Transcript PCSI (option SI) 2013 – 2014 Lycée La Martinière Monplaisir

PCSI (option SI) 2013 – 2014
CRIST2 – Les différents types de solides cristallins
Lycée La Martinière Monplaisir
TD n°2 – Correction – 1 / 4
TD n°2 - Correction
CRIST2 – LES DIFFÉRENTS TYPES DE SOLIDES CRISTALLINS
Correction CRIST2-1 (**) : Alliage Ag-Cu
1.
RCu/RAg = 0,89, il y a 11 % d'écart entre les rayons.
Les rayons étant assez proches, les alliages Cu-Ag sont des alliages de substitution.
2.
Les atomes ne se repartissant pas aléatoirement, c'est un alliage ordonné.
3.
en noir : Ag
en gris : Cu
4.
population en Ag : 2 (= 8 × 1/8 + 2 × 1/2)
population en Cu : 2 (= 4 × 1/2)
soit la formule brute AgCu
La population du motif AgCu étant de 2 dans la maille.
5.
Les bases sont carrées (a = b).
Sur une base, il y a contact sur la diagonale : 4 R Ag=a √ 2 .
soit a = 407 pm
Les faces latérales sont rectangulaires (côtés a et c).
Sur une face latérale, il y a contact sur la diagonale : 2 R Ag +2 R Cu =√ c2 +a 2 .
c=√ (2 R Ag +2 R Cu ) 2−a 2
soit c = 361 pm
6.
ρ=
2×M Ag +2×MCu
NA a 2 c
ρ = 9,53.103 kg.m-3
=
2×108.10 −3 +2×63,5 .10 −3
6,02.10 23×(407.10 −12 )2×(361.10 −12 )
PCSI (option SI) 2013 – 2014
CRIST2 – Les différents types de solides cristallins
Lycée La Martinière Monplaisir
TD n°2 – Correction – 2 / 4
Correction CRIST2-2 (**) : Structure de l'hydrure de zirconium
1.
Réseau-hôte de Zr : cubique faces centrées
sites occupés par H : les 8 sites octaédriques
2.
H occupent des sites interstitiels donc l'hydrure de zirconium est un alliage d'insertion.
3.
population en Zr : 4 (= 8 × 1/8 + 6 × 1/2)
population en H : 8 (= 8 × 1)
soit la formule brute ZrH2
4.
Le site T est au centre d'un cube d'arête a/2 :
1 a
a 3
√3 = √ .
sur la demi-diagonale de ce cube : R +r T=
2 2
4
La condition de tangence entre les atomes de Zr sur la diagonale d'une face donne : 4 R=a √ 2
4 R √3
R +r T=
√2 4
( )
r T =R
(√ )
3
−1
2
5.
Le calcul donne rT = 36 pm.
Or rH = 36 pm, on peut dire que les hydrogènes s'insèrent juste dans la structure hôte sans la
déformer.
6.
coordinence Zr/H : 8 (Zr au centre d'un cube de H)
coordinence H/Zr : 4 (H au centre d'un tétraèdre de Zr)
7.
Le contact des Zr sur la diagonale d'une face donne : 4 R=a √ 2 .
soit a = 453 pm
8.
Dans le volume d'une maille (V = a 3 = 9,30.10-29 m3), il y a 8 H, soit une masse de 8.M(H)/N A = 1,33.10-26
kg.
Dans 1 m3, il y a donc 1,33.10-26 / 9,30.10-29 = 143 kg de H.
La capacité d'absorption d'hydrogène est de 143 kg.m-3.
9.
On applique l'équation du gaz parfait à H2 : PV = n(H2)RT, avec n(H2) = n(H)/2 = m(H)/(2.M(H))
2 M ( H)P V 2×1,0 .10 −3 ×350.105×1
m (H)=
=
= 28 kg
RT
8,314×( 273+25)
Sous pression, on peut stocker 28 kg.m-3 d'hydrogène.
