Transcript Gaub-E1-5-4
Bsp.: Rotierende Bezugssysteme
eˆ z r r
eˆ z
O=O‘
eˆ x
eˆ x
x
y Ebene
z
eˆ y y z
eˆ y y
x
x
x
y Ebene
r t xt eˆx y t eˆ y z t eˆz
A
dx
dy
dz
v t
eˆx eˆ y eˆz
dt
dt
dt
Der Beobachter im rotierenden
System O‘ beschreibt A:
r t r t xt eˆx yt eˆy z t eˆz
dr dx
dy
dz
v t
eˆx
eˆy
eˆz
dt
dt
dt
dt
Beobachter im ruhenden System O ändern sich auch die Einheitsvektoren
Für den
des Rotienrenden Systems.
deˆy
dy
dz deˆx
deˆz
dx
v x, y, z
eˆx
eˆy
eˆz x
y
z
dt
dt
dt
dt
dt
dt
Gaub
WS 2014/14
v u
31
Die Endpunkte der Einheitsvektoren
im rotierenden System beschreiben
Kreisbahnen:
u eˆx x eˆ y y eˆz z
eˆx x eˆy y eˆz z
r r
weilr r
v v r
deˆx
eˆx
dt
deˆy
eˆy
dt
deˆz
eˆz
dt
dL dL
dr dr
L
r
dt
dt
dt
dt
Geschwindigkeit im rotierenden System
Geschwindigkeit im ruhenden System
Gaub
WS 2014/14
32
Die Euler‘schen Gleichungen
Im Allgemeinen sind und L nicht colinear => Bewegung komplex!
R: Raumfestes System
dL
dL
D
LR K
K: Körperfestes Hauptachsen-
dt
System (rotiert mit
dt R
K
ausgeschrieben
dL
L
für Achse a: D
siehe Kapitel 3
d
I a a b Lc c Lb
a
dt
dt
a
da
Ia
b I c c c I b b
dt
d a
Euler‘sche Gleichungen: Da I a
I c I b c b
dt
d b
Db I b
I a I c a c
dt
d c
Dc I c
I b I a b a
33
dt
Der kräftefreie symmetrische Kreisel
Kreisel ohne äußeres
Drehmoment => L= const.
Bsp.: Fahrradkreisel
Ist der Körper rotationssymmetrisch bzgl. einer Achse c, so heißt
sie Figurenachse. Dann ist Ia Ib.
Bei Rotation um die Figurenachse ist || L
Gaub
WS 2014/14
34
Der kräftefreie symmetrische Kreisel
zu unterscheidende Achsen:
Drehimpulsachse L (raumfest)
momentane Drehachse (nicht raumfest)
Figurenachse c (nur raumfest wenn identisch mit
Drehimpulsachse)
Der kräftefreie symmetrische Kreisel
Drehimpulserhalt. => L2x L2y L2z const.
L2a L2b L2c
Energieerhaltung =>
const.
I a Ib Ic
Die Gleichungen
stellen eine Kugel und
r
einen (um L rotierenden) Ellipsoiden dar.
Beide Bedingungen müssen
gleichzeitig erfüllt sein!
=> Die Spitze von L wandert auf
der Schnittlinie beider Figuren
Da Trägheitsellipsoid körperfest und
L raumfest wandert Figurenachse c
im raumfesten System => Nutation
Sichtbarkeit der momentanen
Drehachse =>
36
Der kräftefreie symmetrische Kreisel
Sei Ia=Ib
Ansatz:
a b 0
r
Da D 0 gilt (Euler): b a 0
a A cost
b A sin t
b
t
a
c C
c 0
2
2
2
Ic Ia
A2 C 2
a b c
Ia
r
Zerlegt man L und L I a e I c c ec mite cost ea sin t eb
Nutationsfrequenz: c
a2 b2 A
Winkel zwischen
Figuren- und
Ia
Drehimpulsachse: tan
Winkel zwischen Figurenund moment. Drehsachse:
I c c
Ia A
I c c
A
sin b
Die Figurenachse wandert auf dem Nutationskegel mit
Öffnungswinkel 2α, die momentane Drehachse ω auf
dem Rastpolkegel mit Öffnungswinkel 2(b) um die
raumfeste Drehimpulsachse L.
37
Der kräftefreie symmetrische Kreisel
Die Bewegung von Figuren- momentaner Drehachse lässt sich mit dem
Gangpolkegel veranschaulichen:
Gaub
WS 2014/14
38
Präzession des symmetrischen Kreisels
Auf einen symmetrischen Kreisel, der sich um
seine Figurenachse dreht ( ω||L||r ) und der
außerhalb seines Schwerpunkts unterstützt
wird, wirkt das Drehmoment: D r m g
Daraus resultiert: L DL
=> nur
dL
d
die Richtung von L ändert sich: D
L
dt
dt
d D
D
Präzessionsfrequenz: P
dt
L I
Ist die Kreiselachse um den Winkel α gegen die
Vertikale geneigt, so ist:
D r m g sin
=> p unabhängig von der dL L sin d
räumlichen Orientierung
der Kreiselachse, nur
bestimmt durch L und D
P
r m g sin
I sin
rm g
I
Präzession des symmetrischen Kreisels
Ist ωp nicht mehr klein gegen ω, geht
auch die Winkelgeschwindigkeit der
Figurenachse mit in die Präzession ein:
F P
sin cos
F eF
eF sin sin
cos
sin cos
0
P 0 sin sin
cos
1
|| || eF eF eF cos
Zerlegung von
bezgl. Figurenachse e ( e ) sin
F
F
cos cos
cos sin
sin
Präzession des symmetrischen Kreisels
2
L I || || mrs I
I || eF cos mrs2 I sin
Mit der Annahme, dass der Kreisel nicht „umkippt“
( θ = const. ) und dass ω = const. gilt:
cos cos
cos sin
sin
sin
dL
2
2
D
I || eF cos mrs I sin cos cos
dt
0
sin
mit:eF sin cos
0
sin
sin
2
2
D I || sin cos cos mrs I sin cos cos
0
0
Gaub
WS 2014/14
41
Präzession des symmetrischen Kreisels
D I || sin cos mrs2 I 2 sin cos
mit D m g r sin nˆ
sin Einheitsvektor
nˆ cos in Richtung des
0 Drehmoments
nˆ
P
I || P P cos mrs2 I P2 cos m g rs
I || P I || I mrs2 P2 cos m g rs
Mathematica:
I II I II2 2 4( I II I mrS2 )mgrS cos
p
2( I II I mrS2 ) cos
Gaub
WS 2014/14
42
Überlagerung von Präzession und Nutation
Rotiert der Kreisel nicht um eine Symmetrieachse, tritt auch noch
Nutation auf:
Die genaue Form der Bahn hängt von der Nutations- und der Präzessionsfrequenz ab.
Gaub
WS 2014/14
43
Überlagerung von Präzession und Nutation
Demonstration der Überlagerung:
der Kardankreisel
Gaub
WS 2014/14
44
Die Erde als Kreisel
Präzession der Erdrotationsachse mit 1/w = 26.000 Jahre (Platonisches Jahr)
Drehmoment durch Sonne und Mond
Mehr zum Kreisel Erde:
http://user.uni-frankfurt.de/~klaudius/Dateien/Pr%E4zession%20und%20Nutation.htm