بإستعمال الوحدة ’‪AI‬‬
‫‪21‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثانية ثانوي إعدادي‬

‫تقسيم قطعة إلى قطع متقايسة‬

‫قاعـــــدة‬
‫لتقسيم قطعة ]‪ [AB‬إلى ‪ n‬قطع متقايسة نتبع الخطوات التالية‪:‬‬
‫‪‬ننشئ نصف مستقيم )∆) مار من ‪ A‬و حامله مختلفا عن )‪(AB‬‬
‫‪‬نعتبر على )∆) النقطة ‪ C‬بحيث ‪AC = n‬‬
‫‪ ‬على ]‪ [AC‬نأخذ ‪ I‬بحيث ‪AI = 1‬‬
‫‪ ‬نمثل )‪(BC‬‬
‫‪‬ننشئ المستقيم )∆) المار من ‪ I‬و الموازي ل (‪ )BC‬الذي يقطع ]‪ [AB‬في ’‪I‬‬
‫‪AC‬‬
‫‪ ‬لدينا إذن‪:‬‬
‫‪3‬‬
‫‪‬نقسم القطعة ]‪ [AB‬بإستعمال البركار و الوحدة ’‪. AI‬‬
‫‪AI' ‬‬

‫‪22‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثانية ثانوي إعدادي‬

‫مثــــــال‬

‫تقسيم قطعة إلى قطع متقايسة‬

‫)‪(n = 5‬‬

‫‪23‬‬


Slide 15

‫المستقيمات الموازية ألضالع مثلث‬
‫المادة ‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى ‪:‬‬

‫الثانية ثانوي إعدادي‬

‫‪1‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثانية ثانوي إعدادي‬

‫تذكيـــــــــــر‬

‫‪ -1‬مساحة مثلث‬
‫‪ -1‬أحسب مساحة مثلث ‪ ABC‬قائم الزاوية في ‪A‬‬
‫بحيث ‪ AC = 4‬و ‪AB = 3‬‬
‫‪ -2‬ماهي مساحة مثلث؟‬
‫مساحة مثلث =‬

‫القاعدة × اإلرتفاع‬

‫‪2‬‬
‫‪2‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثانية ثانوي إعدادي‬

‫تذكيـــــــــــر‬

‫‪ -2‬التناسبية‬
‫‪x 7‬‬
‫‪ -1‬أحسب ‪ x‬إذا علمت أن ‪‬‬
‫‪3 5‬‬
‫‪x x 1‬‬
‫‪‬‬
‫‪ -2‬أحسب ‪ x‬إذا علمت أن‬
‫‪2‬‬
‫‪3‬‬
‫‪a c‬‬
‫‪‬‬
‫‪b d‬‬

‫تعني ‪a × d = b × c‬‬

‫‪3‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثانية ثانوي إعدادي‬

‫المستقيم المار من منتصفي‬
‫ضلعين في مثلث‬

‫نشاط تمهيدي ‪: 1‬‬
‫‪ ABC‬مثلث و ’‪ B‬و ’‪ C‬على التوالي منتصفا القطعتين ]‪ [AC‬و ]‪.[AB‬‬
‫لتكن ‪ D‬مماثلة النقطة ’‪ B‬بالنسبة للنقطة ’‪C‬‬
‫‪ -1‬انشئ الشكل‪.‬‬
‫‪ -2‬بين أن )’‪(BD) // (CB‬‬
‫‪-3‬‬

‫أ‪ -‬بين أن )‪(B’C’) // (BC‬‬

‫ب‪ -‬بين أن‬

‫‪1‬‬
‫‪B C  BC‬‬
‫‪2‬‬
‫’‬

‫’‬

‫‪4‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثانية ثانوي إعدادي‬

‫المستقيم المار من منتصفي‬
‫ضلعين في مثلث‬

‫‪ -2‬الرباعي ‪ AB’BD‬متوازي األضالع‬
‫)للقطرين ]‪ [AB‬و ]‪ [DB′‬نفس المنتصف ‪(C′‬‬
‫إذن )‪(DB) // (AB′‬‬

‫•‪D‬‬

‫و حيث أن )‪(AB′) = (AC‬‬
‫فإن )‪(DB) // (CB′‬‬

‫‪5‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثانية ثانوي إعدادي‬

‫المستقيم المار من منتصفي‬
‫ضلعين في مثلث‬

‫‪ -3‬لدينا )‪ (BD) // (B’C‬و ‪BD = B’A = B’C‬‬
‫إذن ‪ BCB’D‬متوازي األضالع‬
‫أ‪ -‬وبالتالي )‪(B’D) // (BC‬‬

‫•‪D‬‬

‫أي )‪(B’C’) // (BC‬‬

‫ب‪-‬‬

‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪B’C’  B’D  BC‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪6‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثانية ثانوي إعدادي‬

‫المستقيم المار من منتصفي‬
‫ضلعين في مثلث‬

‫خاصية ‪1‬‬
‫‪ ‬المستقيم المار من منتصفي ضلعي في مثلث‬
‫يوازي الضلع الثالث‪.‬‬
‫‪ ‬طول القطعة التي تربط بين منتصفي ضلعي‬
‫مثلث يساوي نصف طول الضلع الثالث‪.‬‬

‫‪7‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثانية ثانوي إعدادي‬

‫المستقيم المار من منتصفي‬
‫ضلعين في مثلث‬

‫باستعمال الرموز‬
‫‪ ABC‬مثلث‬

‫إذا كان‬

‫’‪ B‬منتصف ]‪[AC‬‬
‫و‬
‫’‪ C‬منتصف ]‪[AB‬‬

‫فإن‬

‫)‪(B’C’) // (BC‬‬
‫و‬
‫‪1‬‬
‫‪B’C’  BC‬‬
‫‪2‬‬
‫‪8‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثانية ثانوي إعدادي‬

‫المستقيم المار من منتصفي‬
‫ضلعين في مثلث‬

‫تمارين تطبيقية‬
‫‪ ‬التمرين رقم ‪ 1‬صفحة ‪.133‬‬
‫)كتاب المسار(‬
‫‪ ‬التمرين رقم ‪ 7‬صفحة ‪.133‬‬
‫)كتاب المسار(‬

‫‪9‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثانية ثانوي إعدادي‬

‫المستقيم المار من منتصف ضلع‬
‫لمثلث و الموازي لضلع آخر‬

‫نشاط تمهيدي ‪: 2‬‬
‫النشاط رقم ‪ 2‬صفحة ‪.126‬‬
‫)كتاب المسار(‬
‫المعطيات‪:‬‬

‫؟‬

‫‪ ABC ‬مثلث‬
‫‪ C′ ‬منتصف ]‪[AB‬‬

‫‪ (∆) // (BC) ‬و )∆(‪C′Є‬‬
‫‪ (∆) ‬يقطع )‪ (AC‬في ‪K‬‬
‫‪ B′ ‬منتصف ]‪[CA‬‬
‫‪10‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثانية ثانوي إعدادي‬

‫المستقيم المار من منتصف ضلع‬
‫لمثلث و الموازي لضلع آخر‬

‫لنبين أن ‪B’ = K‬‬
‫‪‬المستقيمان )’‪ (B’C‬و )∆( يوازيان )‪(BC‬‬
‫و لهما نقطة مشتركة‬
‫إذن )’‪ (∆) = (B’C‬و منه ’‪K = B‬‬

‫‪11‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثانية ثانوي إعدادي‬

‫المستقيم المار من منتصف ضلع‬
‫لمثلث و الموازي لضلع آخر‬

‫خاصية ‪2‬‬
‫المستقيم المار من منتصف ضلع مثلث‬
‫و الموازي لضلع آخر في هذا المثلث‬
‫يمر من منتصف الضلع الثالث‪.‬‬

‫‪12‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثانية ثانوي إعدادي‬

‫المستقيم المار من منتصف ضلع‬
‫لمثلث و الموازي لضلع آخر‬

‫باستعمال الرموز‬
‫‪ ABC‬مثلث و ’‪ B‬منتصف ]‪ [AC‬و )∆( مستقيم‪.‬‬

‫إذا كان‬

‫فإن‬

‫)∆( يمر من ’‪B‬‬
‫و‬
‫)∆( يوازي )‪(BC‬‬

‫)∆( يقطع القطعة ]‪ [AB‬في منتصفها‪.‬‬

‫‪13‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثانية ثانوي إعدادي‬

‫المستقيم المار من منتصف ضلع‬
‫لمثلث و الموازي لضلع آخر‬

‫تمرين تطبيقي‬
‫تمرين ‪ 13‬صفحة ‪.134‬‬
‫)كتاب المسار(‬
‫المعطيات‪:‬‬
‫‪ B’‬منتصف ]‪[AC‬‬

‫المطلوب‪:‬‬
‫‪ K ‬منتصف ]‪[AM‬‬

‫‪ C’‬منتصف ]‪[AB‬‬
‫‪M Є (BC )‬‬
‫‪ (B’C’)‬يقطع )‪ (AM‬في ‪K‬‬
‫‪14‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثانية ثانوي إعدادي‬

‫المستقيم المار من منتصف ضلع‬
‫لمثلث و الموازي لضلع آخر‬

‫‪ ‬في المثلث ‪.ABC‬‬
‫بما أن ’‪ B‬و ’‪ C‬هما منتصفا ]‪ [AC‬و ]‪[AB‬‬
‫على التوالي فإن )‪(B’C’) // (BC‬‬

‫‪ ‬المستقيم )’‪ (B’C‬يمر من ’‪ B‬منتصف ]‪[AC‬‬
‫و يقطع ]‪ [AM‬في ‪ K‬و يوازي )‪(CM‬‬

‫في المثلث ‪ACM‬‬
‫إذن‪ K :‬منتصف ]‪[AM‬‬
‫‪15‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثانية ثانوي إعدادي‬

‫المستقيم الموازي لضلع في مثلث‬

‫نشاط تمهيدي ‪: 3‬‬
‫النشاط رقم ‪ 3‬صفحة ‪.126‬‬
‫)كتاب المسار(‬
‫‪ -1‬نحسب مساحة المثلث ‪ ABC‬بطريقتين‪:‬‬
‫‪AB  BC BH  AC‬‬
‫‪‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫إذن‪AB  BC  BH  AC :‬‬

‫و منه‪:‬‬

‫‪AB  BC‬‬
‫‪BH ‬‬
‫‪AC‬‬
‫‪16‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثانية ثانوي إعدادي‬

‫المستقيم الموازي لضلع في مثلث‬

‫‪ -2‬مساحة المثلث ‪:BCN‬‬
‫‪NN  BC BM  BC‬‬
‫‪‬‬
‫بإعتبار اإلرتفاع ]‪ [NN′‬نجد‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪BH  NC‬‬
‫‪2‬‬

‫بإعتبار اإلرتفاع )‪ (BH‬نجد‬
‫و منه نجد‪:‬‬

‫إذن‪:‬‬
‫أي‪:‬‬

‫‪(NN′ = BM) a ‬‬
‫‪a‬‬

‫‪BM  BC  BH  NC‬‬

‫‪AB  BC‬‬
‫‪ NC‬‬
‫‪AC‬‬

‫‪BM  BC ‬‬

‫‪BM  AC  BA  NC‬‬

‫وحيث أن‪NC  AC  AN :‬‬

‫و ‪BM  AB  AM‬‬

‫فإن‪AB  AC  AM  AC  AB  AC  AB  AN :‬‬

‫ومنه‪:‬‬

‫‪AM AN‬‬
‫‪‬‬
‫‪AB AC‬‬

‫و ‪AM  AC  AB  AN‬‬
‫‪17‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثانية ثانوي إعدادي‬

‫المستقيم الموازي لضلع في مثلث‬

‫خاصية ‪3‬‬
‫‪ ABC‬مثلث و ‪ M‬و ‪ N‬نقطتان من ]‪ [AB‬و ]‪ [AC‬على التوالي‬
‫إذا كان )‪(MN) // (BC‬‬
‫فإن‪:‬‬

‫‪AM AN MN‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪AB AC BC‬‬

‫‪18‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثانية ثانوي إعدادي‬

‫المستقيم الموازي لضلع في مثلث‬

‫تمرين تطبيقي‬
‫تمرين ‪ 19‬صفحة ‪.134‬‬
‫)كتاب المسار(‬
‫المطلوب‪:‬‬

‫المعطيات‪:‬‬
‫‪ AM = 5 ‬و ‪ AB = 8‬و ‪ BC = 9‬و )‪(MN) // (BC‬‬

‫بما أن‪ MЄ[AB] :‬و ]‪ NЄ[AC‬و )‪(MN) // (BC‬‬

‫أي‪:‬‬

‫‪MN 5‬‬
‫‪‬‬
‫‪9‬‬
‫‪8‬‬

‫ومنه‪:‬‬

‫فإن‪:‬‬

‫‪‬حساب المسافة ‪MN‬‬
‫‪MN AM‬‬
‫‪‬‬
‫‪BC AB‬‬

‫‪5  9 45‬‬
‫‪‬‬
‫‪8‬‬
‫‪8‬‬

‫‪MN ‬‬

‫‪19‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثانية ثانوي إعدادي‬

‫تقسيم قطعة إلى قطع متقايسة‬

‫نشاط تمهيدي ‪: 4‬‬
‫النشاط رقم ‪ 5‬صفحة ‪.126‬‬
‫)كتاب المسار(‬

‫في المثلث ´‪ AJJ‬لدينا ‪:‬‬
‫في‬

‫‪AI‬‬
‫‪AI' 1‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪AJ AJ' 2‬‬

‫إذن‪:‬‬

‫'‪2AI'  AJ‬‬

‫‪1‬‬
‫‪AC‬‬
‫‪3‬‬

‫‪AI‬‬
‫‪AI' 1‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫إذن‪:‬‬
‫المثلث ‪ ABC‬لدينا ‪:‬‬
‫‪AB AC 3‬‬
‫‪2‬‬
‫‪AC  AJ' J'C  2AI' J'C  AC  J'C‬‬
‫و لدينا‪:‬‬
‫‪3‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫إذن‪ J'C  AC  AC  AC :‬إذن‪AI'  J'C  AC  AC :‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬

‫وبالتالي‪:‬‬

‫‪1‬‬
‫‪AC‬‬
‫‪3‬‬

‫‪AI' ‬‬

‫‪I' J'  AI'  J'C ‬‬
‫‪20‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثانية ثانوي إعدادي‬

‫تقسيم قطعة إلى قطع متقايسة‬

‫كيف إذن أمكن تقسيم القطعة ]‪ [AC‬إلى ‪ 3‬قطع متقايسة ؟‬
‫‪ ‬ننشئ ]‪ [AB‬مخالفا لـ ]‪[AC‬‬
‫‪ ‬نقسم القطعة ]‪ [AB‬إلى ‪ 3‬قطع متقايسة ( بواسطة البركار)‬
‫‪ ‬لتكن ‪ I‬على ]‪ [AB‬بحيث ‪AI = 1‬‬

‫• ننشئ )∆) المار من ‪ I‬و الموازي لـ )‪ (BC‬يقطع ]‪ [AC‬في ’‪I‬‬
‫• لدينا إذن‬

‫‪AC‬‬
‫‪3‬‬

‫‪AI' ‬‬

‫• نقسم القطعة ]‪ [AC‬بإستعمال الوحدة ’‪AI‬‬
‫‪21‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثانية ثانوي إعدادي‬

‫تقسيم قطعة إلى قطع متقايسة‬

‫قاعـــــدة‬
‫لتقسيم قطعة ]‪ [AB‬إلى ‪ n‬قطع متقايسة نتبع الخطوات التالية‪:‬‬
‫‪‬ننشئ نصف مستقيم )∆) مار من ‪ A‬و حامله مختلفا عن )‪(AB‬‬
‫‪‬نعتبر على )∆) النقطة ‪ C‬بحيث ‪AC = n‬‬
‫‪ ‬على ]‪ [AC‬نأخذ ‪ I‬بحيث ‪AI = 1‬‬
‫‪ ‬نمثل )‪(BC‬‬
‫‪‬ننشئ المستقيم )∆) المار من ‪ I‬و الموازي ل (‪ )BC‬الذي يقطع ]‪ [AB‬في ’‪I‬‬
‫‪AC‬‬
‫‪ ‬لدينا إذن‪:‬‬
‫‪3‬‬
‫‪‬نقسم القطعة ]‪ [AB‬بإستعمال البركار و الوحدة ’‪. AI‬‬
‫‪AI' ‬‬

‫‪22‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثانية ثانوي إعدادي‬

‫مثــــــال‬

‫تقسيم قطعة إلى قطع متقايسة‬

‫)‪(n = 5‬‬

‫‪23‬‬


Slide 16

‫المستقيمات الموازية ألضالع مثلث‬
‫المادة ‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى ‪:‬‬

‫الثانية ثانوي إعدادي‬

‫‪1‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثانية ثانوي إعدادي‬

‫تذكيـــــــــــر‬

‫‪ -1‬مساحة مثلث‬
‫‪ -1‬أحسب مساحة مثلث ‪ ABC‬قائم الزاوية في ‪A‬‬
‫بحيث ‪ AC = 4‬و ‪AB = 3‬‬
‫‪ -2‬ماهي مساحة مثلث؟‬
‫مساحة مثلث =‬

‫القاعدة × اإلرتفاع‬

‫‪2‬‬
‫‪2‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثانية ثانوي إعدادي‬

