Slide 1

‫الهندسة الفراغية‬
‫مديرية التربية والتعليم – خان يونس‬

‫اعداد تصميم وتنفيذ المعلمة ‪/‬‬
‫عايدة محمد ابو حطب‬

‫مدرسة خان يونس الثانوية ” ب‬
‫” للبنات‬

‫الوحدة الثامنة‬
‫منهاج الرياضيات الصف العاشر الهندسة الفراغية‬


Slide 2


Slide 3

‫انقري على احد المواضيع لعرضه‬
‫مفاهيم‬
‫ومسلمات‬
‫في الهندسة‬
‫الفراغية‬

‫توازي‬
‫مستقيم‬
‫ومستوى‬

‫أوضاع‬
‫المستقيمات‬
‫والمستويات‬
‫في الفراغ‬

‫تعامد مستقيم‬
‫مع مستوى‬

‫تقاطع مستوى مع‬
‫مستويين متوازيين‬

‫االسقاط‬
‫العمودي‬

‫الزاوية‬
‫الزوجية‬


Slide 4

‫الهندسة‬
‫الفراغية‬

‫المستوى‬

‫هي أحد فروع علم الرياضيات الذي يبحث في خواص‬
‫األجسام وأشكالها ومساحاتها وسطوحها دون التعرض‬
‫إلى خواصها‬
‫هو السطح الذي لو أخذت فيه أي نقطتين‬
‫ووصل بينهما بمستقيم لوقع المستقيم‬
‫بتمامه على هذا السطح ‪.‬‬
‫اذا انا‬
‫مستوى‬

‫س‬
‫‪x‬‬

‫‪x‬‬
‫‪x‬‬


Slide 5

‫الهندسة الفراغية تتكون من مسميات‬
‫( النقطة – المستقيم ‪ -‬المستوى )‬
‫نظريات ومسلمات‬

‫المسلمة‬

‫هي عبارة تربط بين المسميات األولية نقبل‬
‫بصحتها بدون برهان وهذا الفرق بينها وبين النظرية‬
‫حيث ان النظرية يوجد لها برهان ‪.‬‬


Slide 6

‫مسلمة ‪1‬‬

‫أي نقطتين مختلفتين في الفراغ يمر بهما مستقيم وحيد‬

‫‪x‬‬

‫‪x‬‬

‫نقول لمجموعة من نقاط المستوى س أنها على استقامة‬
‫واحدة إذا وجد في المستوى س مستقيم ل تنتمي اليه‬
‫س‬
‫هذه النقاط ويكون ل‬

‫‪x‬‬
‫‪x x‬‬

‫‪x‬‬

‫‪x‬‬


Slide 7

‫مسلمة ‪2‬‬

‫يحوي المستوى ثالث نقاط مختلفة ليست‬
‫على استقامة واحدة‬

‫‪x‬‬

‫‪x‬‬
‫‪x‬‬


Slide 8

‫تعيين المستوى‬
‫في الفراغ‬

‫ثالث نقاط ليست‬
‫على استقامة‬
‫واحدة‬

‫‪x‬‬

‫‪x‬‬

‫مستقيم ونقطة‬
‫ال تقع عليه‬

‫‪x‬‬
‫‪x‬‬

‫مستقيمان‬
‫متقاطعان‬

‫مستقيمان‬
‫متقاطعان‬


Slide 9

‫مسلمة ‪3‬‬

‫يحوي الفراغ اربعة نقاط مختلفة غير مستوية‬
‫على األقل‬

‫د‬

‫ا‬

‫جـ‬

‫ب‬


Slide 10

‫مسلمة ‪4‬‬

‫اذا اشترك مستقيم ل ومستوى س في نقطتين مختلفتين‬
‫فان المستقيم ل يقع بأكمله في المستوى بأكمله ‪.‬‬

‫ا‬

‫ب‬


Slide 11

‫مسلمة ‪5‬‬

‫اذا تقاطع مستويان مختلفان فإنهما يتقاطعان‬
‫في مستقيم ‪.‬‬
‫ويسمى الخط المشترك بين المستويين خط تقاطع‬
‫المستويين‬


