Slide 1

‫مبرهنة فيتاغورس‬
‫المادة ‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى ‪ :‬الثالثة ثانوي إعدادي‬

‫‪1‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثالثة ثانوي إعدادي‬

‫مبرهنة فيتاغورس المباشرة‬

‫نشاط تمهيدي‪: 1‬‬
‫‪ x‬عدد موجب‬
‫أوجد ‪ x‬إذا علمت أن‬

‫‪x² = 5‬‬

‫الحل‪:‬‬
‫‪ x² = 5‬و ‪ x‬عدد موجب‬
‫يعني أن‬

‫‪5‬‬

‫‪x‬‬
‫‪2‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثالثة ثانوي إعدادي‬

‫مبرهنة فيتاغورس المباشرة‬

‫نشاط تمهيدي‪: 2‬‬
‫نضع‬

‫‪a² = y² + t²‬‬

‫‪ (1‬أحسب ‪ a‬إذا كان ‪ y = 3‬و ‪t = 2‬‬
‫‪ (2‬أحسب ‪ t‬إذا كان ‪5‬‬

‫‪ a ‬و‪3‬‬

‫‪y ‬‬

‫‪3‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثالثة ثانوي إعدادي‬

‫مبرهنة فيتاغورس المباشرة‬

‫الحل‪:‬‬
‫‪(1‬‬

‫‪y² + t²‬‬

‫= ‪a²‬‬

‫‪3² + 2²‬‬

‫=‬

‫‪9+4‬‬

‫=‬

‫‪= 13‬‬
‫إذن‪:‬‬

‫‪13‬‬

‫‪a ‬‬

‫أو‬

‫‪a   13‬‬

‫‪4‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثالثة ثانوي إعدادي‬

‫مبرهنة فيتاغورس المباشرة‬

‫‪(2‬‬

‫‪a² - y²‬‬
‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫‪5 ‬‬

‫‪3‬‬

‫= ‪t²‬‬
‫‪‬‬

‫‪= 5-3‬‬
‫‪=2‬‬
‫إذن‪:‬‬

‫‪2‬‬

‫‪t ‬‬

‫أو‬

‫‪2‬‬

‫‪t  ‬‬

‫‪5‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثالثة ثانوي إعدادي‬

‫مبرهنة فيتاغورس المباشرة‬

‫نشاط تمهيدي‪: 3‬‬

‫‪B‬‬

‫تكسر عمود في ‪ B‬يبلغ طوله ‪. 7,5 m‬‬
‫‪x‬‬

‫طرفه ‪ C‬يوجد على بعد ‪ 1,5 m‬من قاعدته ‪. A‬‬
‫حدد االرتفاع ‪.x‬‬
‫‪C‬‬

‫‪A 1,5 m‬‬

‫‪6‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثالثة ثانوي إعدادي‬

‫مبرهنة فيتاغورس المباشرة‬

‫الحل‪:‬‬

‫‪B‬‬

‫‪BC = 7,5 - x‬‬
‫المثلث ‪ ABC‬قائم الزاوية في ‪. A‬‬
‫حسب مبرهنة فيثاغورس ‪BC² = AB² + AC² :‬‬

‫‪x‬‬

‫‪( 7,5 - X)² = X² + 1,5²‬‬
‫‪56,25 + X² - 15X = X² + 2,25‬‬

‫‪15X = 56,25 - 2,25‬‬

‫‪C‬‬

‫‪A 1,5 m‬‬

‫‪15X = 54‬‬
‫‪X = 3,6‬‬
‫‪7‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثالثة ثانوي إعدادي‬

‫مبرهنة فيتاغورس المباشرة‬

‫خاصية‪1‬‬
‫إذا كان مثلث قائم الزاوية ‪ ،‬فإن مربع وتره يساوي مجموع‬
‫مربعي ضلعي الزاوية القائمة‬
‫‪A‬‬

‫‪BC² = AB² + AC²‬‬

‫‪C‬‬
‫‪B‬‬
‫‪8‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثالثة ثانوي إعدادي‬

‫مبرهنة فيتاغورس المباشرة‬

‫مالحظة‪1‬‬
‫‪ ABC‬مثلث قائم الزاوية في ‪A‬‬

‫إذن ‪:‬‬

‫‪AB² = BC² - AC²‬‬

‫و‬

‫‪AC² = BC² - AB²‬‬

‫‪9‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثالثة ثانوي إعدادي‬

‫مبرهنة فيتاغورس المباشرة‬

‫مثال‬
‫‪ ABC‬مثلث قائم الزاوية في ‪ A‬حيث‪ AB = 4 :‬و ‪AC = 5‬‬
‫‪A‬‬

‫لنحدد ‪BC‬‬

‫‪B‬‬
‫‪C‬‬
‫‪10‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثالثة ثانوي إعدادي‬

‫مبرهنة فيتاغورس المباشرة‬

‫الحل‪:‬‬
‫لدينا ‪ ABC‬مثلث قائم الزاوية في ‪، A‬‬
‫إذن حسب مبرهنة فيتاغورس المباشرة لدينا ‪:‬‬
‫‪BC² = AB² + AC²‬‬
‫‪= 4² + 5²‬‬
‫‪= 16 + 25‬‬
‫‪= 41‬‬
‫إذن‬

‫‪41‬‬

‫‪BC ‬‬

‫ألن‬

‫‪BC > 0‬‬
‫‪11‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثالثة ثانوي إعدادي‬

‫مبرهنة فيتاغورس المباشرة‬

‫مالحظة‪2‬‬
‫تستعمل مبرهنة فيتاغورس المباشرة لحساب األطوال‬

‫‪12‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثالثة ثانوي إعدادي‬

‫مبرهنة فيتاغورس العكسية‬

‫نشاط تمهيدي‪: 5‬‬

‫)'‪(C‬‬

‫‪A‬‬

‫نعتبر مثلثا ‪ ABC‬يحقق ‪AB2 + AC2 = BC2‬‬
‫)‪ (C‬نصف الدائرة التي قطرها ]‪ [BC‬وال تمر من‬
‫‪A‬‬
‫و )'‪ ( C‬الدائرة التي مركزها ‪ C‬وشعاعها ‪AC‬‬

‫‪B‬‬

‫‪C‬‬

‫بحيث )‪ (C‬و( '‪ ( C‬تتقاطعان في ‪.O‬‬

‫‪ (1‬بين أن ‪ BCO‬مثلث قائم الزاوية في ‪ O‬ثم استنتج أن‪BO = BA :‬‬

‫^‬

‫‪O‬‬

‫)‪(C‬‬

‫^‬

‫‪ (2‬بين أن )‪ (BC‬واسط القطعة ]‪ [AO‬واستنتج أن الزاويتين ‪ BAC‬و ‪BOC‬‬
‫متماثلتان بالنسبة للمستقيم )‪.(BC‬‬
‫‪ (3‬حدد طبيعة المثلث ‪.BAC‬‬

‫‪13‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثالثة ثانوي إعدادي‬

‫مبرهنة فيتاغورس العكسية‬

‫الحل‪:‬‬
‫‪ BCO (1‬محاط بنصف دائرة قطرها ]‪ [BC‬إذن فهو قائم الزاوية في ‪. O‬‬

‫إذن ‪ ،‬حسب مبرهنة فيثاغورس‪،‬‬
‫أي‪:‬‬

‫‪BC² = BO² + OC²‬‬
‫‪BO² = BC² - OC²‬‬

‫بما أن ‪ ( OC = AC‬شعاع الدائرة (’‪( (C‬‬

‫فإن‪:‬‬
‫حسب المعطيات‪ ،‬لدينا‪:‬‬

‫‪BO² = BC² - AC²‬‬
‫‪AB² = BC² - AC²‬‬

‫إذن‬

‫‪BO² = AB²‬‬

‫أي‬

‫‪AB = BO‬‬
‫‪14‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثالثة ثانوي إعدادي‬

‫مبرهنة فيتاغورس العكسية‬

‫‪ BA = BO (2‬و ‪ CA = CO‬إذن )‪ (BC‬واسط القطع ]‪. [AO‬‬

‫نستنتج أن مماثلة ‪ B‬هي ‪ B‬بالنسبة للمستقيم )‪.(BC‬‬
‫ولدينا أيضا مماثلة ‪ A‬هي ‪ O‬بالنسبة للمستقيم )‪.(BC‬‬
‫و مماثلة ‪ C‬هي ‪ C‬بالنسبة للمستقيم )‪.(BC‬‬
‫^‬
‫^‬
‫إذن مماثلة الزاوية ‪ BAC‬هي الزاوية ‪BOC‬‬
‫^‬
‫^‬
‫ومنه ‪BAC = BOC = 90°‬‬
‫وبالتالي المثلث ‪ BAC‬قائم الزاوية في ‪. A‬‬
‫‪15‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثالثة ثانوي إعدادي‬

‫مبرهنة فيتاغورس العكسية‬

‫خاصية‪2‬‬
‫إذا كان مجموع مربعي طولي ضلعي مثلث يساوي مربع طول الضلع‬
‫الثالث‪ ،‬فإن المثلث قائم الزاوية‪.‬‬
‫المثلث‪ MON‬قائم الزاوية في ‪O‬‬

‫‪O‬‬
‫إذا كان ‪ MON‬مثلث‬
‫و ‪MN² = MO² + ON²‬‬

‫فإن‬

‫‪M‬‬
‫‪N‬‬
‫‪16‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثالثة ثانوي إعدادي‬

‫مبرهنة فيتاغورس العكسية‬

‫مثال‬
‫‪ ABC‬مثلث بحيث ‪ BC = 15‬و ‪ AB = 12‬و ‪AC = 9‬‬
‫لنبين أن ‪ ABC‬مثلث قائم الزاوية‪.‬‬

‫‪17‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثالثة ثانوي إعدادي‬

‫مبرهنة فيتاغورس العكسية‬

‫الحل‪:‬‬
‫لدينا‬

‫‪BC² = 15² = 225‬‬
‫‪AB² + AC² = 12² + 9²‬‬
‫‪= 144 + 81‬‬

‫‪= 225‬‬
‫إذن‬

‫‪BC² = AB² + AC²‬‬

‫حسب مبرهنة فيتاغورس العكسية‬
‫فإن المثلث ‪ ABC‬قائم الزاوية في الرأس ‪A‬‬
‫‪18‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثالثة ثانوي إعدادي‬

‫مبرهنة فيتاغورس العكسية‬

‫مالحظة‪3‬‬
‫تستعمل مبرهنة فيتاغورس العكسية إلثبات التعامد‬

‫‪19‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثالثة ثانوي إعدادي‬

‫مبرهنة فيتاغورس العكسية‬

‫تطبيق‪3‬‬
‫ليكن ‪ ABC‬مثلثا و ‪ H‬المسقط العمودي للنقط ‪ A‬على )‪(BC‬‬
‫بحيث ‪ A H  2 3‬و ‪ BH = 3‬و ‪ CH = 4‬و ]‪H є [BC‬‬
‫‪A‬‬

‫بين أن المثلث ‪ ABC‬قائم الزاوية في ‪A‬‬
‫‪2 3‬‬

‫‪C‬‬

‫‪4‬‬

‫‪H‬‬

‫‪3‬‬

‫‪B‬‬
‫‪20‬‬


Slide 2

‫مبرهنة فيتاغورس‬
‫المادة ‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى ‪ :‬الثالثة ثانوي إعدادي‬

‫‪1‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثالثة ثانوي إعدادي‬

‫مبرهنة فيتاغورس المباشرة‬

‫نشاط تمهيدي‪: 1‬‬
‫‪ x‬عدد موجب‬
‫أوجد ‪ x‬إذا علمت أن‬

‫‪x² = 5‬‬

‫الحل‪:‬‬
‫‪ x² = 5‬و ‪ x‬عدد موجب‬
‫يعني أن‬

‫‪5‬‬

‫‪x‬‬
‫‪2‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثالثة ثانوي إعدادي‬

‫مبرهنة فيتاغورس المباشرة‬

‫نشاط تمهيدي‪: 2‬‬
‫نضع‬

‫‪a² = y² + t²‬‬

‫‪ (1‬أحسب ‪ a‬إذا كان ‪ y = 3‬و ‪t = 2‬‬
‫‪ (2‬أحسب ‪ t‬إذا كان ‪5‬‬

‫‪ a ‬و‪3‬‬

‫‪y ‬‬

‫‪3‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثالثة ثانوي إعدادي‬

‫مبرهنة فيتاغورس المباشرة‬

‫الحل‪:‬‬
‫‪(1‬‬

‫‪y² + t²‬‬

‫= ‪a²‬‬

‫‪3² + 2²‬‬

‫=‬

‫‪9+4‬‬

‫=‬

‫‪= 13‬‬
‫إذن‪:‬‬

‫‪13‬‬

‫‪a ‬‬

‫أو‬

‫‪a   13‬‬

‫‪4‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثالثة ثانوي إعدادي‬

‫مبرهنة فيتاغورس المباشرة‬

‫‪(2‬‬

‫‪a² - y²‬‬
‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫‪5 ‬‬

‫‪3‬‬

‫= ‪t²‬‬
‫‪‬‬

‫‪= 5-3‬‬
‫‪=2‬‬
‫إذن‪:‬‬

‫‪2‬‬

‫‪t ‬‬

‫أو‬

‫‪2‬‬

‫‪t  ‬‬

‫‪5‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثالثة ثانوي إعدادي‬

‫مبرهنة فيتاغورس المباشرة‬

‫نشاط تمهيدي‪: 3‬‬

‫‪B‬‬

‫تكسر عمود في ‪ B‬يبلغ طوله ‪. 7,5 m‬‬
‫‪x‬‬

‫طرفه ‪ C‬يوجد على بعد ‪ 1,5 m‬من قاعدته ‪. A‬‬
‫حدد االرتفاع ‪.x‬‬
‫‪C‬‬

‫‪A 1,5 m‬‬

‫‪6‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثالثة ثانوي إعدادي‬

‫مبرهنة فيتاغورس المباشرة‬

‫الحل‪:‬‬

‫‪B‬‬

‫‪BC = 7,5 - x‬‬
‫المثلث ‪ ABC‬قائم الزاوية في ‪. A‬‬
‫حسب مبرهنة فيثاغورس ‪BC² = AB² + AC² :‬‬

‫‪x‬‬

‫‪( 7,5 - X)² = X² + 1,5²‬‬
‫‪56,25 + X² - 15X = X² + 2,25‬‬

‫‪15X = 56,25 - 2,25‬‬

‫‪C‬‬

‫‪A 1,5 m‬‬

‫‪15X = 54‬‬
‫‪X = 3,6‬‬
‫‪7‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثالثة ثانوي إعدادي‬

‫مبرهنة فيتاغورس المباشرة‬

‫خاصية‪1‬‬
‫إذا كان مثلث قائم الزاوية ‪ ،‬فإن مربع وتره يساوي مجموع‬
‫مربعي ضلعي الزاوية القائمة‬
‫‪A‬‬

‫‪BC² = AB² + AC²‬‬

‫‪C‬‬
‫‪B‬‬
‫‪8‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثالثة ثانوي إعدادي‬

‫مبرهنة فيتاغورس المباشرة‬

‫مالحظة‪1‬‬
‫‪ ABC‬مثلث قائم الزاوية في ‪A‬‬

‫إذن ‪:‬‬

‫‪AB² = BC² - AC²‬‬

‫و‬

‫‪AC² = BC² - AB²‬‬

‫‪9‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثالثة ثانوي إعدادي‬

‫مبرهنة فيتاغورس المباشرة‬

‫مثال‬
‫‪ ABC‬مثلث قائم الزاوية في ‪ A‬حيث‪ AB = 4 :‬و ‪AC = 5‬‬
‫‪A‬‬

‫لنحدد ‪BC‬‬

‫‪B‬‬
‫‪C‬‬
‫‪10‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثالثة ثانوي إعدادي‬

‫مبرهنة فيتاغورس المباشرة‬

‫الحل‪:‬‬
‫لدينا ‪ ABC‬مثلث قائم الزاوية في ‪، A‬‬
‫إذن حسب مبرهنة فيتاغورس المباشرة لدينا ‪:‬‬
‫‪BC² = AB² + AC²‬‬
‫‪= 4² + 5²‬‬
‫‪= 16 + 25‬‬
‫‪= 41‬‬
‫إذن‬

‫‪41‬‬

‫‪BC ‬‬

‫ألن‬

‫‪BC > 0‬‬
‫‪11‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثالثة ثانوي إعدادي‬

‫مبرهنة فيتاغورس المباشرة‬

‫مالحظة‪2‬‬
‫تستعمل مبرهنة فيتاغورس المباشرة لحساب األطوال‬

‫‪12‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثالثة ثانوي إعدادي‬

‫مبرهنة فيتاغورس العكسية‬

‫نشاط تمهيدي‪: 5‬‬

‫)'‪(C‬‬

‫‪A‬‬

‫نعتبر مثلثا ‪ ABC‬يحقق ‪AB2 + AC2 = BC2‬‬
‫)‪ (C‬نصف الدائرة التي قطرها ]‪ [BC‬وال تمر من‬
‫‪A‬‬
‫و )'‪ ( C‬الدائرة التي مركزها ‪ C‬وشعاعها ‪AC‬‬

‫‪B‬‬

‫‪C‬‬

‫بحيث )‪ (C‬و( '‪ ( C‬تتقاطعان في ‪.O‬‬

‫‪ (1‬بين أن ‪ BCO‬مثلث قائم الزاوية في ‪ O‬ثم استنتج أن‪BO = BA :‬‬

‫^‬

‫‪O‬‬

‫)‪(C‬‬

‫^‬

‫‪ (2‬بين أن )‪ (BC‬واسط القطعة ]‪ [AO‬واستنتج أن الزاويتين ‪ BAC‬و ‪BOC‬‬
‫متماثلتان بالنسبة للمستقيم )‪.(BC‬‬
‫‪ (3‬حدد طبيعة المثلث ‪.BAC‬‬

‫‪13‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثالثة ثانوي إعدادي‬

‫مبرهنة فيتاغورس العكسية‬

‫الحل‪:‬‬
‫‪ BCO (1‬محاط بنصف دائرة قطرها ]‪ [BC‬إذن فهو قائم الزاوية في ‪. O‬‬

‫إذن ‪ ،‬حسب مبرهنة فيثاغورس‪،‬‬
‫أي‪:‬‬

‫‪BC² = BO² + OC²‬‬
‫‪BO² = BC² - OC²‬‬

‫بما أن ‪ ( OC = AC‬شعاع الدائرة (’‪( (C‬‬

‫فإن‪:‬‬
‫حسب المعطيات‪ ،‬لدينا‪:‬‬

‫‪BO² = BC² - AC²‬‬
‫‪AB² = BC² - AC²‬‬

‫إذن‬

‫‪BO² = AB²‬‬

‫أي‬

‫‪AB = BO‬‬
‫‪14‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثالثة ثانوي إعدادي‬

‫مبرهنة فيتاغورس العكسية‬

‫‪ BA = BO (2‬و ‪ CA = CO‬إذن )‪ (BC‬واسط القطع ]‪. [AO‬‬

‫نستنتج أن مماثلة ‪ B‬هي ‪ B‬بالنسبة للمستقيم )‪.(BC‬‬
‫ولدينا أيضا مماثلة ‪ A‬هي ‪ O‬بالنسبة للمستقيم )‪.(BC‬‬
‫و مماثلة ‪ C‬هي ‪ C‬بالنسبة للمستقيم )‪.(BC‬‬
‫^‬
‫^‬
‫إذن مماثلة الزاوية ‪ BAC‬هي الزاوية ‪BOC‬‬
‫^‬
‫^‬
‫ومنه ‪BAC = BOC = 90°‬‬
‫وبالتالي المثلث ‪ BAC‬قائم الزاوية في ‪. A‬‬
‫‪15‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثالثة ثانوي إعدادي‬

‫مبرهنة فيتاغورس العكسية‬

‫خاصية‪2‬‬
‫إذا كان مجموع مربعي طولي ضلعي مثلث يساوي مربع طول الضلع‬
‫الثالث‪ ،‬فإن المثلث قائم الزاوية‪.‬‬
‫المثلث‪ MON‬قائم الزاوية في ‪O‬‬

‫‪O‬‬
‫إذا كان ‪ MON‬مثلث‬
‫و ‪MN² = MO² + ON²‬‬

‫فإن‬

‫‪M‬‬
‫‪N‬‬
‫‪16‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثالثة ثانوي إعدادي‬

‫مبرهنة فيتاغورس العكسية‬

‫مثال‬
‫‪ ABC‬مثلث بحيث ‪ BC = 15‬و ‪ AB = 12‬و ‪AC = 9‬‬
‫لنبين أن ‪ ABC‬مثلث قائم الزاوية‪.‬‬

‫‪17‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثالثة ثانوي إعدادي‬

‫مبرهنة فيتاغورس العكسية‬

‫الحل‪:‬‬
‫لدينا‬

‫‪BC² = 15² = 225‬‬
‫‪AB² + AC² = 12² + 9²‬‬
‫‪= 144 + 81‬‬

‫‪= 225‬‬
‫إذن‬

‫‪BC² = AB² + AC²‬‬

‫حسب مبرهنة فيتاغورس العكسية‬
‫فإن المثلث ‪ ABC‬قائم الزاوية في الرأس ‪A‬‬
‫‪18‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثالثة ثانوي إعدادي‬

‫مبرهنة فيتاغورس العكسية‬

‫مالحظة‪3‬‬
‫تستعمل مبرهنة فيتاغورس العكسية إلثبات التعامد‬

‫‪19‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثالثة ثانوي إعدادي‬

‫مبرهنة فيتاغورس العكسية‬

‫تطبيق‪3‬‬
‫ليكن ‪ ABC‬مثلثا و ‪ H‬المسقط العمودي للنقط ‪ A‬على )‪(BC‬‬
‫بحيث ‪ A H  2 3‬و ‪ BH = 3‬و ‪ CH = 4‬و ]‪H є [BC‬‬
‫‪A‬‬

‫بين أن المثلث ‪ ABC‬قائم الزاوية في ‪A‬‬
‫‪2 3‬‬

‫‪C‬‬

‫‪4‬‬

‫‪H‬‬

‫‪3‬‬

‫‪B‬‬
‫‪20‬‬


Slide 3

‫مبرهنة فيتاغورس‬
‫المادة ‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى ‪ :‬الثالثة ثانوي إعدادي‬

‫‪1‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثالثة ثانوي إعدادي‬

‫مبرهنة فيتاغورس المباشرة‬

‫نشاط تمهيدي‪: 1‬‬
‫‪ x‬عدد موجب‬
‫أوجد ‪ x‬إذا علمت أن‬

‫‪x² = 5‬‬

‫الحل‪:‬‬
‫‪ x² = 5‬و ‪ x‬عدد موجب‬
‫يعني أن‬

‫‪5‬‬

‫‪x‬‬
‫‪2‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثالثة ثانوي إعدادي‬

‫مبرهنة فيتاغورس المباشرة‬

‫نشاط تمهيدي‪: 2‬‬
‫نضع‬

‫‪a² = y² + t²‬‬

‫‪ (1‬أحسب ‪ a‬إذا كان ‪ y = 3‬و ‪t = 2‬‬
‫‪ (2‬أحسب ‪ t‬إذا كان ‪5‬‬

‫‪ a ‬و‪3‬‬

‫‪y ‬‬

‫‪3‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثالثة ثانوي إعدادي‬

‫مبرهنة فيتاغورس المباشرة‬

‫الحل‪:‬‬
‫‪(1‬‬

‫‪y² + t²‬‬

‫= ‪a²‬‬

‫‪3² + 2²‬‬

‫=‬

‫‪9+4‬‬

‫=‬

‫‪= 13‬‬
‫إذن‪:‬‬

‫‪13‬‬

‫‪a ‬‬

‫أو‬

‫‪a   13‬‬

‫‪4‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثالثة ثانوي إعدادي‬

‫مبرهنة فيتاغورس المباشرة‬

‫‪(2‬‬

‫‪a² - y²‬‬
‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫‪5 ‬‬

‫‪3‬‬

‫= ‪t²‬‬
‫‪‬‬

‫‪= 5-3‬‬
‫‪=2‬‬
‫إذن‪:‬‬

‫‪2‬‬

‫‪t ‬‬

‫أو‬

‫‪2‬‬

‫‪t  ‬‬

‫‪5‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثالثة ثانوي إعدادي‬

‫مبرهنة فيتاغورس المباشرة‬

‫نشاط تمهيدي‪: 3‬‬

‫‪B‬‬

‫تكسر عمود في ‪ B‬يبلغ طوله ‪. 7,5 m‬‬
‫‪x‬‬

‫طرفه ‪ C‬يوجد على بعد ‪ 1,5 m‬من قاعدته ‪. A‬‬
‫حدد االرتفاع ‪.x‬‬
‫‪C‬‬

‫‪A 1,5 m‬‬

‫‪6‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثالثة ثانوي إعدادي‬

‫مبرهنة فيتاغورس المباشرة‬

‫الحل‪:‬‬

‫‪B‬‬

‫‪BC = 7,5 - x‬‬
‫المثلث ‪ ABC‬قائم الزاوية في ‪. A‬‬
‫حسب مبرهنة فيثاغورس ‪BC² = AB² + AC² :‬‬

‫‪x‬‬

‫‪( 7,5 - X)² = X² + 1,5²‬‬
‫‪56,25 + X² - 15X = X² + 2,25‬‬

‫‪15X = 56,25 - 2,25‬‬

‫‪C‬‬

‫‪A 1,5 m‬‬

‫‪15X = 54‬‬
‫‪X = 3,6‬‬
‫‪7‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثالثة ثانوي إعدادي‬

‫مبرهنة فيتاغورس المباشرة‬

‫خاصية‪1‬‬
‫إذا كان مثلث قائم الزاوية ‪ ،‬فإن مربع وتره يساوي مجموع‬
‫مربعي ضلعي الزاوية القائمة‬
‫‪A‬‬

‫‪BC² = AB² + AC²‬‬

‫‪C‬‬
‫‪B‬‬
‫‪8‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثالثة ثانوي إعدادي‬

‫مبرهنة فيتاغورس المباشرة‬

‫مالحظة‪1‬‬
‫‪ ABC‬مثلث قائم الزاوية في ‪A‬‬

‫إذن ‪:‬‬

‫‪AB² = BC² - AC²‬‬

‫و‬

‫‪AC² = BC² - AB²‬‬

‫‪9‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثالثة ثانوي إعدادي‬

‫مبرهنة فيتاغورس المباشرة‬

‫مثال‬
‫‪ ABC‬مثلث قائم الزاوية في ‪ A‬حيث‪ AB = 4 :‬و ‪AC = 5‬‬
‫‪A‬‬

‫لنحدد ‪BC‬‬

‫‪B‬‬
‫‪C‬‬
‫‪10‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثالثة ثانوي إعدادي‬

‫مبرهنة فيتاغورس المباشرة‬

‫الحل‪:‬‬
‫لدينا ‪ ABC‬مثلث قائم الزاوية في ‪، A‬‬
‫إذن حسب مبرهنة فيتاغورس المباشرة لدينا ‪:‬‬
‫‪BC² = AB² + AC²‬‬
‫‪= 4² + 5²‬‬
‫‪= 16 + 25‬‬
‫‪= 41‬‬
‫إذن‬

‫‪41‬‬

‫‪BC ‬‬

‫ألن‬

‫‪BC > 0‬‬
‫‪11‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثالثة ثانوي إعدادي‬