‫تذكيـــــــــــر‬

‫‪ -2‬التناسبية‬
‫‪x 7‬‬
‫‪ -1‬أحسب ‪ x‬إذا علمت أن ‪‬‬
‫‪3 5‬‬
‫‪x x 1‬‬
‫‪‬‬
‫‪ -2‬أحسب ‪ x‬إذا علمت أن‬
‫‪2‬‬
‫‪3‬‬
‫‪a c‬‬
‫‪‬‬
‫‪b d‬‬

‫تعني ‪a × d = b × c‬‬

‫‪3‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثانية ثانوي إعدادي‬

‫المستقيم المار من منتصفي‬
‫ضلعين في مثلث‬

‫نشاط تمهيدي ‪: 1‬‬
‫‪ ABC‬مثلث و ’‪ B‬و ’‪ C‬على التوالي منتصفا القطعتين ]‪ [AC‬و ]‪.[AB‬‬
‫لتكن ‪ D‬مماثلة النقطة ’‪ B‬بالنسبة للنقطة ’‪C‬‬
‫‪ -1‬انشئ الشكل‪.‬‬
‫‪ -2‬بين أن )’‪(BD) // (CB‬‬
‫‪-3‬‬

‫أ‪ -‬بين أن )‪(B’C’) // (BC‬‬

‫ب‪ -‬بين أن‬

‫‪1‬‬
‫‪B C  BC‬‬
‫‪2‬‬
‫’‬

‫’‬

‫‪4‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثانية ثانوي إعدادي‬

‫المستقيم المار من منتصفي‬
‫ضلعين في مثلث‬

‫‪ -2‬الرباعي ‪ AB’BD‬متوازي األضالع‬
‫)للقطرين ]‪ [AB‬و ]‪ [DB′‬نفس المنتصف ‪(C′‬‬
‫إذن )‪(DB) // (AB′‬‬

‫•‪D‬‬

‫و حيث أن )‪(AB′) = (AC‬‬
‫فإن )‪(DB) // (CB′‬‬

‫‪5‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثانية ثانوي إعدادي‬

‫المستقيم المار من منتصفي‬
‫ضلعين في مثلث‬

‫‪ -3‬لدينا )‪ (BD) // (B’C‬و ‪BD = B’A = B’C‬‬
‫إذن ‪ BCB’D‬متوازي األضالع‬
‫أ‪ -‬وبالتالي )‪(B’D) // (BC‬‬

‫•‪D‬‬

‫أي )‪(B’C’) // (BC‬‬

‫ب‪-‬‬

‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪B’C’  B’D  BC‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪6‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثانية ثانوي إعدادي‬

‫المستقيم المار من منتصفي‬
‫ضلعين في مثلث‬

‫خاصية ‪1‬‬
‫‪ ‬المستقيم المار من منتصفي ضلعي في مثلث‬
‫يوازي الضلع الثالث‪.‬‬
‫‪ ‬طول القطعة التي تربط بين منتصفي ضلعي‬
‫مثلث يساوي نصف طول الضلع الثالث‪.‬‬

‫‪7‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثانية ثانوي إعدادي‬

‫المستقيم المار من منتصفي‬
‫ضلعين في مثلث‬

‫باستعمال الرموز‬
‫‪ ABC‬مثلث‬

‫إذا كان‬

‫’‪ B‬منتصف ]‪[AC‬‬
‫و‬
‫’‪ C‬منتصف ]‪[AB‬‬

‫فإن‬

‫)‪(B’C’) // (BC‬‬
‫و‬
‫‪1‬‬
‫‪B’C’  BC‬‬
‫‪2‬‬
‫‪8‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثانية ثانوي إعدادي‬

‫المستقيم المار من منتصفي‬
‫ضلعين في مثلث‬

‫تمارين تطبيقية‬
‫‪ ‬التمرين رقم ‪ 1‬صفحة ‪.133‬‬
‫)كتاب المسار(‬
‫‪ ‬التمرين رقم ‪ 7‬صفحة ‪.133‬‬
‫)كتاب المسار(‬

‫‪9‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثانية ثانوي إعدادي‬

‫المستقيم المار من منتصف ضلع‬
‫لمثلث و الموازي لضلع آخر‬

‫نشاط تمهيدي ‪: 2‬‬
‫النشاط رقم ‪ 2‬صفحة ‪.126‬‬
‫)كتاب المسار(‬
‫المعطيات‪:‬‬

‫؟‬

‫‪ ABC ‬مثلث‬
‫‪ C′ ‬منتصف ]‪[AB‬‬

‫‪ (∆) // (BC) ‬و )∆(‪C′Є‬‬
‫‪ (∆) ‬يقطع )‪ (AC‬في ‪K‬‬
‫‪ B′ ‬منتصف ]‪[CA‬‬
‫‪10‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثانية ثانوي إعدادي‬

‫المستقيم المار من منتصف ضلع‬
‫لمثلث و الموازي لضلع آخر‬

‫لنبين أن ‪B’ = K‬‬
‫‪‬المستقيمان )’‪ (B’C‬و )∆( يوازيان )‪(BC‬‬
‫و لهما نقطة مشتركة‬
‫إذن )’‪ (∆) = (B’C‬و منه ’‪K = B‬‬

‫‪11‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثانية ثانوي إعدادي‬

‫المستقيم المار من منتصف ضلع‬
‫لمثلث و الموازي لضلع آخر‬

‫خاصية ‪2‬‬
‫المستقيم المار من منتصف ضلع مثلث‬
‫و الموازي لضلع آخر في هذا المثلث‬
‫يمر من منتصف الضلع الثالث‪.‬‬

‫‪12‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثانية ثانوي إعدادي‬

‫المستقيم المار من منتصف ضلع‬
‫لمثلث و الموازي لضلع آخر‬

‫باستعمال الرموز‬
‫‪ ABC‬مثلث و ’‪ B‬منتصف ]‪ [AC‬و )∆( مستقيم‪.‬‬

‫إذا كان‬

‫فإن‬

‫)∆( يمر من ’‪B‬‬
‫و‬
‫)∆( يوازي )‪(BC‬‬

‫)∆( يقطع القطعة ]‪ [AB‬في منتصفها‪.‬‬

‫‪13‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثانية ثانوي إعدادي‬

‫المستقيم المار من منتصف ضلع‬
‫لمثلث و الموازي لضلع آخر‬

‫تمرين تطبيقي‬
‫تمرين ‪ 13‬صفحة ‪.134‬‬
‫)كتاب المسار(‬
‫المعطيات‪:‬‬
‫‪ B’‬منتصف ]‪[AC‬‬

‫المطلوب‪:‬‬
‫‪ K ‬منتصف ]‪[AM‬‬

‫‪ C’‬منتصف ]‪[AB‬‬
‫‪M Є (BC )‬‬
‫‪ (B’C’)‬يقطع )‪ (AM‬في ‪K‬‬
‫‪14‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثانية ثانوي إعدادي‬

‫المستقيم المار من منتصف ضلع‬
‫لمثلث و الموازي لضلع آخر‬

‫‪ ‬في المثلث ‪.ABC‬‬
‫بما أن ’‪ B‬و ’‪ C‬هما منتصفا ]‪ [AC‬و ]‪[AB‬‬
‫على التوالي فإن )‪(B’C’) // (BC‬‬

‫‪ ‬المستقيم )’‪ (B’C‬يمر من ’‪ B‬منتصف ]‪[AC‬‬
‫و يقطع ]‪ [AM‬في ‪ K‬و يوازي )‪(CM‬‬

‫في المثلث ‪ACM‬‬
‫إذن‪ K :‬منتصف ]‪[AM‬‬
‫‪15‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثانية ثانوي إعدادي‬

‫المستقيم الموازي لضلع في مثلث‬

‫نشاط تمهيدي ‪: 3‬‬
‫النشاط رقم ‪ 3‬صفحة ‪.126‬‬
‫)كتاب المسار(‬
‫‪ -1‬نحسب مساحة المثلث ‪ ABC‬بطريقتين‪:‬‬
‫‪AB  BC BH  AC‬‬
‫‪‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫إذن‪AB  BC  BH  AC :‬‬

‫و منه‪:‬‬

‫‪AB  BC‬‬
‫‪BH ‬‬
‫‪AC‬‬
‫‪16‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثانية ثانوي إعدادي‬

‫المستقيم الموازي لضلع في مثلث‬

‫‪ -2‬مساحة المثلث ‪:BCN‬‬
‫‪NN  BC BM  BC‬‬
‫‪‬‬
‫بإعتبار اإلرتفاع ]‪ [NN′‬نجد‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪BH  NC‬‬
‫‪2‬‬

‫بإعتبار اإلرتفاع )‪ (BH‬نجد‬
‫و منه نجد‪:‬‬

‫إذن‪:‬‬
‫أي‪:‬‬

‫‪(NN′ = BM) a ‬‬
‫‪a‬‬

‫‪BM  BC  BH  NC‬‬

‫‪AB  BC‬‬
‫‪ NC‬‬
‫‪AC‬‬

‫‪BM  BC ‬‬

‫‪BM  AC  BA  NC‬‬

‫وحيث أن‪NC  AC  AN :‬‬

‫و ‪BM  AB  AM‬‬

‫فإن‪AB  AC  AM  AC  AB  AC  AB  AN :‬‬

‫ومنه‪:‬‬

‫‪AM AN‬‬
‫‪‬‬
‫‪AB AC‬‬

‫و ‪AM  AC  AB  AN‬‬
‫‪17‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثانية ثانوي إعدادي‬

‫المستقيم الموازي لضلع في مثلث‬

‫خاصية ‪3‬‬
‫‪ ABC‬مثلث و ‪ M‬و ‪ N‬نقطتان من ]‪ [AB‬و ]‪ [AC‬على التوالي‬
‫إذا كان )‪(MN) // (BC‬‬
‫فإن‪:‬‬

‫‪AM AN MN‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪AB AC BC‬‬

‫‪18‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثانية ثانوي إعدادي‬

‫المستقيم الموازي لضلع في مثلث‬

‫تمرين تطبيقي‬
‫تمرين ‪ 19‬صفحة ‪.134‬‬
‫)كتاب المسار(‬
‫المطلوب‪:‬‬

‫المعطيات‪:‬‬
‫‪ AM = 5 ‬و ‪ AB = 8‬و ‪ BC = 9‬و )‪(MN) // (BC‬‬

‫بما أن‪ MЄ[AB] :‬و ]‪ NЄ[AC‬و )‪(MN) // (BC‬‬

‫أي‪:‬‬

‫‪MN 5‬‬
‫‪‬‬
‫‪9‬‬
‫‪8‬‬

‫ومنه‪:‬‬

‫فإن‪:‬‬

‫‪‬حساب المسافة ‪MN‬‬
‫‪MN AM‬‬
‫‪‬‬
‫‪BC AB‬‬

‫‪5  9 45‬‬
‫‪‬‬
‫‪8‬‬
‫‪8‬‬

‫‪MN ‬‬

‫‪19‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثانية ثانوي إعدادي‬

‫تقسيم قطعة إلى قطع متقايسة‬

‫نشاط تمهيدي ‪: 4‬‬
‫النشاط رقم ‪ 5‬صفحة ‪.126‬‬
‫)كتاب المسار(‬

‫في المثلث ´‪ AJJ‬لدينا ‪:‬‬
‫في‬

‫‪AI‬‬
‫‪AI' 1‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪AJ AJ' 2‬‬

‫إذن‪:‬‬

‫'‪2AI'  AJ‬‬

‫‪1‬‬
‫‪AC‬‬
‫‪3‬‬

‫‪AI‬‬
‫‪AI' 1‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫إذن‪:‬‬
‫المثلث ‪ ABC‬لدينا ‪:‬‬
‫‪AB AC 3‬‬
‫‪2‬‬
‫‪AC  AJ' J'C  2AI' J'C  AC  J'C‬‬
‫و لدينا‪:‬‬
‫‪3‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫إذن‪ J'C  AC  AC  AC :‬إذن‪AI'  J'C  AC  AC :‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬

‫وبالتالي‪:‬‬

‫‪1‬‬
‫‪AC‬‬
‫‪3‬‬

‫‪AI' ‬‬

‫‪I' J'  AI'  J'C ‬‬
‫‪20‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثانية ثانوي إعدادي‬

‫تقسيم قطعة إلى قطع متقايسة‬

‫كيف إذن أمكن تقسيم القطعة ]‪ [AC‬إلى ‪ 3‬قطع متقايسة ؟‬
‫‪ ‬ننشئ ]‪ [AB‬مخالفا لـ ]‪[AC‬‬
‫‪ ‬نقسم القطعة ]‪ [AB‬إلى ‪ 3‬قطع متقايسة ( بواسطة البركار)‬
‫‪ ‬لتكن ‪ I‬على ]‪ [AB‬بحيث ‪AI = 1‬‬

‫• ننشئ )∆) المار من ‪ I‬و الموازي لـ )‪ (BC‬يقطع ]‪ [AC‬في ’‪I‬‬
‫• لدينا إذن‬

‫‪AC‬‬
‫‪3‬‬

‫‪AI' ‬‬

‫• نقسم القطعة ]‪ [AC‬بإستعمال الوحدة ’‪AI‬‬
‫‪21‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثانية ثانوي إعدادي‬

‫تقسيم قطعة إلى قطع متقايسة‬

‫قاعـــــدة‬
‫لتقسيم قطعة ]‪ [AB‬إلى ‪ n‬قطع متقايسة نتبع الخطوات التالية‪:‬‬
‫‪‬ننشئ نصف مستقيم )∆) مار من ‪ A‬و حامله مختلفا عن )‪(AB‬‬
‫‪‬نعتبر على )∆) النقطة ‪ C‬بحيث ‪AC = n‬‬
‫‪ ‬على ]‪ [AC‬نأخذ ‪ I‬بحيث ‪AI = 1‬‬
‫‪ ‬نمثل )‪(BC‬‬
‫‪‬ننشئ المستقيم )∆) المار من ‪ I‬و الموازي ل (‪ )BC‬الذي يقطع ]‪ [AB‬في ’‪I‬‬
‫‪AC‬‬
‫‪ ‬لدينا إذن‪:‬‬
‫‪3‬‬
‫‪‬نقسم القطعة ]‪ [AB‬بإستعمال البركار و الوحدة ’‪. AI‬‬
‫‪AI' ‬‬

‫‪22‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثانية ثانوي إعدادي‬

‫مثــــــال‬

‫تقسيم قطعة إلى قطع متقايسة‬

‫)‪(n = 5‬‬

‫‪23‬‬


Slide 17

‫المستقيمات الموازية ألضالع مثلث‬
‫المادة ‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى ‪:‬‬

‫الثانية ثانوي إعدادي‬

‫‪1‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثانية ثانوي إعدادي‬

‫تذكيـــــــــــر‬

‫‪ -1‬مساحة مثلث‬
‫‪ -1‬أحسب مساحة مثلث ‪ ABC‬قائم الزاوية في ‪A‬‬
‫بحيث ‪ AC = 4‬و ‪AB = 3‬‬
‫‪ -2‬ماهي مساحة مثلث؟‬
‫مساحة مثلث =‬

‫القاعدة × اإلرتفاع‬

‫‪2‬‬
‫‪2‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثانية ثانوي إعدادي‬

‫تذكيـــــــــــر‬

‫‪ -2‬التناسبية‬
‫‪x 7‬‬
‫‪ -1‬أحسب ‪ x‬إذا علمت أن ‪‬‬
‫‪3 5‬‬
‫‪x x 1‬‬
‫‪‬‬
‫‪ -2‬أحسب ‪ x‬إذا علمت أن‬
‫‪2‬‬
‫‪3‬‬
‫‪a c‬‬
‫‪‬‬
‫‪b d‬‬

‫تعني ‪a × d = b × c‬‬

‫‪3‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثانية ثانوي إعدادي‬

‫المستقيم المار من منتصفي‬
‫ضلعين في مثلث‬

‫نشاط تمهيدي ‪: 1‬‬
‫‪ ABC‬مثلث و ’‪ B‬و ’‪ C‬على التوالي منتصفا القطعتين ]‪ [AC‬و ]‪.[AB‬‬
‫لتكن ‪ D‬مماثلة النقطة ’‪ B‬بالنسبة للنقطة ’‪C‬‬
‫‪ -1‬انشئ الشكل‪.‬‬
‫‪ -2‬بين أن )’‪(BD) // (CB‬‬
‫‪-3‬‬

‫أ‪ -‬بين أن )‪(B’C’) // (BC‬‬

‫ب‪ -‬بين أن‬

‫‪1‬‬
‫‪B C  BC‬‬
‫‪2‬‬
‫’‬

‫’‬

‫‪4‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثانية ثانوي إعدادي‬

‫المستقيم المار من منتصفي‬
‫ضلعين في مثلث‬

‫‪ -2‬الرباعي ‪ AB’BD‬متوازي األضالع‬
‫)للقطرين ]‪ [AB‬و ]‪ [DB′‬نفس المنتصف ‪(C′‬‬
‫إذن )‪(DB) // (AB′‬‬

