Energie (Ex)

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PCSI 2

ENERGIE I

Un point matériel M de masse m est fixé à l'extrémité d'une tige OM de longueur a, de masse négligeable, mobile sans frottement autour d'un axe horizontal passant par O. Soient OA et OB les positions d'équilibre stable et instable de OM. 1) La tige est abandonnée sans vitesse, M étant très légèrement à gauche de B. Quelle est la vitesse v A de M à son passage en A en fonction de g (accélération de la pesanteur) et a ? 2) Au passage en A, M se détache de la tige et se met à glisser sans frottement sur une demi - sphère de centre 0 et de rayon a. a) Etablir l'équation différentielle du mouvement de M sous la forme : (d θ /dt)2 = 2 ω 2 ( 1 + cos θ ) en précisant la valeur de ω 2 en fonction de g et a. b) Résoudre cette équation différentielle pour obtenir la loi du mouvement de M sur la sphère sous la forme ω t = f( θ ) en précisant l'expression de la fonction f( θ ). On rappelle les formules suivantes : cos 2 x = 2 cos 2x - 1 et ∫

cos

tan(

2 + π 4 ) . Energie 3) Calculer la réaction R de la sphère en M en fonction de θ . Montrer qu'en un certain point C, M quitte la sphère. Calculer l'angle correspondant θ C , la vitesse de M en C et exprimer numériquement en fonction de To = € π / ω la durée T qui sépare les passages en A et en C. 4) Décrire brièvement le mouvement ultérieur de M.

Réponse

: v A = 2

; ω =

g a

; f( θ ) =

tan(

2 + π 4 ) ; R = m g ( 2 + 3 cos θ ); v C = 2

3 ; T = 0,246 To.

€ € € point d'attache R fixe du ressort. La tige se trouve à une distance l du point R : OR = l. € On s'intéresse au système mécanique suivant : un point matériel M de masse m est fixé à l'extrémité d'un ressort de longueur à vide lo et de constante de raideur k. La masse peut coulisser sans frottement horizontalement sur une tige (figure 1). On repère la position de la masse m sur cette tige par l'abscisse x dont l'axe est confondu avec la tige, et dont l'origine O est située sur la même verticale que le On posera ω o =

k m

y

€

R g Figure 1 M x O m

A. Positions d'équilibre

1) Initialement le point matériel M se trouve en O et OR = lo. Décrire qualitativement (aucun calcul n'est demandé) le nombre de positions d'équilibre et la stabilité de celles-ci suivant qu'on rapproche la tige du point R (c'est-à-dire l < lo) ou qu'on éloigne la tige du point R (l > lo). 2) On considère maintenant OR = l (quelconque). Déterminer l'énergie potentielle élastique Ep(x) en fonction de k, lo, l et x. On 2014 – 2015 1/10

€ € PCSI 2 Energie prendra Ep(0) = 0. 3) Expliquer dans le cas général où l'énergie potentielle Ep d'un point matériel de masse m ne dépend que d'un seul paramètre (dans ce problème, il s'agit de x), quelles sont les conditions sur Ep en un point d'équilibre stable. On dessinera l'allure de Ep(x) pour un équilibre stable et un équilibre instable. 4) Déterminer en utilisant les questions 2 et 3, les positions d'équilibre xe de la masse m en distinguant les cas l > lo et l < lo. Dans chaque cas, préciser si la position d'équilibre est stable ou non. 5) Tracer, sur un même graphe, xe en fonction de la distance OR = l. On précisera sur le graphe la nature de l'équilibre (stabilité ou instabilité). Pouvez-vous justifier alors le nom donné à la bifurcation (existant en l = lo) : bifurcation fourche.

B. Pulsation autour d'une position d'équilibre stable

On cherche maintenant à déterminer les pulsations des oscillations autour des positions d'équilibre stable. 1) En écrivant le principe fondamental de la dynamique appliqué au point matériel de masse m, montrer que la pulsation s'exprime sous la forme générale : ω 2 = 1