‫مبرهنة فيتاغورس المباشرة‬

‫مالحظة‪2‬‬
‫تستعمل مبرهنة فيتاغورس المباشرة لحساب األطوال‬

‫‪12‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثالثة ثانوي إعدادي‬

‫مبرهنة فيتاغورس العكسية‬

‫نشاط تمهيدي‪: 5‬‬

‫)'‪(C‬‬

‫‪A‬‬

‫نعتبر مثلثا ‪ ABC‬يحقق ‪AB2 + AC2 = BC2‬‬
‫)‪ (C‬نصف الدائرة التي قطرها ]‪ [BC‬وال تمر من‬
‫‪A‬‬
‫و )'‪ ( C‬الدائرة التي مركزها ‪ C‬وشعاعها ‪AC‬‬

‫‪B‬‬

‫‪C‬‬

‫بحيث )‪ (C‬و( '‪ ( C‬تتقاطعان في ‪.O‬‬

‫‪ (1‬بين أن ‪ BCO‬مثلث قائم الزاوية في ‪ O‬ثم استنتج أن‪BO = BA :‬‬

‫^‬

‫‪O‬‬

‫)‪(C‬‬

‫^‬

‫‪ (2‬بين أن )‪ (BC‬واسط القطعة ]‪ [AO‬واستنتج أن الزاويتين ‪ BAC‬و ‪BOC‬‬
‫متماثلتان بالنسبة للمستقيم )‪.(BC‬‬
‫‪ (3‬حدد طبيعة المثلث ‪.BAC‬‬

‫‪13‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثالثة ثانوي إعدادي‬

‫مبرهنة فيتاغورس العكسية‬

‫الحل‪:‬‬
‫‪ BCO (1‬محاط بنصف دائرة قطرها ]‪ [BC‬إذن فهو قائم الزاوية في ‪. O‬‬

‫إذن ‪ ،‬حسب مبرهنة فيثاغورس‪،‬‬
‫أي‪:‬‬

‫‪BC² = BO² + OC²‬‬
‫‪BO² = BC² - OC²‬‬

‫بما أن ‪ ( OC = AC‬شعاع الدائرة (’‪( (C‬‬

‫فإن‪:‬‬
‫حسب المعطيات‪ ،‬لدينا‪:‬‬

‫‪BO² = BC² - AC²‬‬
‫‪AB² = BC² - AC²‬‬

‫إذن‬

‫‪BO² = AB²‬‬

‫أي‬

‫‪AB = BO‬‬
‫‪14‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثالثة ثانوي إعدادي‬

‫مبرهنة فيتاغورس العكسية‬

‫‪ BA = BO (2‬و ‪ CA = CO‬إذن )‪ (BC‬واسط القطع ]‪. [AO‬‬

‫نستنتج أن مماثلة ‪ B‬هي ‪ B‬بالنسبة للمستقيم )‪.(BC‬‬
‫ولدينا أيضا مماثلة ‪ A‬هي ‪ O‬بالنسبة للمستقيم )‪.(BC‬‬
‫و مماثلة ‪ C‬هي ‪ C‬بالنسبة للمستقيم )‪.(BC‬‬
‫^‬
‫^‬
‫إذن مماثلة الزاوية ‪ BAC‬هي الزاوية ‪BOC‬‬
‫^‬
‫^‬
‫ومنه ‪BAC = BOC = 90°‬‬
‫وبالتالي المثلث ‪ BAC‬قائم الزاوية في ‪. A‬‬
‫‪15‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثالثة ثانوي إعدادي‬

‫مبرهنة فيتاغورس العكسية‬

‫خاصية‪2‬‬
‫إذا كان مجموع مربعي طولي ضلعي مثلث يساوي مربع طول الضلع‬
‫الثالث‪ ،‬فإن المثلث قائم الزاوية‪.‬‬
‫المثلث‪ MON‬قائم الزاوية في ‪O‬‬

‫‪O‬‬
‫إذا كان ‪ MON‬مثلث‬
‫و ‪MN² = MO² + ON²‬‬

‫فإن‬

‫‪M‬‬
‫‪N‬‬
‫‪16‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثالثة ثانوي إعدادي‬

‫مبرهنة فيتاغورس العكسية‬

‫مثال‬
‫‪ ABC‬مثلث بحيث ‪ BC = 15‬و ‪ AB = 12‬و ‪AC = 9‬‬
‫لنبين أن ‪ ABC‬مثلث قائم الزاوية‪.‬‬

‫‪17‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثالثة ثانوي إعدادي‬

‫مبرهنة فيتاغورس العكسية‬

‫الحل‪:‬‬
‫لدينا‬

‫‪BC² = 15² = 225‬‬
‫‪AB² + AC² = 12² + 9²‬‬
‫‪= 144 + 81‬‬

‫‪= 225‬‬
‫إذن‬

‫‪BC² = AB² + AC²‬‬

‫حسب مبرهنة فيتاغورس العكسية‬
‫فإن المثلث ‪ ABC‬قائم الزاوية في الرأس ‪A‬‬
‫‪18‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثالثة ثانوي إعدادي‬

‫مبرهنة فيتاغورس العكسية‬

‫مالحظة‪3‬‬
‫تستعمل مبرهنة فيتاغورس العكسية إلثبات التعامد‬

‫‪19‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثالثة ثانوي إعدادي‬

‫مبرهنة فيتاغورس العكسية‬

‫تطبيق‪3‬‬
‫ليكن ‪ ABC‬مثلثا و ‪ H‬المسقط العمودي للنقط ‪ A‬على )‪(BC‬‬
‫بحيث ‪ A H  2 3‬و ‪ BH = 3‬و ‪ CH = 4‬و ]‪H є [BC‬‬
‫‪A‬‬

‫بين أن المثلث ‪ ABC‬قائم الزاوية في ‪A‬‬
‫‪2 3‬‬

‫‪C‬‬

‫‪4‬‬

‫‪H‬‬

‫‪3‬‬

‫‪B‬‬
‫‪20‬‬


Slide 4

‫مبرهنة فيتاغورس‬
‫المادة ‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى ‪ :‬الثالثة ثانوي إعدادي‬

‫‪1‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثالثة ثانوي إعدادي‬

‫مبرهنة فيتاغورس المباشرة‬

‫نشاط تمهيدي‪: 1‬‬
‫‪ x‬عدد موجب‬
‫أوجد ‪ x‬إذا علمت أن‬

‫‪x² = 5‬‬

‫الحل‪:‬‬
‫‪ x² = 5‬و ‪ x‬عدد موجب‬
‫يعني أن‬

‫‪5‬‬

‫‪x‬‬
‫‪2‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثالثة ثانوي إعدادي‬

‫مبرهنة فيتاغورس المباشرة‬

‫نشاط تمهيدي‪: 2‬‬
‫نضع‬

‫‪a² = y² + t²‬‬

‫‪ (1‬أحسب ‪ a‬إذا كان ‪ y = 3‬و ‪t = 2‬‬
‫‪ (2‬أحسب ‪ t‬إذا كان ‪5‬‬

‫‪ a ‬و‪3‬‬

‫‪y ‬‬

‫‪3‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثالثة ثانوي إعدادي‬

‫مبرهنة فيتاغورس المباشرة‬

‫الحل‪:‬‬
‫‪(1‬‬

‫‪y² + t²‬‬

‫= ‪a²‬‬

‫‪3² + 2²‬‬

‫=‬

‫‪9+4‬‬

‫=‬

‫‪= 13‬‬
‫إذن‪:‬‬

‫‪13‬‬

‫‪a ‬‬

‫أو‬

‫‪a   13‬‬

‫‪4‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثالثة ثانوي إعدادي‬

‫مبرهنة فيتاغورس المباشرة‬

‫‪(2‬‬

‫‪a² - y²‬‬
‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫‪5 ‬‬

‫‪3‬‬

‫= ‪t²‬‬
‫‪‬‬

‫‪= 5-3‬‬
‫‪=2‬‬
‫إذن‪:‬‬

‫‪2‬‬

‫‪t ‬‬

‫أو‬

‫‪2‬‬

‫‪t  ‬‬

‫‪5‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثالثة ثانوي إعدادي‬

‫مبرهنة فيتاغورس المباشرة‬

‫نشاط تمهيدي‪: 3‬‬

‫‪B‬‬

‫تكسر عمود في ‪ B‬يبلغ طوله ‪. 7,5 m‬‬
‫‪x‬‬

‫طرفه ‪ C‬يوجد على بعد ‪ 1,5 m‬من قاعدته ‪. A‬‬
‫حدد االرتفاع ‪.x‬‬
‫‪C‬‬

‫‪A 1,5 m‬‬

‫‪6‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثالثة ثانوي إعدادي‬

‫مبرهنة فيتاغورس المباشرة‬

‫الحل‪:‬‬

‫‪B‬‬

‫‪BC = 7,5 - x‬‬
‫المثلث ‪ ABC‬قائم الزاوية في ‪. A‬‬
‫حسب مبرهنة فيثاغورس ‪BC² = AB² + AC² :‬‬

‫‪x‬‬

‫‪( 7,5 - X)² = X² + 1,5²‬‬
‫‪56,25 + X² - 15X = X² + 2,25‬‬

‫‪15X = 56,25 - 2,25‬‬

‫‪C‬‬

‫‪A 1,5 m‬‬

‫‪15X = 54‬‬
‫‪X = 3,6‬‬
‫‪7‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثالثة ثانوي إعدادي‬

‫مبرهنة فيتاغورس المباشرة‬

‫خاصية‪1‬‬
‫إذا كان مثلث قائم الزاوية ‪ ،‬فإن مربع وتره يساوي مجموع‬
‫مربعي ضلعي الزاوية القائمة‬
‫‪A‬‬

‫‪BC² = AB² + AC²‬‬

‫‪C‬‬
‫‪B‬‬
‫‪8‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثالثة ثانوي إعدادي‬

‫مبرهنة فيتاغورس المباشرة‬

‫مالحظة‪1‬‬
‫‪ ABC‬مثلث قائم الزاوية في ‪A‬‬

‫إذن ‪:‬‬

‫‪AB² = BC² - AC²‬‬

‫و‬

‫‪AC² = BC² - AB²‬‬

‫‪9‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثالثة ثانوي إعدادي‬

‫مبرهنة فيتاغورس المباشرة‬

‫مثال‬
‫‪ ABC‬مثلث قائم الزاوية في ‪ A‬حيث‪ AB = 4 :‬و ‪AC = 5‬‬
‫‪A‬‬

‫لنحدد ‪BC‬‬

‫‪B‬‬
‫‪C‬‬
‫‪10‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثالثة ثانوي إعدادي‬

‫مبرهنة فيتاغورس المباشرة‬

‫الحل‪:‬‬
‫لدينا ‪ ABC‬مثلث قائم الزاوية في ‪، A‬‬
‫إذن حسب مبرهنة فيتاغورس المباشرة لدينا ‪:‬‬
‫‪BC² = AB² + AC²‬‬
‫‪= 4² + 5²‬‬
‫‪= 16 + 25‬‬
‫‪= 41‬‬
‫إذن‬

‫‪41‬‬

‫‪BC ‬‬

‫ألن‬

‫‪BC > 0‬‬
‫‪11‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثالثة ثانوي إعدادي‬

‫مبرهنة فيتاغورس المباشرة‬

‫مالحظة‪2‬‬
‫تستعمل مبرهنة فيتاغورس المباشرة لحساب األطوال‬

‫‪12‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثالثة ثانوي إعدادي‬

‫مبرهنة فيتاغورس العكسية‬

‫نشاط تمهيدي‪: 5‬‬

‫)'‪(C‬‬

‫‪A‬‬

‫نعتبر مثلثا ‪ ABC‬يحقق ‪AB2 + AC2 = BC2‬‬
‫)‪ (C‬نصف الدائرة التي قطرها ]‪ [BC‬وال تمر من‬
‫‪A‬‬
‫و )'‪ ( C‬الدائرة التي مركزها ‪ C‬وشعاعها ‪AC‬‬

‫‪B‬‬

‫‪C‬‬

‫بحيث )‪ (C‬و( '‪ ( C‬تتقاطعان في ‪.O‬‬

‫‪ (1‬بين أن ‪ BCO‬مثلث قائم الزاوية في ‪ O‬ثم استنتج أن‪BO = BA :‬‬

‫^‬

‫‪O‬‬

‫)‪(C‬‬

‫^‬

‫‪ (2‬بين أن )‪ (BC‬واسط القطعة ]‪ [AO‬واستنتج أن الزاويتين ‪ BAC‬و ‪BOC‬‬
‫متماثلتان بالنسبة للمستقيم )‪.(BC‬‬
‫‪ (3‬حدد طبيعة المثلث ‪.BAC‬‬

‫‪13‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثالثة ثانوي إعدادي‬

‫مبرهنة فيتاغورس العكسية‬

‫الحل‪:‬‬
‫‪ BCO (1‬محاط بنصف دائرة قطرها ]‪ [BC‬إذن فهو قائم الزاوية في ‪. O‬‬

‫إذن ‪ ،‬حسب مبرهنة فيثاغورس‪،‬‬
‫أي‪:‬‬

‫‪BC² = BO² + OC²‬‬
‫‪BO² = BC² - OC²‬‬

‫بما أن ‪ ( OC = AC‬شعاع الدائرة (’‪( (C‬‬

‫فإن‪:‬‬
‫حسب المعطيات‪ ،‬لدينا‪:‬‬

‫‪BO² = BC² - AC²‬‬
‫‪AB² = BC² - AC²‬‬

‫إذن‬

‫‪BO² = AB²‬‬

‫أي‬

‫‪AB = BO‬‬
‫‪14‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثالثة ثانوي إعدادي‬

‫مبرهنة فيتاغورس العكسية‬

‫‪ BA = BO (2‬و ‪ CA = CO‬إذن )‪ (BC‬واسط القطع ]‪. [AO‬‬

‫نستنتج أن مماثلة ‪ B‬هي ‪ B‬بالنسبة للمستقيم )‪.(BC‬‬
‫ولدينا أيضا مماثلة ‪ A‬هي ‪ O‬بالنسبة للمستقيم )‪.(BC‬‬
‫و مماثلة ‪ C‬هي ‪ C‬بالنسبة للمستقيم )‪.(BC‬‬
‫^‬
‫^‬
‫إذن مماثلة الزاوية ‪ BAC‬هي الزاوية ‪BOC‬‬
‫^‬
‫^‬
‫ومنه ‪BAC = BOC = 90°‬‬
‫وبالتالي المثلث ‪ BAC‬قائم الزاوية في ‪. A‬‬
‫‪15‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثالثة ثانوي إعدادي‬

‫مبرهنة فيتاغورس العكسية‬

‫خاصية‪2‬‬
‫إذا كان مجموع مربعي طولي ضلعي مثلث يساوي مربع طول الضلع‬
‫الثالث‪ ،‬فإن المثلث قائم الزاوية‪.‬‬
‫المثلث‪ MON‬قائم الزاوية في ‪O‬‬

‫‪O‬‬
‫إذا كان ‪ MON‬مثلث‬
‫و ‪MN² = MO² + ON²‬‬

‫فإن‬

‫‪M‬‬
‫‪N‬‬
‫‪16‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثالثة ثانوي إعدادي‬

‫مبرهنة فيتاغورس العكسية‬

‫مثال‬
‫‪ ABC‬مثلث بحيث ‪ BC = 15‬و ‪ AB = 12‬و ‪AC = 9‬‬
‫لنبين أن ‪ ABC‬مثلث قائم الزاوية‪.‬‬

‫‪17‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثالثة ثانوي إعدادي‬

‫مبرهنة فيتاغورس العكسية‬

‫الحل‪:‬‬
‫لدينا‬

‫‪BC² = 15² = 225‬‬
‫‪AB² + AC² = 12² + 9²‬‬
‫‪= 144 + 81‬‬

‫‪= 225‬‬
‫إذن‬

‫‪BC² = AB² + AC²‬‬

‫حسب مبرهنة فيتاغورس العكسية‬
‫فإن المثلث ‪ ABC‬قائم الزاوية في الرأس ‪A‬‬
‫‪18‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثالثة ثانوي إعدادي‬

‫مبرهنة فيتاغورس العكسية‬

‫مالحظة‪3‬‬
‫تستعمل مبرهنة فيتاغورس العكسية إلثبات التعامد‬

‫‪19‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثالثة ثانوي إعدادي‬

‫مبرهنة فيتاغورس العكسية‬

‫تطبيق‪3‬‬
‫ليكن ‪ ABC‬مثلثا و ‪ H‬المسقط العمودي للنقط ‪ A‬على )‪(BC‬‬
‫بحيث ‪ A H  2 3‬و ‪ BH = 3‬و ‪ CH = 4‬و ]‪H є [BC‬‬
‫‪A‬‬

‫بين أن المثلث ‪ ABC‬قائم الزاوية في ‪A‬‬
‫‪2 3‬‬

‫‪C‬‬

‫‪4‬‬

‫‪H‬‬

‫‪3‬‬

‫‪B‬‬
‫‪20‬‬


Slide 5

‫مبرهنة فيتاغورس‬
‫المادة ‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى ‪ :‬الثالثة ثانوي إعدادي‬

‫‪1‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثالثة ثانوي إعدادي‬

‫مبرهنة فيتاغورس المباشرة‬

‫نشاط تمهيدي‪: 1‬‬
‫‪ x‬عدد موجب‬
‫أوجد ‪ x‬إذا علمت أن‬

‫‪x² = 5‬‬

‫الحل‪:‬‬
‫‪ x² = 5‬و ‪ x‬عدد موجب‬
‫يعني أن‬

‫‪5‬‬

‫‪x‬‬
‫‪2‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثالثة ثانوي إعدادي‬

‫مبرهنة فيتاغورس المباشرة‬

‫نشاط تمهيدي‪: 2‬‬
‫نضع‬

‫‪a² = y² + t²‬‬

‫‪ (1‬أحسب ‪ a‬إذا كان ‪ y = 3‬و ‪t = 2‬‬
‫‪ (2‬أحسب ‪ t‬إذا كان ‪5‬‬

‫‪ a ‬و‪3‬‬

‫‪y ‬‬

‫‪3‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثالثة ثانوي إعدادي‬

‫مبرهنة فيتاغورس المباشرة‬

‫الحل‪:‬‬
‫‪(1‬‬

‫‪y² + t²‬‬

‫= ‪a²‬‬

‫‪3² + 2²‬‬

‫=‬

‫‪9+4‬‬

‫=‬

‫‪= 13‬‬
‫إذن‪:‬‬

‫‪13‬‬

‫‪a ‬‬

‫أو‬

‫‪a   13‬‬

‫‪4‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثالثة ثانوي إعدادي‬

‫مبرهنة فيتاغورس المباشرة‬

‫‪(2‬‬

‫‪a² - y²‬‬
‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫‪5 ‬‬

‫‪3‬‬

‫= ‪t²‬‬
‫‪‬‬

‫‪= 5-3‬‬
‫‪=2‬‬
‫إذن‪:‬‬

‫‪2‬‬

‫‪t ‬‬

‫أو‬

‫‪2‬‬

‫‪t  ‬‬

‫‪5‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثالثة ثانوي إعدادي‬

‫مبرهنة فيتاغورس المباشرة‬

‫نشاط تمهيدي‪: 3‬‬

‫‪B‬‬

‫تكسر عمود في ‪ B‬يبلغ طوله ‪. 7,5 m‬‬
‫‪x‬‬

‫طرفه ‪ C‬يوجد على بعد ‪ 1,5 m‬من قاعدته ‪. A‬‬
‫حدد االرتفاع ‪.x‬‬
‫‪C‬‬

‫‪A 1,5 m‬‬

‫‪6‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثالثة ثانوي إعدادي‬

‫مبرهنة فيتاغورس المباشرة‬

‫الحل‪:‬‬

‫‪B‬‬

‫‪BC = 7,5 - x‬‬
‫المثلث ‪ ABC‬قائم الزاوية في ‪. A‬‬
‫حسب مبرهنة فيثاغورس ‪BC² = AB² + AC² :‬‬

‫‪x‬‬

‫‪( 7,5 - X)² = X² + 1,5²‬‬
‫‪56,25 + X² - 15X = X² + 2,25‬‬

‫‪15X = 56,25 - 2,25‬‬

‫‪C‬‬

‫‪A 1,5 m‬‬

‫‪15X = 54‬‬
‫‪X = 3,6‬‬
‫‪7‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثالثة ثانوي إعدادي‬

‫مبرهنة فيتاغورس المباشرة‬

‫خاصية‪1‬‬
‫إذا كان مثلث قائم الزاوية ‪ ،‬فإن مربع وتره يساوي مجموع‬
‫مربعي ضلعي الزاوية القائمة‬
‫‪A‬‬

‫‪BC² = AB² + AC²‬‬

‫‪C‬‬
‫‪B‬‬
‫‪8‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثالثة ثانوي إعدادي‬

‫مبرهنة فيتاغورس المباشرة‬

‫مالحظة‪1‬‬
‫‪ ABC‬مثلث قائم الزاوية في ‪A‬‬

‫إذن ‪:‬‬

‫‪AB² = BC² - AC²‬‬

‫و‬

‫‪AC² = BC² - AB²‬‬

‫‪9‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثالثة ثانوي إعدادي‬

‫مبرهنة فيتاغورس المباشرة‬

‫مثال‬
‫‪ ABC‬مثلث قائم الزاوية في ‪ A‬حيث‪ AB = 4 :‬و ‪AC = 5‬‬
‫‪A‬‬

‫لنحدد ‪BC‬‬

‫‪B‬‬
‫‪C‬‬
‫‪10‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثالثة ثانوي إعدادي‬

‫مبرهنة فيتاغورس المباشرة‬

‫الحل‪:‬‬
‫لدينا ‪ ABC‬مثلث قائم الزاوية في ‪، A‬‬
‫إذن حسب مبرهنة فيتاغورس المباشرة لدينا ‪:‬‬
‫‪BC² = AB² + AC²‬‬
‫‪= 4² + 5²‬‬
‫‪= 16 + 25‬‬
‫‪= 41‬‬
‫إذن‬

‫‪41‬‬

‫‪BC ‬‬

‫ألن‬

‫‪BC > 0‬‬
‫‪11‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثالثة ثانوي إعدادي‬

‫مبرهنة فيتاغورس المباشرة‬

‫مالحظة‪2‬‬
‫تستعمل مبرهنة فيتاغورس المباشرة لحساب األطوال‬

‫‪12‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثالثة ثانوي إعدادي‬

‫مبرهنة فيتاغورس العكسية‬

‫نشاط تمهيدي‪: 5‬‬

‫)'‪(C‬‬

‫‪A‬‬

‫نعتبر مثلثا ‪ ABC‬يحقق ‪AB2 + AC2 = BC2‬‬
‫)‪ (C‬نصف الدائرة التي قطرها ]‪ [BC‬وال تمر من‬
‫‪A‬‬
‫و )'‪ ( C‬الدائرة التي مركزها ‪ C‬وشعاعها ‪AC‬‬

‫‪B‬‬

‫‪C‬‬

‫بحيث )‪ (C‬و( '‪ ( C‬تتقاطعان في ‪.O‬‬

‫‪ (1‬بين أن ‪ BCO‬مثلث قائم الزاوية في ‪ O‬ثم استنتج أن‪BO = BA :‬‬

‫^‬

‫‪O‬‬

‫)‪(C‬‬

‫^‬

‫‪ (2‬بين أن )‪ (BC‬واسط القطعة ]‪ [AO‬واستنتج أن الزاويتين ‪ BAC‬و ‪BOC‬‬
‫متماثلتان بالنسبة للمستقيم )‪.(BC‬‬
‫‪ (3‬حدد طبيعة المثلث ‪.BAC‬‬

‫‪13‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثالثة ثانوي إعدادي‬

‫مبرهنة فيتاغورس العكسية‬

‫الحل‪:‬‬
‫‪ BCO (1‬محاط بنصف دائرة قطرها ]‪ [BC‬إذن فهو قائم الزاوية في ‪. O‬‬

‫إذن ‪ ،‬حسب مبرهنة فيثاغورس‪،‬‬
‫أي‪:‬‬

‫‪BC² = BO² + OC²‬‬
‫‪BO² = BC² - OC²‬‬

‫بما أن ‪ ( OC = AC‬شعاع الدائرة (’‪( (C‬‬

‫فإن‪:‬‬
‫حسب المعطيات‪ ،‬لدينا‪:‬‬

‫‪BO² = BC² - AC²‬‬
‫‪AB² = BC² - AC²‬‬

‫إذن‬

‫‪BO² = AB²‬‬

‫أي‬

‫‪AB = BO‬‬
‫‪14‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثالثة ثانوي إعدادي‬

‫مبرهنة فيتاغورس العكسية‬

‫‪ BA = BO (2‬و ‪ CA = CO‬إذن )‪ (BC‬واسط القطع ]‪. [AO‬‬

‫نستنتج أن مماثلة ‪ B‬هي ‪ B‬بالنسبة للمستقيم )‪.(BC‬‬
‫ولدينا أيضا مماثلة ‪ A‬هي ‪ O‬بالنسبة للمستقيم )‪.(BC‬‬
‫و مماثلة ‪ C‬هي ‪ C‬بالنسبة للمستقيم )‪.(BC‬‬
‫^‬
‫^‬
‫إذن مماثلة الزاوية ‪ BAC‬هي الزاوية ‪BOC‬‬
‫^‬
‫^‬
‫ومنه ‪BAC = BOC = 90°‬‬
‫وبالتالي المثلث ‪ BAC‬قائم الزاوية في ‪. A‬‬
‫‪15‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثالثة ثانوي إعدادي‬

‫مبرهنة فيتاغورس العكسية‬

‫خاصية‪2‬‬
‫إذا كان مجموع مربعي طولي ضلعي مثلث يساوي مربع طول الضلع‬
‫الثالث‪ ،‬فإن المثلث قائم الزاوية‪.‬‬
‫المثلث‪ MON‬قائم الزاوية في ‪O‬‬

‫‪O‬‬
‫إذا كان ‪ MON‬مثلث‬
‫و ‪MN² = MO² + ON²‬‬

‫فإن‬

‫‪M‬‬
‫‪N‬‬
‫‪16‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثالثة ثانوي إعدادي‬

‫مبرهنة فيتاغورس العكسية‬

‫مثال‬
‫‪ ABC‬مثلث بحيث ‪ BC = 15‬و ‪ AB = 12‬و ‪AC = 9‬‬
‫لنبين أن ‪ ABC‬مثلث قائم الزاوية‪.‬‬

‫‪17‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثالثة ثانوي إعدادي‬

‫مبرهنة فيتاغورس العكسية‬

‫الحل‪:‬‬
‫لدينا‬

‫‪BC² = 15² = 225‬‬
‫‪AB² + AC² = 12² + 9²‬‬
‫‪= 144 + 81‬‬

‫‪= 225‬‬
‫إذن‬

‫‪BC² = AB² + AC²‬‬

‫حسب مبرهنة فيتاغورس العكسية‬
‫فإن المثلث ‪ ABC‬قائم الزاوية في الرأس ‪A‬‬
‫‪18‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثالثة ثانوي إعدادي‬

‫مبرهنة فيتاغورس العكسية‬

‫مالحظة‪3‬‬
‫تستعمل مبرهنة فيتاغورس العكسية إلثبات التعامد‬

‫‪19‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثالثة ثانوي إعدادي‬

‫مبرهنة فيتاغورس العكسية‬

‫تطبيق‪3‬‬
‫ليكن ‪ ABC‬مثلثا و ‪ H‬المسقط العمودي للنقط ‪ A‬على )‪(BC‬‬
‫بحيث ‪ A H  2 3‬و ‪ BH = 3‬و ‪ CH = 4‬و ]‪H є [BC‬‬
‫‪A‬‬

‫بين أن المثلث ‪ ABC‬قائم الزاوية في ‪A‬‬
‫‪2 3‬‬

‫‪C‬‬

‫‪4‬‬

‫‪H‬‬

‫‪3‬‬

‫‪B‬‬
‫‪20‬‬


Slide 6

‫مبرهنة فيتاغورس‬
‫المادة ‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى ‪ :‬الثالثة ثانوي إعدادي‬

