Transcript القطع الناقص - Math
Slide 1
ورشة عمل في البند 7 – 2
وزارة التربية
منطقة العاصمة التعليمية
ثانوية جابر املبارك الصباح
القطع الناقص
للصف الثاني عشر العلمي
الفصل الدراس ي الثاني 2014 - 2015
إعداد وتقديم املعلم :أ .محمد سامر القصار
رئيس القسم:
أ .إبراهيم عيد
املوجه الفني:
أ .عبد الوهاب نور الدين
املوجهة األولى:
أ .حصة العلي
مدير املدرسة:
أ .فاضل الصفار
Slide 2
Slide 3
Slide 4
aأوجد إحداثيات نقاط التقاطع مع محور السينات للمنحنى حيث معادلته:
𝑥2 𝑦2
+
=1
16 16
Let: 𝑦 = 0
𝑥2
=1
16
𝑥 2 = 16
𝑥 = +4 𝑜𝑟 𝑥 = −4
∴ نقط التقاطع مع محور السينات هي4,0 ,(−4,0) :
Slide 5
aأوجد إحداثيات نقاط التقاطع مع محور الصادات للمنحنى حيث معادلته:
𝑥2 𝑦2
+
=1
16 16
Let: 𝑥 = 0
𝑦2
=1
16
𝑦 2 = 16
𝑦 = +4 𝑜𝑟 𝑦 = −4
∴ نقط التقاطع مع محور الصادات هي0,4 ,(0, − 4) :
Slide 6
bعين أربع نقاط أخرى تحقق املعادلة
النقط هي2,2 3 :
−2,2 3
2, −2 3
𝑥2 𝑦2
+
=1
16 16
−2, −2 3
ما شكل املنحنى الذي تتوقع أن تحصل
عليه؟
بضرب املعادلة ب
𝑥 2 + 𝑦 2 = 16
16نجد
املنحنى الذي نتوقع أن نحصل عليه هو دائرة
c
ما إحداثيات نقطة املركز للشكل الذي حصلت عليه؟
إحداثيات نقطة املركز للدائرة هو 0,0ونصف قطرها 4وحدات
Slide 7
aأوجد إحداثيات نقاط التقاطع مع محور السينات للمنحنى حيث معادلته:
𝑥2 𝑦2
+
=1
16 9
Let: 𝑦 = 0
𝑥2
=1
16
𝑥 2 = 16
𝑥 = +4 𝑜𝑟 𝑥 = −4
∴ نقط الطقاطع مع محور السينات هي4,0 ,(−4,0) :
Slide 8
aأوجد إحداثيات نقاط التقاطع مع محور الصادات للمنحنى حيث معادلته:
𝑥2 𝑦2
+
=1
16 9
Let: 𝑥 = 0
𝑦2
=1
9
𝑦2 = 9
𝑦 = +3 𝑜𝑟 𝑦 = −3
∴ نقط الطقاطع مع محور السينات هي0,3 ,(0, − 3) :
Slide 9
bعين أربع نقاط أخرى تحقق املعادلة
3 3
النقط هي3 3 :
2,
2, −
2
2
3 3
−2, −
2
ً
ً
تقريبيا.
ً
وارسم شكال
3 3
−2,
2
𝑥2 𝑦2
+
=1
16 9
Slide 10
لنقارن بين الشكلين.
Slide 11
لنقارن بين الشكلين.
𝑥2 𝑦2
+
=1
16 16
𝑥2 𝑦2
+
=1
16 9
Slide 12
القطع الناقص هو مجموعة كل النقاط في املستوي التي يكون مجموع بعدي
ً
ثابتا(.(2a
كل نقطة منها عن نقطتين ثابتتين(البؤرتان) في املستوي ً
ً
ً
خيطا طوله ثابت ،أحد طرفيه مثبت
ً
لتوضيح تعريف القطع الناقص عمليا ،تخيل
اآلخر مثبت عند البؤرة الثانية ،ويتحرك قلم على الخيط
عند إحدى البؤرتين وطرفه ً
وه ًو مشدود ،فإن املنحنى الذي يرسمه القلم ه ًو قطع ناقص .وإن طولً الخيط ه ًو
مجموع البعدين .𝑑1 ,𝑑2
Slide 13
تسمى النقطتان الثابتتان بؤرتين ،وتسمى نقطة منتصف القطعة املستقيمة الواصلة
ً
ً
ناقصا بؤرتاه ، 𝐹1 ,𝐹2
ً
ً
قطعا
مركز القطع الناقص .يوضح الشكل املقابل
بينهما ً
والبعدان اللذان مجموعهما ثابت هما . 𝑑1 ,𝑑2
Slide 14
وفي القطع ,القطعة املستقيمة املارة بالبؤرتين وطرفاها على القطع تسمى املحو ًر
األكبر للقطع (الرئيس ي) ويسمى طرفاها رأس ي القطع الناقص.
باملركز والعمودية على املحو ًر
ً
والقطعة املستقيمة 𝑄1 𝑄2املارة
األكبر ،ويقع طرفاها على القطع تسمى املحورً األصغر للقطع
ي) .هذان املحوران هما خطا تماثل القطع الناقص،
(الثانو ً
مركز القطع الناقص.
ونقطة تقاطعهما تسمى ً
Slide 15
وهناك عالقة أساسية بين القيم 𝑐 𝑎 ,𝑏 ,يمكن استنتاجها من الشكل حيث
𝐵1 𝐹1 ,𝐵1 𝐹2متساويتان في الطولً ومجموعهما هو 𝒂 ،2أما 𝑂𝐵1فتساويً 𝒃 ،
ي 𝒄.
𝑂𝐹1تساو ً
∴ 𝑎2 = 𝑏2 + 𝑐 2
أو:
وللقطع الناقص دليالن.