(

dx E

) (

x e

) On pourra écrire la relation fondamentale de la dynamique dans le cas général où la force dérive d'une énergie potentielle Ep en développant celle-ci à l'ordre 2 en ε = x - xe au voisinage proche de la position x = xe d'équilibre. 2) Pour le système étudié, exprimer maintenant ω € 3) Tracer ω 2 en fonction de l. 4) Montrer qu'au voisinage de l = lo, on peut écrire la pulsation sous la forme : l > lo : ω = a ( l - lo ) α l < lo : ω = b (lo - l ) α ' Déterminer les exposants, dits critiques, α et α ' ainsi que les coefficients a et b. 5) On s'intéresse au cas limite où l = lo. On lâche la masse m sans vitesse initiale, écartée d'une distance x(0) = xo. a) Montrer graphiquement que le mouvement est périodique. b) Par une méthode énergétique, exprimer la vitesse de la masse en fonction de x, xo, k, m et lo. 1 c) Exprimer la période des oscillations en fonction de ω o, xo, lo et de l'intégrale I = ∫ 0 1

−

4 dans l'hypothèse où xo est très petit devant lo. d) Peut-on dire que cet oscillateur est harmonique ?

C. Discussion

sur les positions d'équilibre ? € 1) Le point matériel M est également relié à un autre ressort identique au premier, fixé lui aussi sur l'axe Oy à une distance l de la tige mais symétriquement à R par rapport à l'axe Ox. Qu'est-ce qui change par rapport à l'étude précédente ? 2) M n'est attaché qu'à un seul ressort, mais la tige Ox n'est pas tout à fait horizontale : elle est inclinée d'un petit angle θ . Y-a-t'il un terme nouveau dans l'énergie potentielle ? Dessiner l'allure de Ep(x) pour l < lo dans ce cas. Quelle est la conséquence principale

Réponse

: Ep(x) = 1 2 k ( x2 - 2 lo

2 +

2 + 2 l lo ); xe = 0 existe toujours et stable si l > lo; xe = ± (

0 2 −

2 si l < lo et stable; ω 2 = v =

k m

(1 −

k m

€ [ (

) si l > lo; ω 2 = (

0 2 +

0 2 €

k m

(1 − - lo )2 - ( (

0 2

0 2 ) si l < lo; a = +

0 - lo )2 ]1/2; T = et α = 1/2; b = ω o 8

ω 0

0 . 2

l o

et α ' = 1/2; € € € € € € On étudie un convoyeur à colis présent dans un centre de tri postal. € 1) Les colis sont d’abord déchargés par un tapis roulant à la vitesse v A . Les colis glissent ensuite sur un plan de hauteur h incliné d’un angle α par rapport à l’horizontale. Le coefficient de frottement solide entre les colis et le plan incliné est f. Les colis sont ensuite pris en charge au niveau du point B par un nouveau tapis roulant. Ce tapis avance à la vitesse v B . Le convoyeur fonctionne correctement si les colis arrivent au point B avec la vitesse du deuxième tapis roulant. a) Donner l’expression littérale de l’angle α qui permet un bon fonctionnement du convoyeur. b)

Application numérique

: v A = 5 m.s

-1 ; v B = 4 m.s

-1 ; g = 10 m.s

-2 ; h = 2 m ; f = 0,1. Calculer α en degrés. 2014 – 2015 2/10

€ PCSI 2 Energie A α e e y x h B e 2) A l’issue de leur trajet sur le deuxième tapis, les colis arrivent avec la vitesse v y’ C (v C e x’ C = v B α ' ) sur un nouveau plan incliné (angle α ’ par rapport à l’horizontale, coefficient de frottement f) afin d’être récupérés. a) Quelle est l’expression littérale de la distance D parcourue par le colis avant qu’il ne s’arrête ? b) A quelle condition sur α ’ le colis reste-t-il ensuite immobile ? c) Dans le cas contraire, quelle est l’expression littérale de l’accélération γ x’ du colis lors de sa redescente ? d)

Application numérique

: α ’ = α puis α ’ = 10°. Calculer dans les deux cas la valeur numérique de D, et de γ x le cas échéant.

Réponse

: tan α = 1 −

v B

−

v A

2 ; α = 4,7° ;

= 2

(

v o

2 sin α ' +

cos α ' 2

avec γ x’ = -0,75 m.s

-2 . € € On assimile à un point matériel M de masse m un petit anneau susceptible de coulisser sans frottement le long d'un cercle fixe de centre C et de rayon a contenu dans le plan vertical. Porteur d'une charge q, M subit l'action d'une charge Q fixée au point A du cercle de cote maximum. Il subit donc entre autres une force électrique s’écrivant !

