Transcript Gaub-E1-11-1

Schwingungen
Schwingungen sind sich periodisch wiederholende Schwankungen einer
physikalischen Größe um einen Mittelwert.
Beispiele:
- Federpendel
- Elektronische Oszillationen
- Biologische Rhythmen
-...
x0 x
m
F  kx  x 0 
Bewegungsgl.:
Ý k x  x 0 
m  xÝ

Lösungsansatz:
x(t)  x 0  A cos0  t
xÝ(t)   0  A  sin 0  t 
Ý
xÝ(t)  0  A cos0  t 
2

2
Ý
xÝ(t)  0  xt   x0 
02 
WS 2014/15
k
m
0 
k
m
„Kreisfrequenz“
1
x(t)  x 0  A cos0  t
x

A
x0
2
T
0
t
T
T 2
Schwingungsdauer x t  T   x t 


1 0
f 
T 2
Frequenz
d2
2
Allgemein:  2 x t    0  x t   0

dt
Bewegungsgleichung des ungedämpften harmonischen Oszillators
Gaub

WS 2014/15
2
Allgemeine Lösung des harm. Oszillators
d2
2
x
t




0  x t   0
2
dt
Lösungsansatz:
xt   c  e t

xÝt  c    et
Ýt  c    e
xÝ
2
t
t
!
c    e  0  c  e  0
t
2
2
2  02
  i 0
allgem. Lösg. ist Linearkombination der Lösungen:



xt  c1  ei0 t  c2  ei 0 t
Gaub

WS 2014/15
3
Komplexe Zahlen
z  a ib
Komplex konjugierte Zahl:

Realteil:

Imaginärteil:

Betrag:
mit
i 2  1
z*  a  ib
1
*
z

z
 
2
1
Im(z)  b  z  z* 
2i
Re(z) a 
z  a2  b2  z  z*

Darstellung in der komplexen Zahlenebene


Im(z)

z  a ib  z  cos  isin  z  ei
b
z
„Polardarstellung“ einer komplexen Zahl

a

Re(z)

WS 2014/15

4

xt  c1  ei0 t  c2  ei 0 t
Die allgemeine Lösung macht nur dann physikalischen Sinn, wenn x(t) reell ist.
 Imz0
Imc1  e
z  z*
*
*
 c2  e
c1  e  c 2  e
 c1  ei 0 t  c 2  e i 0 t
 0

 *
*
c1  c2 ,c2  c1  c1  c2  c
xt  c  ei0 t  c*  ei0 t
i 0 t
i 0 t
c in Polardarstellung:
wegen:
!
i 0 t
c c  ei
i 0 t
!

xt  c  ei0 t   ei0 t 

e  cos   isin 


cos  
i

1 i i
e e 

2
xt  2 c  cos0  t    A  cos 0  t   


Amplitude
Gaub

WS 2014/15
Phasenwinkel
5
Amplitude und Phasenwinkel werden durch die Randbedg. festgelegt.
z. B.:
xt  0  0
xÝt  0  v 0
A cos   0
 
A   0  sin  v 0
2 




2

A
v0
0

v 0 
 
x t    cos 0  t  
 0 
2 

Beispiele für harm. Oszillatoren:

Fadenpendel:
Gaub

d2
g
  0
2
dt
l

g
0 
l
WS 2014/15

l
6
Torsionspendel:
Verdrillen des Drahts um einen Winkel 
führt zu einem Rückstellmoment:

M  D 
v v v
M  r F



D
Ý
Ý

   
2
2mr


Gaub
m

m


Beschleunigung a, die auf jede Masse wirkt:
M
Ý
Ý
a
 r 
2mr
l
WS 2014/15
D
Ý
Ý

  0
2mr2
D
0 
2m r2 : I „Trägheitsmoment“

7
Harmonische Näherung in beliebigen Potentialen
Epot
x0: Mechanische Gleichgewichtslage
(Potentialminimum)
x0
x
Um x0 kann jedes beliebige Potential als Parabel genähert werden.
Taylorentwicklung um x0:
2
1 d E pot
E pot x  x 0   E pot x 0  
x  x 0  
dx x0
2 dx2
dE pot
F 
dE pot
dx

d 2 E pot
dx
x  x 0 
2
Ý(t)
m  xÝ
d 2 E pot
2
dx
x  x 0 
2
 ...
x0
x(t)  x0   0
x0