Slide 12

‫مسلمة ‪6‬‬

‫إذا وقعت نقطة خارج مستقيم معلوم فانه يمكن رسم‬
‫مستقيم واحد منها يوازي المستقيم المعلوم ‪.‬‬

‫‪x‬‬


Slide 13

‫مسلمة ‪7‬‬

‫ألي نقطة خارج مستوى معلوم هناك مستوى وحيد‬
‫يمر بها ويوازي المستوى المعلوم‬

‫‪x‬‬


Slide 14

‫تأملي الشكل المقابل وأجيبي عن األسئلة التالية‬

‫‪:‬‬

‫د‬

‫و‬

‫عيني المستويات المكونة للشكل مع التسمية ‪.‬‬

‫هـ‬
‫ا‬
‫ب‬

‫جـ‬


Slide 15

‫د‬

‫و‬
‫سم مستويا يوازي المستوى ا ب جـ‬

‫هـ‬
‫ا‬
‫ب‬

‫المستوى ا ب جـ يوازي المستوى و هـ د‬

‫جـ‬


Slide 16

‫د‬

‫و‬
‫أذكري مستويا يوازي الحرف ا و‬

‫هـ‬
‫ا‬
‫ب‬

‫المستوي الذي يوازي الحرف ا و هو المستوى ب جـ د هـ‬

‫جـ‬


Slide 17

‫د‬

‫و‬
‫هل يوجد مستوى يحوي النقطة ب‬
‫ويقطع المستوى اب جـ ؟ ما هو ؟‬
‫نعم‬

‫هـ‬
‫ا‬
‫ب‬

‫المستوى ب جـ د هـ او المستوى ا ب هـ و‬

‫جـ‬


Slide 18

‫تدريب ‪:‬‬
‫السؤال الثالث ص‬
‫‪ 90‬من الكتاب المقرر‬


Slide 19

‫متخالفان‬
‫لم يتقاطعا ولم‬
‫يقعا في مستوى‬
‫واحد‬

‫متوازيان‬
‫وقعا في مستوى‬
‫واحد ولم يتقاطعا‬

‫متقاطعان‬
‫يتقاطعان في‬
‫نقطة واحدة‬


Slide 20

‫ح‬

‫هـ‬

‫و‬

‫الشكل الرسوم يمثل تخطيط هندسي لقاعة‬
‫مدرسية على شكل متوازي مستطيالت ‪:‬‬
‫أذكري زوجين من االحرف المتقاطعة‬

‫جـ‬

‫د‬
‫ا‬

‫ا د ‪ ,‬ا ب متقاطعان في ا‬

‫هـ ح ‪ ,‬هـ د متقاطعان في هـ‬

‫أذكري زوجين من االحرف المتوازية‬
‫و ز ‪ //‬ا ب‬

‫ا و ‪ //‬د هـ‬

‫أذكري زوجين من االحرف المتخالفة‬

‫هـ د ‪ //‬ا ب‬

‫د ح ‪ //‬ب ز‬

‫ز‬

‫ب‬


Slide 21

‫تعريف‬

‫الزاوية بين مستقيمين متخالفين هي احدى الزوايا التي‬
‫يصنعها أحد هذين المستقيمين مع أي مستقيم ثالث‬
‫مرسوم من نقطة عليه موازيا ً للمستقيم اآلخر ‪.‬‬


