Transcript Exercício para casa

Deverzinho – Aula ao Vivo 13/03/2014; 20/03/2014
1. (Enem) O dono de um sítio pretende colocar uma haste de sustentação para
melhor firmar dois postes de comprimentos iguais a 6m e 4m. A figura
representa a situação real na qual os postes são descritos pelos segmentos AC
e BD e a haste é representada pelo EF, todos perpendiculares ao solo, que é
indicado pelo segmento de reta AB. Os segmentos AD e BC representam cabos
de aço que serão instalados.
Qual deve ser o valor do comprimento da haste EF?
a) 1m
b) 2 m
c) 2,4 m
d) 3 m
e) 2 6 m
2. (Pucrj) Uma bicicleta saiu de um ponto que estava a 8 metros a leste de um
hidrante, andou 6 metros na direção norte e parou.
Assim, a distância entre a bicicleta e o hidrante passou a ser:
a) 8 metros
b) 10 metros
c) 12 metros
d) 14 metros
e) 16 metros
3. (Uerj) Um modelo de macaco, ferramenta utilizada para levantar carros,
consiste em uma estrutura composta por dois triângulos isósceles congruentes,
AMN e BMN, e por um parafuso acionado por uma manivela, de modo que o
comprimento da base MN possa ser alterado pelo acionamento desse parafuso.
Observe a figura:
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Considere as seguintes medidas:
AM = AN = BM = BN = 4 dm;
MN = x dm;
AB = y dm.
O valor, em decímetros, de y em função de x corresponde a:
a) 16 – 4x 2
b) 64 – x 2
c)
16 – 4x 2
2
d)
64 – 2x 2
2
4. (Uerj) Um esqueitista treina em três rampas planas de mesmo comprimento a,
mas com inclinações diferentes. As figuras abaixo representam as trajetórias
retilíneas AB = CD = EF, contidas nas retas de maior declive de cada rampa.
Sabendo que as alturas, em metros, dos pontos de partida A, C e E são,
respectivamente, h1, h2 e h3 , conclui-se que h1 + h2 é igual a:
a) h3 3
b) h3 2
c) 2h3
d) h3
5. (Uff) O sistema de posicionamento global (GPS) funciona, utilizando-se uma
rede de satélites distribuídos em torno da Terra. Ao receber os sinais dos
satélites, o aparelho receptor GPS calcula sua posição P = (a,b,c) com relação a
certo sistema ortogonal de coordenadas cartesianas em IR3 e, depois, converte
essas coordenadas cartesianas para coordenadas geográficas: latitude φ,
longitude λ e elevação ρ. Se a > 0, b > 0 e c > 0, então φ é o ângulo entre os
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vetores (a,b,c) e (a,b,0), λ é o ângulo entre os vetores (a,b,0) e (1,1,0) e ρ é a
distância da origem do sistema de coordenadas ao ponto P, conforme a figura
abaixo.
Para a > 0, b > 0 e c > 0, assinale a alternativa correta.
a) a = ρ cos(φ)cos(λ ),
b = ρ s en(φ)cos(λ ),
c = ρ s en(λ )
b) a = ρsen(φ)cos(λ ),
b = ρ s en(φ)s en(λ ),
c = ρ cos(φ)
c) a = ρ cos(φ)s en(λ ),
b = ρ cos(φ)cos(λ ),
c = ρ s en(φ)
d) a = ρ s en(φ)s en(λ ),
b = ρ s en(φ)cos(λ ),
c = ρco s(φ)
b = ρ cos(φ)s en(λ ),
c = ρ s en(φ)
e) a = ρ cos(φ)co s(λ ),
6. (Pucsp) Abílio (A) e Gioconda (G) estão sobre uma superfície plana de uma
mesma praia e, num dado instante, veem sob respectivos ângulos de 30° e 45°,
um pássaro (P) voando, conforme é representado na planificação abaixo.
Considerando desprezíveis as medidas das alturas de Abílio e Gioconda e
sabendo que, naquele instante, a distância entre A e G era de 240 m, então a
quantos metros de altura o pássaro distava da superfície da praia?
a) 60 ( 3 + 1)
b) 120 ( 3 – 1)
c) 120 ( 3 + 1)
d) 180 ( 3 – 1)
e) 180 ( 3 + 1)
TEXTO PARA A PRÓXIMA QUESTÃO:
Arquimedes,candidato a um dos cursos da Faculdade de Engenharia, visitou a
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PUCRS para colher informações. Uma das constatações que fez foi a de que
existe grande proximidade entre Engenharia e Matemática.
7. (Pucrs) Em uma aula prática de Topografia, os alunos aprendiam a trabalhar
com o teodolito, instrumento usado para medir ângulos. Com o auxílio desse
instrumento, é possível medir a largura y de um rio. De um ponto A, o
observador desloca-se 100 metros na direção do percurso do rio, e então
visualiza uma árvore no ponto C, localizada na margem oposta sob um ângulo
de 60°, conforme a figura abaixo.
Nessas condições, conclui-se que a largura do rio, em metros, é
a)
100 3
3
100 3
2
c) 100 3
b)
d)
50 3
3
e) 200
8. (Enem) Para determinar a distância de um barco até a praia, um navegante
utilizou o seguinte procedimento: a partir de um ponto A, mediu o ângulo
visual a fazendo mira em um ponto fixo P da praia. Mantendo o barco no
mesmo sentido, ele seguiu até um ponto B de modo que fosse possível ver o
mesmo ponto P da praia, no entanto sob um ângulo visual 2α . A figura ilustra
essa
situação:
Suponha que o navegante tenha medido o ângulo α = 30º e, ao chegar ao
ponto B, verificou que o barco havia percorrido a distância AB = 2000 m . Com
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base nesses dados e mantendo a mesma trajetória, a menor distância do barco
até o ponto fixo P será
a) 1000 m .
b) 1000 3 m .