= 4

πε

o AM AM

3 , qui dérive de l’énergie potentielle électrique

E pe

= 4 πε

qQ o AM

. ) ; tan α ’ < f ; € γ

' = g −

cos

α z ( α

'

A (Q) θ /2 −

) ; D = 4,4 m ; D = 2,9 m I € € la méthode énergétique. 1) Effectuer le bilan des forces s’exerçant sur le point M. 2) Donner l’expression de l’énergie potentielle de pesanteur

E pp

du point M a) en fonction de m, g (accélération de la pesanteur) et z cote du point M). L’axe Oz est pris vertical, ascendant, avec origine en O (point du cercle de cote minimum). La référence de cette énergie potentielle sera prise en O. b) en fonction de m, g, a et θ . 3) Exprimer l’énergie potentielle électrique

E pe

en fonction de rayon a C H O θ M (m, q) l’angle θ , où plutôt en fonction de utiliser avantageusement la figure, et en particulier le point I, projection orthogonale du centre C du cercle sur le segment AM. € θ 2 . On pourra pour cela suivante :

E p mga

E pp

€

pe mga

. Montrer qu’elle se met sous la forme €

( θ ) = − 4 λ cos 3 θ 2 + 1 − cos θ , en précisant l’expression de λ 3 Justifier rapidement le fait que la constante λ soit sans dimension à partir de son expression. . 5) Montrer que

' ( θ ) =

( θ ) €

θ = 2sin θ 2 ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ cos θ 2 − λ 3 cos 2 θ 2 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ . 6) Chercher la(les) position(s) d’équilibre possible(s) pour le point M dans les trois cas suivants (le dispositif étant symétrique par € 3/10

PCSI 2 rapport à la verticale OA, on se limitera au domaine [0, π [ pour θ ) : ( α ) : λ < 0 ; ( β ) : 0 < λ < 1 ; ( γ ) : λ > 1. 7) A l’aide de l’étude précédente, on trace la fonction

( θ ) dans les trois cas précédents : € Energie ( α ) : λ < 0 ( β ) : 0 < λ < 1 ( γ ) : λ > 1 € Reproduire l’allure de ces courbes. Indiquer dans chaque cas sur le graphe les positions d’équilibre, en précisant leur nature (stable ou instable). Indiquer qualitativement la nature du mouvement du point M quand il est lancé du point O avec une vitesse initiale. 8) Dans le cas où θ = 0 est une position d'équilibre stable, on cherche à déterminer la période T des petites oscillations au voisinage de cette position. a) Exprimer l’énergie cinétique

E c

de M en fonction de m, a et θ ˙ =

. b) Effectuer un développement limité de u à l’ordre 2 en θ . On pourra utiliser certaines des formules suivantes : cos ε ≈ 1 − ε 2 2 et ( 1 + ε € ) β ≈ 1 + βε pour ε €

(

) =

(

x o

) + (

−

x o

) [

' (

) ]

x o

+ (

− 2

x o

) 2 [

" (

) ]

x o

+ ...

. c) En déduire l’expression de l’intégrale première de l’énergie. Justifier rapidement le fait que l’énergie mécanique du système soit constante au cours du mouvement. € € θ = 0. λ , puis en fonction de λ et T o (période propre du pendule simple de longueur a).

Réponse

: λ 3 = − 32 πε

qQ o mga

2 ; T =

0 1 − λ 3 .

V Interaction entre atomes de gaz nobles

€ € des éléments : hélium, néon, argon, krypton et xénon, notés par la suite par leurs symboles chimiques : He, Ne, Ar, Kr et Xe. Ces corps sont sous forme gazeuse à pression et température ambiante et liquide à des températures très basses. Le tableau ci-dessous récapitule certaines de leurs caractéristiques : Atome Masse molaire (g.mol

-1 ) Masse volumique (kg.m

-3 ) Température d’ébullition (K) He 4,00 125 4,20 Ne 20,0 1,21.10

3 27,1 Ar 40,0 1,39.10

3 87,3 Kr 83,8 2,41.10

3 120 Xe 131 3,06.10

3 165 σ (Å) 2,63 2,77 3,40 3,60 4,06 ε /k B (K) 5,46 36,8 117 165 218 Pour modéliser l’interaction entre deux atomes d’un gaz noble, on utilise le potentiel de Lennard-Jones (1929) dont l’expression est : 2014 – 2015 4/10