𝟐
𝟐
𝟐
𝒃𝒄 =𝒂 −
Slide 16
مثال توضيحي:
الستنتاج معادلة القطع
لنأخذ في املستوى اإلحداثي نقطتان ثابتتان على محور السينات )𝐹2 −𝑐 ,0 ,𝐹1 (𝑐 ,0
والنقطة )𝑦 𝑀(𝑥 ,متحركة بحيث:
)(1
𝑎 ≠ 0 ,𝑐 ≠ 0
+ 𝑦2
2
𝑎𝑀𝐹1 + 𝑀𝐹2 = 2
ثابتتان
𝑐>𝑎
𝑐𝑥−
= 𝑀𝐹2
+ 𝑦2 ,
2
𝑐𝑥+
= 𝑀𝐹1
𝑀𝐹1 2 − 𝑀𝐹2 2 = 𝑥 2 + 2𝑐𝑥 + 𝑐 2 + 𝑦 2 − 𝑥 2 + 2𝑐𝑥 − 𝑐 2 − 𝑦 2
)(2
𝑥𝑐𝑀𝐹1 2 − 𝑀𝐹2 2 = 4
𝑥𝑐𝑀𝐹1 − 𝑀𝐹2 𝑀𝐹1 + 𝑀𝐹2 = 4
𝑥𝑐𝑀𝐹1 − 𝑀𝐹2 (2𝑎) = 4
𝑥𝑐2
= 𝑀𝐹1 + 𝑀𝐹2
)(3
𝑎
Slide 17
من )1 ,(2
نستنتج أن:
𝑎𝑀𝐹1 + 𝑀𝐹2 = 2
𝑥𝑐2
= 𝑀𝐹1 − 𝑀𝐹2
𝑎
𝑥𝑐
𝑥𝑐
𝑀𝐹1 = 𝑎 +
, 𝑀𝐹2 = 𝑎 −
𝑎
𝑎
ثم
𝑀𝐹1 2 = 𝑥 + 𝑐 2 + 𝑦 2
2
𝑥𝑐
لنأخذ
𝑀𝐹1 2 = 𝑎 +
𝑎
2𝑥2
𝑐
فنحصل على:
𝑥 2 + 2𝑐𝑥 + 𝑐 2 + 𝑦 2 = 𝑎2 + 2𝑐𝑥 + 2
𝑎
2𝑥2
𝑐
نضع2 − 𝑐 2 = 𝑏 2 :
𝑥 2 − 2 + 𝑦 2 = 𝑎2 − 𝑐 2
𝑎
𝑎
2 − 𝑐2
𝑥 2𝑏2
𝑎
2 = 𝑏2
2 = 𝑎2 − 𝑐 2
+
𝑦
𝑥2
+
𝑦
→
𝑎2
𝑎2
2
2
𝑥
𝑦
بالقسمة على 2
وهي معادلة القطع
:
على
نحصل
𝑏
+ 2=1
2
𝑏
𝑎 الناقص
Slide 18
)(1
و معادلة القطع الناقص:
𝑎𝑀𝐹1 + 𝑀𝐹2 = 2
+ 𝑦2 ,
2
𝑐𝑥+
= 𝑀𝐹1
+ 𝑦2
2
𝑐𝑥−
= 𝑀𝐹2
𝟐
𝟐
𝒙
𝒚
+
=
𝟏
𝟐𝒃 𝟐𝒂
Slide 19
المعادلة
𝟎>𝒃>𝒂
𝟎>𝒃>𝒂
𝟐𝒚 𝟐 𝒙
+
𝟏=
𝟐𝒃 𝟐𝒂
𝟐𝒚 𝟐 𝒙
+
𝟏=
𝟐𝒂 𝟐𝒃
بيان القطع
طرفا المحور األكبر (الرأسان) 𝑎 𝐴1 −𝑎 , 0 , 𝐴2
ينطبق على محور السينات
المحور األكبر
طول المحور األكبر
طرفا المحور األصغر
𝑎2
𝐵1 0 , −𝑏 , 𝐵2 0
طول المحور األصغر
البؤرتان
العالقة األساسية
معادلة الدليلين
التناظر
𝑎 𝐴1 0 , −𝑎 , 𝐴2 0 ,
ينطبق على محور الصادات
𝑏 𝐵1 −𝑏 , 0 , 𝐵2
𝑏2
𝐹1 0 , −𝑐 , 𝐹2 0
𝐹1 −𝑐 , 0 , 𝐹2 𝑐 , 0
𝑎2 = 𝑏2 + 𝑐 2
𝑎2
𝑎2
𝑦=±
𝑥=±
𝑐
𝑐
القطع الناقص متناظر حول كل من محوريه ومركزه
Slide 20
مثال ()1
𝑥2 𝑦2
+
إذا كانت= 1 :
16 10
معادلة قطع ناقص ،فأوجد:
aرأس ي القطع وطرفي املحور
األصغر.
bالبؤرتين.
c
معادلة دليلي القطع.
d
ً
ً
تقريبيا للقطع.
ً
طول كل من املحورين ثم ارسم شكال
الحل
:
a
معادلة القطع الناقص هي:
واملحور األكبر ينطبق على محور
السيناتالناقص نجد
ومن معادلة القطع
𝑥2 𝑦2
+ 2=1
2
𝑎
𝑏
𝑎2 = 16 ⇒ 𝑎 = 4
أن:
𝑏 2 = 10 ⇒ 𝑏 = 10
رأسا القطع الناقص
هما:
طرفا املحور األصغر هما:
𝐴1 −4 , 0 , 𝐴2 4 , 0
𝐵1 0 , − 10 , 𝐵2 0 , 10
Slide 21
𝑐 2 = 𝑎2 − 𝑏 2
b
𝑐 2 = 16 − 10 = 6
𝑐= 6
البؤرتان:
c
6 ,0
𝑎2
𝑥=−
𝑐
معادلتي الدليلين:
16
8 6
𝑥=−
=−
3
6
d
طول املحور األكبر:
طول املحور
األصغر:
𝐹1 − 6 , 0 , 𝐹2
2𝑎 = 2 × 4 = 8
2𝑏 = 2 10
𝑎2
=𝑥
𝑐
16
8 6
=𝑥
=
3
6
Slide 22
حاول أن تحل()1
إذا كانت:
𝑥2 𝑦2
+
=1
4
9
معادلة قطع ناقص ،فأوجد:
aرأس ي القطع وطرفي املحور
األصغر.
bالبؤرتين.
c
معادلة دليلي القطع.
d
ً
ً
تقريبيا للقطع.
ً
طول كل من املحورين ثم ارسم شكال
الحل
:
a
معادلة القطع الناقص هي:
𝑥2 𝑦2
+ 2=1
2
𝑏
𝑎
واملحور األكبر ينطبق على محور
الصادات
ومن معادلة القطع الناقص نجد
𝑎2 = 9 ⇒ 𝑎 = 3
أن:
𝑏2 = 4 ⇒ 𝑏 = 2
رأسا القطع الناقص
هما:
طرفا املحور األصغر هما:
𝐴1 0 , −3 , 𝐴2 0 , 3
𝐵1 −2 , 0 , 𝐵2 2 , 0
Slide 23
𝑐 2 = 𝑎2 − 𝑏 2
b
𝑐2 = 9 − 4 = 5
𝑐= 5
البؤرتان:
c
𝑎2
=𝑦
𝑐
𝑎2
𝑦=−
𝑐
معادلتي الدليلين:
9
9 5
𝑦=−
=−
5
5
d
𝐹1 0 , − 5 , 𝐹2 0 , 5
طول املحور األكبر:
2𝑎 = 2 × 3 = 6
طول املحور
األصغر:
2𝑏 = 2 × 2 = 4
9
9 5
=𝑦
=
5
5
Slide 24
مثال ()2
أوجد معادلة القطع الناقص الذي بؤرتاه 𝐹1 0 , −3 , 𝐹2 0 , 3
ً
ً
وطول محوره األصغر ،4ثم ارسم شكال تقريبيا لهذا
القطع.
الحل
:تقع البؤرتان على محور الصادات فتكون املعادلة على الصورة
𝑥2 𝑦2
+ 2=1
2
𝑏
𝑎
وتكونً 𝑐 = 3طول املحور األصغر = 4
𝑏=2
⇒
2𝑏 = 4
طرفا املحور األصغر −2 , 0 , 2 , 0
∴ 𝑏2 = 4
𝑐 2 = 𝑎2 − 𝑏 2
⇒ 𝑎2 = 13
معادلة القطع الناقص هي:
𝑥2 𝑦2
+
=1
4 13
9 = 𝑎2 − 4
Slide 25
حاول أن تحل()2
أوجد معادلة القطع الناقص الذي بؤرتاه𝐹1 −2 , 0 , 𝐹2 2 , 0
ً
ً
وطول محوره األكبر ،6وارسم شكال تقريبيا لهذا القطع.