‫‪1‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثالثة ثانوي إعدادي‬

‫مبرهنة فيتاغورس المباشرة‬

‫نشاط تمهيدي‪: 1‬‬
‫‪ x‬عدد موجب‬
‫أوجد ‪ x‬إذا علمت أن‬

‫‪x² = 5‬‬

‫الحل‪:‬‬
‫‪ x² = 5‬و ‪ x‬عدد موجب‬
‫يعني أن‬

‫‪5‬‬

‫‪x‬‬
‫‪2‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثالثة ثانوي إعدادي‬

‫مبرهنة فيتاغورس المباشرة‬

‫نشاط تمهيدي‪: 2‬‬
‫نضع‬

‫‪a² = y² + t²‬‬

‫‪ (1‬أحسب ‪ a‬إذا كان ‪ y = 3‬و ‪t = 2‬‬
‫‪ (2‬أحسب ‪ t‬إذا كان ‪5‬‬

‫‪ a ‬و‪3‬‬

‫‪y ‬‬

‫‪3‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثالثة ثانوي إعدادي‬

‫مبرهنة فيتاغورس المباشرة‬

‫الحل‪:‬‬
‫‪(1‬‬

‫‪y² + t²‬‬

‫= ‪a²‬‬

‫‪3² + 2²‬‬

‫=‬

‫‪9+4‬‬

‫=‬

‫‪= 13‬‬
‫إذن‪:‬‬

‫‪13‬‬

‫‪a ‬‬

‫أو‬

‫‪a   13‬‬

‫‪4‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثالثة ثانوي إعدادي‬

‫مبرهنة فيتاغورس المباشرة‬

‫‪(2‬‬

‫‪a² - y²‬‬
‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫‪5 ‬‬

‫‪3‬‬

‫= ‪t²‬‬
‫‪‬‬

‫‪= 5-3‬‬
‫‪=2‬‬
‫إذن‪:‬‬

‫‪2‬‬

‫‪t ‬‬

‫أو‬

‫‪2‬‬

‫‪t  ‬‬

‫‪5‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثالثة ثانوي إعدادي‬

‫مبرهنة فيتاغورس المباشرة‬

‫نشاط تمهيدي‪: 3‬‬

‫‪B‬‬

‫تكسر عمود في ‪ B‬يبلغ طوله ‪. 7,5 m‬‬
‫‪x‬‬

‫طرفه ‪ C‬يوجد على بعد ‪ 1,5 m‬من قاعدته ‪. A‬‬
‫حدد االرتفاع ‪.x‬‬
‫‪C‬‬

‫‪A 1,5 m‬‬

‫‪6‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثالثة ثانوي إعدادي‬

‫مبرهنة فيتاغورس المباشرة‬

‫الحل‪:‬‬

‫‪B‬‬

‫‪BC = 7,5 - x‬‬
‫المثلث ‪ ABC‬قائم الزاوية في ‪. A‬‬
‫حسب مبرهنة فيثاغورس ‪BC² = AB² + AC² :‬‬

‫‪x‬‬

‫‪( 7,5 - X)² = X² + 1,5²‬‬
‫‪56,25 + X² - 15X = X² + 2,25‬‬

‫‪15X = 56,25 - 2,25‬‬

‫‪C‬‬

‫‪A 1,5 m‬‬

‫‪15X = 54‬‬
‫‪X = 3,6‬‬
‫‪7‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثالثة ثانوي إعدادي‬

‫مبرهنة فيتاغورس المباشرة‬

‫خاصية‪1‬‬
‫إذا كان مثلث قائم الزاوية ‪ ،‬فإن مربع وتره يساوي مجموع‬
‫مربعي ضلعي الزاوية القائمة‬
‫‪A‬‬

‫‪BC² = AB² + AC²‬‬

‫‪C‬‬
‫‪B‬‬
‫‪8‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثالثة ثانوي إعدادي‬

‫مبرهنة فيتاغورس المباشرة‬

‫مالحظة‪1‬‬
‫‪ ABC‬مثلث قائم الزاوية في ‪A‬‬

‫إذن ‪:‬‬

‫‪AB² = BC² - AC²‬‬

‫و‬

‫‪AC² = BC² - AB²‬‬

‫‪9‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثالثة ثانوي إعدادي‬

‫مبرهنة فيتاغورس المباشرة‬

‫مثال‬
‫‪ ABC‬مثلث قائم الزاوية في ‪ A‬حيث‪ AB = 4 :‬و ‪AC = 5‬‬
‫‪A‬‬

‫لنحدد ‪BC‬‬

‫‪B‬‬
‫‪C‬‬
‫‪10‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثالثة ثانوي إعدادي‬

‫مبرهنة فيتاغورس المباشرة‬

‫الحل‪:‬‬
‫لدينا ‪ ABC‬مثلث قائم الزاوية في ‪، A‬‬
‫إذن حسب مبرهنة فيتاغورس المباشرة لدينا ‪:‬‬
‫‪BC² = AB² + AC²‬‬
‫‪= 4² + 5²‬‬
‫‪= 16 + 25‬‬
‫‪= 41‬‬
‫إذن‬

‫‪41‬‬

‫‪BC ‬‬

‫ألن‬

‫‪BC > 0‬‬
‫‪11‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثالثة ثانوي إعدادي‬

‫مبرهنة فيتاغورس المباشرة‬

‫مالحظة‪2‬‬
‫تستعمل مبرهنة فيتاغورس المباشرة لحساب األطوال‬

‫‪12‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثالثة ثانوي إعدادي‬

‫مبرهنة فيتاغورس العكسية‬

‫نشاط تمهيدي‪: 5‬‬

‫)'‪(C‬‬

‫‪A‬‬

‫نعتبر مثلثا ‪ ABC‬يحقق ‪AB2 + AC2 = BC2‬‬
‫)‪ (C‬نصف الدائرة التي قطرها ]‪ [BC‬وال تمر من‬
‫‪A‬‬
‫و )'‪ ( C‬الدائرة التي مركزها ‪ C‬وشعاعها ‪AC‬‬

‫‪B‬‬

‫‪C‬‬

‫بحيث )‪ (C‬و( '‪ ( C‬تتقاطعان في ‪.O‬‬

‫‪ (1‬بين أن ‪ BCO‬مثلث قائم الزاوية في ‪ O‬ثم استنتج أن‪BO = BA :‬‬

‫^‬

‫‪O‬‬

‫)‪(C‬‬

‫^‬

‫‪ (2‬بين أن )‪ (BC‬واسط القطعة ]‪ [AO‬واستنتج أن الزاويتين ‪ BAC‬و ‪BOC‬‬
‫متماثلتان بالنسبة للمستقيم )‪.(BC‬‬
‫‪ (3‬حدد طبيعة المثلث ‪.BAC‬‬

‫‪13‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثالثة ثانوي إعدادي‬

‫مبرهنة فيتاغورس العكسية‬

‫الحل‪:‬‬
‫‪ BCO (1‬محاط بنصف دائرة قطرها ]‪ [BC‬إذن فهو قائم الزاوية في ‪. O‬‬

‫إذن ‪ ،‬حسب مبرهنة فيثاغورس‪،‬‬
‫أي‪:‬‬

‫‪BC² = BO² + OC²‬‬
‫‪BO² = BC² - OC²‬‬

‫بما أن ‪ ( OC = AC‬شعاع الدائرة (’‪( (C‬‬

‫فإن‪:‬‬
‫حسب المعطيات‪ ،‬لدينا‪:‬‬

‫‪BO² = BC² - AC²‬‬
‫‪AB² = BC² - AC²‬‬

‫إذن‬

‫‪BO² = AB²‬‬

‫أي‬

‫‪AB = BO‬‬
‫‪14‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثالثة ثانوي إعدادي‬

‫مبرهنة فيتاغورس العكسية‬

‫‪ BA = BO (2‬و ‪ CA = CO‬إذن )‪ (BC‬واسط القطع ]‪. [AO‬‬

‫نستنتج أن مماثلة ‪ B‬هي ‪ B‬بالنسبة للمستقيم )‪.(BC‬‬
‫ولدينا أيضا مماثلة ‪ A‬هي ‪ O‬بالنسبة للمستقيم )‪.(BC‬‬
‫و مماثلة ‪ C‬هي ‪ C‬بالنسبة للمستقيم )‪.(BC‬‬
‫^‬
‫^‬
‫إذن مماثلة الزاوية ‪ BAC‬هي الزاوية ‪BOC‬‬
‫^‬
‫^‬
‫ومنه ‪BAC = BOC = 90°‬‬
‫وبالتالي المثلث ‪ BAC‬قائم الزاوية في ‪. A‬‬
‫‪15‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثالثة ثانوي إعدادي‬

‫مبرهنة فيتاغورس العكسية‬

‫خاصية‪2‬‬
‫إذا كان مجموع مربعي طولي ضلعي مثلث يساوي مربع طول الضلع‬
‫الثالث‪ ،‬فإن المثلث قائم الزاوية‪.‬‬
‫المثلث‪ MON‬قائم الزاوية في ‪O‬‬

‫‪O‬‬
‫إذا كان ‪ MON‬مثلث‬
‫و ‪MN² = MO² + ON²‬‬

‫فإن‬

‫‪M‬‬
‫‪N‬‬
‫‪16‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثالثة ثانوي إعدادي‬

‫مبرهنة فيتاغورس العكسية‬

‫مثال‬
‫‪ ABC‬مثلث بحيث ‪ BC = 15‬و ‪ AB = 12‬و ‪AC = 9‬‬
‫لنبين أن ‪ ABC‬مثلث قائم الزاوية‪.‬‬

‫‪17‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثالثة ثانوي إعدادي‬

‫مبرهنة فيتاغورس العكسية‬

‫الحل‪:‬‬
‫لدينا‬

‫‪BC² = 15² = 225‬‬
‫‪AB² + AC² = 12² + 9²‬‬
‫‪= 144 + 81‬‬

‫‪= 225‬‬
‫إذن‬

‫‪BC² = AB² + AC²‬‬

‫حسب مبرهنة فيتاغورس العكسية‬
‫فإن المثلث ‪ ABC‬قائم الزاوية في الرأس ‪A‬‬
‫‪18‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثالثة ثانوي إعدادي‬

‫مبرهنة فيتاغورس العكسية‬

‫مالحظة‪3‬‬
‫تستعمل مبرهنة فيتاغورس العكسية إلثبات التعامد‬

‫‪19‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثالثة ثانوي إعدادي‬

‫مبرهنة فيتاغورس العكسية‬

‫تطبيق‪3‬‬
‫ليكن ‪ ABC‬مثلثا و ‪ H‬المسقط العمودي للنقط ‪ A‬على )‪(BC‬‬
‫بحيث ‪ A H  2 3‬و ‪ BH = 3‬و ‪ CH = 4‬و ]‪H є [BC‬‬
‫‪A‬‬

‫بين أن المثلث ‪ ABC‬قائم الزاوية في ‪A‬‬
‫‪2 3‬‬

‫‪C‬‬

‫‪4‬‬

‫‪H‬‬

‫‪3‬‬

‫‪B‬‬
‫‪20‬‬


Slide 7

‫مبرهنة فيتاغورس‬
‫المادة ‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى ‪ :‬الثالثة ثانوي إعدادي‬

‫‪1‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثالثة ثانوي إعدادي‬

‫مبرهنة فيتاغورس المباشرة‬

‫نشاط تمهيدي‪: 1‬‬
‫‪ x‬عدد موجب‬
‫أوجد ‪ x‬إذا علمت أن‬

‫‪x² = 5‬‬

‫الحل‪:‬‬
‫‪ x² = 5‬و ‪ x‬عدد موجب‬
‫يعني أن‬

‫‪5‬‬

‫‪x‬‬
‫‪2‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثالثة ثانوي إعدادي‬

‫مبرهنة فيتاغورس المباشرة‬

‫نشاط تمهيدي‪: 2‬‬
‫نضع‬

‫‪a² = y² + t²‬‬

‫‪ (1‬أحسب ‪ a‬إذا كان ‪ y = 3‬و ‪t = 2‬‬
‫‪ (2‬أحسب ‪ t‬إذا كان ‪5‬‬

‫‪ a ‬و‪3‬‬

‫‪y ‬‬

‫‪3‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثالثة ثانوي إعدادي‬

‫مبرهنة فيتاغورس المباشرة‬

‫الحل‪:‬‬
‫‪(1‬‬

‫‪y² + t²‬‬

‫= ‪a²‬‬

‫‪3² + 2²‬‬

‫=‬

‫‪9+4‬‬

‫=‬

‫‪= 13‬‬
‫إذن‪:‬‬

‫‪13‬‬

‫‪a ‬‬

‫أو‬

‫‪a   13‬‬

‫‪4‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثالثة ثانوي إعدادي‬

‫مبرهنة فيتاغورس المباشرة‬

‫‪(2‬‬

‫‪a² - y²‬‬
‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫‪5 ‬‬

‫‪3‬‬

‫= ‪t²‬‬
‫‪‬‬

‫‪= 5-3‬‬
‫‪=2‬‬
‫إذن‪:‬‬

‫‪2‬‬

‫‪t ‬‬

‫أو‬

‫‪2‬‬

‫‪t  ‬‬

‫‪5‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثالثة ثانوي إعدادي‬

‫مبرهنة فيتاغورس المباشرة‬

‫نشاط تمهيدي‪: 3‬‬

‫‪B‬‬

‫تكسر عمود في ‪ B‬يبلغ طوله ‪. 7,5 m‬‬
‫‪x‬‬

‫طرفه ‪ C‬يوجد على بعد ‪ 1,5 m‬من قاعدته ‪. A‬‬
‫حدد االرتفاع ‪.x‬‬
‫‪C‬‬

‫‪A 1,5 m‬‬

‫‪6‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثالثة ثانوي إعدادي‬

‫مبرهنة فيتاغورس المباشرة‬

‫الحل‪:‬‬

‫‪B‬‬

‫‪BC = 7,5 - x‬‬
‫المثلث ‪ ABC‬قائم الزاوية في ‪. A‬‬
‫حسب مبرهنة فيثاغورس ‪BC² = AB² + AC² :‬‬

‫‪x‬‬

‫‪( 7,5 - X)² = X² + 1,5²‬‬
‫‪56,25 + X² - 15X = X² + 2,25‬‬

‫‪15X = 56,25 - 2,25‬‬

‫‪C‬‬

‫‪A 1,5 m‬‬

‫‪15X = 54‬‬
‫‪X = 3,6‬‬
‫‪7‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثالثة ثانوي إعدادي‬

‫مبرهنة فيتاغورس المباشرة‬

‫خاصية‪1‬‬
‫إذا كان مثلث قائم الزاوية ‪ ،‬فإن مربع وتره يساوي مجموع‬
‫مربعي ضلعي الزاوية القائمة‬
‫‪A‬‬

‫‪BC² = AB² + AC²‬‬

‫‪C‬‬
‫‪B‬‬
‫‪8‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثالثة ثانوي إعدادي‬

‫مبرهنة فيتاغورس المباشرة‬

‫مالحظة‪1‬‬
‫‪ ABC‬مثلث قائم الزاوية في ‪A‬‬

‫إذن ‪:‬‬

‫‪AB² = BC² - AC²‬‬

‫و‬

‫‪AC² = BC² - AB²‬‬

‫‪9‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثالثة ثانوي إعدادي‬

‫مبرهنة فيتاغورس المباشرة‬

‫مثال‬
‫‪ ABC‬مثلث قائم الزاوية في ‪ A‬حيث‪ AB = 4 :‬و ‪AC = 5‬‬
‫‪A‬‬

‫لنحدد ‪BC‬‬

‫‪B‬‬
‫‪C‬‬
‫‪10‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثالثة ثانوي إعدادي‬

‫مبرهنة فيتاغورس المباشرة‬

‫الحل‪:‬‬
‫لدينا ‪ ABC‬مثلث قائم الزاوية في ‪، A‬‬
‫إذن حسب مبرهنة فيتاغورس المباشرة لدينا ‪:‬‬
‫‪BC² = AB² + AC²‬‬
‫‪= 4² + 5²‬‬
‫‪= 16 + 25‬‬
‫‪= 41‬‬
‫إذن‬

‫‪41‬‬

‫‪BC ‬‬

‫ألن‬

‫‪BC > 0‬‬
‫‪11‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثالثة ثانوي إعدادي‬

‫مبرهنة فيتاغورس المباشرة‬

‫مالحظة‪2‬‬
‫تستعمل مبرهنة فيتاغورس المباشرة لحساب األطوال‬

‫‪12‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثالثة ثانوي إعدادي‬

‫مبرهنة فيتاغورس العكسية‬

‫نشاط تمهيدي‪: 5‬‬

‫)'‪(C‬‬

‫‪A‬‬

‫نعتبر مثلثا ‪ ABC‬يحقق ‪AB2 + AC2 = BC2‬‬
‫)‪ (C‬نصف الدائرة التي قطرها ]‪ [BC‬وال تمر من‬
‫‪A‬‬
‫و )'‪ ( C‬الدائرة التي مركزها ‪ C‬وشعاعها ‪AC‬‬

‫‪B‬‬

‫‪C‬‬

‫بحيث )‪ (C‬و( '‪ ( C‬تتقاطعان في ‪.O‬‬

‫‪ (1‬بين أن ‪ BCO‬مثلث قائم الزاوية في ‪ O‬ثم استنتج أن‪BO = BA :‬‬

‫^‬

‫‪O‬‬

‫)‪(C‬‬

‫^‬

‫‪ (2‬بين أن )‪ (BC‬واسط القطعة ]‪ [AO‬واستنتج أن الزاويتين ‪ BAC‬و ‪BOC‬‬
‫متماثلتان بالنسبة للمستقيم )‪.(BC‬‬
‫‪ (3‬حدد طبيعة المثلث ‪.BAC‬‬

‫‪13‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثالثة ثانوي إعدادي‬

‫مبرهنة فيتاغورس العكسية‬

‫الحل‪:‬‬
‫‪ BCO (1‬محاط بنصف دائرة قطرها ]‪ [BC‬إذن فهو قائم الزاوية في ‪. O‬‬

‫إذن ‪ ،‬حسب مبرهنة فيثاغورس‪،‬‬
‫أي‪:‬‬

‫‪BC² = BO² + OC²‬‬
‫‪BO² = BC² - OC²‬‬

‫بما أن ‪ ( OC = AC‬شعاع الدائرة (’‪( (C‬‬

‫فإن‪:‬‬
‫حسب المعطيات‪ ،‬لدينا‪:‬‬

‫‪BO² = BC² - AC²‬‬
‫‪AB² = BC² - AC²‬‬

‫إذن‬

‫‪BO² = AB²‬‬

‫أي‬

‫‪AB = BO‬‬
‫‪14‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثالثة ثانوي إعدادي‬

‫مبرهنة فيتاغورس العكسية‬

‫‪ BA = BO (2‬و ‪ CA = CO‬إذن )‪ (BC‬واسط القطع ]‪. [AO‬‬

‫نستنتج أن مماثلة ‪ B‬هي ‪ B‬بالنسبة للمستقيم )‪.(BC‬‬
‫ولدينا أيضا مماثلة ‪ A‬هي ‪ O‬بالنسبة للمستقيم )‪.(BC‬‬
‫و مماثلة ‪ C‬هي ‪ C‬بالنسبة للمستقيم )‪.(BC‬‬
‫^‬
‫^‬
‫إذن مماثلة الزاوية ‪ BAC‬هي الزاوية ‪BOC‬‬
‫^‬
‫^‬
‫ومنه ‪BAC = BOC = 90°‬‬
‫وبالتالي المثلث ‪ BAC‬قائم الزاوية في ‪. A‬‬
‫‪15‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثالثة ثانوي إعدادي‬

‫مبرهنة فيتاغورس العكسية‬

‫خاصية‪2‬‬
‫إذا كان مجموع مربعي طولي ضلعي مثلث يساوي مربع طول الضلع‬
‫الثالث‪ ،‬فإن المثلث قائم الزاوية‪.‬‬
‫المثلث‪ MON‬قائم الزاوية في ‪O‬‬

‫‪O‬‬
‫إذا كان ‪ MON‬مثلث‬
‫و ‪MN² = MO² + ON²‬‬

‫فإن‬

‫‪M‬‬
‫‪N‬‬
‫‪16‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثالثة ثانوي إعدادي‬

‫مبرهنة فيتاغورس العكسية‬

‫مثال‬
‫‪ ABC‬مثلث بحيث ‪ BC = 15‬و ‪ AB = 12‬و ‪AC = 9‬‬
‫لنبين أن ‪ ABC‬مثلث قائم الزاوية‪.‬‬

‫‪17‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثالثة ثانوي إعدادي‬

‫مبرهنة فيتاغورس العكسية‬

‫الحل‪:‬‬
‫لدينا‬

‫‪BC² = 15² = 225‬‬
‫‪AB² + AC² = 12² + 9²‬‬
‫‪= 144 + 81‬‬

‫‪= 225‬‬
‫إذن‬

‫‪BC² = AB² + AC²‬‬

‫حسب مبرهنة فيتاغورس العكسية‬
‫فإن المثلث ‪ ABC‬قائم الزاوية في الرأس ‪A‬‬
‫‪18‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثالثة ثانوي إعدادي‬

‫مبرهنة فيتاغورس العكسية‬

‫مالحظة‪3‬‬
‫تستعمل مبرهنة فيتاغورس العكسية إلثبات التعامد‬

‫‪19‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثالثة ثانوي إعدادي‬

‫مبرهنة فيتاغورس العكسية‬

‫تطبيق‪3‬‬
‫ليكن ‪ ABC‬مثلثا و ‪ H‬المسقط العمودي للنقط ‪ A‬على )‪(BC‬‬
‫بحيث ‪ A H  2 3‬و ‪ BH = 3‬و ‪ CH = 4‬و ]‪H є [BC‬‬
‫‪A‬‬

‫بين أن المثلث ‪ ABC‬قائم الزاوية في ‪A‬‬
‫‪2 3‬‬

‫‪C‬‬

‫‪4‬‬

‫‪H‬‬

‫‪3‬‬

‫‪B‬‬
‫‪20‬‬


Slide 8

‫مبرهنة فيتاغورس‬
‫المادة ‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى ‪ :‬الثالثة ثانوي إعدادي‬

‫‪1‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثالثة ثانوي إعدادي‬

‫مبرهنة فيتاغورس المباشرة‬

‫نشاط تمهيدي‪: 1‬‬
‫‪ x‬عدد موجب‬
‫أوجد ‪ x‬إذا علمت أن‬

‫‪x² = 5‬‬

‫الحل‪:‬‬
‫‪ x² = 5‬و ‪ x‬عدد موجب‬
‫يعني أن‬

‫‪5‬‬

‫‪x‬‬
‫‪2‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثالثة ثانوي إعدادي‬

‫مبرهنة فيتاغورس المباشرة‬

‫نشاط تمهيدي‪: 2‬‬
‫نضع‬

‫‪a² = y² + t²‬‬

‫‪ (1‬أحسب ‪ a‬إذا كان ‪ y = 3‬و ‪t = 2‬‬
‫‪ (2‬أحسب ‪ t‬إذا كان ‪5‬‬

‫‪ a ‬و‪3‬‬

‫‪y ‬‬

‫‪3‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثالثة ثانوي إعدادي‬

‫مبرهنة فيتاغورس المباشرة‬

‫الحل‪:‬‬
‫‪(1‬‬

‫‪y² + t²‬‬

‫= ‪a²‬‬

‫‪3² + 2²‬‬

‫=‬

‫‪9+4‬‬

‫=‬

‫‪= 13‬‬
‫إذن‪:‬‬

‫‪13‬‬

‫‪a ‬‬

‫أو‬

‫‪a   13‬‬

‫‪4‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثالثة ثانوي إعدادي‬

‫مبرهنة فيتاغورس المباشرة‬

‫‪(2‬‬

‫‪a² - y²‬‬
‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫‪5 ‬‬

‫‪3‬‬

‫= ‪t²‬‬
‫‪‬‬

‫‪= 5-3‬‬
‫‪=2‬‬
‫إذن‪:‬‬

‫‪2‬‬

‫‪t ‬‬

‫أو‬

‫‪2‬‬

‫‪t  ‬‬

‫‪5‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثالثة ثانوي إعدادي‬

‫مبرهنة فيتاغورس المباشرة‬

‫نشاط تمهيدي‪: 3‬‬

‫‪B‬‬

‫تكسر عمود في ‪ B‬يبلغ طوله ‪. 7,5 m‬‬
‫‪x‬‬

‫طرفه ‪ C‬يوجد على بعد ‪ 1,5 m‬من قاعدته ‪. A‬‬
‫حدد االرتفاع ‪.x‬‬
‫‪C‬‬

‫‪A 1,5 m‬‬

‫‪6‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثالثة ثانوي إعدادي‬

‫مبرهنة فيتاغورس المباشرة‬

‫الحل‪:‬‬

‫‪B‬‬

‫‪BC = 7,5 - x‬‬
‫المثلث ‪ ABC‬قائم الزاوية في ‪. A‬‬
‫حسب مبرهنة فيثاغورس ‪BC² = AB² + AC² :‬‬

‫‪x‬‬

‫‪( 7,5 - X)² = X² + 1,5²‬‬
‫‪56,25 + X² - 15X = X² + 2,25‬‬

‫‪15X = 56,25 - 2,25‬‬

‫‪C‬‬

‫‪A 1,5 m‬‬

‫‪15X = 54‬‬
‫‪X = 3,6‬‬
‫‪7‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثالثة ثانوي إعدادي‬

‫مبرهنة فيتاغورس المباشرة‬

‫خاصية‪1‬‬
‫إذا كان مثلث قائم الزاوية ‪ ،‬فإن مربع وتره يساوي مجموع‬
‫مربعي ضلعي الزاوية القائمة‬
‫‪A‬‬

‫‪BC² = AB² + AC²‬‬

‫‪C‬‬
‫‪B‬‬
‫‪8‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثالثة ثانوي إعدادي‬

‫مبرهنة فيتاغورس المباشرة‬

‫مالحظة‪1‬‬
‫‪ ABC‬مثلث قائم الزاوية في ‪A‬‬

‫إذن ‪:‬‬

‫‪AB² = BC² - AC²‬‬

‫و‬

‫‪AC² = BC² - AB²‬‬

‫‪9‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثالثة ثانوي إعدادي‬

‫مبرهنة فيتاغورس المباشرة‬

‫مثال‬
‫‪ ABC‬مثلث قائم الزاوية في ‪ A‬حيث‪ AB = 4 :‬و ‪AC = 5‬‬
‫‪A‬‬

‫لنحدد ‪BC‬‬

‫‪B‬‬
‫‪C‬‬
‫‪10‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثالثة ثانوي إعدادي‬

‫مبرهنة فيتاغورس المباشرة‬

‫الحل‪:‬‬
‫لدينا ‪ ABC‬مثلث قائم الزاوية في ‪، A‬‬
‫إذن حسب مبرهنة فيتاغورس المباشرة لدينا ‪:‬‬
‫‪BC² = AB² + AC²‬‬
‫‪= 4² + 5²‬‬
‫‪= 16 + 25‬‬
‫‪= 41‬‬
‫إذن‬

‫‪41‬‬

‫‪BC ‬‬

‫ألن‬

‫‪BC > 0‬‬
‫‪11‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثالثة ثانوي إعدادي‬