Slide 22

‫متقاطعان‬
‫المستقيم يقطع‬
‫المستوى في‬
‫نقطة‬

‫متوازيان‬
‫المستقيم ال يشترك‬
‫مع المستوى في أي‬
‫نقطة أي متوازيان‬

‫المستقيم يقع‬
‫بتمامه في‬
‫المستوى‬


Slide 23

‫متقاطعان‬
‫المستويان‬
‫يتقاطعان في خط‬
‫مستقيم‬

‫متوازيان‬
‫المستويان ال‬
‫يشتركان في‬
‫اية نقطة‬


Slide 24

‫نظرية (‪)1‬‬

‫اذا وازى مستقيم خارج مستوى مستقيما ً في المستوى‬
‫فإنه يوازي ذلك المستوى ‪.‬‬

‫ل‬

‫‪1‬‬

‫ل‪2‬‬

‫ل‬

‫‪2‬‬

‫س‬

‫ل‪// 1‬‬
‫س‬
‫ل‪2‬‬
‫ل‪ // 1‬س‬


Slide 25

‫س مستوى معلوم ‪ ,‬ا ب مستقيم معلوم خارج المستوى‬
‫س ‪ ,‬جـ ‪ ,‬د ‪ Э‬س ‪ ,‬رسم المستقيم ا جـ بموازاة‬
‫المستقيم ب د بحيث ا جـ = ب د ‪ .‬أثبتي أن ‪:‬‬
‫المستقيم اب ‪ //‬المستوى س ‪.‬‬
‫المعطى ( الفرض )‪:‬‬
‫اجـ ‪ //‬ب د‬
‫ا جـ = ب د‬

‫ا‬

‫ب‬

‫المطلوب ‪:‬‬
‫المستقيم اب ‪ //‬المستوى س‬

‫جـ‬

‫د‬

‫س‬


Slide 26

‫البرهان ‪:‬‬
‫بما ان اجـ ‪ //‬ب د‬
‫فهما يعينان مستوى وليكن ص (راجعي شريحة ‪) 7‬‬
‫وحيث ان اجـ = ب د بالفرض‬
‫اذا الشكل ا ب جـ د متوازي اضالع‬
‫اذاً ا ب ‪ //‬جـ د‬
‫اذاً ا ب ‪ //‬جـ د‬

‫(ضلعان متقابالن في متوازي اضالع )‬

‫ا‬

‫ب‬

‫جـ د واقع في المستوى س‬
‫اذاً ا ب ‪ //‬المستوى س‬

‫جـ‬

‫د‬

‫س‬


Slide 27

‫تدريب ‪:‬‬
‫السؤال األول ص ‪96‬‬
‫من الكتاب المقرر‬


Slide 28

‫نظرية (‪)2‬‬

‫إذا قطع مستوى مستويين متوازيين فإن خطي تقاطعه‬
‫معهما يكونان متوازيين ‪.‬‬
‫المستوى س ‪ //‬المستوى ص‬
‫المستوى ع قاطع لهما‬
‫اب خط تقاطع س مع ع‬
‫جـ د خط تقاطع ص مع ع‬
‫إذاً اب ‪ //‬جـ د‬

‫ب‬
‫ا‬

‫س‬
‫د‬

‫جـ‬

‫ص‬


Slide 29

‫الفرض ‪ :‬س ‪ //‬ص ‪ ,‬ع قاطع لهما‬
‫في اب ‪ ,‬جـ د على الترتيب ‪.‬‬
‫المطلوب ‪ :‬اثبات أب ‪ //‬جـ د‪.‬‬

‫البرهان ‪:‬‬
‫بما أن س ‪ //‬ص بالفرض‬
‫فان اب ال يتقاطع مع جـ د‪)1( . . .‬‬
‫اب ∩ جـ د = ‪Ø‬‬
‫لكن اب ‪ ,‬جـ د يحويهما مستوى‬
‫واحد ع ‪) 2 ( . . .‬‬
‫من (‪) 2 ( , ) 1‬‬
‫اب ‪ //‬جـ د‬
‫‪#‬‬

‫ب‬
‫ا‬

‫س‬
‫د‬

‫جـ‬

‫ص‬
‫ع‬


Slide 30

‫المستقيمان الموازيان لثالث في الفراغ متوازيان‬

‫ل‬
‫ل‪ // 2‬ل‪3‬‬
‫ل‪ // 1‬ل‪3‬‬
‫‪1‬‬

‫‪//‬‬

‫ل‪2‬‬

‫ل‬

‫‪3‬‬

‫ل‬

‫‪2‬‬

‫ل‬

‫‪1‬‬


Slide 31

‫اذا توازى مستقيمان ومر بهما مستويان متقاطعان فان خط‬
‫تقاطعهما يوازي كالً من هذين المستقيمين ‪.‬‬

