Transcript MÉTODOS MATEMÁTICOS EM BIOLOGIA 2007 CURSOS DE BIOFÍSICA E BIOMEDICINA
UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO INSTITUTO DE BIOFÍSICA CARLOS CHAGAS FILHO
MÉTODOS MATEMÁTICOS EM BIOLOGIA
CURSOS DE BIOFÍSICA E BIOMEDICINA 2007 Gilberto Weissmüller, Nice Americano da Costa e Paulo Mascarello Bisch 1
POR QUE AS BIOCIÊNCIAS PRECISAM DE MATEMÁTICA?
2
•
“
O livro da natureza é escrito na língua da Matemática”
• Galileo
(1564-1642)
•
“
Aqueles que querem analisar a natureza sem usar Matemática devem se contentar com uma compreensão reduzida”
Richard Feynman, (1918-1988) ( People who wish to analyze nature without using mathematics must settle for a reduced understanding
) 3
CONCEITOS FUNDAMENTAIS
Número
Grandezas
Constantes
Variáveis Domínio de definição Tipos de variáveis
4
O que é Número?
Pitágoras (570-496 aC, Grécia)
essência e o princípio de todas as coisas
Aristóteles (384-322 aC, Grécia)
o movimento acelerado ou retardado
Euclides (360-295 aC, desconhecido)
um composto da unidade
Isaac Newton (1643-1727, Inglaterra)
a relação entre a quantidade e a unidade
Condorcet (1746-
1794, França)
uma coleção de unidades
Benjamin Constat (1767 1830, Suiça)
o resultado da comparação de qualquer grandeza com a unidade
Schopenhauer (1788-1860, Alemanha)
o conceito numérico apresenta-se como a ciência do tempo puro
Bertrand Russel (1872-1970, Inglaterra)
a classe de todas as classes equivalente a uma dada classe 5
6
Domínio de definição de uma variável
um conjunto de valores numéricos que a variável é passível de assumir (a partir de sua própria definição) O domínio de definição de uma variável é sempre representado por um intervalo entre dois valores,
a
e
b,
chamados extremos do intervalo. O intervalo pode ser:
aberto,
se
a
x
b
fechado
, se ou ainda um
semi-intervalo aberto
a
x
b a
x
b ou a
x
b
7
EXEMPLOS DE DOMINIOS DE DEFINIÇÃO 1. Uma grandeza: a área,
S
, de um figura limitada por uma curva fechada O domínio de definição de
S
será 0
S
2. Outra grandeza: a área,
S
, dos ambientes de um edifício de 30m x 10m O domínio de definição de
S
será 0
S
300 3.
Uma grandeza: a variável
x
=cosb, para todos os valores de b O domínio de definição de
x
será 1
x
1 8
Tipos de variáveis
ordenadas uma variável é ordenada se, c onhecido o seu domínio de definição, para cada par de seus valores, podemos indicar aquele antecedente e aquele conseqüente.
crescentes (ou decrescentes) uma variável é dita crescente, se cada valor conseqüente é maior que cada valor antecedente.
limitadas uma variável é dita limitada se existe um valor constante M>0, tal que, para todos os valores conseqüentes da variável, a partir de um determinado valor, fica satisfeita a inequação
M
x
M x ou
M
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A NOÇÃO DE FUNÇÃO
Sejam das variáveis, x e y. Dizemos que y é uma
função
de x, que designamos simbolicamente por
y=f(x),
através de uma aplicação de um conjunto ordenado de operações, fica associado um valor da variável y.
se a cada valor da variável x, f y 1 ..
x 1 x 3 x n x 2 x 5 f f y 2 y n ..
10
Acompanhe a seguinte “receita” matemática :
1o. Tome o valor de x e quadre; 2o. Multiplique o resultado obtido por 3;
x
2 3
x
2 3o. Some o valor da metade x; 3
x
2
x
2 4o. Acrescente mais 10.
3
x
2
x
2 10
y
f
(
x
) 3
x
2
x
2 10
f
é a representação simbólica desse conjunto ordenado de operações(potenciação, multiplicação, divisão e soma) realizadas sobre cada valor de x 11
Agora esta :
1o. Tome o valor do seno de x ; 2o. Multiplique o resultado obtido por 3;
sen x
3
sen x
3o. Some o valor da metade x; 3
sen x
x
2 4o. Acrescente mais 10.
3
sen x
x
10 2
y
f
(
x
) 3
sen x
x
10 2
f
é a representação simbólica desse conjunto ordenado de operações (seno, multiplicação, divisão e soma) realizadas sobre cada valor de x 12
DOIS IMPORTANTES CONCEITOS
Domínio de definição de uma função
conjunto de valores de x, para os quais a função tem um valor determinado
valor da função num ponto
é o valor (numérico) que a função assume para um dado valor de x 13
Exemplos de Domínios de Definição
y
f
(
x
)
x
6 2
y
f
(
x
)
x x
1 1
x
x
1
y
f
(
x
)
sen x
x
y
f
(
x
) 1
x
2 1
x
1 14
y
f
Exemplos de Valor da Função
( 1 )
x
6 2
y
f
(
x
)
x x
1 1 2 3 1
p
/
x
1
x
5
y
f
( )
sen x
0
x
y
f
( 1 ) 1
x
2 0
x
1 15
REPRESENTAÇÕES DE UMA FUNÇÃO Analítica
A notação simbólica do conjunto de operações matemáticas conhecidas que devemos aplicar, na ordem indicada, a números e letras que exprimem as constantes e variáveis envolvidas. Por exemplo:
y
f
(
x
) 3
x
2
y
f
(
x
) 3
sen x
Tabular (tabela)
X -1 0 1 2 3 y 3 0 3 12 27 X /2 0 /2 0 -3 0 3 0 y 16
Graficamente
y=3x 2 -1 30
y
25 20 15 10 5 0 0 1 2 3
x
4 17
Outras noções sobre funções • Paridade • Periodicidade • Positividade/Negatividade • Zeros (ou raízes) • Função de função
f
(
x
)
f
(
x
) ) • Função inversa • Função implícita
i y
i y
x
f x i
0
u
18
FUNÇÕES ELEMENTARES
São aquelas funções cujos conjuntos de operações ordenadas se resumem à forma mais simples das operações conhecidas da álgebra e da trigonometria: potenciação, logaritmo, seno, co-seno, tangente, etc.
Os nomes pelos quais são conhecidas derivam daí, como veremos.
19
FUNÇÃO POTÊNCIA
A forma geral da função
y
f
(
x
)
x a
Onde a é um número inteiro ou fracionário, positivo ou negativo Qual o domínio de definição destas funções?
Seria, por acaso,
x
?
20
-1 -0,5 0,8 0,6 0,4 0,2 0 0 -0,2 -0,4 -0,6 0,5 1 Série1 Série2 Série3 21
FUNÇÃO LOGARÍTMICA
A forma geral da função
y
f
(
x
) log
a x
Onde a é um número positivo 1 quando a=número de Euler=e
y
f
(
x
) ln
x
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FUNÇÃO EXPONENCIAL
A forma geral da função
y
f
(
x
)
a x
Onde a é um número positivo 1 quando a é o número de Euler, designado por e
y
f
(
x
)
e x
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AS FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS
seno co-seno tangente
y
f
(
x
)
sen x y
f
(
x
) cos
x y
f
(
x
)
tg x
cotangente secante secante
y
f
(
x
) cot
x y
f
(
x
) sec
x y
f
(
x
) cos
ec x
24