Die Sinus-Funktionen

Eine Einführung

 Man definiert die Funktion y = sin x, mit x є R und y є R mit -1≤y≤1  Da Sinus eine „Winkelfunktion“ ist, wird normalerweise der „Sinus eines Winkels“ gebildet  Um einen reellen Definitionsbereich zu schaffen, rechnet man Grad ° in das Bogenmaß um

Definitions- und Wertebereich

 Die allgemeine Verhältnisgleichung für das Umrechnen von Grad ins Bogenmaß lautet: in °  360  

x

2  Im Bogenmaß

Definitions- und Wertebereich

 Berechne die wichtigsten Winkel im Bogenmaß:

Winkel in ° Winkel im Bogenmaß

0° 45° 90° 135° 180° 225° 270° 315° 360° 0 ¼ π = 0,7854 ½ π = 1,5708 ¾ π = 2,3562 π = 3,1416 1 ¼ π = 3,9270 1 ½ π = 4,7124 1 ¾ π = 5,4978 2 π = 6,2832  360  

x

2 

 Mit Hilfe einer Tabellierung der Sinus-funktion und dem Graphen lässt sich die Funktion darstellen:

X Sin x

0 0,00 0,25ϖ 0,71 0,5ϖ 1,00 0,75ϖ 0,71 ϖ 0 1,25ϖ -0,71 1,5ϖ -1,00 1,75ϖ -0,71 2ϖ 0 1,5 1 0,5 0 -0,5 0 -1 1 2 3 -1,5

Funktionsgraph

4 5 6 7

 Die Werte werden nicht starr verbunden, es entsteht eine Art „Welle“

Funktionsgraph

  Die Welle wiederholt sich mit einer

Periodenlänge von 2ϖ

Durch Anpassung der x-Achse mit vielfachen von ϖ wird es übersichtlicher:

Funktionsgraph

 Aufgabe: Tabelliere und zeichne nun selbst die Funktion

y = sin x

im Intervall von

-2 π bis 4π

(Schrittweite 0,25π) Trage an die x-Achse ebenfalls Vielfache von ϖ an.

Tipp: Mache dir die periodische Eigenschaft beim tabellieren zu nutze. Du musst nicht jeden Wert einzeln berechnen ;-)

Funktionsgraph

 Aufgabe: Tabelliere und zeichne nun selbst die Funktion

y = sin x

im Intervall von

-2 π bis 4π

(SW: 0,25π)

sin x x

−2π −1,75π −1,5π −1,25π − π −0,75π −0,5π −0,25π 0 0,71 1 0,71 0 -0,71 -1 -0,71 0 0 0,25π 0,71

Funktionsgraph

x

0,5π 0,75π π 1,25π 1,5π 1,75π 2π 2,25π 2,5π 2,75π 3π 3,25π 3,5π 3,75π 4π

sin x

1 0,71 0 -0,71 -1 -0,71 0 0,71 1 0,71 0 -0,71 -1 -0,71 0

 Aufgabe: Tabelliere und zeichne nun selbst die Funktion

y = sin x

im Intervall von

-2 π bis 4π

(SW: 0,25π)  Die Sinusfunktion besitzt eine Periodizität Periodenlänge von 2ϖ mit einer

Funktionsgraph

   Die Sinusfunktion besitzt die Nullstellen …, −4π, −3π, −2π, −π, 0, π, 2π, 3π, …, allgemein

k∙π mit k

∈

Z

Der Maximalwert (1) wird erreicht für …, -7/2 π, -3/2 π, 1/2 π, 5/2 π, …, allgemein

π/2 + k∙π mit k

∈

Z

Der Minimalwert (−1) wird erreicht für …, -5/2 π, -1/2 π, 3/2 π, 7/2 π, …, allgemein

3/2 π + k∙π mit k

∈

Z

Funktionsgraph - Eigenschaften

 Aufgabe: Tabelliere und zeichne nun die Funktionen

f(x) = y = 3 sin x

und

g(x) = y = 0,5sin x

im Intervall von

-2π bis 2π

(Schrittweite 0,25π) Trage an die x-Achse ebenfalls Vielfache von ϖ an.

