Transcript مبرهنة فيتاغورس المادة : الرياضيات المستوى : الثالثة ثانوي إعدادي 1 المادة : الرياضيات المستوى : الثالثة ثانوي إعدادي مبرهنة فيتاغورس المباشرة نشاط تمهيدي : 1 x عدد موجب أوجد x إذا علمت أن x²

‫مبرهنة فيتاغورس‬
‫المادة ‪:‬‬
‫الرياضيات‬
‫المستوى ‪ :‬الثالثة ثانوي إعدادي‬
‫‪1‬‬
‫المادة‬
‫‪:‬‬
‫الرياضيات‬
‫المستوى‬
‫‪:‬‬
‫الثالثة ثانوي إعدادي‬
‫مبرهنة فيتاغورس المباشرة‬
‫نشاط تمهيدي‪: 1‬‬
‫‪ x‬عدد موجب‬
‫أوجد ‪ x‬إذا علمت أن‬
‫‪x² = 5‬‬
‫الحل‪:‬‬
‫‪ x² = 5‬و ‪ x‬عدد موجب‬
‫يعني أن‬
‫‪x 5‬‬
‫‪2‬‬
‫المادة‬
‫‪:‬‬
‫الرياضيات‬
‫المستوى‬
‫‪:‬‬
‫الثالثة ثانوي إعدادي‬
‫مبرهنة فيتاغورس المباشرة‬
‫نشاط تمهيدي‪: 2‬‬
‫نضع‬
‫‪a² = y² + t²‬‬
‫‪ (1‬أحسب ‪ a‬إذا كان ‪ y = 3‬و ‪t = 2‬‬
‫‪ (2‬أحسب ‪ t‬إذا كان ‪ a  5‬و ‪y  3‬‬
‫‪3‬‬
‫المادة‬
‫‪:‬‬
‫الرياضيات‬
‫المستوى‬
‫‪:‬‬
‫الثالثة ثانوي إعدادي‬
‫مبرهنة فيتاغورس المباشرة‬
‫الحل‪:‬‬
‫‪(1‬‬
‫‪y² + t²‬‬
‫= ‪a²‬‬
‫‪3² + 2²‬‬
‫=‬
‫‪9+4‬‬
‫=‬
‫‪= 13‬‬
‫إذن‪:‬‬
‫‪a  13‬‬
‫أو‬
‫‪a   13‬‬
‫‪4‬‬
‫المادة‬
‫‪:‬‬
‫الرياضيات‬
‫المستوى‬
‫‪:‬‬
‫الثالثة ثانوي إعدادي‬
‫مبرهنة فيتاغورس المباشرة‬
‫‪(2‬‬
‫‪a² - y²‬‬
‫‪2‬‬
‫= ‪t²‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ 5  3‬‬
‫‪= 5-3‬‬
‫‪=2‬‬
‫إذن‪:‬‬
‫‪t 2‬‬
‫أو‬
‫‪t 2‬‬
‫‪5‬‬
‫المادة‬
‫‪:‬‬
‫الرياضيات‬
‫المستوى‬
‫‪:‬‬
‫الثالثة ثانوي إعدادي‬
‫مبرهنة فيتاغورس المباشرة‬
‫نشاط تمهيدي‪: 3‬‬
‫‪B‬‬
‫تكسر عمود في ‪ B‬يبلغ طوله ‪. 7,5 m‬‬
‫‪x‬‬
‫طرفه ‪ C‬يوجد على بعد ‪ 1,5 m‬من قاعدته ‪. A‬‬
‫حدد االرتفاع ‪.x‬‬
‫‪C‬‬
‫‪A 1,5 m‬‬
‫‪6‬‬
‫المادة‬
‫‪:‬‬
‫الرياضيات‬
‫المستوى‬
‫‪:‬‬
‫الثالثة ثانوي إعدادي‬
‫مبرهنة فيتاغورس المباشرة‬
‫الحل‪:‬‬
‫‪B‬‬
‫‪BC = 7,5 - x‬‬
‫المثلث ‪ ABC‬قائم الزاوية في ‪. A‬‬
‫حسب مبرهنة فيثاغورس ‪BC² = AB² + AC² :‬‬
‫‪x‬‬
‫‪( 7,5 - X)² = X² + 1,5²‬‬
‫‪56,25 + X² - 15X = X² + 2,25‬‬
‫‪15X = 56,25 - 2,25‬‬
‫‪C‬‬
‫‪A 1,5 m‬‬
‫‪15X = 54‬‬
‫‪X = 3,6‬‬
‫‪7‬‬
‫المادة‬
‫‪:‬‬
‫الرياضيات‬
‫المستوى‬
‫‪:‬‬
‫الثالثة ثانوي إعدادي‬
‫مبرهنة فيتاغورس المباشرة‬
‫خاصية‪1‬‬