‫مبرهنة فيتاغورس المباشرة‬

‫مالحظة‪2‬‬
‫تستعمل مبرهنة فيتاغورس المباشرة لحساب األطوال‬

‫‪12‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثالثة ثانوي إعدادي‬

‫مبرهنة فيتاغورس العكسية‬

‫نشاط تمهيدي‪: 5‬‬

‫)'‪(C‬‬

‫‪A‬‬

‫نعتبر مثلثا ‪ ABC‬يحقق ‪AB2 + AC2 = BC2‬‬
‫)‪ (C‬نصف الدائرة التي قطرها ]‪ [BC‬وال تمر من‬
‫‪A‬‬
‫و )'‪ ( C‬الدائرة التي مركزها ‪ C‬وشعاعها ‪AC‬‬

‫‪B‬‬

‫‪C‬‬

‫بحيث )‪ (C‬و( '‪ ( C‬تتقاطعان في ‪.O‬‬

‫‪ (1‬بين أن ‪ BCO‬مثلث قائم الزاوية في ‪ O‬ثم استنتج أن‪BO = BA :‬‬

‫^‬

‫‪O‬‬

‫)‪(C‬‬

‫^‬

‫‪ (2‬بين أن )‪ (BC‬واسط القطعة ]‪ [AO‬واستنتج أن الزاويتين ‪ BAC‬و ‪BOC‬‬
‫متماثلتان بالنسبة للمستقيم )‪.(BC‬‬
‫‪ (3‬حدد طبيعة المثلث ‪.BAC‬‬

‫‪13‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثالثة ثانوي إعدادي‬

‫مبرهنة فيتاغورس العكسية‬

‫الحل‪:‬‬
‫‪ BCO (1‬محاط بنصف دائرة قطرها ]‪ [BC‬إذن فهو قائم الزاوية في ‪. O‬‬

‫إذن ‪ ،‬حسب مبرهنة فيثاغورس‪،‬‬
‫أي‪:‬‬

‫‪BC² = BO² + OC²‬‬
‫‪BO² = BC² - OC²‬‬

‫بما أن ‪ ( OC = AC‬شعاع الدائرة (’‪( (C‬‬

‫فإن‪:‬‬
‫حسب المعطيات‪ ،‬لدينا‪:‬‬

‫‪BO² = BC² - AC²‬‬
‫‪AB² = BC² - AC²‬‬

‫إذن‬

‫‪BO² = AB²‬‬

‫أي‬

‫‪AB = BO‬‬
‫‪14‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثالثة ثانوي إعدادي‬

‫مبرهنة فيتاغورس العكسية‬

‫‪ BA = BO (2‬و ‪ CA = CO‬إذن )‪ (BC‬واسط القطع ]‪. [AO‬‬

‫نستنتج أن مماثلة ‪ B‬هي ‪ B‬بالنسبة للمستقيم )‪.(BC‬‬
‫ولدينا أيضا مماثلة ‪ A‬هي ‪ O‬بالنسبة للمستقيم )‪.(BC‬‬
‫و مماثلة ‪ C‬هي ‪ C‬بالنسبة للمستقيم )‪.(BC‬‬
‫^‬
‫^‬
‫إذن مماثلة الزاوية ‪ BAC‬هي الزاوية ‪BOC‬‬
‫^‬
‫^‬
‫ومنه ‪BAC = BOC = 90°‬‬
‫وبالتالي المثلث ‪ BAC‬قائم الزاوية في ‪. A‬‬
‫‪15‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثالثة ثانوي إعدادي‬

‫مبرهنة فيتاغورس العكسية‬

‫خاصية‪2‬‬
‫إذا كان مجموع مربعي طولي ضلعي مثلث يساوي مربع طول الضلع‬
‫الثالث‪ ،‬فإن المثلث قائم الزاوية‪.‬‬
‫المثلث‪ MON‬قائم الزاوية في ‪O‬‬

‫‪O‬‬
‫إذا كان ‪ MON‬مثلث‬
‫و ‪MN² = MO² + ON²‬‬

‫فإن‬

‫‪M‬‬
‫‪N‬‬
‫‪16‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثالثة ثانوي إعدادي‬

‫مبرهنة فيتاغورس العكسية‬

‫مثال‬
‫‪ ABC‬مثلث بحيث ‪ BC = 15‬و ‪ AB = 12‬و ‪AC = 9‬‬
‫لنبين أن ‪ ABC‬مثلث قائم الزاوية‪.‬‬

‫‪17‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثالثة ثانوي إعدادي‬

‫مبرهنة فيتاغورس العكسية‬

‫الحل‪:‬‬
‫لدينا‬

‫‪BC² = 15² = 225‬‬
‫‪AB² + AC² = 12² + 9²‬‬
‫‪= 144 + 81‬‬

‫‪= 225‬‬
‫إذن‬

‫‪BC² = AB² + AC²‬‬

‫حسب مبرهنة فيتاغورس العكسية‬
‫فإن المثلث ‪ ABC‬قائم الزاوية في الرأس ‪A‬‬
‫‪18‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثالثة ثانوي إعدادي‬

‫مبرهنة فيتاغورس العكسية‬

‫مالحظة‪3‬‬
‫تستعمل مبرهنة فيتاغورس العكسية إلثبات التعامد‬

‫‪19‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثالثة ثانوي إعدادي‬

‫مبرهنة فيتاغورس العكسية‬

‫تطبيق‪3‬‬
‫ليكن ‪ ABC‬مثلثا و ‪ H‬المسقط العمودي للنقط ‪ A‬على )‪(BC‬‬
‫بحيث ‪ A H  2 3‬و ‪ BH = 3‬و ‪ CH = 4‬و ]‪H є [BC‬‬
‫‪A‬‬

‫بين أن المثلث ‪ ABC‬قائم الزاوية في ‪A‬‬
‫‪2 3‬‬

‫‪C‬‬

‫‪4‬‬

‫‪H‬‬

‫‪3‬‬

‫‪B‬‬
‫‪20‬‬


Slide 9

‫مبرهنة فيتاغورس‬
‫المادة ‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى ‪ :‬الثالثة ثانوي إعدادي‬

‫‪1‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثالثة ثانوي إعدادي‬

‫مبرهنة فيتاغورس المباشرة‬

‫نشاط تمهيدي‪: 1‬‬
‫‪ x‬عدد موجب‬
‫أوجد ‪ x‬إذا علمت أن‬

‫‪x² = 5‬‬

‫الحل‪:‬‬
‫‪ x² = 5‬و ‪ x‬عدد موجب‬
‫يعني أن‬

‫‪5‬‬

‫‪x‬‬
‫‪2‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثالثة ثانوي إعدادي‬

‫مبرهنة فيتاغورس المباشرة‬

‫نشاط تمهيدي‪: 2‬‬
‫نضع‬

‫‪a² = y² + t²‬‬

‫‪ (1‬أحسب ‪ a‬إذا كان ‪ y = 3‬و ‪t = 2‬‬
‫‪ (2‬أحسب ‪ t‬إذا كان ‪5‬‬

‫‪ a ‬و‪3‬‬

‫‪y ‬‬

‫‪3‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثالثة ثانوي إعدادي‬

‫مبرهنة فيتاغورس المباشرة‬

‫الحل‪:‬‬
‫‪(1‬‬

‫‪y² + t²‬‬

‫= ‪a²‬‬

‫‪3² + 2²‬‬

‫=‬

‫‪9+4‬‬

‫=‬

‫‪= 13‬‬
‫إذن‪:‬‬

‫‪13‬‬

‫‪a ‬‬

‫أو‬

‫‪a   13‬‬

‫‪4‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثالثة ثانوي إعدادي‬

‫مبرهنة فيتاغورس المباشرة‬

‫‪(2‬‬

‫‪a² - y²‬‬
‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫‪5 ‬‬

‫‪3‬‬

‫= ‪t²‬‬
‫‪‬‬

‫‪= 5-3‬‬
‫‪=2‬‬
‫إذن‪:‬‬

‫‪2‬‬

‫‪t ‬‬

‫أو‬

‫‪2‬‬

‫‪t  ‬‬

‫‪5‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثالثة ثانوي إعدادي‬

‫مبرهنة فيتاغورس المباشرة‬

‫نشاط تمهيدي‪: 3‬‬

‫‪B‬‬

‫تكسر عمود في ‪ B‬يبلغ طوله ‪. 7,5 m‬‬
‫‪x‬‬

‫طرفه ‪ C‬يوجد على بعد ‪ 1,5 m‬من قاعدته ‪. A‬‬
‫حدد االرتفاع ‪.x‬‬
‫‪C‬‬

‫‪A 1,5 m‬‬

‫‪6‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثالثة ثانوي إعدادي‬

‫مبرهنة فيتاغورس المباشرة‬

‫الحل‪:‬‬

‫‪B‬‬

‫‪BC = 7,5 - x‬‬
‫المثلث ‪ ABC‬قائم الزاوية في ‪. A‬‬
‫حسب مبرهنة فيثاغورس ‪BC² = AB² + AC² :‬‬

‫‪x‬‬

‫‪( 7,5 - X)² = X² + 1,5²‬‬
‫‪56,25 + X² - 15X = X² + 2,25‬‬

‫‪15X = 56,25 - 2,25‬‬

‫‪C‬‬

‫‪A 1,5 m‬‬

‫‪15X = 54‬‬
‫‪X = 3,6‬‬
‫‪7‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثالثة ثانوي إعدادي‬

‫مبرهنة فيتاغورس المباشرة‬

‫خاصية‪1‬‬
‫إذا كان مثلث قائم الزاوية ‪ ،‬فإن مربع وتره يساوي مجموع‬
‫مربعي ضلعي الزاوية القائمة‬
‫‪A‬‬

‫‪BC² = AB² + AC²‬‬

‫‪C‬‬
‫‪B‬‬
‫‪8‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثالثة ثانوي إعدادي‬

‫مبرهنة فيتاغورس المباشرة‬

‫مالحظة‪1‬‬
‫‪ ABC‬مثلث قائم الزاوية في ‪A‬‬

‫إذن ‪:‬‬

‫‪AB² = BC² - AC²‬‬

‫و‬

‫‪AC² = BC² - AB²‬‬

‫‪9‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثالثة ثانوي إعدادي‬

‫مبرهنة فيتاغورس المباشرة‬

‫مثال‬
‫‪ ABC‬مثلث قائم الزاوية في ‪ A‬حيث‪ AB = 4 :‬و ‪AC = 5‬‬
‫‪A‬‬

‫لنحدد ‪BC‬‬

‫‪B‬‬
‫‪C‬‬
‫‪10‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثالثة ثانوي إعدادي‬

‫مبرهنة فيتاغورس المباشرة‬

‫الحل‪:‬‬
‫لدينا ‪ ABC‬مثلث قائم الزاوية في ‪، A‬‬
‫إذن حسب مبرهنة فيتاغورس المباشرة لدينا ‪:‬‬
‫‪BC² = AB² + AC²‬‬
‫‪= 4² + 5²‬‬
‫‪= 16 + 25‬‬
‫‪= 41‬‬
‫إذن‬

‫‪41‬‬

‫‪BC ‬‬

‫ألن‬

‫‪BC > 0‬‬
‫‪11‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثالثة ثانوي إعدادي‬

‫مبرهنة فيتاغورس المباشرة‬

‫مالحظة‪2‬‬
‫تستعمل مبرهنة فيتاغورس المباشرة لحساب األطوال‬

‫‪12‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثالثة ثانوي إعدادي‬

‫مبرهنة فيتاغورس العكسية‬

‫نشاط تمهيدي‪: 5‬‬

‫)'‪(C‬‬

‫‪A‬‬

‫نعتبر مثلثا ‪ ABC‬يحقق ‪AB2 + AC2 = BC2‬‬
‫)‪ (C‬نصف الدائرة التي قطرها ]‪ [BC‬وال تمر من‬
‫‪A‬‬
‫و )'‪ ( C‬الدائرة التي مركزها ‪ C‬وشعاعها ‪AC‬‬

‫‪B‬‬

‫‪C‬‬

‫بحيث )‪ (C‬و( '‪ ( C‬تتقاطعان في ‪.O‬‬

‫‪ (1‬بين أن ‪ BCO‬مثلث قائم الزاوية في ‪ O‬ثم استنتج أن‪BO = BA :‬‬

‫^‬

‫‪O‬‬

‫)‪(C‬‬

‫^‬

‫‪ (2‬بين أن )‪ (BC‬واسط القطعة ]‪ [AO‬واستنتج أن الزاويتين ‪ BAC‬و ‪BOC‬‬
‫متماثلتان بالنسبة للمستقيم )‪.(BC‬‬
‫‪ (3‬حدد طبيعة المثلث ‪.BAC‬‬

‫‪13‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثالثة ثانوي إعدادي‬

‫مبرهنة فيتاغورس العكسية‬

‫الحل‪:‬‬
‫‪ BCO (1‬محاط بنصف دائرة قطرها ]‪ [BC‬إذن فهو قائم الزاوية في ‪. O‬‬

‫إذن ‪ ،‬حسب مبرهنة فيثاغورس‪،‬‬
‫أي‪:‬‬

‫‪BC² = BO² + OC²‬‬
‫‪BO² = BC² - OC²‬‬

‫بما أن ‪ ( OC = AC‬شعاع الدائرة (’‪( (C‬‬

‫فإن‪:‬‬
‫حسب المعطيات‪ ،‬لدينا‪:‬‬

‫‪BO² = BC² - AC²‬‬
‫‪AB² = BC² - AC²‬‬

‫إذن‬

‫‪BO² = AB²‬‬

‫أي‬

‫‪AB = BO‬‬
‫‪14‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثالثة ثانوي إعدادي‬

‫مبرهنة فيتاغورس العكسية‬

‫‪ BA = BO (2‬و ‪ CA = CO‬إذن )‪ (BC‬واسط القطع ]‪. [AO‬‬

‫نستنتج أن مماثلة ‪ B‬هي ‪ B‬بالنسبة للمستقيم )‪.(BC‬‬
‫ولدينا أيضا مماثلة ‪ A‬هي ‪ O‬بالنسبة للمستقيم )‪.(BC‬‬
‫و مماثلة ‪ C‬هي ‪ C‬بالنسبة للمستقيم )‪.(BC‬‬
‫^‬
‫^‬
‫إذن مماثلة الزاوية ‪ BAC‬هي الزاوية ‪BOC‬‬
‫^‬
‫^‬
‫ومنه ‪BAC = BOC = 90°‬‬
‫وبالتالي المثلث ‪ BAC‬قائم الزاوية في ‪. A‬‬
‫‪15‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثالثة ثانوي إعدادي‬

‫مبرهنة فيتاغورس العكسية‬

‫خاصية‪2‬‬
‫إذا كان مجموع مربعي طولي ضلعي مثلث يساوي مربع طول الضلع‬
‫الثالث‪ ،‬فإن المثلث قائم الزاوية‪.‬‬
‫المثلث‪ MON‬قائم الزاوية في ‪O‬‬

‫‪O‬‬
‫إذا كان ‪ MON‬مثلث‬
‫و ‪MN² = MO² + ON²‬‬

‫فإن‬

‫‪M‬‬
‫‪N‬‬
‫‪16‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثالثة ثانوي إعدادي‬

‫مبرهنة فيتاغورس العكسية‬

‫مثال‬
‫‪ ABC‬مثلث بحيث ‪ BC = 15‬و ‪ AB = 12‬و ‪AC = 9‬‬
‫لنبين أن ‪ ABC‬مثلث قائم الزاوية‪.‬‬

‫‪17‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثالثة ثانوي إعدادي‬

‫مبرهنة فيتاغورس العكسية‬

‫الحل‪:‬‬
‫لدينا‬

‫‪BC² = 15² = 225‬‬
‫‪AB² + AC² = 12² + 9²‬‬
‫‪= 144 + 81‬‬

‫‪= 225‬‬
‫إذن‬

‫‪BC² = AB² + AC²‬‬

‫حسب مبرهنة فيتاغورس العكسية‬
‫فإن المثلث ‪ ABC‬قائم الزاوية في الرأس ‪A‬‬
‫‪18‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثالثة ثانوي إعدادي‬

‫مبرهنة فيتاغورس العكسية‬

‫مالحظة‪3‬‬
‫تستعمل مبرهنة فيتاغورس العكسية إلثبات التعامد‬

‫‪19‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثالثة ثانوي إعدادي‬

‫مبرهنة فيتاغورس العكسية‬

‫تطبيق‪3‬‬
‫ليكن ‪ ABC‬مثلثا و ‪ H‬المسقط العمودي للنقط ‪ A‬على )‪(BC‬‬
‫بحيث ‪ A H  2 3‬و ‪ BH = 3‬و ‪ CH = 4‬و ]‪H є [BC‬‬
‫‪A‬‬

‫بين أن المثلث ‪ ABC‬قائم الزاوية في ‪A‬‬
‫‪2 3‬‬

‫‪C‬‬

‫‪4‬‬

‫‪H‬‬

‫‪3‬‬

‫‪B‬‬
‫‪20‬‬


Slide 10

‫مبرهنة فيتاغورس‬
‫المادة ‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى ‪ :‬الثالثة ثانوي إعدادي‬

‫‪1‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثالثة ثانوي إعدادي‬

‫مبرهنة فيتاغورس المباشرة‬

‫نشاط تمهيدي‪: 1‬‬
‫‪ x‬عدد موجب‬
‫أوجد ‪ x‬إذا علمت أن‬

‫‪x² = 5‬‬

‫الحل‪:‬‬
‫‪ x² = 5‬و ‪ x‬عدد موجب‬
‫يعني أن‬

‫‪5‬‬

‫‪x‬‬
‫‪2‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثالثة ثانوي إعدادي‬

‫مبرهنة فيتاغورس المباشرة‬

‫نشاط تمهيدي‪: 2‬‬
‫نضع‬

‫‪a² = y² + t²‬‬

‫‪ (1‬أحسب ‪ a‬إذا كان ‪ y = 3‬و ‪t = 2‬‬
‫‪ (2‬أحسب ‪ t‬إذا كان ‪5‬‬

‫‪ a ‬و‪3‬‬

‫‪y ‬‬

‫‪3‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثالثة ثانوي إعدادي‬

‫مبرهنة فيتاغورس المباشرة‬

‫الحل‪:‬‬
‫‪(1‬‬

‫‪y² + t²‬‬

‫= ‪a²‬‬

‫‪3² + 2²‬‬

‫=‬

‫‪9+4‬‬

‫=‬

‫‪= 13‬‬
‫إذن‪:‬‬

‫‪13‬‬

‫‪a ‬‬

‫أو‬

‫‪a   13‬‬

‫‪4‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثالثة ثانوي إعدادي‬

‫مبرهنة فيتاغورس المباشرة‬

‫‪(2‬‬

‫‪a² - y²‬‬
‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫‪5 ‬‬

‫‪3‬‬

‫= ‪t²‬‬
‫‪‬‬

‫‪= 5-3‬‬
‫‪=2‬‬
‫إذن‪:‬‬

‫‪2‬‬

‫‪t ‬‬

‫أو‬

‫‪2‬‬

‫‪t  ‬‬

‫‪5‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثالثة ثانوي إعدادي‬

‫مبرهنة فيتاغورس المباشرة‬

‫نشاط تمهيدي‪: 3‬‬

‫‪B‬‬

‫تكسر عمود في ‪ B‬يبلغ طوله ‪. 7,5 m‬‬
‫‪x‬‬

‫طرفه ‪ C‬يوجد على بعد ‪ 1,5 m‬من قاعدته ‪. A‬‬
‫حدد االرتفاع ‪.x‬‬
‫‪C‬‬

‫‪A 1,5 m‬‬

‫‪6‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثالثة ثانوي إعدادي‬

‫مبرهنة فيتاغورس المباشرة‬

‫الحل‪:‬‬

‫‪B‬‬

‫‪BC = 7,5 - x‬‬
‫المثلث ‪ ABC‬قائم الزاوية في ‪. A‬‬
‫حسب مبرهنة فيثاغورس ‪BC² = AB² + AC² :‬‬

‫‪x‬‬

‫‪( 7,5 - X)² = X² + 1,5²‬‬
‫‪56,25 + X² - 15X = X² + 2,25‬‬

‫‪15X = 56,25 - 2,25‬‬

‫‪C‬‬

‫‪A 1,5 m‬‬

‫‪15X = 54‬‬
‫‪X = 3,6‬‬
‫‪7‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثالثة ثانوي إعدادي‬

‫مبرهنة فيتاغورس المباشرة‬

‫خاصية‪1‬‬
‫إذا كان مثلث قائم الزاوية ‪ ،‬فإن مربع وتره يساوي مجموع‬
‫مربعي ضلعي الزاوية القائمة‬
‫‪A‬‬

‫‪BC² = AB² + AC²‬‬

‫‪C‬‬
‫‪B‬‬
‫‪8‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثالثة ثانوي إعدادي‬

‫مبرهنة فيتاغورس المباشرة‬

‫مالحظة‪1‬‬
‫‪ ABC‬مثلث قائم الزاوية في ‪A‬‬

‫إذن ‪:‬‬

‫‪AB² = BC² - AC²‬‬

‫و‬

‫‪AC² = BC² - AB²‬‬

‫‪9‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثالثة ثانوي إعدادي‬

‫مبرهنة فيتاغورس المباشرة‬

‫مثال‬
‫‪ ABC‬مثلث قائم الزاوية في ‪ A‬حيث‪ AB = 4 :‬و ‪AC = 5‬‬
‫‪A‬‬

‫لنحدد ‪BC‬‬

‫‪B‬‬
‫‪C‬‬
‫‪10‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثالثة ثانوي إعدادي‬

‫مبرهنة فيتاغورس المباشرة‬

‫الحل‪:‬‬
‫لدينا ‪ ABC‬مثلث قائم الزاوية في ‪، A‬‬
‫إذن حسب مبرهنة فيتاغورس المباشرة لدينا ‪:‬‬
‫‪BC² = AB² + AC²‬‬
‫‪= 4² + 5²‬‬
‫‪= 16 + 25‬‬
‫‪= 41‬‬
‫إذن‬

‫‪41‬‬

‫‪BC ‬‬

‫ألن‬

‫‪BC > 0‬‬
‫‪11‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثالثة ثانوي إعدادي‬

‫مبرهنة فيتاغورس المباشرة‬

‫مالحظة‪2‬‬
‫تستعمل مبرهنة فيتاغورس المباشرة لحساب األطوال‬

‫‪12‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثالثة ثانوي إعدادي‬

‫مبرهنة فيتاغورس العكسية‬

‫نشاط تمهيدي‪: 5‬‬

‫)'‪(C‬‬

‫‪A‬‬

‫نعتبر مثلثا ‪ ABC‬يحقق ‪AB2 + AC2 = BC2‬‬
‫)‪ (C‬نصف الدائرة التي قطرها ]‪ [BC‬وال تمر من‬
‫‪A‬‬
‫و )'‪ ( C‬الدائرة التي مركزها ‪ C‬وشعاعها ‪AC‬‬

‫‪B‬‬

‫‪C‬‬

‫بحيث )‪ (C‬و( '‪ ( C‬تتقاطعان في ‪.O‬‬

‫‪ (1‬بين أن ‪ BCO‬مثلث قائم الزاوية في ‪ O‬ثم استنتج أن‪BO = BA :‬‬

‫^‬

‫‪O‬‬

‫)‪(C‬‬

‫^‬

‫‪ (2‬بين أن )‪ (BC‬واسط القطعة ]‪ [AO‬واستنتج أن الزاويتين ‪ BAC‬و ‪BOC‬‬
‫متماثلتان بالنسبة للمستقيم )‪.(BC‬‬
‫‪ (3‬حدد طبيعة المثلث ‪.BAC‬‬

‫‪13‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثالثة ثانوي إعدادي‬

‫مبرهنة فيتاغورس العكسية‬

‫الحل‪:‬‬
‫‪ BCO (1‬محاط بنصف دائرة قطرها ]‪ [BC‬إذن فهو قائم الزاوية في ‪. O‬‬

‫إذن ‪ ،‬حسب مبرهنة فيثاغورس‪،‬‬
‫أي‪:‬‬

‫‪BC² = BO² + OC²‬‬
‫‪BO² = BC² - OC²‬‬

‫بما أن ‪ ( OC = AC‬شعاع الدائرة (’‪( (C‬‬

‫فإن‪:‬‬
‫حسب المعطيات‪ ،‬لدينا‪:‬‬

‫‪BO² = BC² - AC²‬‬
‫‪AB² = BC² - AC²‬‬

‫إذن‬

‫‪BO² = AB²‬‬

‫أي‬

‫‪AB = BO‬‬
‫‪14‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثالثة ثانوي إعدادي‬

‫مبرهنة فيتاغورس العكسية‬

‫‪ BA = BO (2‬و ‪ CA = CO‬إذن )‪ (BC‬واسط القطع ]‪. [AO‬‬

‫نستنتج أن مماثلة ‪ B‬هي ‪ B‬بالنسبة للمستقيم )‪.(BC‬‬
‫ولدينا أيضا مماثلة ‪ A‬هي ‪ O‬بالنسبة للمستقيم )‪.(BC‬‬
‫و مماثلة ‪ C‬هي ‪ C‬بالنسبة للمستقيم )‪.(BC‬‬
‫^‬
‫^‬
‫إذن مماثلة الزاوية ‪ BAC‬هي الزاوية ‪BOC‬‬
‫^‬
‫^‬
‫ومنه ‪BAC = BOC = 90°‬‬
‫وبالتالي المثلث ‪ BAC‬قائم الزاوية في ‪. A‬‬
‫‪15‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثالثة ثانوي إعدادي‬

‫مبرهنة فيتاغورس العكسية‬

‫خاصية‪2‬‬
‫إذا كان مجموع مربعي طولي ضلعي مثلث يساوي مربع طول الضلع‬
‫الثالث‪ ،‬فإن المثلث قائم الزاوية‪.‬‬
‫المثلث‪ MON‬قائم الزاوية في ‪O‬‬

‫‪O‬‬
‫إذا كان ‪ MON‬مثلث‬
‫و ‪MN² = MO² + ON²‬‬

‫فإن‬

‫‪M‬‬
‫‪N‬‬
‫‪16‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثالثة ثانوي إعدادي‬

‫مبرهنة فيتاغورس العكسية‬

‫مثال‬
‫‪ ABC‬مثلث بحيث ‪ BC = 15‬و ‪ AB = 12‬و ‪AC = 9‬‬
‫لنبين أن ‪ ABC‬مثلث قائم الزاوية‪.‬‬

‫‪17‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثالثة ثانوي إعدادي‬

‫مبرهنة فيتاغورس العكسية‬

‫الحل‪:‬‬
‫لدينا‬

‫‪BC² = 15² = 225‬‬
‫‪AB² + AC² = 12² + 9²‬‬
‫‪= 144 + 81‬‬

‫‪= 225‬‬
‫إذن‬

‫‪BC² = AB² + AC²‬‬

‫حسب مبرهنة فيتاغورس العكسية‬
‫فإن المثلث ‪ ABC‬قائم الزاوية في الرأس ‪A‬‬
‫‪18‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثالثة ثانوي إعدادي‬

‫مبرهنة فيتاغورس العكسية‬

‫مالحظة‪3‬‬
‫تستعمل مبرهنة فيتاغورس العكسية إلثبات التعامد‬

‫‪19‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثالثة ثانوي إعدادي‬

‫مبرهنة فيتاغورس العكسية‬

‫تطبيق‪3‬‬
‫ليكن ‪ ABC‬مثلثا و ‪ H‬المسقط العمودي للنقط ‪ A‬على )‪(BC‬‬
‫بحيث ‪ A H  2 3‬و ‪ BH = 3‬و ‪ CH = 4‬و ]‪H є [BC‬‬
‫‪A‬‬

‫بين أن المثلث ‪ ABC‬قائم الزاوية في ‪A‬‬
‫‪2 3‬‬

‫‪C‬‬

‫‪4‬‬

‫‪H‬‬

‫‪3‬‬

‫‪B‬‬
‫‪20‬‬


Slide 11

‫مبرهنة فيتاغورس‬
‫المادة ‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى ‪ :‬الثالثة ثانوي إعدادي‬

