Transcript M30
30. Integrationsmethoden
d
xa = axa-1
dx
x a+1
für a ≠ 0 xa dx = a +1 + C für a ≠ (-1)
-1
x dx = lnx + C
x
e dx = ex + C
sinx dx = -cosx + C
cosx dx = sinx + C
f´(x) dx = f(x) + C
für x > 0
Suchen Sie die Stammfunktionen:
f(x) = x2
f(x) = x1/3
f(x) = 1 + tan2x
∫ ax dx
dx
∫ cos2x
dx
1- x 2
dx
1+ x 2
Partielle Integration
d
dx (f(x)g(x)) = f´(x)g(x) + f(x)g´(x)
(fg)´= f´g + fg´
b
b
b
d
(f ( x )g( x ))dx f´( x )g( x )dx f ( x )g´( x )dx
a dx
a
a
[f(x)g(x)ba
b
g(x)
dx = [f(x)
g(x)
]
f´(x)
a
- f(x)
g´(x)
dx
b
a
b
a
b
b
a
a
b
b
a
a
x lnx dx
-kx
x
e
dx
b
g(x)
dx = [f(x)
g(x)
]
f´(x)
a
b
lnx
x dx
a
lnx dx
2 -x
x
e dx
- f(x)
g´(x)
dx
b
a
b
a
b
2
cos x dx
a
b
2cos2x dx
a
b
2
cos x dx
a
b
= (sinx)´cosx dx
a
b
b
= [sinxcosxa - sinx(-sinx) dx
a
b
b
= [sinxcosxa + sin2x dx
a
b
b
= [sinxcosxa + (1 - cos2x) dx
a
b
= [sinxcosxba + [xba - cos2x dx
a
= [sinxcosxba + [xba
1
= [2 (x + sinxcosx) ba
Integration mittels Substitution
x(t) sei eine umkehrbare Funktion
dx(t)
x = x(t) dx = dt dt
b
a
f(x) dx =
t(b)
t(a)
dx(t)
f(x(t)) dt dt
untere Grenze: x = a
obere Grenze: x = b
b
a
4x dx
t(x) = t(a)
t(x) = t(b)
Substitution x = t/2 dx/dt = 1/2 dx = dt/2
t(x) = 2x
t(a) = 2a
t(b) = 2b
2b
b
4x
a
dx =
. 1
4 [2
2a
2b
2
1
t
t] . 2 dt = tdt = [ 2
2a
2b
2a
(2b)2 (2a)2
= 2 - 2
= 2(b2-a2)
Fläche des Viertelkreises
R
0
R2-x2 dx
Substitution: x = Rsint, dx = Rcost dt
x
t(x) = arcsin(R ) mit |x| ≤ R
0
R
Grenzen: t(0) = arcsin(R ) = 0, t(R) = arcsin(R ) = /2
R
0
/2
0
/2
2
0
R2-x2 dx = Rcost.Rcost dt = R cos2t dt
=
R2
1
[2 (t + sintcost) /2
0
2
= 4 R
∫ e2x dx
∫ ekx dx
∫ xex2 dx
∫ cos(kx) dx
∫ xn-1sin(xn) dx
Logarithmische Integration (für positive Werte)
dlny dlny dy y'
Kettenregel :
=
=
dx
dy dx y
y'
dx = lny + C
y
b
b
y'
y(b)
a y dx = lny(b) - lny(a) = ln y(a)
y'
y(b)
allgemein: dx = ln
y
y(a)
a
b
b
dx
1b p
1
px + q = p px + q dx = p [ln(px + q)] a
a
a
1
1
1
= ln(pb + q)
- ln(pa + q)
= ln
p
p
p
pb + q
pa + q
b
a
3x
x2+c dx
b
tanx dx
a
dx
∫sinx.cosx (mit cos x erweitern)
dx
∫sinx
(sin2x = 2sinxcosx)
Partialbruchzerlegung
Eine echt gebrochene rationale Funktion kann vor dem
Integrieren in Teilbrüche (Partialbrüche) zerlegt werden.
x +3
x 2 + x - 2 dx
wird zunächst in Partialbrüche zerlegt.