‫•‪D‬‬

‫و حيث أن )‪(AB′) = (AC‬‬
‫فإن )‪(DB) // (CB′‬‬

‫‪5‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثانية ثانوي إعدادي‬

‫المستقيم المار من منتصفي‬
‫ضلعين في مثلث‬

‫‪ -3‬لدينا )‪ (BD) // (B’C‬و ‪BD = B’A = B’C‬‬
‫إذن ‪ BCB’D‬متوازي األضالع‬
‫أ‪ -‬وبالتالي )‪(B’D) // (BC‬‬

‫•‪D‬‬

‫أي )‪(B’C’) // (BC‬‬

‫ب‪-‬‬

‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪B’C’  B’D  BC‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪6‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثانية ثانوي إعدادي‬

‫المستقيم المار من منتصفي‬
‫ضلعين في مثلث‬

‫خاصية ‪1‬‬
‫‪ ‬المستقيم المار من منتصفي ضلعي في مثلث‬
‫يوازي الضلع الثالث‪.‬‬
‫‪ ‬طول القطعة التي تربط بين منتصفي ضلعي‬
‫مثلث يساوي نصف طول الضلع الثالث‪.‬‬

‫‪7‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثانية ثانوي إعدادي‬

‫المستقيم المار من منتصفي‬
‫ضلعين في مثلث‬

‫باستعمال الرموز‬
‫‪ ABC‬مثلث‬

‫إذا كان‬

‫’‪ B‬منتصف ]‪[AC‬‬
‫و‬
‫’‪ C‬منتصف ]‪[AB‬‬

‫فإن‬

‫)‪(B’C’) // (BC‬‬
‫و‬
‫‪1‬‬
‫‪B’C’  BC‬‬
‫‪2‬‬
‫‪8‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثانية ثانوي إعدادي‬

‫المستقيم المار من منتصفي‬
‫ضلعين في مثلث‬

‫تمارين تطبيقية‬
‫‪ ‬التمرين رقم ‪ 1‬صفحة ‪.133‬‬
‫)كتاب المسار(‬
‫‪ ‬التمرين رقم ‪ 7‬صفحة ‪.133‬‬
‫)كتاب المسار(‬

‫‪9‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثانية ثانوي إعدادي‬

‫المستقيم المار من منتصف ضلع‬
‫لمثلث و الموازي لضلع آخر‬

‫نشاط تمهيدي ‪: 2‬‬
‫النشاط رقم ‪ 2‬صفحة ‪.126‬‬
‫)كتاب المسار(‬
‫المعطيات‪:‬‬

‫؟‬

‫‪ ABC ‬مثلث‬
‫‪ C′ ‬منتصف ]‪[AB‬‬

‫‪ (∆) // (BC) ‬و )∆(‪C′Є‬‬
‫‪ (∆) ‬يقطع )‪ (AC‬في ‪K‬‬
‫‪ B′ ‬منتصف ]‪[CA‬‬
‫‪10‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثانية ثانوي إعدادي‬

‫المستقيم المار من منتصف ضلع‬
‫لمثلث و الموازي لضلع آخر‬

‫لنبين أن ‪B’ = K‬‬
‫‪‬المستقيمان )’‪ (B’C‬و )∆( يوازيان )‪(BC‬‬
‫و لهما نقطة مشتركة‬
‫إذن )’‪ (∆) = (B’C‬و منه ’‪K = B‬‬

‫‪11‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثانية ثانوي إعدادي‬

‫المستقيم المار من منتصف ضلع‬
‫لمثلث و الموازي لضلع آخر‬

‫خاصية ‪2‬‬
‫المستقيم المار من منتصف ضلع مثلث‬
‫و الموازي لضلع آخر في هذا المثلث‬
‫يمر من منتصف الضلع الثالث‪.‬‬

‫‪12‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثانية ثانوي إعدادي‬

‫المستقيم المار من منتصف ضلع‬
‫لمثلث و الموازي لضلع آخر‬

‫باستعمال الرموز‬
‫‪ ABC‬مثلث و ’‪ B‬منتصف ]‪ [AC‬و )∆( مستقيم‪.‬‬

‫إذا كان‬

‫فإن‬

‫)∆( يمر من ’‪B‬‬
‫و‬
‫)∆( يوازي )‪(BC‬‬

‫)∆( يقطع القطعة ]‪ [AB‬في منتصفها‪.‬‬

‫‪13‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثانية ثانوي إعدادي‬

‫المستقيم المار من منتصف ضلع‬
‫لمثلث و الموازي لضلع آخر‬

‫تمرين تطبيقي‬
‫تمرين ‪ 13‬صفحة ‪.134‬‬
‫)كتاب المسار(‬
‫المعطيات‪:‬‬
‫‪ B’‬منتصف ]‪[AC‬‬

‫المطلوب‪:‬‬
‫‪ K ‬منتصف ]‪[AM‬‬

‫‪ C’‬منتصف ]‪[AB‬‬
‫‪M Є (BC )‬‬
‫‪ (B’C’)‬يقطع )‪ (AM‬في ‪K‬‬
‫‪14‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثانية ثانوي إعدادي‬

‫المستقيم المار من منتصف ضلع‬
‫لمثلث و الموازي لضلع آخر‬

‫‪ ‬في المثلث ‪.ABC‬‬
‫بما أن ’‪ B‬و ’‪ C‬هما منتصفا ]‪ [AC‬و ]‪[AB‬‬
‫على التوالي فإن )‪(B’C’) // (BC‬‬

‫‪ ‬المستقيم )’‪ (B’C‬يمر من ’‪ B‬منتصف ]‪[AC‬‬
‫و يقطع ]‪ [AM‬في ‪ K‬و يوازي )‪(CM‬‬

‫في المثلث ‪ACM‬‬
‫إذن‪ K :‬منتصف ]‪[AM‬‬
‫‪15‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثانية ثانوي إعدادي‬

‫المستقيم الموازي لضلع في مثلث‬

‫نشاط تمهيدي ‪: 3‬‬
‫النشاط رقم ‪ 3‬صفحة ‪.126‬‬
‫)كتاب المسار(‬
‫‪ -1‬نحسب مساحة المثلث ‪ ABC‬بطريقتين‪:‬‬
‫‪AB  BC BH  AC‬‬
‫‪‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫إذن‪AB  BC  BH  AC :‬‬

‫و منه‪:‬‬

‫‪AB  BC‬‬
‫‪BH ‬‬
‫‪AC‬‬
‫‪16‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثانية ثانوي إعدادي‬

‫المستقيم الموازي لضلع في مثلث‬

‫‪ -2‬مساحة المثلث ‪:BCN‬‬
‫‪NN  BC BM  BC‬‬
‫‪‬‬
‫بإعتبار اإلرتفاع ]‪ [NN′‬نجد‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪BH  NC‬‬
‫‪2‬‬

‫بإعتبار اإلرتفاع )‪ (BH‬نجد‬
‫و منه نجد‪:‬‬

‫إذن‪:‬‬
‫أي‪:‬‬

‫‪(NN′ = BM) a ‬‬
‫‪a‬‬

‫‪BM  BC  BH  NC‬‬

‫‪AB  BC‬‬
‫‪ NC‬‬
‫‪AC‬‬

‫‪BM  BC ‬‬

‫‪BM  AC  BA  NC‬‬

‫وحيث أن‪NC  AC  AN :‬‬

‫و ‪BM  AB  AM‬‬

‫فإن‪AB  AC  AM  AC  AB  AC  AB  AN :‬‬

‫ومنه‪:‬‬

‫‪AM AN‬‬
‫‪‬‬
‫‪AB AC‬‬

‫و ‪AM  AC  AB  AN‬‬
‫‪17‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثانية ثانوي إعدادي‬

‫المستقيم الموازي لضلع في مثلث‬

‫خاصية ‪3‬‬
‫‪ ABC‬مثلث و ‪ M‬و ‪ N‬نقطتان من ]‪ [AB‬و ]‪ [AC‬على التوالي‬
‫إذا كان )‪(MN) // (BC‬‬
‫فإن‪:‬‬

‫‪AM AN MN‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪AB AC BC‬‬

‫‪18‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثانية ثانوي إعدادي‬

‫المستقيم الموازي لضلع في مثلث‬

‫تمرين تطبيقي‬
‫تمرين ‪ 19‬صفحة ‪.134‬‬
‫)كتاب المسار(‬
‫المطلوب‪:‬‬

‫المعطيات‪:‬‬
‫‪ AM = 5 ‬و ‪ AB = 8‬و ‪ BC = 9‬و )‪(MN) // (BC‬‬

‫بما أن‪ MЄ[AB] :‬و ]‪ NЄ[AC‬و )‪(MN) // (BC‬‬

‫أي‪:‬‬

‫‪MN 5‬‬
‫‪‬‬
‫‪9‬‬
‫‪8‬‬

‫ومنه‪:‬‬

‫فإن‪:‬‬

‫‪‬حساب المسافة ‪MN‬‬
‫‪MN AM‬‬
‫‪‬‬
‫‪BC AB‬‬

‫‪5  9 45‬‬
‫‪‬‬
‫‪8‬‬
‫‪8‬‬

‫‪MN ‬‬

‫‪19‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثانية ثانوي إعدادي‬

‫تقسيم قطعة إلى قطع متقايسة‬

‫نشاط تمهيدي ‪: 4‬‬
‫النشاط رقم ‪ 5‬صفحة ‪.126‬‬
‫)كتاب المسار(‬

‫في المثلث ´‪ AJJ‬لدينا ‪:‬‬
‫في‬

‫‪AI‬‬
‫‪AI' 1‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪AJ AJ' 2‬‬

‫إذن‪:‬‬

‫'‪2AI'  AJ‬‬

‫‪1‬‬
‫‪AC‬‬
‫‪3‬‬

‫‪AI‬‬
‫‪AI' 1‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫إذن‪:‬‬
‫المثلث ‪ ABC‬لدينا ‪:‬‬
‫‪AB AC 3‬‬
‫‪2‬‬
‫‪AC  AJ' J'C  2AI' J'C  AC  J'C‬‬
‫و لدينا‪:‬‬
‫‪3‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫إذن‪ J'C  AC  AC  AC :‬إذن‪AI'  J'C  AC  AC :‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬

‫وبالتالي‪:‬‬

‫‪1‬‬
‫‪AC‬‬
‫‪3‬‬

‫‪AI' ‬‬

‫‪I' J'  AI'  J'C ‬‬
‫‪20‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثانية ثانوي إعدادي‬

‫تقسيم قطعة إلى قطع متقايسة‬

‫كيف إذن أمكن تقسيم القطعة ]‪ [AC‬إلى ‪ 3‬قطع متقايسة ؟‬
‫‪ ‬ننشئ ]‪ [AB‬مخالفا لـ ]‪[AC‬‬
‫‪ ‬نقسم القطعة ]‪ [AB‬إلى ‪ 3‬قطع متقايسة ( بواسطة البركار)‬
‫‪ ‬لتكن ‪ I‬على ]‪ [AB‬بحيث ‪AI = 1‬‬

‫• ننشئ )∆) المار من ‪ I‬و الموازي لـ )‪ (BC‬يقطع ]‪ [AC‬في ’‪I‬‬
‫• لدينا إذن‬

‫‪AC‬‬
‫‪3‬‬

‫‪AI' ‬‬

‫• نقسم القطعة ]‪ [AC‬بإستعمال الوحدة ’‪AI‬‬
‫‪21‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثانية ثانوي إعدادي‬

‫تقسيم قطعة إلى قطع متقايسة‬

‫قاعـــــدة‬
‫لتقسيم قطعة ]‪ [AB‬إلى ‪ n‬قطع متقايسة نتبع الخطوات التالية‪:‬‬
‫‪‬ننشئ نصف مستقيم )∆) مار من ‪ A‬و حامله مختلفا عن )‪(AB‬‬
‫‪‬نعتبر على )∆) النقطة ‪ C‬بحيث ‪AC = n‬‬
‫‪ ‬على ]‪ [AC‬نأخذ ‪ I‬بحيث ‪AI = 1‬‬
‫‪ ‬نمثل )‪(BC‬‬
‫‪‬ننشئ المستقيم )∆) المار من ‪ I‬و الموازي ل (‪ )BC‬الذي يقطع ]‪ [AB‬في ’‪I‬‬
‫‪AC‬‬
‫‪ ‬لدينا إذن‪:‬‬
‫‪3‬‬
‫‪‬نقسم القطعة ]‪ [AB‬بإستعمال البركار و الوحدة ’‪. AI‬‬
‫‪AI' ‬‬

‫‪22‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثانية ثانوي إعدادي‬

‫مثــــــال‬

‫تقسيم قطعة إلى قطع متقايسة‬

‫)‪(n = 5‬‬

‫‪23‬‬


Slide 18

‫المستقيمات الموازية ألضالع مثلث‬
‫المادة ‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى ‪:‬‬

‫الثانية ثانوي إعدادي‬

‫‪1‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثانية ثانوي إعدادي‬

‫تذكيـــــــــــر‬

‫‪ -1‬مساحة مثلث‬
‫‪ -1‬أحسب مساحة مثلث ‪ ABC‬قائم الزاوية في ‪A‬‬
‫بحيث ‪ AC = 4‬و ‪AB = 3‬‬
‫‪ -2‬ماهي مساحة مثلث؟‬
‫مساحة مثلث =‬

‫القاعدة × اإلرتفاع‬

‫‪2‬‬
‫‪2‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثانية ثانوي إعدادي‬

‫تذكيـــــــــــر‬

‫‪ -2‬التناسبية‬
‫‪x 7‬‬
‫‪ -1‬أحسب ‪ x‬إذا علمت أن ‪‬‬
‫‪3 5‬‬
‫‪x x 1‬‬
‫‪‬‬
‫‪ -2‬أحسب ‪ x‬إذا علمت أن‬
‫‪2‬‬
‫‪3‬‬
‫‪a c‬‬
‫‪‬‬
‫‪b d‬‬

‫تعني ‪a × d = b × c‬‬

‫‪3‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثانية ثانوي إعدادي‬

‫المستقيم المار من منتصفي‬
‫ضلعين في مثلث‬

‫نشاط تمهيدي ‪: 1‬‬
‫‪ ABC‬مثلث و ’‪ B‬و ’‪ C‬على التوالي منتصفا القطعتين ]‪ [AC‬و ]‪.[AB‬‬
‫لتكن ‪ D‬مماثلة النقطة ’‪ B‬بالنسبة للنقطة ’‪C‬‬
‫‪ -1‬انشئ الشكل‪.‬‬
‫‪ -2‬بين أن )’‪(BD) // (CB‬‬
‫‪-3‬‬

‫أ‪ -‬بين أن )‪(B’C’) // (BC‬‬

‫ب‪ -‬بين أن‬

‫‪1‬‬
‫‪B C  BC‬‬
‫‪2‬‬
‫’‬

‫’‬

‫‪4‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثانية ثانوي إعدادي‬

‫المستقيم المار من منتصفي‬
‫ضلعين في مثلث‬

‫‪ -2‬الرباعي ‪ AB’BD‬متوازي األضالع‬
‫)للقطرين ]‪ [AB‬و ]‪ [DB′‬نفس المنتصف ‪(C′‬‬
‫إذن )‪(DB) // (AB′‬‬

‫•‪D‬‬

‫و حيث أن )‪(AB′) = (AC‬‬
‫فإن )‪(DB) // (CB′‬‬

‫‪5‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثانية ثانوي إعدادي‬

‫المستقيم المار من منتصفي‬
‫ضلعين في مثلث‬

‫‪ -3‬لدينا )‪ (BD) // (B’C‬و ‪BD = B’A = B’C‬‬
‫إذن ‪ BCB’D‬متوازي األضالع‬
‫أ‪ -‬وبالتالي )‪(B’D) // (BC‬‬

‫•‪D‬‬

‫أي )‪(B’C’) // (BC‬‬

‫ب‪-‬‬

‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪B’C’  B’D  BC‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪6‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثانية ثانوي إعدادي‬

‫المستقيم المار من منتصفي‬
‫ضلعين في مثلث‬

‫خاصية ‪1‬‬
‫‪ ‬المستقيم المار من منتصفي ضلعي في مثلث‬
‫يوازي الضلع الثالث‪.‬‬
‫‪ ‬طول القطعة التي تربط بين منتصفي ضلعي‬
‫مثلث يساوي نصف طول الضلع الثالث‪.‬‬

‫‪7‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثانية ثانوي إعدادي‬

‫المستقيم المار من منتصفي‬
‫ضلعين في مثلث‬

‫باستعمال الرموز‬
‫‪ ABC‬مثلث‬

‫إذا كان‬

‫’‪ B‬منتصف ]‪[AC‬‬
‫و‬
‫’‪ C‬منتصف ]‪[AB‬‬

‫فإن‬

‫)‪(B’C’) // (BC‬‬
‫و‬
‫‪1‬‬
‫‪B’C’  BC‬‬
‫‪2‬‬
‫‪8‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثانية ثانوي إعدادي‬

‫المستقيم المار من منتصفي‬
‫ضلعين في مثلث‬

‫تمارين تطبيقية‬
‫‪ ‬التمرين رقم ‪ 1‬صفحة ‪.133‬‬
‫)كتاب المسار(‬
‫‪ ‬التمرين رقم ‪ 7‬صفحة ‪.133‬‬
‫)كتاب المسار(‬

