Transcript Devoir Surveillé 4

Mardi 16 décembre 2014
Nom :
Durée : 1h30
Prénom :
Classe :
Devoir surveillé n°4
L’évaluation tiendra compte de la qualité de la rédaction, de la présentation et de la rigueur. Toute réponse
doit être justifiée de manière claire et explicite.
L’usage de la calculatrice n’est pas autorisé
EXERCICE 1 Accélérateur d’ions (5,5 pts / 25 min)
Un accélérateur de particules est un instrument qui utilise des champs électriques ou magnétiques pour
amener des particules chargées électriquement à des vitesses élevées. En d'autres termes, il communique
de l'énergie aux particules. On en distingue deux grandes catégories : les accélérateurs linéaires et les
accélérateurs circulaires.
Un ion aluminium Al3+ de masse m quitte la chambre d'ionisation d'un accélérateur avec une vitesse
négligeable en O. Il est attiré par une électrode percée d'un trou A qu'il traverse avec une vitesse V A. Une
tension UOA est appliquée entre les armatures A et O entre lesquelles règne un champ électrostatique de
norme E = UOA / d où d est la distance entre les armatures.
On définit un repère (O,i, j) dans lequel i et j sont indiqués sur la figure.
Quelle est la vitesse de cet ion à la sortie de l’accélérateur ?
Données :
 AO = d = 20 cm
 UAO = - 1000 V
 m = 4,48 10-23 g
 e = 1,6 10-19 C
Aide aux calculs :
6 1,6
1,5
4,48
1. L’accélérateur étudié est-il linéaire ou circulaire ? Expliquer.
2. En expliquant votre raisonnement, montrer que l’expression du vecteur accélération de l’ion est :
3.e.E
ax
.
m
3. En déduire l’expression de la vitesse selon l’axe horizontal Vx(t).
3e.UOA .t 2
4. Montrer que la position x(t) est donnée par la relation x(t )
.
2m.d
6e.UOA
5. En déduire que la vitesse en A, a pour expression : v A
.
m
6. Calculer la valeur de la vitesse en A en km/h.
EXERCICE 2 À la rencontre de la planète Mars (5,5 pts / 25 min)
Document : la planète rouge
Mars est la quatrième planète de notre Système Solaire, située entre la Terre et
Jupiter. Elle mesure 6794 km de diamètre, sa masse est de 6,42 billions de
tonnes et sa température moyenne au sol est de -63°C. Cette planète a deux
satellites : Phobos et Deimos.
La planète Mars effectue le tour du Soleil en T = 687 jours. Si elle met plus de
temps que la Terre à faire le tour du Soleil, Mars ne se déplace pas pour autant
lentement : chaque seconde elle parcourt près de 24 km !
Données :
- Dans le référentiel héliocentrique, les trajectoires de la planète Mars et de la planète Terre sont des
cercles dont le centre S est confondu avec celui du Soleil. Le Soleil est considéré comme un solide à
répartition sphérique de masse.
- Le rayon de la trajectoire de Mars est rM = 2,28 x 1011 m ; celui de la Terre est rT = 1,50 x 1011 m.
- La masse du Soleil est MS = 2,0 x 1030 kg.
- La constante de gravitation est G = 6,67 x 10-11 N.m2.kg-2
Aide aux calculs :
6,67 2,0
2,28
2,4
1. Montrer que le mouvement circulaire de Mars est uniforme.
2. Déterminer l'expression de la valeur v de la vitesse de Mars en fonction de rM, G et MS masse du Soleil.
Faire l’application numérique. Comparer la valeur trouvée à celle indiquée dans le document.
3. Établir l'expression de T en fonction de rM , G et MS et vérifier la phrase surlignée du texte.
EXERCICE 3 Le trébuchet (9 pts / 40 min)
Le trébuchet est une machine de guerre qui était utilisée au Moyen
Âge au cours des sièges de châteaux forts. Le projectile pouvait
faire des brèches dans les murailles des châteaux forts situés à plus
de 200 m du trébuchet.
Son principe de fonctionnement est le suivant :
Un contrepoids relié à un levier est maintenu à une certaine
hauteur par des cordages. Il est brusquement libéré. Au cours de sa
chute, il agit sur un levier au bout duquel se trouve une poche en
cuir dans laquelle est placé le projectile.
Lors de sa libération, le projectile de la poche se trouve à une hauteur H = 10 m et est projeté avec une
vitesse v 0 faisant un angle avec l'horizontale (voir la figure 1).
z
v0
Figure 1.
Tir a trébuchet
H
O
Sol
x
Les mouvements du contrepoids et du projectile s'effectuent dans un champ de pesanteur uniforme.
Données :
Masse du projectile m = 130 kg.
Intensité du champ de pesanteur g 10 m.s-2.
Hauteur du projectile au moment du lancer : H = 10 m.
Masse volumique de l'air air = 1,3 kg.m -3.
Volume du projectile V = 50 L
0 ,5 0 ,71
On désire étudier le mouvement du projectile après sa libération.
Le système étudié est le projectile. Les frottements de l'air sur le projectile seront négligés dans cette étude.
Le champ de pesanteur g est parallèle à l'axe Oz. La situation est représentée sur la figure 1 à remettre
avec la copie.
1. Si on note le poids P et la poussée d'Archimède PA qui s'exercent sur le projectile.
P
Calculer le rapport des normes de ces forces : . Conclure.
PA
2. Dans le cadre d’une chute libre du projectile, montrer que les coordonnées ax et az du vecteur
accélération du centre d'inertie du projectile dans le repère indiqué sont :
ax 0
a
az
g
3. Donner l'expression des coordonnées du vecteur vitesse initiale v 0 , en fonction de V0 et .
4. Montrer que les équations horaires du mouvement du projectile sont :
1
x(t) = (v0 . cosα).t
et
z(t) = – .g.t2 + (v0 . sinα).t + H
2
5. En déduire l’équation de la trajectoire du projectile :
1
x²
z( x )
g 2
2 v0 cos²
x tan
H
6. Quelle est la nature de la trajectoire du projectile ? Représenter qualitativement l'allure de la trajectoire
sur la figure 1 à remettre avec la copie.
7. En utilisant l'expression de l'équation de la trajectoire obtenue à la question 5., indiquer les paramètres
de lancement que les assaillants d’un château fort pouvaient régler pour modifier le mouvement du
projectile.
8. Dans le cas où le projectile est lancé avec une vitesse initiale horizontale, montrer que l'abscisse de son
2H
point de chute est : x = v0 .
g
9. Avec quelle vitesse initiale V0 horizontale, le projectile doit-il être lancé pour atteindre la base du mur
du château situé à une distance x = 100 m ?
Bon courage !!!