Transcript Lista de Exercicíos - Colégio Policial Militar Feliciano Nunes Pires

POLÍCIA MILITAR DE SANTA CATARINA
DIRETORIA DE INSTRUÇÃO E ENSINO
COLÉGIO POLICIAL MILITAR “FELICIANO NUNES PIRES”
CICLO TRIGONOMÉTRICO E MENOR DETERMINAÇÃO POSITIVA
1. Converta em radianos:
a) 60°
c) 210°
b) 45°
d) 300°
2. Expresse em graus:
a)
b)
π
6
π
5
rad
c)
rad
d)
π
rad
4
5π
6
e)
rad
3. Escreva a expressão geral dos arcos côngruos a:
a) 60°
f)
e)
b) 120°
f)
c) 240°
g)
d) 300°
h)
π
π
16
3π
16
rad
rad
rad
3
2π
3
5π
4
11π
6
rad
rad
rad
4. Encontre a 1ª determinação positiva, ou seja, o menor valor positivo não negativo côngruo ao arco de:
23π
a) 685°
e) -400°
i)
rad
6
f)
-1310°
b) 780°
g)
c) 1140°
h)
15π
2
10π
3
j)
rad
k)
rad
l)
d) 850°
21π
5
9π
2
17π
4
rad
rad
rad
5. (Unifor-CE) O arco α mede 7632°. O arco β, tal que 0 < β < 90°, é côngruo a α. A medida de β, em radianos, é:
π
2π
π
e)
a)
c)
7
b)
6
π
5
d)
3
2π
5
6. (UFMT) Um relógio analógico marca, num determinado instante, 1 hora e 15 minutos. Admita que o ponteiro dos
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minutos, a partir desse instante, se movimente 36°. Nessas condições, o novo horário apresentado por esse
relógio é:
a) 1 hora e 51 minutos
d) 1 hora 36 minutos
b) 1 hora e 31 minutos
e) 1 hora e 21 minutos
c) 1 hora e 43 minutos
7.
a)
b)
c)
Em que quadrante temos, simultaneamente:
sen α < 0 e cos α < 0
sen α > 0 e cos α > 0
sen α < 0 e cos α > 0
8. A que quadrante pertence α se:
a) sen α = −
b) cos α =
2
4
5
c) cos α = −
d) sen α =
1
𝟑
3
𝟓
3
9. Determine cos x sabendo que
π
2
< 𝑥 < π e 3sen x = 3
10. Indique no ciclo trigonométrico as extremidades que correspondem na circunferência aos seguintes arcos
a)
5
6
b)
6
5
c) 

4
d)

3
2
11. Quais os menores valores não negativos côngruos aos seguintes arcos:
a) 1125º
b) 1035º
c) -840º
d) -300º
o
e) 410
12. Marque um x no(s) caso(s) em todos os arcos são côngruos:
a) ( ) 
3
21 