‫‪9‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثانية ثانوي إعدادي‬

‫المستقيم المار من منتصف ضلع‬
‫لمثلث و الموازي لضلع آخر‬

‫نشاط تمهيدي ‪: 2‬‬
‫النشاط رقم ‪ 2‬صفحة ‪.126‬‬
‫)كتاب المسار(‬
‫المعطيات‪:‬‬

‫؟‬

‫‪ ABC ‬مثلث‬
‫‪ C′ ‬منتصف ]‪[AB‬‬

‫‪ (∆) // (BC) ‬و )∆(‪C′Є‬‬
‫‪ (∆) ‬يقطع )‪ (AC‬في ‪K‬‬
‫‪ B′ ‬منتصف ]‪[CA‬‬
‫‪10‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثانية ثانوي إعدادي‬

‫المستقيم المار من منتصف ضلع‬
‫لمثلث و الموازي لضلع آخر‬

‫لنبين أن ‪B’ = K‬‬
‫‪‬المستقيمان )’‪ (B’C‬و )∆( يوازيان )‪(BC‬‬
‫و لهما نقطة مشتركة‬
‫إذن )’‪ (∆) = (B’C‬و منه ’‪K = B‬‬

‫‪11‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثانية ثانوي إعدادي‬

‫المستقيم المار من منتصف ضلع‬
‫لمثلث و الموازي لضلع آخر‬

‫خاصية ‪2‬‬
‫المستقيم المار من منتصف ضلع مثلث‬
‫و الموازي لضلع آخر في هذا المثلث‬
‫يمر من منتصف الضلع الثالث‪.‬‬

‫‪12‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثانية ثانوي إعدادي‬

‫المستقيم المار من منتصف ضلع‬
‫لمثلث و الموازي لضلع آخر‬

‫باستعمال الرموز‬
‫‪ ABC‬مثلث و ’‪ B‬منتصف ]‪ [AC‬و )∆( مستقيم‪.‬‬

‫إذا كان‬

‫فإن‬

‫)∆( يمر من ’‪B‬‬
‫و‬
‫)∆( يوازي )‪(BC‬‬

‫)∆( يقطع القطعة ]‪ [AB‬في منتصفها‪.‬‬

‫‪13‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثانية ثانوي إعدادي‬

‫المستقيم المار من منتصف ضلع‬
‫لمثلث و الموازي لضلع آخر‬

‫تمرين تطبيقي‬
‫تمرين ‪ 13‬صفحة ‪.134‬‬
‫)كتاب المسار(‬
‫المعطيات‪:‬‬
‫‪ B’‬منتصف ]‪[AC‬‬

‫المطلوب‪:‬‬
‫‪ K ‬منتصف ]‪[AM‬‬

‫‪ C’‬منتصف ]‪[AB‬‬
‫‪M Є (BC )‬‬
‫‪ (B’C’)‬يقطع )‪ (AM‬في ‪K‬‬
‫‪14‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثانية ثانوي إعدادي‬

‫المستقيم المار من منتصف ضلع‬
‫لمثلث و الموازي لضلع آخر‬

‫‪ ‬في المثلث ‪.ABC‬‬
‫بما أن ’‪ B‬و ’‪ C‬هما منتصفا ]‪ [AC‬و ]‪[AB‬‬
‫على التوالي فإن )‪(B’C’) // (BC‬‬

‫‪ ‬المستقيم )’‪ (B’C‬يمر من ’‪ B‬منتصف ]‪[AC‬‬
‫و يقطع ]‪ [AM‬في ‪ K‬و يوازي )‪(CM‬‬

‫في المثلث ‪ACM‬‬
‫إذن‪ K :‬منتصف ]‪[AM‬‬
‫‪15‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثانية ثانوي إعدادي‬

‫المستقيم الموازي لضلع في مثلث‬

‫نشاط تمهيدي ‪: 3‬‬
‫النشاط رقم ‪ 3‬صفحة ‪.126‬‬
‫)كتاب المسار(‬
‫‪ -1‬نحسب مساحة المثلث ‪ ABC‬بطريقتين‪:‬‬
‫‪AB  BC BH  AC‬‬
‫‪‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫إذن‪AB  BC  BH  AC :‬‬

‫و منه‪:‬‬

‫‪AB  BC‬‬
‫‪BH ‬‬
‫‪AC‬‬
‫‪16‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثانية ثانوي إعدادي‬

‫المستقيم الموازي لضلع في مثلث‬

‫‪ -2‬مساحة المثلث ‪:BCN‬‬
‫‪NN  BC BM  BC‬‬
‫‪‬‬
‫بإعتبار اإلرتفاع ]‪ [NN′‬نجد‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪BH  NC‬‬
‫‪2‬‬

‫بإعتبار اإلرتفاع )‪ (BH‬نجد‬
‫و منه نجد‪:‬‬

‫إذن‪:‬‬
‫أي‪:‬‬

‫‪(NN′ = BM) a ‬‬
‫‪a‬‬

‫‪BM  BC  BH  NC‬‬

‫‪AB  BC‬‬
‫‪ NC‬‬
‫‪AC‬‬

‫‪BM  BC ‬‬

‫‪BM  AC  BA  NC‬‬

‫وحيث أن‪NC  AC  AN :‬‬

‫و ‪BM  AB  AM‬‬

‫فإن‪AB  AC  AM  AC  AB  AC  AB  AN :‬‬

‫ومنه‪:‬‬

‫‪AM AN‬‬
‫‪‬‬
‫‪AB AC‬‬

‫و ‪AM  AC  AB  AN‬‬
‫‪17‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثانية ثانوي إعدادي‬

‫المستقيم الموازي لضلع في مثلث‬

‫خاصية ‪3‬‬
‫‪ ABC‬مثلث و ‪ M‬و ‪ N‬نقطتان من ]‪ [AB‬و ]‪ [AC‬على التوالي‬
‫إذا كان )‪(MN) // (BC‬‬
‫فإن‪:‬‬

‫‪AM AN MN‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪AB AC BC‬‬

‫‪18‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثانية ثانوي إعدادي‬

‫المستقيم الموازي لضلع في مثلث‬

‫تمرين تطبيقي‬
‫تمرين ‪ 19‬صفحة ‪.134‬‬
‫)كتاب المسار(‬
‫المطلوب‪:‬‬

‫المعطيات‪:‬‬
‫‪ AM = 5 ‬و ‪ AB = 8‬و ‪ BC = 9‬و )‪(MN) // (BC‬‬

‫بما أن‪ MЄ[AB] :‬و ]‪ NЄ[AC‬و )‪(MN) // (BC‬‬

‫أي‪:‬‬

‫‪MN 5‬‬
‫‪‬‬
‫‪9‬‬
‫‪8‬‬

‫ومنه‪:‬‬

‫فإن‪:‬‬

‫‪‬حساب المسافة ‪MN‬‬
‫‪MN AM‬‬
‫‪‬‬
‫‪BC AB‬‬

‫‪5  9 45‬‬
‫‪‬‬
‫‪8‬‬
‫‪8‬‬

‫‪MN ‬‬

‫‪19‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثانية ثانوي إعدادي‬

‫تقسيم قطعة إلى قطع متقايسة‬

‫نشاط تمهيدي ‪: 4‬‬
‫النشاط رقم ‪ 5‬صفحة ‪.126‬‬
‫)كتاب المسار(‬

‫في المثلث ´‪ AJJ‬لدينا ‪:‬‬
‫في‬

‫‪AI‬‬
‫‪AI' 1‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪AJ AJ' 2‬‬

‫إذن‪:‬‬

‫'‪2AI'  AJ‬‬

‫‪1‬‬
‫‪AC‬‬
‫‪3‬‬

‫‪AI‬‬
‫‪AI' 1‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫إذن‪:‬‬
‫المثلث ‪ ABC‬لدينا ‪:‬‬
‫‪AB AC 3‬‬
‫‪2‬‬
‫‪AC  AJ' J'C  2AI' J'C  AC  J'C‬‬
‫و لدينا‪:‬‬
‫‪3‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫إذن‪ J'C  AC  AC  AC :‬إذن‪AI'  J'C  AC  AC :‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬

‫وبالتالي‪:‬‬

‫‪1‬‬
‫‪AC‬‬
‫‪3‬‬

‫‪AI' ‬‬

‫‪I' J'  AI'  J'C ‬‬
‫‪20‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثانية ثانوي إعدادي‬

‫تقسيم قطعة إلى قطع متقايسة‬

‫كيف إذن أمكن تقسيم القطعة ]‪ [AC‬إلى ‪ 3‬قطع متقايسة ؟‬
‫‪ ‬ننشئ ]‪ [AB‬مخالفا لـ ]‪[AC‬‬
‫‪ ‬نقسم القطعة ]‪ [AB‬إلى ‪ 3‬قطع متقايسة ( بواسطة البركار)‬
‫‪ ‬لتكن ‪ I‬على ]‪ [AB‬بحيث ‪AI = 1‬‬

‫• ننشئ )∆) المار من ‪ I‬و الموازي لـ )‪ (BC‬يقطع ]‪ [AC‬في ’‪I‬‬
‫• لدينا إذن‬

‫‪AC‬‬
‫‪3‬‬

‫‪AI' ‬‬

‫• نقسم القطعة ]‪ [AC‬بإستعمال الوحدة ’‪AI‬‬
‫‪21‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثانية ثانوي إعدادي‬

‫تقسيم قطعة إلى قطع متقايسة‬

‫قاعـــــدة‬
‫لتقسيم قطعة ]‪ [AB‬إلى ‪ n‬قطع متقايسة نتبع الخطوات التالية‪:‬‬
‫‪‬ننشئ نصف مستقيم )∆) مار من ‪ A‬و حامله مختلفا عن )‪(AB‬‬
‫‪‬نعتبر على )∆) النقطة ‪ C‬بحيث ‪AC = n‬‬
‫‪ ‬على ]‪ [AC‬نأخذ ‪ I‬بحيث ‪AI = 1‬‬
‫‪ ‬نمثل )‪(BC‬‬
‫‪‬ننشئ المستقيم )∆) المار من ‪ I‬و الموازي ل (‪ )BC‬الذي يقطع ]‪ [AB‬في ’‪I‬‬
‫‪AC‬‬
‫‪ ‬لدينا إذن‪:‬‬
‫‪3‬‬
‫‪‬نقسم القطعة ]‪ [AB‬بإستعمال البركار و الوحدة ’‪. AI‬‬
‫‪AI' ‬‬

‫‪22‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثانية ثانوي إعدادي‬

‫مثــــــال‬

‫تقسيم قطعة إلى قطع متقايسة‬

‫)‪(n = 5‬‬

‫‪23‬‬


Slide 19

‫المستقيمات الموازية ألضالع مثلث‬
‫المادة ‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى ‪:‬‬

‫الثانية ثانوي إعدادي‬

‫‪1‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثانية ثانوي إعدادي‬

‫تذكيـــــــــــر‬

‫‪ -1‬مساحة مثلث‬
‫‪ -1‬أحسب مساحة مثلث ‪ ABC‬قائم الزاوية في ‪A‬‬
‫بحيث ‪ AC = 4‬و ‪AB = 3‬‬
‫‪ -2‬ماهي مساحة مثلث؟‬
‫مساحة مثلث =‬

‫القاعدة × اإلرتفاع‬

‫‪2‬‬
‫‪2‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثانية ثانوي إعدادي‬

‫تذكيـــــــــــر‬

‫‪ -2‬التناسبية‬
‫‪x 7‬‬
‫‪ -1‬أحسب ‪ x‬إذا علمت أن ‪‬‬
‫‪3 5‬‬
‫‪x x 1‬‬
‫‪‬‬
‫‪ -2‬أحسب ‪ x‬إذا علمت أن‬
‫‪2‬‬
‫‪3‬‬
‫‪a c‬‬
‫‪‬‬
‫‪b d‬‬

‫تعني ‪a × d = b × c‬‬

‫‪3‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثانية ثانوي إعدادي‬

‫المستقيم المار من منتصفي‬
‫ضلعين في مثلث‬

‫نشاط تمهيدي ‪: 1‬‬
‫‪ ABC‬مثلث و ’‪ B‬و ’‪ C‬على التوالي منتصفا القطعتين ]‪ [AC‬و ]‪.[AB‬‬
‫لتكن ‪ D‬مماثلة النقطة ’‪ B‬بالنسبة للنقطة ’‪C‬‬
‫‪ -1‬انشئ الشكل‪.‬‬
‫‪ -2‬بين أن )’‪(BD) // (CB‬‬
‫‪-3‬‬

‫أ‪ -‬بين أن )‪(B’C’) // (BC‬‬

‫ب‪ -‬بين أن‬

‫‪1‬‬
‫‪B C  BC‬‬
‫‪2‬‬
‫’‬

‫’‬

‫‪4‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثانية ثانوي إعدادي‬

‫المستقيم المار من منتصفي‬
‫ضلعين في مثلث‬

‫‪ -2‬الرباعي ‪ AB’BD‬متوازي األضالع‬
‫)للقطرين ]‪ [AB‬و ]‪ [DB′‬نفس المنتصف ‪(C′‬‬
‫إذن )‪(DB) // (AB′‬‬

‫•‪D‬‬

‫و حيث أن )‪(AB′) = (AC‬‬
‫فإن )‪(DB) // (CB′‬‬

‫‪5‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثانية ثانوي إعدادي‬

‫المستقيم المار من منتصفي‬
‫ضلعين في مثلث‬

‫‪ -3‬لدينا )‪ (BD) // (B’C‬و ‪BD = B’A = B’C‬‬
‫إذن ‪ BCB’D‬متوازي األضالع‬
‫أ‪ -‬وبالتالي )‪(B’D) // (BC‬‬

‫•‪D‬‬

‫أي )‪(B’C’) // (BC‬‬

‫ب‪-‬‬

‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪B’C’  B’D  BC‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪6‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثانية ثانوي إعدادي‬

‫المستقيم المار من منتصفي‬
‫ضلعين في مثلث‬

‫خاصية ‪1‬‬
‫‪ ‬المستقيم المار من منتصفي ضلعي في مثلث‬
‫يوازي الضلع الثالث‪.‬‬
‫‪ ‬طول القطعة التي تربط بين منتصفي ضلعي‬
‫مثلث يساوي نصف طول الضلع الثالث‪.‬‬

‫‪7‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثانية ثانوي إعدادي‬

‫المستقيم المار من منتصفي‬
‫ضلعين في مثلث‬

‫باستعمال الرموز‬
‫‪ ABC‬مثلث‬

‫إذا كان‬

‫’‪ B‬منتصف ]‪[AC‬‬
‫و‬
‫’‪ C‬منتصف ]‪[AB‬‬

‫فإن‬

‫)‪(B’C’) // (BC‬‬
‫و‬
‫‪1‬‬
‫‪B’C’  BC‬‬
‫‪2‬‬
‫‪8‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثانية ثانوي إعدادي‬

‫المستقيم المار من منتصفي‬
‫ضلعين في مثلث‬

‫تمارين تطبيقية‬
‫‪ ‬التمرين رقم ‪ 1‬صفحة ‪.133‬‬
‫)كتاب المسار(‬
‫‪ ‬التمرين رقم ‪ 7‬صفحة ‪.133‬‬
‫)كتاب المسار(‬

‫‪9‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثانية ثانوي إعدادي‬

‫المستقيم المار من منتصف ضلع‬
‫لمثلث و الموازي لضلع آخر‬

‫نشاط تمهيدي ‪: 2‬‬
‫النشاط رقم ‪ 2‬صفحة ‪.126‬‬
‫)كتاب المسار(‬
‫المعطيات‪:‬‬

‫؟‬

‫‪ ABC ‬مثلث‬
‫‪ C′ ‬منتصف ]‪[AB‬‬

‫‪ (∆) // (BC) ‬و )∆(‪C′Є‬‬
‫‪ (∆) ‬يقطع )‪ (AC‬في ‪K‬‬
‫‪ B′ ‬منتصف ]‪[CA‬‬
‫‪10‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثانية ثانوي إعدادي‬

‫المستقيم المار من منتصف ضلع‬
‫لمثلث و الموازي لضلع آخر‬

‫لنبين أن ‪B’ = K‬‬
‫‪‬المستقيمان )’‪ (B’C‬و )∆( يوازيان )‪(BC‬‬
‫و لهما نقطة مشتركة‬
‫إذن )’‪ (∆) = (B’C‬و منه ’‪K = B‬‬

‫‪11‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثانية ثانوي إعدادي‬

‫المستقيم المار من منتصف ضلع‬
‫لمثلث و الموازي لضلع آخر‬

‫خاصية ‪2‬‬
‫المستقيم المار من منتصف ضلع مثلث‬
‫و الموازي لضلع آخر في هذا المثلث‬
‫يمر من منتصف الضلع الثالث‪.‬‬

‫‪12‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثانية ثانوي إعدادي‬

‫المستقيم المار من منتصف ضلع‬
‫لمثلث و الموازي لضلع آخر‬

‫باستعمال الرموز‬
‫‪ ABC‬مثلث و ’‪ B‬منتصف ]‪ [AC‬و )∆( مستقيم‪.‬‬

‫إذا كان‬

‫فإن‬

‫)∆( يمر من ’‪B‬‬
‫و‬
‫)∆( يوازي )‪(BC‬‬

‫)∆( يقطع القطعة ]‪ [AB‬في منتصفها‪.‬‬

‫‪13‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثانية ثانوي إعدادي‬

‫المستقيم المار من منتصف ضلع‬
‫لمثلث و الموازي لضلع آخر‬

‫تمرين تطبيقي‬
‫تمرين ‪ 13‬صفحة ‪.134‬‬
‫)كتاب المسار(‬
‫المعطيات‪:‬‬
‫‪ B’‬منتصف ]‪[AC‬‬