الحل
:تقع البؤرتان على محور السينات فتكون املعادلة على الصورة
𝑥2 𝑦2
+ 2=1
2
𝑎
𝑏
وتكونً 𝑐 = 2طول املحور األكبر = 6
𝑎=3
طرفا املحور األكبر
2𝑎 = 6
⇒
−3 , 0 , 3 , 0
∴ 𝑎2 = 9
𝑏 2 = 𝑎2 − 𝑐 2
⇒ 𝑏2 = 5
معادلة القطع الناقص هي:
𝑥2 𝑦2
+
=1
9
5
𝑏2 = 9 − 4
Slide 26
مثال ()3
أوجد البؤرتين والرأسين وطول املحور األكبر للقطع الناقص الذي معادلته:
الحل
:
قسمة طرفي املعادلة على 400
25𝑥 2 + 16𝑦 2 − 400 = 0
25𝑥 2 + 16𝑦 2 − 400 = 0
25𝑥 2 + 16𝑦 2 = 400
25𝑥 2 16𝑦 2 400
+
=
400
400
400
𝑥2 𝑦2
+
=1
16 25
𝑎2 = 25 ⇒ 𝑎 = 5
𝑏 2 = 16 ⇒ 𝑏 = 4
∴ 𝑐 2 = 25 − 16 ⇒ 𝑐 2 = 9 ⇒ 𝑐 = 3
البؤرتان على محور الصادات 𝐹1 0 , −3 , 𝐹2 0 , 3
الرأسان على محور الصادات 𝐵1 0 , −5 , 𝐵2 0 , 5
طول املحور األكبر هو 𝑎 2فيكو ًن2𝑎 = 2 × 5 = 10 :
𝑐2
= 𝑎2 − 𝑏 2
Slide 27
حاول أن تحل()3
أوجد البؤرتين والرأسين وطول املحور األكبر للقطع الناقص الذي معادلته:
𝑥 2 + 4𝑦 2 = 16
𝑥 2 + 4𝑦 2 = 16
الحل
:
𝑥 2 4𝑦 2 16
+
=
16 16
16
𝑥2 𝑦2
+
=1
16 4
قسمة طرفي املعادلة على 16
𝑎2 = 16 ⇒ 𝑎 = 4
𝑏2 = 4 ⇒ 𝑏 = 2
𝑐=2 3
⇒
⇒ 𝑐 2 = 12
𝑐2
2
2
=
𝑎
−
𝑏
2
∴ 𝑐 = 16 − 4
البؤرتان على محور السينات
𝐹1 −2 3 , 0 , 𝐹2 2 3 , 0
الرأسان على محور السينات
𝐵1 −4 , 0 , 𝐵2 4 , 0
طول املحور األكبر هو 𝑎 2فيكو ًن:
2𝑎 = 2 × 4 = 8
Slide 28
مثال ()4
أوجد معادلة قطع ناقص مركزه نقطة االصل ومحوره األكبر ينطبق على
محور السينات ًو طول محوره األكبر 𝑚𝑐 12واملسافة بين البؤرتين
𝑚𝑐.8
الحل
:طول محوره األكبر هو
𝑚𝑐12
∴ 2𝑎 = 12 ⇒ 𝑎 = 6
املسافة بين البؤرتين 𝑚𝑐8
∴ 2𝑐 = 8 ⇒ 𝑐 = 4
ولكن
c 2 = a2 − b2
𝑏 2 = 𝑎2 − 𝑐 2 = 62 − 42 = 36 − 16 = 20
معادلة القطع الناقص هي:
𝑥2 𝑦2
+ 2=1
2
𝑎
𝑏
بالتعويض نحصل على املعادلة:
𝑥2 𝑦2
+
=1
36 20
Slide 29
حاول أن تحل()4
أوجد معادلة قطع ناقص إذا كان طول محوره األكبر 𝑚𝑐16
األكبر
ً
𝑚𝑐.10نقطة االصل و محوره
واملسافة بين البؤرتين ومركزه
ينطبق على محور السينات
الحل
:طول محوره األكبر هو
𝑚𝑐16
∴ 2𝑎 = 16 ⇒ 𝑎 = 8
املسافة بين البؤرتين 𝑚𝑐10
∴ 2𝑐 = 10 ⇒ 𝑐 = 5
ولكن
c 2 = a2 − b2
𝑏 2 = 𝑎2 − 𝑐 2 = 82 − 52 = 64 − 25 = 39
معادلة القطع الناقص هي:
𝑥2 𝑦2
+ 2=1
2
𝑎
𝑏
بالتعويض نحصل على املعادلة:
𝑥2 𝑦2
+
=1
64 39
Slide 30
مثال ()5
الحل
:
أوجد معادلة القطع الناقص الذي مركزه نقطة االصل ًو إحدى
بؤرتيه 𝐹 2 , 0ويمر بالنقطة 𝐴 2 , 1
البؤرة 𝐹 2 ,0تقع على محور السينات
4𝑏 2 + 𝑎2
=1
2
2
𝑏 𝑎
4𝑏 2 + 𝑏 2 + 4 = 𝑏 2 𝑏 2 + 4
)(2
4𝑏 2 + 𝑎2 = 𝑎2 𝑏 2
معادلة القطع الناقص الذي مركزه
نقطة األصل هي:
2
2
𝑥
𝑦
+ 2=1
2
𝑎
𝑏
𝑐 2 = 𝑎2 − 𝑏 2
𝑏4 − 𝑏2 − 4 = 0
2 2 = 𝑎2 − 𝑏2
𝑎2 = 𝑏 2 + 4
)(1
1 + 17
2
= 𝑏
القطع الناقص يمر بالنقطة
2
𝐴 2 ,1
4
1
9 + 17
2
+
=
1
= 𝑎
𝑎2 𝑏 2
2
2𝑥 2
2𝑦 2
+
ًومعادلة القطع الناقص هي= 1 :
9 + 17 1 + 17
Slide 31
الحل بطريقة
ثانية:
البؤرة 𝐹1 2 ,0تقع على محور السينات
ويمر بالنقطة
𝐴 2 ,1
فتكون البؤرة الثانية 𝐹2 −2 ,0
+ (0 − 1)2 = 1
2
2
2−2
= A𝐹1
+ (0 − 1)2 = 17
1 + 17
= 2.56
= 𝑎 ⇒ 2𝑎=A𝐹1 +𝐴𝐹2 = 1 + 17
2
2 = 6.56
𝑎
⇒
c 2 = a2 − b2 ⇒ b2 = 𝑎2 − c 2
= 6.56 − 4 = 2.56
ًومعادلة القطع الناقص هي:
𝑥2
𝑦2
+
=1
6.56 2.56
−2 − 2
⇒
= 𝐴𝐹2
𝑥2 𝑦2
+ 2=1
2
𝑎
𝑏
Slide 32
حاول أن تحل()5
الحل
:
أوجد معادلة القطع الناقص الذي مركزه نقطة االصل ومحوره
األصغر أفقي طوله ويمر
𝑚𝑐10بالنقطة 𝐴 2 , 2 6
املحور األصغر أفقي طوله 𝑚𝑐10
∴ 2𝑏 = 10 ⇒ 𝑏 = 5
معادلة القطع الناقص الذي مركزه نقطة األصل هي:
𝑥2 𝑦2
+ 2=1
2
𝑏
𝑎
القطع الناقص يمر بالنقطة
𝐴 2 ,2 6
4 24
+ 2=1
𝑎 25
24
4
200
2
=1−
= 𝑎 ⇒
2
𝑎
25
7
𝑥 2 7𝑦 2
ًومعادلة القطع الناقص هي:
+
=1
25 200
Slide 33
ً
ً
ل
عندما ندو ًر
ر
ناقصا في فراغ ثالثي األبعاد حو ً محو ه األكبر ،فإن القطع الناقص
ً
ً
قطعا
ً
سطحا ملجسم قطع ناقص.
