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PC
2014-2015
Mécanique
Changement de référentiel
1
Exercices de raisonnement
1.1
Mouvement dans un ascenseur
0
On considère un ascenseur en translation verticale par rapport au sol avec une accélération −
a→
O 0 (O
est l'origine du référentiel lié à l'ascenseur). Le référentiel terrestre est considéré comme galiléen.
1. Un passager lâche un objet ponctuel de masse m sans vitesse initiale.
(a) Quel sera le mouvement de la masse dans l'ascenseur ?
−
(b) Que se passe-t-il si −
a→0 = →
g ?
O
2. Un passager tient une valise à la main. La valise lui paraît-elle plus, moins ou aussi lourde, lorsque
l'ascenseur :
(a) démarre en montant ;
(b) monte à vitesse constante ;
(c) ralentit en descendant ?
1.2
Accéléromètre
On souhaite utiliser comme accéléromètre un boîtier dans lequel une masse m est ramenée vers sa
position d'équilibre par un ressort et un amortisseur. On note k , la constante de raideur du ressort et f ,
le coecient de l'amortisseur.
(a) Axe de l'accéléromètre ho-
(b) Axe de l'accéléromètre ver-
rizontal
tical
Figure 1 Orientation d'un accéléromètre
−
On suppose que l'accélération du boîtier →
a par rapport au référentiel terrestre et supposé galiléen est
constante.
1. Dans quel sens doit-on placer le boîtier ?
2. Quel est l'intérêt d'avoir f 2 = 4mk ?
L'accélération est de la forme a(t) = A cos(ωt − ϕ).
4. A quelle condition peut-on encore utiliser ce dispositif ?
2
2.3
Exercices d'entraînement
Ressort en rotation
Un anneau M de masse m peut se déplacer sans frottement le long d'une tige horizontale (Ox1 ). Ce
point est attaché à un ressort de constante de raideur k et de longueur à vide l0 , enlé sur la tige et dont
l'autre extrémité est xée en O. La tige (O, −
u→
x1 ) a un mouvement de rotation uniforme à vitesse angulaire
ω autour de l'axe vertical (Oz ) dans le référentiel terrestre.
Figure 2 Ressort en rotation
Le référentiel terrestre Rg (Ox, Oy, Oz) est supposé galiléen et on note R1 (Ox1 , Oy1 , Oz), le référentiel
lié à la tige. On repère la position de l'anneau sur la tige par la distance OM = x1 .
→).
1. Préciser les expressions vectorielles des forces d'inertie dans la base (−
u→, −
u→, −
u
x1
x1
z
2. Montrer que la force d'inertie d'entraînement dérive d'une énergie potentielle Ep,e que l'on précisera.
3. Que peut-on dire de la force d'inertie de Coriolis ?
4. Déterminer l'énergie potentielle totale Epqet tracer l'allure de Ep (x1 ). On distinguera trois cas
k
suivant la valeur de ω par rapport à ω0 = m
.
5. Déterminer la longueur leq du ressort correspondant à l'équilibre de la masse dans R1 . Commenter.
On supprime maintenant le ressort. A t = 0, x1 (t = 0) = x0 et sa vitesse par rapport à la tige est
nulle.
→
−
6. Déterminer x1 (t) et la réaction de la tige R sur M .
On souhaite étudier le mouvement dans Rg et l'on repère la position du point M par ses coordonnées
cylindriques (r = x1 , θ, z) avec θ˙ = ω .
7. Que pensez-vous du raisonnement suivant ?
"Comme M coulisse sans frottements sur la tige, la réaction de la tige ne travaille
pas. De plus, le mouvement étant dans un plan horizontal, le poids ne travaille pas.
Ainsi, l'énergie cinétique est constante.
−
→ + rω −
→, on a donc v 2 = r˙ 2 + r2 ω 2 = cste soit en dérivant par rapport
Or →
v = r˙ −
u
u
r
θ
au temps,
r¨ + ω 2 r = 0
La solution de l'équation diérentielle est de la forme r = A‘ cos ωt + B sin ωt, ce qui
avec les conditions initiales conduit à r(t) = x0 cos ωt ..."
