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Differentialrechnung
23. Der Differentialquotient
Geschwindigkeit
v = s/t
v = Ds/Dt
v = ds/dt
f ist differenzierbar an der Stelle x, wenn der Grenzwert
der Folge der Differenzenquotienten
f ( x  Δx )  f ( x ) df ( x )
:
: f ´( x )
lim
Δx
dx
Δx 0
eindeutig existiert.
Der Grenzwert f´ heißt
Differentialquotient oder
Ableitung von f(x).
f´(x) = tan = Steigung der
Tangente im Punkt x.
f ist differenzierbar an der Stelle x, wenn der Grenzwert
der Folge der Differenzenquotienten
f ( x  Δx )  f ( x ) df ( x )
:
: f ´( x )
lim
Δx
dx
Δx 0
eindeutig existiert.
Der Grenzwert f´ heißt
Differentialquotient oder
Ableitung von f(x).
f´(x) = tan = Steigung der
Tangente im Punkt x.
f ist differenzierbar an der Stelle x, wenn der Grenzwert
der Folge der Differenzenquotienten
f ( x  Δx )  f ( x ) df ( x )
:
: f ´( x )
lim
Δx
dx
Δx 0
eindeutig existiert.
Der Grenzwert f´ heißt
Differentialquotient oder
Ableitung von f(x).
f´(x) = tan = Steigung der
Tangente im Punkt x.
f ist differenzierbar an der Stelle x, wenn der Grenzwert
der Folge der Differenzenquotienten
f ( x  Δx )  f ( x ) df ( x )
:
: f ´( x )
lim
Δx
dx
Δx 0
eindeutig existiert.
Der Grenzwert f´ heißt
Differentialquotient oder
Ableitung von f(x).
f´(x) = tan = Steigung der
Tangente im Punkt x.
f‘
Isaac Newton (1643 – 1727)
f‘‘
Differentialoperator
df
d

f
dx
dx
2
d 2
d f
d df
d d

f ( ) f  2
dx
dx dx dx dx
dx
Gottfried Wilhelm Leibniz
(1646 – 1716)
23.1 Ableitungen einfacher Funktionen
lineare Funktion f(x) = mx + c mit  = :
[m( x  Dx )  c ]  [mx  c ]
f ´( x )  lim
Dx
Δx 0
insbesondere gilt für f(x) = c, d.h. m = 0:
(f + g)´ = f´ + g´
mDx
 lim
m
Δx 0 Dx
f´(x) = 0
(fm)´ = f´m
quadratische Funktion f(x) = x2 mit  = :
( x  Dx )2  x 2
2 xDx  ( Dx )2
f ´( x )  lim
 lim
 2x
Dx
Dx
Δx 0
Δx 0
f(x) = xr mit r  , r  0:
( x  Dx )r  x r
rx r 1Dx  R(Dx )2
f ´( x )  lim
 lim
 rx r 1
Dx
Dx
Δx  0
Δx 0
Produktregel: (f.g)´ = f´g + fg´
quadratische Funktion f(x) = x2 mit  = :
( x  Dx )2  x 2
2 xDx  ( Dx )2
f ´( x )  lim
 lim
 2x
Dx
Dx
Δx 0
Δx 0
Man zeige mit der Produktregel: (mf)´ = mf´ für m = const.
Man zeige mit der Produktregel: dx3/dx = 3x2
(x3)´ = (x2.x)´ = 2x.x + x2.1 = 3x2
Satz (Kettenregel): Seien g(y) und f(x) auf  diffbare Funktionen
mit y = f(x), dann gilt:
dg dg dy
=

dx dy dx
g(y) = y2
(wie in der Bruchrechnung)
y = f(x) = 3x + 2
g(f(x)) = (3x + 2)2
d 1
Man berechne mit Hilfe der Kettenregel:
dx f(x)
Man beweise mit Produktregel und Kettenregel die
Quotientenregel:
d f ( x ) f ´g  g´f