ً
ُينتج
ويمر خالل البؤرة
فالضوء أ ًو الصوت املنبعث من إحدى البؤرتين سينعكس عند السطح ً
األخرىً.
كذلك تحتويً متاحف العلوم على صاالت عرض للهمس تعمل بهذا املبدأ ،إذا همس
ى أن يسمعه
شخص يقف في إحدى البؤرتين ،فيمكن للشخص الذي يقف في البؤرة األخر ً
يدير له ظهره.
بسهولة ،حتى إذا كان املتحدث ً
Slide 34
هناك تطبيق طبي ،أيضاً ،في عالج حصوات الكلى.
يبعث جهاز تفتيت الحصوات بموجات صدمية فائقة
التردد من إحدى البؤرتين وتمر الموجات الصدمية
عبر حصوات كلية المريض في البؤرة الثانية
وتفتتها.
Slide 35
مثال ()6
للقطع الناقص الذي يولد السطح الناقص لجهاز تفتيت الحصوات ،محور أكبر نقطتاه
الطرفيتان
𝐴 −6 , 0 , 𝐴 6 , 0
2
ومحور أصغر إحدى نقطتيه
الطرفيتين
الحل
:من املعلومات املعطاة نجد
أن:
1
𝐵1 0 , −2.5أوجد إحداثيات البؤرتين.
𝑎 = 6 , 𝑏 = 2.5ومركزه )(0 , 0
𝑐 2 = 𝑎2 − 𝑏 2
𝑎2 − 𝑏 2
=𝑐
62 − 2.52
=
≈ 5.454
البؤرتان هما بالتقريب
النقطتان
𝐹1 −5.45 , 0 , 𝐹2 5.45 , 0
Slide 36
حاول أن تحل()6
يتولد املجسم الناقص ألحد أجهزة تفتيت الحصوات ،من دوران قطع ناقص نقطتا طرفي
محوره األكبر
𝐴 −8 , 0 , 𝐴 8 , 0
2
إذا كانت إحدى نقطتي طرفي محوره
األصغر
الحل
:من املعلومات املعطاة نجد
أن:
1
𝐵1 0 , 3.5فأوجد إحداثيات البؤرتين.
𝑎 = 8 , 𝑏 = 3.5ومركزه )(0 , 0
𝑐 2 = 𝑎2 − 𝑏 2
𝑎2 − 𝑏 2
=𝑐
82 − 3.52
=
≈ 7.194
البؤرتان هما بالتقريب
النقطتان
𝐹1 −7.19 , 0 , 𝐹2 7.19 , 0
Slide 37
مثال ()7
ملتابعة الهمس في الصاالت البيضاوية الشكل فإن الصوت الذي ينطلق من بؤرة
يمكن االستماع إليه بشكل تام في البؤرة الثانية.
Slide 38
مثال ()7
على افتراض أن إحدى الصاالت الكبرىً مبنية على هذا الشكل البيضاويً
طولي محوريها 𝑚. 46𝑚 ,98
على أي مسافة من مصدر الصوت يجب أن يكون موقع
شخص ليتكمن من سماعه بشكل واضح؟
الحل
:
مصدر الصوت عند إحدى البؤرتين
يجب أن يقف الشخص عند البؤرة األخرى حتى يسمع الصوت بوضوح
ً
ً
الشكل البيضاوي للصالة يمثل قطعا ناقصا له محور أكبر طوله 𝑚98
2𝑎 = 98 ⇒ 𝑎 = 49
= 1872
2
− 23
2
2𝑏 = 46 ⇒ 𝑏 = 23
𝑐 2 = 𝑎2 − 𝑏 2 ⇒ 𝑐 2 = 49
𝑐 ≈ 43.267
واملسافة بين البؤرتين هي:
2𝑐 ≈ 86.5
ً
يجب أن يكون موقع الشخص على بعد 𝑚 86.5تقريبا من مصدر الصوت.
Slide 39
حاول أن تحل()7
من املثال السابق على افتراض أن الصالة بيضاوية الشكل طولي محوريها 𝑚. 36𝑚 ,78
على أي مسافة من مصدر الصوت يجب أن يكون موقع شخص ليتكمن من سماع الصوت
املنطلق بشكل واضح؟
الحل
:مصدر الصوت عند إحدى البؤرتين
يجب أن يقف الشخص عند البؤرة األخرى حتى يسمع الصوت بوضوح
ً
ً
الشكل البيضاوي للصالة يمثل قطعا ناقصا له محور أكبر طوله 𝑚98
2𝑎 = 78 ⇒ 𝑎 = 39
= 1197
2
− 18
2
2𝑏 = 36 ⇒ 𝑏 = 18
𝑐 2 = 𝑎2 − 𝑏 2 ⇒ 𝑐 2 = 39
𝑐 ≈ 34.598
واملسافة بين البؤرتين هي:
2𝑐 ≈ 69.2
ً
يجب أن يكون موقع الشخص على بعد 𝑚 69.2تقريبا من مصدر الصوت.
Slide 40
تتحرك كواكب املجموعة الشمسية في مدارات على شكل قطع ناقص حيث إن
الشمس هي إحدى بؤرتيه.
