Transcript TD M.2 : Dynamique

TD M.2 : Dynamique
Mécanique
Données utiles
Constante universelle de gravitation : G = 6,67.10–11 uSI
Permittivité diélectrique du vide : ε0 = 8,85.10–12 uSI
Applications de cours
Application 1 : constante de gravitation universelle
A l'aide de l'expression de l'interaction gravitationnelle, déterminer l'unité de la constante G dans
le système international.
Application 2 : intensité de pesanteur
P =m ⃗
g.
Au voisinage de la surface terrestre, un objet de masse m est soumis à son poids, note ⃗
En première approximation, le poids est égal à la force de gravitation exercée par la Terre sur
l’objet.
1. En déduire l’expression de ∥g
⃗∥ en fonction du rayon et de la masse de la Terre.
g∥ est approximativement g = 9,8 m.s−2. Déterminer la masse de la Terre en
2. La valeur de ∥⃗
sachant que son rayon est RT = 6370 km.
Application 3 : poids sur une autre planète
Quelle est l'intensité de pesanteur sur Mars ? Quel serait le poids d'un astronaute de masse
m = 80 kg foulant le sol de la « planète rouge » ? A quelle masse sur Terre ce poids correspond-til ?
• Masse de la planète Mars : MM = 6,42.10 23 kg • Rayon de la planète Mars : RM =3397 km
ATS GC Laxou
Sciences physiques
TD M.2 : Dynamique
1/8
Application 4 : échelle d'action des interactions fondamentales
Calculer les normes des forces gravitationnelle FG et électrostatique FE :
•
entre la Terre et la Lune (m T=5,98.1024 kg ; mL=7,34.1022 kg ; distance moyenne TerreLune = 3,84.108 m).
•
entre le proton et l'électron d'un atome d’hydrogène (m e = 9,1.10–31 kg ; mp = 1836.me ;
distance moyenne électron-proton = 5,3.10–11 m ; e = 1,6.10–19 C).
Conclure.
Application 5 : expression de la tension d'un ressort
Dans les illustrations ci-contre, M0 la position de la
masselotte au repos. On note l 0=OM 0 la longueur
à vide du ressort et k sa raideur.
1. Identifier les états du ressort (comprimé, étendu,
⃗ , tension
au repos) et tracer le sens du vecteur T
du ressort.
⃗ en fonction de l=OM et de l 0 .
2. Exprimer T
⃗ en fonction de x.
3. On note x=M 0 M (longueur algébrique). Exprimer T
ATS GC Laxou
Sciences physiques
TD M.2 : Dynamique
2/8
Application 6 : liaisons parfaites
Déterminer dans la base ( ⃗i ; ⃗j ; ⃗
k ) la
direction et l’expression de la réaction de
liaison en l’absence de frottement.
• Anneau sur une tige :
Mouvement de translation possible suivant :
.....
Expression de la réaction de liaison :
⃗
R=............................
• Masse sur un plan :
Mouvement de translation possible suivant :
.....
Expression de la réaction de liaison :
⃗
R=............................
Application 7 : moment d'une force
Après avoir rappelé l'expression générale du
⃗ exprimé en O, exprimer
moment de la force F
ce moment en fonction de a, b et F et des
vecteurs unitaires.
Application 8 : utilisation du TMC
Mouvement d'un pendule simple : le système étudié est un point matériel G de masse m, attaché
par une corde inextensible de masse négligeable à un point O fixe dans un référentiel supposé
galiléen.
1. Faire un bilan des forces s’exerçant sur G, les représenter et les exprimer dans la base de votre
choix
2. Exprimer leur moment par rapport à O.
ATS GC Laxou
Sciences physiques
TD M.2 : Dynamique
3/8
3. Exprimer le moment cinétique en O du point matériel G.
4. Appliquer le TMC pour obtenir une équation différentielle régissant l’évolution de θ.
Application 9 : 3e loi de Kepler
1. Montrer que l’interaction gravitationnelle est une force centrale attractive.
2. Soit O le centre de gravité du Soleil, de masse M S. Soit M le centre de gravité d’une planète de
masse m qui tourne autour du Soleil. Montrer que dans le cas d'une trajectoire circulaire, le
3
rapport
R
est une constante ne dépendant que de la masse du centre attracteur (T est la
2
T
période de révolution).