‫ل‬

‫‪2‬‬

‫ل‬
‫س‬
‫ل‪3‬‬
‫ص‬
‫ل‪1‬‬
‫س ∩ ص = ل‪2‬‬
‫ل‪ // 1‬ل‪3‬‬
‫‪1‬‬

‫‪//‬‬

‫ل‪3‬‬

‫ل‬

‫‪3‬‬

‫ل‬

‫‪1‬‬

‫س‬
‫ص‬


Slide 32

‫س‪ ,‬ص مستويان متقاطعان في ا ب ‪ ,‬المستوى ع‬
‫يقطعهما في جـ د ‪ ,‬هـ و على الترتيب فاذا كان‬
‫اب ‪ //‬المستوى ع فاثبت أن ‪:‬جـ د ‪ //‬هـ و‬
‫البرهان ‪:‬‬
‫اب ‪ //‬المستوى ع‬
‫المستوى س يحوي ا ب‬
‫‪ ,‬ويقطع المستوى ع في جـ د‬
‫اذاً ا ب ‪ //‬جـ د ( نتيجة‪) 1 ( . . . ) 2‬‬
‫بما ان اب ‪ //‬المستوى ع ‪,‬‬
‫المستوى ص يحوي ا ب‬
‫ويقطع المستوى ع في هـ و‬
‫اذاً ا ب ‪ //‬هـ و ( نتيجة‪) 2 ( . . . ) 2‬‬
‫من (‪)2 ( , )1‬‬
‫جـ د ‪ //‬هـ و ( نتيجة ‪# ) 1‬‬

‫جـ‬

‫ا‬

‫هـ‬

‫س‬

‫ص‬

‫ب‬
‫د‬

‫ع‬

‫و‬


Slide 33

‫تدريب ‪:‬‬
‫السؤال األول ص ‪99‬‬
‫من الكتاب المقرر‬


Slide 34

‫ل‬

‫‪2‬‬

‫د‬

‫برهني انه إذا قطعت عدة‬
‫مستويات متوازية بمستقيمين‬
‫فإن أطوال القطع المحصورة‬
‫بينهما تكون متناسبة ‪.‬‬
‫المعطيات ‪:‬‬
‫س ‪ //‬ص ‪ //‬ع‬
‫ل‪ 1‬قطعها في النقاط ا ‪ ,‬ب ‪ ,‬جـ‬
‫ل‪ 2‬قطعها في النقاط د ‪ ,‬هـ ‪ ,‬و ‪.‬‬
‫المطلوب ‪:‬‬
‫اثبات أن اب = دهـ‬
‫ب جـ هـ و‬

‫هـ‬

‫ل‬

‫‪1‬‬

‫ا‬

‫س‬

‫ب‬
‫ص‬

‫و‬

‫جـ‬
‫ع‬


Slide 35

‫ل‬

‫العمل‪:‬‬
‫نرسم ا و ليقطع ص في م‬
‫ونرسم ا د ‪ ,‬م ب ‪ ,‬م هـ ‪ ,‬جـ و‬
‫البرهان ‪:‬‬
‫بما ان س ‪ //‬ص ‪ ,‬اذا اد ‪ //‬هـ م‬
‫المثلث وم هـ ≈ المثلث ا د هـ (لماذا؟ )‬
‫(‪)1‬‬
‫اذا ام = د هـ‬
‫هـ و‬
‫مو‬
‫بالمثل ب م ‪ //‬جـ و ومنه‬
‫(‪) 2‬‬
‫اب = ا م‬
‫ب جـ م و‬
‫من (‪ ) 2 ( , ) 1‬ينتج أن ‪:‬‬
‫ا ب = د هـ‬
‫‪#‬‬
‫هـ و‬
‫ب جـ‬