Slide 41
Slide 42
مثال ()8
على افتراض أن املحور األكبر أفقي و طوله حوالي 𝑚𝑘 1.52 × 108و املحور األصغر
طوله حوالي 𝑚𝑘 .1.48 × 108
ما املسافة بين الشمس و البؤرة الثانية؟
الحل
:
املدار على شكل قطع ناقص طول املحور األكبر 𝑚𝑘 1.52 × 108
∴ 2𝑎 = 1.52 × 108 ⇒ 𝑎 = 0.76 × 108 = 76 × 106
∴ 2𝑏 = 1.48 × 108 ⇒ 𝑏 = 0.74 × 108 = 74 × 106
2
− 74 × 106
2
𝑐 2 = 𝑎2 − 𝑏 2 ⇒ 𝑐 2 = 76 × 106
= 300 × 1012
𝑐 ≈ 17.3 × 106
2𝑐 ≈ 34.6 × 106
أي أن املسافة بين الشمس و البؤرة الثانية هي 𝑚𝑘 34.6 × 106
Slide 43
حاول أن تحل()8
إذا كان الكوكب املقصود في املثال )(8هو كوكب االرض ,اكتب معادلة تمثل حركة كوكب
االرض حول الشمس
الحل
معادلة القطع الناقص الذي مركزه نقطة األصل هي:
:
𝑥2 𝑦2
+ 2=1
2
𝑎
𝑏
𝑎 = 76 × 106 ⇒ 𝑎2 =5.7× 1015
𝑏 = 74 × 106 ⇒ 𝑏 2 =5.4 × 1015
𝑥2
𝑦2
+
=1
15
15
5.7 × 10
5.4 × 10
Slide 44
ورشة عمل في البند 7 – 2
وزارة التربية
منطقة العاصمة التعليمية
ثانوية جابر املبارك الصباح
القطع الناقص
للصف الثاني عشر العلمي
الفصل الدراس ي الثاني 2014 - 2015
إعداد وتقديم املعلم :أ .محمد سامر القصار
رئيس القسم:
أ .إبراهيم عيد
املوجه الفني:
أ .عبد الوهاب نور الدين
املوجهة األولى:
أ .حصة العلي
مدير املدرسة:
أ .فاضل الصفار
Slide 2
Slide 3
Slide 4
aأوجد إحداثيات نقاط التقاطع مع محور السينات للمنحنى حيث معادلته:
𝑥2 𝑦2
+
=1
16 16
Let: 𝑦 = 0
𝑥2
=1
16
𝑥 2 = 16
𝑥 = +4 𝑜𝑟 𝑥 = −4
∴ نقط التقاطع مع محور السينات هي4,0 ,(−4,0) :
Slide 5
aأوجد إحداثيات نقاط التقاطع مع محور الصادات للمنحنى حيث معادلته:
𝑥2 𝑦2
+
=1
16 16
Let: 𝑥 = 0
𝑦2
=1
16
𝑦 2 = 16
𝑦 = +4 𝑜𝑟 𝑦 = −4
∴ نقط التقاطع مع محور الصادات هي0,4 ,(0, − 4) :
Slide 6
bعين أربع نقاط أخرى تحقق املعادلة
النقط هي2,2 3 :
−2,2 3
2, −2 3
𝑥2 𝑦2
+
=1
16 16
−2, −2 3
ما شكل املنحنى الذي تتوقع أن تحصل
عليه؟
بضرب املعادلة ب
𝑥 2 + 𝑦 2 = 16
16نجد
املنحنى الذي نتوقع أن نحصل عليه هو دائرة
c
ما إحداثيات نقطة املركز للشكل الذي حصلت عليه؟
إحداثيات نقطة املركز للدائرة هو 0,0ونصف قطرها 4وحدات
Slide 7
aأوجد إحداثيات نقاط التقاطع مع محور السينات للمنحنى حيث معادلته:
𝑥2 𝑦2
+
=1
16 9
Let: 𝑦 = 0
𝑥2
=1
16
𝑥 2 = 16
𝑥 = +4 𝑜𝑟 𝑥 = −4
∴ نقط الطقاطع مع محور السينات هي4,0 ,(−4,0) :
Slide 8
aأوجد إحداثيات نقاط التقاطع مع محور الصادات للمنحنى حيث معادلته:
𝑥2 𝑦2
+
=1
16 9
Let: 𝑥 = 0
𝑦2
=1
9
𝑦2 = 9
𝑦 = +3 𝑜𝑟 𝑦 = −3
∴ نقط الطقاطع مع محور السينات هي0,3 ,(0, − 3) :
Slide 9
bعين أربع نقاط أخرى تحقق املعادلة
3 3
النقط هي3 3 :
2,
2, −
2
2
3 3
−2, −
2
ً
ً
تقريبيا.
ً
وارسم شكال
3 3
−2,
2
𝑥2 𝑦2
+
=1
16 9
Slide 10
لنقارن بين الشكلين.
Slide 11
لنقارن بين الشكلين.
𝑥2 𝑦2
+
=1
16 16
𝑥2 𝑦2
+
=1
16 9
Slide 12
القطع الناقص هو مجموعة كل النقاط في املستوي التي يكون مجموع بعدي
ً
ثابتا(.(2a
كل نقطة منها عن نقطتين ثابتتين(البؤرتان) في املستوي ً
ً
ً
خيطا طوله ثابت ،أحد طرفيه مثبت
ً
لتوضيح تعريف القطع الناقص عمليا ،تخيل
اآلخر مثبت عند البؤرة الثانية ،ويتحرك قلم على الخيط
عند إحدى البؤرتين وطرفه ً
وه ًو مشدود ،فإن املنحنى الذي يرسمه القلم ه ًو قطع ناقص .وإن طولً الخيط ه ًو
مجموع البعدين .𝑑1 ,𝑑2
Slide 13
تسمى النقطتان الثابتتان بؤرتين ،وتسمى نقطة منتصف القطعة املستقيمة الواصلة
ً
ً
ناقصا بؤرتاه ، 𝐹1 ,𝐹2
ً
ً
قطعا
مركز القطع الناقص .يوضح الشكل املقابل
بينهما ً
والبعدان اللذان مجموعهما ثابت هما . 𝑑1 ,𝑑2
Slide 14
وفي القطع ,القطعة املستقيمة املارة بالبؤرتين وطرفاها على القطع تسمى املحو ًر
األكبر للقطع (الرئيس ي) ويسمى طرفاها رأس ي القطع الناقص.
باملركز والعمودية على املحو ًر
ً
والقطعة املستقيمة 𝑄1 𝑄2املارة
األكبر ،ويقع طرفاها على القطع تسمى املحورً األصغر للقطع
ي) .هذان املحوران هما خطا تماثل القطع الناقص،
(الثانو ً
مركز القطع الناقص.
ونقطة تقاطعهما تسمى ً
Slide 15
وهناك عالقة أساسية بين القيم 𝑐 𝑎 ,𝑏 ,يمكن استنتاجها من الشكل حيث
𝐵1 𝐹1 ,𝐵1 𝐹2متساويتان في الطولً ومجموعهما هو 𝒂 ،2أما 𝑂𝐵1فتساويً 𝒃 ،
ي 𝒄.
𝑂𝐹1تساو ً
∴ 𝑎2 = 𝑏2 + 𝑐 2
أو:
وللقطع الناقص دليالن.