Nullstellen des Nenners sind (-2) und 1.
B
A
x+3
x+3
x2+x-2 = (x-1)(x+2) = x -1 + x + 2 x + 3 = A(x+2) + B(x-1) x
1
x = -2 B = - 3
4
x=1 A=3
x +3
4 dx 1 dx
4
1
x 2 + x - 2 dx = 3 x -1 3 x + 2 3 ln | x -1| 3 ln | x + 2 | +C
Partialbruchzerlegung bei entarteter Nullstelle
ax + b
(x - )
2
A1
A2
=
+
x-
(x - )
ax + b = A(x
)A
1 - +
Koeffizientenvergleich:
2
2
b = -A1 + A 2 ⇒ A 2 = a + b
a = A1
⇒ A1 = a
ax + b
adx
a + b
(x - ) 2 dx = x - (x+ - ) 2 dx
(
a + b)
= a ln | x - | +C
x-
Partialbruchzerlegung bei entarteter Nullstelle
(
a + b)
(x - ) 2 dx = a ln | x - | - x - + C
ax + b
dx
-1
+C
(x - ) 2 =
x-
xdx
(x - ) 2 = ln | x - | +C
x-
(7x + 2)
dx
(x +1)
2
-7 + 2
= 7 ln | x +1| +C
x +1
5
= 7 ln| x +1| +
+C
x +1
Partialbruchzerlegung bei mehrfach entarteter Nullstelle
p(x)
(x - )
3
A
=
A 2
+
+
2
x-
(x - ) (x - )
1
A3
usw.
3
Nicht vergessen: nur echte Brüche verwenden!
x3 - 3x 2 - 3x + 18
(x + )x
2( - 3)
2
x2
dx = dx +
(x + )x
2( - 3)
dx
2
x2
(x + )x
2( - 3)
2
x2
(x + )2(
x - 3)
2
dx
A
B1
=
+
+
(x + 2) x - (x
3 - 3)
B2
2
2
x2 = A(x - 3)+B(x
+1)2(
x - 3)
+B(x + 2)
x = - 2 ⇒ 4 = 25A
A = 4/25
x = 0 ⇒ 0 = 9A - 6B1 + 2B2
B1 = 21/25
x = 3 ⇒ 9 = 5B2
B2 = 45/25
x2
(x + )x
2( - 3)
2
1
45
dx = [4 ln | x + 2 | +21 ln | x - 3 | ]+C
2
25
(x - 3)
Irreduzible Polynome im Nenner
7x 2 -19x + 30
x(x
2
- 6x +10)
dx
x2 - 6x +10 x0 = 3 i
7x 2 -19x + 30
Bx + C
A
+ 2
=
x x - 6x +10
x(x 2- 6x +10)
2
2
A(x - 6x +10)
+(Bx + C)
x = 7x -19x + 30
Koeffizientenvergleich: x 2 : A +B = 7
x1: -6A + C = -19
7x 2 -19x + 30
x0 : 10A = 30
3
4x -1
dx
= dx + 2
dx
x(x 2- 6x +10)
x
x - 6x +10
B=4
C = -1
A =3
Irreduzible Polynome im Nenner
= 3ln |x | + 2
2x - 6
2
x - 6x +10
2
dx +
11
2
x - 6x +10
dx
dx
= 3ln |x | + 2ln |x - 6x +10 | +11
2
(x - 3)+1
t = x – 3, dt = dx
2
dt
= 3ln |x | + 2ln |x - 6x +10 | +11 2
7x 2 -19x + 30
3
4x -1 t +1
dx
x(x 2- 6x +10) dx = x dx + 2
x - 6x +10
= 3ln|x | + 2ln|x 2 - 6x +10 | +11arctan(x - 3)
+C
Uneigentliche Integrale
Gelegentlich läßt sich eine Funktion f auch über einem
Intervall integrieren, wenn sie nicht auf dem gesamten
Intervall definiert ist.