‫‪1‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثالثة ثانوي إعدادي‬

‫مبرهنة فيتاغورس المباشرة‬

‫نشاط تمهيدي‪: 1‬‬
‫‪ x‬عدد موجب‬
‫أوجد ‪ x‬إذا علمت أن‬

‫‪x² = 5‬‬

‫الحل‪:‬‬
‫‪ x² = 5‬و ‪ x‬عدد موجب‬
‫يعني أن‬

‫‪5‬‬

‫‪x‬‬
‫‪2‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثالثة ثانوي إعدادي‬

‫مبرهنة فيتاغورس المباشرة‬

‫نشاط تمهيدي‪: 2‬‬
‫نضع‬

‫‪a² = y² + t²‬‬

‫‪ (1‬أحسب ‪ a‬إذا كان ‪ y = 3‬و ‪t = 2‬‬
‫‪ (2‬أحسب ‪ t‬إذا كان ‪5‬‬

‫‪ a ‬و‪3‬‬

‫‪y ‬‬

‫‪3‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثالثة ثانوي إعدادي‬

‫مبرهنة فيتاغورس المباشرة‬

‫الحل‪:‬‬
‫‪(1‬‬

‫‪y² + t²‬‬

‫= ‪a²‬‬

‫‪3² + 2²‬‬

‫=‬

‫‪9+4‬‬

‫=‬

‫‪= 13‬‬
‫إذن‪:‬‬

‫‪13‬‬

‫‪a ‬‬

‫أو‬

‫‪a   13‬‬

‫‪4‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثالثة ثانوي إعدادي‬

‫مبرهنة فيتاغورس المباشرة‬

‫‪(2‬‬

‫‪a² - y²‬‬
‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫‪5 ‬‬

‫‪3‬‬

‫= ‪t²‬‬
‫‪‬‬

‫‪= 5-3‬‬
‫‪=2‬‬
‫إذن‪:‬‬

‫‪2‬‬

‫‪t ‬‬

‫أو‬

‫‪2‬‬

‫‪t  ‬‬

‫‪5‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثالثة ثانوي إعدادي‬

‫مبرهنة فيتاغورس المباشرة‬

‫نشاط تمهيدي‪: 3‬‬

‫‪B‬‬

‫تكسر عمود في ‪ B‬يبلغ طوله ‪. 7,5 m‬‬
‫‪x‬‬

‫طرفه ‪ C‬يوجد على بعد ‪ 1,5 m‬من قاعدته ‪. A‬‬
‫حدد االرتفاع ‪.x‬‬
‫‪C‬‬

‫‪A 1,5 m‬‬

‫‪6‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثالثة ثانوي إعدادي‬

‫مبرهنة فيتاغورس المباشرة‬

‫الحل‪:‬‬

‫‪B‬‬

‫‪BC = 7,5 - x‬‬
‫المثلث ‪ ABC‬قائم الزاوية في ‪. A‬‬
‫حسب مبرهنة فيثاغورس ‪BC² = AB² + AC² :‬‬

‫‪x‬‬

‫‪( 7,5 - X)² = X² + 1,5²‬‬
‫‪56,25 + X² - 15X = X² + 2,25‬‬

‫‪15X = 56,25 - 2,25‬‬

‫‪C‬‬

‫‪A 1,5 m‬‬

‫‪15X = 54‬‬
‫‪X = 3,6‬‬
‫‪7‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثالثة ثانوي إعدادي‬

‫مبرهنة فيتاغورس المباشرة‬

‫خاصية‪1‬‬
‫إذا كان مثلث قائم الزاوية ‪ ،‬فإن مربع وتره يساوي مجموع‬
‫مربعي ضلعي الزاوية القائمة‬
‫‪A‬‬

‫‪BC² = AB² + AC²‬‬

‫‪C‬‬
‫‪B‬‬
‫‪8‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثالثة ثانوي إعدادي‬

‫مبرهنة فيتاغورس المباشرة‬

‫مالحظة‪1‬‬
‫‪ ABC‬مثلث قائم الزاوية في ‪A‬‬

‫إذن ‪:‬‬

‫‪AB² = BC² - AC²‬‬

‫و‬

‫‪AC² = BC² - AB²‬‬

‫‪9‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثالثة ثانوي إعدادي‬

‫مبرهنة فيتاغورس المباشرة‬

‫مثال‬
‫‪ ABC‬مثلث قائم الزاوية في ‪ A‬حيث‪ AB = 4 :‬و ‪AC = 5‬‬
‫‪A‬‬

‫لنحدد ‪BC‬‬

‫‪B‬‬
‫‪C‬‬
‫‪10‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثالثة ثانوي إعدادي‬

‫مبرهنة فيتاغورس المباشرة‬

‫الحل‪:‬‬
‫لدينا ‪ ABC‬مثلث قائم الزاوية في ‪، A‬‬
‫إذن حسب مبرهنة فيتاغورس المباشرة لدينا ‪:‬‬
‫‪BC² = AB² + AC²‬‬
‫‪= 4² + 5²‬‬
‫‪= 16 + 25‬‬
‫‪= 41‬‬
‫إذن‬

‫‪41‬‬

‫‪BC ‬‬

‫ألن‬

‫‪BC > 0‬‬
‫‪11‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثالثة ثانوي إعدادي‬

‫مبرهنة فيتاغورس المباشرة‬

‫مالحظة‪2‬‬
‫تستعمل مبرهنة فيتاغورس المباشرة لحساب األطوال‬

‫‪12‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثالثة ثانوي إعدادي‬

‫مبرهنة فيتاغورس العكسية‬

‫نشاط تمهيدي‪: 5‬‬

‫)'‪(C‬‬

‫‪A‬‬

‫نعتبر مثلثا ‪ ABC‬يحقق ‪AB2 + AC2 = BC2‬‬
‫)‪ (C‬نصف الدائرة التي قطرها ]‪ [BC‬وال تمر من‬
‫‪A‬‬
‫و )'‪ ( C‬الدائرة التي مركزها ‪ C‬وشعاعها ‪AC‬‬

‫‪B‬‬

‫‪C‬‬

‫بحيث )‪ (C‬و( '‪ ( C‬تتقاطعان في ‪.O‬‬

‫‪ (1‬بين أن ‪ BCO‬مثلث قائم الزاوية في ‪ O‬ثم استنتج أن‪BO = BA :‬‬

‫^‬

‫‪O‬‬

‫)‪(C‬‬

‫^‬

‫‪ (2‬بين أن )‪ (BC‬واسط القطعة ]‪ [AO‬واستنتج أن الزاويتين ‪ BAC‬و ‪BOC‬‬
‫متماثلتان بالنسبة للمستقيم )‪.(BC‬‬
‫‪ (3‬حدد طبيعة المثلث ‪.BAC‬‬

‫‪13‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثالثة ثانوي إعدادي‬

‫مبرهنة فيتاغورس العكسية‬

‫الحل‪:‬‬
‫‪ BCO (1‬محاط بنصف دائرة قطرها ]‪ [BC‬إذن فهو قائم الزاوية في ‪. O‬‬

‫إذن ‪ ،‬حسب مبرهنة فيثاغورس‪،‬‬
‫أي‪:‬‬

‫‪BC² = BO² + OC²‬‬
‫‪BO² = BC² - OC²‬‬

‫بما أن ‪ ( OC = AC‬شعاع الدائرة (’‪( (C‬‬

‫فإن‪:‬‬
‫حسب المعطيات‪ ،‬لدينا‪:‬‬

‫‪BO² = BC² - AC²‬‬
‫‪AB² = BC² - AC²‬‬

‫إذن‬

‫‪BO² = AB²‬‬

‫أي‬

‫‪AB = BO‬‬
‫‪14‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثالثة ثانوي إعدادي‬

‫مبرهنة فيتاغورس العكسية‬

‫‪ BA = BO (2‬و ‪ CA = CO‬إذن )‪ (BC‬واسط القطع ]‪. [AO‬‬

‫نستنتج أن مماثلة ‪ B‬هي ‪ B‬بالنسبة للمستقيم )‪.(BC‬‬
‫ولدينا أيضا مماثلة ‪ A‬هي ‪ O‬بالنسبة للمستقيم )‪.(BC‬‬
‫و مماثلة ‪ C‬هي ‪ C‬بالنسبة للمستقيم )‪.(BC‬‬
‫^‬
‫^‬
‫إذن مماثلة الزاوية ‪ BAC‬هي الزاوية ‪BOC‬‬
‫^‬
‫^‬
‫ومنه ‪BAC = BOC = 90°‬‬
‫وبالتالي المثلث ‪ BAC‬قائم الزاوية في ‪. A‬‬
‫‪15‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثالثة ثانوي إعدادي‬

‫مبرهنة فيتاغورس العكسية‬

‫خاصية‪2‬‬
‫إذا كان مجموع مربعي طولي ضلعي مثلث يساوي مربع طول الضلع‬
‫الثالث‪ ،‬فإن المثلث قائم الزاوية‪.‬‬
‫المثلث‪ MON‬قائم الزاوية في ‪O‬‬

‫‪O‬‬
‫إذا كان ‪ MON‬مثلث‬
‫و ‪MN² = MO² + ON²‬‬

‫فإن‬

‫‪M‬‬
‫‪N‬‬
‫‪16‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثالثة ثانوي إعدادي‬

‫مبرهنة فيتاغورس العكسية‬

‫مثال‬
‫‪ ABC‬مثلث بحيث ‪ BC = 15‬و ‪ AB = 12‬و ‪AC = 9‬‬
‫لنبين أن ‪ ABC‬مثلث قائم الزاوية‪.‬‬

‫‪17‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثالثة ثانوي إعدادي‬

‫مبرهنة فيتاغورس العكسية‬

‫الحل‪:‬‬
‫لدينا‬

‫‪BC² = 15² = 225‬‬
‫‪AB² + AC² = 12² + 9²‬‬
‫‪= 144 + 81‬‬

‫‪= 225‬‬
‫إذن‬

‫‪BC² = AB² + AC²‬‬

‫حسب مبرهنة فيتاغورس العكسية‬
‫فإن المثلث ‪ ABC‬قائم الزاوية في الرأس ‪A‬‬
‫‪18‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثالثة ثانوي إعدادي‬

‫مبرهنة فيتاغورس العكسية‬

‫مالحظة‪3‬‬
‫تستعمل مبرهنة فيتاغورس العكسية إلثبات التعامد‬

‫‪19‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثالثة ثانوي إعدادي‬

‫مبرهنة فيتاغورس العكسية‬

‫تطبيق‪3‬‬
‫ليكن ‪ ABC‬مثلثا و ‪ H‬المسقط العمودي للنقط ‪ A‬على )‪(BC‬‬
‫بحيث ‪ A H  2 3‬و ‪ BH = 3‬و ‪ CH = 4‬و ]‪H є [BC‬‬
‫‪A‬‬

‫بين أن المثلث ‪ ABC‬قائم الزاوية في ‪A‬‬
‫‪2 3‬‬

‫‪C‬‬

‫‪4‬‬

‫‪H‬‬

‫‪3‬‬

‫‪B‬‬
‫‪20‬‬


Slide 12

‫مبرهنة فيتاغورس‬
‫المادة ‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى ‪ :‬الثالثة ثانوي إعدادي‬

‫‪1‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثالثة ثانوي إعدادي‬

‫مبرهنة فيتاغورس المباشرة‬

‫نشاط تمهيدي‪: 1‬‬
‫‪ x‬عدد موجب‬
‫أوجد ‪ x‬إذا علمت أن‬

‫‪x² = 5‬‬

‫الحل‪:‬‬
‫‪ x² = 5‬و ‪ x‬عدد موجب‬
‫يعني أن‬

‫‪5‬‬

‫‪x‬‬
‫‪2‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثالثة ثانوي إعدادي‬

‫مبرهنة فيتاغورس المباشرة‬

‫نشاط تمهيدي‪: 2‬‬
‫نضع‬

‫‪a² = y² + t²‬‬

‫‪ (1‬أحسب ‪ a‬إذا كان ‪ y = 3‬و ‪t = 2‬‬
‫‪ (2‬أحسب ‪ t‬إذا كان ‪5‬‬

‫‪ a ‬و‪3‬‬

‫‪y ‬‬

‫‪3‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثالثة ثانوي إعدادي‬

‫مبرهنة فيتاغورس المباشرة‬

‫الحل‪:‬‬
‫‪(1‬‬

‫‪y² + t²‬‬

‫= ‪a²‬‬

‫‪3² + 2²‬‬

‫=‬

‫‪9+4‬‬

‫=‬

‫‪= 13‬‬
‫إذن‪:‬‬

‫‪13‬‬

‫‪a ‬‬

‫أو‬

‫‪a   13‬‬

‫‪4‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثالثة ثانوي إعدادي‬

‫مبرهنة فيتاغورس المباشرة‬

‫‪(2‬‬

‫‪a² - y²‬‬
‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫‪5 ‬‬

‫‪3‬‬

‫= ‪t²‬‬
‫‪‬‬

‫‪= 5-3‬‬
‫‪=2‬‬
‫إذن‪:‬‬

‫‪2‬‬

‫‪t ‬‬

‫أو‬

‫‪2‬‬

‫‪t  ‬‬

‫‪5‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثالثة ثانوي إعدادي‬

‫مبرهنة فيتاغورس المباشرة‬

‫نشاط تمهيدي‪: 3‬‬

‫‪B‬‬

‫تكسر عمود في ‪ B‬يبلغ طوله ‪. 7,5 m‬‬
‫‪x‬‬

‫طرفه ‪ C‬يوجد على بعد ‪ 1,5 m‬من قاعدته ‪. A‬‬
‫حدد االرتفاع ‪.x‬‬
‫‪C‬‬

‫‪A 1,5 m‬‬

‫‪6‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثالثة ثانوي إعدادي‬

‫مبرهنة فيتاغورس المباشرة‬

‫الحل‪:‬‬

‫‪B‬‬

‫‪BC = 7,5 - x‬‬
‫المثلث ‪ ABC‬قائم الزاوية في ‪. A‬‬
‫حسب مبرهنة فيثاغورس ‪BC² = AB² + AC² :‬‬

‫‪x‬‬

‫‪( 7,5 - X)² = X² + 1,5²‬‬
‫‪56,25 + X² - 15X = X² + 2,25‬‬

‫‪15X = 56,25 - 2,25‬‬

‫‪C‬‬

‫‪A 1,5 m‬‬

‫‪15X = 54‬‬
‫‪X = 3,6‬‬
‫‪7‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثالثة ثانوي إعدادي‬

‫مبرهنة فيتاغورس المباشرة‬

‫خاصية‪1‬‬
‫إذا كان مثلث قائم الزاوية ‪ ،‬فإن مربع وتره يساوي مجموع‬
‫مربعي ضلعي الزاوية القائمة‬
‫‪A‬‬

‫‪BC² = AB² + AC²‬‬

‫‪C‬‬
‫‪B‬‬
‫‪8‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثالثة ثانوي إعدادي‬

‫مبرهنة فيتاغورس المباشرة‬

‫مالحظة‪1‬‬
‫‪ ABC‬مثلث قائم الزاوية في ‪A‬‬

‫إذن ‪:‬‬

‫‪AB² = BC² - AC²‬‬

‫و‬

‫‪AC² = BC² - AB²‬‬

‫‪9‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثالثة ثانوي إعدادي‬

‫مبرهنة فيتاغورس المباشرة‬

‫مثال‬
‫‪ ABC‬مثلث قائم الزاوية في ‪ A‬حيث‪ AB = 4 :‬و ‪AC = 5‬‬
‫‪A‬‬

‫لنحدد ‪BC‬‬

‫‪B‬‬
‫‪C‬‬
‫‪10‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثالثة ثانوي إعدادي‬

‫مبرهنة فيتاغورس المباشرة‬

‫الحل‪:‬‬
‫لدينا ‪ ABC‬مثلث قائم الزاوية في ‪، A‬‬
‫إذن حسب مبرهنة فيتاغورس المباشرة لدينا ‪:‬‬
‫‪BC² = AB² + AC²‬‬
‫‪= 4² + 5²‬‬
‫‪= 16 + 25‬‬
‫‪= 41‬‬
‫إذن‬

‫‪41‬‬

‫‪BC ‬‬

‫ألن‬

‫‪BC > 0‬‬
‫‪11‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثالثة ثانوي إعدادي‬

‫مبرهنة فيتاغورس المباشرة‬

‫مالحظة‪2‬‬
‫تستعمل مبرهنة فيتاغورس المباشرة لحساب األطوال‬

‫‪12‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثالثة ثانوي إعدادي‬

‫مبرهنة فيتاغورس العكسية‬

‫نشاط تمهيدي‪: 5‬‬

‫)'‪(C‬‬

‫‪A‬‬

‫نعتبر مثلثا ‪ ABC‬يحقق ‪AB2 + AC2 = BC2‬‬
‫)‪ (C‬نصف الدائرة التي قطرها ]‪ [BC‬وال تمر من‬
‫‪A‬‬
‫و )'‪ ( C‬الدائرة التي مركزها ‪ C‬وشعاعها ‪AC‬‬

‫‪B‬‬

‫‪C‬‬

‫بحيث )‪ (C‬و( '‪ ( C‬تتقاطعان في ‪.O‬‬

‫‪ (1‬بين أن ‪ BCO‬مثلث قائم الزاوية في ‪ O‬ثم استنتج أن‪BO = BA :‬‬

‫^‬

‫‪O‬‬

‫)‪(C‬‬

‫^‬

‫‪ (2‬بين أن )‪ (BC‬واسط القطعة ]‪ [AO‬واستنتج أن الزاويتين ‪ BAC‬و ‪BOC‬‬
‫متماثلتان بالنسبة للمستقيم )‪.(BC‬‬
‫‪ (3‬حدد طبيعة المثلث ‪.BAC‬‬

‫‪13‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثالثة ثانوي إعدادي‬

‫مبرهنة فيتاغورس العكسية‬

‫الحل‪:‬‬
‫‪ BCO (1‬محاط بنصف دائرة قطرها ]‪ [BC‬إذن فهو قائم الزاوية في ‪. O‬‬

‫إذن ‪ ،‬حسب مبرهنة فيثاغورس‪،‬‬
‫أي‪:‬‬

‫‪BC² = BO² + OC²‬‬
‫‪BO² = BC² - OC²‬‬

‫بما أن ‪ ( OC = AC‬شعاع الدائرة (’‪( (C‬‬

‫فإن‪:‬‬
‫حسب المعطيات‪ ،‬لدينا‪:‬‬

‫‪BO² = BC² - AC²‬‬
‫‪AB² = BC² - AC²‬‬

‫إذن‬

‫‪BO² = AB²‬‬

‫أي‬

‫‪AB = BO‬‬
‫‪14‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثالثة ثانوي إعدادي‬

‫مبرهنة فيتاغورس العكسية‬

‫‪ BA = BO (2‬و ‪ CA = CO‬إذن )‪ (BC‬واسط القطع ]‪. [AO‬‬

‫نستنتج أن مماثلة ‪ B‬هي ‪ B‬بالنسبة للمستقيم )‪.(BC‬‬
‫ولدينا أيضا مماثلة ‪ A‬هي ‪ O‬بالنسبة للمستقيم )‪.(BC‬‬
‫و مماثلة ‪ C‬هي ‪ C‬بالنسبة للمستقيم )‪.(BC‬‬
‫^‬
‫^‬
‫إذن مماثلة الزاوية ‪ BAC‬هي الزاوية ‪BOC‬‬
‫^‬
‫^‬
‫ومنه ‪BAC = BOC = 90°‬‬
‫وبالتالي المثلث ‪ BAC‬قائم الزاوية في ‪. A‬‬
‫‪15‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثالثة ثانوي إعدادي‬

‫مبرهنة فيتاغورس العكسية‬

‫خاصية‪2‬‬
‫إذا كان مجموع مربعي طولي ضلعي مثلث يساوي مربع طول الضلع‬
‫الثالث‪ ،‬فإن المثلث قائم الزاوية‪.‬‬
‫المثلث‪ MON‬قائم الزاوية في ‪O‬‬

‫‪O‬‬
‫إذا كان ‪ MON‬مثلث‬
‫و ‪MN² = MO² + ON²‬‬

‫فإن‬

‫‪M‬‬
‫‪N‬‬
‫‪16‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثالثة ثانوي إعدادي‬

‫مبرهنة فيتاغورس العكسية‬

‫مثال‬
‫‪ ABC‬مثلث بحيث ‪ BC = 15‬و ‪ AB = 12‬و ‪AC = 9‬‬
‫لنبين أن ‪ ABC‬مثلث قائم الزاوية‪.‬‬

‫‪17‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثالثة ثانوي إعدادي‬

‫مبرهنة فيتاغورس العكسية‬

‫الحل‪:‬‬
‫لدينا‬

‫‪BC² = 15² = 225‬‬
‫‪AB² + AC² = 12² + 9²‬‬
‫‪= 144 + 81‬‬

‫‪= 225‬‬
‫إذن‬

‫‪BC² = AB² + AC²‬‬

‫حسب مبرهنة فيتاغورس العكسية‬
‫فإن المثلث ‪ ABC‬قائم الزاوية في الرأس ‪A‬‬
‫‪18‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثالثة ثانوي إعدادي‬

‫مبرهنة فيتاغورس العكسية‬

‫مالحظة‪3‬‬
‫تستعمل مبرهنة فيتاغورس العكسية إلثبات التعامد‬

‫‪19‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثالثة ثانوي إعدادي‬

‫مبرهنة فيتاغورس العكسية‬

‫تطبيق‪3‬‬
‫ليكن ‪ ABC‬مثلثا و ‪ H‬المسقط العمودي للنقط ‪ A‬على )‪(BC‬‬
‫بحيث ‪ A H  2 3‬و ‪ BH = 3‬و ‪ CH = 4‬و ]‪H є [BC‬‬
‫‪A‬‬

‫بين أن المثلث ‪ ABC‬قائم الزاوية في ‪A‬‬
‫‪2 3‬‬

‫‪C‬‬

‫‪4‬‬

‫‪H‬‬

‫‪3‬‬

‫‪B‬‬
‫‪20‬‬


Slide 13

‫مبرهنة فيتاغورس‬
‫المادة ‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى ‪ :‬الثالثة ثانوي إعدادي‬

‫‪1‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثالثة ثانوي إعدادي‬

‫مبرهنة فيتاغورس المباشرة‬

‫نشاط تمهيدي‪: 1‬‬
‫‪ x‬عدد موجب‬
‫أوجد ‪ x‬إذا علمت أن‬

‫‪x² = 5‬‬

‫الحل‪:‬‬
‫‪ x² = 5‬و ‪ x‬عدد موجب‬
‫يعني أن‬

‫‪5‬‬

‫‪x‬‬
‫‪2‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثالثة ثانوي إعدادي‬

‫مبرهنة فيتاغورس المباشرة‬

‫نشاط تمهيدي‪: 2‬‬
‫نضع‬

‫‪a² = y² + t²‬‬

‫‪ (1‬أحسب ‪ a‬إذا كان ‪ y = 3‬و ‪t = 2‬‬
‫‪ (2‬أحسب ‪ t‬إذا كان ‪5‬‬

‫‪ a ‬و‪3‬‬

‫‪y ‬‬

‫‪3‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثالثة ثانوي إعدادي‬

‫مبرهنة فيتاغورس المباشرة‬

‫الحل‪:‬‬
‫‪(1‬‬

‫‪y² + t²‬‬

‫= ‪a²‬‬

‫‪3² + 2²‬‬

‫=‬

‫‪9+4‬‬

‫=‬

‫‪= 13‬‬
‫إذن‪:‬‬

‫‪13‬‬

‫‪a ‬‬

‫أو‬

‫‪a   13‬‬

‫‪4‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثالثة ثانوي إعدادي‬

‫مبرهنة فيتاغورس المباشرة‬

‫‪(2‬‬

‫‪a² - y²‬‬
‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫‪5 ‬‬

‫‪3‬‬

‫= ‪t²‬‬
‫‪‬‬

‫‪= 5-3‬‬
‫‪=2‬‬
‫إذن‪:‬‬

‫‪2‬‬

‫‪t ‬‬

‫أو‬

‫‪2‬‬

‫‪t  ‬‬

‫‪5‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثالثة ثانوي إعدادي‬

‫مبرهنة فيتاغورس المباشرة‬

‫نشاط تمهيدي‪: 3‬‬

‫‪B‬‬

‫تكسر عمود في ‪ B‬يبلغ طوله ‪. 7,5 m‬‬
‫‪x‬‬

‫طرفه ‪ C‬يوجد على بعد ‪ 1,5 m‬من قاعدته ‪. A‬‬
‫حدد االرتفاع ‪.x‬‬
‫‪C‬‬

‫‪A 1,5 m‬‬

‫‪6‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثالثة ثانوي إعدادي‬

‫مبرهنة فيتاغورس المباشرة‬

‫الحل‪:‬‬

‫‪B‬‬

‫‪BC = 7,5 - x‬‬
‫المثلث ‪ ABC‬قائم الزاوية في ‪. A‬‬
‫حسب مبرهنة فيثاغورس ‪BC² = AB² + AC² :‬‬

‫‪x‬‬

‫‪( 7,5 - X)² = X² + 1,5²‬‬
‫‪56,25 + X² - 15X = X² + 2,25‬‬

‫‪15X = 56,25 - 2,25‬‬

‫‪C‬‬

‫‪A 1,5 m‬‬

‫‪15X = 54‬‬
‫‪X = 3,6‬‬
‫‪7‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثالثة ثانوي إعدادي‬

‫مبرهنة فيتاغورس المباشرة‬

‫خاصية‪1‬‬
‫إذا كان مثلث قائم الزاوية ‪ ،‬فإن مربع وتره يساوي مجموع‬
‫مربعي ضلعي الزاوية القائمة‬
‫‪A‬‬

‫‪BC² = AB² + AC²‬‬

‫‪C‬‬
‫‪B‬‬
‫‪8‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثالثة ثانوي إعدادي‬

‫مبرهنة فيتاغورس المباشرة‬

‫مالحظة‪1‬‬
‫‪ ABC‬مثلث قائم الزاوية في ‪A‬‬

‫إذن ‪:‬‬

‫‪AB² = BC² - AC²‬‬

‫و‬

‫‪AC² = BC² - AB²‬‬

‫‪9‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثالثة ثانوي إعدادي‬

‫مبرهنة فيتاغورس المباشرة‬

‫مثال‬
‫‪ ABC‬مثلث قائم الزاوية في ‪ A‬حيث‪ AB = 4 :‬و ‪AC = 5‬‬
‫‪A‬‬

‫لنحدد ‪BC‬‬

‫‪B‬‬
‫‪C‬‬
‫‪10‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثالثة ثانوي إعدادي‬

‫مبرهنة فيتاغورس المباشرة‬

‫الحل‪:‬‬
‫لدينا ‪ ABC‬مثلث قائم الزاوية في ‪، A‬‬
‫إذن حسب مبرهنة فيتاغورس المباشرة لدينا ‪:‬‬
‫‪BC² = AB² + AC²‬‬
‫‪= 4² + 5²‬‬
‫‪= 16 + 25‬‬
‫‪= 41‬‬
‫إذن‬

‫‪41‬‬

‫‪BC ‬‬

‫ألن‬

‫‪BC > 0‬‬
‫‪11‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثالثة ثانوي إعدادي‬