PCSI 2 Energie

E p

= 4 ε ⎡ ⎢ ⎣ ⎛ ⎜ ⎝ σ

⎞ 12 ⎟ ⎠ − ⎛ σ ⎜ ⎝

⎞ ⎟ ⎠ 6 ⎤ ⎥ ⎦ où r représente la distance entre les atomes. Les valeurs de ε et de σ sont regroupées dans le tableau précédent. On a l’habitude de donner les valeurs de σ en Å = 10 -10 m (Ångström) et celle de ε sous la forme ε /k B qui s’exprime en Kelvin avec k B = 1,38.10

-23 J.K

-1 la potentiel empirique qui traduit le fait que les atomes ne peuvent pas s’interpénétrer. On veut exploiter ce potentiel pour comprendre l’évolution de quelques propriétés physiques des gaz nobles. Pour cela, on considère le modèle suivant : • • • • € 6 correspond aux interactions de Van der Waals ; le terme en 1/r l’interaction entre deux plus proches voisins dérive de l’énergie potentielle de Lennard ; on ne considère que le plus proche voisin distant de r ; 12 est un un atome M de masse m est en interaction avec ses plus proches voisins. Pour simplifier le traitement mathématique, en phase liquide, les atomes sont mobiles mais ne peuvent sortir du puits de potentiel créé par son plus proche voisin ; en phase gazeuse, les atomes sont mobiles et libres de s’éloigner indéfiniment ; • l’énergie cinétique des atomes est reliée à la température par la relation

E c

= 3 2

k B T

. On rappelle la valeur du nombre d’Avogadro : N a = 6,02.10

23 mol -1 . 1) Etude de la courbe d’énergie potentielle b) Déterminer la force d’interaction !

€ qui dérive de cette énergie potentielle. min c) Dans quel domaine de distance cette force est-elle attractive, répulsive, nulle ? et sa valeur E min . 2) Etude de la température d’ébullition a) Exploiter la relation

E c

€ = 3 2

k B T

pour estimer la température T 1 permettant l’atome étudié de sortir de son puits de potentiel. b) Justifier que cette température est une bonne estimation de la température d’ébullition. La calculer pour chacun des corps considérés. Conclure. € a) Justifier que la distance inter-atomique est proche de r min en phase liquide. En déduire le nombre n * d’atomes par unité de volume en phase liquide. b) En déduire la masse volumique ρ de la phase liquide de chacun des corps considérés. Conclure. 4) Etude qualitative de l’évolution de la masse volumique avec la température On donne le portrait de phase d’une particule mobile dans le potentiel de Lennard-Jones sur la figure ci-contre. a) Décrire l’évolution des courbes lorsque l’énergie mécanique du système augmente. b) A quel type d’état correspondent les courbes fermées ? ouvertes ? c) Dans le cas de courbes fermées, comment évolue la distance moyenne du système à son plus proche voisin avec son énergie. d) En utilisant la relation énergie cinétique – température donnée précédemment, quelle prédiction qualitative peut-on faire sur l’évolution de la distance moyenne entre atomes dans un liquide en fonction de la température ? e) En déduire l’évolution qualitative de la masse volumique de la phase liquide avec la température prédite par ce modèle ?

Réponse

: €

min = € 2 1/ 6 σ ;

min € = − ε ; !

= 24 ε σ ⎛ ⎜ ⎝ σ

⎞ ⎟ ⎠ 7 ⎡ ⎢ ⎣ 2 ⎛ ⎜ σ ⎝

⎞ ⎟ ⎠ 6 € − 1 ⎤ ⎥ ⎦

e r

;

1 = € 2 3

;