‫ل‬

‫‪1‬‬

‫‪2‬‬

‫د‬
‫هـ‬

‫و‬

‫ا‬
‫م‬

‫س‬

‫ب‬
‫ص‬

‫جـ‬
‫ع‬


Slide 36

‫تدريب ‪:‬‬
‫السؤال الرابع ص ‪99‬‬
‫من الكتاب المقرر‬


Slide 37

‫تعريف‬

‫يقال لمستقيم أنه عمودي على مستوى إذا كان‬
‫المستقيم عموديا على جميع المستقيمات الواقعة‬
‫في ذلك المستوى ‪ .‬ل ┴ س‬


Slide 38

‫نظرية ( ‪) 3‬‬

‫المستقيم العمودي على مستقيمين متقاطعين عند‬
‫نقطة تقاطعهما يكون عموديا ً على مستويهما ‪.‬‬

‫ل‪ ┴ 3‬ل‪ , 1‬ل‬
‫ل‪ ┴ 3‬س‬

‫ل‬

‫‪3‬‬

‫‪ 2‬من نقطة التقاطع‬

‫ل‬

‫‪1‬‬

‫ل‬

‫‪2‬‬

‫س‬


Slide 39

‫نتيجة‬

‫جميع المستقيمات العمودية على مستقيم معلوم من‬
‫نقطة تنتمي لهذا المستقيم تقع جميعها في مستوى‬
‫واحد عمودي على المستقيم المعلوم ‪.‬‬
‫ل‪, 1‬‬

‫ل‬

‫‪3‬‬

‫ل‪ ,4‬ل ‪ ┴ 2‬ل‪ 3‬من نقطة التقاطع‬

‫وجميعهم ينتمي الى س‬

‫س┴‬

‫ل‪3‬‬

‫ل‬
‫ل‬

‫‪1‬‬
‫‪2‬‬

‫ل‬

‫‪4‬‬

‫س‬


Slide 40

‫نتيجة‬

‫هناك مستقيم واحد يمر بنقطة معلومة ويكون عموديا ً‬
‫على مستوى معلوم ‪.‬‬

‫جـ‬
‫من نقطة جـ يمكن رسم مستقيم‬
‫واحد عمودي على المستوى س‬

‫ل‬

‫‪3‬‬

‫س‬


Slide 41

‫نتيجة‬

‫اذا كان مستقيم عموديا ً على كل من مستويين‬
‫فإنهما يكونان متوازيين‬

‫ل┴س‬
‫ل┴ص‬
‫س ‪ //‬ص‬

‫ل‬

‫‪3‬‬

‫س‬


Slide 42

‫نتيجة‬

‫اذا توازى مستقيمان وكان احدهما عموديا ً على‬
‫مستوى كان اآلخر عموديا ً عليه ايضا ً‪.‬‬

‫ل‪ // 1‬ل‬
‫ل‪ ┴ 1‬س‬
‫ل‪ ┴ 2‬س‬

‫ل‬

‫‪1‬‬

‫ل‬

‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫س‬


Slide 43

‫نتيجة‬

‫المستقيمان العموديان على مستوى متوازيان‬

‫ل‬

‫‪1‬‬

‫ل‪ ┴ 1‬س‬
‫ل‪ ┴ 2‬س‬
‫ل‪2‬‬
‫ل‪// 1‬‬

‫ل‬

‫‪2‬‬

‫س‬


Slide 44

‫تطبيق ‪:‬‬
‫السؤال االول ثم الثاني‬
‫ص ‪ 104‬من الكتاب‬
‫المقرر‬


Slide 45

‫تعريف‬

‫المسقط العمودي لنقطة معلومة على مستوى‬
‫معلوم هو موقع القطعة المستقيمة العمودية‬
‫المرسومة من النقطة على ذلك المستوى‬
‫ا‬