‫مبرهنة فيتاغورس المباشرة‬

‫مالحظة‪2‬‬
‫تستعمل مبرهنة فيتاغورس المباشرة لحساب األطوال‬

‫‪12‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثالثة ثانوي إعدادي‬

‫مبرهنة فيتاغورس العكسية‬

‫نشاط تمهيدي‪: 5‬‬

‫)'‪(C‬‬

‫‪A‬‬

‫نعتبر مثلثا ‪ ABC‬يحقق ‪AB2 + AC2 = BC2‬‬
‫)‪ (C‬نصف الدائرة التي قطرها ]‪ [BC‬وال تمر من‬
‫‪A‬‬
‫و )'‪ ( C‬الدائرة التي مركزها ‪ C‬وشعاعها ‪AC‬‬

‫‪B‬‬

‫‪C‬‬

‫بحيث )‪ (C‬و( '‪ ( C‬تتقاطعان في ‪.O‬‬

‫‪ (1‬بين أن ‪ BCO‬مثلث قائم الزاوية في ‪ O‬ثم استنتج أن‪BO = BA :‬‬

‫^‬

‫‪O‬‬

‫)‪(C‬‬

‫^‬

‫‪ (2‬بين أن )‪ (BC‬واسط القطعة ]‪ [AO‬واستنتج أن الزاويتين ‪ BAC‬و ‪BOC‬‬
‫متماثلتان بالنسبة للمستقيم )‪.(BC‬‬
‫‪ (3‬حدد طبيعة المثلث ‪.BAC‬‬

‫‪13‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثالثة ثانوي إعدادي‬

‫مبرهنة فيتاغورس العكسية‬

‫الحل‪:‬‬
‫‪ BCO (1‬محاط بنصف دائرة قطرها ]‪ [BC‬إذن فهو قائم الزاوية في ‪. O‬‬

‫إذن ‪ ،‬حسب مبرهنة فيثاغورس‪،‬‬
‫أي‪:‬‬

‫‪BC² = BO² + OC²‬‬
‫‪BO² = BC² - OC²‬‬

‫بما أن ‪ ( OC = AC‬شعاع الدائرة (’‪( (C‬‬

‫فإن‪:‬‬
‫حسب المعطيات‪ ،‬لدينا‪:‬‬

‫‪BO² = BC² - AC²‬‬
‫‪AB² = BC² - AC²‬‬

‫إذن‬

‫‪BO² = AB²‬‬

‫أي‬

‫‪AB = BO‬‬
‫‪14‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثالثة ثانوي إعدادي‬

‫مبرهنة فيتاغورس العكسية‬

‫‪ BA = BO (2‬و ‪ CA = CO‬إذن )‪ (BC‬واسط القطع ]‪. [AO‬‬

‫نستنتج أن مماثلة ‪ B‬هي ‪ B‬بالنسبة للمستقيم )‪.(BC‬‬
‫ولدينا أيضا مماثلة ‪ A‬هي ‪ O‬بالنسبة للمستقيم )‪.(BC‬‬
‫و مماثلة ‪ C‬هي ‪ C‬بالنسبة للمستقيم )‪.(BC‬‬
‫^‬
‫^‬
‫إذن مماثلة الزاوية ‪ BAC‬هي الزاوية ‪BOC‬‬
‫^‬
‫^‬
‫ومنه ‪BAC = BOC = 90°‬‬
‫وبالتالي المثلث ‪ BAC‬قائم الزاوية في ‪. A‬‬
‫‪15‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثالثة ثانوي إعدادي‬

‫مبرهنة فيتاغورس العكسية‬

‫خاصية‪2‬‬
‫إذا كان مجموع مربعي طولي ضلعي مثلث يساوي مربع طول الضلع‬
‫الثالث‪ ،‬فإن المثلث قائم الزاوية‪.‬‬
‫المثلث‪ MON‬قائم الزاوية في ‪O‬‬

‫‪O‬‬
‫إذا كان ‪ MON‬مثلث‬
‫و ‪MN² = MO² + ON²‬‬

‫فإن‬

‫‪M‬‬
‫‪N‬‬
‫‪16‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثالثة ثانوي إعدادي‬

‫مبرهنة فيتاغورس العكسية‬

‫مثال‬
‫‪ ABC‬مثلث بحيث ‪ BC = 15‬و ‪ AB = 12‬و ‪AC = 9‬‬
‫لنبين أن ‪ ABC‬مثلث قائم الزاوية‪.‬‬

‫‪17‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثالثة ثانوي إعدادي‬

‫مبرهنة فيتاغورس العكسية‬

‫الحل‪:‬‬
‫لدينا‬

‫‪BC² = 15² = 225‬‬
‫‪AB² + AC² = 12² + 9²‬‬
‫‪= 144 + 81‬‬

‫‪= 225‬‬
‫إذن‬

‫‪BC² = AB² + AC²‬‬

‫حسب مبرهنة فيتاغورس العكسية‬
‫فإن المثلث ‪ ABC‬قائم الزاوية في الرأس ‪A‬‬
‫‪18‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثالثة ثانوي إعدادي‬

‫مبرهنة فيتاغورس العكسية‬

‫مالحظة‪3‬‬
‫تستعمل مبرهنة فيتاغورس العكسية إلثبات التعامد‬

‫‪19‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثالثة ثانوي إعدادي‬

‫مبرهنة فيتاغورس العكسية‬

‫تطبيق‪3‬‬
‫ليكن ‪ ABC‬مثلثا و ‪ H‬المسقط العمودي للنقط ‪ A‬على )‪(BC‬‬
‫بحيث ‪ A H  2 3‬و ‪ BH = 3‬و ‪ CH = 4‬و ]‪H є [BC‬‬
‫‪A‬‬

‫بين أن المثلث ‪ ABC‬قائم الزاوية في ‪A‬‬
‫‪2 3‬‬

‫‪C‬‬

‫‪4‬‬

‫‪H‬‬

‫‪3‬‬

‫‪B‬‬
‫‪20‬‬


Slide 14

‫مبرهنة فيتاغورس‬
‫المادة ‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى ‪ :‬الثالثة ثانوي إعدادي‬

‫‪1‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثالثة ثانوي إعدادي‬

‫مبرهنة فيتاغورس المباشرة‬

‫نشاط تمهيدي‪: 1‬‬
‫‪ x‬عدد موجب‬
‫أوجد ‪ x‬إذا علمت أن‬

‫‪x² = 5‬‬

‫الحل‪:‬‬
‫‪ x² = 5‬و ‪ x‬عدد موجب‬
‫يعني أن‬

‫‪5‬‬

‫‪x‬‬
‫‪2‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثالثة ثانوي إعدادي‬

‫مبرهنة فيتاغورس المباشرة‬

‫نشاط تمهيدي‪: 2‬‬
‫نضع‬

‫‪a² = y² + t²‬‬

‫‪ (1‬أحسب ‪ a‬إذا كان ‪ y = 3‬و ‪t = 2‬‬
‫‪ (2‬أحسب ‪ t‬إذا كان ‪5‬‬

‫‪ a ‬و‪3‬‬

‫‪y ‬‬

‫‪3‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثالثة ثانوي إعدادي‬

‫مبرهنة فيتاغورس المباشرة‬

‫الحل‪:‬‬
‫‪(1‬‬

‫‪y² + t²‬‬

‫= ‪a²‬‬

‫‪3² + 2²‬‬

‫=‬

‫‪9+4‬‬

‫=‬

‫‪= 13‬‬
‫إذن‪:‬‬

‫‪13‬‬

‫‪a ‬‬

‫أو‬

‫‪a   13‬‬

‫‪4‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثالثة ثانوي إعدادي‬

‫مبرهنة فيتاغورس المباشرة‬

‫‪(2‬‬

‫‪a² - y²‬‬
‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫‪5 ‬‬

‫‪3‬‬

‫= ‪t²‬‬
‫‪‬‬

‫‪= 5-3‬‬
‫‪=2‬‬
‫إذن‪:‬‬

‫‪2‬‬

‫‪t ‬‬

‫أو‬

‫‪2‬‬

‫‪t  ‬‬

‫‪5‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثالثة ثانوي إعدادي‬

‫مبرهنة فيتاغورس المباشرة‬

‫نشاط تمهيدي‪: 3‬‬

‫‪B‬‬

‫تكسر عمود في ‪ B‬يبلغ طوله ‪. 7,5 m‬‬
‫‪x‬‬

‫طرفه ‪ C‬يوجد على بعد ‪ 1,5 m‬من قاعدته ‪. A‬‬
‫حدد االرتفاع ‪.x‬‬
‫‪C‬‬

‫‪A 1,5 m‬‬

‫‪6‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثالثة ثانوي إعدادي‬

‫مبرهنة فيتاغورس المباشرة‬

‫الحل‪:‬‬

‫‪B‬‬

‫‪BC = 7,5 - x‬‬
‫المثلث ‪ ABC‬قائم الزاوية في ‪. A‬‬
‫حسب مبرهنة فيثاغورس ‪BC² = AB² + AC² :‬‬

‫‪x‬‬

‫‪( 7,5 - X)² = X² + 1,5²‬‬
‫‪56,25 + X² - 15X = X² + 2,25‬‬

‫‪15X = 56,25 - 2,25‬‬

‫‪C‬‬

‫‪A 1,5 m‬‬

‫‪15X = 54‬‬
‫‪X = 3,6‬‬
‫‪7‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثالثة ثانوي إعدادي‬

‫مبرهنة فيتاغورس المباشرة‬

‫خاصية‪1‬‬
‫إذا كان مثلث قائم الزاوية ‪ ،‬فإن مربع وتره يساوي مجموع‬
‫مربعي ضلعي الزاوية القائمة‬
‫‪A‬‬

‫‪BC² = AB² + AC²‬‬

‫‪C‬‬
‫‪B‬‬
‫‪8‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثالثة ثانوي إعدادي‬

‫مبرهنة فيتاغورس المباشرة‬

‫مالحظة‪1‬‬
‫‪ ABC‬مثلث قائم الزاوية في ‪A‬‬

‫إذن ‪:‬‬

‫‪AB² = BC² - AC²‬‬

‫و‬

‫‪AC² = BC² - AB²‬‬

‫‪9‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثالثة ثانوي إعدادي‬

‫مبرهنة فيتاغورس المباشرة‬

‫مثال‬
‫‪ ABC‬مثلث قائم الزاوية في ‪ A‬حيث‪ AB = 4 :‬و ‪AC = 5‬‬
‫‪A‬‬

‫لنحدد ‪BC‬‬

‫‪B‬‬
‫‪C‬‬
‫‪10‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثالثة ثانوي إعدادي‬

‫مبرهنة فيتاغورس المباشرة‬

‫الحل‪:‬‬
‫لدينا ‪ ABC‬مثلث قائم الزاوية في ‪، A‬‬
‫إذن حسب مبرهنة فيتاغورس المباشرة لدينا ‪:‬‬
‫‪BC² = AB² + AC²‬‬
‫‪= 4² + 5²‬‬
‫‪= 16 + 25‬‬
‫‪= 41‬‬
‫إذن‬

‫‪41‬‬

‫‪BC ‬‬

‫ألن‬

‫‪BC > 0‬‬
‫‪11‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثالثة ثانوي إعدادي‬

‫مبرهنة فيتاغورس المباشرة‬

‫مالحظة‪2‬‬
‫تستعمل مبرهنة فيتاغورس المباشرة لحساب األطوال‬

‫‪12‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثالثة ثانوي إعدادي‬

‫مبرهنة فيتاغورس العكسية‬

‫نشاط تمهيدي‪: 5‬‬

‫)'‪(C‬‬

‫‪A‬‬

‫نعتبر مثلثا ‪ ABC‬يحقق ‪AB2 + AC2 = BC2‬‬
‫)‪ (C‬نصف الدائرة التي قطرها ]‪ [BC‬وال تمر من‬
‫‪A‬‬
‫و )'‪ ( C‬الدائرة التي مركزها ‪ C‬وشعاعها ‪AC‬‬

‫‪B‬‬

‫‪C‬‬

‫بحيث )‪ (C‬و( '‪ ( C‬تتقاطعان في ‪.O‬‬

‫‪ (1‬بين أن ‪ BCO‬مثلث قائم الزاوية في ‪ O‬ثم استنتج أن‪BO = BA :‬‬

‫^‬

‫‪O‬‬

‫)‪(C‬‬

‫^‬

‫‪ (2‬بين أن )‪ (BC‬واسط القطعة ]‪ [AO‬واستنتج أن الزاويتين ‪ BAC‬و ‪BOC‬‬
‫متماثلتان بالنسبة للمستقيم )‪.(BC‬‬
‫‪ (3‬حدد طبيعة المثلث ‪.BAC‬‬

‫‪13‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثالثة ثانوي إعدادي‬

‫مبرهنة فيتاغورس العكسية‬

‫الحل‪:‬‬
‫‪ BCO (1‬محاط بنصف دائرة قطرها ]‪ [BC‬إذن فهو قائم الزاوية في ‪. O‬‬

‫إذن ‪ ،‬حسب مبرهنة فيثاغورس‪،‬‬
‫أي‪:‬‬

‫‪BC² = BO² + OC²‬‬
‫‪BO² = BC² - OC²‬‬

‫بما أن ‪ ( OC = AC‬شعاع الدائرة (’‪( (C‬‬

‫فإن‪:‬‬
‫حسب المعطيات‪ ،‬لدينا‪:‬‬

‫‪BO² = BC² - AC²‬‬
‫‪AB² = BC² - AC²‬‬

‫إذن‬

‫‪BO² = AB²‬‬

‫أي‬

‫‪AB = BO‬‬
‫‪14‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثالثة ثانوي إعدادي‬

‫مبرهنة فيتاغورس العكسية‬

‫‪ BA = BO (2‬و ‪ CA = CO‬إذن )‪ (BC‬واسط القطع ]‪. [AO‬‬

‫نستنتج أن مماثلة ‪ B‬هي ‪ B‬بالنسبة للمستقيم )‪.(BC‬‬
‫ولدينا أيضا مماثلة ‪ A‬هي ‪ O‬بالنسبة للمستقيم )‪.(BC‬‬
‫و مماثلة ‪ C‬هي ‪ C‬بالنسبة للمستقيم )‪.(BC‬‬
‫^‬
‫^‬
‫إذن مماثلة الزاوية ‪ BAC‬هي الزاوية ‪BOC‬‬
‫^‬
‫^‬
‫ومنه ‪BAC = BOC = 90°‬‬
‫وبالتالي المثلث ‪ BAC‬قائم الزاوية في ‪. A‬‬
‫‪15‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثالثة ثانوي إعدادي‬

‫مبرهنة فيتاغورس العكسية‬

‫خاصية‪2‬‬
‫إذا كان مجموع مربعي طولي ضلعي مثلث يساوي مربع طول الضلع‬
‫الثالث‪ ،‬فإن المثلث قائم الزاوية‪.‬‬
‫المثلث‪ MON‬قائم الزاوية في ‪O‬‬

‫‪O‬‬
‫إذا كان ‪ MON‬مثلث‬
‫و ‪MN² = MO² + ON²‬‬

‫فإن‬

‫‪M‬‬
‫‪N‬‬
‫‪16‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثالثة ثانوي إعدادي‬

‫مبرهنة فيتاغورس العكسية‬

‫مثال‬
‫‪ ABC‬مثلث بحيث ‪ BC = 15‬و ‪ AB = 12‬و ‪AC = 9‬‬
‫لنبين أن ‪ ABC‬مثلث قائم الزاوية‪.‬‬

‫‪17‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثالثة ثانوي إعدادي‬

‫مبرهنة فيتاغورس العكسية‬

‫الحل‪:‬‬
‫لدينا‬

‫‪BC² = 15² = 225‬‬
‫‪AB² + AC² = 12² + 9²‬‬
‫‪= 144 + 81‬‬

‫‪= 225‬‬
‫إذن‬

‫‪BC² = AB² + AC²‬‬

‫حسب مبرهنة فيتاغورس العكسية‬
‫فإن المثلث ‪ ABC‬قائم الزاوية في الرأس ‪A‬‬
‫‪18‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثالثة ثانوي إعدادي‬

‫مبرهنة فيتاغورس العكسية‬

‫مالحظة‪3‬‬
‫تستعمل مبرهنة فيتاغورس العكسية إلثبات التعامد‬

‫‪19‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثالثة ثانوي إعدادي‬

‫مبرهنة فيتاغورس العكسية‬

‫تطبيق‪3‬‬
‫ليكن ‪ ABC‬مثلثا و ‪ H‬المسقط العمودي للنقط ‪ A‬على )‪(BC‬‬
‫بحيث ‪ A H  2 3‬و ‪ BH = 3‬و ‪ CH = 4‬و ]‪H є [BC‬‬
‫‪A‬‬

‫بين أن المثلث ‪ ABC‬قائم الزاوية في ‪A‬‬
‫‪2 3‬‬

‫‪C‬‬

‫‪4‬‬

‫‪H‬‬

‫‪3‬‬

‫‪B‬‬
‫‪20‬‬


Slide 15

‫مبرهنة فيتاغورس‬
‫المادة ‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى ‪ :‬الثالثة ثانوي إعدادي‬

‫‪1‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثالثة ثانوي إعدادي‬

‫مبرهنة فيتاغورس المباشرة‬

‫نشاط تمهيدي‪: 1‬‬
‫‪ x‬عدد موجب‬
‫أوجد ‪ x‬إذا علمت أن‬

‫‪x² = 5‬‬

‫الحل‪:‬‬
‫‪ x² = 5‬و ‪ x‬عدد موجب‬
‫يعني أن‬

‫‪5‬‬

‫‪x‬‬
‫‪2‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثالثة ثانوي إعدادي‬

‫مبرهنة فيتاغورس المباشرة‬

‫نشاط تمهيدي‪: 2‬‬
‫نضع‬

‫‪a² = y² + t²‬‬

‫‪ (1‬أحسب ‪ a‬إذا كان ‪ y = 3‬و ‪t = 2‬‬
‫‪ (2‬أحسب ‪ t‬إذا كان ‪5‬‬

‫‪ a ‬و‪3‬‬

‫‪y ‬‬

‫‪3‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثالثة ثانوي إعدادي‬

‫مبرهنة فيتاغورس المباشرة‬

‫الحل‪:‬‬
‫‪(1‬‬

‫‪y² + t²‬‬

‫= ‪a²‬‬

‫‪3² + 2²‬‬

‫=‬

‫‪9+4‬‬

‫=‬

‫‪= 13‬‬
‫إذن‪:‬‬

‫‪13‬‬

‫‪a ‬‬

‫أو‬

‫‪a   13‬‬

‫‪4‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثالثة ثانوي إعدادي‬

‫مبرهنة فيتاغورس المباشرة‬

‫‪(2‬‬

‫‪a² - y²‬‬
‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫‪5 ‬‬

‫‪3‬‬

‫= ‪t²‬‬
‫‪‬‬

‫‪= 5-3‬‬
‫‪=2‬‬
‫إذن‪:‬‬

‫‪2‬‬

‫‪t ‬‬

‫أو‬

‫‪2‬‬

‫‪t  ‬‬

‫‪5‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثالثة ثانوي إعدادي‬

‫مبرهنة فيتاغورس المباشرة‬

‫نشاط تمهيدي‪: 3‬‬

‫‪B‬‬

‫تكسر عمود في ‪ B‬يبلغ طوله ‪. 7,5 m‬‬
‫‪x‬‬

‫طرفه ‪ C‬يوجد على بعد ‪ 1,5 m‬من قاعدته ‪. A‬‬
‫حدد االرتفاع ‪.x‬‬
‫‪C‬‬

‫‪A 1,5 m‬‬

‫‪6‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثالثة ثانوي إعدادي‬

‫مبرهنة فيتاغورس المباشرة‬

‫الحل‪:‬‬

‫‪B‬‬

‫‪BC = 7,5 - x‬‬
‫المثلث ‪ ABC‬قائم الزاوية في ‪. A‬‬
‫حسب مبرهنة فيثاغورس ‪BC² = AB² + AC² :‬‬

‫‪x‬‬

‫‪( 7,5 - X)² = X² + 1,5²‬‬
‫‪56,25 + X² - 15X = X² + 2,25‬‬

‫‪15X = 56,25 - 2,25‬‬

‫‪C‬‬

‫‪A 1,5 m‬‬

‫‪15X = 54‬‬
‫‪X = 3,6‬‬
‫‪7‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثالثة ثانوي إعدادي‬

‫مبرهنة فيتاغورس المباشرة‬

‫خاصية‪1‬‬
‫إذا كان مثلث قائم الزاوية ‪ ،‬فإن مربع وتره يساوي مجموع‬
‫مربعي ضلعي الزاوية القائمة‬
‫‪A‬‬

‫‪BC² = AB² + AC²‬‬

‫‪C‬‬
‫‪B‬‬
‫‪8‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثالثة ثانوي إعدادي‬

‫مبرهنة فيتاغورس المباشرة‬

‫مالحظة‪1‬‬
‫‪ ABC‬مثلث قائم الزاوية في ‪A‬‬

‫إذن ‪:‬‬

‫‪AB² = BC² - AC²‬‬

‫و‬

‫‪AC² = BC² - AB²‬‬

‫‪9‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثالثة ثانوي إعدادي‬

‫مبرهنة فيتاغورس المباشرة‬

‫مثال‬
‫‪ ABC‬مثلث قائم الزاوية في ‪ A‬حيث‪ AB = 4 :‬و ‪AC = 5‬‬
‫‪A‬‬

‫لنحدد ‪BC‬‬

‫‪B‬‬
‫‪C‬‬
‫‪10‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثالثة ثانوي إعدادي‬

‫مبرهنة فيتاغورس المباشرة‬

‫الحل‪:‬‬
‫لدينا ‪ ABC‬مثلث قائم الزاوية في ‪، A‬‬
‫إذن حسب مبرهنة فيتاغورس المباشرة لدينا ‪:‬‬
‫‪BC² = AB² + AC²‬‬
‫‪= 4² + 5²‬‬
‫‪= 16 + 25‬‬
‫‪= 41‬‬
‫إذن‬

‫‪41‬‬

‫‪BC ‬‬

‫ألن‬

‫‪BC > 0‬‬
‫‪11‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثالثة ثانوي إعدادي‬

‫مبرهنة فيتاغورس المباشرة‬

‫مالحظة‪2‬‬
‫تستعمل مبرهنة فيتاغورس المباشرة لحساب األطوال‬

‫‪12‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثالثة ثانوي إعدادي‬

‫مبرهنة فيتاغورس العكسية‬

‫نشاط تمهيدي‪: 5‬‬

‫)'‪(C‬‬

‫‪A‬‬

‫نعتبر مثلثا ‪ ABC‬يحقق ‪AB2 + AC2 = BC2‬‬
‫)‪ (C‬نصف الدائرة التي قطرها ]‪ [BC‬وال تمر من‬
‫‪A‬‬
‫و )'‪ ( C‬الدائرة التي مركزها ‪ C‬وشعاعها ‪AC‬‬

‫‪B‬‬

‫‪C‬‬

‫بحيث )‪ (C‬و( '‪ ( C‬تتقاطعان في ‪.O‬‬

‫‪ (1‬بين أن ‪ BCO‬مثلث قائم الزاوية في ‪ O‬ثم استنتج أن‪BO = BA :‬‬

‫^‬

‫‪O‬‬

‫)‪(C‬‬

‫^‬

‫‪ (2‬بين أن )‪ (BC‬واسط القطعة ]‪ [AO‬واستنتج أن الزاويتين ‪ BAC‬و ‪BOC‬‬
‫متماثلتان بالنسبة للمستقيم )‪.(BC‬‬
‫‪ (3‬حدد طبيعة المثلث ‪.BAC‬‬

‫‪13‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثالثة ثانوي إعدادي‬

‫مبرهنة فيتاغورس العكسية‬

‫الحل‪:‬‬
‫‪ BCO (1‬محاط بنصف دائرة قطرها ]‪ [BC‬إذن فهو قائم الزاوية في ‪. O‬‬

‫إذن ‪ ،‬حسب مبرهنة فيثاغورس‪،‬‬
‫أي‪:‬‬

‫‪BC² = BO² + OC²‬‬
‫‪BO² = BC² - OC²‬‬

‫بما أن ‪ ( OC = AC‬شعاع الدائرة (’‪( (C‬‬

‫فإن‪:‬‬
‫حسب المعطيات‪ ،‬لدينا‪:‬‬

‫‪BO² = BC² - AC²‬‬
‫‪AB² = BC² - AC²‬‬

‫إذن‬

‫‪BO² = AB²‬‬

‫أي‬

‫‪AB = BO‬‬
‫‪14‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثالثة ثانوي إعدادي‬

‫مبرهنة فيتاغورس العكسية‬

‫‪ BA = BO (2‬و ‪ CA = CO‬إذن )‪ (BC‬واسط القطع ]‪. [AO‬‬

‫نستنتج أن مماثلة ‪ B‬هي ‪ B‬بالنسبة للمستقيم )‪.(BC‬‬
‫ولدينا أيضا مماثلة ‪ A‬هي ‪ O‬بالنسبة للمستقيم )‪.(BC‬‬
‫و مماثلة ‪ C‬هي ‪ C‬بالنسبة للمستقيم )‪.(BC‬‬
‫^‬
‫^‬
‫إذن مماثلة الزاوية ‪ BAC‬هي الزاوية ‪BOC‬‬
‫^‬
‫^‬
‫ومنه ‪BAC = BOC = 90°‬‬
‫وبالتالي المثلث ‪ BAC‬قائم الزاوية في ‪. A‬‬
‫‪15‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثالثة ثانوي إعدادي‬

‫مبرهنة فيتاغورس العكسية‬

‫خاصية‪2‬‬
‫إذا كان مجموع مربعي طولي ضلعي مثلث يساوي مربع طول الضلع‬
‫الثالث‪ ،‬فإن المثلث قائم الزاوية‪.‬‬
‫المثلث‪ MON‬قائم الزاوية في ‪O‬‬

‫‪O‬‬
‫إذا كان ‪ MON‬مثلث‬
‫و ‪MN² = MO² + ON²‬‬

‫فإن‬

‫‪M‬‬
‫‪N‬‬
‫‪16‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثالثة ثانوي إعدادي‬

‫مبرهنة فيتاغورس العكسية‬

‫مثال‬
‫‪ ABC‬مثلث بحيث ‪ BC = 15‬و ‪ AB = 12‬و ‪AC = 9‬‬
‫لنبين أن ‪ ABC‬مثلث قائم الزاوية‪.‬‬

‫‪17‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثالثة ثانوي إعدادي‬

‫مبرهنة فيتاغورس العكسية‬

‫الحل‪:‬‬
‫لدينا‬

‫‪BC² = 15² = 225‬‬
‫‪AB² + AC² = 12² + 9²‬‬
‫‪= 144 + 81‬‬

‫‪= 225‬‬
‫إذن‬

‫‪BC² = AB² + AC²‬‬

‫حسب مبرهنة فيتاغورس العكسية‬
‫فإن المثلث ‪ ABC‬قائم الزاوية في الرأس ‪A‬‬
‫‪18‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثالثة ثانوي إعدادي‬

‫مبرهنة فيتاغورس العكسية‬

‫مالحظة‪3‬‬
‫تستعمل مبرهنة فيتاغورس العكسية إلثبات التعامد‬

‫‪19‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثالثة ثانوي إعدادي‬

‫مبرهنة فيتاغورس العكسية‬

‫تطبيق‪3‬‬
‫ليكن ‪ ABC‬مثلثا و ‪ H‬المسقط العمودي للنقط ‪ A‬على )‪(BC‬‬
‫بحيث ‪ A H  2 3‬و ‪ BH = 3‬و ‪ CH = 4‬و ]‪H є [BC‬‬
‫‪A‬‬

‫بين أن المثلث ‪ ABC‬قائم الزاوية في ‪A‬‬
‫‪2 3‬‬

‫‪C‬‬

‫‪4‬‬

‫‪H‬‬

‫‪3‬‬

‫‪B‬‬
‫‪20‬‬


Slide 16

‫مبرهنة فيتاغورس‬
‫المادة ‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى ‪ :‬الثالثة ثانوي إعدادي‬