* € =

3 1 min ; ρ =

N a M

2 σ 3 . 2014 – 2015 5/10

€ PCSI 2

VI Etude d’un lance-pierres

1) Définir l’énergie potentielle d’une force ; est-ce toujours possible ? Établir l’expression de l’énergie potentielle correspondant à l’allongement (à définir) d’un ressort ou d’un élastique de raideur k. 2) On fabrique un lance-pierres avec deux élastiques identiques. Ceux-ci se comportent comme des ressorts de longueur à vide L 0 et de raideur k, à condition que leur allongement soit positif. Pour lancer un projectile P de masse m, on le serre dans un petit morceau de cuir fixé entre les deux élastiques qu’on allonge symétriquement jusqu’à ce qu’ils aient une longueur L = 2L 0 , puis on lâche (voir figures ci contre : perspective et vue de dessus). On précise que AB = L 0 et on néglige l’épaisseur de P. a) On envisage un tir horizontal : quelle est la longueur des élastiques quand ils cessent de pousser le projectile P ? En déduire la vitesse à laquelle celui-ci est lancé ; faire l’application numérique. b) Déterminer en fonction de k et L 0 la force (quasi horizontale) à exercer pour tendre les élastiques selon la description ; faire l’application numérique. c) Un individu tire horizontalement depuis le bord d’une falaise avec la vitesse initiale v 0 ; son Energie projectile subit une force de frottement fluide :

= − α

. Déterminer et interpréter la loi d’évolution du vecteur vitesse. En déduire la distance horizontale atteinte en supposant la falaise suffisamment élevée. Pour les applications numériques (A.N.), on prendra : L 0 = 10 cm ; m = 10 g ; k = 200 N/m. €

Réponse

v o

L o

m k

;

= 2

kL o

cos θ ; !

= ( !

− !

∞ )

−

/ τ + !

∞ avec τ =

α et !

∞ = τ !

α ; portée

∞ = τ

v o

. € d’un angle α € € € € € Un palet M de masse m = 5,0 kg, assimilé à un point matériel, est lancé sur une piste composée d’une portion rectiligne AB et inclinée = 30° par rapport à l’horizontale, et d’une portion circulaire BC, de rayon R = 2,0 m et d’angle BOC = π /2 + α (cf. figure ci-contre). Le palet, initialement lancé depuis A avec la vitesse V A glisse sans frottement sur la piste. On désigne par g = 10 m.s

-2 l’intensité du champ de pesanteur. V A A α B α O z θ C 1) Déterminer l’expression de la vitesse V B au point B en supposant que ce point est atteint. 2) Afin que B soit effectivement atteint par le palet, il est nécessaire que V A > V A,l . Evaluer la valeur numérique de V A,l .

Pour les questions suivantes, on suppose la condition précédente vérifiée.

3) Déterminer l’expression de la durée τ de parcours de la portion AB 4) Déterminer l’expression de la réaction normale R N du support sur M lors de la phase du mouvement sur l’arc BC en fonction de θ qui est l’angle entre OM et la verticale, θ , m, g et R. 5) A quelle condition sur V A n’y aura-t-il pas de décollage avant le sommet ? 6) Déterminer l’expression de θ d , valeur de θ pour laquelle le palet quitte la piste. €

Réponse

V B

V A

2 − 2

cos α ;

V A

= 5,9

− 1 ; τ =

V A

−

V A

2 − 2

cos α

sin α ;

R N

= ( cos θ −

θ ˙ 2 ) ;

V A

< 3

cos α ; θ

arccos

3

. € 2014 – 2015 € € € € 6/10

PCSI 2

VIII Tige avec ressort

On considère une tige fixe, dans le plan vertical xOz, faisant l’angle de raideur k et de longueur à vide L 0 α avec l’axe Oz. Un anneau M, de masse m, est enfilé sur la tige et astreint à se déplacer sans frottement le long de celle-ci. Cet anneau est également relié à un ressort de constante dont l’autre extrémité est fixée en O. On repère la position de M par OM = X. 1) Donner l’expression de l’énergie potentielle E p des forces conservatives appliquées à M en fonction de X ; on prendra la référence d’énergie potentielle de pesanteur pour X = 0 et celle de l’énergie potentielle élastique pour X = L 0 . 2) Déterminer la position d’équilibre X e du point M. A quelle condition reliant les paramètres caractéristiques du système cette position existe-t-elle ? Cette position est-elle stable ? O z α 3) Etablir l’équation différentielle du mouvement de M à partir du théorème de l’énergie mécanique. g (k, L o ) X Energie M (m) 4) On communique au point M une énergie mécanique E m = 4,0.10

-3 J à l’instant t = 0 avec les conditions initiales suivantes : X(0) = X e et

( ) =

0 . On souhaite étudier graphiquement le mouvement du point M. On trace la courbe E p (X) pour les valeurs suivantes : m = 7,1 g ; g = 10 m.s

-2 ; α = 45° ; k = 1,0 N.m

-1 et L 0 = 10 cm.