2.4
Anneau glissant sur un axe incliné en rotation
Un petit anneau, assimilé à un point matériel noté M , est enlé sur une tige ∆ sur laquelle il glisse
sans frottement. Cette tige est xée rigidement au point O à une tige verticale d'axe Oz et est inclinée
d'un angle α constant par rapport à Oz . Le système est mis en rotation autour de Oz à une vitesse
angulaire constante ω . On repère la position de l'anneau sur la tige par la distance OM = x1 .
Figure 3 Anneau sur une tige en rotation
1. Etablir l'équation diérentielle vériée par x1 .
2. En déduire pour quelle valeur x1,eq de x1 l'anneau est en équilibre par rapport à la tige ? Cet
équilibre est-il stable ou instable ?
3. A t = 0, on abandonne l'anneau avec une vitese initiale nulle par rapport à la tige en une position
M0 dénie par OM0 = x0 (x0 6= x1,eq ). Résoudre l'équation diérentielle vériée par x1 (t). Discuter
le sens du mouvement relatif de M selon la valeur de x0 par rapport à x1,eq .
4. Déterminer à chaque instant, les composantes de la réaction exercée par la tige sur l'anneau en
fonction de x1 , ω et α
2.5
L'étude physique des séismes : les sismographes
Un sismographe (ou sismomètre) est un dispositif enregistrant les mouvements du sol.
Pour caractériser complètement les mouvements du sol, une station sismique doit comporter 3 sismographes, un vertical et deux horizontaux, orientés par exemple Nord-Sud et Est-Ouest. Les périodes des
ondes sismiques varient sur une large gamme, du dixième de seconde à plus de 1000 secondes.
Le dispositif étudié dans ce problème est un sismographe vertical à ressort.
Le sismographe vertical, représenté gure 4, est constitué d'un solide Σ de masse m suspendu à un
ressort dont l'autre extrémité Ω est liée à un bâti rigide solidaire du sol en vibration. Un dispositif
d'acquisition permet d'enregistrer le mouvement du solide par rapport au bâti. On souhaite que ce
mouvement reproduise le plus dèlement possible celui du sol par rapport au référentiel d'étude R
supposé galiléen. On appelle Rs le référentiel lié au bâti rigide.
Figure 4 Sismographe vertical
Le sol est supposé horizontal. Son mouvement vertical, lors d'une secousse sismique sinusoïdale de
pulsation ω , est repéré par la cote, mesurée par rapport à R :
Zs = Z0 cos ωt
Le ressort, de masse négligeable, de constante de raideur k , de longueur au repos L0 , a pour longueur
L(t) à l'instant t. Un amortisseur, relié au ressort, exerce sur le solide une action mécanique modélisée
→
−
−→(M ) est la vitesse du solide dans le référentiel R .
−→(M ), où −
v/R
par la force ; fr = −λ−
v/R
s
s
s
On note L1 la longueur du ressort quand le solide est à l'équilibre en l'absence de secousse sismique.
Le solide se situe alors à la cote z1 repérée par rapprot au bâti.
1. Déterminer L1 en fonction de L0 , m, g et k . En déduire z1 en fonction de h, L0 , m, g et k .
Lors d'une secousse, on repère la position du solide par x(t) = z(t) − z1 , où z(t) est repéré par
rapport au bâti du sismographe.
2. Etablir l'équation diérentielle vériée par x(t) lors d'une secousse sismique. L'écrire sous la forme
d2 x
dt2
+
ω0 dx
Q dt
+ ω02 x = ω 2 Z0 cos ωt
k
λ
avec ω02 = m
et ωQ0 = m
.
Préciser les signications physiques et les dimensions de ω0 et Q.
3. On cherche la réponse du sismographe sous la forme
x(t) = X0 cos(ωt + ϕ)
En posant u =
ω
ω0 ,
montrer que
X0
Z0
=
u2
q
2
u
(1−u2 )2 + Q
2
On pourra utiliser la notation complexe.
0
Le graphe représentant les évolutions de X
Z0 en fonction de u pour diérentes valeurs du paramètre
Q est donné en gure 5.
Figure 5 Réponse fréquentielle du sismographe
4. Vérier que l'allure de ce graphe est compatible, à haute et basse fréquence avec l'expression calculée.
2
Z0
5. On pose Y = X
et x = u1 . Montrer que la fonction Y (x) s'écrit :
0
Y (x) = (x2 − 1)2 +
x2
Q2
En étudiant la fonction Y (x) montrer qu'il ne peut pas y avoir de résonance si Q est inférieur à une
valeur limite Q0 à déterminer.