‫‪1‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثالثة ثانوي إعدادي‬

‫مبرهنة فيتاغورس المباشرة‬

‫نشاط تمهيدي‪: 1‬‬
‫‪ x‬عدد موجب‬
‫أوجد ‪ x‬إذا علمت أن‬

‫‪x² = 5‬‬

‫الحل‪:‬‬
‫‪ x² = 5‬و ‪ x‬عدد موجب‬
‫يعني أن‬

‫‪5‬‬

‫‪x‬‬
‫‪2‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثالثة ثانوي إعدادي‬

‫مبرهنة فيتاغورس المباشرة‬

‫نشاط تمهيدي‪: 2‬‬
‫نضع‬

‫‪a² = y² + t²‬‬

‫‪ (1‬أحسب ‪ a‬إذا كان ‪ y = 3‬و ‪t = 2‬‬
‫‪ (2‬أحسب ‪ t‬إذا كان ‪5‬‬

‫‪ a ‬و‪3‬‬

‫‪y ‬‬

‫‪3‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثالثة ثانوي إعدادي‬

‫مبرهنة فيتاغورس المباشرة‬

‫الحل‪:‬‬
‫‪(1‬‬

‫‪y² + t²‬‬

‫= ‪a²‬‬

‫‪3² + 2²‬‬

‫=‬

‫‪9+4‬‬

‫=‬

‫‪= 13‬‬
‫إذن‪:‬‬

‫‪13‬‬

‫‪a ‬‬

‫أو‬

‫‪a   13‬‬

‫‪4‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثالثة ثانوي إعدادي‬

‫مبرهنة فيتاغورس المباشرة‬

‫‪(2‬‬

‫‪a² - y²‬‬
‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫‪5 ‬‬

‫‪3‬‬

‫= ‪t²‬‬
‫‪‬‬

‫‪= 5-3‬‬
‫‪=2‬‬
‫إذن‪:‬‬

‫‪2‬‬

‫‪t ‬‬

‫أو‬

‫‪2‬‬

‫‪t  ‬‬

‫‪5‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثالثة ثانوي إعدادي‬

‫مبرهنة فيتاغورس المباشرة‬

‫نشاط تمهيدي‪: 3‬‬

‫‪B‬‬

‫تكسر عمود في ‪ B‬يبلغ طوله ‪. 7,5 m‬‬
‫‪x‬‬

‫طرفه ‪ C‬يوجد على بعد ‪ 1,5 m‬من قاعدته ‪. A‬‬
‫حدد االرتفاع ‪.x‬‬
‫‪C‬‬

‫‪A 1,5 m‬‬

‫‪6‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثالثة ثانوي إعدادي‬

‫مبرهنة فيتاغورس المباشرة‬

‫الحل‪:‬‬

‫‪B‬‬

‫‪BC = 7,5 - x‬‬
‫المثلث ‪ ABC‬قائم الزاوية في ‪. A‬‬
‫حسب مبرهنة فيثاغورس ‪BC² = AB² + AC² :‬‬

‫‪x‬‬

‫‪( 7,5 - X)² = X² + 1,5²‬‬
‫‪56,25 + X² - 15X = X² + 2,25‬‬

‫‪15X = 56,25 - 2,25‬‬

‫‪C‬‬

‫‪A 1,5 m‬‬

‫‪15X = 54‬‬
‫‪X = 3,6‬‬
‫‪7‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثالثة ثانوي إعدادي‬

‫مبرهنة فيتاغورس المباشرة‬

‫خاصية‪1‬‬
‫إذا كان مثلث قائم الزاوية ‪ ،‬فإن مربع وتره يساوي مجموع‬
‫مربعي ضلعي الزاوية القائمة‬
‫‪A‬‬

‫‪BC² = AB² + AC²‬‬

‫‪C‬‬
‫‪B‬‬
‫‪8‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثالثة ثانوي إعدادي‬

‫مبرهنة فيتاغورس المباشرة‬

‫مالحظة‪1‬‬
‫‪ ABC‬مثلث قائم الزاوية في ‪A‬‬

‫إذن ‪:‬‬

‫‪AB² = BC² - AC²‬‬

‫و‬

‫‪AC² = BC² - AB²‬‬

‫‪9‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثالثة ثانوي إعدادي‬

‫مبرهنة فيتاغورس المباشرة‬

‫مثال‬
‫‪ ABC‬مثلث قائم الزاوية في ‪ A‬حيث‪ AB = 4 :‬و ‪AC = 5‬‬
‫‪A‬‬

‫لنحدد ‪BC‬‬

‫‪B‬‬
‫‪C‬‬
‫‪10‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثالثة ثانوي إعدادي‬

‫مبرهنة فيتاغورس المباشرة‬

‫الحل‪:‬‬
‫لدينا ‪ ABC‬مثلث قائم الزاوية في ‪، A‬‬
‫إذن حسب مبرهنة فيتاغورس المباشرة لدينا ‪:‬‬
‫‪BC² = AB² + AC²‬‬
‫‪= 4² + 5²‬‬
‫‪= 16 + 25‬‬
‫‪= 41‬‬
‫إذن‬

‫‪41‬‬

‫‪BC ‬‬

‫ألن‬

‫‪BC > 0‬‬
‫‪11‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثالثة ثانوي إعدادي‬

‫مبرهنة فيتاغورس المباشرة‬

‫مالحظة‪2‬‬
‫تستعمل مبرهنة فيتاغورس المباشرة لحساب األطوال‬

‫‪12‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثالثة ثانوي إعدادي‬

‫مبرهنة فيتاغورس العكسية‬

‫نشاط تمهيدي‪: 5‬‬

‫)'‪(C‬‬

‫‪A‬‬

‫نعتبر مثلثا ‪ ABC‬يحقق ‪AB2 + AC2 = BC2‬‬
‫)‪ (C‬نصف الدائرة التي قطرها ]‪ [BC‬وال تمر من‬
‫‪A‬‬
‫و )'‪ ( C‬الدائرة التي مركزها ‪ C‬وشعاعها ‪AC‬‬

‫‪B‬‬

‫‪C‬‬

‫بحيث )‪ (C‬و( '‪ ( C‬تتقاطعان في ‪.O‬‬

‫‪ (1‬بين أن ‪ BCO‬مثلث قائم الزاوية في ‪ O‬ثم استنتج أن‪BO = BA :‬‬

‫^‬

‫‪O‬‬

‫)‪(C‬‬

‫^‬

‫‪ (2‬بين أن )‪ (BC‬واسط القطعة ]‪ [AO‬واستنتج أن الزاويتين ‪ BAC‬و ‪BOC‬‬
‫متماثلتان بالنسبة للمستقيم )‪.(BC‬‬
‫‪ (3‬حدد طبيعة المثلث ‪.BAC‬‬

‫‪13‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثالثة ثانوي إعدادي‬

‫مبرهنة فيتاغورس العكسية‬

‫الحل‪:‬‬
‫‪ BCO (1‬محاط بنصف دائرة قطرها ]‪ [BC‬إذن فهو قائم الزاوية في ‪. O‬‬

‫إذن ‪ ،‬حسب مبرهنة فيثاغورس‪،‬‬
‫أي‪:‬‬

‫‪BC² = BO² + OC²‬‬
‫‪BO² = BC² - OC²‬‬

‫بما أن ‪ ( OC = AC‬شعاع الدائرة (’‪( (C‬‬

‫فإن‪:‬‬
‫حسب المعطيات‪ ،‬لدينا‪:‬‬

‫‪BO² = BC² - AC²‬‬
‫‪AB² = BC² - AC²‬‬

‫إذن‬

‫‪BO² = AB²‬‬

‫أي‬

‫‪AB = BO‬‬
‫‪14‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثالثة ثانوي إعدادي‬

‫مبرهنة فيتاغورس العكسية‬

‫‪ BA = BO (2‬و ‪ CA = CO‬إذن )‪ (BC‬واسط القطع ]‪. [AO‬‬

‫نستنتج أن مماثلة ‪ B‬هي ‪ B‬بالنسبة للمستقيم )‪.(BC‬‬
‫ولدينا أيضا مماثلة ‪ A‬هي ‪ O‬بالنسبة للمستقيم )‪.(BC‬‬
‫و مماثلة ‪ C‬هي ‪ C‬بالنسبة للمستقيم )‪.(BC‬‬
‫^‬
‫^‬
‫إذن مماثلة الزاوية ‪ BAC‬هي الزاوية ‪BOC‬‬
‫^‬
‫^‬
‫ومنه ‪BAC = BOC = 90°‬‬
‫وبالتالي المثلث ‪ BAC‬قائم الزاوية في ‪. A‬‬
‫‪15‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثالثة ثانوي إعدادي‬

‫مبرهنة فيتاغورس العكسية‬

‫خاصية‪2‬‬
‫إذا كان مجموع مربعي طولي ضلعي مثلث يساوي مربع طول الضلع‬
‫الثالث‪ ،‬فإن المثلث قائم الزاوية‪.‬‬
‫المثلث‪ MON‬قائم الزاوية في ‪O‬‬

‫‪O‬‬
‫إذا كان ‪ MON‬مثلث‬
‫و ‪MN² = MO² + ON²‬‬

‫فإن‬

‫‪M‬‬
‫‪N‬‬
‫‪16‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثالثة ثانوي إعدادي‬

‫مبرهنة فيتاغورس العكسية‬

‫مثال‬
‫‪ ABC‬مثلث بحيث ‪ BC = 15‬و ‪ AB = 12‬و ‪AC = 9‬‬
‫لنبين أن ‪ ABC‬مثلث قائم الزاوية‪.‬‬

‫‪17‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثالثة ثانوي إعدادي‬

‫مبرهنة فيتاغورس العكسية‬

‫الحل‪:‬‬
‫لدينا‬

‫‪BC² = 15² = 225‬‬
‫‪AB² + AC² = 12² + 9²‬‬
‫‪= 144 + 81‬‬

‫‪= 225‬‬
‫إذن‬

‫‪BC² = AB² + AC²‬‬

‫حسب مبرهنة فيتاغورس العكسية‬
‫فإن المثلث ‪ ABC‬قائم الزاوية في الرأس ‪A‬‬
‫‪18‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثالثة ثانوي إعدادي‬

‫مبرهنة فيتاغورس العكسية‬

‫مالحظة‪3‬‬
‫تستعمل مبرهنة فيتاغورس العكسية إلثبات التعامد‬

‫‪19‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثالثة ثانوي إعدادي‬

‫مبرهنة فيتاغورس العكسية‬

‫تطبيق‪3‬‬
‫ليكن ‪ ABC‬مثلثا و ‪ H‬المسقط العمودي للنقط ‪ A‬على )‪(BC‬‬
‫بحيث ‪ A H  2 3‬و ‪ BH = 3‬و ‪ CH = 4‬و ]‪H є [BC‬‬
‫‪A‬‬

‫بين أن المثلث ‪ ABC‬قائم الزاوية في ‪A‬‬
‫‪2 3‬‬

‫‪C‬‬

‫‪4‬‬

‫‪H‬‬

‫‪3‬‬

‫‪B‬‬
‫‪20‬‬


Slide 17

‫مبرهنة فيتاغورس‬
‫المادة ‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى ‪ :‬الثالثة ثانوي إعدادي‬

‫‪1‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثالثة ثانوي إعدادي‬

‫مبرهنة فيتاغورس المباشرة‬

‫نشاط تمهيدي‪: 1‬‬
‫‪ x‬عدد موجب‬
‫أوجد ‪ x‬إذا علمت أن‬

‫‪x² = 5‬‬

‫الحل‪:‬‬
‫‪ x² = 5‬و ‪ x‬عدد موجب‬
‫يعني أن‬

‫‪5‬‬

‫‪x‬‬
‫‪2‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثالثة ثانوي إعدادي‬

‫مبرهنة فيتاغورس المباشرة‬

‫نشاط تمهيدي‪: 2‬‬
‫نضع‬

‫‪a² = y² + t²‬‬

‫‪ (1‬أحسب ‪ a‬إذا كان ‪ y = 3‬و ‪t = 2‬‬
‫‪ (2‬أحسب ‪ t‬إذا كان ‪5‬‬

‫‪ a ‬و‪3‬‬

‫‪y ‬‬

‫‪3‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثالثة ثانوي إعدادي‬

‫مبرهنة فيتاغورس المباشرة‬

‫الحل‪:‬‬
‫‪(1‬‬

‫‪y² + t²‬‬

‫= ‪a²‬‬

‫‪3² + 2²‬‬

‫=‬

‫‪9+4‬‬

‫=‬

‫‪= 13‬‬
‫إذن‪:‬‬

‫‪13‬‬

‫‪a ‬‬

‫أو‬

‫‪a   13‬‬

‫‪4‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثالثة ثانوي إعدادي‬

‫مبرهنة فيتاغورس المباشرة‬

‫‪(2‬‬

‫‪a² - y²‬‬
‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫‪5 ‬‬

‫‪3‬‬

‫= ‪t²‬‬
‫‪‬‬

‫‪= 5-3‬‬
‫‪=2‬‬
‫إذن‪:‬‬

‫‪2‬‬

‫‪t ‬‬

‫أو‬

‫‪2‬‬

‫‪t  ‬‬

‫‪5‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثالثة ثانوي إعدادي‬

‫مبرهنة فيتاغورس المباشرة‬

‫نشاط تمهيدي‪: 3‬‬

‫‪B‬‬

‫تكسر عمود في ‪ B‬يبلغ طوله ‪. 7,5 m‬‬
‫‪x‬‬

‫طرفه ‪ C‬يوجد على بعد ‪ 1,5 m‬من قاعدته ‪. A‬‬
‫حدد االرتفاع ‪.x‬‬
‫‪C‬‬

‫‪A 1,5 m‬‬

‫‪6‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثالثة ثانوي إعدادي‬

‫مبرهنة فيتاغورس المباشرة‬

‫الحل‪:‬‬

‫‪B‬‬

‫‪BC = 7,5 - x‬‬
‫المثلث ‪ ABC‬قائم الزاوية في ‪. A‬‬
‫حسب مبرهنة فيثاغورس ‪BC² = AB² + AC² :‬‬

‫‪x‬‬

‫‪( 7,5 - X)² = X² + 1,5²‬‬
‫‪56,25 + X² - 15X = X² + 2,25‬‬

‫‪15X = 56,25 - 2,25‬‬

‫‪C‬‬

‫‪A 1,5 m‬‬

‫‪15X = 54‬‬
‫‪X = 3,6‬‬
‫‪7‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثالثة ثانوي إعدادي‬

‫مبرهنة فيتاغورس المباشرة‬

‫خاصية‪1‬‬
‫إذا كان مثلث قائم الزاوية ‪ ،‬فإن مربع وتره يساوي مجموع‬
‫مربعي ضلعي الزاوية القائمة‬
‫‪A‬‬

‫‪BC² = AB² + AC²‬‬

‫‪C‬‬
‫‪B‬‬
‫‪8‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثالثة ثانوي إعدادي‬

‫مبرهنة فيتاغورس المباشرة‬

‫مالحظة‪1‬‬
‫‪ ABC‬مثلث قائم الزاوية في ‪A‬‬

‫إذن ‪:‬‬

‫‪AB² = BC² - AC²‬‬

‫و‬

‫‪AC² = BC² - AB²‬‬

‫‪9‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثالثة ثانوي إعدادي‬

‫مبرهنة فيتاغورس المباشرة‬

‫مثال‬
‫‪ ABC‬مثلث قائم الزاوية في ‪ A‬حيث‪ AB = 4 :‬و ‪AC = 5‬‬
‫‪A‬‬

‫لنحدد ‪BC‬‬

‫‪B‬‬
‫‪C‬‬
‫‪10‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثالثة ثانوي إعدادي‬

‫مبرهنة فيتاغورس المباشرة‬

‫الحل‪:‬‬
‫لدينا ‪ ABC‬مثلث قائم الزاوية في ‪، A‬‬
‫إذن حسب مبرهنة فيتاغورس المباشرة لدينا ‪:‬‬
‫‪BC² = AB² + AC²‬‬
‫‪= 4² + 5²‬‬
‫‪= 16 + 25‬‬
‫‪= 41‬‬
‫إذن‬

‫‪41‬‬

‫‪BC ‬‬

‫ألن‬

‫‪BC > 0‬‬
‫‪11‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثالثة ثانوي إعدادي‬

‫مبرهنة فيتاغورس المباشرة‬

‫مالحظة‪2‬‬
‫تستعمل مبرهنة فيتاغورس المباشرة لحساب األطوال‬

‫‪12‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثالثة ثانوي إعدادي‬

‫مبرهنة فيتاغورس العكسية‬

‫نشاط تمهيدي‪: 5‬‬

‫)'‪(C‬‬

‫‪A‬‬

‫نعتبر مثلثا ‪ ABC‬يحقق ‪AB2 + AC2 = BC2‬‬
‫)‪ (C‬نصف الدائرة التي قطرها ]‪ [BC‬وال تمر من‬
‫‪A‬‬
‫و )'‪ ( C‬الدائرة التي مركزها ‪ C‬وشعاعها ‪AC‬‬

‫‪B‬‬

‫‪C‬‬

‫بحيث )‪ (C‬و( '‪ ( C‬تتقاطعان في ‪.O‬‬

‫‪ (1‬بين أن ‪ BCO‬مثلث قائم الزاوية في ‪ O‬ثم استنتج أن‪BO = BA :‬‬

‫^‬

‫‪O‬‬

‫)‪(C‬‬

‫^‬

‫‪ (2‬بين أن )‪ (BC‬واسط القطعة ]‪ [AO‬واستنتج أن الزاويتين ‪ BAC‬و ‪BOC‬‬
‫متماثلتان بالنسبة للمستقيم )‪.(BC‬‬
‫‪ (3‬حدد طبيعة المثلث ‪.BAC‬‬

‫‪13‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثالثة ثانوي إعدادي‬

‫مبرهنة فيتاغورس العكسية‬

‫الحل‪:‬‬
‫‪ BCO (1‬محاط بنصف دائرة قطرها ]‪ [BC‬إذن فهو قائم الزاوية في ‪. O‬‬

‫إذن ‪ ،‬حسب مبرهنة فيثاغورس‪،‬‬
‫أي‪:‬‬

‫‪BC² = BO² + OC²‬‬
‫‪BO² = BC² - OC²‬‬

‫بما أن ‪ ( OC = AC‬شعاع الدائرة (’‪( (C‬‬

‫فإن‪:‬‬
‫حسب المعطيات‪ ،‬لدينا‪:‬‬

‫‪BO² = BC² - AC²‬‬
‫‪AB² = BC² - AC²‬‬

‫إذن‬

‫‪BO² = AB²‬‬

‫أي‬

‫‪AB = BO‬‬
‫‪14‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثالثة ثانوي إعدادي‬

‫مبرهنة فيتاغورس العكسية‬

‫‪ BA = BO (2‬و ‪ CA = CO‬إذن )‪ (BC‬واسط القطع ]‪. [AO‬‬

‫نستنتج أن مماثلة ‪ B‬هي ‪ B‬بالنسبة للمستقيم )‪.(BC‬‬
‫ولدينا أيضا مماثلة ‪ A‬هي ‪ O‬بالنسبة للمستقيم )‪.(BC‬‬
‫و مماثلة ‪ C‬هي ‪ C‬بالنسبة للمستقيم )‪.(BC‬‬
‫^‬
‫^‬
‫إذن مماثلة الزاوية ‪ BAC‬هي الزاوية ‪BOC‬‬
‫^‬
‫^‬
‫ومنه ‪BAC = BOC = 90°‬‬
‫وبالتالي المثلث ‪ BAC‬قائم الزاوية في ‪. A‬‬
‫‪15‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثالثة ثانوي إعدادي‬

‫مبرهنة فيتاغورس العكسية‬

‫خاصية‪2‬‬
‫إذا كان مجموع مربعي طولي ضلعي مثلث يساوي مربع طول الضلع‬
‫الثالث‪ ،‬فإن المثلث قائم الزاوية‪.‬‬
‫المثلث‪ MON‬قائم الزاوية في ‪O‬‬

‫‪O‬‬
‫إذا كان ‪ MON‬مثلث‬
‫و ‪MN² = MO² + ON²‬‬

‫فإن‬

‫‪M‬‬
‫‪N‬‬
‫‪16‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثالثة ثانوي إعدادي‬

‫مبرهنة فيتاغورس العكسية‬

‫مثال‬
‫‪ ABC‬مثلث بحيث ‪ BC = 15‬و ‪ AB = 12‬و ‪AC = 9‬‬
‫لنبين أن ‪ ABC‬مثلث قائم الزاوية‪.‬‬

‫‪17‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثالثة ثانوي إعدادي‬

‫مبرهنة فيتاغورس العكسية‬

‫الحل‪:‬‬
‫لدينا‬

‫‪BC² = 15² = 225‬‬
‫‪AB² + AC² = 12² + 9²‬‬
‫‪= 144 + 81‬‬

‫‪= 225‬‬
‫إذن‬

‫‪BC² = AB² + AC²‬‬

‫حسب مبرهنة فيتاغورس العكسية‬
‫فإن المثلث ‪ ABC‬قائم الزاوية في الرأس ‪A‬‬
‫‪18‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثالثة ثانوي إعدادي‬

‫مبرهنة فيتاغورس العكسية‬

‫مالحظة‪3‬‬
‫تستعمل مبرهنة فيتاغورس العكسية إلثبات التعامد‬

‫‪19‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثالثة ثانوي إعدادي‬

‫مبرهنة فيتاغورس العكسية‬

‫تطبيق‪3‬‬
‫ليكن ‪ ABC‬مثلثا و ‪ H‬المسقط العمودي للنقط ‪ A‬على )‪(BC‬‬
‫بحيث ‪ A H  2 3‬و ‪ BH = 3‬و ‪ CH = 4‬و ]‪H є [BC‬‬
‫‪A‬‬

‫بين أن المثلث ‪ ABC‬قائم الزاوية في ‪A‬‬
‫‪2 3‬‬

‫‪C‬‬

‫‪4‬‬

‫‪H‬‬

‫‪3‬‬

‫‪B‬‬
‫‪20‬‬


Slide 18

‫مبرهنة فيتاغورس‬
‫المادة ‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى ‪ :‬الثالثة ثانوي إعدادي‬

‫‪1‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثالثة ثانوي إعدادي‬

‫مبرهنة فيتاغورس المباشرة‬

‫نشاط تمهيدي‪: 1‬‬
‫‪ x‬عدد موجب‬
‫أوجد ‪ x‬إذا علمت أن‬

‫‪x² = 5‬‬

‫الحل‪:‬‬
‫‪ x² = 5‬و ‪ x‬عدد موجب‬
‫يعني أن‬

‫‪5‬‬

‫‪x‬‬
‫‪2‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثالثة ثانوي إعدادي‬

‫مبرهنة فيتاغورس المباشرة‬

‫نشاط تمهيدي‪: 2‬‬
‫نضع‬

‫‪a² = y² + t²‬‬

‫‪ (1‬أحسب ‪ a‬إذا كان ‪ y = 3‬و ‪t = 2‬‬
‫‪ (2‬أحسب ‪ t‬إذا كان ‪5‬‬

‫‪ a ‬و‪3‬‬

‫‪y ‬‬

‫‪3‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثالثة ثانوي إعدادي‬

‫مبرهنة فيتاغورس المباشرة‬

‫الحل‪:‬‬
‫‪(1‬‬

‫‪y² + t²‬‬

‫= ‪a²‬‬

‫‪3² + 2²‬‬

‫=‬

‫‪9+4‬‬

‫=‬

‫‪= 13‬‬
‫إذن‪:‬‬

‫‪13‬‬

‫‪a ‬‬

‫أو‬

‫‪a   13‬‬

‫‪4‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثالثة ثانوي إعدادي‬

‫مبرهنة فيتاغورس المباشرة‬

‫‪(2‬‬

‫‪a² - y²‬‬
‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫‪5 ‬‬

‫‪3‬‬

‫= ‪t²‬‬
‫‪‬‬

‫‪= 5-3‬‬
‫‪=2‬‬
‫إذن‪:‬‬

‫‪2‬‬

‫‪t ‬‬

‫أو‬

‫‪2‬‬

‫‪t  ‬‬

‫‪5‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثالثة ثانوي إعدادي‬

‫مبرهنة فيتاغورس المباشرة‬

‫نشاط تمهيدي‪: 3‬‬

‫‪B‬‬

‫تكسر عمود في ‪ B‬يبلغ طوله ‪. 7,5 m‬‬
‫‪x‬‬

‫طرفه ‪ C‬يوجد على بعد ‪ 1,5 m‬من قاعدته ‪. A‬‬
‫حدد االرتفاع ‪.x‬‬
‫‪C‬‬

‫‪A 1,5 m‬‬

‫‪6‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثالثة ثانوي إعدادي‬

‫مبرهنة فيتاغورس المباشرة‬

‫الحل‪:‬‬

‫‪B‬‬

‫‪BC = 7,5 - x‬‬
‫المثلث ‪ ABC‬قائم الزاوية في ‪. A‬‬
‫حسب مبرهنة فيثاغورس ‪BC² = AB² + AC² :‬‬

‫‪x‬‬

‫‪( 7,5 - X)² = X² + 1,5²‬‬
‫‪56,25 + X² - 15X = X² + 2,25‬‬

‫‪15X = 56,25 - 2,25‬‬

‫‪C‬‬

‫‪A 1,5 m‬‬

‫‪15X = 54‬‬
‫‪X = 3,6‬‬
‫‪7‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثالثة ثانوي إعدادي‬

‫مبرهنة فيتاغورس المباشرة‬

‫خاصية‪1‬‬
‫إذا كان مثلث قائم الزاوية ‪ ،‬فإن مربع وتره يساوي مجموع‬
‫مربعي ضلعي الزاوية القائمة‬
‫‪A‬‬

‫‪BC² = AB² + AC²‬‬

‫‪C‬‬
‫‪B‬‬
‫‪8‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثالثة ثانوي إعدادي‬

‫مبرهنة فيتاغورس المباشرة‬

‫مالحظة‪1‬‬
‫‪ ABC‬مثلث قائم الزاوية في ‪A‬‬

‫إذن ‪:‬‬

‫‪AB² = BC² - AC²‬‬

‫و‬

‫‪AC² = BC² - AB²‬‬

‫‪9‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثالثة ثانوي إعدادي‬

‫مبرهنة فيتاغورس المباشرة‬

‫مثال‬
‫‪ ABC‬مثلث قائم الزاوية في ‪ A‬حيث‪ AB = 4 :‬و ‪AC = 5‬‬
‫‪A‬‬

‫لنحدد ‪BC‬‬

‫‪B‬‬
‫‪C‬‬
‫‪10‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثالثة ثانوي إعدادي‬

‫مبرهنة فيتاغورس المباشرة‬

‫الحل‪:‬‬
‫لدينا ‪ ABC‬مثلث قائم الزاوية في ‪، A‬‬
‫إذن حسب مبرهنة فيتاغورس المباشرة لدينا ‪:‬‬
‫‪BC² = AB² + AC²‬‬
‫‪= 4² + 5²‬‬
‫‪= 16 + 25‬‬
‫‪= 41‬‬
‫إذن‬

‫‪41‬‬

‫‪BC ‬‬

‫ألن‬

‫‪BC > 0‬‬
‫‪11‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثالثة ثانوي إعدادي‬

‫مبرهنة فيتاغورس المباشرة‬

‫مالحظة‪2‬‬
‫تستعمل مبرهنة فيتاغورس المباشرة لحساب األطوال‬

‫‪12‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثالثة ثانوي إعدادي‬

‫مبرهنة فيتاغورس العكسية‬

‫نشاط تمهيدي‪: 5‬‬

‫)'‪(C‬‬

‫‪A‬‬

‫نعتبر مثلثا ‪ ABC‬يحقق ‪AB2 + AC2 = BC2‬‬
‫)‪ (C‬نصف الدائرة التي قطرها ]‪ [BC‬وال تمر من‬
‫‪A‬‬
‫و )'‪ ( C‬الدائرة التي مركزها ‪ C‬وشعاعها ‪AC‬‬

