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17. Die Kegelschnitte
17.1 Die Ellipse
Die quadratische Form
q = c11x2 + c22y2
mit sgn c11 = sgn c22 = sgn q, d. h. alle Vorzeichen sind gleich, heißt
Ellipse und im Grenzfall c11 = c22 Kreis.
Durch Streckung kann jede Ellipse in einen Kreis überführt werden. Analog entsteht eine Ellipse, wenn ein Kreis in einer Richtung gestreckt wird.
Durch Umbenennung der Koeffizienten
q
c 11
=
a2,
q
c 22
= b2
erhält man die implizite Mittelpunktsgleichung der Ellipse
17.1 Die Ellipse
Die quadratische Form
q = c11x2 + c22y2
mit sgn c11 = sgn c22 = sgn q, d. h. alle Vorzeichen sind gleich, heißt
Ellipse und im Grenzfall c11 = c22 Kreis.
Durch Streckung kann jede Ellipse in einen Kreis überführt werden.
Analog entsteht eine Ellipse, wenn ein Kreis in einer Richtung gestreckt
wird.
17.1 Die Ellipse
Die quadratische Form
q = c11x2 + c22y2
mit sgn c11 = sgn c22 = sgn q, d. h. alle Vorzeichen sind gleich, heißt
Ellipse und im Grenzfall c11 = c22 Kreis.
Durch Streckung kann jede Ellipse in einen Kreis überführt werden.
Analog entsteht eine Ellipse, wenn ein Kreis in einer Richtung gestreckt
wird.
Durch Umbenennung der Koeffizienten
q
c 11
= a2,
q
c 22
= b2
1=(
x 2
a
)
+
erhält man die implizite Mittelpunktsgleichung der Ellipse
y 2
( )
b
1=(
x 2
a
)
+
( y )2
(17.1)
b
OBdA sei a ≥ b: Dann heißt a große Halbachse und b kleine Halbachse
der Ellipse. 2a ist die Hauptachse, 2b die Nebenachse. Für a = b = r
heißt r Radius und 2r Durchmesser des Kreises.
Umformung der impliziten Mittelpunktsgleichung ergibt die explizite Mittelpunktsgleichung für die Ellipse
y=±
b
a
2
a
x
b
und für den Kreis
a
y= ±
r
2
2
b2
 x
(17.2)
a
(17.3)
Die liegende Ellipse geht somit aus einem Kreis mit
x 2dem Radius
y 2 r=a
1 = Faktor
( ) b/a
+ (= b/r
) hervor.
durch Stauchung seiner y-Koordinaten um den
a
(Eine Streckung um einen Faktor kleiner als 1 wird
auch bStauchung
genannt.)
1=(
x 2
a
)
+
( y )2
b
(17.1)
OBdA sei a ≥ b: Dann heißt a große Halbachse und b kleine Halbachse
der Ellipse. 2a ist die Hauptachse, 2b die Nebenachse. Für a = b = r
heißt r Radius und 2r Durchmesser des Kreises.
Umformung der impliziten Mittelpunktsgleichung ergibt die explizite Mittelpunktsgleichung für die Ellipse
y=±
b
a
2
a
x
2
(17.2)
und für den Kreis
y= ±
r
2
 x
2
(17.3)
Die liegende Ellipse geht somit aus einem Kreis mit dem Radius r = a
durch Stauchung seiner y-Koordinaten um den Faktor b/a = b/r hervor.
(Eine Streckung um einen Faktor kleiner als 1 wird auch Stauchung
genannt.)
1=(
x 2
a
)
+
( y )2
b
(17.1)
OBdA sei a ≥ b: Dann heißt a große Halbachse und b kleine Halbachse
der Ellipse. 2a ist die Hauptachse, 2b die Nebenachse. Für a = b = r
heißt r Radius und 2r Durchmesser des Kreises.
Umformung der impliziten Mittelpunktsgleichung ergibt die explizite Mittelpunktsgleichung für die Ellipse
y=±
b
a
2
a
x
2
(17.2)
und für den Kreis
y= ±
r
2
 x
2
(17.3)
Die liegende Ellipse geht somit aus einem Kreis mit dem Radius r = a
durch Stauchung seiner y-Koordinaten um den Faktor b/a = b/r hervor.