0,0065 0,006 0,0055 0,005 0,0045 0,004 0,0035 0 0,02 0,04

€

Ep(X)

0,06 0,08 0,1 0,12

a) Donner la valeur numérique de X e . b) Déterminer la valeur numérique de V 0 . c) Montrer que le mouvement se fait entre deux positions extrêmes X 1 et X 2 dont on indiquera la valeur numérique. Quelle est la nature de ce mouvement ? Préciser la valeur maximale V 0max de V 0 permettant ce type de mouvement. Est-ce réalisable en pratique ? d) Déterminer la fonction X(t) avec t en s et X en cm.

Réponse

E p

mgX

cos α + 1 2 ( −

0 ) 2 ;

X e

0 −

cos

α (stable) si

0 ≥

cos

α ; ˙ ˙ +

k m X

k m X e

; X e = 5,0 cm ; V 0 = ± 27 cm.s

-1 ; X 1 = 2,8 cm et X 2 = 7,2 cm ; oscillations avec X 1 ≤ X ≤ X 2 ; V 0max = ± 59 cm.s

-1 ; X(t) = 2,2 sin(12t). € € € € 2014 – 2015 7/10

PCSI 2 Energie

IX Tour d’usinage.

image 1 image 2 Un tour d’usinage est une machine-outil permettant la fabrication de pièces mécaniques ayant une symétrie de révolution (image 1). Il comporte notamment un mandrin (image 2) servant à maintenir la pièce à usiner et à l’entraîner en rotation. A partir de l’instant t = 0 de démarrage, la vitesse angulaire ω (t) du mandrin évolue selon une loi θ de forme : ω (t) = ω 1 .(1 – exp(-t/ τ )) avec ω 1 = 2,0.10

3 tr.min

-1 (tours par minute) et τ = 0,23 s. On étudie le mouvement d’un point M situé dans un plan orthogonal à l’axe (Oz) de rotation de la machine. On note

𝑒𝑟 ; 𝑒𝜃

la base polaire, R étant la distance entre M et l’axe(Oz). La position (Oz) M de M en rotation autour de (Oz) est repérée par l’angle θ . 1) Donner la valeur numérique de ω 1 en rad.s

-1 . 2) Tracer une allure de ω (t). Au bout de quelle durée Δ t la vitesse angulaire ω (t) aura-t-elle atteint au moins 99% de sa valeur finale ? 3) Déterminer la vitesse v(t) du point M situé à la périphérie du mandrin, à distance R = 0,15 m de l’axe de rotation. Calculer numériquement sa valeur à t = τ . 4) Expliciter l’accélération de M en fonction du temps sur la base polaire. Distinguer dans les termes obtenus les composantes tangentielles et normales de l’accélération. Calculer numériquement leurs valeurs à t = τ . 5) Un opérateur utilisant la machine laisse malencontreusement la clé de mandrin engagée dans son logement et lance la machine (cet outil permet le serrage du mandrin sur la pièce à usiner, voir image 2). A l’instant t = 0, l’angle θ repérant la position de la clé est θ = 0. La clé est éjectée à la mise en rotation au bout d’une durée τ . Déterminer la position angulaire θ éj de la clé à l’instant de l’éjection. 6) La précision des données ne permet pas de déterminer la valeur de θ éj de façon sûre. On suppose que la clé est en fait éjectée pour un angle θ éj = -60°, à l’instant t = τ , avec une vitesse de module 20 m.s

-1 . Exprimer le vecteur-vitesse de l’objet lors de son éjection. On explicitera ce vecteur sur une base cartésienne ( !

e y

) ; l’axe (Cx) étant horizontal et orthogonal à l’axe de rotation et l’axe (Cy) étant vertical ; C étant le point d’éjection de la clé. On réfléchira en particulier à l’angle existant entre l’unitaire

e x

et le vecteur-vitesse au moment de l’éjection. 7) Etudier la trajectoire de la clé pour t > τ € haut pour ne pas interrompre sa trajectoire. On posera t’ = t – τ € de 1 mètre par rapport au sol. L’accélération de la pesanteur vaut g = 9,8 m.s

-2 . 8) Le toit de l’atelier est à une hauteur de 8 mètres par rapport au sol. La clé a une masse de 0,5 kg. Evaluer l’énergie cinétique de l’outil lors de son impact contre la toiture. Comparer à l’énergie cinétique d’une balle de pistolet (m = 5 g, v = 200 m/s).