‫إذا كان مثلث قائم الزاوية ‪ ،‬فإن مربع وتره يساوي مجموع‬
‫مربعي ضلعي الزاوية القائمة‬
‫‪A‬‬
‫‪BC² = AB² + AC²‬‬
‫‪C‬‬
‫‪B‬‬
‫‪8‬‬
‫المادة‬
‫‪:‬‬
‫الرياضيات‬
‫المستوى‬
‫‪:‬‬
‫الثالثة ثانوي إعدادي‬
‫مبرهنة فيتاغورس المباشرة‬
‫مالحظة‪1‬‬
‫‪ ABC‬مثلث قائم الزاوية في ‪A‬‬
‫إذن ‪:‬‬
‫‪AB² = BC² - AC²‬‬
‫و‬
‫‪AC² = BC² - AB²‬‬
‫‪9‬‬
‫المادة‬
‫‪:‬‬
‫الرياضيات‬
‫المستوى‬
‫‪:‬‬
‫الثالثة ثانوي إعدادي‬
‫مبرهنة فيتاغورس المباشرة‬
‫مثال‬
‫‪ ABC‬مثلث قائم الزاوية في ‪ A‬حيث‪ AB = 4 :‬و ‪AC = 5‬‬
‫‪A‬‬
‫لنحدد ‪BC‬‬
‫‪B‬‬
‫‪C‬‬
‫‪10‬‬
‫المادة‬
‫‪:‬‬
‫الرياضيات‬
‫المستوى‬
‫‪:‬‬
‫الثالثة ثانوي إعدادي‬
‫مبرهنة فيتاغورس المباشرة‬
‫الحل‪:‬‬
‫لدينا ‪ ABC‬مثلث قائم الزاوية في ‪، A‬‬
‫إذن حسب مبرهنة فيتاغورس المباشرة لدينا ‪:‬‬
‫‪BC² = AB² + AC²‬‬
‫‪= 4² + 5²‬‬
‫‪= 16 + 25‬‬
‫‪= 41‬‬
‫إذن‬
‫‪BC  41‬‬
‫ألن‬
‫‪BC > 0‬‬
‫‪11‬‬
‫المادة‬
‫‪:‬‬
‫الرياضيات‬
‫المستوى‬
‫‪:‬‬
‫الثالثة ثانوي إعدادي‬
‫مبرهنة فيتاغورس المباشرة‬
‫مالحظة‪2‬‬
‫تستعمل مبرهنة فيتاغورس المباشرة لحساب األطوال‬
‫‪12‬‬
‫المادة‬
‫‪:‬‬
‫الرياضيات‬
‫المستوى‬
‫‪:‬‬
‫الثالثة ثانوي إعدادي‬
‫مبرهنة فيتاغورس العكسية‬
‫نشاط تمهيدي‪: 4‬‬
‫انظر المحاكاة‬
‫(تمريـــــن ‪)1‬‬
‫‪13‬‬
‫المادة‬
‫‪:‬‬
‫الرياضيات‬
‫المستوى‬
‫‪:‬‬
‫الثالثة ثانوي إعدادي‬
‫مبرهنة فيتاغورس العكسية‬
‫نشاط تمهيدي‪: 5‬‬
‫)'‪(C‬‬
‫‪A‬‬
‫نعتبر مثلثا ‪ ABC‬يحقق ‪AB2 + AC2 = BC2‬‬
‫)‪ (C‬نصف الدائرة التي قطرها ]‪ [BC‬وال تمر من‬
‫‪A‬‬
‫و )'‪ ( C‬الدائرة التي مركزها ‪ C‬وشعاعها ‪AC‬‬
‫‪B‬‬
‫‪C‬‬
‫بحيث )‪ (C‬و( '‪ ( C‬تتقاطعان في ‪.O‬‬
‫‪ (1‬بين أن ‪ BCO‬مثلث قائم الزاوية في ‪ O‬ثم استنتج أن‪BO = BA :‬‬
‫^‬
‫‪O‬‬
‫)‪(C‬‬
‫^‬
‫‪ (2‬بين أن )‪ (BC‬واسط القطعة ]‪ [AO‬واستنتج أن الزاويتين ‪ BAC‬و ‪BOC‬‬
‫متماثلتان بالنسبة للمستقيم )‪.(BC‬‬
‫‪ (3‬حدد طبيعة المثلث ‪.BAC‬‬
‫‪14‬‬
‫المادة‬
‫‪:‬‬
‫الرياضيات‬
‫المستوى‬
‫‪:‬‬
‫الثالثة ثانوي إعدادي‬
‫مبرهنة فيتاغورس العكسية‬
‫الحل‪:‬‬
‫‪ BCO (1‬محاط بنصف دائرة قطرها ]‪ [BC‬إذن فهو قائم الزاوية في ‪. O‬‬
‫إذن ‪ ،‬حسب مبرهنة فيثاغورس‪،‬‬
‫أي‪:‬‬
