الحل - Math-Leader.com
Download
Report
Transcript الحل - Math-Leader.com
وزارة التربية
منطقة العاصمة التعليمية
ثانوية العاصمة بنت الحارث
قسم الرياضيات
يرحب بالسادة
الحضور ويقدم لكم:
ورشة عمل بعنوان :الصيغ الغير معينة
بند))1-3
من إعداد وتقديم املعلمة:بدر عزت
وإشراف املوجهة الفنية :
أ .حصة العلى
األهداف السلوكية
( )1تعرف الصيغ غير املعينة
( )2توجد نهاية دالة تشمل ∞ −∞,
( )3توجد نهاية بعض الدوال باستخدام نظرية 11
( )4توجد قيم بعض الثوابت إذا علمت قيمة
نهايةالدالة
( )5تحل تمارين متنوعة األفكار على إيجاد قيمة النهاية
)1-3( بند
Indeterminate Forms
y
صيغ غير معينة
f(x)=-x^2
y
f(x)
17
1
y
-2
-1
f(x)=x^3
16
15
x
4
-3
y
f(x)=-x^3
1
2
3
4
14
13
-13
3
12
11
-2
2
2
10
-3
1
9
1
8
-4
x
-3
-2
-1
1
2
x
7
3
2
1
-1
-2
-3
3
6
-5
5
-1
-6
-1
4
3
-2
-7
-2
2
1
-8-3
-3
-4
-9-4
-3
-2
-1
1
-1
-4
-2
-3
2
3
4
5
:من فقرة دعنا نفكر ونناقش نجد إن
ƒ) ) a , n z , a R
n
lim
a
n
*
:لتكن
:عدد زوجي فإنn )إذا كان1(
,a0
,a0
:عدد فردى فإنn (إذا كان2)
lim
a
n
,a0
,a0
a
lim
n
,a0
,a0
:فمثال
lim
lim
( )
5
lim
, lim (5
7
)
,
(4 4 )
lim(
, lim 2
3
(5 2 )
4 )
, lim
(3 4 )
:مالحظة إذا كانت
f ( ) an an1 a0 , an
n1
n
lim
f ( ) lim an
*
n
: فإن
) f (
) g(
• أحيانا نحتاج لحساب نهاية دالة والتي على الصورة:
f ( ) ,
حيثg ( ) :
lim
lim
في هذه الحالة نحصل على إحدى الصورة التالية
ونسميها صيغ غير معينة:
أو
أو
كذالك إذا حسبنا:
)) ( f ( ) g (
lim
وحصلنا على الصورة( ):
معينة
تسمى صيغ غير
lim
أو
في الحاالت السابقة نلجأ لبعض األساليب الجبرية لحساب قيمة هذه النهايات
واألمثلة والنظريات التالية ستوضح كيفية حساب مثل هذه النهايات:
مثال()1
أوجد :
) 3 1
2
الحل
لو حسبنا نهاية ألداله لحصلنا على صيغية غير معينة
بالتعويض املباشر
(2
lim
) ( لذا سجلنا للحل التالي:
(2 2 3 1) lim 2 2
lim
حاول إن تحل
) 2 4
( )1أوجد :
2
(3
lim
الحل
لو حسبنا نهاية الدالة لحصلنا على صيغة غير معينة (∞ )∞−لذا سنلجأ للحل التالي :
بالتعويض املباشر
) 2 4) lim (3
2
2
(3
lim
مثال تمهيدي
أوجد
الحل
5 3 2 2 7
3 4 2
(b) lim
لوحسبنا نهاية دالة البسط على نهاية دالة املقام
لحصلنا على صيغة غير معينة لذا سنلجأ للحل
, 0
التالي:
نقسم كال من البسط واملقام على
0
0
5
2
2
lim
)
40 4
2
(3
3
5
4
) (4 2
lim
lim
2
3
(a) lim
3 2
5
4 2 5
4 2
2
)(a
30 3
lim
2
,4 0
3 2 2
4 2 5
2
2
5
2
) lim 4 lim
) lim 3 lim
3
5
2
2
4
(lim
lim (3
3 2
lim
2
5
4 5
4 2
2
من املالحظ إن درجة الحدودية في البسط تساوى درجة الحدودية في
lim
ولوحسبنا نهاية دالة البسط على نهاية
دالة املقام لحصلنا على صيغة غير معينة
لذلك نقسم كال من البسط واملقام على
4
أكبر قوة ل ـ ـ
,3 0
7
4
30 3
lim
)
2
2
2
3
lim
(3
lim
5
7
lim
5 3 2 2 7
2 4
)(b
4
2
3 2
3 3
2
3
2
5
3 lim
7
2
) lim
2
3
, lim (3
5
5 2 7
4
lim
2
3 2
3 3
