Transcript TD M.3 : Énergie, travail, puissance

TD M.3 : Énergie, travail, puissance
Mécanique
Données utiles
Intensité de pesanteur sur Terre : g = 9,81 m/s²
Constante de gravitation universelle : G = 6,67.10 –11 uSI
Applications de cours
Application 1 : tubes de Casadei
Casadei était ingénieur chez Renault. Il a travaillé à l'amélioration de la sécurité des véhicules ;
l'objectif étant, pour la partie avant du véhicule, d'absorber l'énergie cinétique lors d'un choc en
se déformant.
En supposant que la déformation des tubes est proportionnelle à l'énergie cinétique absorbée,
conclure sur les grandeurs dont dépend l'énergie cinétique.
Application 2 : puissance des forces de contact
1. Exprimer la puissance d'une réaction de support sans frottement (ou « liaison parfaite »).
2. Exprimer la puissance d'une force de frottement solide de coefficient f.
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⃗ =−α ⃗
v.
3. Exprimer la puissance d'une force de frottement visqueux F
Application 3 : puissance du poids
On lance un projectile avec un angle α>0 par rapport à l'horizontale.
Discuter du signe de la puissance du poids selon différentes phases du
mouvement.
Application 4 : pendule simple, version énergétique
On souhaite retrouver les résultats trouvés avec le TMC
(M.2) par le TPC pour le mouvement du pendule simple.
1. Exprimer la vitesse du point matériel G dans la base
cylindrique, puis son énergie cinétique.
2. Faire le bilan des forces, exprimer leur puissance.
3. Appliquer le TPC.
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Application 5 : application du TEC à la chute libre
1. Déterminer la hauteur maximale h atteinte par une balle de masse m (supposée ponctuelle),
lancée verticalement vers le haut avec une vitesse v0 à l'aide du TEC.
2. Déterminer la vitesse à l'impact avec le sol d'une balle lâchée sans vitesse initiale d'une
hauteur h'.
Application 6 : conservation de l'énergie mécanique
1. Montrer qu'un point matériel soumis uniquement à son poids et à une réaction de support sans
frottement possède une énergie mécanique constante.
2. Approche qualitative : compléter la phrase. Les
chariots de la montagne russe atteignent leur
maximum d'énergie cinétique . . . . . . . . . . . . . .
....................................
. . . . . . . . Lorsqu'ils montent, cette énergie
cinétique est transformée en . . . . . . . . . . . . . . . .
......................... .........
La somme de l'énergie cinétique et de l'énergie
potentielle de pesanteur du système reste
constante si on néglige les pertes énergétiques
dues
aux
forces
dissipatives
( . . . . . . . . . . . . . . ).
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3. Approche quantitative : Compléter le tableau.
La masse de l'équipage est m = 200 kg.
Point de la piste
A
B
Altitude h (m)
21
0,0
Énergie potentielle (J)
C
0,0
E
8,0.103
Énergie cinétique (J)
Vitesse (km/h)
D
2,5.104
0,0
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Application 7 : application du TEM à la chute libre
1. On lance une balle considérée comme ponctuelle, de masse m = 1,00 kg, d'une hauteur
h = 1,50 m, avec une vitesse initiale verticale orientée vers le haut v 0 = 20 m/s. Exprimer, puis
calculer, à l'aide du TEM la vitesse à l'impact avec le sol.
2. Que cela change-t-il si la balle est lancée vers le bas avec la même vitesse ?
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Application 8 : stabilité d'un équilibre
Déterminer les positions d'équilibre et leur nature pour une masse m
ponctuelle, fixe au bout d'une tige rigide sans masse de longueur L,
liée à son extrémité en un point O fixe. La tige peut pivoter en O sans
frottement.
On utilisera une méthode énergétique et la base mobile ( u⃗r , u⃗θ ) .
Exercices de TD
0 Un peu de sport
1. En se basant sur la vitesse de course, quel
pourrait être le record de saut en hauteur ? Et
de saut en longueur ?
