Transcript Gaub-E1-5-4

Bsp.: Rotierende Bezugssysteme

 
eˆ z r  r 
eˆ z
O=O‘
eˆ x
eˆ x

x 
y  Ebene
 
z
eˆ y y z
eˆ y y


x 
x
x
y Ebene


r t   xt   eˆx  y t   eˆ y  z t   eˆz
A

dx
dy
dz
v t  
 eˆx   eˆ y   eˆz
dt
dt
dt
Der Beobachter im rotierenden
System O‘ beschreibt A:

r t   r t   xt   eˆx  yt   eˆy  z t   eˆz


dr  dx
dy
dz 
v t  

 eˆx 
 eˆy 
 eˆz
dt
dt
dt
dt
Beobachter im ruhenden System O ändern sich auch die Einheitsvektoren
Für den
des Rotienrenden Systems.
deˆy

dy
dz    deˆx
deˆz
 dx
v  x, y, z   
 eˆx 
 eˆy 
 eˆz    x
 y
 z
dt
dt
dt
dt
 dt
  dt
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  
  v   u

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Die Endpunkte der Einheitsvektoren
im rotierenden System beschreiben
Kreisbahnen:








 u    eˆx x    eˆ y y    eˆz z 

   eˆx x  eˆy y  eˆz z 
 
 
  r   r
weilr  r 
 
 
v  v     r 

deˆx 
   eˆx
dt
deˆy

   eˆy
dt
deˆz 
   eˆz
dt




dL dL  
 
dr dr 

 L
 
   r  
dt
dt
dt
dt

Geschwindigkeit im rotierenden System
Geschwindigkeit im ruhenden System
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
Die Euler‘schen Gleichungen
Im Allgemeinen sind  und L nicht colinear => Bewegung komplex!


R: Raumfestes System
  dL 
 dL 
 
 D
    LR  K
K: Körperfestes Hauptachsen- 

 dt 
System (rotiert mit 
 dt  R
 


K

ausgeschrieben
 dL 
 
  L
für Achse a: D  

siehe Kapitel 3


 

d
I a a  b Lc  c Lb
a 
 dt 
dt
 a
da
 Ia
 b I c  c   c I b b
dt
d a
 Euler‘sche Gleichungen: Da  I a
  I c  I b   c b
dt
d b
Db  I b
 I a  I c   a c
dt
d c
Dc  I c
  I b  I a  b  a
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dt
Der kräftefreie symmetrische Kreisel
Kreisel ohne äußeres
Drehmoment => L= const.
Bsp.: Fahrradkreisel
Ist der Körper rotationssymmetrisch bzgl. einer Achse c, so heißt
sie Figurenachse. Dann ist Ia  Ib.
 
Bei Rotation um die Figurenachse ist  || L

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Der kräftefreie symmetrische Kreisel
zu unterscheidende Achsen:

Drehimpulsachse L (raumfest)

momentane Drehachse  (nicht raumfest)

Figurenachse c (nur raumfest wenn identisch mit
Drehimpulsachse)
Der kräftefreie symmetrische Kreisel
Drehimpulserhalt. => L2x  L2y  L2z  const.
L2a L2b L2c
Energieerhaltung =>
 
 const.
I a Ib Ic
 Die Gleichungen
stellen eine Kugel und
r
einen (um L rotierenden) Ellipsoiden dar.
Beide Bedingungen müssen
gleichzeitig erfüllt sein!
=> Die Spitze von L wandert auf
der Schnittlinie beider Figuren
Da Trägheitsellipsoid körperfest und
L raumfest wandert Figurenachse c
im raumfesten System => Nutation
Sichtbarkeit der momentanen
Drehachse =>
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Der kräftefreie symmetrische Kreisel
Sei Ia=Ib
Ansatz:
 a   b  0
r
Da D  0 gilt (Euler):  b   a  0
a  A cost 
b  A sin t 
b

t
a
c  C
 c  0
2
2
2
Ic  Ia
A2  C 2
a  b  c  
Ia
r






Zerlegt man L und  L  I a  e  I c c ec mite  cost ea  sin t eb
Nutationsfrequenz:   c
  a2  b2  A
Winkel zwischen
Figuren- und
Ia