4
2
2
3
000
0
30
)(aنهاية الدالة النسبية = 3وهى ناتج قسمة معامل xبأ كبر قوة في البسط على معاملx
4
بأكبر قوة في املقام
)(bدرجة الحدودية في البسط أصغر من درجة
الحدودية في املقام وأن نهاية الدالة النسبية = 0
lim
نستطيع تعميم ذلك من خالل النظرية التالية
نظريه ()11
إذا كانت كل من f , gدالة حدودية حيث :
a0
n1
f ( ) an an1
n
g ( ) bm m am1 m1 b0
فإن
:
:n m
: nm
) f (
an
g ( ) bm
) f (
0
) g(
تبقى النظريه صحيحة عندما
(a) lim
(b) lim
)2( مثال
4 3
2 3 5
: استخدم النظرية السابقة في حساب كل من
(a) lim
(a) lim
(b) lim
4 3 3
3 3 4
lim
3
2 5 2 3 5
3
2
(b) lim
(c) lim
2 1 (c)
lim
4
3
2
3
)11( نظرية
2 2 1
0
4
3
4 1
4 1
lim
4
4
7 2
2 7
1
2
4 1
7 2 4
: الحل
درجة البسط = درجة املقام
n = m =3
درجة البسط أصغر من درجة املقام
n=2 , m =4 , n < m
درجة البسط = درجة املقام
n = m =4
حاول إن تحل
( )2استخدم النظرية السابقة في حساب كل من :
2 1
4 3 2 3
الحلـــــ
:
(b) lim
3 2 5 1
6 2 1
(a) lim
2
3
5 1 3 1
(a) lim
2
6
2
6 1
درجة حدودية البسط = درجة حدودية املقام
n=m =2
2 1
0
3
4 2 3
درجة حدودية البسط أصغر من درجة حدودية املقام
n =1 ,m=3 ,n <m
(b) lim
مثال ()3
إذا كانت
a 2 b 3
3
2 5
فأوجد قيمة كل من الثابتين a , b
النهاية تساوى ( 3ثابت)
lim
الحلـــــ
درجة الحدودية في البسط يجب إن تكون مساوية لدرجة الحدودية في املقام
أي إن الحدودية في البسط يجب إن تكون من الدرجة األولى
a 2 0 a 0
نظرية m = n = 1
a 2 b 3
b 3 b
lim
2 5
2
2 5
lim
b
3b 6
2
حاول إن تحل
)(3أوجد قيمة كل من الثابتين a , bإذا كانت
الحل
2
1
2
a b 3
lim
النهاية تساوى ( (-1ثابت
درجة الحدودية في البسط يجب إن تساوى درجة الحدودية في املقام أي إن درجة
الحدودية في املقام يجب إن تكون من الدرجة األولى
a 2 0 a 0
نظرية m = n = 1
2
2 1
lim
2
a b 3
b
b 3
lim
1
1 b 1
b
2
2 2 4
lim
2
(1
lim (1
2
1
lim 1
4
2
2
2
2 (1
4
2
2
1
2
) lim 1 lim
4
2
2
)
4
2
4
2
2
)
0
)
(1
lim
4
عندما
2
2
lim
2
الحل
(1
)
: أوجد
(1
2
2
2 4
f ( )
مثال
)4(
4
, 0
2
1 0 0 1
) 1
,1 0
,1 0
lim
2
2 2 4
تابع الحل
2
2
(1 ) lim 1 lim
lim
1
lim f ( ) lim
1
2
1 0 1
2
4
2
2
(1 )
lim
lim
1
2
1
1
1
4
2
2 2
1
( a ) lim
(a) f ( )
3 5
(b) lim
2 9
2
1
2
1
(2
2
(1
1
)
)
حاول إن تحل
:) أوجد3(
:الحل
(2
(1
0
2
(1
lim (1
1
1
1
2
(1
)
) lim 1 lim
)
1
)
: عندما
1
1
)
1
1 0 1
1
0
,1 0
2 2
1
( a ) lim
lim (2
1
lim
) lim 2 lim
2
lim
تابع الحل
1
f ( )
1
1
(2 )
lim
,2 0
2
2
lim
1
20 2
lim
2
lim
(1
1
1
1
1
)
2
1
2
(b) lim
3 5
2 9
(b) f ( )
:) أوجد3(
3 5
9
2
5
(3
2 (1
(3
)
9
)
2
5
1
9
0
(3
lim
9
9
2
lim
2
عندما
,
, 0
9
2
) lim 1 lim
2
3
1
2
9
1
5
)
1
lim (1
5
)
(1
9
9
2
2
1 0 1
)
1 1
,1 0
,1 0
(b) lim
lim (
3 5
:تابع الحل
2 9
5
3) lim
lim f ( )
5
lim 3 0 3 3
(
lim
lim
lim
(
5
3)
1
5
3)
1
9
2
9
2
3
3
1