‫المطلوب‪:‬‬
‫‪ K ‬منتصف ]‪[AM‬‬

‫‪ C’‬منتصف ]‪[AB‬‬
‫‪M Є (BC )‬‬
‫‪ (B’C’)‬يقطع )‪ (AM‬في ‪K‬‬
‫‪14‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثانية ثانوي إعدادي‬

‫المستقيم المار من منتصف ضلع‬
‫لمثلث و الموازي لضلع آخر‬

‫‪ ‬في المثلث ‪.ABC‬‬
‫بما أن ’‪ B‬و ’‪ C‬هما منتصفا ]‪ [AC‬و ]‪[AB‬‬
‫على التوالي فإن )‪(B’C’) // (BC‬‬

‫‪ ‬المستقيم )’‪ (B’C‬يمر من ’‪ B‬منتصف ]‪[AC‬‬
‫و يقطع ]‪ [AM‬في ‪ K‬و يوازي )‪(CM‬‬

‫في المثلث ‪ACM‬‬
‫إذن‪ K :‬منتصف ]‪[AM‬‬
‫‪15‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثانية ثانوي إعدادي‬

‫المستقيم الموازي لضلع في مثلث‬

‫نشاط تمهيدي ‪: 3‬‬
‫النشاط رقم ‪ 3‬صفحة ‪.126‬‬
‫)كتاب المسار(‬
‫‪ -1‬نحسب مساحة المثلث ‪ ABC‬بطريقتين‪:‬‬
‫‪AB  BC BH  AC‬‬
‫‪‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫إذن‪AB  BC  BH  AC :‬‬

‫و منه‪:‬‬

‫‪AB  BC‬‬
‫‪BH ‬‬
‫‪AC‬‬
‫‪16‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثانية ثانوي إعدادي‬

‫المستقيم الموازي لضلع في مثلث‬

‫‪ -2‬مساحة المثلث ‪:BCN‬‬
‫‪NN  BC BM  BC‬‬
‫‪‬‬
‫بإعتبار اإلرتفاع ]‪ [NN′‬نجد‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪BH  NC‬‬
‫‪2‬‬

‫بإعتبار اإلرتفاع )‪ (BH‬نجد‬
‫و منه نجد‪:‬‬

‫إذن‪:‬‬
‫أي‪:‬‬

‫‪(NN′ = BM) a ‬‬
‫‪a‬‬

‫‪BM  BC  BH  NC‬‬

‫‪AB  BC‬‬
‫‪ NC‬‬
‫‪AC‬‬

‫‪BM  BC ‬‬

‫‪BM  AC  BA  NC‬‬

‫وحيث أن‪NC  AC  AN :‬‬

‫و ‪BM  AB  AM‬‬

‫فإن‪AB  AC  AM  AC  AB  AC  AB  AN :‬‬

‫ومنه‪:‬‬

‫‪AM AN‬‬
‫‪‬‬
‫‪AB AC‬‬

‫و ‪AM  AC  AB  AN‬‬
‫‪17‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثانية ثانوي إعدادي‬

‫المستقيم الموازي لضلع في مثلث‬

‫خاصية ‪3‬‬
‫‪ ABC‬مثلث و ‪ M‬و ‪ N‬نقطتان من ]‪ [AB‬و ]‪ [AC‬على التوالي‬
‫إذا كان )‪(MN) // (BC‬‬
‫فإن‪:‬‬

‫‪AM AN MN‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪AB AC BC‬‬

‫‪18‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثانية ثانوي إعدادي‬

‫المستقيم الموازي لضلع في مثلث‬

‫تمرين تطبيقي‬
‫تمرين ‪ 19‬صفحة ‪.134‬‬
‫)كتاب المسار(‬
‫المطلوب‪:‬‬

‫المعطيات‪:‬‬
‫‪ AM = 5 ‬و ‪ AB = 8‬و ‪ BC = 9‬و )‪(MN) // (BC‬‬

‫بما أن‪ MЄ[AB] :‬و ]‪ NЄ[AC‬و )‪(MN) // (BC‬‬

‫أي‪:‬‬

‫‪MN 5‬‬
‫‪‬‬
‫‪9‬‬
‫‪8‬‬

‫ومنه‪:‬‬

‫فإن‪:‬‬

‫‪‬حساب المسافة ‪MN‬‬
‫‪MN AM‬‬
‫‪‬‬
‫‪BC AB‬‬

‫‪5  9 45‬‬
‫‪‬‬
‫‪8‬‬
‫‪8‬‬

‫‪MN ‬‬

‫‪19‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثانية ثانوي إعدادي‬

‫تقسيم قطعة إلى قطع متقايسة‬

‫نشاط تمهيدي ‪: 4‬‬
‫النشاط رقم ‪ 5‬صفحة ‪.126‬‬
‫)كتاب المسار(‬

‫في المثلث ´‪ AJJ‬لدينا ‪:‬‬
‫في‬

‫‪AI‬‬
‫‪AI' 1‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪AJ AJ' 2‬‬

‫إذن‪:‬‬

‫'‪2AI'  AJ‬‬

‫‪1‬‬
‫‪AC‬‬
‫‪3‬‬

‫‪AI‬‬
‫‪AI' 1‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫إذن‪:‬‬
‫المثلث ‪ ABC‬لدينا ‪:‬‬
‫‪AB AC 3‬‬
‫‪2‬‬
‫‪AC  AJ' J'C  2AI' J'C  AC  J'C‬‬
‫و لدينا‪:‬‬
‫‪3‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫إذن‪ J'C  AC  AC  AC :‬إذن‪AI'  J'C  AC  AC :‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬

‫وبالتالي‪:‬‬

‫‪1‬‬
‫‪AC‬‬
‫‪3‬‬

‫‪AI' ‬‬

‫‪I' J'  AI'  J'C ‬‬
‫‪20‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثانية ثانوي إعدادي‬

‫تقسيم قطعة إلى قطع متقايسة‬

‫كيف إذن أمكن تقسيم القطعة ]‪ [AC‬إلى ‪ 3‬قطع متقايسة ؟‬
‫‪ ‬ننشئ ]‪ [AB‬مخالفا لـ ]‪[AC‬‬
‫‪ ‬نقسم القطعة ]‪ [AB‬إلى ‪ 3‬قطع متقايسة ( بواسطة البركار)‬
‫‪ ‬لتكن ‪ I‬على ]‪ [AB‬بحيث ‪AI = 1‬‬

‫• ننشئ )∆) المار من ‪ I‬و الموازي لـ )‪ (BC‬يقطع ]‪ [AC‬في ’‪I‬‬
‫• لدينا إذن‬

‫‪AC‬‬
‫‪3‬‬

‫‪AI' ‬‬

‫• نقسم القطعة ]‪ [AC‬بإستعمال الوحدة ’‪AI‬‬
‫‪21‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثانية ثانوي إعدادي‬

‫تقسيم قطعة إلى قطع متقايسة‬

‫قاعـــــدة‬
‫لتقسيم قطعة ]‪ [AB‬إلى ‪ n‬قطع متقايسة نتبع الخطوات التالية‪:‬‬
‫‪‬ننشئ نصف مستقيم )∆) مار من ‪ A‬و حامله مختلفا عن )‪(AB‬‬
‫‪‬نعتبر على )∆) النقطة ‪ C‬بحيث ‪AC = n‬‬
‫‪ ‬على ]‪ [AC‬نأخذ ‪ I‬بحيث ‪AI = 1‬‬
‫‪ ‬نمثل )‪(BC‬‬
‫‪‬ننشئ المستقيم )∆) المار من ‪ I‬و الموازي ل (‪ )BC‬الذي يقطع ]‪ [AB‬في ’‪I‬‬
‫‪AC‬‬
‫‪ ‬لدينا إذن‪:‬‬
‫‪3‬‬
‫‪‬نقسم القطعة ]‪ [AB‬بإستعمال البركار و الوحدة ’‪. AI‬‬
‫‪AI' ‬‬

‫‪22‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثانية ثانوي إعدادي‬

‫مثــــــال‬

‫تقسيم قطعة إلى قطع متقايسة‬

‫)‪(n = 5‬‬

‫‪23‬‬


Slide 20

‫المستقيمات الموازية ألضالع مثلث‬
‫المادة ‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى ‪:‬‬

‫الثانية ثانوي إعدادي‬

‫‪1‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثانية ثانوي إعدادي‬

‫تذكيـــــــــــر‬

‫‪ -1‬مساحة مثلث‬
‫‪ -1‬أحسب مساحة مثلث ‪ ABC‬قائم الزاوية في ‪A‬‬
‫بحيث ‪ AC = 4‬و ‪AB = 3‬‬
‫‪ -2‬ماهي مساحة مثلث؟‬
‫مساحة مثلث =‬

‫القاعدة × اإلرتفاع‬

‫‪2‬‬
‫‪2‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثانية ثانوي إعدادي‬

‫تذكيـــــــــــر‬

‫‪ -2‬التناسبية‬
‫‪x 7‬‬
‫‪ -1‬أحسب ‪ x‬إذا علمت أن ‪‬‬
‫‪3 5‬‬
‫‪x x 1‬‬
‫‪‬‬
‫‪ -2‬أحسب ‪ x‬إذا علمت أن‬
‫‪2‬‬
‫‪3‬‬
‫‪a c‬‬
‫‪‬‬
‫‪b d‬‬

‫تعني ‪a × d = b × c‬‬

‫‪3‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثانية ثانوي إعدادي‬

‫المستقيم المار من منتصفي‬
‫ضلعين في مثلث‬

‫نشاط تمهيدي ‪: 1‬‬
‫‪ ABC‬مثلث و ’‪ B‬و ’‪ C‬على التوالي منتصفا القطعتين ]‪ [AC‬و ]‪.[AB‬‬
‫لتكن ‪ D‬مماثلة النقطة ’‪ B‬بالنسبة للنقطة ’‪C‬‬
‫‪ -1‬انشئ الشكل‪.‬‬
‫‪ -2‬بين أن )’‪(BD) // (CB‬‬
‫‪-3‬‬

‫أ‪ -‬بين أن )‪(B’C’) // (BC‬‬

‫ب‪ -‬بين أن‬

‫‪1‬‬
‫‪B C  BC‬‬
‫‪2‬‬
‫’‬

‫’‬

‫‪4‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثانية ثانوي إعدادي‬

‫المستقيم المار من منتصفي‬
‫ضلعين في مثلث‬

‫‪ -2‬الرباعي ‪ AB’BD‬متوازي األضالع‬
‫)للقطرين ]‪ [AB‬و ]‪ [DB′‬نفس المنتصف ‪(C′‬‬
‫إذن )‪(DB) // (AB′‬‬

‫•‪D‬‬

‫و حيث أن )‪(AB′) = (AC‬‬
‫فإن )‪(DB) // (CB′‬‬

‫‪5‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثانية ثانوي إعدادي‬

‫المستقيم المار من منتصفي‬
‫ضلعين في مثلث‬

‫‪ -3‬لدينا )‪ (BD) // (B’C‬و ‪BD = B’A = B’C‬‬
‫إذن ‪ BCB’D‬متوازي األضالع‬
‫أ‪ -‬وبالتالي )‪(B’D) // (BC‬‬

‫•‪D‬‬

‫أي )‪(B’C’) // (BC‬‬

‫ب‪-‬‬

‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪B’C’  B’D  BC‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪6‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثانية ثانوي إعدادي‬

‫المستقيم المار من منتصفي‬
‫ضلعين في مثلث‬

‫خاصية ‪1‬‬
‫‪ ‬المستقيم المار من منتصفي ضلعي في مثلث‬
‫يوازي الضلع الثالث‪.‬‬
‫‪ ‬طول القطعة التي تربط بين منتصفي ضلعي‬
‫مثلث يساوي نصف طول الضلع الثالث‪.‬‬

‫‪7‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثانية ثانوي إعدادي‬

‫المستقيم المار من منتصفي‬
‫ضلعين في مثلث‬

‫باستعمال الرموز‬
‫‪ ABC‬مثلث‬

‫إذا كان‬

‫’‪ B‬منتصف ]‪[AC‬‬
‫و‬
‫’‪ C‬منتصف ]‪[AB‬‬

‫فإن‬

‫)‪(B’C’) // (BC‬‬
‫و‬
‫‪1‬‬
‫‪B’C’  BC‬‬
‫‪2‬‬
‫‪8‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثانية ثانوي إعدادي‬

‫المستقيم المار من منتصفي‬
‫ضلعين في مثلث‬

‫تمارين تطبيقية‬
‫‪ ‬التمرين رقم ‪ 1‬صفحة ‪.133‬‬
‫)كتاب المسار(‬
‫‪ ‬التمرين رقم ‪ 7‬صفحة ‪.133‬‬
‫)كتاب المسار(‬

‫‪9‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثانية ثانوي إعدادي‬

‫المستقيم المار من منتصف ضلع‬
‫لمثلث و الموازي لضلع آخر‬

‫نشاط تمهيدي ‪: 2‬‬
‫النشاط رقم ‪ 2‬صفحة ‪.126‬‬
‫)كتاب المسار(‬
‫المعطيات‪:‬‬

‫؟‬

‫‪ ABC ‬مثلث‬
‫‪ C′ ‬منتصف ]‪[AB‬‬

‫‪ (∆) // (BC) ‬و )∆(‪C′Є‬‬
‫‪ (∆) ‬يقطع )‪ (AC‬في ‪K‬‬
‫‪ B′ ‬منتصف ]‪[CA‬‬
‫‪10‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثانية ثانوي إعدادي‬

‫المستقيم المار من منتصف ضلع‬
‫لمثلث و الموازي لضلع آخر‬

‫لنبين أن ‪B’ = K‬‬
‫‪‬المستقيمان )’‪ (B’C‬و )∆( يوازيان )‪(BC‬‬
‫و لهما نقطة مشتركة‬
‫إذن )’‪ (∆) = (B’C‬و منه ’‪K = B‬‬

‫‪11‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثانية ثانوي إعدادي‬

‫المستقيم المار من منتصف ضلع‬
‫لمثلث و الموازي لضلع آخر‬

‫خاصية ‪2‬‬
‫المستقيم المار من منتصف ضلع مثلث‬
‫و الموازي لضلع آخر في هذا المثلث‬
‫يمر من منتصف الضلع الثالث‪.‬‬

‫‪12‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثانية ثانوي إعدادي‬

‫المستقيم المار من منتصف ضلع‬
‫لمثلث و الموازي لضلع آخر‬

‫باستعمال الرموز‬
‫‪ ABC‬مثلث و ’‪ B‬منتصف ]‪ [AC‬و )∆( مستقيم‪.‬‬

‫إذا كان‬

‫فإن‬

‫)∆( يمر من ’‪B‬‬
‫و‬
‫)∆( يوازي )‪(BC‬‬

‫)∆( يقطع القطعة ]‪ [AB‬في منتصفها‪.‬‬

‫‪13‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثانية ثانوي إعدادي‬

‫المستقيم المار من منتصف ضلع‬
‫لمثلث و الموازي لضلع آخر‬

‫تمرين تطبيقي‬
‫تمرين ‪ 13‬صفحة ‪.134‬‬
‫)كتاب المسار(‬
‫المعطيات‪:‬‬
‫‪ B’‬منتصف ]‪[AC‬‬

‫المطلوب‪:‬‬
‫‪ K ‬منتصف ]‪[AM‬‬

‫‪ C’‬منتصف ]‪[AB‬‬
‫‪M Є (BC )‬‬
‫‪ (B’C’)‬يقطع )‪ (AM‬في ‪K‬‬
‫‪14‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثانية ثانوي إعدادي‬

‫المستقيم المار من منتصف ضلع‬
‫لمثلث و الموازي لضلع آخر‬

‫‪ ‬في المثلث ‪.ABC‬‬
‫بما أن ’‪ B‬و ’‪ C‬هما منتصفا ]‪ [AC‬و ]‪[AB‬‬
‫على التوالي فإن )‪(B’C’) // (BC‬‬

‫‪ ‬المستقيم )’‪ (B’C‬يمر من ’‪ B‬منتصف ]‪[AC‬‬
‫و يقطع ]‪ [AM‬في ‪ K‬و يوازي )‪(CM‬‬

‫في المثلث ‪ACM‬‬
‫إذن‪ K :‬منتصف ]‪[AM‬‬
‫‪15‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثانية ثانوي إعدادي‬

‫المستقيم الموازي لضلع في مثلث‬

‫نشاط تمهيدي ‪: 3‬‬
‫النشاط رقم ‪ 3‬صفحة ‪.126‬‬
‫)كتاب المسار(‬
‫‪ -1‬نحسب مساحة المثلث ‪ ABC‬بطريقتين‪:‬‬
‫‪AB  BC BH  AC‬‬
‫‪‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫إذن‪AB  BC  BH  AC :‬‬

‫و منه‪:‬‬

‫‪AB  BC‬‬
‫‪BH ‬‬
‫‪AC‬‬
‫‪16‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثانية ثانوي إعدادي‬

