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30. Integrationsmethoden d xa = axa-1 dx x a+1 für a ≠ 0 xa dx = a +1 + C für a ≠ (-1) -1 x dx = lnx + C x e dx = ex + C sinx dx = -cosx + C cosx dx = sinx + C f´(x) dx = f(x) + C für x > 0 Suchen Sie die Stammfunktionen: f(x) = x2 f(x) = x1/3 f(x) = 1 + tan2x ∫ ax dx dx ∫ cos2x dx 1- x 2 dx 1+ x 2 Partielle Integration d dx (f(x)g(x)) = f´(x)g(x) + f(x)g´(x) (fg)´= f´g + fg´ b b b d (f ( x )g( x ))dx f´( x )g( x )dx f ( x )g´( x )dx a dx a a [f(x)g(x)ba b g(x) dx = [f(x) g(x) ] f´(x) a - f(x) g´(x) dx b a b a b b a a b b a a x lnx dx -kx x e dx b g(x) dx = [f(x) g(x) ] f´(x) a b lnx x dx a lnx dx 2 -x x e dx - f(x) g´(x) dx b a b a b 2 cos x dx a b 2cos2x dx a b 2 cos x dx a b = (sinx)´cosx dx a b b = [sinxcosxa - sinx(-sinx) dx a b b = [sinxcosxa + sin2x dx a b b = [sinxcosxa + (1 - cos2x) dx a b = [sinxcosxba + [xba - cos2x dx a = [sinxcosxba + [xba 1 = [2 (x + sinxcosx) ba Integration mittels Substitution x(t) sei eine umkehrbare Funktion dx(t) x = x(t) dx = dt dt b a f(x) dx = t(b) t(a) dx(t) f(x(t)) dt dt untere Grenze: x = a obere Grenze: x = b b a 4x dx t(x) = t(a) t(x) = t(b) Substitution x = t/2 dx/dt = 1/2 dx = dt/2 t(x) = 2x t(a) = 2a t(b) = 2b 2b b 4x a dx = . 1 4 [2 2a 2b 2 1 t t] . 2 dt = tdt = [ 2 2a 2b 2a (2b)2 (2a)2 = 2 - 2 = 2(b2-a2) Fläche des Viertelkreises R 0 R2-x2 dx Substitution: x = Rsint, dx = Rcost dt x t(x) = arcsin(R ) mit |x| ≤ R 0 R Grenzen: t(0) = arcsin(R ) = 0, t(R) = arcsin(R ) = /2 R 0 /2 0 /2 2 0 R2-x2 dx = Rcost.Rcost dt = R cos2t dt = R2 1 [2 (t + sintcost) /2 0 2 = 4 R ∫ e2x dx ∫ ekx dx ∫ xex2 dx ∫ cos(kx) dx ∫ xn-1sin(xn) dx Logarithmische Integration (für positive Werte) dlny dlny dy y' Kettenregel : = = dx dy dx y y' dx = lny + C y b b y' y(b) a y dx = lny(b) - lny(a) = ln y(a) y' y(b) allgemein: dx = ln y y(a) a b b dx 1b p 1 px + q = p px + q dx = p [ln(px + q)] a a a 1 1 1 = ln(pb + q) - ln(pa + q) = ln p p p pb + q pa + q b a 3x x2+c dx b tanx dx a dx ∫sinx.cosx (mit cos x erweitern) dx ∫sinx (sin2x = 2sinxcosx) Partialbruchzerlegung Eine echt gebrochene rationale Funktion kann vor dem Integrieren in Teilbrüche (Partialbrüche) zerlegt werden. x +3 x 2 + x - 2 dx wird zunächst in Partialbrüche zerlegt. Nullstellen des Nenners sind (-2) und 1. B A x+3 x+3 x2+x-2 = (x-1)(x+2) = x -1 + x + 2 x + 3 = A(x+2) + B(x-1) x 1 x = -2 B = - 3 4 x=1 A=3 x +3 4 dx 1 dx 4 1 x 2 + x - 2 dx = 3 x -1 3 x + 2 3 ln | x -1| 3 ln | x + 2 | +C Partialbruchzerlegung bei entarteter Nullstelle ax + b (x - ) 2 A1 A2 = + x- (x - ) ax + b = A(x )A 1 - + Koeffizientenvergleich: 2 2 b = -A1 + A 2 ⇒ A 2 = a + b a = A1 ⇒ A1 = a ax + b adx a + b (x - ) 2 dx = x - (x+ - ) 2 dx ( a + b) = a ln | x - | +C x- Partialbruchzerlegung bei entarteter Nullstelle ( a + b) (x - ) 2 dx = a ln | x - | - x - + C ax + b dx -1 +C (x - ) 2 = x- xdx (x - ) 2 = ln | x - | +C x- (7x + 2) dx (x +1) 2 -7 + 2 = 7 ln | x +1| +C x +1 5 = 7 ln| x +1| + +C x +1 Partialbruchzerlegung bei mehrfach entarteter Nullstelle p(x) (x - ) 3 A = A 2 + + 2 x- (x - ) (x - ) 1 A3 usw. 3 Nicht