dx g ( x )
g2
23.1 Man berechne die ersten und zweiten Ableitungen
x
3
x
x3,14
3x + 3
(7x + 2)
(3x3 - 2x6/7)
(x2 - 3x)/(x - 1)
Wie muß der Grundriss eines rechteckigen Hauses aussehen,
wenn bei 100 m2 Grundfläche die Außenwände so kurz wie
möglich sein sollen? (Hinweis: Die Funktion f = Wandlänge ist
aufzustellen und das Minimum zu suchen.)
Aus einem Baumstamm vom Durchmesser D ist ein rechtwinkliger
Balken von größtmöglicher Tragfähigkeit bh2 zu schneiden.
Aus einem Baumstamm vom Durchmesser D ist ein rechtwinkliger
Balken von größtmöglicher Biegesteifigkeit bh3 zu schneiden.
24. Die Exponentialfunktion
exp(x ) e
exp(x)
=lim(1+
→
n ∞
x
)
n
e = 2,71828…
n
K jährlich = K 0(1+ x)
K vierteljährlich
K0e
0,04

1040
x
= K 0(1+ )
4
x
= K 0(1+
)
365
K kontinuierlich
1040,60
4
365
x
= K 0 lim(1+ )
n ∞
n
→
K täglich
x
1040,808
n
1040,811
exp(x)
=lim(1+
→
n ∞
x
)
n
n
exp(x)  ex exp(1)  e
D=
Die Funktionalgleichung lautet:
ex1.ex2 = ex1+x2
Die Umkehrfunktion der Exponentialfunktion heißt
natürlicher Logarithmus oder logarithmus naturalis.
lnx ist streng monoton wachsend, D = (0,) und W = .
lnx
e =x
x
ln e = x
für x (0,)
für x 
ln(1) = 0
exp(ln(1)) = 1 = exp(0)
ln(e) = 1
exp(ln(e)) = e = exp(1)
1
ln(1/x) = - ln(x) exp(ln(1/x)) = 1/x = exp(ln(x)) = exp(-ln(x))
ln(x1x2)
ln(x1.x2) = ln(x1) + ln(x2) e
= x1x2 = e
lnx1. lnx2
e
=e
lnx1+lnx2
ln(xa) = a.ln(x) ln(xa) = ln(x.x...x) = ln(x) + ln(x) + ... + ln(x) = a.ln(x)
Der Logarithmus gibt an, mit welchem Exponenten man die
positive Basis a potenzieren muß, um die Zahl x zu
erhalten.
y
a =x

logax = y
y

y
  lnx = y
Briggssche Logarithmen: 10 = x
Natürliche Logarithmen:
e =x
lgx = y
Richterskala (Erdbebenstärke)
Magnitude (Sternhelligkeit)
S
Schallpegel L  10lg
S0
S1
Dämmmaß DL  10lg
S2
Dezibel
Fenster 30 dB Wand 60 dB
x n-1 1
) =e
n
n
→
d x
d
x n
e =
lim(1+ )= lim n(1+
n ∞
dx
dx n ∞
n
→
Ableitung der Exponentialfunktion
d x
e  ex
dx
Ableitung der Logarithmusfunktion
x
d ln(x ) 1

dx
x
dln(x)
1
1
1
= dexp(ln(x)) = exp(ln(x)) = x für 0 < x < 
dx
dln(x)
Potenzgesetze
y  ax
b
ln y  lna  b  ln x
lg y  lga  b  lg x
Physikalische Funktionen:
Frequenz und Wellenlänge: f = c/l= cl-1
Strahlungsgesetz: q    T4
y  dx (e )k xe
kx
ln y  k  x
Analyse von Wachstums- und Zerfallsprozessen:
Radioaktiver Zerfall: N(t) = N(0)e-t/t
Verstärkung im Laser: N(x) = N(0)egx
Stefan-Boltzmann-Gesetz
Strahlungsdichte
q    T4
Stefan-Boltzmann-Konstante
 = 5,670  10 Wm K
-8
-2
-4
Josef Stefan Ludwig Boltzmann
(1835 – 1893) (1844 -1906)
Dq  q1  q2 = σ (400 K)4 - σ (300 K)4 ≈ 1 kW/m2
5785 K, = 1, q = 63,5 MW/m2 (16 m2 ein KKW)
Mensch: T = (273 + 36) K  530 W/m2
Tatsächlich ca. 40 W pro Person (1
(Rückstrahlung, Bekleidung)
m 2)
q
T4