‫‪B‬‬

‫‪C‬‬

‫بحيث )‪ (C‬و( '‪ ( C‬تتقاطعان في ‪.O‬‬

‫‪ (1‬بين أن ‪ BCO‬مثلث قائم الزاوية في ‪ O‬ثم استنتج أن‪BO = BA :‬‬

‫^‬

‫‪O‬‬

‫)‪(C‬‬

‫^‬

‫‪ (2‬بين أن )‪ (BC‬واسط القطعة ]‪ [AO‬واستنتج أن الزاويتين ‪ BAC‬و ‪BOC‬‬
‫متماثلتان بالنسبة للمستقيم )‪.(BC‬‬
‫‪ (3‬حدد طبيعة المثلث ‪.BAC‬‬

‫‪13‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثالثة ثانوي إعدادي‬

‫مبرهنة فيتاغورس العكسية‬

‫الحل‪:‬‬
‫‪ BCO (1‬محاط بنصف دائرة قطرها ]‪ [BC‬إذن فهو قائم الزاوية في ‪. O‬‬

‫إذن ‪ ،‬حسب مبرهنة فيثاغورس‪،‬‬
‫أي‪:‬‬

‫‪BC² = BO² + OC²‬‬
‫‪BO² = BC² - OC²‬‬

‫بما أن ‪ ( OC = AC‬شعاع الدائرة (’‪( (C‬‬

‫فإن‪:‬‬
‫حسب المعطيات‪ ،‬لدينا‪:‬‬

‫‪BO² = BC² - AC²‬‬
‫‪AB² = BC² - AC²‬‬

‫إذن‬

‫‪BO² = AB²‬‬

‫أي‬

‫‪AB = BO‬‬
‫‪14‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثالثة ثانوي إعدادي‬

‫مبرهنة فيتاغورس العكسية‬

‫‪ BA = BO (2‬و ‪ CA = CO‬إذن )‪ (BC‬واسط القطع ]‪. [AO‬‬

‫نستنتج أن مماثلة ‪ B‬هي ‪ B‬بالنسبة للمستقيم )‪.(BC‬‬
‫ولدينا أيضا مماثلة ‪ A‬هي ‪ O‬بالنسبة للمستقيم )‪.(BC‬‬
‫و مماثلة ‪ C‬هي ‪ C‬بالنسبة للمستقيم )‪.(BC‬‬
‫^‬
‫^‬
‫إذن مماثلة الزاوية ‪ BAC‬هي الزاوية ‪BOC‬‬
‫^‬
‫^‬
‫ومنه ‪BAC = BOC = 90°‬‬
‫وبالتالي المثلث ‪ BAC‬قائم الزاوية في ‪. A‬‬
‫‪15‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثالثة ثانوي إعدادي‬

‫مبرهنة فيتاغورس العكسية‬

‫خاصية‪2‬‬
‫إذا كان مجموع مربعي طولي ضلعي مثلث يساوي مربع طول الضلع‬
‫الثالث‪ ،‬فإن المثلث قائم الزاوية‪.‬‬
‫المثلث‪ MON‬قائم الزاوية في ‪O‬‬

‫‪O‬‬
‫إذا كان ‪ MON‬مثلث‬
‫و ‪MN² = MO² + ON²‬‬

‫فإن‬

‫‪M‬‬
‫‪N‬‬
‫‪16‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثالثة ثانوي إعدادي‬

‫مبرهنة فيتاغورس العكسية‬

‫مثال‬
‫‪ ABC‬مثلث بحيث ‪ BC = 15‬و ‪ AB = 12‬و ‪AC = 9‬‬
‫لنبين أن ‪ ABC‬مثلث قائم الزاوية‪.‬‬

‫‪17‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثالثة ثانوي إعدادي‬

‫مبرهنة فيتاغورس العكسية‬

‫الحل‪:‬‬
‫لدينا‬

‫‪BC² = 15² = 225‬‬
‫‪AB² + AC² = 12² + 9²‬‬
‫‪= 144 + 81‬‬

‫‪= 225‬‬
‫إذن‬

‫‪BC² = AB² + AC²‬‬

‫حسب مبرهنة فيتاغورس العكسية‬
‫فإن المثلث ‪ ABC‬قائم الزاوية في الرأس ‪A‬‬
‫‪18‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثالثة ثانوي إعدادي‬

‫مبرهنة فيتاغورس العكسية‬

‫مالحظة‪3‬‬
‫تستعمل مبرهنة فيتاغورس العكسية إلثبات التعامد‬

‫‪19‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثالثة ثانوي إعدادي‬

‫مبرهنة فيتاغورس العكسية‬

‫تطبيق‪3‬‬
‫ليكن ‪ ABC‬مثلثا و ‪ H‬المسقط العمودي للنقط ‪ A‬على )‪(BC‬‬
‫بحيث ‪ A H  2 3‬و ‪ BH = 3‬و ‪ CH = 4‬و ]‪H є [BC‬‬
‫‪A‬‬

‫بين أن المثلث ‪ ABC‬قائم الزاوية في ‪A‬‬
‫‪2 3‬‬

‫‪C‬‬

‫‪4‬‬

‫‪H‬‬

‫‪3‬‬

‫‪B‬‬
‫‪20‬‬


Slide 19

‫مبرهنة فيتاغورس‬
‫المادة ‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى ‪ :‬الثالثة ثانوي إعدادي‬

‫‪1‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثالثة ثانوي إعدادي‬

‫مبرهنة فيتاغورس المباشرة‬

‫نشاط تمهيدي‪: 1‬‬
‫‪ x‬عدد موجب‬
‫أوجد ‪ x‬إذا علمت أن‬

‫‪x² = 5‬‬

‫الحل‪:‬‬
‫‪ x² = 5‬و ‪ x‬عدد موجب‬
‫يعني أن‬

‫‪5‬‬

‫‪x‬‬
‫‪2‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثالثة ثانوي إعدادي‬

‫مبرهنة فيتاغورس المباشرة‬

‫نشاط تمهيدي‪: 2‬‬
‫نضع‬

‫‪a² = y² + t²‬‬

‫‪ (1‬أحسب ‪ a‬إذا كان ‪ y = 3‬و ‪t = 2‬‬
‫‪ (2‬أحسب ‪ t‬إذا كان ‪5‬‬

‫‪ a ‬و‪3‬‬

‫‪y ‬‬

‫‪3‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثالثة ثانوي إعدادي‬

‫مبرهنة فيتاغورس المباشرة‬

‫الحل‪:‬‬
‫‪(1‬‬

‫‪y² + t²‬‬

‫= ‪a²‬‬

‫‪3² + 2²‬‬

‫=‬

‫‪9+4‬‬

‫=‬

‫‪= 13‬‬
‫إذن‪:‬‬

‫‪13‬‬

‫‪a ‬‬

‫أو‬

‫‪a   13‬‬

‫‪4‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثالثة ثانوي إعدادي‬

‫مبرهنة فيتاغورس المباشرة‬

‫‪(2‬‬

‫‪a² - y²‬‬
‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫‪5 ‬‬

‫‪3‬‬

‫= ‪t²‬‬
‫‪‬‬

‫‪= 5-3‬‬
‫‪=2‬‬
‫إذن‪:‬‬

‫‪2‬‬

‫‪t ‬‬

‫أو‬

‫‪2‬‬

‫‪t  ‬‬

‫‪5‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثالثة ثانوي إعدادي‬

‫مبرهنة فيتاغورس المباشرة‬

‫نشاط تمهيدي‪: 3‬‬

‫‪B‬‬

‫تكسر عمود في ‪ B‬يبلغ طوله ‪. 7,5 m‬‬
‫‪x‬‬

‫طرفه ‪ C‬يوجد على بعد ‪ 1,5 m‬من قاعدته ‪. A‬‬
‫حدد االرتفاع ‪.x‬‬
‫‪C‬‬

‫‪A 1,5 m‬‬

‫‪6‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثالثة ثانوي إعدادي‬

‫مبرهنة فيتاغورس المباشرة‬

‫الحل‪:‬‬

‫‪B‬‬

‫‪BC = 7,5 - x‬‬
‫المثلث ‪ ABC‬قائم الزاوية في ‪. A‬‬
‫حسب مبرهنة فيثاغورس ‪BC² = AB² + AC² :‬‬

‫‪x‬‬

‫‪( 7,5 - X)² = X² + 1,5²‬‬
‫‪56,25 + X² - 15X = X² + 2,25‬‬

‫‪15X = 56,25 - 2,25‬‬

‫‪C‬‬

‫‪A 1,5 m‬‬

‫‪15X = 54‬‬
‫‪X = 3,6‬‬
‫‪7‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثالثة ثانوي إعدادي‬

‫مبرهنة فيتاغورس المباشرة‬

‫خاصية‪1‬‬
‫إذا كان مثلث قائم الزاوية ‪ ،‬فإن مربع وتره يساوي مجموع‬
‫مربعي ضلعي الزاوية القائمة‬
‫‪A‬‬

‫‪BC² = AB² + AC²‬‬

‫‪C‬‬
‫‪B‬‬
‫‪8‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثالثة ثانوي إعدادي‬

‫مبرهنة فيتاغورس المباشرة‬

‫مالحظة‪1‬‬
‫‪ ABC‬مثلث قائم الزاوية في ‪A‬‬

‫إذن ‪:‬‬

‫‪AB² = BC² - AC²‬‬

‫و‬

‫‪AC² = BC² - AB²‬‬

‫‪9‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثالثة ثانوي إعدادي‬

‫مبرهنة فيتاغورس المباشرة‬

‫مثال‬
‫‪ ABC‬مثلث قائم الزاوية في ‪ A‬حيث‪ AB = 4 :‬و ‪AC = 5‬‬
‫‪A‬‬

‫لنحدد ‪BC‬‬

‫‪B‬‬
‫‪C‬‬
‫‪10‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثالثة ثانوي إعدادي‬

‫مبرهنة فيتاغورس المباشرة‬

‫الحل‪:‬‬
‫لدينا ‪ ABC‬مثلث قائم الزاوية في ‪، A‬‬
‫إذن حسب مبرهنة فيتاغورس المباشرة لدينا ‪:‬‬
‫‪BC² = AB² + AC²‬‬
‫‪= 4² + 5²‬‬
‫‪= 16 + 25‬‬
‫‪= 41‬‬
‫إذن‬

‫‪41‬‬

‫‪BC ‬‬

‫ألن‬

‫‪BC > 0‬‬
‫‪11‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثالثة ثانوي إعدادي‬

‫مبرهنة فيتاغورس المباشرة‬

‫مالحظة‪2‬‬
‫تستعمل مبرهنة فيتاغورس المباشرة لحساب األطوال‬

‫‪12‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثالثة ثانوي إعدادي‬

‫مبرهنة فيتاغورس العكسية‬

‫نشاط تمهيدي‪: 5‬‬

‫)'‪(C‬‬

‫‪A‬‬

‫نعتبر مثلثا ‪ ABC‬يحقق ‪AB2 + AC2 = BC2‬‬
‫)‪ (C‬نصف الدائرة التي قطرها ]‪ [BC‬وال تمر من‬
‫‪A‬‬
‫و )'‪ ( C‬الدائرة التي مركزها ‪ C‬وشعاعها ‪AC‬‬

‫‪B‬‬

‫‪C‬‬

‫بحيث )‪ (C‬و( '‪ ( C‬تتقاطعان في ‪.O‬‬

‫‪ (1‬بين أن ‪ BCO‬مثلث قائم الزاوية في ‪ O‬ثم استنتج أن‪BO = BA :‬‬

‫^‬

‫‪O‬‬

‫)‪(C‬‬

‫^‬

‫‪ (2‬بين أن )‪ (BC‬واسط القطعة ]‪ [AO‬واستنتج أن الزاويتين ‪ BAC‬و ‪BOC‬‬
‫متماثلتان بالنسبة للمستقيم )‪.(BC‬‬
‫‪ (3‬حدد طبيعة المثلث ‪.BAC‬‬

‫‪13‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثالثة ثانوي إعدادي‬

‫مبرهنة فيتاغورس العكسية‬

‫الحل‪:‬‬
‫‪ BCO (1‬محاط بنصف دائرة قطرها ]‪ [BC‬إذن فهو قائم الزاوية في ‪. O‬‬

‫إذن ‪ ،‬حسب مبرهنة فيثاغورس‪،‬‬
‫أي‪:‬‬

‫‪BC² = BO² + OC²‬‬
‫‪BO² = BC² - OC²‬‬

‫بما أن ‪ ( OC = AC‬شعاع الدائرة (’‪( (C‬‬

‫فإن‪:‬‬
‫حسب المعطيات‪ ،‬لدينا‪:‬‬

‫‪BO² = BC² - AC²‬‬
‫‪AB² = BC² - AC²‬‬

‫إذن‬

‫‪BO² = AB²‬‬

‫أي‬

‫‪AB = BO‬‬
‫‪14‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثالثة ثانوي إعدادي‬

‫مبرهنة فيتاغورس العكسية‬

‫‪ BA = BO (2‬و ‪ CA = CO‬إذن )‪ (BC‬واسط القطع ]‪. [AO‬‬

‫نستنتج أن مماثلة ‪ B‬هي ‪ B‬بالنسبة للمستقيم )‪.(BC‬‬
‫ولدينا أيضا مماثلة ‪ A‬هي ‪ O‬بالنسبة للمستقيم )‪.(BC‬‬
‫و مماثلة ‪ C‬هي ‪ C‬بالنسبة للمستقيم )‪.(BC‬‬
‫^‬
‫^‬
‫إذن مماثلة الزاوية ‪ BAC‬هي الزاوية ‪BOC‬‬
‫^‬
‫^‬
‫ومنه ‪BAC = BOC = 90°‬‬
‫وبالتالي المثلث ‪ BAC‬قائم الزاوية في ‪. A‬‬
‫‪15‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثالثة ثانوي إعدادي‬

‫مبرهنة فيتاغورس العكسية‬

‫خاصية‪2‬‬
‫إذا كان مجموع مربعي طولي ضلعي مثلث يساوي مربع طول الضلع‬
‫الثالث‪ ،‬فإن المثلث قائم الزاوية‪.‬‬
‫المثلث‪ MON‬قائم الزاوية في ‪O‬‬

‫‪O‬‬
‫إذا كان ‪ MON‬مثلث‬
‫و ‪MN² = MO² + ON²‬‬

‫فإن‬

‫‪M‬‬
‫‪N‬‬
‫‪16‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثالثة ثانوي إعدادي‬

‫مبرهنة فيتاغورس العكسية‬

‫مثال‬
‫‪ ABC‬مثلث بحيث ‪ BC = 15‬و ‪ AB = 12‬و ‪AC = 9‬‬
‫لنبين أن ‪ ABC‬مثلث قائم الزاوية‪.‬‬

‫‪17‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثالثة ثانوي إعدادي‬

‫مبرهنة فيتاغورس العكسية‬

‫الحل‪:‬‬
‫لدينا‬

‫‪BC² = 15² = 225‬‬
‫‪AB² + AC² = 12² + 9²‬‬
‫‪= 144 + 81‬‬

‫‪= 225‬‬
‫إذن‬

‫‪BC² = AB² + AC²‬‬

‫حسب مبرهنة فيتاغورس العكسية‬
‫فإن المثلث ‪ ABC‬قائم الزاوية في الرأس ‪A‬‬
‫‪18‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثالثة ثانوي إعدادي‬

‫مبرهنة فيتاغورس العكسية‬

‫مالحظة‪3‬‬
‫تستعمل مبرهنة فيتاغورس العكسية إلثبات التعامد‬

‫‪19‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثالثة ثانوي إعدادي‬

‫مبرهنة فيتاغورس العكسية‬

‫تطبيق‪3‬‬
‫ليكن ‪ ABC‬مثلثا و ‪ H‬المسقط العمودي للنقط ‪ A‬على )‪(BC‬‬
‫بحيث ‪ A H  2 3‬و ‪ BH = 3‬و ‪ CH = 4‬و ]‪H є [BC‬‬
‫‪A‬‬

‫بين أن المثلث ‪ ABC‬قائم الزاوية في ‪A‬‬
‫‪2 3‬‬

‫‪C‬‬

‫‪4‬‬

‫‪H‬‬

‫‪3‬‬

‫‪B‬‬
‫‪20‬‬


Slide 20

‫مبرهنة فيتاغورس‬
‫المادة ‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى ‪ :‬الثالثة ثانوي إعدادي‬

‫‪1‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثالثة ثانوي إعدادي‬

‫مبرهنة فيتاغورس المباشرة‬

‫نشاط تمهيدي‪: 1‬‬
‫‪ x‬عدد موجب‬
‫أوجد ‪ x‬إذا علمت أن‬

‫‪x² = 5‬‬

‫الحل‪:‬‬
‫‪ x² = 5‬و ‪ x‬عدد موجب‬
‫يعني أن‬

‫‪5‬‬

‫‪x‬‬
‫‪2‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثالثة ثانوي إعدادي‬

‫مبرهنة فيتاغورس المباشرة‬

‫نشاط تمهيدي‪: 2‬‬
‫نضع‬

‫‪a² = y² + t²‬‬

‫‪ (1‬أحسب ‪ a‬إذا كان ‪ y = 3‬و ‪t = 2‬‬
‫‪ (2‬أحسب ‪ t‬إذا كان ‪5‬‬

‫‪ a ‬و‪3‬‬

‫‪y ‬‬

‫‪3‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثالثة ثانوي إعدادي‬

‫مبرهنة فيتاغورس المباشرة‬

‫الحل‪:‬‬
‫‪(1‬‬

‫‪y² + t²‬‬

‫= ‪a²‬‬

‫‪3² + 2²‬‬

‫=‬

‫‪9+4‬‬

‫=‬

‫‪= 13‬‬
‫إذن‪:‬‬

‫‪13‬‬

‫‪a ‬‬

‫أو‬

‫‪a   13‬‬

‫‪4‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثالثة ثانوي إعدادي‬

‫مبرهنة فيتاغورس المباشرة‬

‫‪(2‬‬

‫‪a² - y²‬‬
‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫‪5 ‬‬

‫‪3‬‬

‫= ‪t²‬‬
‫‪‬‬

‫‪= 5-3‬‬
‫‪=2‬‬
‫إذن‪:‬‬

‫‪2‬‬

‫‪t ‬‬

‫أو‬

‫‪2‬‬

‫‪t  ‬‬

‫‪5‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثالثة ثانوي إعدادي‬

‫مبرهنة فيتاغورس المباشرة‬

‫نشاط تمهيدي‪: 3‬‬

‫‪B‬‬

‫تكسر عمود في ‪ B‬يبلغ طوله ‪. 7,5 m‬‬
‫‪x‬‬

‫طرفه ‪ C‬يوجد على بعد ‪ 1,5 m‬من قاعدته ‪. A‬‬
‫حدد االرتفاع ‪.x‬‬
‫‪C‬‬

‫‪A 1,5 m‬‬

‫‪6‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثالثة ثانوي إعدادي‬

‫مبرهنة فيتاغورس المباشرة‬

‫الحل‪:‬‬

‫‪B‬‬

‫‪BC = 7,5 - x‬‬
‫المثلث ‪ ABC‬قائم الزاوية في ‪. A‬‬
‫حسب مبرهنة فيثاغورس ‪BC² = AB² + AC² :‬‬

‫‪x‬‬

‫‪( 7,5 - X)² = X² + 1,5²‬‬
‫‪56,25 + X² - 15X = X² + 2,25‬‬

‫‪15X = 56,25 - 2,25‬‬

‫‪C‬‬

‫‪A 1,5 m‬‬

‫‪15X = 54‬‬
‫‪X = 3,6‬‬
‫‪7‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثالثة ثانوي إعدادي‬

‫مبرهنة فيتاغورس المباشرة‬

‫خاصية‪1‬‬
‫إذا كان مثلث قائم الزاوية ‪ ،‬فإن مربع وتره يساوي مجموع‬
‫مربعي ضلعي الزاوية القائمة‬
‫‪A‬‬

‫‪BC² = AB² + AC²‬‬

‫‪C‬‬
‫‪B‬‬
‫‪8‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثالثة ثانوي إعدادي‬

‫مبرهنة فيتاغورس المباشرة‬

‫مالحظة‪1‬‬
‫‪ ABC‬مثلث قائم الزاوية في ‪A‬‬

‫إذن ‪:‬‬

‫‪AB² = BC² - AC²‬‬

‫و‬

‫‪AC² = BC² - AB²‬‬

‫‪9‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثالثة ثانوي إعدادي‬

‫مبرهنة فيتاغورس المباشرة‬

‫مثال‬
‫‪ ABC‬مثلث قائم الزاوية في ‪ A‬حيث‪ AB = 4 :‬و ‪AC = 5‬‬
‫‪A‬‬

‫لنحدد ‪BC‬‬

‫‪B‬‬
‫‪C‬‬
‫‪10‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثالثة ثانوي إعدادي‬

‫مبرهنة فيتاغورس المباشرة‬

‫الحل‪:‬‬
‫لدينا ‪ ABC‬مثلث قائم الزاوية في ‪، A‬‬
‫إذن حسب مبرهنة فيتاغورس المباشرة لدينا ‪:‬‬
‫‪BC² = AB² + AC²‬‬
‫‪= 4² + 5²‬‬
‫‪= 16 + 25‬‬
‫‪= 41‬‬
‫إذن‬

‫‪41‬‬

‫‪BC ‬‬

‫ألن‬

‫‪BC > 0‬‬
‫‪11‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثالثة ثانوي إعدادي‬

‫مبرهنة فيتاغورس المباشرة‬

‫مالحظة‪2‬‬
‫تستعمل مبرهنة فيتاغورس المباشرة لحساب األطوال‬

‫‪12‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثالثة ثانوي إعدادي‬

‫مبرهنة فيتاغورس العكسية‬

‫نشاط تمهيدي‪: 5‬‬

‫)'‪(C‬‬

‫‪A‬‬

‫نعتبر مثلثا ‪ ABC‬يحقق ‪AB2 + AC2 = BC2‬‬
‫)‪ (C‬نصف الدائرة التي قطرها ]‪ [BC‬وال تمر من‬
‫‪A‬‬
‫و )'‪ ( C‬الدائرة التي مركزها ‪ C‬وشعاعها ‪AC‬‬

‫‪B‬‬

‫‪C‬‬

‫بحيث )‪ (C‬و( '‪ ( C‬تتقاطعان في ‪.O‬‬

‫‪ (1‬بين أن ‪ BCO‬مثلث قائم الزاوية في ‪ O‬ثم استنتج أن‪BO = BA :‬‬

‫^‬

‫‪O‬‬

‫)‪(C‬‬

‫^‬

‫‪ (2‬بين أن )‪ (BC‬واسط القطعة ]‪ [AO‬واستنتج أن الزاويتين ‪ BAC‬و ‪BOC‬‬
‫متماثلتان بالنسبة للمستقيم )‪.(BC‬‬
‫‪ (3‬حدد طبيعة المثلث ‪.BAC‬‬

‫‪13‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثالثة ثانوي إعدادي‬

‫مبرهنة فيتاغورس العكسية‬

‫الحل‪:‬‬
‫‪ BCO (1‬محاط بنصف دائرة قطرها ]‪ [BC‬إذن فهو قائم الزاوية في ‪. O‬‬

‫إذن ‪ ،‬حسب مبرهنة فيثاغورس‪،‬‬
‫أي‪:‬‬

‫‪BC² = BO² + OC²‬‬
‫‪BO² = BC² - OC²‬‬

‫بما أن ‪ ( OC = AC‬شعاع الدائرة (’‪( (C‬‬

‫فإن‪:‬‬
‫حسب المعطيات‪ ،‬لدينا‪:‬‬

‫‪BO² = BC² - AC²‬‬
‫‪AB² = BC² - AC²‬‬

‫إذن‬

‫‪BO² = AB²‬‬

‫أي‬

‫‪AB = BO‬‬
‫‪14‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثالثة ثانوي إعدادي‬

‫مبرهنة فيتاغورس العكسية‬

‫‪ BA = BO (2‬و ‪ CA = CO‬إذن )‪ (BC‬واسط القطع ]‪. [AO‬‬

‫نستنتج أن مماثلة ‪ B‬هي ‪ B‬بالنسبة للمستقيم )‪.(BC‬‬
‫ولدينا أيضا مماثلة ‪ A‬هي ‪ O‬بالنسبة للمستقيم )‪.(BC‬‬
‫و مماثلة ‪ C‬هي ‪ C‬بالنسبة للمستقيم )‪.(BC‬‬
‫^‬
‫^‬
‫إذن مماثلة الزاوية ‪ BAC‬هي الزاوية ‪BOC‬‬
‫^‬
‫^‬
‫ومنه ‪BAC = BOC = 90°‬‬
‫وبالتالي المثلث ‪ BAC‬قائم الزاوية في ‪. A‬‬
‫‪15‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثالثة ثانوي إعدادي‬

‫مبرهنة فيتاغورس العكسية‬

‫خاصية‪2‬‬
‫إذا كان مجموع مربعي طولي ضلعي مثلث يساوي مربع طول الضلع‬
‫الثالث‪ ،‬فإن المثلث قائم الزاوية‪.‬‬
‫المثلث‪ MON‬قائم الزاوية في ‪O‬‬

‫‪O‬‬
‫إذا كان ‪ MON‬مثلث‬
‫و ‪MN² = MO² + ON²‬‬

‫فإن‬

‫‪M‬‬
‫‪N‬‬
‫‪16‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثالثة ثانوي إعدادي‬

‫مبرهنة فيتاغورس العكسية‬

‫مثال‬
‫‪ ABC‬مثلث بحيث ‪ BC = 15‬و ‪ AB = 12‬و ‪AC = 9‬‬
‫لنبين أن ‪ ABC‬مثلث قائم الزاوية‪.‬‬

‫‪17‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثالثة ثانوي إعدادي‬

‫مبرهنة فيتاغورس العكسية‬

‫الحل‪:‬‬
‫لدينا‬

‫‪BC² = 15² = 225‬‬
‫‪AB² + AC² = 12² + 9²‬‬
‫‪= 144 + 81‬‬

‫‪= 225‬‬
‫إذن‬

‫‪BC² = AB² + AC²‬‬

‫حسب مبرهنة فيتاغورس العكسية‬
‫فإن المثلث ‪ ABC‬قائم الزاوية في الرأس ‪A‬‬
‫‪18‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثالثة ثانوي إعدادي‬

‫مبرهنة فيتاغورس العكسية‬

‫مالحظة‪3‬‬
‫تستعمل مبرهنة فيتاغورس العكسية إلثبات التعامد‬

‫‪19‬‬

‫المادة‬

‫‪:‬‬

‫الرياضيات‬

‫المستوى‬

‫‪:‬‬

‫الثالثة ثانوي إعدادي‬

‫مبرهنة فيتاغورس العكسية‬

‫تطبيق‪3‬‬
‫ليكن ‪ ABC‬مثلثا و ‪ H‬المسقط العمودي للنقط ‪ A‬على )‪(BC‬‬
‫بحيث ‪ A H  2 3‬و ‪ BH = 3‬و ‪ CH = 4‬و ]‪H є [BC‬‬
‫‪A‬‬

‫بين أن المثلث ‪ ABC‬قائم الزاوية في ‪A‬‬
‫‪2 3‬‬

‫‪C‬‬

‫‪4‬‬

‫‪H‬‬

‫‪3‬‬

‫‪B‬‬
‫‪20‬‬