Sei c > 1:
∞
dx
xc
1
=
∞
-c
x
1
x1-c ∞
1
dx = [1-c 1 = c-1
∞
dx
speziell: x2
1
= 1
Sei c = 1: Als Integrationsgrenzen weder 0 noch möglich.
Sei 0 < c < 1:
1
dx
xc
0
=
1
-c
x
0
x1-c 1
1
dx = [ 1-c 0 = 1-c
1
dx
speziell:
x
0
= 2
Was können Sie über die Fläche unter dem negativen Ast der
b
dx
Hyperbel und allgemein über x mit a, b aussagen?
a
b
dx a dx b dx b dx
x = x + x = x
-a
-a
a
a
-a
-b
b
dx
dx
-b
b
dx
-
=
= ln = ln =
x -a x
-a
a a x
-b
-a
dx a dx
x = x
-b
-b
b
a
dx
b
x = ln a = -ln b
a
Reihenentwicklung für ln(1-x) durch Integration von
∞
xk
k=0
1
= 1-x
Konvergenzradius?
1
1+ x + x + x +... =
1- x
1
x2 x3 x 4
x+
+
+
+... =
dx = -ln|1- x| + C
2
3
4
1- x
2
x=0
x = -1
x=1
3
ln1 + C = 0 ⇒ C = 0
1 1 1
ln2 = 1- + +...
2 3 4
1 1 1
ln0 = -1- - - - ... (divergent)
2 3 4
Reihenentwicklung für arctan x durch Integration von
2
4
6
1- x + x - x + -... =
1
1+ x 2
1
1
1
1+ x 2 dx = [arctan x] 0
0
x3 x5 x7
1
1
+
+ -... = [arctanx]
x 0
3
5 7
0
1 1 1
1- + - + -... =
3 5 7
4
James Gregory G. W. Leibniz
(1638 – 1675) (1646 - 1716)
/2
sinn+2 x dx =
0
/2
sinn+1x sinx dx
0
= sinn+1x( - cosx)
/2
0
/2
n
(n
+1)
sin
xcosx
- cosx)
(
dx
0
/2
n
2
=(n +1) sin
xcos
x
dx
0
/2
/2
n
=(n +1) sin
xdx
(n +1)
sin
/2
(n + 2) sin
0
/2
0
0
/2
n+2
xdx =(n +1) sin xdx
(n +1)
n+2
sin xdx =
(n + 2)
0
/2
0
sinnxdx
n
0
n+2
xdx
/2
/2
(n +1)
n+2
sin xdx =
(n + 2)
/2
1
2
0
sin xdx = sin xdx
2 0
4
0
/2
0
/2
sinnxdx
0
John Wallis
(1616 - 1703)
/2
/2
5
5
3
531
6
4
2
sin xdx = sin xdx
sin xdx
6 0
64 0
6422
/2
/2
/2 4 2
4
4
2
42
5
3
sin xdx = sin xdx
sinxdx
-cosx 1
0
5 0
53 0
53
53
0
/2
0
2 2 4 4 6 6
2 1 3 3 5 5 7
531 42
1
6422 53
Wallis' Produkt in: Arithmetica Infinitorum (1655)
Gaußsche Glockenkurve
Carl Friedrich Gauß
(1777 - 1855)
Fläche:
∞
e
-x
2
dx
-∞
e
-∞
∞
∞
-r 2
e 2rdr
0
-x
2
∞
2
dx e dy
-y
-∞
e
0
-r 2
∞
∞
-∞
-∞
e
-( x
2
2
y
)
dxdy
∞
e
0
(0
1)
-r 2
2rdr