3
m.
3
2000 m .
c) 2000
d)
e) 2000 3 m .
9. (Pucrj) Ao meio dia, a formiga A está 3 km a oeste da formiga B. A formiga A
está se movendo para o oeste a 3 km/h e a formiga B está se movendo para o
norte com a mesma velocidade.
Qual a distância entre as duas formigas às 14h?
a) 17 km
b) 17 km
c) 51 km
d) 117 km
e) 117 km
10. (Enem) Um balão atmosférico, lançado em Bauru (343 quilômetros a Noroeste
de São Paulo), na noite do último domingo, caiu nesta segunda-feira em Cuiabá
Paulista, na região de Presidente Prudente, assustando agricultores da região.
O artefato faz parte do programa Projeto Hibiscus, desenvolvido por Brasil,
Franca, Argentina, Inglaterra e Itália, para a medição do comportamento da
camada de ozônio, e sua descida se deu após o cumprimento do tempo
previsto de medição.
Disponível em: http://www.correiodobrasil.com.br. Acesso em: 02 de maio
2010.
Na data do acontecido, duas pessoas avistaram o balão. Uma estava a 1,8 km
da posição vertical do balão e o avistou sob um ângulo de 60°; a outra estava a
5,5 km da posição vertical do balão, alinhada com a primeira, e no mesmo
sentido, conforme se vê na figura, e o avistou sob um ângulo de 30°.
Qual a altura aproximada em que se encontrava o balão?
a) 1,8 km
b) 1,9 km
c) 3,1 km
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d) 3,7 km
e) 5,5 km
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Gabarito:
Resposta da questão 1:
[C]
É fácil ver que os triângulos AEC e BED são semelhantes. Logo,
AF
BF
=
AC
BD
⇔
⇔
⇔
AF
BF
=
4
6
AF + BF
AF
AF
AF + BF
=
2+3
2
=
2
.
5
Além disso, como os triângulos AEF e ABD também são semelhantes, vem
AF
AB
=
EF
BD
⇔
AF
AF + BF
EF 2
⇔
=
6
5
=
EF
6
⇔ EF = 2,4 m.
Resposta da questão 2:
[B]
Sejam A o ponto onde se encontrava inicialmente a bicicleta e B o ponto a 6 metros
ao norte de A. Chamando de C o ponto onde se encontra o hidrante, segue que a
distância pedida corresponde à hipotenusa do triângulo retângulo ABC, reto em A.
Portanto, pelo Teorema de Pitágoras, vem
2
2
2
2
BC = AC + AB ⇔ BC = 82 + 62
⇒ BC = 100
⇒ BC = 10 m.
Resposta da questão 3:
[B]
Considere a figura.
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Seja H o ponto de interseção dos segmentos AB e MN.
Como AMN e MBN são triângulos isósceles congruentes, segue que AMBN é losango.
Logo, AH =
y
2
x
2
e HN = .
Portanto, aplicando o Teorema de Pitágoras no triângulo AHN, obtemos
2
2
2
2
2
y
x
AH + HN = AN ⇔   +   = 42
2
2
⇔ y 2 = 64 − x 2
⇒ y = 64 − x 2 dm.
Resposta da questão 4:
[D]
Como
sen15° = sen(45° − 30°)
= sen 45° cos30° − sen30° cos 45°
=
=
2 3 1 2
⋅
− ⋅
2 2 2 2
6− 2
4
Então:
h
a( 6 − 2)
sen15° = 1 ⇔ h1 =
.
a
4
Além disso,
h
a 2
sen 45° = 2 ⇔ h2 =
a
2
Então:
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a( 6 − 2) a 2
+
4
2
a( 6 + 2)
=
.
4
h1 + h2 =
Por outro lado,
sen75° = sen(45° + 30°)
= sen 45° cos30° + sen30° cos 45°
2 3 1 2
⋅
+ ⋅
2 2 2 2
=
6+ 2
4
=
Então:
sen75° =
h3
a( 6 + 2)
⇔ h3 =
.
a
4
Portanto, h1 + h2 = h3 .
Resposta da questão 5:
[E]
r = ρ ⋅ cos φ
a = r ⋅ cos λ = ρ ⋅ cos φ cos λ
b = r ⋅ sen λ = ρ ⋅ cos φ sen λ
c = ρ ⋅ senφ
Resposta da questão 6:
[B]
Considere a figura, sendo Q o pé da perpendicular baixada de P sobre AG.
Queremos calcular PQ.
Como PGQ = 45°, segue que PQ = QG. Desse modo, AQ = 240 − QG = 240 − PQ.
Portanto, do triângulo APQ, vem
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tgQAP =
PQ
AQ
⇔
3
PQ
=
3
240 − PQ
⇔ (3 + 3 )PQ = 240 3
⇔ PQ =
⇔ PQ =
240 3
3+ 3
240 3 3 − 3
⋅
= 120( 3 − 1) m.
3+ 3 3− 3
Resposta da questão 7:
[C]
O resultado pedido é dado por tg60° =
y
⇔ y = 100 3 m.
100
Resposta da questão 8:
[B]
ΔABP é isósceles (AB = BP = 2000)
No ΔPBC temos:
sen60o =
d
2000
3
d
=
2
2000
d = 1000 3 m
Resposta da questão 9:
[D]
Cada formiga, em duas horas, percorrerá 6km( ver figura)
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Logo x2 = 62 + 92 ⇔ x = 117 km
Resposta da questão 10:
[C]
tg60
3=
H
1,8
H = 1,8. 3
H ≈ 3,1m
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