6. Comment faut-il choisir la pulsation propre ω0 par rapport à la pulsation ω de la secousse sismique ?
Justier physiquement ce résultat.
7. Quel est le meilleur choix pour le paramètre Q en terme de délité de la réponse et de durée du
régime transitoire ?
8. Quel est l'ordre de grandeur de l'allongement du ressort à l'équilibre d'un sismographe optimisé
pour détecter des ondes sismiques dont la période est de l'ordre de la seconde. Commenter.
2.6
Démarrage en voiture
Une caisse assimilable à un point matériel de masse m repose à l'arrière d'une voiture dont le core
est resté ouvert. A t = 0, la voiture démarre dans le référentiel terrestre supposé galiléen. On suppose
−
que l'accélération est constante et horizontale : →
a0 = a0 −
u→
x.
Figure 6 Démarrage en voiture
L'action exercée par le core sur la caisse satisfait aux lois de Coulomb et l'on note f , le coecient
de frottement.
1. A quelle condition la caisse ne glisse-t-elle pas dans le core ?
2. Déterminer dans ce cas l'énergie cinétique de la caisse dans le référentiel terrestre par deux méthodes
diérentes.
3. On suppose désormais que la caisse glisse dans le core. Déterminer sa vitesse dans le référentiel lié
à la voiture.
2.7
Traction d'une remorque
On modélise une remorque par une roue de rayon R, de centre C , reliée au châssis par une liaison
−
pivot parfaite. L'ensemble de masse m est tracté par une voiture à la vitesse →
v0 constante. Cette action
est modélisable par une force de traction s'appliquant en A :
−−−−−→
Ftraction = F0 −
u→
x
−−−−→
−
La remorque est également soumise à une force de frottement uide Ff luide = −λv0 →
v0 .
Figure 7 Remorque tractée
On suppose que
la roue de la remorque roule sans glisser sur la route avec une vitesse angulaire ω0 ;
l'action de la route sur la roue vérie les lois de Coulomb avec un coecient de frottement µ.
Données :
v0 = 90 km.h−1 ;
α = 15° ;
λ = 0, 32 SI ;
m = 500 kg ;
g = 9, 8 m.s−2 ;
1 CV = 0, 735 kW .
1. Déterminer une relation entre v0 et ω0 .
2. On souhaite étudier le problème dans le référentiel Rrem . Que peut-on dire de ce référentiel ?
→
−
3. Déterminer T , composante tangentielle de la réaction de la route sur la roue.
4. En déduire l'expression et la valeur de F0 .
−→
5. Exprimer le travail fourni par la force de traction Ft r à la remorque au cours d'un déplacement de
longueur ` à v0 .
6. Calculer numériquement la puissance supplémentaire (par rapport à la situation sans remorque)
que doit fournir la voiture pour maintenir sa vitesse constante. Exprimer le résultat en kW et CV .
2.8
Champ de pesanteur terrestre
On assimile la Terre à un astre sphérique homogène de rayon R = 6 371 km et de masse MT =
5, 977.1024 kg . Dans le référentiel géocentrique considéré comme galiléen, la Terre est en rotation uniforme
autour de l'axe des pôles. La période de rotation est T = 86 164 s.
On considère un point M de masse m de latitude λ.
1. Rappeler la dénition du poids de M .
−
2. En déduire la relation entre le champ de pesanteur →
g et le champ de gravitation terrestre →
− G.
Représenter sur un schéma de la Terre vue en coupe ces deux vecteurs. Que se passe-t-il à l'équateur
et aux pôles ?
−
3. Donner l'expression de g = k→
g k et de G en fonction de Ω = 2π , λ, R et G = 6, 674.10−11 SI ,
constante de gravitation universelle.
4. Calculer les valeurs de g et G
T
aux pôles ;
à l'équateur ;
pour λ = 45°.
Expérimentalement, on mesure g = 9, 780 m.s−2 à l'équateur et g = 9, 832 m.s−2 aux pôles.
Commenter.
→
−
−
5. On note , l'angle entre →
g et G .
a) Où a-t-on = 0 ?
b) Donner l'expression de . On pourra utiliser la relation entre les sinus des angles d'un triangle
sin λ
ABC : sin
BC = AC . Calculer la valeur maximale de ε. Qu'en déduit-on ?