‫مسقط ا على‬
‫المستوى س‬
‫هي ب‬

‫ب‬
‫س‬


Slide 46

‫مسقط قطعة مستقيمة على مستوى معلوم‬
‫ا‬
‫ا‬

‫ب‬

‫ب‬

‫س‬

‫س‬


Slide 47

‫ا‬
‫س‬
‫ب‬
‫س‬

‫مالحظة ‪ :‬طول مسقط القطعة ≤ طول القطعة المستقيمة‬


Slide 48

‫تعريف‬

‫زاوية ميل مستقيم على مستوى هي الزاوية‬
‫بين هذا المستقيم ومسقطه على المستوى ‪.‬‬
‫مسقط ا ب على‬
‫المستوى س‬
‫هو جـ ب‬
‫هـ زاوية ميل اب‬
‫على المستوى س‬

‫ا‬
‫هـ‬
‫ب‬

‫جـ‬


Slide 49

‫تطبيق ‪:‬‬
‫تدريب ص ‪106‬‬
‫من الكتاب المقرر ‪ .‬ثم‬
‫س‪ 1‬ص‪109‬‬


Slide 50

‫نظرية (‪) 4‬‬

‫اذا رسم مستقيم مائل على مستو ٍ وكان عموديا‬
‫على مستقيم في المستوى فان مسقط المستقيم المائل‬
‫على المستوى يكون عموديا ً على هذا المستقيم‬

‫اب ┴ ب د‬
‫ب جـ مسقط اب‬
‫ب جـ ┴ ب د‬

‫ا‬
‫هـ‬

‫ب‬

‫جـ‬

‫د‬


Slide 51

‫عكس‬
‫نظرية (‪) 4‬‬

‫اذا رسم مستقيم مائل على مستو ٍ وكان مسقطه عموديا‬
‫على مستقيم في المستوى فان المستقيم المائل‬
‫على المستوى يكون عموديا ً على هذا المستقيم‬

‫ب جـ ┴ ب د‬
‫ب جـ مسقط اب‬
‫اب┴بد‬

‫ا‬
‫هـ‬

‫ب‬

‫جـ‬

‫د‬


Slide 52

‫مثال‬

‫في الشكل الموضح ا جـ = ‪ 20‬سم ‪ ,‬اد‬
‫┴المستوى اب جـ حيث اد = ‪ 10‬سم‬
‫د ب ┴ ب جـ ‪ ,‬ق ( > اب جـ ) = ‪.30‬أوجدي ‪:‬‬
‫‪ ) 2‬ق (< ا ب د )‬
‫‪ ) 1‬طول ا ب‬

‫‪10‬‬
‫سم‬

‫‪ 20‬سم‬
‫ا‬

‫د‬

‫ب‬

‫‪30‬‬

‫جـ‬


Slide 53

‫البرهان‬
‫‪ (1‬ا د ┴ المستوى ا ب جـ‬
‫ا ب مسقط د ب على المستوى اب جـ‬
‫وبما أن د ب ┴ ب جـ ( نظرية )‬
‫اذاً ا ب ┴ ب جـ‬
‫‪ ∆ ,‬ا ب جـ قائم الزاوية في ب‬
‫ا ب = ½ ا جـ ( مقابل لزاوية ‪) 30‬‬
‫أي ان ا ب = ‪ 10‬سم‬
‫وكذلك ∆د ا ب قائم الزاوية في ا‬
‫( د ب ) ‪ ( = 2‬د ا ) ‪ ( + 2‬ا ب )‪2‬‬
‫‪200 = 100 + 100‬‬
‫د ب = ‪2 10‬‬
‫‪ ) 2‬بما ان ∆ د ا ب قائم الزاوية في ا‬
‫اب = ا د = ‪ 10‬سم‬
‫أي ان ∆ د ا ب قائم الزاوية في ا ومتساوي‬
‫الساقين‬
‫اذا ق ( < ا ب د ) = ‪45‬‬

‫د‬
‫‪10‬‬
‫سم‬

‫‪ 20‬سم‬
‫ا‬

‫ب‬

‫‪30‬‬

‫جـ‬


Slide 54

‫تطبيق ‪:‬‬
‫س ‪ 2‬ص ‪109‬‬
‫من الكتاب المقرر ‪.‬‬