‫المستقيم الموازي لضلع في مثلث‬

‫‪ -2‬مساحة المثلث ‪:BCN‬‬
‫‪NN  BC BM  BC‬‬
‫‪‬‬
‫بإعتبار اإلرتفاع ]‪ [NN′‬نجد‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪BH  NC‬‬
‫‪2‬‬

‫بإعتبار اإلرتفاع )‪ (BH‬نجد‬
‫و منه نجد‪:‬‬

‫إذن‪:‬‬
‫أي‪:‬‬

‫‪(NN′ = BM) a ‬‬
‫‪a‬‬

‫‪BM  BC  BH  NC‬‬

‫‪AB  BC‬‬
‫‪ NC‬‬
‫‪AC‬‬

‫‪BM  BC ‬‬

‫‪BM  AC  BA  NC‬‬

‫وحيث أن‪NC  AC  AN :‬‬

‫و ‪BM  AB  AM‬‬

‫فإن‪AB  AC  AM  AC  AB  AC  AB  AN :‬‬

‫ومنه‪:‬‬

‫‪AM AN‬‬
‫‪‬‬
‫‪AB AC‬‬

‫و ‪AM  AC  AB  AN‬‬
‫‪17‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثانية ثانوي إعدادي‬

‫المستقيم الموازي لضلع في مثلث‬

‫خاصية ‪3‬‬
‫‪ ABC‬مثلث و ‪ M‬و ‪ N‬نقطتان من ]‪ [AB‬و ]‪ [AC‬على التوالي‬
‫إذا كان )‪(MN) // (BC‬‬
‫فإن‪:‬‬

‫‪AM AN MN‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪AB AC BC‬‬

‫‪18‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثانية ثانوي إعدادي‬

‫المستقيم الموازي لضلع في مثلث‬

‫تمرين تطبيقي‬
‫تمرين ‪ 19‬صفحة ‪.134‬‬
‫)كتاب المسار(‬
‫المطلوب‪:‬‬

‫المعطيات‪:‬‬
‫‪ AM = 5 ‬و ‪ AB = 8‬و ‪ BC = 9‬و )‪(MN) // (BC‬‬

‫بما أن‪ MЄ[AB] :‬و ]‪ NЄ[AC‬و )‪(MN) // (BC‬‬

‫أي‪:‬‬

‫‪MN 5‬‬
‫‪‬‬
‫‪9‬‬
‫‪8‬‬

‫ومنه‪:‬‬

‫فإن‪:‬‬

‫‪‬حساب المسافة ‪MN‬‬
‫‪MN AM‬‬
‫‪‬‬
‫‪BC AB‬‬

‫‪5  9 45‬‬
‫‪‬‬
‫‪8‬‬
‫‪8‬‬

‫‪MN ‬‬

‫‪19‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثانية ثانوي إعدادي‬

‫تقسيم قطعة إلى قطع متقايسة‬

‫نشاط تمهيدي ‪: 4‬‬
‫النشاط رقم ‪ 5‬صفحة ‪.126‬‬
‫)كتاب المسار(‬

‫في المثلث ´‪ AJJ‬لدينا ‪:‬‬
‫في‬

‫‪AI‬‬
‫‪AI' 1‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪AJ AJ' 2‬‬

‫إذن‪:‬‬

‫'‪2AI'  AJ‬‬

‫‪1‬‬
‫‪AC‬‬
‫‪3‬‬

‫‪AI‬‬
‫‪AI' 1‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫إذن‪:‬‬
‫المثلث ‪ ABC‬لدينا ‪:‬‬
‫‪AB AC 3‬‬
‫‪2‬‬
‫‪AC  AJ' J'C  2AI' J'C  AC  J'C‬‬
‫و لدينا‪:‬‬
‫‪3‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫إذن‪ J'C  AC  AC  AC :‬إذن‪AI'  J'C  AC  AC :‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬

‫وبالتالي‪:‬‬

‫‪1‬‬
‫‪AC‬‬
‫‪3‬‬

‫‪AI' ‬‬

‫‪I' J'  AI'  J'C ‬‬
‫‪20‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثانية ثانوي إعدادي‬

‫تقسيم قطعة إلى قطع متقايسة‬

‫كيف إذن أمكن تقسيم القطعة ]‪ [AC‬إلى ‪ 3‬قطع متقايسة ؟‬
‫‪ ‬ننشئ ]‪ [AB‬مخالفا لـ ]‪[AC‬‬
‫‪ ‬نقسم القطعة ]‪ [AB‬إلى ‪ 3‬قطع متقايسة ( بواسطة البركار)‬
‫‪ ‬لتكن ‪ I‬على ]‪ [AB‬بحيث ‪AI = 1‬‬

‫• ننشئ )∆) المار من ‪ I‬و الموازي لـ )‪ (BC‬يقطع ]‪ [AC‬في ’‪I‬‬
‫• لدينا إذن‬

‫‪AC‬‬
‫‪3‬‬

‫‪AI' ‬‬

‫• نقسم القطعة ]‪ [AC‬بإستعمال الوحدة ’‪AI‬‬
‫‪21‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثانية ثانوي إعدادي‬

‫تقسيم قطعة إلى قطع متقايسة‬

‫قاعـــــدة‬
‫لتقسيم قطعة ]‪ [AB‬إلى ‪ n‬قطع متقايسة نتبع الخطوات التالية‪:‬‬
‫‪‬ننشئ نصف مستقيم )∆) مار من ‪ A‬و حامله مختلفا عن )‪(AB‬‬
‫‪‬نعتبر على )∆) النقطة ‪ C‬بحيث ‪AC = n‬‬
‫‪ ‬على ]‪ [AC‬نأخذ ‪ I‬بحيث ‪AI = 1‬‬
‫‪ ‬نمثل )‪(BC‬‬
‫‪‬ننشئ المستقيم )∆) المار من ‪ I‬و الموازي ل (‪ )BC‬الذي يقطع ]‪ [AB‬في ’‪I‬‬
‫‪AC‬‬
‫‪ ‬لدينا إذن‪:‬‬
‫‪3‬‬
‫‪‬نقسم القطعة ]‪ [AB‬بإستعمال البركار و الوحدة ’‪. AI‬‬
‫‪AI' ‬‬

‫‪22‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثانية ثانوي إعدادي‬

‫مثــــــال‬

‫تقسيم قطعة إلى قطع متقايسة‬

‫)‪(n = 5‬‬

‫‪23‬‬


Slide 21

‫المستقيمات الموازية ألضالع مثلث‬
‫المادة ‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى ‪:‬‬

‫الثانية ثانوي إعدادي‬

‫‪1‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثانية ثانوي إعدادي‬

‫تذكيـــــــــــر‬

‫‪ -1‬مساحة مثلث‬
‫‪ -1‬أحسب مساحة مثلث ‪ ABC‬قائم الزاوية في ‪A‬‬
‫بحيث ‪ AC = 4‬و ‪AB = 3‬‬
‫‪ -2‬ماهي مساحة مثلث؟‬
‫مساحة مثلث =‬

‫القاعدة × اإلرتفاع‬

‫‪2‬‬
‫‪2‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثانية ثانوي إعدادي‬

‫تذكيـــــــــــر‬

‫‪ -2‬التناسبية‬
‫‪x 7‬‬
‫‪ -1‬أحسب ‪ x‬إذا علمت أن ‪‬‬
‫‪3 5‬‬
‫‪x x 1‬‬
‫‪‬‬
‫‪ -2‬أحسب ‪ x‬إذا علمت أن‬
‫‪2‬‬
‫‪3‬‬
‫‪a c‬‬
‫‪‬‬
‫‪b d‬‬

‫تعني ‪a × d = b × c‬‬

‫‪3‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثانية ثانوي إعدادي‬

‫المستقيم المار من منتصفي‬
‫ضلعين في مثلث‬

‫نشاط تمهيدي ‪: 1‬‬
‫‪ ABC‬مثلث و ’‪ B‬و ’‪ C‬على التوالي منتصفا القطعتين ]‪ [AC‬و ]‪.[AB‬‬
‫لتكن ‪ D‬مماثلة النقطة ’‪ B‬بالنسبة للنقطة ’‪C‬‬
‫‪ -1‬انشئ الشكل‪.‬‬
‫‪ -2‬بين أن )’‪(BD) // (CB‬‬
‫‪-3‬‬

‫أ‪ -‬بين أن )‪(B’C’) // (BC‬‬

‫ب‪ -‬بين أن‬

‫‪1‬‬
‫‪B C  BC‬‬
‫‪2‬‬
‫’‬

‫’‬

‫‪4‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثانية ثانوي إعدادي‬

‫المستقيم المار من منتصفي‬
‫ضلعين في مثلث‬

‫‪ -2‬الرباعي ‪ AB’BD‬متوازي األضالع‬
‫)للقطرين ]‪ [AB‬و ]‪ [DB′‬نفس المنتصف ‪(C′‬‬
‫إذن )‪(DB) // (AB′‬‬

‫•‪D‬‬

‫و حيث أن )‪(AB′) = (AC‬‬
‫فإن )‪(DB) // (CB′‬‬

‫‪5‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثانية ثانوي إعدادي‬

‫المستقيم المار من منتصفي‬
‫ضلعين في مثلث‬

‫‪ -3‬لدينا )‪ (BD) // (B’C‬و ‪BD = B’A = B’C‬‬
‫إذن ‪ BCB’D‬متوازي األضالع‬
‫أ‪ -‬وبالتالي )‪(B’D) // (BC‬‬

‫•‪D‬‬

‫أي )‪(B’C’) // (BC‬‬

‫ب‪-‬‬

‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪B’C’  B’D  BC‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪6‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثانية ثانوي إعدادي‬

‫المستقيم المار من منتصفي‬
‫ضلعين في مثلث‬

‫خاصية ‪1‬‬
‫‪ ‬المستقيم المار من منتصفي ضلعي في مثلث‬
‫يوازي الضلع الثالث‪.‬‬
‫‪ ‬طول القطعة التي تربط بين منتصفي ضلعي‬
‫مثلث يساوي نصف طول الضلع الثالث‪.‬‬

‫‪7‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثانية ثانوي إعدادي‬

‫المستقيم المار من منتصفي‬
‫ضلعين في مثلث‬

‫باستعمال الرموز‬
‫‪ ABC‬مثلث‬

‫إذا كان‬

‫’‪ B‬منتصف ]‪[AC‬‬
‫و‬
‫’‪ C‬منتصف ]‪[AB‬‬

‫فإن‬

‫)‪(B’C’) // (BC‬‬
‫و‬
‫‪1‬‬
‫‪B’C’  BC‬‬
‫‪2‬‬
‫‪8‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثانية ثانوي إعدادي‬

‫المستقيم المار من منتصفي‬
‫ضلعين في مثلث‬

‫تمارين تطبيقية‬
‫‪ ‬التمرين رقم ‪ 1‬صفحة ‪.133‬‬
‫)كتاب المسار(‬
‫‪ ‬التمرين رقم ‪ 7‬صفحة ‪.133‬‬
‫)كتاب المسار(‬

‫‪9‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثانية ثانوي إعدادي‬

‫المستقيم المار من منتصف ضلع‬
‫لمثلث و الموازي لضلع آخر‬

‫نشاط تمهيدي ‪: 2‬‬
‫النشاط رقم ‪ 2‬صفحة ‪.126‬‬
‫)كتاب المسار(‬
‫المعطيات‪:‬‬

‫؟‬

‫‪ ABC ‬مثلث‬
‫‪ C′ ‬منتصف ]‪[AB‬‬

‫‪ (∆) // (BC) ‬و )∆(‪C′Є‬‬
‫‪ (∆) ‬يقطع )‪ (AC‬في ‪K‬‬
‫‪ B′ ‬منتصف ]‪[CA‬‬
‫‪10‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثانية ثانوي إعدادي‬

‫المستقيم المار من منتصف ضلع‬
‫لمثلث و الموازي لضلع آخر‬

‫لنبين أن ‪B’ = K‬‬
‫‪‬المستقيمان )’‪ (B’C‬و )∆( يوازيان )‪(BC‬‬
‫و لهما نقطة مشتركة‬
‫إذن )’‪ (∆) = (B’C‬و منه ’‪K = B‬‬

‫‪11‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثانية ثانوي إعدادي‬

‫المستقيم المار من منتصف ضلع‬
‫لمثلث و الموازي لضلع آخر‬

‫خاصية ‪2‬‬
‫المستقيم المار من منتصف ضلع مثلث‬
‫و الموازي لضلع آخر في هذا المثلث‬
‫يمر من منتصف الضلع الثالث‪.‬‬

‫‪12‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثانية ثانوي إعدادي‬

‫المستقيم المار من منتصف ضلع‬
‫لمثلث و الموازي لضلع آخر‬

‫باستعمال الرموز‬
‫‪ ABC‬مثلث و ’‪ B‬منتصف ]‪ [AC‬و )∆( مستقيم‪.‬‬

‫إذا كان‬

‫فإن‬

‫)∆( يمر من ’‪B‬‬
‫و‬
‫)∆( يوازي )‪(BC‬‬

‫)∆( يقطع القطعة ]‪ [AB‬في منتصفها‪.‬‬

‫‪13‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثانية ثانوي إعدادي‬

‫المستقيم المار من منتصف ضلع‬
‫لمثلث و الموازي لضلع آخر‬

‫تمرين تطبيقي‬
‫تمرين ‪ 13‬صفحة ‪.134‬‬
‫)كتاب المسار(‬
‫المعطيات‪:‬‬
‫‪ B’‬منتصف ]‪[AC‬‬

‫المطلوب‪:‬‬
‫‪ K ‬منتصف ]‪[AM‬‬

‫‪ C’‬منتصف ]‪[AB‬‬
‫‪M Є (BC )‬‬
‫‪ (B’C’)‬يقطع )‪ (AM‬في ‪K‬‬
‫‪14‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثانية ثانوي إعدادي‬

‫المستقيم المار من منتصف ضلع‬
‫لمثلث و الموازي لضلع آخر‬

‫‪ ‬في المثلث ‪.ABC‬‬
‫بما أن ’‪ B‬و ’‪ C‬هما منتصفا ]‪ [AC‬و ]‪[AB‬‬
‫على التوالي فإن )‪(B’C’) // (BC‬‬

‫‪ ‬المستقيم )’‪ (B’C‬يمر من ’‪ B‬منتصف ]‪[AC‬‬
‫و يقطع ]‪ [AM‬في ‪ K‬و يوازي )‪(CM‬‬

‫في المثلث ‪ACM‬‬
‫إذن‪ K :‬منتصف ]‪[AM‬‬
‫‪15‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثانية ثانوي إعدادي‬

‫المستقيم الموازي لضلع في مثلث‬

‫نشاط تمهيدي ‪: 3‬‬
‫النشاط رقم ‪ 3‬صفحة ‪.126‬‬
‫)كتاب المسار(‬
‫‪ -1‬نحسب مساحة المثلث ‪ ABC‬بطريقتين‪:‬‬
‫‪AB  BC BH  AC‬‬
‫‪‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫إذن‪AB  BC  BH  AC :‬‬

‫و منه‪:‬‬

‫‪AB  BC‬‬
‫‪BH ‬‬
‫‪AC‬‬
‫‪16‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثانية ثانوي إعدادي‬

‫المستقيم الموازي لضلع في مثلث‬

‫‪ -2‬مساحة المثلث ‪:BCN‬‬
‫‪NN  BC BM  BC‬‬
‫‪‬‬
‫بإعتبار اإلرتفاع ]‪ [NN′‬نجد‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪BH  NC‬‬
‫‪2‬‬

‫بإعتبار اإلرتفاع )‪ (BH‬نجد‬
‫و منه نجد‪:‬‬

‫إذن‪:‬‬
‫أي‪:‬‬

‫‪(NN′ = BM) a ‬‬
‫‪a‬‬

‫‪BM  BC  BH  NC‬‬

‫‪AB  BC‬‬
‫‪ NC‬‬
‫‪AC‬‬

‫‪BM  BC ‬‬

‫‪BM  AC  BA  NC‬‬

‫وحيث أن‪NC  AC  AN :‬‬

‫و ‪BM  AB  AM‬‬

‫فإن‪AB  AC  AM  AC  AB  AC  AB  AN :‬‬

‫ومنه‪:‬‬

‫‪AM AN‬‬
‫‪‬‬
‫‪AB AC‬‬

‫و ‪AM  AC  AB  AN‬‬
‫‪17‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثانية ثانوي إعدادي‬

‫المستقيم الموازي لضلع في مثلث‬

‫خاصية ‪3‬‬
‫‪ ABC‬مثلث و ‪ M‬و ‪ N‬نقطتان من ]‪ [AB‬و ]‪ [AC‬على التوالي‬
‫إذا كان )‪(MN) // (BC‬‬
‫فإن‪:‬‬