𝟐
𝟐
𝟐
𝒃𝒄 =𝒂 −
Slide 16
مثال توضيحي:
الستنتاج معادلة القطع
لنأخذ في املستوى اإلحداثي نقطتان ثابتتان على محور السينات )𝐹2 −𝑐 ,0 ,𝐹1 (𝑐 ,0
والنقطة )𝑦 𝑀(𝑥 ,متحركة بحيث:
)(1
𝑎 ≠ 0 ,𝑐 ≠ 0
+ 𝑦2
2
𝑎𝑀𝐹1 + 𝑀𝐹2 = 2
ثابتتان
𝑐>𝑎
𝑐𝑥−
= 𝑀𝐹2
+ 𝑦2 ,
2
𝑐𝑥+
= 𝑀𝐹1
𝑀𝐹1 2 − 𝑀𝐹2 2 = 𝑥 2 + 2𝑐𝑥 + 𝑐 2 + 𝑦 2 − 𝑥 2 + 2𝑐𝑥 − 𝑐 2 − 𝑦 2
)(2
𝑥𝑐𝑀𝐹1 2 − 𝑀𝐹2 2 = 4
𝑥𝑐𝑀𝐹1 − 𝑀𝐹2 𝑀𝐹1 + 𝑀𝐹2 = 4
𝑥𝑐𝑀𝐹1 − 𝑀𝐹2 (2𝑎) = 4
𝑥𝑐2
= 𝑀𝐹1 + 𝑀𝐹2
)(3
𝑎
Slide 17
من )1 ,(2
نستنتج أن:
𝑎𝑀𝐹1 + 𝑀𝐹2 = 2
𝑥𝑐2
= 𝑀𝐹1 − 𝑀𝐹2
𝑎
𝑥𝑐
𝑥𝑐
𝑀𝐹1 = 𝑎 +
, 𝑀𝐹2 = 𝑎 −
𝑎
𝑎
ثم
𝑀𝐹1 2 = 𝑥 + 𝑐 2 + 𝑦 2
2
𝑥𝑐
لنأخذ
𝑀𝐹1 2 = 𝑎 +
𝑎
2𝑥2
𝑐
فنحصل على:
𝑥 2 + 2𝑐𝑥 + 𝑐 2 + 𝑦 2 = 𝑎2 + 2𝑐𝑥 + 2
𝑎
2𝑥2
𝑐
نضع2 − 𝑐 2 = 𝑏 2 :
𝑥 2 − 2 + 𝑦 2 = 𝑎2 − 𝑐 2
𝑎
𝑎
2 − 𝑐2
𝑥 2𝑏2
𝑎
2 = 𝑏2
2 = 𝑎2 − 𝑐 2
+
𝑦
𝑥2
+
𝑦
→
𝑎2
𝑎2
2
2
𝑥
𝑦
بالقسمة على 2
وهي معادلة القطع
:
على
نحصل
𝑏
+ 2=1
2
𝑏
𝑎 الناقص
Slide 18
)(1
و معادلة القطع الناقص:
𝑎𝑀𝐹1 + 𝑀𝐹2 = 2
+ 𝑦2 ,
2
𝑐𝑥+
= 𝑀𝐹1
+ 𝑦2
2
𝑐𝑥−
= 𝑀𝐹2
𝟐
𝟐
𝒙
𝒚
+
=
𝟏
𝟐𝒃 𝟐𝒂
Slide 19
المعادلة
𝟎>𝒃>𝒂
𝟎>𝒃>𝒂
𝟐𝒚 𝟐 𝒙
+
𝟏=
𝟐𝒃 𝟐𝒂
𝟐𝒚 𝟐 𝒙
+
𝟏=
𝟐𝒂 𝟐𝒃
بيان القطع
طرفا المحور األكبر (الرأسان) 𝑎 𝐴1 −𝑎 , 0 , 𝐴2
ينطبق على محور السينات
المحور األكبر
طول المحور األكبر
طرفا المحور األصغر
𝑎2
𝐵1 0 , −𝑏 , 𝐵2 0
طول المحور األصغر
البؤرتان
العالقة األساسية
معادلة الدليلين
التناظر
𝑎 𝐴1 0 , −𝑎 , 𝐴2 0 ,
ينطبق على محور الصادات
𝑏 𝐵1 −𝑏 , 0 , 𝐵2
𝑏2
𝐹1 0 , −𝑐 , 𝐹2 0
𝐹1 −𝑐 , 0 , 𝐹2 𝑐 , 0
𝑎2 = 𝑏2 + 𝑐 2
𝑎2
𝑎2
𝑦=±
𝑥=±
𝑐
𝑐
القطع الناقص متناظر حول كل من محوريه ومركزه
Slide 20
مثال ()1
𝑥2 𝑦2
+
إذا كانت= 1 :
16 10
معادلة قطع ناقص ،فأوجد:
aرأس ي القطع وطرفي املحور
األصغر.
bالبؤرتين.
c
معادلة دليلي القطع.
d
ً
ً
تقريبيا للقطع.
ً
طول كل من املحورين ثم ارسم شكال
الحل
:
a
معادلة القطع الناقص هي:
واملحور األكبر ينطبق على محور
السيناتالناقص نجد
ومن معادلة القطع
𝑥2 𝑦2
+ 2=1
2
𝑎
𝑏
𝑎2 = 16 ⇒ 𝑎 = 4
أن:
𝑏 2 = 10 ⇒ 𝑏 = 10
رأسا القطع الناقص
هما:
طرفا املحور األصغر هما:
𝐴1 −4 , 0 , 𝐴2 4 , 0
𝐵1 0 , − 10 , 𝐵2 0 , 10
Slide 21
𝑐 2 = 𝑎2 − 𝑏 2
b
𝑐 2 = 16 − 10 = 6
𝑐= 6
البؤرتان:
c
6 ,0
𝑎2
𝑥=−
𝑐
معادلتي الدليلين:
16
8 6
𝑥=−
=−
3
6
d
طول املحور األكبر:
طول املحور
األصغر:
𝐹1 − 6 , 0 , 𝐹2
2𝑎 = 2 × 4 = 8
2𝑏 = 2 10
𝑎2
=𝑥
𝑐
16
8 6
=𝑥
=
3
6
Slide 22
حاول أن تحل()1
إذا كانت:
𝑥2 𝑦2
+
=1
4
9
معادلة قطع ناقص ،فأوجد:
aرأس ي القطع وطرفي املحور
األصغر.
bالبؤرتين.
c
معادلة دليلي القطع.
d
ً
ً
تقريبيا للقطع.
ً
طول كل من املحورين ثم ارسم شكال
الحل
:
a
معادلة القطع الناقص هي:
𝑥2 𝑦2
+ 2=1
2
𝑏
𝑎
واملحور األكبر ينطبق على محور
الصادات
ومن معادلة القطع الناقص نجد
𝑎2 = 9 ⇒ 𝑎 = 3
أن:
𝑏2 = 4 ⇒ 𝑏 = 2
رأسا القطع الناقص
هما:
طرفا املحور األصغر هما:
𝐴1 0 , −3 , 𝐴2 0 , 3
𝐵1 −2 , 0 , 𝐵2 2 , 0
Slide 23
𝑐 2 = 𝑎2 − 𝑏 2
b
𝑐2 = 9 − 4 = 5
𝑐= 5
البؤرتان:
c
𝑎2
=𝑦
𝑐
𝑎2
𝑦=−
𝑐
معادلتي الدليلين:
9
9 5
𝑦=−
=−
5
5
d
𝐹1 0 , − 5 , 𝐹2 0 , 5
طول املحور األكبر:
2𝑎 = 2 × 3 = 6
طول املحور
األصغر:
2𝑏 = 2 × 2 = 4
9
9 5
=𝑦
=
5
5
Slide 24
مثال ()2
أوجد معادلة القطع الناقص الذي بؤرتاه 𝐹1 0 , −3 , 𝐹2 0 , 3
ً
ً
وطول محوره األصغر ،4ثم ارسم شكال تقريبيا لهذا
القطع.
الحل
:تقع البؤرتان على محور الصادات فتكون املعادلة على الصورة
𝑥2 𝑦2
+ 2=1
2
𝑏
𝑎
وتكونً 𝑐 = 3طول املحور األصغر = 4
𝑏=2
⇒
2𝑏 = 4
طرفا املحور األصغر −2 , 0 , 2 , 0
∴ 𝑏2 = 4
𝑐 2 = 𝑎2 − 𝑏 2
⇒ 𝑎2 = 13
معادلة القطع الناقص هي:
𝑥2 𝑦2
+
=1
4 13
9 = 𝑎2 − 4
Slide 25
حاول أن تحل()2
أوجد معادلة القطع الناقص الذي بؤرتاه𝐹1 −2 , 0 , 𝐹2 2 , 0
ً
ً
وطول محوره األكبر ،6وارسم شكال تقريبيا لهذا القطع.