4
4
4
b) ( )
7
3 17


5
5
5
c) ( ) 2345º  185º  1975º
13. Encontre a 1ª determinação positiva e o quadrante dos arcos, se possuir:
5
a) 1470º
b) – 1020º
c) 125
d) 
2
4
14. Calcular a 1ª determinação positiva de:
a) 930º
b) 1550º
c) 1690º
15. Em relação ao arco de 4380, responda:
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a) Qual é a sua 1º determinação positiva?
b) Quais são os cinco primeiros arcos côngruos?
c) Quantas voltas completas ele dá no ciclo trigonométrico?
d) Qual é a sua expressão geral?
16. Sabendo que x é um arco do primeiro quadrante e que sen x = 0,8 , determine cos x e tg x.
17. Sabendo que 180  x  270 e que sen x = 0,6 , determine cos x e tg x.
0
0
18. Calcule o valor de:
a) sen 150
o
b) sen 120
o
c) sen 300
o
o
d) sen 270
19. Calcule o valor de:
o
a) cos 150
o
b) cos 120
c) cos 300
o
o
d) cos 270
20. Calcule o valor de:
o
a) tg 150
o
b) tg 120
c) tg 300
o
o
d) tg 270
21. Complete, nas figuras, as medidas dos arcos trigonométricos correspondentes.
22. Use os valores notáveis do seno para calcular pela redução ao 1° quadrante:
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5π
a) sen
b) sen
6
4π
3
c) sen 330°
23. Determine x nos seguintes casos:
a) 0° ≤ x < 360° e sen x = -1
b) 0 ≤ x ≤ 2π e sen x =
c) 0 ≤ x ≤
π
2
e sen x =
1
2
𝟑
2
d) 0 ≤ x <π e sen x = 0
π
e) 0≤ x< e sen x = −
2
𝟏
2
24. Às 11 horas e 15 minutos, o ângulo ‘ (figura abaixo) formado pelos ponteiros de um relógio mede
25. Nos X-Games Brasil, em maio de 2004, o skatista brasileiro Sandro Dias, apelidado "Mineirinho", conseguiu
realizar a manobra denominada "900", na modalidade skate vertical, tornando-se o segundo atleta no mundo a
conseguir esse feito. A denominação "900" refere-se ao número de graus que o atleta gira no ar em torno de seu
próprio corpo, que, no caso, corresponde a: (Apresente os cálculos).
a) uma volta completa.
b) uma volta e meia.
c) duas voltas completas.
d) duas voltas e meia.
e) cinco voltas completas.
26. A roda dianteira de uma bicicleta tem 40cm de raio. Quantos metros ela percorre ao dar 5.000 voltas? Quantas
voltas ela deve dar para percorrer 9420m?
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27. Determine a medida do raio de uma circunferência (em cm), sabendo que nela um ângulo central de 20°
corresponde a um arco de 50cm.
28. Complete a tabela com os arcos correspondentes em graus e radianos, indicando também os quadrantes a que
pertencem.
Arco Graus
1350°
Arcos em Radianos
Quadrante
(23)/8
-448°
29. Calcular o menor ângulo entre os ponteiros de um relógio nos seguintes instantes:
a) 10h30min
b) 2h15min
d) 14h25
c)13h35min
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30. Determine as medidas correspondentes em graus ou radianos, em cada caso:
a) 135º
b) 40º
c)
d)