‫‪AM AN MN‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪AB AC BC‬‬

‫‪18‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثانية ثانوي إعدادي‬

‫المستقيم الموازي لضلع في مثلث‬

‫تمرين تطبيقي‬
‫تمرين ‪ 19‬صفحة ‪.134‬‬
‫)كتاب المسار(‬
‫المطلوب‪:‬‬

‫المعطيات‪:‬‬
‫‪ AM = 5 ‬و ‪ AB = 8‬و ‪ BC = 9‬و )‪(MN) // (BC‬‬

‫بما أن‪ MЄ[AB] :‬و ]‪ NЄ[AC‬و )‪(MN) // (BC‬‬

‫أي‪:‬‬

‫‪MN 5‬‬
‫‪‬‬
‫‪9‬‬
‫‪8‬‬

‫ومنه‪:‬‬

‫فإن‪:‬‬

‫‪‬حساب المسافة ‪MN‬‬
‫‪MN AM‬‬
‫‪‬‬
‫‪BC AB‬‬

‫‪5  9 45‬‬
‫‪‬‬
‫‪8‬‬
‫‪8‬‬

‫‪MN ‬‬

‫‪19‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثانية ثانوي إعدادي‬

‫تقسيم قطعة إلى قطع متقايسة‬

‫نشاط تمهيدي ‪: 4‬‬
‫النشاط رقم ‪ 5‬صفحة ‪.126‬‬
‫)كتاب المسار(‬

‫في المثلث ´‪ AJJ‬لدينا ‪:‬‬
‫في‬

‫‪AI‬‬
‫‪AI' 1‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪AJ AJ' 2‬‬

‫إذن‪:‬‬

‫'‪2AI'  AJ‬‬

‫‪1‬‬
‫‪AC‬‬
‫‪3‬‬

‫‪AI‬‬
‫‪AI' 1‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫إذن‪:‬‬
‫المثلث ‪ ABC‬لدينا ‪:‬‬
‫‪AB AC 3‬‬
‫‪2‬‬
‫‪AC  AJ' J'C  2AI' J'C  AC  J'C‬‬
‫و لدينا‪:‬‬
‫‪3‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫إذن‪ J'C  AC  AC  AC :‬إذن‪AI'  J'C  AC  AC :‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬

‫وبالتالي‪:‬‬

‫‪1‬‬
‫‪AC‬‬
‫‪3‬‬

‫‪AI' ‬‬

‫‪I' J'  AI'  J'C ‬‬
‫‪20‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثانية ثانوي إعدادي‬

‫تقسيم قطعة إلى قطع متقايسة‬

‫كيف إذن أمكن تقسيم القطعة ]‪ [AC‬إلى ‪ 3‬قطع متقايسة ؟‬
‫‪ ‬ننشئ ]‪ [AB‬مخالفا لـ ]‪[AC‬‬
‫‪ ‬نقسم القطعة ]‪ [AB‬إلى ‪ 3‬قطع متقايسة ( بواسطة البركار)‬
‫‪ ‬لتكن ‪ I‬على ]‪ [AB‬بحيث ‪AI = 1‬‬

‫• ننشئ )∆) المار من ‪ I‬و الموازي لـ )‪ (BC‬يقطع ]‪ [AC‬في ’‪I‬‬
‫• لدينا إذن‬

‫‪AC‬‬
‫‪3‬‬

‫‪AI' ‬‬

‫• نقسم القطعة ]‪ [AC‬بإستعمال الوحدة ’‪AI‬‬
‫‪21‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثانية ثانوي إعدادي‬

‫تقسيم قطعة إلى قطع متقايسة‬

‫قاعـــــدة‬
‫لتقسيم قطعة ]‪ [AB‬إلى ‪ n‬قطع متقايسة نتبع الخطوات التالية‪:‬‬
‫‪‬ننشئ نصف مستقيم )∆) مار من ‪ A‬و حامله مختلفا عن )‪(AB‬‬
‫‪‬نعتبر على )∆) النقطة ‪ C‬بحيث ‪AC = n‬‬
‫‪ ‬على ]‪ [AC‬نأخذ ‪ I‬بحيث ‪AI = 1‬‬
‫‪ ‬نمثل )‪(BC‬‬
‫‪‬ننشئ المستقيم )∆) المار من ‪ I‬و الموازي ل (‪ )BC‬الذي يقطع ]‪ [AB‬في ’‪I‬‬
‫‪AC‬‬
‫‪ ‬لدينا إذن‪:‬‬
‫‪3‬‬
‫‪‬نقسم القطعة ]‪ [AB‬بإستعمال البركار و الوحدة ’‪. AI‬‬
‫‪AI' ‬‬

‫‪22‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثانية ثانوي إعدادي‬

‫مثــــــال‬

‫تقسيم قطعة إلى قطع متقايسة‬

‫)‪(n = 5‬‬

‫‪23‬‬


Slide 22

‫المستقيمات الموازية ألضالع مثلث‬
‫المادة ‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى ‪:‬‬

‫الثانية ثانوي إعدادي‬

‫‪1‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثانية ثانوي إعدادي‬

‫تذكيـــــــــــر‬

‫‪ -1‬مساحة مثلث‬
‫‪ -1‬أحسب مساحة مثلث ‪ ABC‬قائم الزاوية في ‪A‬‬
‫بحيث ‪ AC = 4‬و ‪AB = 3‬‬
‫‪ -2‬ماهي مساحة مثلث؟‬
‫مساحة مثلث =‬

‫القاعدة × اإلرتفاع‬

‫‪2‬‬
‫‪2‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثانية ثانوي إعدادي‬

‫تذكيـــــــــــر‬

‫‪ -2‬التناسبية‬
‫‪x 7‬‬
‫‪ -1‬أحسب ‪ x‬إذا علمت أن ‪‬‬
‫‪3 5‬‬
‫‪x x 1‬‬
‫‪‬‬
‫‪ -2‬أحسب ‪ x‬إذا علمت أن‬
‫‪2‬‬
‫‪3‬‬
‫‪a c‬‬
‫‪‬‬
‫‪b d‬‬

‫تعني ‪a × d = b × c‬‬

‫‪3‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثانية ثانوي إعدادي‬

‫المستقيم المار من منتصفي‬
‫ضلعين في مثلث‬

‫نشاط تمهيدي ‪: 1‬‬
‫‪ ABC‬مثلث و ’‪ B‬و ’‪ C‬على التوالي منتصفا القطعتين ]‪ [AC‬و ]‪.[AB‬‬
‫لتكن ‪ D‬مماثلة النقطة ’‪ B‬بالنسبة للنقطة ’‪C‬‬
‫‪ -1‬انشئ الشكل‪.‬‬
‫‪ -2‬بين أن )’‪(BD) // (CB‬‬
‫‪-3‬‬

‫أ‪ -‬بين أن )‪(B’C’) // (BC‬‬

‫ب‪ -‬بين أن‬

‫‪1‬‬
‫‪B C  BC‬‬
‫‪2‬‬
‫’‬

‫’‬

‫‪4‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثانية ثانوي إعدادي‬

‫المستقيم المار من منتصفي‬
‫ضلعين في مثلث‬

‫‪ -2‬الرباعي ‪ AB’BD‬متوازي األضالع‬
‫)للقطرين ]‪ [AB‬و ]‪ [DB′‬نفس المنتصف ‪(C′‬‬
‫إذن )‪(DB) // (AB′‬‬

‫•‪D‬‬

‫و حيث أن )‪(AB′) = (AC‬‬
‫فإن )‪(DB) // (CB′‬‬

‫‪5‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثانية ثانوي إعدادي‬

‫المستقيم المار من منتصفي‬
‫ضلعين في مثلث‬

‫‪ -3‬لدينا )‪ (BD) // (B’C‬و ‪BD = B’A = B’C‬‬
‫إذن ‪ BCB’D‬متوازي األضالع‬
‫أ‪ -‬وبالتالي )‪(B’D) // (BC‬‬

‫•‪D‬‬

‫أي )‪(B’C’) // (BC‬‬

‫ب‪-‬‬

‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪B’C’  B’D  BC‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪6‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثانية ثانوي إعدادي‬

‫المستقيم المار من منتصفي‬
‫ضلعين في مثلث‬

‫خاصية ‪1‬‬
‫‪ ‬المستقيم المار من منتصفي ضلعي في مثلث‬
‫يوازي الضلع الثالث‪.‬‬
‫‪ ‬طول القطعة التي تربط بين منتصفي ضلعي‬
‫مثلث يساوي نصف طول الضلع الثالث‪.‬‬

‫‪7‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثانية ثانوي إعدادي‬

‫المستقيم المار من منتصفي‬
‫ضلعين في مثلث‬

‫باستعمال الرموز‬
‫‪ ABC‬مثلث‬

‫إذا كان‬

‫’‪ B‬منتصف ]‪[AC‬‬
‫و‬
‫’‪ C‬منتصف ]‪[AB‬‬

‫فإن‬

‫)‪(B’C’) // (BC‬‬
‫و‬
‫‪1‬‬
‫‪B’C’  BC‬‬
‫‪2‬‬
‫‪8‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثانية ثانوي إعدادي‬

‫المستقيم المار من منتصفي‬
‫ضلعين في مثلث‬

‫تمارين تطبيقية‬
‫‪ ‬التمرين رقم ‪ 1‬صفحة ‪.133‬‬
‫)كتاب المسار(‬
‫‪ ‬التمرين رقم ‪ 7‬صفحة ‪.133‬‬
‫)كتاب المسار(‬

‫‪9‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثانية ثانوي إعدادي‬

‫المستقيم المار من منتصف ضلع‬
‫لمثلث و الموازي لضلع آخر‬

‫نشاط تمهيدي ‪: 2‬‬
‫النشاط رقم ‪ 2‬صفحة ‪.126‬‬
‫)كتاب المسار(‬
‫المعطيات‪:‬‬

‫؟‬

‫‪ ABC ‬مثلث‬
‫‪ C′ ‬منتصف ]‪[AB‬‬

‫‪ (∆) // (BC) ‬و )∆(‪C′Є‬‬
‫‪ (∆) ‬يقطع )‪ (AC‬في ‪K‬‬
‫‪ B′ ‬منتصف ]‪[CA‬‬
‫‪10‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثانية ثانوي إعدادي‬

‫المستقيم المار من منتصف ضلع‬
‫لمثلث و الموازي لضلع آخر‬

‫لنبين أن ‪B’ = K‬‬
‫‪‬المستقيمان )’‪ (B’C‬و )∆( يوازيان )‪(BC‬‬
‫و لهما نقطة مشتركة‬
‫إذن )’‪ (∆) = (B’C‬و منه ’‪K = B‬‬

‫‪11‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثانية ثانوي إعدادي‬

‫المستقيم المار من منتصف ضلع‬
‫لمثلث و الموازي لضلع آخر‬

‫خاصية ‪2‬‬
‫المستقيم المار من منتصف ضلع مثلث‬
‫و الموازي لضلع آخر في هذا المثلث‬
‫يمر من منتصف الضلع الثالث‪.‬‬

‫‪12‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثانية ثانوي إعدادي‬

‫المستقيم المار من منتصف ضلع‬
‫لمثلث و الموازي لضلع آخر‬

‫باستعمال الرموز‬
‫‪ ABC‬مثلث و ’‪ B‬منتصف ]‪ [AC‬و )∆( مستقيم‪.‬‬

‫إذا كان‬

‫فإن‬

‫)∆( يمر من ’‪B‬‬
‫و‬
‫)∆( يوازي )‪(BC‬‬

‫)∆( يقطع القطعة ]‪ [AB‬في منتصفها‪.‬‬

‫‪13‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثانية ثانوي إعدادي‬

‫المستقيم المار من منتصف ضلع‬
‫لمثلث و الموازي لضلع آخر‬

‫تمرين تطبيقي‬
‫تمرين ‪ 13‬صفحة ‪.134‬‬
‫)كتاب المسار(‬
‫المعطيات‪:‬‬
‫‪ B’‬منتصف ]‪[AC‬‬

‫المطلوب‪:‬‬
‫‪ K ‬منتصف ]‪[AM‬‬

‫‪ C’‬منتصف ]‪[AB‬‬
‫‪M Є (BC )‬‬
‫‪ (B’C’)‬يقطع )‪ (AM‬في ‪K‬‬
‫‪14‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثانية ثانوي إعدادي‬

‫المستقيم المار من منتصف ضلع‬
‫لمثلث و الموازي لضلع آخر‬

‫‪ ‬في المثلث ‪.ABC‬‬
‫بما أن ’‪ B‬و ’‪ C‬هما منتصفا ]‪ [AC‬و ]‪[AB‬‬
‫على التوالي فإن )‪(B’C’) // (BC‬‬

‫‪ ‬المستقيم )’‪ (B’C‬يمر من ’‪ B‬منتصف ]‪[AC‬‬
‫و يقطع ]‪ [AM‬في ‪ K‬و يوازي )‪(CM‬‬

‫في المثلث ‪ACM‬‬
‫إذن‪ K :‬منتصف ]‪[AM‬‬
‫‪15‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثانية ثانوي إعدادي‬

‫المستقيم الموازي لضلع في مثلث‬

‫نشاط تمهيدي ‪: 3‬‬
‫النشاط رقم ‪ 3‬صفحة ‪.126‬‬
‫)كتاب المسار(‬
‫‪ -1‬نحسب مساحة المثلث ‪ ABC‬بطريقتين‪:‬‬
‫‪AB  BC BH  AC‬‬
‫‪‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫إذن‪AB  BC  BH  AC :‬‬

‫و منه‪:‬‬

‫‪AB  BC‬‬
‫‪BH ‬‬
‫‪AC‬‬
‫‪16‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثانية ثانوي إعدادي‬

‫المستقيم الموازي لضلع في مثلث‬

‫‪ -2‬مساحة المثلث ‪:BCN‬‬
‫‪NN  BC BM  BC‬‬
‫‪‬‬
‫بإعتبار اإلرتفاع ]‪ [NN′‬نجد‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪BH  NC‬‬
‫‪2‬‬

‫بإعتبار اإلرتفاع )‪ (BH‬نجد‬
‫و منه نجد‪:‬‬

‫إذن‪:‬‬
‫أي‪:‬‬

‫‪(NN′ = BM) a ‬‬
‫‪a‬‬

‫‪BM  BC  BH  NC‬‬

‫‪AB  BC‬‬
‫‪ NC‬‬
‫‪AC‬‬

‫‪BM  BC ‬‬

‫‪BM  AC  BA  NC‬‬

‫وحيث أن‪NC  AC  AN :‬‬

‫و ‪BM  AB  AM‬‬

‫فإن‪AB  AC  AM  AC  AB  AC  AB  AN :‬‬

‫ومنه‪:‬‬

‫‪AM AN‬‬
‫‪‬‬
‫‪AB AC‬‬

‫و ‪AM  AC  AB  AN‬‬
‫‪17‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثانية ثانوي إعدادي‬

‫المستقيم الموازي لضلع في مثلث‬

‫خاصية ‪3‬‬
‫‪ ABC‬مثلث و ‪ M‬و ‪ N‬نقطتان من ]‪ [AB‬و ]‪ [AC‬على التوالي‬
‫إذا كان )‪(MN) // (BC‬‬
‫فإن‪:‬‬

‫‪AM AN MN‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪AB AC BC‬‬

‫‪18‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثانية ثانوي إعدادي‬

‫المستقيم الموازي لضلع في مثلث‬

‫تمرين تطبيقي‬
‫تمرين ‪ 19‬صفحة ‪.134‬‬
‫)كتاب المسار(‬
‫المطلوب‪:‬‬

‫المعطيات‪:‬‬
‫‪ AM = 5 ‬و ‪ AB = 8‬و ‪ BC = 9‬و )‪(MN) // (BC‬‬

‫بما أن‪ MЄ[AB] :‬و ]‪ NЄ[AC‬و )‪(MN) // (BC‬‬

‫أي‪:‬‬

‫‪MN 5‬‬
‫‪‬‬
‫‪9‬‬
‫‪8‬‬

‫ومنه‪:‬‬

‫فإن‪:‬‬

‫‪‬حساب المسافة ‪MN‬‬
‫‪MN AM‬‬
‫‪‬‬
‫‪BC AB‬‬

‫‪5  9 45‬‬
‫‪‬‬
‫‪8‬‬
‫‪8‬‬

‫‪MN ‬‬

‫‪19‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثانية ثانوي إعدادي‬

‫تقسيم قطعة إلى قطع متقايسة‬

‫نشاط تمهيدي ‪: 4‬‬
‫النشاط رقم ‪ 5‬صفحة ‪.126‬‬
‫)كتاب المسار(‬

‫في المثلث ´‪ AJJ‬لدينا ‪:‬‬
‫في‬

‫‪AI‬‬
‫‪AI' 1‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪AJ AJ' 2‬‬

‫إذن‪:‬‬

‫'‪2AI'  AJ‬‬

‫‪1‬‬
‫‪AC‬‬
‫‪3‬‬

‫‪AI‬‬
‫‪AI' 1‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫إذن‪:‬‬
‫المثلث ‪ ABC‬لدينا ‪:‬‬
‫‪AB AC 3‬‬
‫‪2‬‬
‫‪AC  AJ' J'C  2AI' J'C  AC  J'C‬‬
‫و لدينا‪:‬‬
‫‪3‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫إذن‪ J'C  AC  AC  AC :‬إذن‪AI'  J'C  AC  AC :‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬

‫وبالتالي‪:‬‬

‫‪1‬‬
‫‪AC‬‬
‫‪3‬‬

‫‪AI' ‬‬

‫‪I' J'  AI'  J'C ‬‬
‫‪20‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثانية ثانوي إعدادي‬