Bei kleinen Auslenkungen kann man harmonische Schwingungen beobachten
WS 2014/15
8
z. B. Molekülschwingungen

x0
Darstellung von Schwingungen:
Lissajou-Figuren
Gaub
WS 2014/15
9
Lissajou-Figuren
mit verschiedenen
Freqenzen und Phasen
Gaub
Überlagerung von Schwingungen
Wenn ein Körper zwei Schwingungen gleichzeitig ausführt, überlagern sich
die beiden Schwingungen:
x1(t)  a cos1  t  1

x 2 (t)  b  cos 2  t   2 

I. gleiche Frequenz, versch. Amplitude:
x1(t)  a cos0  t  1
x 2 (t)  b  cos 0  t   2 
Gaub
1 / 
b
2 / 
WS 2014/15
a
t
11
c
x1t  a  e
Im
iw0 t 1 
b
x2 t  b  eiw0t  2 
2


a
1
Re
xt
 a ei0t 1   b ei0t  2  a  e i1 e i 0 t   b  e i 2 e i 0 t  a ei1  b ei 2  ei0t


 a cos1  b cos2  ia sin1  b sin2   ei0t
A 
 c  e i  e i t   c  e i t  
0
0
Nur der Realteil hat physikal. Bedeutung
 2
c  A  B2
Gaub

B 
tan  
A
B

Rext c  cos0t  
Die Überlagerung zweier
 harmonischer Schwingungen gleicher
Frequenz erzeugt wieder eine harmonische Schwingung mit neuer
Amplitude und neuer Phase.
12
II. gleiche Amplitude, verschiedene Frequenz:
i t  
x1t  a ei1 t 1  x2 t  a e 2 2

xt  a ei1t 1   ei2t  2 
 i1  2  t  1  2   -i1  2  t  1  2  
2
2


x t   a  e
e
 e  2
 e  2






      
  2 1  2   1  2  1  2  
i
t
-i 1 2 t  1 2 
i 1
t


2
2
2
2   


 a  e  2
 e
 e  2




1   2
1   2  1   2  1   2 
t
t
 cos
Re(x(t)) 2  a  cos

 2
2 
2
2


 t  2 
i 2

 2

 t 1 
i 1

 2 


Gaub
WS 2014/15
13

II. gleiche Amplitude, verschiedene Frequenz:
oder einfacher:
x1 (t)  a  cos1  t  1 
mit
x2 (t)  a  cos2  t   2 
       
cos  cos  2 cos
cos

 2   2 

1   2
1   2  1   2  1   2 
(x(t ))  2  a  cos
t
t
 cos

 2
2 
2
2


Amplitude moduliert mit
1  2

2
1  2
  2
 1
2
2
Modulation der Amplitude
falls

1  2
2
„Schwebung“
t
Gaub
WS 2014/15
14
Allgemeine periodische Vorgänge/ Fourierzerlegung
Eine periodische Funktion f(t) mit f(t+T)=f(t) kann zerlegt werden in eine
Summe aus sin und cos Funktionen:
a0 
f t     an  cosn    t   bn  sinn    t 
2 n1
„Fourier Reihe“
2
 an  
T
T

2
bn  
T
f (t)  cosn    t dt
0

2
T
http://www.falstad.com/fourier/
T
 f (t)  sinn    tdt
0
Beispiel: Rechteck-Funktion
T

1

an  0 Nur bn tragen bei (ungerade Funktion f(x)=-f(-x)
15
2
bn  
T
T

0
T
2  2
f (t)  sinn    t dt    1 sinn    t dt 
T  0

T
2
T
2
4 1
4
cos n    t 
   1 sinn    t dt   
T n 
T 0
0


2

cosn  1

n

 0

 
 4

n  


(1)

sin
n



t
dt

 

T


2
T
4 1
 
cosn  1

T n
ngerade

nungerade

4 
1
1
f (t)  sin  t   sin3   t   sin5    t   ...


 
3
5
http://escher.epfl.ch/fft/
Gaub
WS 2014/15
16