Das entspräche: T = 163 K (Umkehrfunktion)
Tragen Sie die Logarithmen folgender Messreihe auf und
bestimmen Sie die Parameter a und b des vermuteten
Potenzgesetzes
lgy(x) = lga + blgx
y = axb
x = 13 15 19 22 29 34 51 55
y = 0,15 0,19 0,26 0,31 0,44 0,54 0,89 0,98
Welchen Wert y würde man demnach für x = 200 erwarten?
1.2
1.3
1.4
1.5
1.6
-0.2
1.7
lgx
1
y(200) = 6,2
-1
1
-0.4
-1
-0.6
lgx
3
-2
-0.8
lgy
2
-3
lgy(x) = -2,2 +1,3lgx
lgy
lgy(200) = -2,2 +1,32,3 = 0,79
Leonardo da Vinci wollte unbedingt fliegen. Um die für einen
Menschen nötige Flügelspannweite zu bestimmen, schlachtete er
Vögel, wog sie und maß ihre Spannweite:
Masse Spannweite
M/kg
S/m
lgS
0.2
Amsel
Eichelhäher
Blesshuhn
Stockente
Graugans
Storch
0,17
0,42
0,92
1,95
4,80
6,60
0,32
0,48
0,95
1,10
1,85
1,95
-0.75
-0.5
-0.25
0.25
-0.2
0.5
0.75
lgM
-0.4
Tragen Sie lgS über lgM auf und bestimmen Sie die Größen a und
b des vermuteten Potenzgesetzes: Spannweite S(M) = a·Mb.
Welche Spannweite bräuchte demnach ein fliegender Mensch der
Masse (mit Ausrüstung) M = 150 kg?
lgS
1
0.5
-1
1
-0.5
2
lgS = lga + blgM
lgS = -0.0908 + 0.5056lgM
10lgS = 10-0.0908 + 0.5056lgM
S  0,8100.5lgM = 0,8M
lg150  2,2
S(150)  10,1
lgM
3
Die Temperatur an der Sonnenoberfläche beträgt 5785 K. Die
Sonne besitzt den Radius 696000 km,   1.
Wieviel Energie strahlt die Sonne in einer Sekunde ab?
4
18
2
2
26
Pab = A  T = 6
10 m 63,84 MW/m = 3,8
10
W
Welcher Masse entspricht das? (W = mc2, c = 300000 km/s)
9
m/t = 4,2
10 kg/s  4 Mio Tonnen pro Sekunde
30
Sonnenmasse: 2
10
9
17
kg, Verlust in 5
10 Jahren: 1,6
10
-14
kg = 8
10
Wie groß ist die Gesamtstrahlungsdichte am Ort der Erde?
(Erdbahnradius = 150106 km)
26
Pauf = 3,8
10
11
W / 4 
(1,496
10
2
2
m) = 1,352 kW/m
Wieviel Leistung nimmt die Erde auf? (Erdradius 6370 km)
2
6
2
17
Pauf = 1,352 kW/m  (6,370 10 m) = 1,75 10 W
25. Die Winkelfunktionen
a
sin =
c
b
cos =
c
sin
1
a
b
tan =
=
cot =
=
cos
tan
b
a
2
2
a
b
Pythagoras: c2 = a2 + b2  (c ) +(c ) = sin2 + cos2 = 1
/2