‫تقسيم قطعة إلى قطع متقايسة‬

‫كيف إذن أمكن تقسيم القطعة ]‪ [AC‬إلى ‪ 3‬قطع متقايسة ؟‬
‫‪ ‬ننشئ ]‪ [AB‬مخالفا لـ ]‪[AC‬‬
‫‪ ‬نقسم القطعة ]‪ [AB‬إلى ‪ 3‬قطع متقايسة ( بواسطة البركار)‬
‫‪ ‬لتكن ‪ I‬على ]‪ [AB‬بحيث ‪AI = 1‬‬

‫• ننشئ )∆) المار من ‪ I‬و الموازي لـ )‪ (BC‬يقطع ]‪ [AC‬في ’‪I‬‬
‫• لدينا إذن‬

‫‪AC‬‬
‫‪3‬‬

‫‪AI' ‬‬

‫• نقسم القطعة ]‪ [AC‬بإستعمال الوحدة ’‪AI‬‬
‫‪21‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثانية ثانوي إعدادي‬

‫تقسيم قطعة إلى قطع متقايسة‬

‫قاعـــــدة‬
‫لتقسيم قطعة ]‪ [AB‬إلى ‪ n‬قطع متقايسة نتبع الخطوات التالية‪:‬‬
‫‪‬ننشئ نصف مستقيم )∆) مار من ‪ A‬و حامله مختلفا عن )‪(AB‬‬
‫‪‬نعتبر على )∆) النقطة ‪ C‬بحيث ‪AC = n‬‬
‫‪ ‬على ]‪ [AC‬نأخذ ‪ I‬بحيث ‪AI = 1‬‬
‫‪ ‬نمثل )‪(BC‬‬
‫‪‬ننشئ المستقيم )∆) المار من ‪ I‬و الموازي ل (‪ )BC‬الذي يقطع ]‪ [AB‬في ’‪I‬‬
‫‪AC‬‬
‫‪ ‬لدينا إذن‪:‬‬
‫‪3‬‬
‫‪‬نقسم القطعة ]‪ [AB‬بإستعمال البركار و الوحدة ’‪. AI‬‬
‫‪AI' ‬‬

‫‪22‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثانية ثانوي إعدادي‬

‫مثــــــال‬

‫تقسيم قطعة إلى قطع متقايسة‬

‫)‪(n = 5‬‬

‫‪23‬‬


Slide 23

‫المستقيمات الموازية ألضالع مثلث‬
‫المادة ‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى ‪:‬‬

‫الثانية ثانوي إعدادي‬

‫‪1‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثانية ثانوي إعدادي‬

‫تذكيـــــــــــر‬

‫‪ -1‬مساحة مثلث‬
‫‪ -1‬أحسب مساحة مثلث ‪ ABC‬قائم الزاوية في ‪A‬‬
‫بحيث ‪ AC = 4‬و ‪AB = 3‬‬
‫‪ -2‬ماهي مساحة مثلث؟‬
‫مساحة مثلث =‬

‫القاعدة × اإلرتفاع‬

‫‪2‬‬
‫‪2‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثانية ثانوي إعدادي‬

‫تذكيـــــــــــر‬

‫‪ -2‬التناسبية‬
‫‪x 7‬‬
‫‪ -1‬أحسب ‪ x‬إذا علمت أن ‪‬‬
‫‪3 5‬‬
‫‪x x 1‬‬
‫‪‬‬
‫‪ -2‬أحسب ‪ x‬إذا علمت أن‬
‫‪2‬‬
‫‪3‬‬
‫‪a c‬‬
‫‪‬‬
‫‪b d‬‬

‫تعني ‪a × d = b × c‬‬

‫‪3‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثانية ثانوي إعدادي‬

‫المستقيم المار من منتصفي‬
‫ضلعين في مثلث‬

‫نشاط تمهيدي ‪: 1‬‬
‫‪ ABC‬مثلث و ’‪ B‬و ’‪ C‬على التوالي منتصفا القطعتين ]‪ [AC‬و ]‪.[AB‬‬
‫لتكن ‪ D‬مماثلة النقطة ’‪ B‬بالنسبة للنقطة ’‪C‬‬
‫‪ -1‬انشئ الشكل‪.‬‬
‫‪ -2‬بين أن )’‪(BD) // (CB‬‬
‫‪-3‬‬

‫أ‪ -‬بين أن )‪(B’C’) // (BC‬‬

‫ب‪ -‬بين أن‬

‫‪1‬‬
‫‪B C  BC‬‬
‫‪2‬‬
‫’‬

‫’‬

‫‪4‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثانية ثانوي إعدادي‬

‫المستقيم المار من منتصفي‬
‫ضلعين في مثلث‬

‫‪ -2‬الرباعي ‪ AB’BD‬متوازي األضالع‬
‫)للقطرين ]‪ [AB‬و ]‪ [DB′‬نفس المنتصف ‪(C′‬‬
‫إذن )‪(DB) // (AB′‬‬

‫•‪D‬‬

‫و حيث أن )‪(AB′) = (AC‬‬
‫فإن )‪(DB) // (CB′‬‬

‫‪5‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثانية ثانوي إعدادي‬

‫المستقيم المار من منتصفي‬
‫ضلعين في مثلث‬

‫‪ -3‬لدينا )‪ (BD) // (B’C‬و ‪BD = B’A = B’C‬‬
‫إذن ‪ BCB’D‬متوازي األضالع‬
‫أ‪ -‬وبالتالي )‪(B’D) // (BC‬‬

‫•‪D‬‬

‫أي )‪(B’C’) // (BC‬‬

‫ب‪-‬‬

‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪B’C’  B’D  BC‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪6‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثانية ثانوي إعدادي‬

‫المستقيم المار من منتصفي‬
‫ضلعين في مثلث‬

‫خاصية ‪1‬‬
‫‪ ‬المستقيم المار من منتصفي ضلعي في مثلث‬
‫يوازي الضلع الثالث‪.‬‬
‫‪ ‬طول القطعة التي تربط بين منتصفي ضلعي‬
‫مثلث يساوي نصف طول الضلع الثالث‪.‬‬

‫‪7‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثانية ثانوي إعدادي‬

‫المستقيم المار من منتصفي‬
‫ضلعين في مثلث‬

‫باستعمال الرموز‬
‫‪ ABC‬مثلث‬

‫إذا كان‬

‫’‪ B‬منتصف ]‪[AC‬‬
‫و‬
‫’‪ C‬منتصف ]‪[AB‬‬

‫فإن‬

‫)‪(B’C’) // (BC‬‬
‫و‬
‫‪1‬‬
‫‪B’C’  BC‬‬
‫‪2‬‬
‫‪8‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثانية ثانوي إعدادي‬

‫المستقيم المار من منتصفي‬
‫ضلعين في مثلث‬

‫تمارين تطبيقية‬
‫‪ ‬التمرين رقم ‪ 1‬صفحة ‪.133‬‬
‫)كتاب المسار(‬
‫‪ ‬التمرين رقم ‪ 7‬صفحة ‪.133‬‬
‫)كتاب المسار(‬

‫‪9‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثانية ثانوي إعدادي‬

‫المستقيم المار من منتصف ضلع‬
‫لمثلث و الموازي لضلع آخر‬

‫نشاط تمهيدي ‪: 2‬‬
‫النشاط رقم ‪ 2‬صفحة ‪.126‬‬
‫)كتاب المسار(‬
‫المعطيات‪:‬‬

‫؟‬

‫‪ ABC ‬مثلث‬
‫‪ C′ ‬منتصف ]‪[AB‬‬

‫‪ (∆) // (BC) ‬و )∆(‪C′Є‬‬
‫‪ (∆) ‬يقطع )‪ (AC‬في ‪K‬‬
‫‪ B′ ‬منتصف ]‪[CA‬‬
‫‪10‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثانية ثانوي إعدادي‬

‫المستقيم المار من منتصف ضلع‬
‫لمثلث و الموازي لضلع آخر‬

‫لنبين أن ‪B’ = K‬‬
‫‪‬المستقيمان )’‪ (B’C‬و )∆( يوازيان )‪(BC‬‬
‫و لهما نقطة مشتركة‬
‫إذن )’‪ (∆) = (B’C‬و منه ’‪K = B‬‬

‫‪11‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثانية ثانوي إعدادي‬

‫المستقيم المار من منتصف ضلع‬
‫لمثلث و الموازي لضلع آخر‬

‫خاصية ‪2‬‬
‫المستقيم المار من منتصف ضلع مثلث‬
‫و الموازي لضلع آخر في هذا المثلث‬
‫يمر من منتصف الضلع الثالث‪.‬‬

‫‪12‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثانية ثانوي إعدادي‬

‫المستقيم المار من منتصف ضلع‬
‫لمثلث و الموازي لضلع آخر‬

‫باستعمال الرموز‬
‫‪ ABC‬مثلث و ’‪ B‬منتصف ]‪ [AC‬و )∆( مستقيم‪.‬‬

‫إذا كان‬

‫فإن‬

‫)∆( يمر من ’‪B‬‬
‫و‬
‫)∆( يوازي )‪(BC‬‬

‫)∆( يقطع القطعة ]‪ [AB‬في منتصفها‪.‬‬

‫‪13‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثانية ثانوي إعدادي‬

‫المستقيم المار من منتصف ضلع‬
‫لمثلث و الموازي لضلع آخر‬

‫تمرين تطبيقي‬
‫تمرين ‪ 13‬صفحة ‪.134‬‬
‫)كتاب المسار(‬
‫المعطيات‪:‬‬
‫‪ B’‬منتصف ]‪[AC‬‬

‫المطلوب‪:‬‬
‫‪ K ‬منتصف ]‪[AM‬‬

‫‪ C’‬منتصف ]‪[AB‬‬
‫‪M Є (BC )‬‬
‫‪ (B’C’)‬يقطع )‪ (AM‬في ‪K‬‬
‫‪14‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثانية ثانوي إعدادي‬

‫المستقيم المار من منتصف ضلع‬
‫لمثلث و الموازي لضلع آخر‬

‫‪ ‬في المثلث ‪.ABC‬‬
‫بما أن ’‪ B‬و ’‪ C‬هما منتصفا ]‪ [AC‬و ]‪[AB‬‬
‫على التوالي فإن )‪(B’C’) // (BC‬‬

‫‪ ‬المستقيم )’‪ (B’C‬يمر من ’‪ B‬منتصف ]‪[AC‬‬
‫و يقطع ]‪ [AM‬في ‪ K‬و يوازي )‪(CM‬‬

‫في المثلث ‪ACM‬‬
‫إذن‪ K :‬منتصف ]‪[AM‬‬
‫‪15‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثانية ثانوي إعدادي‬

‫المستقيم الموازي لضلع في مثلث‬

‫نشاط تمهيدي ‪: 3‬‬
‫النشاط رقم ‪ 3‬صفحة ‪.126‬‬
‫)كتاب المسار(‬
‫‪ -1‬نحسب مساحة المثلث ‪ ABC‬بطريقتين‪:‬‬
‫‪AB  BC BH  AC‬‬
‫‪‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫إذن‪AB  BC  BH  AC :‬‬

‫و منه‪:‬‬

‫‪AB  BC‬‬
‫‪BH ‬‬
‫‪AC‬‬
‫‪16‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثانية ثانوي إعدادي‬

‫المستقيم الموازي لضلع في مثلث‬

‫‪ -2‬مساحة المثلث ‪:BCN‬‬
‫‪NN  BC BM  BC‬‬
‫‪‬‬
‫بإعتبار اإلرتفاع ]‪ [NN′‬نجد‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪BH  NC‬‬
‫‪2‬‬

‫بإعتبار اإلرتفاع )‪ (BH‬نجد‬
‫و منه نجد‪:‬‬

‫إذن‪:‬‬
‫أي‪:‬‬

‫‪(NN′ = BM) a ‬‬
‫‪a‬‬

‫‪BM  BC  BH  NC‬‬

‫‪AB  BC‬‬
‫‪ NC‬‬
‫‪AC‬‬

‫‪BM  BC ‬‬

‫‪BM  AC  BA  NC‬‬

‫وحيث أن‪NC  AC  AN :‬‬

‫و ‪BM  AB  AM‬‬

‫فإن‪AB  AC  AM  AC  AB  AC  AB  AN :‬‬

‫ومنه‪:‬‬

‫‪AM AN‬‬
‫‪‬‬
‫‪AB AC‬‬

‫و ‪AM  AC  AB  AN‬‬
‫‪17‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثانية ثانوي إعدادي‬

‫المستقيم الموازي لضلع في مثلث‬

‫خاصية ‪3‬‬
‫‪ ABC‬مثلث و ‪ M‬و ‪ N‬نقطتان من ]‪ [AB‬و ]‪ [AC‬على التوالي‬
‫إذا كان )‪(MN) // (BC‬‬
‫فإن‪:‬‬

‫‪AM AN MN‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪AB AC BC‬‬

‫‪18‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثانية ثانوي إعدادي‬

‫المستقيم الموازي لضلع في مثلث‬

‫تمرين تطبيقي‬
‫تمرين ‪ 19‬صفحة ‪.134‬‬
‫)كتاب المسار(‬
‫المطلوب‪:‬‬

‫المعطيات‪:‬‬
‫‪ AM = 5 ‬و ‪ AB = 8‬و ‪ BC = 9‬و )‪(MN) // (BC‬‬

‫بما أن‪ MЄ[AB] :‬و ]‪ NЄ[AC‬و )‪(MN) // (BC‬‬

‫أي‪:‬‬

‫‪MN 5‬‬
‫‪‬‬
‫‪9‬‬
‫‪8‬‬

‫ومنه‪:‬‬

‫فإن‪:‬‬

‫‪‬حساب المسافة ‪MN‬‬
‫‪MN AM‬‬
‫‪‬‬
‫‪BC AB‬‬

‫‪5  9 45‬‬
‫‪‬‬
‫‪8‬‬
‫‪8‬‬

‫‪MN ‬‬

‫‪19‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثانية ثانوي إعدادي‬

‫تقسيم قطعة إلى قطع متقايسة‬

‫نشاط تمهيدي ‪: 4‬‬
‫النشاط رقم ‪ 5‬صفحة ‪.126‬‬
‫)كتاب المسار(‬

‫في المثلث ´‪ AJJ‬لدينا ‪:‬‬
‫في‬

‫‪AI‬‬
‫‪AI' 1‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪AJ AJ' 2‬‬

‫إذن‪:‬‬

‫'‪2AI'  AJ‬‬

‫‪1‬‬
‫‪AC‬‬
‫‪3‬‬

‫‪AI‬‬
‫‪AI' 1‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫إذن‪:‬‬
‫المثلث ‪ ABC‬لدينا ‪:‬‬
‫‪AB AC 3‬‬
‫‪2‬‬
‫‪AC  AJ' J'C  2AI' J'C  AC  J'C‬‬
‫و لدينا‪:‬‬
‫‪3‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫إذن‪ J'C  AC  AC  AC :‬إذن‪AI'  J'C  AC  AC :‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬

‫وبالتالي‪:‬‬

‫‪1‬‬
‫‪AC‬‬
‫‪3‬‬

‫‪AI' ‬‬

‫‪I' J'  AI'  J'C ‬‬
‫‪20‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثانية ثانوي إعدادي‬

‫تقسيم قطعة إلى قطع متقايسة‬

‫كيف إذن أمكن تقسيم القطعة ]‪ [AC‬إلى ‪ 3‬قطع متقايسة ؟‬
‫‪ ‬ننشئ ]‪ [AB‬مخالفا لـ ]‪[AC‬‬
‫‪ ‬نقسم القطعة ]‪ [AB‬إلى ‪ 3‬قطع متقايسة ( بواسطة البركار)‬
‫‪ ‬لتكن ‪ I‬على ]‪ [AB‬بحيث ‪AI = 1‬‬

‫• ننشئ )∆) المار من ‪ I‬و الموازي لـ )‪ (BC‬يقطع ]‪ [AC‬في ’‪I‬‬
‫• لدينا إذن‬

‫‪AC‬‬
‫‪3‬‬

‫‪AI' ‬‬

‫• نقسم القطعة ]‪ [AC‬بإستعمال الوحدة ’‪AI‬‬
‫‪21‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثانية ثانوي إعدادي‬

‫تقسيم قطعة إلى قطع متقايسة‬

‫قاعـــــدة‬
‫لتقسيم قطعة ]‪ [AB‬إلى ‪ n‬قطع متقايسة نتبع الخطوات التالية‪:‬‬
‫‪‬ننشئ نصف مستقيم )∆) مار من ‪ A‬و حامله مختلفا عن )‪(AB‬‬
‫‪‬نعتبر على )∆) النقطة ‪ C‬بحيث ‪AC = n‬‬
‫‪ ‬على ]‪ [AC‬نأخذ ‪ I‬بحيث ‪AI = 1‬‬
‫‪ ‬نمثل )‪(BC‬‬
‫‪‬ننشئ المستقيم )∆) المار من ‪ I‬و الموازي ل (‪ )BC‬الذي يقطع ]‪ [AB‬في ’‪I‬‬
‫‪AC‬‬
‫‪ ‬لدينا إذن‪:‬‬
‫‪3‬‬
‫‪‬نقسم القطعة ]‪ [AB‬بإستعمال البركار و الوحدة ’‪. AI‬‬
‫‪AI' ‬‬

‫‪22‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثانية ثانوي إعدادي‬

‫مثــــــال‬

‫تقسيم قطعة إلى قطع متقايسة‬

‫)‪(n = 5‬‬

‫‪23‬‬