9
rad
3
rad
5
31. Determine o comprimento de um arco de circunferência (em cm), sabendo que ela tem 12cm de raio e o ângulo
central correspondente mede 20°.
32. Determine o ângulo central (em radianos) correspondente a um arco de 15cm de comprimento, sabendo que ela tem
raio de 20cm.
33. Determine a medida do raio de uma circunferência (em cm), sabendo que nela um ângulo central de 15° corresponde
a um arco de 30cm.
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FUNÇÃO SENO E FUNÇÃO COSSENO
1. Para cada item calcule o valor de m para os quais a igualdade seja possível.
π
a) cos x = 3 − m , com 0 < x <
2
b) sen x = 2m + 1, comπ < x <
3m−2
3π
3π
2
c) sen x =
, com < x < 2π
4
2
d) cos x = −2m + 7, com 180° < x < 360°
2. Para quais valores de m a equação
senx +5
m
= 4 tem solução?
3. Em cada item, determine os valores de x sabendo que:
a) cos x =
2
2
π
5π
2
2
, com < x <
1
b) sen x = − , com 2π < x <
c) cos x = −
d) sen x =
2
2
e) sen x = −
f)
cos x =
1
2
2
3
2
2
2
, com 90° < x < 540°
, com
3
7π
11π
4
<x<
9π
2
, com 360° < x < 720°
, com 390° < x < 630°
4. Determine o período, a imagem e esboce o gráfico de cada função.
π
a) f x = sen x + π
3
b) g x = 2 + sen x +
c) h x = 2 + cos
3π
2
π
2
x+
2π
5
5. Calcule a diferença dos valores máximo e mínimo de cada função
a) f x = 3 − 2sen
π
2
x
1
b) g x = −1 + cos 3x
4
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6. Determine os valores reais de m para os quais as segiuntes equações tenham solução:
2
2
a) sen x = 2m – 7
f) sen x = m – 1
k) cos x = 3m - m
g) 4m + sen x = 1
l)
c) sen x = 3m – 2
h) cos x = 2m + 5
m) cos x + 5m = 6
2
d) sen x = m + m +1
e) cos x =
2𝑚 −3
4
4
i)
cos x = m – 3
j)
cos x = 3m + 4
cos x = 1 – m
2
b) sen x = m – 5
n) sen x =
2−𝑚
3
o
7. Sendo cos x = e x no 4 quadrante, calcule o sen x
5
8. Sabendo que 2sen x + 5 cos x = 0,
𝜋
2
< 𝑥 < 𝜋, obtenha sen x e cos x.
9. Encontre os valores de x para os quais temos:
a) sen x = cos x
2
b) cos x = 1
2
2
c) cos x– sen x = 0
10. Considerandof e g funções de ℛ 𝑒𝑚 ℛ tal que f(x) = sen x e g(x) = cos x
a) Calcule𝑓
𝜋 ,𝑔 𝜋 ,𝑓
𝜋
3
−𝑔
𝜋
4
,
𝑓
𝑔
𝜋
6
𝜋
6
, 𝑓 −
3𝜋
4
𝑒𝑔 −
3𝜋
4
.
b) Determine 𝑥 ∈ [0, 2𝜋] tal que f(x) = g(x)
c) Determine se existe 𝑥 ∈ ℛ tal que
𝜋
2
< 𝑥 < 𝜋 e f(x) = g(x). Justifique.
d) Determine x tal que 0 < 𝑥 < 2𝜋, f(x) < 0 e g(x) ≥ 0
11. Determine o valores máximo e mínimo de y em cada item.
a) y = sen x + 10
b) y = 6 – 10cos x
2
c) y = 3 cos x + 1
d) y = sen x + cos x
12. Considerando as funções f e g definidas por f(x) = sen 4x e g(x) = 1 – cos x e determine:
𝜋
a) 𝑓( )
2
b) 𝑔 𝜋
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𝜋
c) 𝑓( )
6
d) D(g)
e) Im(g)
f)
𝑥 ∈ [0, 2𝜋] tal que f(x) = 1
13. Construa o gráfico (um período completo) e dê o domínio a imagem e o períodoo de cada função:
a) f(x) = 3cos x
b) g(x) = |sen x|
c) f(x) = 2sen x
d) g(x) = -2 sen (x/2)
e) y = sen 2x
f)
y = sen
𝑥
4
g) y = sen 3x
h) y = -3sen x
14. Determine o conjunto imagem das funções f e g definidas por f(x) = 3 + cos x e g(x) = 3 cos x
15. Determine o período:
a) f(x) = sen 7x
b) f(x) = sen 2𝑥 −
𝜋
4
c) f(x) = 2 cos 2𝑥 +
𝜋
3
d) f(x) = 1 + sen 𝜋𝑥 − 3
16. Determine:
a) O valor de m, sabendo que o período da função f(x) = 1 + cos mx é igual a 3π
b) O valor de a, sabendo que o período da função f(x) = sen
c) O valor de m para que a função f(x) = cos 𝑚𝑥 +
𝜋
2
2𝑥
𝑎
é igual a
5𝜋
2
tenha como período p = π
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17. (UFRGS - RS) Se f(x) = a + bsen x tem como gráfico
Então:
a) a = -2 e b = 1
b) a = -1 e b = 2
c) a = 1 e b = -1
d) a = 1 e b = -2
e) a = 2 e b = -1
2
2
18. (Mackenzie – SP) A soma dos valores máximo e mínimo de 2 + cos x é:
3
8
10
14
c)
4
a)
b)
d)
3
3
3
e)
16
3
19. (F. E. Edson Queiroz – CE) É dada a expressão cos x = 3m – 6. Os números reais m de modo que existam arcos
x satisfazendo essa igualdade são tais que:
1
10
5
7
1
5
7
5
e) −1 ≤ 𝑚 ≤ 1
b)
≤𝑚≤
a)
≤𝑚≤
c) − ≤ 𝑚 ≤
d) − ≤ 𝑚 ≤
3
3
3
3
3
3
3
3
1
20. (Fuvest – SP) O menor valor de
com x real é:
3−cos 𝑥
1
1
1
a)
b)
c)
6
4
2
d) 3
21. (UF – RS) Sendo x um número real, o menor e o maior valor possível da expressão
e) 1
42
5−2 𝑠𝑒𝑛 (10𝑥)
são
respectivamente:
a) 6 e 14
b) -21 e
c)
−
14
5
42
5
𝑒
42
25
d) -42 e 42
e) -14 e -6
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