(Eine Streckung um einen Faktor kleiner als 1 wird auch Stauchung
genannt.)
Abb. 17.1 Ellipse und Kreis vom Radius r = a.
Da jedes Flächenelement der Ellipse um den Faktor b/a verkleinert wird,
geht die Fläche A der Ellipse aus der des Kreises hervor:
AEllipse =
b
a
AKreis =
b
a
a2 = ab.
(17.4)
Die Schnittpunkte des Ellipsenrandes mit den Achsen heißen Scheitel.
Die Hauptscheitel liegen auf der (längeren) Hauptachse, die Nebenscheitel auf der (kürzeren) Nebenachse.
Bei der Ellipse bezeichnet man
e=
a
2
b
2
(17.5)
als lineare Exzentrizität. Die lineare Exzentrizität des Kreises ist e = 0.
Die im Abstand e vom Mittelpunkt M auf der Hauptachse gelegenen
Punkte F1 und F2 heißen Brennpunkte.
Die Schnittpunkte des Ellipsenrandes mit den Achsen heißen Scheitel.
Die Hauptscheitel liegen auf der (längeren) Hauptachse, die Nebenscheitel auf der (kürzeren) Nebenachse.
Bei der Ellipse bezeichnet man
e=
a
2
b
2
(17.5)
als lineare Exzentrizität. Die lineare Exzentrizität des Kreises ist e = 0.
Die im Abstand e vom Mittelpunkt M auf der Hauptachse gelegenen
Punkte F1 und F2 heißen Brennpunkte.
Wegen
e2 + b2 = a2 - b2 + b2 = a2
ist die Strecke zwischen einem Brennpunkt und einem Nebenscheitel
gleich a.
Das Verhältnis von linearer Exzentrizität und großer Halbachse
=
e
a
heißt numerische Exzentrizität. Für jede Ellipse ist  < 1.
(17.6)
Wegen
e2 + b2 = a2 - b2 + b2 = a2
ist die Strecke zwischen einem Brennpunkt und einem Nebenscheitel
gleich a.
Das Verhältnis von linearer Exzentrizität und großer Halbachse
=
e
a
heißt numerische Exzentrizität. Für jede Ellipse ist  < 1.
(17.6)
r12 = (e + x)2 + y2
=
e2
+ 2ex +
x2
+
b
2
a
2
(a2 - x2)
= a2 - b2 + 2ex + x2 + b2 =
a
2
b
a
=
e
2
b
2
a
2
2
x2 + 2ex + a2
2
2
x2 + 2ex + a2
a
e
= ( x + a)2
a


r1 = a + x
r22 = (e - x)2 + y2
r2 = a - x
Die Summe der Radiuslängen ist daher
r1 + r2 = 2a
x2
Gärtner- oder Fadenkonstruktion der Ellipse nach
Anthemios von Tralleis, † vor 558 n. Chr.
Erbauer der Hagia Sophia in Konstantinopel
Gärtner- oder Fadenkonstruktion der Ellipse nach
Anthemios von Tralleis, † vor 558 n. Chr.
Erbauer der Hagia Sophia in Konstantinopel
y=±
y
b
=±
b
a
2
2
x
a
a
a
x
2
2
17.1 x = 0 ist die Gleichung der y-Achse in der x,y-Ebene.
Welche Geraden beschreiben die folgenden Gleichungen
in der x,y-Ebene?
x-3=0
y+5=0
y - 2 = 3(x - 5) + 3
y = 3x -10
y
0
3
-5
-10
x
17.2 x2 + y2 = 0 ist die Ursprungsgleichung eines entarteten
Kreises, also eines Punktes.