2. Par une modélisation simpliste de la course,
estimer la dépense énergétique lors d'un
jogging, en kcal/h (1 cal = 4,18 J).
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1 Vrai ou faux ? (+justification)
1. Le moment d’une force a la même
dimension qu’une énergie.
2. La puissance d’une force est toujours
positive.
3. Les forces de frottement sont des forces
conservatives.
4. Si on double la masse d'un point matériel et
que l’on diminue sa vitesse de moitié, son
énergie cinétique est inchangée.
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Travail d'une force
2 Forces conservatives ?
Déterminer le travail des forces suivantes entre
un point M1 et M2. S'agit-il de forces
conservatives ?
a/ Force de frottement fluide
b/ Interaction coulombienne
3 Travail d'une force
1. Déterminer le travail de la force
⃗f = y 2 u⃗x − x 2 u⃗y de A à B le long du chemin Γ 1
et le long du chemin Γ2.
2. Cette force est-elle conservative ? Justifier.
Exercices généraux
4 Chariots et autres véhicules
1. Un mineur pousse un chariot avec une force
nette de 300 N. Si cette force agit sur une
distance de 3 m, que la masse du chariot est
de 120 kg et que sa vitesse initiale est nulle,
calculer la vitesse finale du chariot.
2. Une voiture de 1100 kg passe de 0 à
100 km/h en 8 s. Calculer sa puissance
moyenne s'il n'y aucune perte (1 ch = 736 W).
3. Un routier conduit un gros camion de 20 t.
Le camion arrive dans le bas d’une montée à
une vitesse de 100 km/h. La dénivellation de la
côte est de 300 m. Après trois minutes, le
routier et son camion sont en haut de la côte à
une vitesse de 60 km/h. Quelle est la
puissance du moteur ?
4. Un alpiniste lâche un rôcher de 1 kg du haut
d'une falaise, d’une hauteur de 25 m. Sa
vitesse initiale est nulle et sa vitesse en bas est
de 20 m/s. Quelle est la force de frottement
moyenne de l’air ?
5. Calculer la distance D de freinage d’une
voiture lancée à la vitesse v0, sur une route
horizontale (coefficient f de frottement entre
les roues et la route, roues qu'on suppose
bloquées instantanément lors du freinage).
A.N. : v0=40 m.s−1 ; g=10 m.s−2 ; f=0,6 (route
sèche) puis f=0,2 (route mouillée).
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5 Saut à l'élastique
On
se
propose
de
déterminer
les
caractéristiques d’un dispositif prévu pour le
saut à l’élastique depuis un pont.
L’élastique a une longueur à vide de 30 m et
on lui fixe une masse d’épreuve compacte de
100 kg.
On lâche, sans vitesse initiale depuis le point
d’accrochage de l’élastique, la masse qui subit
une chute libre tant que l’élastique n’est pas en
extension, puis est retenue par l’élastique sur
le reste de sa course dont le point le plus bas
est situé à 60 m du point d’accrochage de
l’élastique.
1. En négligeant toute résistance de l’air,
calculer la constante de raideur de l’élastique.
2. Si la hauteur de chute maximale en dessous
du pont est de 70 m, calculer la masse
maximale que l’on peut accrocher à l’élastique.
6 Compression d'un ressort
On abandonne sans vitesse initiale un cube de
masse m sur un plan matériel lissé incliné d’un
angle α par rapport à l’horizontale. Le cube
glisse alors sur la ligne de plus grande pente
sur une distance L, avant de rencontrer un
butoir solidaire d’un long ressort (idéal) de
raideur k et de longueur ℓ0. (Les masses du
ressort et du butoir sont négligeables)
1. Déterminer la longueur minimale du ressort
lorsqu’il est comprimé.
2. En quel point la vitesse du cube est-elle
maximale ?
7 Montagne russe
Dans une fête foraine, un wagonnet se déplace
sur une piste de montagne russe, sous l’action
de son poids.