Le résultat précédent peut être généralisé dans le cas d’un mouvement elliptique sous la forme :
a3 G M
, où a est le demi grand axe de l’ellipse.
=
T 2 4 π2
3. Estimer la masse du Soleil en sachant que le demi grand axe de la trajectoire de la Terre
autour de son étoile est a = 1,496.108 km.
ATS GC Laxou
Sciences physiques
TD M.2 : Dynamique
4/8
Application 10 : application du PFS
Une masse m posée sur un plan incliné d’un angle α par
rapport à l’horizontale est suspendue à l’extrémité M d’un
ressort de raideur k et de longueur à vide ℓ 0. L’autre
extrémité du ressort est fixe en O. Déterminer la
longueur à l’équilibre du ressort notée : ℓe.
Exercices de TD
0 Un glaçon ?
On parle souvent de la « partie immergée de
l'iceberg ». En recherchant les données utiles,
déterminer la fraction volumique immergée
d'un iceberg.
00 Là-haut
Dans le film d'animation « Là-haut », le héros
parvient à faire voler sa maison à l'aide de
ballons gonflés d'hélium. Estimer le nombre de
ballons nécessaires.
Balistique
1 Portée et flèche
A t=0, un projectile
ponctuel P de masse
m est lancé du point O
avec la vitesse initiale
v⃗0 , faisant un angle
α avec l'horizontale
Ox . On considère que
le champ de pesanteur
g est uniforme et
constant.
1. Calculer à l'instant t
les coordonnées de M la position du mobile. En
ATS GC Laxou
Sciences physiques
TD M.2 : Dynamique
déduire l’équation cartésienne de la trajectoire.
2. Déterminer la portée OB et les coordonnées
du sommet S de la trajectoire (sa « flèche »).
3. Pour une valeur v0 fixée, sous quel angle
faut-il tirer pour avoir la portée maximale ?
4. Déterminer les dates tS et tB auxquelles sont
atteints S et B.
2 Joueur de tennis
Un joueur de tennis tire une balle, considérée
comme ponctuelle, de masse m, d'une hauteur
h0, avec une vitesse v⃗0 horizontale, dans le
plan (Oxz)). Le sol est parfaitement horizontal
et le champ de pesanteur sera considéré
g =−g u⃗z . On négligera tout
⃗
uniforme
frottement.
5/8
1. Déterminer la vitesse initiale minimale v 0, min
à communiquer à la balle pour qu'elle passe
au-dessus du filet de hauteur h f <h 0 .
2. Déterminer la vitesse initiale maximale
v 0, max à communiquer à la balle pour qu'elle
atterrisse dans le terrain adverse.
3. Applications numériques : m = 57,0 g,
h0 = 1,50 m, hf = 0,914 m, L = 11,89 m. On
exprimera les vitesses en km/h.
3 Chute libre d’une tige
Une tige rectiligne AB verticale de longueur
ℓ = 80 cm, lâchée avec une vitesse initiale
nulle, tombe en chute libre dans le vide. Elle
passe au cours de sa chute par un trou
ménagé dans une plaque horizontale de faible
épaisseur. Quand son extrémité inférieure A
atteint le trou, sa vitesse est v = 5 m.s−1.
1. A quelle distance h de la plaque se trouvait
initialement le point A ?
2. Quelle est la vitesse v' de la tige lorsque son
extrémité supérieure B sort du même trou ?
3. Quelle est la durée T du passage de la tige à
travers le trou ?
Lien avec la cinématique
4 Résultante des forces
Un corps de masse m = 20 kg, décrit la
trajectoire plane d’équations paramétriques :
{
x (t )=2(t 2 +1) , où t est le temps exprimé en
y( t)=7t 2+3t
secondes, x et y sont exprimés en mètres.