Welche Punkte beschreiben
(x - 3)2 + y2 = 0
x2 + (y + 5)2 = 0
(x + 1)2 + (y - 2)2 = 0
y
2
-1
3
-5
x
y2 =
p 
b
2
a
2
b
2
[a
2
2
 (x  a) ] =
b
2
a
2
(a
2
x
2
2
 2 xa  a ) =
b
2
a
(2 x 
x
2
)
a
(17.10)
a
heißt Parameter der Ellipse. Damit erhält man die Scheitelgleichung
y
2
 2 px 
p
a
x
2
2
 2 px  (1   ) x
2
Für den Kreis mit Radius r ergibt sich analog die Scheitelgleichung
y2 = r2 - (x - r)2 = r2 - x2 + 2rx - r2 = 2rx - x2
Für x  0 sind quadratische Glieder vernachlässigbar. Beide Kurven
stimmen dann überein, wenn r = p.
y2 = r2 - (x - r)2 = r2 - x2 + 2rx - r2 = 2rx - x2
Für x  0 sind quadratische Glieder vernachlässigbar. Beide Kurven
stimmen dann überein, wenn r = p.
Abb. 17.6 Ellipse mit Schmiegekreis.
In den Scheitel der Halbachse a kann man einen Schmiegekreis des
Radius p einbeschreiben. p heißt daher Scheitelkrümmungsradius ra
ra 
b
2
a
 p
rb 
a
2
b
y2 = r2 - (x - r)2 = r2 - x2 + 2rx - r2 = 2rx - x2
Für x  0 sind quadratische Glieder vernachlässigbar. Beide Kurven
stimmen dann überein, wenn r = p.
Abb. 17.6 Ellipse mit Schmiegekreis.
In den Scheitel der Halbachse a kann man einen Schmiegekreis des
Radius p einbeschreiben. p heißt daher Scheitelkrümmungsradius ra
ra 
b
2
a
 p
rb 
a
2
b
y2 = r2 - (x - r)2 = r2 - x2 + 2rx - r2 = 2rx - x2
Für x  0 sind quadratische Glieder vernachlässigbar. Beide Kurven
stimmen dann überein, wenn r = p.
Abb. 17.6 Ellipse mit Schmiegekreis.
In den Scheitel der Halbachse a kann man einen Schmiegekreis des
Radius p einbeschreiben. p heißt daher Scheitelkrümmungsradius ra
ra 
b
2
a
 p
rb 
a
2
b
Polargleichung
cos =
e  x
r
 x = rcos - e
Die Länge des unter dem Winkel  zur
Hauptachse liegenden Radius r ist r = a + x, so dass
Mit
r = a + rcos - e
e =
e
2
a
=
a
2
b
a
2
= a - p folgt
r(1 - cos) = p
und damit die von der Wahl des Koordinatensystems unabhängige
Polargleichung der Ellipse
r=
p
1   cos 
Die Ordinate in den Brennpunkten (cos = 0) ist |y| = p.
Polargleichung
cos =
e  x
r
 x = rcos - e
Die Länge des unter dem Winkel  zur
Hauptachse liegenden Radius r ist r = a + x, so dass
Mit
r = a + rcos - e
e =
e
2
a
=
a
2
b
a
2
= a - p folgt
r(1 - cos) = p
und damit die von der Wahl des Koordinatensystems unabhängige
Polargleichung der Ellipse
r=
p
1   cos 
Die Ordinate in den Brennpunkten (cos = 0) ist |y| = p.
Polargleichung
cos =
e  x
r
 x = rcos - e
Die Länge des unter dem Winkel  zur
Hauptachse liegenden Radius r ist r = a + x, so dass
Mit
r = a + rcos - e
e =
e
2
a
=
a
2
b
a
2
= a - p folgt
r(1 - cos) = p
und damit die von der Wahl des Koordinatensystems unabhängige
Polargleichung der Ellipse
r=
p
1   cos 
Die Ordinate in den Brennpunkten (cos = 0) ist |y| = p.
