Matemática I – Tecnólogo em Construção de Edifícios e Tecnólogo em Refrigeração e Climatização

19. Trigonometria no triângulo retângulo

Por definição temos: cos   BC AC  sen  sen   AB  cos  tan   AC AB BC  cot an   1 tan  Essas relações são sempre válidas se  +  =90º. Ainda temos as razões trigonométricas derivadas: tan   sen  cos  , cot an   cos  sen  , sec   1 cos  e cos sec   1 sen  .

Exemplo:

Um observador vê um prédio, construído em terreno plano, sob um ângulo de 60º(topo). Afastando-se 30 m do edifício, passa a ver o topo do prédio sob ângulo de 45º. Qual é a altura do prédio?

19.1 Relação entre as razões trigonométricas.

(a)

sen²  + cos²  =1 Pelo triângulo retângulo: AB AC  2  BC AC  2  AB ²  BC ²  AB ² AC ² AC ²

(b)

tan²  + 1 = sec²  Pelo triângulo retângulo:  AC ² BC ² AB BC  2  1  AB ²  BC ² BC ²  AC ² BC ²  AC BC  2   AC ² AC ²  1 cos   2 1  sec ²  75 IFRS – Campus Rio Grande

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(c)

cotan²  + 1 = cossec²  Pelo triângulo retângulo: BC AB  2  1  BC ²  AB ² AB ²  AC ² AB ²  AC AB  2  1 sen   2  cos sec ² 

Exemplo:

É dado secx = 5 3 , determine todas as demais razões trigonométricas.

19.2 Resolução de triângulos qualquer.

Para resolver um triângulo qualquer temos duas leis: lei dos senos e lei dos cossenos. O que também pode auxiliar são as fórmulas do arco soma e do arco diferença.

(a)

Lei dos senos.

(b)

Lei dos cossenos. a sen 

(c)

 b sen   c sen  Seno da adição/subtração. sen(a  b) = sena .

cosb  senb .

cosa

(d)

c² = a² + b² - 2ab Cosseno da adição/subtração. cos(a  b) = cosa .

cosb  .

cos  sena .

senb IFRS – Campus Rio Grande

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Exemplo:

Encontre os valores de x e seny na figura. 77

20 Exercícios.

1-

Um dos catetos de um triângulo retângulo mede 10 cm e a hipotenusa mede 12 cm. Determine o valor do cosseno de cada ângulo agudo do triângulo.

2-

Seja o ângulo agudo x tal que cosx = 7 25 tanx e cotanx. , determine senx, cossecx, secx,

3-

Calcule o comprimento da sombra projetada por um poste de 6 metros de altura no instante em que os raios solares que incidem sobre ele formam com o solo, horizontal, um ângulo de 60º.

4-

Uma telha de um galinheiro quebrou. Em dias chuvosos, uma goteira produz no chão, embaixo da telha quebrada, uma pequena poça de água a 1,85 metros de uma das paredes do galinheiro, conforme a figura. Considerando que a espessura dessa parede é de 15 cm e que d é a distância entre o ponto mais alto do telhado e a quebra da telha, calcule, d em metros. IFRS – Campus Rio Grande

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5-

Um túnel reto AB deverá ser construído a partir da perfuração de uma montanha. De um ponto C – situado a 65 metros de A, na perpendicular ao traçado do túnel – avistam-se as futuras extremidades do túnel sob ângulo de 60º. Qual o comprimento do túnel a ser construído?

6-

Dois homens, H 1 e H 2 , com 2 metros e 1,50 metros de altura, respectivamente, estão em pé numa calçada, em lados opostos de um poste de 5 m de comprimento, iluminados por uma lâmpada desse poste, como mostra a figura. Determine a distância entre os homens.

21 Respostas dos exercícios do item 18.

1-

A = ]3, 5[

2-

A=]  ,2[  ]3,+  [

4- 5-

f: ]-9,+  [  ℝ y  2

6-

x 5   1 5 log 3 log 3 2  x 3

7-

x  log 64 3

8-

x = 2

9-

S=  36  9 

3-

A = ]-1,1[  ]1,3[ g: ]4,+  [  ℝ y  5  1 3 log 2 x  3 4

10-

x  31 40

11-

x = 32

12-

S = {2,16}

13-

S = {-1,5}

14-

S  1 2 , 2 

15-

S =  log 3

16-

S=   0 , 1 3   7 ,  

17-

S= 

18-

S= ]8,+  [

19-

f>0  x    0 , 1 16     2 ,   ; f=0  x = 1 16 ou x = 2; f<0    1 16 , 2   78 IFRS – Campus Rio Grande