PCSI (option SI) 2013 – 2014
CRIST2 – Les différents types de solides cristallins
Lycée La Martinière Monplaisir
TD n°2 – Correction – 3 / 4
Le stockage à l'aide d'un alliage est doublement avantageux :
• capacité plus importante (5 fois) pour un même volume de réservoir ;
• utilisation à pression atmosphérique.
Correction CRIST2-3 (**) : Modèle de Drude de la conduction métallique
1.
population en Cu dans un cfc : 4 (= 8 × 1/8 + 6 × 1/2)
Il y a donc 4 électrons libres par maille de volume a3.
nv = 4/a3 = 4 / (362.10-12)3
nv = 8,43.1028 électrons.m-3
2.
I = dq/dt
dq est la quantité d'électricité qui traverse la section du fil pendant dt, cela correspond aux électrons
contenus dans le cylindre de section πd2/4 et de longueur v.dt
d2
dq=n v e π v dt=I dt
4
4I
v=
nv e π d2
3.
4×0,10
8,43 .10 ×1,60 .10 −19 ×π×(1,0 .10 −3 )2
v = 9,4.10-6 m.s-1 = 9,4 μm.s-1
v=
28
4.
σ = nv.e2.τ/me
d'où τ = (σ.me)/(nv.e2)
τ = (57,9.106 × 9,11.10-31)/(8,43.1028 × (1,60.10-19)2)
τ = 2,4.10-14 s
5.
vT >> v (11 ordres de grandeur)
Le mouvement des électrons est extrêmement rapide mais globalement ils restent quasi-fixes et ont
un mouvement d'ensemble très lent.
6.
dm = vT.τ = 1,6.106 × 2,4.10-14
dm = 3,9.10-8 m = 39 nm
7.
Cu cristallise dans une maille cfc donc 4 R=a √ 2 , R = 128 pm.
La distance entre deux noyaux vaut donc dnoyau = 2R = 256 pm
Cela signifie qu'un électron entre en collision avec un noyau tous les dm/dnoyau, soit tous les 150
noyaux.
PCSI (option SI) 2013 – 2014
CRIST2 – Les différents types de solides cristallins
Lycée La Martinière Monplaisir
TD n°2 – Correction – 4 / 4
Correction CRIST2-4 (**) : Modélisation de la malléabilité des métaux
1.
2 plans de glissement
3 plans de glissement
2.
Les structures cfc possédant plus de plans de glissement que les structures cc, elles sont plus malléables.
3.
pour une maille cfc, 4 R=a √ 2
pour l'or, R = 144 pm soit a = 407 pm
le nombre de maille correspond à N = 0,1.10-6 / 407.10-12 = 246
La feuille d'or correspond à environ 250 mailles d'épaisseur.
4.
V = S.e = m/ρ
S = m/(e.ρ) = 1.10-3 / (0,1.10-6 × 19,3.103) = 0,52 m2
Avec 1 g d'or, on peut faire une feuille de 0,52 m2.
5.
RC/RFe = 0,56
Les atomes sont de tailles trop différentes. Les aciers sont des alliages d'insertion.
6.
Les atomes de carbone s'insèrent dans les sites cristallographiques de la structure. Ils vont gêner les
déformations suivant les plans de glissement, ce qui va rendre l'alliage moins malléable.
7.
100 g d'alliage présente 0,77 g de C et 99,23 g de Fe.
Cela correspond à n = 0,77/12,0 = 0,0642 mol de C et n = 99,23/55,8 = 1,78 mol de Fe.
Ramené à 1 équivalent de Fe, x = 0,0642/1,78 = 0,036
L'acier a pour formule brute FeC0,036.
8.
Dans une maille cfc, il y a 4 sites octaédriques en propre à la maille et la population en Fe est de 4.
Il y a donc 1 site octaédrique pour 1 atome de Fe.
3,6 % des sites octaédriques sont donc occupés.