Transcript Correction - PCSi − La Martinière Monplaisir

TD 9 - Électrocinétique - Régime transitoire - Correction
Exercice 2 - Étude d’un circuit RL
2 Pour t → ∞, la bobine se comporte à nouveau comme un fil. Ainsi,
s(∞) = 0
La résistance R/2 est court-circuitée. Dès lors on peut l’enlever ce qui donne le
montage équivalent :
1 Pour t < 0, la bobine est équivalente à un fil (régime permanent). Dès lors
i(∞) =
Ainsi,
s(0− ) = 0
E
R
3 On écrit la loi des mailles
E = R i + s(t)
Or, d’après la loi des noeuds, i = i1 + i2 =
s(t)
+ i2 . Dès lors,
R/2
E = 2 s(t) + R i2 + s(t)
Il en résulte que i1 (0− ) = 0. L’interrupteur étant ouvert, i(0− ) = 0. Dès lors,
d’après la loi des noeuds,
i2 (0− ) = i − i1 = 0
Par continuité de l’intensité traversant la bobine, il vient juste après la fermeture
de l’interrupteur
+
di2
, on dérive l’expression précédente pour obtenir
dt
ds R
0=3
+ s(t)
dt
L
soit, sous forme canonique,
Sachant que s(t) = L
ddts +
−
i2 (0 ) = i2 (0 ) = 0
On trouve alors la tension s(0+ ) en reconnaissant un diviseur idéal :
s(0+ ) =
2013 - 2014
s
=0
τ
avec
τ=
3L
R
4 La solution s’écrit s(t) = A e −t/τ . On utilise la condition initiale pour trouver
la constante d’intégration. Il vient
R/2
2
E= E
R + R/2
3
A=
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2
E
3
TD - Physique
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s(t) =
et donc
dx −
u→
x.
dt
Le principe fondamental de la dynamique projeté selon −
u→
x conduit à
−
• la force de frottement fluide −αF →
v = −αF
2
E e −t/τ
3
m
soit
d2 x
dx
= −k0 x − αF
dt2
dt
r
d2 x ω0 dx
+
+ ω0 2 x = 0
dt2
Q dt
avec
ω0 =
k0
m
et Q =
m ω0
αF
5 Pour t = t0 , s(t0 ) = s(0)/10. Ainsi,
1
= e −t0 /τ
10
et donc
Enfin,
t0 = τ ln 10 =
L=
2 Le choc le plus rapide correspond à un régime transitoire le plus court possible.
Il faut donc se placer en régime critique de sorte que Q = 1/2. Ainsi,
3L
ln 10
R
√
k0 m =
αF
2
ln 10
R t0 = 4, 6 mH
3
3 Le régime transitoire étant critique,
6 Pour pouvoir mesurer t0 à l’oscilloscope, il faut que sur une demi-période le
régime transitoire soit quasiment achevé. Autrement dit
t0 6
et donc
f6
T
2
x(t) = (A + B t) e −ω0 t
dx
On utilise les conditions initiales x(0) = 0 et
(0) = −v0 pour trouver les
dt
constantes d’intégration. On trouve A = 0 et B = −v0 de sorte que
1
' 166 Hz
2 t0
x(t) = −v0 t e −ω0 t
Exercice 6 - Rebond d’un palet
1 On considère le système { palet } de masse m dans le référentiel terrestre
supposé galiléen. À l’instant initial, le ressort a pour longueur `0 . On note x
l’abscisse du palet, repérée par rapport à la position d’équilibre du ressort.
Le palet subit :
• son poids ainsi que la réaction normale du support qui se compensent ;
• la force de rappel élastique −k0 x −
u→
x.
2013 - 2014
En dérivant par rapport au temps, on obtient la vitesse
v(t) = v0 (ω t − 1) e −ω0 t
La longueur du ressort est minimale lorsque la vitesse est nulle. Elle ne présente
pas de maximum autre que x = 0 (en t = 0 et pour t → ∞).
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1
m v0 2 e −4
2
La variation d’énergie cinétique au cours du choc est donc
vf = v(tchoc ) =
avec
∆Ec = Ec,f − Ec,i =
1
m v0 2 (e −4 − 1) < 0
2
Quant au coefficient de resitution, il vaut ici
r=
Ec,f
= e −4 = 1, 8.10−2
Ec,i
Une très grande partie de l’énergie du palet est absorbé par le patin au cours
du choc.
6 Pour augmenter r, il faut que la norme de la vitesse du patin en fin de rebond s’approche le plus possible de la vitesse initiale, ce qui correspond à un
régime transitoire pseudo-périodique avec un bon facteur de qualité. Dès lors il
faut utiliser un coefficient α faible ou un support de très grande raideur.
4 Pour étudier la vitesse v(t) du patin, on recherche les éventuels extrema (qui
correspondent à des points d’accélération nulle). En dérivant par rapport au temps,
il vient
a(t) =
dv
= ω0 v0 (2 − ω0 t) e −ω0 t
dt
On trouve que la vitesse passe par un maximum à l’instant 2omega0 et on
obtient l’allure ci-dessus.
Le palet ne s’accrochant pas au patin, sa vitesse ne peut pas diminuer : lorsque
le patin ralentit, le palet se détache et poursuit sa trajectoire le long de l’axe Ox
à vitesse constante. La durée du choc est donc
tchoc =
2
ω0
5 L’énergie cinétique initiale du palet est
Ec,i =
1
m v0 2
2
Son énergie cinétique finale après le choc est
Ec,f =
2013 - 2014
1
m vf 2
2
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