Réponse

: ω 1 = 2,1.10

2 rad.s

-1 ; Δ t = 1,1 s ; v( τ ) = 20 m.s

-1 ; a t ( τ ) = 50 m.s

-2 et a n ( τ ) = 2,6.10

3 m.s

-2 ; θ éj = 3,0.10

2 rad ; 16 m ; 66 J ; 1,0.10

2 J. 2014 – 2015 8/10

€ PCSI 2

X C’est la fête !

L’ensemble du problème sera traité dans le référentiel terrestre, considéré comme galiléen.

A - Manège pendulaire.

Un manège est constitué de bras horizontaux de longueur L, placés à une hauteur h au-dessus du plateau, auxquels sont liées des nacelles par une attache de longueur d et de masse négligeable. Les nacelles sont modélisées comme des points matériels de masse m. On note g l’intensité du champ de pesanteur. Le manège est entraîné en rotation à une vitesse angulaire ω par rapport au référentiel terrestre. On considère dans toute la suite que cette vitesse angulaire est constante. La fixation permet aux nacelles de basculer dans un plan vertical contenant le bras suspenseur, l’attache faisant alors un angle On note ( α !

, !

θ ,

e z

) la base cylindrique d’axe (Oz). h z O L ω α d m Energie 1) Expliciter le vecteur-position

sur la base cylindrique, M étant la position du point matériel représentant la nacelle. En déduire l’expression de la vitesse de M dans le référentiel terrestre dans le cas général où a priori α peut évoluer avec le temps. 2) L’angle α est maintenant supposé invariant. Quelle est alors la trajectoire décrite par la nacelle dans le référentiel terrestre ? € ω et α sur la base cylindrique d’axe (Oz). 3) Pour une vitesse ω donnée, la nacelle reste avec une inclinaison a) Inventorier les actions exercées sur la nacelle. Exprimer le module T de la tension de l’attache reliant la nacelle au bras en fonction de m, g et α . b) Etablir l’équation reliant α et ω α en régime permanent. . La mettre sous la forme : a(1+b.sin

α ) = tan α et identifier les quantités a et b. Expliquer qualitativement pourquoi la masse m n’intervient pas. c) Proposer une solution graphique permettant de déterminer α en fonction de a et b, donc de ω , g, d et L. Montrer que l’on obtient deux solutions sur α dont les valeurs α 1 et α 2 sont comprises respectivement sur les intervalles [0, π /2] et [ π , 3 π /2]. Discuter très brièvement la nature stable ou instable de ces solutions (on attend simplement une approche intuitive). d) On donne L = 10 m ; d = 4,0 m ; g = 9,8 m.s

-2 . Quelle est la valeur de vitesse angulaire valeur en rad.s

-1 puis en tours par minute (tr.min

-1 ). Quelle serait alors, exprimée en « g », l’accélération subie par les passagers ? ω amenant α = 30° ? Donner cette

B - Les montagnes russes.

1) Un véhicule et ses passagers, de masse totale m = 800 kg, circule sur des rails. La première phase consiste à hisser le véhicule à une hauteur donnée en le tirant sur une rampe, au moyen d’un système d’entraînement mécanique appliquant une force tractrice dirigée parallèlement aux rails. La rampe fait un angle δ avec l’horizontale. Les frottements solides sont pris en compte selon le modèle de Coulomb : la réaction du support se décompose en deux termes et , respectivement tangentiel et normal au support, avec la relation entre leur norme R donne g = 9,8 m.s

-2 , δ = 30° et f = 0,30. T = f.R

N où f est le coefficient de frottement. a) Représenter le problème sur un schéma en faisant apparaître le bilan des forces. b) Calculer la valeur F de la norme de la force tractrice nécessaire pour permettre au véhicule de monter à vitesse constante. On c) Quelle puissance mécanique est-elle mise en jeu pour obtenir une vitesse v du véhicule ? L’entraînement mécanique est réalisé par un treuil électrique dont le rendement électro-mécanique est ρ = 0,80. Quelle puissance électrique consommera-t-il si le véhicule est tracté à la vitesse de 2,0 m.s

-1 ? 2) Le véhicule va maintenant dévaler une pente faisant un angle au point A situé au sommet de cette pente. ε avec l’horizontale, sous l’effet de son poids. On néglige tous frottements. Il est lâché à l’instant t = 0 sans vitesse a) A partir de l’équation du mouvement, établir les lois v(t) et x(t) décrivant l’évolution dans le temps de sa vitesse v(t) et de son abscisse x(t). h A L x ε 2014 – 2015 B 9/10