Quelle est alors l’intensité de la résultante des
forces s’exerçant sur le corps ?
5 Le looping
6 Rayon de courbure d'une trajectoire
Une fusée assimilée à un point matériel de
masse 1200 t est soumise à une force de
propulsion de 32 kN et à la résistance
atmosphérique de 9,6 kN. Sa vitesse est de
g∥ à
3 km.s−1, et le champ de gravitation ∥⃗
−2
l’altitude considérée est de 6 m.s . L’angle que
fait la vitesse avec ce champ est de 150°.
Calculer le rayon de courbure de la trajectoire
à cet instant.
Prise en compte des frottements
7 Freinage par frottement
Une voiture, de masse m , roulant
rectilignement à la vitesse v⃗0=v 0 ⃗i , coupe son
moteur à t = 0 et n’est plus soumise, suivant
⃗i ,
qu’à
une
force
de
frottement
⃗
v .
proportionnelle à la vitesse F =−h ⃗
1. Établir l'équation différentielle régissant la
vitesse et la résoudre.
2.
En
déduire
l’équation
horaire
du
mouvement.
8 Chute d’une bille dans de l’eau
Une bille creuse à une masse volumique égale
à celle de l’eau et un rayon r = 3 mm. Elle
pénètre dans l’eau à la vitesse v 0 = 0,5 m.s−1 ;
la viscosité de l’eau oppose à son mouvement
⃗ =−6 π ηr ⃗
v ; η est la viscosité
une force F
v
dynamique de l’eau et vaut 1,00.10 −3 uSI, ⃗
est la vitesse de la bille.
Étudier le mouvement de la bille dans l’eau.
9 Portée et flèche - suite
On reprendra les conditions de l'exercice 1, à
ceci près que le projectile est maintenant
soumis, en plus de son poids, à une force de
⃗ =−k ⃗v où k est une constante
frottement F
positive.
1. Trouver les équations du mouvement c'està-dire déterminer x(t) et y(t) les coordonnées
du projectile.
2. Montrer que la trajectoire admet une
asymptote verticale et que la vitesse tend vers
une limite que l'on précisera.
Autres forces usuelles
Un point matériel M glisse sans frottement
dans une gouttière terminée par une boucle
circulaire de centre O et de rayon R.
Exprimer r, la réaction de la gouttière, en
fonction de m, v (vitesse de la particule), R, g,
θ, lorsque la particule est dans la boucle.
ATS GC Laxou
Sciences physiques
TD M.2 : Dynamique
10 Position d'équilibre avec ressort
Un objet ponctuel M, de masse m = 50,0 g, est
attaché à un ressort de raideur k = 12,0 N/m,
de longueur à vide ℓ0 = 8,00 cm, attaché à son
autre extrémité en O et de masse négligeable.
1. Exprimer et calculer la position à l'équilibre.
6/8
2. On fixe un second ressort en O' ; point situé
en dessous de O tel que OO' = 20,0 cm. Ce
ressort a une raideur k' = 8,0 N/m et une
longueur à vide ℓ0' = 10,00 cm. On fixe l'objet
M à son autre extrémité. Exprimer et calculer
la nouvelle position d'équilibre.
11 Tension d'un élastique
Un brin de caoutchouc de longueur 2 L non
tendu est fixe entre deux points A et B. On
admettra que son poids est négligeable et que
le brin est horizontal.
On accroche un poids P au milieu O de AB .
Sachant que le caoutchouc tendu avec une
force F s’allonge de ℓ tel que F = k.ℓ , exprimer
P en fonction de k, L et α .
Tiges qui tournent
13 Tige qui tourne v1.0
Une tige tourne dans le plan horizontal xOy
autour de son extrémité O à la vitesse
angulaire constante ω. Sur cette tige, un
anneau M de masse m, considéré comme
ponctuel, peut glisser sans frottement.
A t = 0, l’anneau est en M 0 (OM0 = a , θ0 = 0),
sans vitesse initiale par rapport à la tige.