Drehimpulsachse: tan  
Winkel zwischen Figurenund moment. Drehsachse:

I c c

Ia A
I c c
 A
sin b 

 
 Die Figurenachse wandert auf dem Nutationskegel mit
Öffnungswinkel 2α, die momentane Drehachse ω auf
dem Rastpolkegel mit Öffnungswinkel 2(b) um die
raumfeste Drehimpulsachse L.
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Der kräftefreie symmetrische Kreisel
Die Bewegung von Figuren- momentaner Drehachse lässt sich mit dem
Gangpolkegel veranschaulichen:
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Präzession des symmetrischen Kreisels
Auf einen symmetrischen Kreisel, der sich um
seine Figurenachse dreht ( ω||L||r ) und der
außerhalb seines Schwerpunkts unterstützt


wird, wirkt das Drehmoment: D  r  m g
  
Daraus resultiert: L  DL
=> nur
dL
d
die Richtung von L ändert sich: D 
 L
dt
dt
d D
D
Präzessionsfrequenz:  P 
 
dt
L I
Ist die Kreiselachse um den Winkel α gegen die
Vertikale geneigt, so ist:
D  r m g sin 

=> p unabhängig von der dL  L sin  d
räumlichen Orientierung
der Kreiselachse, nur
bestimmt durch L und D
P 
r m g sin 
I  sin 

rm g
I
Präzession des symmetrischen Kreisels
Ist ωp nicht mehr klein gegen ω, geht
auch die Winkelgeschwindigkeit der
Figurenachse mit in die Präzession ein:



  F  P
 sin  cos  



 
 F   eF
eF   sin  sin  
 cos  


  sin  cos  
0

 

 
 P    0       sin  sin  
  cos    
1
 


       
  ||   ||  eF eF    eF    cos  
Zerlegung von 

 

bezgl. Figurenachse    e  (  e )   sin 

F
F
  cos  cos  


  cos  sin  


sin



Präzession des symmetrischen Kreisels



2
 L  I || ||  mrs  I  

 I || eF    cos    mrs2  I   sin 




Mit der Annahme, dass der Kreisel nicht „umkippt“
( θ = const. ) und dass ω = const. gilt:
  cos  cos  


  cos  sin  


sin




 sin  
 dL



2
2
D
 I || eF    cos    mrs  I   sin  cos    cos  
dt
 0 


  sin  



mit:eF  sin    cos  
 0 


  sin  
  sin  





2
2
D  I || sin   cos     cos    mrs  I   sin  cos   cos  
 0 
 0 







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
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Präzession des symmetrischen Kreisels


D  I || sin      cos    mrs2  I   2 sin  cos 



mit D  m g r sin  nˆ
  sin   Einheitsvektor


nˆ   cos   in Richtung des
 0  Drehmoments



 nˆ
 P  
 

I ||  P    P cos   mrs2  I   P2 cos   m g rs


I ||  P   I ||  I   mrs2  P2 cos   m g rs
Mathematica:
 I II   I II2  2  4( I II  I   mrS2 )mgrS cos 
 p 
2( I II  I   mrS2 ) cos 
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Überlagerung von Präzession und Nutation
Rotiert der Kreisel nicht um eine Symmetrieachse, tritt auch noch
Nutation auf:
Die genaue Form der Bahn hängt von der Nutations- und der Präzessionsfrequenz ab.
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Überlagerung von Präzession und Nutation
Demonstration der Überlagerung:
der Kardankreisel
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Die Erde als Kreisel
Präzession der Erdrotationsachse mit 1/w = 26.000 Jahre (Platonisches Jahr)
Drehmoment durch Sonne und Mond
Mehr zum Kreisel Erde:
http://user.uni-frankfurt.de/~klaudius/Dateien/Pr%E4zession%20und%20Nutation.htm