1
1

sin
0 
-/2
cos
0
sinx
1

-
x
-1
cosx
1
/2
-/2
3/2
x
-1
tanx
-
10
/2
-/2

3/2
x
-10
cotx
-
10
/2
-/2

3/2
/2

1
-2
0
1

sin
-10
-4
x
0 
2
4
6
-/2
cos
x
0
d sin x
sin(x  Δx)
 sinx
sinx cos Δx  sin Δx cos x  sin x
 lim
 lim
 cos x
dx
Δx
Δx
Δx0
Δx0
d cos x
cos(x  Δx)
 cosx
cosx cos Δx  sin x sin Δx  cos x
 lim
 lim
  sin x
dx
Δx
Δx
Δx0
Δx0
dsinx
dx = cosx
d2sinx
dcosx
= -sinx
dx2 = dx
d3sinx
d2cosx
dsinx
= - dx = -cosx
dx3 = dx2
d4sinx
d3cosx
d2sinx
dcosx
= - dx2 = - dx
= sinx
dx4 = dx3
dtanx
d sinx
cos2x + sin2x
1
= dx cosx =
= cos2x
dx
cos2x
dcotx
d cosx
-sin2x - cos2x
-1
= sin2x
dx = dx sinx =
sin2x
27. Approximation
von Funktionen
Taylor-Polynom
0. Näherung: f(x)  f(x0)
1. Näherung:f(x) f(x0) + (x - x0).f´(x0)
2. Näherung: f(x) f(x0) + (x - x0).f´(x0) + ½ (x - x0)2.f´´(x0)
n
f(k)(x0)
n-te Näherung: Tn,x0(x) =  k! (x - x0) k
k=0
f(x0)
f´(x0)
f´´(x0)
0
1
Tn,x0(x0) = 0! (x0 - x0) + 1! (x0 - x0) + 2! (x0 - x0) 2 ... = f(x0)
f´(x0)
f´´(x0)
0
Tn,x0´(x0) = 0 + 1! 1(x0 - x0) + 2! 2(x0 - x0)1 + ... = f´(x0)
Tn,x0´´(x0) = 0
+
0
f´´(x0)
+ 2! 1.2(x0 - x0)0 + ... = f´´(x0)
∞
Taylor-Reihe:
f(k)(x0)
Tx0(x) =  k! (x - x0) k
k=0
∞
f(k)(0) k
MacLaurin-Reihe (x0 = 0): T0(x) =  k!
x
k=0
Schema
k
0
1
2
f(k)(x)
f(k)(x0)
f(k)(x0)/k!
f(x) = ex entwickeln um x0 = 0.
k
0
1
2
3
f(k)(x)
ex
ex
x
e
ex
2
3
x
x
e x  1 x 

 ...
2! 3!
f(k)(x0)
1
1
1
1
f(k)(x0)/k!
1
1/1
1/12
1/123
f(x) = (1 + x)r entwickeln um x0 = 0.
k
0
1
2
3
f(k)(x)
r
(1 + x)
r(1 + x)r-1
r(r-1)(1 + x)r-2
r(r-1)(r-2)(1 + x)r-3
f(k)(x0)
1
r
r(r-1)
r(r-1)(r-2)
f(k)(x0)/k!
1
r/1
r(r-1)/12
r(r-1)(r-2)/123
r(r  1) 2 r(r  1)(r  2) 3
(1  x )  1  rx 
x 
x  ...
1 2
1 2  3
r
1) Man entwickle die Funktionen cosx um den Punkt x0 = 0.
2) Man entwickle die Funktion lnx um den Punkt x0 = 1 (warum
nicht um x0 = 0?).
28. Funktionen
mehrerer Variablen
Partielle Differentiation
f(x,y) = 2x2y
df
 4xy
dx y const
df
 2x 2
dy x const
f
 4 xy
x
f
 2x 2
y
f
f
Totales Differential: df  dx  dy
x
y
Totales Differential einer Funktion von n Variablen f(x1,x2,...,xn):
df 

f
dx
x 
f(x, y) = 2x2y
∂ ∂
f(x,y)=
∂x ∂x
∂ ∂
f(x,y)=
∂y ∂y
∂ ∂
f(x,y)=
∂y ∂x
∂ ∂
f(x,y)=
∂x ∂y
∂
4xy = 4y
∂x
∂ ∂ ∂2
= 2
∂x ∂x ∂x
∂
2x = 20
∂y
∂ ∂ ∂2
= 2
∂y ∂y ∂y
∂
4xy = 4x
∂y
∂ ∂
∂2
=
∂y ∂x ∂y∂x
∂
2x = 24x
∂x
∂ ∂
∂2
=
∂x ∂y ∂x∂y
f(x, y) = (x + y)/2
f(x, y) = xy
1
f(x, y) = xy
f(x, y, z) = (z3 + ex/y)
f(x, y, z) = ln(xyz)
1
f(x, y) = lnxy
f(x, y, z) = zx2lny
f(x, y, z) = zex/y
f(x, y) = (x+y)sin(x-y)
AT4
AT4
q

2
4r
4(x 2 y 2 z )2
 q(A,T,x,y,z )