الحل
:تقع البؤرتان على محور السينات فتكون املعادلة على الصورة
𝑥2 𝑦2
+ 2=1
2
𝑎
𝑏
وتكونً 𝑐 = 2طول املحور األكبر = 6
𝑎=3
طرفا املحور األكبر
2𝑎 = 6
⇒
−3 , 0 , 3 , 0
∴ 𝑎2 = 9
𝑏 2 = 𝑎2 − 𝑐 2
⇒ 𝑏2 = 5
معادلة القطع الناقص هي:
𝑥2 𝑦2
+
=1
9
5
𝑏2 = 9 − 4
Slide 26
مثال ()3
أوجد البؤرتين والرأسين وطول املحور األكبر للقطع الناقص الذي معادلته:
الحل
:
قسمة طرفي املعادلة على 400
25𝑥 2 + 16𝑦 2 − 400 = 0
25𝑥 2 + 16𝑦 2 − 400 = 0
25𝑥 2 + 16𝑦 2 = 400
25𝑥 2 16𝑦 2 400
+
=
400
400
400
𝑥2 𝑦2
+
=1
16 25
𝑎2 = 25 ⇒ 𝑎 = 5
𝑏 2 = 16 ⇒ 𝑏 = 4
∴ 𝑐 2 = 25 − 16 ⇒ 𝑐 2 = 9 ⇒ 𝑐 = 3
البؤرتان على محور الصادات 𝐹1 0 , −3 , 𝐹2 0 , 3
الرأسان على محور الصادات 𝐵1 0 , −5 , 𝐵2 0 , 5
طول املحور األكبر هو 𝑎 2فيكو ًن2𝑎 = 2 × 5 = 10 :
𝑐2
= 𝑎2 − 𝑏 2
Slide 27
حاول أن تحل()3
أوجد البؤرتين والرأسين وطول املحور األكبر للقطع الناقص الذي معادلته:
𝑥 2 + 4𝑦 2 = 16
𝑥 2 + 4𝑦 2 = 16
الحل
:
𝑥 2 4𝑦 2 16
+
=
16 16
16
𝑥2 𝑦2
+
=1
16 4
قسمة طرفي املعادلة على 16
𝑎2 = 16 ⇒ 𝑎 = 4
𝑏2 = 4 ⇒ 𝑏 = 2
𝑐=2 3
⇒
⇒ 𝑐 2 = 12
𝑐2
2
2
=
𝑎
−
𝑏
2
∴ 𝑐 = 16 − 4
البؤرتان على محور السينات
𝐹1 −2 3 , 0 , 𝐹2 2 3 , 0
الرأسان على محور السينات
𝐵1 −4 , 0 , 𝐵2 4 , 0
طول املحور األكبر هو 𝑎 2فيكو ًن:
2𝑎 = 2 × 4 = 8
Slide 28
مثال ()4
أوجد معادلة قطع ناقص مركزه نقطة االصل ومحوره األكبر ينطبق على
محور السينات ًو طول محوره األكبر 𝑚𝑐 12واملسافة بين البؤرتين
𝑚𝑐.8
الحل
:طول محوره األكبر هو
𝑚𝑐12
∴ 2𝑎 = 12 ⇒ 𝑎 = 6
املسافة بين البؤرتين 𝑚𝑐8
∴ 2𝑐 = 8 ⇒ 𝑐 = 4
ولكن
c 2 = a2 − b2
𝑏 2 = 𝑎2 − 𝑐 2 = 62 − 42 = 36 − 16 = 20
معادلة القطع الناقص هي:
𝑥2 𝑦2
+ 2=1
2
𝑎
𝑏
بالتعويض نحصل على املعادلة:
𝑥2 𝑦2
+
=1
36 20
Slide 29
حاول أن تحل()4
أوجد معادلة قطع ناقص إذا كان طول محوره األكبر 𝑚𝑐16
األكبر
ً
𝑚𝑐.10نقطة االصل و محوره
واملسافة بين البؤرتين ومركزه
ينطبق على محور السينات
الحل
:طول محوره األكبر هو
𝑚𝑐16
∴ 2𝑎 = 16 ⇒ 𝑎 = 8
املسافة بين البؤرتين 𝑚𝑐10
∴ 2𝑐 = 10 ⇒ 𝑐 = 5
ولكن
c 2 = a2 − b2
𝑏 2 = 𝑎2 − 𝑐 2 = 82 − 52 = 64 − 25 = 39
معادلة القطع الناقص هي:
𝑥2 𝑦2
+ 2=1
2
𝑎
𝑏
بالتعويض نحصل على املعادلة:
𝑥2 𝑦2
+
=1
64 39
Slide 30
مثال ()5
الحل
:
أوجد معادلة القطع الناقص الذي مركزه نقطة االصل ًو إحدى
بؤرتيه 𝐹 2 , 0ويمر بالنقطة 𝐴 2 , 1
البؤرة 𝐹 2 ,0تقع على محور السينات
4𝑏 2 + 𝑎2
=1
2
2
𝑏 𝑎
4𝑏 2 + 𝑏 2 + 4 = 𝑏 2 𝑏 2 + 4
)(2
4𝑏 2 + 𝑎2 = 𝑎2 𝑏 2
معادلة القطع الناقص الذي مركزه
نقطة األصل هي:
2
2
𝑥
𝑦
+ 2=1
2
𝑎
𝑏
𝑐 2 = 𝑎2 − 𝑏 2
𝑏4 − 𝑏2 − 4 = 0
2 2 = 𝑎2 − 𝑏2
𝑎2 = 𝑏 2 + 4
)(1
1 + 17
2
= 𝑏
القطع الناقص يمر بالنقطة
2
𝐴 2 ,1
4
1
9 + 17
2
+
=
1
= 𝑎
𝑎2 𝑏 2
2
2𝑥 2
2𝑦 2
+
ًومعادلة القطع الناقص هي= 1 :
9 + 17 1 + 17
Slide 31
الحل بطريقة
ثانية:
البؤرة 𝐹1 2 ,0تقع على محور السينات
ويمر بالنقطة
𝐴 2 ,1
فتكون البؤرة الثانية 𝐹2 −2 ,0
+ (0 − 1)2 = 1
2
2
2−2
= A𝐹1
+ (0 − 1)2 = 17
1 + 17
= 2.56
= 𝑎 ⇒ 2𝑎=A𝐹1 +𝐴𝐹2 = 1 + 17
2
2 = 6.56
𝑎
⇒
c 2 = a2 − b2 ⇒ b2 = 𝑎2 − c 2
= 6.56 − 4 = 2.56
ًومعادلة القطع الناقص هي:
𝑥2
𝑦2
+
=1
6.56 2.56
−2 − 2
⇒
= 𝐴𝐹2
𝑥2 𝑦2
+ 2=1
2
𝑎
𝑏
Slide 32
حاول أن تحل()5
الحل
:
أوجد معادلة القطع الناقص الذي مركزه نقطة االصل ومحوره
األصغر أفقي طوله ويمر
𝑚𝑐10بالنقطة 𝐴 2 , 2 6
املحور األصغر أفقي طوله 𝑚𝑐10
∴ 2𝑏 = 10 ⇒ 𝑏 = 5
معادلة القطع الناقص الذي مركزه نقطة األصل هي:
𝑥2 𝑦2
+ 2=1
2
𝑏
𝑎
القطع الناقص يمر بالنقطة
𝐴 2 ,2 6
4 24
+ 2=1
𝑎 25
24
4
200
2
=1−
= 𝑎 ⇒
2
𝑎
25
7
𝑥 2 7𝑦 2
ًومعادلة القطع الناقص هي:
+
=1
25 200
Slide 33
ً
ً
ل
عندما ندو ًر
ر
ناقصا في فراغ ثالثي األبعاد حو ً محو ه األكبر ،فإن القطع الناقص
ً
ً
قطعا
ً
سطحا ملجسم قطع ناقص.
