Transcript TD 30 - Un cours de physique en spéciale PC

Spéciale PC
Thème TD Physique
Année 20132014
TD n° 30.
Dynamique des solides et systèmes de solides.
Donné le : 27 / 02 / 14.
1 Solides en contact avec ou
sans glissement.
lindres identiques tournant en sens inverses à la vitesse angulaire ω constante. Les axes des deux cylindres sont xes dans le référentiel du laboratoire
supposé galiléen, parallèles et distants de 2`. On
note fc le coecient de frottement de glissement cinétique de la planche sur les cylindres. À l'instant
initial, la planche est abandonnée sans vitesse initiale, son centre d'inertie G n'étant pas sur l'axe
Oy.
1.1 Mesure d'un coecient de frottement.
On considère le dispositif ci-dessous.
m1
y
x
O
g
I1
m2
I2
G
z O
O1 w
h
x
w
O2
z
1°) La vitesse de rotation des cylindres est susamment grande pour que la planche glisse toujours
sur les cylindres. En supposant un mouvement de la
planche dans le sens des x %, représenter les actions
de contact des rouleaux sur la planche en I1 et I2 en
précisant les sens des forces de frottement.
2°) Appliquer à la planche le théorème du centre de
masse (ou théorème de la résultante cinétique) ainsi
que le théorème du moment cinétique en G dans le
référentiel barycentrique et en déduire les composantes verticales des réactions des deux cylindres en
fonction de l'abscisse xG de G.
3°) Montrer que cette planche eectue alors des oscillations harmoniques dont on exprimera la période
en fonction de `, g et fc . (Ce dispositif constitue
une méthode originale et souvent utilisée pour mesurer un coecient de frottement, connue sous le
nom d'appareil de Timochenko).
4°) Retrouver l'équation du mouvement par une
étude énergétique (on notera que la planche ne
constitue pas un système conservatif).
La poulie est sans masse et la liaison pivot parfaite.
Le l est inélastique et sans masse et ne glisse pas
sur la poulie. On abandonne le système à l'instant
t= 0 sans vitesse initiale. La masse m2 s'immobilise sur un support après qu'elle est descendue d'une
hauteur h.
On constate que la masse m1 poursuit son mouvement puis s'immobilise après avoir parcouru une distance supplémentaire d.
Montrer comment cette expérience permet de calculer le coecient de frottement f de la masse m1 sur
la table.
1.2 Chute d'une barre pesante.
Une barre OM de masse
m, de longueur 2`, posée
quasi verticalement sur le
sol se met à tomber en
restant dans le plan vertical (Oxy).
x
M
q
g
2ℓ
2 Solides en rotation autour
d'un axe xe.
i
Dans un premier temps,
y
O j
on envisage un mouvement sans glissement.
L'extrémité basse de la
barre, en O reste donc xe. On connaît J le moment
d'inertie de la barre autour de l'axe (Oz).
~ = Rx~i +
1. Exprimer la réaction du support R
~
Ry j en fonction de m, `, J , g et θ.
2. Conditions du glissement ou non en O ?
2.1 Un problème de bifurcation en
mécanique.
1.3 Comment obtenir un oscillateur
harmonique avec du frottement
de glissement!
Une planche mince (épaisseur négligée) homogène
de masse m repose horizontalement sur deux cy-
1/ 2
Une tige homogène de masse
m et de longueur OA = ` est
accrochée en O par une liaison pivot supposée parfaite
lui permettant une rotation
autour de l'axe horizontal Oy
dans le plan vertical (xOz).
L'axe Oy est mis en rotation
autour de l'axe vertical Oz à
la vitesse angulaire supposée
constante ω .
z
x
y
O
g
A
On constate que pour ω < ωc , la tige reste verticale,
mais que si ω > ωc , OA s'incline de façon stable
de la verticale d'un angle θ tout en tournant autour de l'axe Oz (voir gure), avec θ % si ω % .
Ce type de comportement avec deux types de solutions possibles selon une valeur seuil d'un paramètre
constitue en physique une "bifurcation".
l'élément de tige de masse dm = µdξ en M, entre
ξ et ξ + dξ . En déduire par intégration sur la tige
−
−
−
OA les composantes dans la base (→
e x, →
e y, →
e z ) de
−
→
(M O )ie .
c) Déduire du théorème du moment cinétique en O
appliqué à la tige en équilibre dans R0 la relation
liant θ, g, ` et ω . Retrouver le critère de bifurcation
établi en 1°) c).
1°) Interprétation du phénomène dans le référentiel du laboratoire supposé galiléen.
exprimer dans la base
2.2 Oscillations harmoniques d'un
système poulie + ressort.
exprimer dans la base
Dans le dispositif représenté sur la gure ci-dessous,
le disque homogène de masse m, de rayon R et de
1
moment d'inertie JGy = mR2 , ne glisse pas sur le
2
l.
a) Étude cinématique :
−
−
−
(→
e x, →
e y, →
e z ) la vitesse d'un point M de la tige tel
−−→
−
que OM = ξ →
u.
b) Étude cinétique :
−
−
−
(→
e x, →
e y, →
e z ) le moment cinétique élémentaire par
→
−
rapport à O d L O (M ) de l'élément de tige de masse
dm = µdξ en M, entre ξ et ξ + dξ , où µ = m/`
désigne la masse linéique de la tige.
En déduire par intégration les composantes sur la
−
−
−
base (→
e x, →
e y, →
e z ) du vecteur moment cinétique
→
−
L O de la tige OA.
écrire dans Rlabo supposé
galiléen le théorème du moment cinétique en O au
système tige en supposant θ = cste. Faire apparaître
l'eet de seuil précédemment décrit et exprimer la
pulsation critique ωc conduisant à une inclinaison
stable de la tige autre que θ = 0.
I1
2°) Interprétation du phénomène dans le référentiel lié à la tige.
g
c) Étude dynamique :
A
y
I2 x
z
Soit le référentiel R0 lié aux axes Ox, Oy, Oz . Ce référentiel n'est pas galiléen du fait de la rotation de
Oy dans Rlabo et il convient de prendre en compte,
pour l'équilibre relatif de la tige la force d'inertie
d'entrainement de R0 par rapport à Rlabo .
Le l est inextensible et sans masse. le ressort est
sans masse, de raideur k et de longueur à vide `0 .
On repère le mouvement par la cote z du centre
d'inertie G du disque, par l'angle θ et par la longueur ` du ressort. On xe l'origine z = 0 lorsque
` = `0 (ressort non tendu). le champ de pesanteur
→
−
−
g = −g →
e z est uniforme.
Rappeler l'expression de l'accélération d'entrai−−→
nement d'un point M de la tige OA tel que OM =
−
ξ→
u.
a)
−
→
Déterminer la période des oscillations. On justiera
la méthode utilisée.
Exprimer le moment élémentaire d(M O )ie par
rapport à O de la force d'inertie d'entrainement de
b)
G
q
2/ 2