vergessen: nur echte Brüche verwenden! x3 - 3x 2 - 3x + 18 (x + )x 2( - 3) 2 x2 dx = dx + (x + )x 2( - 3) dx 2 x2 (x + )x 2( - 3) 2 x2 (x + )2( x - 3) 2 dx A B1 = + + (x + 2) x - (x 3 - 3) B2 2 2 x2 = A(x - 3)+B(x +1)2( x - 3) +B(x + 2) x = - 2 ⇒ 4 = 25A A = 4/25 x = 0 ⇒ 0 = 9A - 6B1 + 2B2 B1 = 21/25 x = 3 ⇒ 9 = 5B2 B2 = 45/25 x2 (x + )x 2( - 3) 2 1 45 dx = [4 ln | x + 2 | +21 ln | x - 3 | ]+C 2 25 (x - 3) Irreduzible Polynome im Nenner 7x 2 -19x + 30 x(x 2 - 6x +10) dx x2 - 6x +10 x0 = 3 i 7x 2 -19x + 30 Bx + C A + 2 = x x - 6x +10 x(x 2- 6x +10) 2 2 A(x - 6x +10) +(Bx + C) x = 7x -19x + 30 Koeffizientenvergleich: x 2 : A +B = 7 x1: -6A + C = -19 7x 2 -19x + 30 x0 : 10A = 30 3 4x -1 dx = dx + 2 dx x(x 2- 6x +10) x x - 6x +10 B=4 C = -1 A =3 Irreduzible Polynome im Nenner = 3ln |x | + 2 2x - 6 2 x - 6x +10 2 dx + 11 2 x - 6x +10 dx dx = 3ln |x | + 2ln |x - 6x +10 | +11 2 (x - 3)+1 t = x – 3, dt = dx 2 dt = 3ln |x | + 2ln |x - 6x +10 | +11 2 7x 2 -19x + 30 3 4x -1 t +1 dx x(x 2- 6x +10) dx = x dx + 2 x - 6x +10 = 3ln|x | + 2ln|x 2 - 6x +10 | +11arctan(x - 3) +C Uneigentliche Integrale Gelegentlich läßt sich eine Funktion f auch über einem Intervall integrieren, wenn sie nicht auf dem gesamten Intervall definiert ist. Sei c > 1: ∞ dx xc 1 = ∞ -c x 1 x1-c ∞ 1 dx = [1-c 1 = c-1 ∞ dx speziell: x2 1 = 1 Sei c = 1: Als Integrationsgrenzen weder 0 noch möglich. Sei 0 < c < 1: 1 dx xc 0 = 1 -c x 0 x1-c 1 1 dx = [ 1-c 0 = 1-c 1 dx speziell: x 0 = 2 Was können Sie über die Fläche unter dem negativen Ast der b dx Hyperbel und allgemein über x mit a, b aussagen? a b dx a dx b dx b dx x = x + x = x -a -a a a -a -b b dx dx -b b dx - = = ln = ln = x -a x -a a a x -b -a dx a dx x = x -b -b b a dx b x = ln a = -ln b a Reihenentwicklung für ln(1-x) durch Integration von ∞ xk k=0 1 = 1-x Konvergenzradius? 1 1+ x + x + x +... = 1- x 1 x2 x3 x 4 x+ + + +... = dx = -ln|1- x| + C 2 3 4 1- x 2 x=0 x = -1 x=1 3 ln1 + C = 0 ⇒ C = 0 1 1 1 ln2 = 1- + +... 2 3 4 1 1 1 ln0 = -1- - - - ... (divergent) 2 3 4 Reihenentwicklung für arctan x durch Integration von 2 4 6 1- x + x - x + -... = 1 1+ x 2 1 1 1 1+ x 2 dx = [arctan x] 0 0 x3 x5 x7 1 1 + + -... = [arctanx] x 0 3 5 7 0 1 1 1 1- + - + -... = 3 5 7 4 James Gregory G. W. Leibniz (1638 – 1675) (1646 - 1716) /2 sinn+2 x dx = 0 /2 sinn+1x sinx dx 0 = sinn+1x( - cosx) /2 0 /2 n (n +1) sin xcosx - cosx) ( dx 0 /2 n 2 =(n +1) sin xcos x dx 0 /2 /2 n =(n +1) sin xdx (n +1) sin /2 (n + 2) sin 0 /2 0 0 /2 n+2 xdx =(n +1) sin xdx (n +1) n+2 sin xdx = (n + 2) 0 /2 0 sinnxdx n 0 n+2 xdx /2 /2 (n +1) n+2 sin xdx = (n + 2) /2 1 2 0 sin xdx = sin xdx 2 0 4 0 /2 0 /2 sinnxdx 0 John Wallis (1616 - 1703) /2 /2 5 5 3 531 6 4 2 sin xdx = sin xdx sin xdx 6 0 64 0 6422 /2 /2 /2 4 2 4 4 2 42 5 3 sin xdx = sin xdx sinxdx -cosx 1 0 5 0 53 0 53 53 0 /2 0 2 2 4 4 6 6 2 1 3 3 5 5 7 531 42 1 6422 53 Wallis' Produkt in: Arithmetica Infinitorum (1655) Gaußsche Glockenkurve Carl Friedrich Gauß (1777 - 1855) Fläche: ∞ e -x 2 dx -∞ e -∞ ∞ ∞ -r 2 e 2rdr 0 -x 2 ∞ 2 dx e dy -y -∞ e 0 -r 2 ∞ ∞ -∞ -∞ e -( x 2 2 y ) dxdy ∞ e 0 (0 1) -r 2 2rdr