1. Déterminer la trajectoire de l’anneau en
coordonnées polaires par rapport au repère
xOy .
2. Déterminer la réaction de la tige sur
l’anneau en fonction de a , ω , θ et g.
14 Tige qui tourne v2.0
Une tige OP rigide est soudée sur un plateau
tournant à vitesse angulaire constante ω .
Cette tige forme un angle constant α avec
l’axe vertical (Oz) = (Δ).
Un point matériel de masse m pouvant glisser
sans frottement sur la tige est en équilibre
relatif.
12 Réaction d'un guide circulaire
Un anneau ponctuel M de masse m est enfilé
sur un cercle fixe de centre O et de rayon b
placé horizontalement dans le plan Oxy.
A l’instant t = 0, une vitesse initiale
tangente au cercle est communiquée
l’anneau qui glisse alors sans frottement
long du guide.
Déterminer les composantes de la réaction
du guide circulaire sur l’anneau.
ATS GC Laxou
Sciences physiques
TD M.2 : Dynamique
v⃗0
à
le
⃗
R
En utilisant la relation fondamentale de la
dynamique dans le référentiel terrestre
supposé galiléen :
1. Préciser la position xe de l’équilibre relatif ;
2. Donner les composantes R1, R2 et R3 de la
réaction v⃗0 dans la base ( e⃗1 , e⃗2 , e⃗3 ) liée à la
tige.
Conseil : Reconnaître la nature de la base
( e⃗1 , e⃗2 , e⃗3 ) avant toute autre chose.
3. Variante : mêmes questions sur une tige
parabolique y = a x².
7/8
15 Moment cinétique
Un point matériel M, de masse m, lié par un fil
inextensible de longueur ℓ à un point fixe A,
tourne avec une vitesse angulaire constante ω
autour de l’axe Az .
1. Établir le bilan des forces qui s'exercent sur
le point M et exprimer leur moment en A ; le
seul angle devant intervenir dans ces
AB , ⃗
AM  .
expressions sera θ= ⃗
2. Trouver une condition sur m et m' pour
qu'une position d’équilibre existe. Exprimer,
quand il existe, l'angle d’équilibre θe , en
fonction de m et m'.
17
Deux masses, un disque, un fil
[Extrait concours ESGT TS 2006]
1. α étant l’angle que forme AM avec la
verticale, calculer la tension du fil T puis l’angle
α en fonction de m, g, ℓ et ω .
2. Calculer en coordonnées cylindriques
d’origine O l’expression du moment cinétique
de M par rapport à A .
3. Vérifier que sa dérivée par rapport au temps
est égale au moment par rapport à A de la
résultante des forces appliquées à M (TMC).
Utilisation des moments en statique
16
Deux masses, une poulie, un fil
Soit un fil inextensible et sans masse, fixe en A
à un socle horizontal AB de longueur a, et
passant en B sur une poulie parfaite, de très
petites dimensions.
En un point M, tel que AM = a , est fixée une
masse ponctuelle m et, au bout du fil, est
également accrochée une masse m' en N. Le
dispositif est placé verticalement dans le
g .
champ de pesanteur ⃗
ATS GC Laxou
Sciences physiques
TD M.2 : Dynamique
Un disque D de rayon a, de masse MD, est
mobile sans frottement autour de son axe
horizontal Ox. Une masse M est fixée à la
g l’accélération de
périphérie de D. Soit ⃗
g ,⃗
OM ) et OM = a.
pesanteur, on pose θ = ( ⃗
Un fil sans masse et inextensible est monté sur
D (équipé d'une gorge). Une masse m est fixée
à l’extrémité de ce fil. Les masses seront
considérées comme ponctuelles et disposées
de part et d’autre de l’axe Oz .
1. A quelle condition sur M, m et θ y a-t-il
équilibre ?
2. Déterminer l’existence et le nombre de
positions d’équilibre.
3. A partir d’une position d’équilibre, on
augmente légèrement θ. Examiner si le disque
tend à revenir vers sa position d’équilibre. On
distinguera plusieurs cas.
8/8