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PCSI 2
DM 6 PHYSIQUE
12/02/2014
I Mouvement d’un palet sur une piste
Un palet M de masse m = 5,0 kg, assimilé à un point matériel, est lancé sur une piste composée d’une portion rectiligne AB et inclinée
d’un angle α = 30° par rapport à l’horizontale, et d’une portion circulaire BC, de rayon R = 2 m et d’angle BOC = π/2 + α (cf. figure
ci-contre).
Le palet, initialement lancé depuis A avec la vitesse VA glisse sans frottement sur la piste. On désigne par g = 10 m.s-2 l’intensité du
champ de pesanteur.
z
B
θ
α
VA
α
A
O
C
1) Déterminer l’expression de la vitesse VB au point B en supposant que ce point est atteint.
2) Afin que B soit effectivement atteint par le palet, il est nécessaire que VA > VA,l. Evaluer la valeur numérique de VA,l.
Pour les questions suivantes, on suppose la condition précédente vérifiée.
3) Déterminer l’expression de la durée τ de parcours de la portion AB
4) Déterminer l’expression de la réaction normale RN du support sur M lors de la phase du mouvement sur l’arc BC en fonction de
θ qui est l’angle entre OM et la verticale, θ˙ , m, g et R.
5) A quelle condition sur VA n’y aura-t-il pas de décollage avant le sommet ?
€
6) Déterminer l’expression de θd, valeur de θ pour laquelle le palet quitte la piste.
II Etude d’un lance-pierres
1) Définir l’énergie potentielle d’une force ; est-ce toujours possible ? Établir l’expression de l’énergie
potentielle correspondant à l’allongement (à définir) d’un ressort ou d’un élastique de raideur k.
2) On fabrique un lance-pierres avec deux élastiques identiques. Ceux-ci se comportent comme des
ressorts de longueur à vide L0 et de raideur k, à condition que leur allongement soit positif. Pour lancer
un projectile P de masse m, on le serre dans un petit morceau de cuir fixé entre les deux élastiques qu’on
allonge symétriquement jusqu’à ce qu’ils aient une longueur L = 2L0, puis on lâche (voir figures cicontre : perspective et vue de dessus).
On précise que AB = L0 et on néglige l’épaisseur de P.
a) On envisage un tir horizontal : quelle est la longueur des élastiques quand ils cessent de pousser le
projectile P ? En déduire la vitesse à laquelle celui-ci est lancé ; faire l’application numérique.
b) Déterminer en fonction de k et L0 la force (quasi horizontale) à exercer pour tendre les élastiques
selon la description.
c) Un individu tire horizontalement depuis le bord d’une falaise avec la vitesse initiale v0 ; son
projectile subit une force de frottement fluide : F = −α v .
Déterminer et interpréter la loi d’évolution du vecteur vitesse.
En déduire la distance horizontale atteinte en supposant la falaise suffisamment élevée.
Pour les applications numériques (A.N.), on prendra : L0 = 10 cm ; m = 10 g ; k = 200 N/m.
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III Tige avec ressort
On considère une tige fixe, dans le plan vertical xOz, faisant l’angle α avec l’axe Oz.
Un anneau M, de masse m, est enfilé sur la tige et astreint à se déplacer sans
frottement le long de celle-ci. Cet anneau est également relié à un ressort de constante
de raideur k et de longueur à vide L0 dont l’autre extrémité est fixée en O. On repère
la position de M par OM = X.
z
g
M (m)
α
1) Donner l’expression de l’énergie potentielle Ep des forces conservatives
appliquées à M en fonction de X ; on prendra la référence d’énergie potentielle de
pesanteur pour X = 0 et celle de l’énergie potentielle élastique pour X = L0.
2) Déterminer la position d’équilibre Xe du point M.
A quelle condition reliant les paramètres caractéristiques du système cette
position existe-t-elle ? Cette position est-elle stable ?
X
(k, Lo)
O
3) Etablir l’équation différentielle du mouvement de M à partir du théorème de l’énergie mécanique.
4) On communique au point M une énergie mécanique Em = 4,0.10-3 J à l’instant t = 0 avec les conditions initiales suivantes :
X(0) = Xe et X˙ ( 0) = V0 .
On souhaite étudier graphiquement le mouvement du point M. On trace la courbe Ep(X) pour les valeurs suivantes :
m = 7,1 g ; g = 10 m.s-2 ; α = 45° ; k = 1,0 N.m-1 et L0 = 10 cm.
€
Ep(X)
0,0065 0,006 0,0055 0,005 0,0045 0,004 0,0035 0 0,02 0,04 0,06 0,08 0,1 0,12 a) Donner la valeur numérique de Xe.
b) Déterminer la valeur numérique de V0.
c) Montrer que le mouvement se fait entre deux positions extrêmes X1 et X2 dont on indiquera la valeur numérique. Quelle est la
nature de ce mouvement ?
Préciser la valeur maximale V0max de V0 permettant ce type de mouvement. Est-ce réalisable en pratique ?
d) Déterminer la fonction X(t) avec t en s et X en cm.
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