‫‪BC² = BO² + OC²‬‬
‫‪BO² = BC² - OC²‬‬
‫بما أن ‪ ( OC = AC‬شعاع الدائرة (’‪) )C‬‬
‫فإن‪:‬‬
‫حسب المعطيات‪ ،‬لدينا‪:‬‬
‫‪BO² = BC² - AC²‬‬
‫‪AB² = BC² - AC²‬‬
‫إذن‬
‫‪BO² = AB²‬‬
‫أي‬
‫‪AB = BO‬‬
‫‪15‬‬
‫المادة‬
‫‪:‬‬
‫الرياضيات‬
‫المستوى‬
‫‪:‬‬
‫الثالثة ثانوي إعدادي‬
‫مبرهنة فيتاغورس العكسية‬
‫‪ BA = BO (2‬و ‪ CA = CO‬إذن )‪ (BC‬واسط القطع ]‪. [AO‬‬
‫نستنتج أن مماثلة ‪ B‬هي ‪ B‬بالنسبة للمستقيم )‪.(BC‬‬
‫ولدينا أيضا مماثلة ‪ A‬هي ‪ O‬بالنسبة للمستقيم )‪.(BC‬‬
‫و مماثلة ‪ C‬هي ‪ C‬بالنسبة للمستقيم )‪.(BC‬‬
‫^‬
‫^‬
‫إذن مماثلة الزاوية ‪ BAC‬هي الزاوية ‪BOC‬‬
‫^‬
‫^‬
‫ومنه ‪BAC = BOC = 90°‬‬
‫وبالتالي المثلث ‪ BAC‬قائم الزاوية في ‪. A‬‬
‫‪16‬‬
‫المادة‬
‫‪:‬‬
‫الرياضيات‬
‫المستوى‬
‫‪:‬‬
‫الثالثة ثانوي إعدادي‬
‫مبرهنة فيتاغورس العكسية‬
‫خاصية‪2‬‬
‫إذا كان مجموع مربعي طولي ضلعي مثلث يساوي مربع طول الضلع‬
‫الثالث‪ ،‬فإن المثلث قائم الزاوية‪.‬‬
‫المثلث‪ MON‬قائم الزاوية في ‪O‬‬
‫‪O‬‬
‫إذا كان ‪ MON‬مثلث‬
‫و ‪MN² = MO² + ON²‬‬
‫فإن‬
‫‪M‬‬
‫‪N‬‬
‫‪17‬‬
‫المادة‬
‫‪:‬‬
‫الرياضيات‬
‫المستوى‬
‫‪:‬‬
‫الثالثة ثانوي إعدادي‬
‫مبرهنة فيتاغورس العكسية‬
‫مثال‬
‫‪ ABC‬مثلث بحيث ‪ BC = 15‬و ‪ AB = 12‬و ‪AC = 9‬‬
‫لنبين أن ‪ ABC‬مثلث قائم الزاوية‪.‬‬
‫‪18‬‬
‫المادة‬
‫‪:‬‬
‫الرياضيات‬
‫المستوى‬
‫‪:‬‬
‫الثالثة ثانوي إعدادي‬
‫مبرهنة فيتاغورس العكسية‬
‫الحل‪:‬‬
‫لدينا‬
‫‪BC² = 15² = 225‬‬
‫‪AB² + AC² = 12² + 9²‬‬
‫‪= 144 + 81‬‬
‫‪= 225‬‬
‫إذن‬
‫‪BC² = AB² + AC²‬‬
‫حسب مبرهنة فيتاغورس العكسية‬
‫فإن المثلث ‪ ABC‬قائم الزاوية في الرأس ‪A‬‬
‫‪19‬‬
‫المادة‬
‫‪:‬‬
‫الرياضيات‬
‫المستوى‬
‫‪:‬‬
‫الثالثة ثانوي إعدادي‬
‫مبرهنة فيتاغورس العكسية‬
‫مالحظة‪3‬‬
‫تستعمل مبرهنة فيتاغورس العكسية إلثبات التعامد‬
‫‪20‬‬
‫المادة‬
‫‪:‬‬
‫الرياضيات‬
‫المستوى‬
‫‪:‬‬
‫الثالثة ثانوي إعدادي‬
‫مبرهنة فيتاغورس العكسية‬
‫تطبيق‪3‬‬
‫ليكن ‪ ABC‬مثلثا و ‪ H‬المسقط العمودي للنقط ‪ A‬على )‪(BC‬‬
‫بحيث ‪ AH  2 3‬و ‪ BH = 3‬و ‪ CH = 4‬و ]‪H є [BC‬‬
‫‪A‬‬
‫بين أن المثلث ‪ ABC‬قائم الزاوية في ‪A‬‬
‫‪2 3‬‬
‫‪C‬‬
‫‪4‬‬
‫‪H‬‬
‫‪3‬‬
‫‪B‬‬
‫‪21‬‬