On l’assimile à un point matériel de masse m
glissant sans frottement sur son support. On
donne : h = 8 m, R = 4 m et g = 10 m.s −2.
1. Le wagonnet possède en A une vitesse
vA =10 m.s−1. Calculer sa vitesse en B.
2. Comment varie la vitesse du wagonnet
jusqu’au passage au point C? Que vaut vC ?
3. Déterminer l’expression de la norme de la
vitesse du wagonnet lorsqu’il est situé dans la
piste semi-circulaire à la position repérée par
l’angle θ (θ(C)=0), en fonction de vC, g, R et θ.
4. Par projection du principe fondamental de la
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dynamique dans la base de Frenet, déterminer
l’intensité N de l’action de contact exercée par
la piste semi-circulaire sur le wagonnet, en
supposant le contact maintenu, en fonction de
m, vC, R, g et θ. Comment la fonction N(θ)
varie-t-elle ?
5. A quelle condition sur la vitesse au bas du
looping vC le wagonnet atteindra-t-il le sommet
S de la piste sans que le contact avec celle-ci
soit rompu ?
8 L'enfant sur l'igloo
Un enfant (supposé ponctuel) de masse m est
mobile sans frottement sur un igloo (demi
sphère de rayon r de base horizontale). A t=0,
il se lâche sans vitesse initiale d'un point M0.
1. A l'aide du TEC et du PFD, calculer la valeur
R en fonction de θ.
de la réaction du support ⃗
2. Pour quelle valeur θd l'enfant décolle-t-il de
l'igloo ? Quelle est alors sa vitesse de décollage
vd ?
9 Satellite artificiel terrestre
Un satellite de la Terre de masse m = 190 kg a
une période T = 1h35 sur sa trajectoire
elliptique. Sa distance minimale au centre de la
terre est d = 6800 km.
1. Établir la troisième loi de Kepler dans le cas
d’une trajectoire circulaire.
2. En généralisant cette relation aux
trajectoires elliptiques, calculer le demi-grand
axe de la trajectoire elliptique.
3. Déterminer l’expression de l’énergie
mécanique du satellite.
4. Quelles sont les vitesses maximales et
minimales du satellite sur sa trajectoire ?
Recherche et étude des positions d'équilibre
10 Équilibre d’un point sur une tige
Un point matériel M de masse m est attaché à
l’extrémité d’un ressort de constante de
raideur k et de longueur à vide ℓ 0, dont l’autre
extrémité est fixée en un point A situé sur un
axe vertical ascendant (Oz).
La distance entre le point A et le point O est
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OA=L. Le point matériel M est assujetti à se
déplacer suivant l’axe (Ox) sans frottement ; il
est repéré par son abscisse x sur cet axe.
1. Que peut-on dire de l’énergie potentielle de
pesanteur du point M ? Dans la suite, cette
énergie est prise égale à zéro.
2. Exprimer l’énergie potentielle Ep totale du
point M, en fonction du paramètre x et des
données.
3. En déduire l’existence et la nature des
positions d’équilibre du point M.
11 Équilibre d’un point sur un cercle
Un point M de masse m est lié à un cercle fixe
dans le plan vertical, de centre O et de rayon
R. La liaison est supposée parfaite (absence de
frottement). Le point M est attiré par
l’extrémité A du diamètre horizontal AB par
⃗ toujours dirigée vers A et dont le
une force F
module est proportionnel à la distance AM :
⃗ =k MA
⃗
F
avec k constante positive. La
position du point M est repérée par l’angle
⃗ , OM
⃗ ).
θ=( AB
1. Représenter les différentes forces sur un
schéma.
⃗ en fonction de k, R et
2. Exprimer la force F
θ/2 dans la base polaire.
3. Déterminer l’énergie potentielle relative à
chaque force s'exerçant sur M.
4. Déterminer l'existence et la nature des
positions d'équilibre.
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