ً
ُينتج
ويمر خالل البؤرة
فالضوء أ ًو الصوت املنبعث من إحدى البؤرتين سينعكس عند السطح ً
األخرىً.
كذلك تحتويً متاحف العلوم على صاالت عرض للهمس تعمل بهذا املبدأ ،إذا همس
ى أن يسمعه
شخص يقف في إحدى البؤرتين ،فيمكن للشخص الذي يقف في البؤرة األخر ً
يدير له ظهره.
بسهولة ،حتى إذا كان املتحدث ً
Slide 34
هناك تطبيق طبي ،أيضاً ،في عالج حصوات الكلى.
يبعث جهاز تفتيت الحصوات بموجات صدمية فائقة
التردد من إحدى البؤرتين وتمر الموجات الصدمية
عبر حصوات كلية المريض في البؤرة الثانية
وتفتتها.
Slide 35
مثال ()6
للقطع الناقص الذي يولد السطح الناقص لجهاز تفتيت الحصوات ،محور أكبر نقطتاه
الطرفيتان
𝐴 −6 , 0 , 𝐴 6 , 0
2
ومحور أصغر إحدى نقطتيه
الطرفيتين
الحل
:من املعلومات املعطاة نجد
أن:
1
𝐵1 0 , −2.5أوجد إحداثيات البؤرتين.
𝑎 = 6 , 𝑏 = 2.5ومركزه )(0 , 0
𝑐 2 = 𝑎2 − 𝑏 2
𝑎2 − 𝑏 2
=𝑐
62 − 2.52
=
≈ 5.454
البؤرتان هما بالتقريب
النقطتان
𝐹1 −5.45 , 0 , 𝐹2 5.45 , 0
Slide 36
حاول أن تحل()6
يتولد املجسم الناقص ألحد أجهزة تفتيت الحصوات ،من دوران قطع ناقص نقطتا طرفي
محوره األكبر
𝐴 −8 , 0 , 𝐴 8 , 0
2
إذا كانت إحدى نقطتي طرفي محوره
األصغر
الحل
:من املعلومات املعطاة نجد
أن:
1
𝐵1 0 , 3.5فأوجد إحداثيات البؤرتين.
𝑎 = 8 , 𝑏 = 3.5ومركزه )(0 , 0
𝑐 2 = 𝑎2 − 𝑏 2
𝑎2 − 𝑏 2
=𝑐
82 − 3.52
=
≈ 7.194
البؤرتان هما بالتقريب
النقطتان
𝐹1 −7.19 , 0 , 𝐹2 7.19 , 0
Slide 37
مثال ()7
ملتابعة الهمس في الصاالت البيضاوية الشكل فإن الصوت الذي ينطلق من بؤرة
يمكن االستماع إليه بشكل تام في البؤرة الثانية.
Slide 38
مثال ()7
على افتراض أن إحدى الصاالت الكبرىً مبنية على هذا الشكل البيضاويً
طولي محوريها 𝑚. 46𝑚 ,98
على أي مسافة من مصدر الصوت يجب أن يكون موقع
شخص ليتكمن من سماعه بشكل واضح؟
الحل
:
مصدر الصوت عند إحدى البؤرتين
يجب أن يقف الشخص عند البؤرة األخرى حتى يسمع الصوت بوضوح
ً
ً
الشكل البيضاوي للصالة يمثل قطعا ناقصا له محور أكبر طوله 𝑚98
2𝑎 = 98 ⇒ 𝑎 = 49
= 1872
2
− 23
2
2𝑏 = 46 ⇒ 𝑏 = 23
𝑐 2 = 𝑎2 − 𝑏 2 ⇒ 𝑐 2 = 49
𝑐 ≈ 43.267
واملسافة بين البؤرتين هي:
2𝑐 ≈ 86.5
ً
يجب أن يكون موقع الشخص على بعد 𝑚 86.5تقريبا من مصدر الصوت.
Slide 39
حاول أن تحل()7
من املثال السابق على افتراض أن الصالة بيضاوية الشكل طولي محوريها 𝑚. 36𝑚 ,78
على أي مسافة من مصدر الصوت يجب أن يكون موقع شخص ليتكمن من سماع الصوت
املنطلق بشكل واضح؟
الحل
:مصدر الصوت عند إحدى البؤرتين
يجب أن يقف الشخص عند البؤرة األخرى حتى يسمع الصوت بوضوح
ً
ً
الشكل البيضاوي للصالة يمثل قطعا ناقصا له محور أكبر طوله 𝑚98
2𝑎 = 78 ⇒ 𝑎 = 39
= 1197
2
− 18
2
2𝑏 = 36 ⇒ 𝑏 = 18
𝑐 2 = 𝑎2 − 𝑏 2 ⇒ 𝑐 2 = 39
𝑐 ≈ 34.598
واملسافة بين البؤرتين هي:
2𝑐 ≈ 69.2
ً
يجب أن يكون موقع الشخص على بعد 𝑚 69.2تقريبا من مصدر الصوت.
Slide 40
تتحرك كواكب املجموعة الشمسية في مدارات على شكل قطع ناقص حيث إن
الشمس هي إحدى بؤرتيه.
Slide 41
Slide 42
مثال ()8
على افتراض أن املحور األكبر أفقي و طوله حوالي 𝑚𝑘 1.52 × 108و املحور األصغر
طوله حوالي 𝑚𝑘 .1.48 × 108
ما املسافة بين الشمس و البؤرة الثانية؟
الحل
:
املدار على شكل قطع ناقص طول املحور األكبر 𝑚𝑘 1.52 × 108
∴ 2𝑎 = 1.52 × 108 ⇒ 𝑎 = 0.76 × 108 = 76 × 106
∴ 2𝑏 = 1.48 × 108 ⇒ 𝑏 = 0.74 × 108 = 74 × 106
2
− 74 × 106
2
𝑐 2 = 𝑎2 − 𝑏 2 ⇒ 𝑐 2 = 76 × 106
= 300 × 1012
𝑐 ≈ 17.3 × 106
2𝑐 ≈ 34.6 × 106
أي أن املسافة بين الشمس و البؤرة الثانية هي 𝑚𝑘 34.6 × 106
Slide 43
حاول أن تحل()8
إذا كان الكوكب املقصود في املثال )(8هو كوكب االرض ,اكتب معادلة تمثل حركة كوكب
االرض حول الشمس
الحل
معادلة القطع الناقص الذي مركزه نقطة األصل هي:
:
𝑥2 𝑦2
+ 2=1
2
𝑎
𝑏
𝑎 = 76 × 106 ⇒ 𝑎2 =5.7× 1015
𝑏 = 74 × 106 ⇒ 𝑏 2 =5.4 × 1015
𝑥2
𝑦2
+
=1
15
15
5.7 × 10
5.4 × 10
Slide 44