Tipp: Mache dir die periodische Eigenschaft beim tabellieren zu nutze. Du musst nicht jeden Wert einzeln berechnen ;-)

Funktionsgraph: y = a sin x

 Aufgabe: Tabelliere und zeichne nun die Funktionen

f(x) = y = 3 sin x

und

g(x) = y = 0,5sin x 3 sin x 0,5 sin x x

−2π −1,75π −1,5π −1,25π − π −0,75π −0,5π −0,25π

0 2,12 3 2,12 0 -2,12 -3 -2,12 0 0,35 0,5 0,35 0 -0,35 -0,5 -0,35

0

0 0

0,25π

2,12 0,35 Funktionsgraph: y = a sin x x

0,5π 0,75π π 1,25π 1,5π 1,75π 2π 2,25π 2,5π 2,75π 3π 3,25π 3,5π 3,75π 4π

3 sin x

3 2,12 0 -2,12 -3 -2,12 0 2,12 3 2,12 0 -2,12 -3 -2,12 0

0,5 sin x 0,5 0,35 0 -0,35 -0,5 -0,35 0 0,35 0,5 0,35 0 -0,35 -0,5 -0,35 0

 Aufgabe: Tabelliere und zeichne nun selbst die Funktion

y = sin x

im Intervall von

-2 π bis 4π

(SW: 0,25π)

Funktionsgraph: y = a sin x



Der Parameter a in der Form y = a sin x…

◦ Verändert Nullstellen oder Periodizität (2π) nicht ◦ Verändert den

Maximalwert von 1 auf a

◦ Verändert den

Minimalwert von −1 auf −a

◦ Der Faktor a streckt bzw. staucht den Graphen

Funktionsgraph: y = a sin x



Der Parameter a in der Form y = a sin x…

◦ Verändert den

Maximalwert von 1 auf a

◦ Verändert den

Minimalwert von −1 auf −a

◦ Der Faktor a streckt bzw. staucht den Graphen 

Man nennt die maximale Auslenkung einer Sinusförmige Welle auch

Amplitude

.

y(max) = 1 y(max) = 3 y(max) = 0,5    Amplitude ist 1 Amplitude ist 3 Amplitude ist 0,5

Funktionsgraph: y = a sin x

 Aufgabe: Tabelliere und zeichne nun die Funktionen

f(x) = y = sin (2x)

und

g(x) = y = sin (0,5x)

im Intervall von

-2π bis 2π

(Schrittweite 0,25π) Trage an die x-Achse ebenfalls Vielfache von ϖ an.

Tipp: Mache dir die periodische Eigenschaft beim tabellieren zu nutze. Du musst nicht jeden Wert einzeln berechnen ;-)

Funktionsgraph: y = sin (bx)

 Aufgabe: Tabelliere und zeichne nun selbst die Funktionen im Intervall von

-2 π bis 4π

(SW: 0,25π)

sin (2x) sin (0,5x) x

−2π −1,75π −1,5π −1,25π − π −0,75π −0,5π −0,25π

0 1 0 -1 0 1 0 -1 0 -0,38 -0,71 -0,92 -1 -0,92 -0,71 -0,38

0

0 0

0,25π

1 0,38 Funktionsgraph: y = sin (bx) x

0,5π 0,75π π 1,25π 1,5π 1,75π 2π 2,25π 2,5π 2,75π 3π 3,25π 3,5π 3,75π 4π

sin (2x) 0 -1 0 1 0 1 0 -1 0 1 0 -1 0 -1

0

sin (0,5x) 0,71 0,92 1 0,92 0,71 0,38 0 -0,38 -0,71 -0,92 -1 -0,92 -0,71 -0,38 0

 Die Periodizität der Sinusfunktion wurde durch den Parameter b geändert.

◦ b = 2: die Periodenlänge wird halbiert, doppelt so viele periodische ◦ Wiederholungen b = ½ : die Periodenlänge wird verdoppelt, halb so viele periodische Wiederholungen

Funktionsgraph: y = sin (bx)



Der Parameter b in der Form y = sin (bx)…

◦ Verändert die Amplitude nicht ◦ Verändert Nullstellen und Periodizität!

◦ Der Faktor a streckt bzw. staucht den Graphen in x Richtung

Funktionsgraph: y = sin (bx)



Für y = sin (bx) gilt …

◦ b > 1: Periodenlänge verkürzt sich ◦ ◦ b = 1: Periodenlänge von 2π 0 < b < 1: Periodenlänge vergrößert sich b = 1 b = 2 b = 0,5  Periodenlänge 2π   Periodenlänge 1π Periodenlänge 4 π

Funktionsgraph: y = a sin x