€ € € PCSI 2 Energie b) On note h la dénivellation entre A et B et L la distance qui les sépare. Déterminer l’instant t B de son passage au point B, en fonction de L, ε et g, puis de h, ε et g. Calculer la vitesse atteinte lors du passage au point B. Commenter. 3) Après avoir subi diverses évolutions, le véhicule aborde maintenant un virage relevé. Il s’engage dans la courbe à une vitesse v o = 15 m.s

-1 et cette vitesse sera supposée constante pendant toute la suite du mouvement. Le virage se déroule dans un plan horizontal, avec un rayon de courbure R normale. Déterminer la valeur de l’angle ϕ . C = 25 m. a) Calculer l’accélération subie par le mobile dans ces conditions. b) Les rails sont disposés avec un profil en travers présentant une inclinaison d’angle ϕ par rapport à l’horizontale, (voir vue en coupe ci-contre), afin que la réaction des rails ne comporte pas de composante tangentielle, mais seulement une composante R c € !

€ €

e z e r

C - Le trampoline à élastiques.

Un enfant de masse m est attaché au moyen d’un harnais à deux filins élastiques. Sa position est repérée par celle de son centre d’inertie G. Le système est réglé de façon à ce que la tension des filins compense le poids de l’utilisateur lorsqu’il se trouve au niveau du tapis de sol. (voir figure). Les filins élastiques sont modélisés comme des ressorts de raideur k, de longueur à vide d. 1) Calculer la raideur k, à partir des données suivantes : d = 2,0 m ; L 1 = 8,0 m ; g = 9,8 m.s

-2 ; m = 30 kg. 2) Former l’équation différentielle décrivant le mouvement. 3) Cette équation différentielle n’étant pas linéaire, son intégration n’est pas envisageable sans méthode numérique. ϕ L 1 z = 0 z G d Montrer qu’elle se linéarise sous la forme : si l’on néglige d dans l’expression. Discuter la validité de cette approximation. 4) L’enfant, reposant sur le tapis de sol, donne une impulsion qui lui communique quasi instantanément une vitesse v i dirigée vers le haut. A partir de l’équation différentielle obtenue en 3), déterminer la loi horaire z(t). A quel instant t h l’enfant atteint-il le point le plus haut ? Calculer alors l’altitude maximale atteinte z h . 5) Exprimer l’énergie potentielle du système. Comment calculer sans l’approximation du 3), et sans recourir à une intégration numérique, la valeur de z h ? N.B. : On demande de construire l’équation vérifiée par z H , mais pas de la résoudre.

Réponse

OM v

= (

sin α ) = ω ( !

θ +

sin α ) !

et γ !

= − (

+ (

−

cos α ) !

sin α ) ω 2 !

;

α ˙ cos α

e r mg

cos α ;

= + ω 2

L g

(

sin α et

= ) θ ˙ !

θ +

α ˙ sin α

e z

;

d L

; γ = 0,6 g ;

( sin δ +

cos δ ) ; P élec = 15 kW ; €

(

) = 1 2

2 sin ε et

v B

€ = 2

€ ; γ = 9,0 m.s

-2 ; € ϕ = €

arctan

⎛ ⎜ ⎝

gR C

€ ⎞ ⎟ ; ⎠

= 2 ⎛ ⎜ ⎜ ⎝

1 −

€ 1

2 +

1 2 ⎞ ⎟ ; ⎟ ⎠ ˙ ˙ + 2

k m

⎛ ⎜ ⎝

−

dz d

2 +

2 ⎞ ⎟ ⎠ = −

;

(

) =

v i

€ 2

sin ⎛ ⎜ ⎝ 2

k m t

⎞ ⎟ ⎠ −

;

z h

€

i m

−

;

E p

mgz

k z

⎝ 2 − 2

d d

2 +

2 € ⎞ ⎠ . € 2014 – 2015 € € 10/10

Energie (Ex)

Transcript Energie (Ex)

y

R g Figure 1 M x O m

cos

'

arccos

3

0,0065 0,006 0,0055 0,005 0,0045 0,004 0,0035 0 0,02 0,04

Ep(X)

0,06 0,08 0,1 0,12

arctan

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