17.11 Eine Ellipse besitzt den Parameter p = 30/7 und die
numerische Exzentrizität  = 4/7. Skizzieren Sie einige Punkte
beider Äste der Ellipse mit Hilfe der Polargleichung. Berechnen
Sie a, b und die lineare Exzentrizität e.
r

0°
30°
10
8,48
60°
90°
180°
6
30/7
30/11
2a = 140/11  a = 6,36
b = ap = 5,22
e = 3,63
r() =
p
1 - cos
=
30
7 - 4cos
Der Radiusvektor r vom Brennpunkt F1 unter dem Winkel  kann auch
durch seine Komponenten ausgedrückt werden. Damit gelangen wir zur
Parameterform der Polargleichung:
rx =
p cos 
ry =
1   cos 
p sin 
1   cos 
Mit den Koordinaten x und y der Mittelpunktsgleichung besteht der Zusammenhang
rx = x + e und
ry = y
Eine weitere Definition der Ellipse geht von einer Leitgeraden L und
einem nicht auf ihr liegenden Brennpunkt F aus. Die Ellipse ist der
geometrische Ort aller Punkte, deren Abstände d von L und r von F, im
Verhältnis stehen:
r
d
Mit r =
=<1
(17.13)
p
und d = f + rcos
1   cos 
ergibt sich die Bedingung
1

=
d
r
=
f
r
+ cos =
f
p
-
f
p
cos + cos = const.
Diese Bedingung ist erfüllbar und erfüllt für f =
p

=
Der Abstand zwischen Scheitel und Brennpunkt ist
r() = a - e =
p
1 

1
r ()
=
1
f
+
1
p
a
b
2
2
b
2
Abb. 17.9 Übersicht: Von kartesischen Koordinaten
unabhängige Größen der Ellipse.
17.3 Wo schneiden sich die Ellipsen
1 = (x/10)2 + (y/5)2 und 1 = ((x - 5)/10)2 + (y/5)2 ?
1=1
(x/10)2 + (y/5)2 = ((x - 5)/10)2 + (y/5)2
(x/10)2 = ((x - 5)/10)2
x2 = (x - 5)2
x2 = x2 -10x + 25
0 = -10x + 25
x = 2,5
y2 = 25 - (x/2)2
y = 4,84
-10
y
-5
10
15 x
17.4 Wo schneiden sich die quadratische y2 = 25 - (x/2)2 und die
lineare Form y = 2x + 1? Skizzieren Sie die Formen!
y2 = 25 - (x/2)2 = (2x + 1)2
100 - x2 = 16x2 + 16x + 4
17x2 + 16x - 96 = 0
x2 + x(16/17) - 96/17 = 0
x = -8/17  (8/17)2 + 96/17
x1 = 1,95
x2 = -2,89
y
y1 = 4,90
y2 = -4,78
-10
10
x
17.6 Eine Ellipse besitzt Parameter p = 3,2 und Fläche A = 20 .
a) Bestimmen Sie die Halbachsen und geben Sie die explizite
Mitttelpunktsgleichung an, so dass die Hauptachse in der x-Achse
liegt .
p = b2/a
A = ab
 pA = b3 = 64
b=4
a = b2/p = 16/3,2 = 5
oder a = A/b = 20/4 = 5
Die explizite Mittelpunktsgleichung lautet
y=±
b
a
a
2
x
2
=±
4
5
25  x
2
4
5
b) Wie lautet diese Gleichung, wenn die Ellipse soweit
verschoben wird, dass ihr linker Scheitel die Koordinaten x = 2
und y = 2 besitzt?
Der linke Scheitel besitzt in der Mittelpunktsform die Koordinaten
(-5|0). Wegen (2|2) - (-5|0) = (7|2) muß die Ellipse um 7 Einheiten
in x-Richtung und um 2 Einheiten in y-Richtung verschoben
werden, damit ihr linker Scheitel die Koordinaten (2|2) besitzt. Um
die quadratische Form nicht zu verändern, müssen diese
Strecken von den Koordinaten wieder abgezogen werden:
y-2=±
4
5
y=±
b
a
a
2
25  ( x  7 )
x
2
=±
4
5
2
4
25  x
2
5
Man überzeugt sich leicht, dass z.B. für x = 2 die Bedingung y = 2
erfüllt ist.
17.6 Eine Ellipse besitzt Parameter p = 3,2 und Fläche 20 .
c) Bestimmen Sie lineare und numerische Exzentrizität der
Ellipse.
d) Bestimmen Sie den Abstand ihrer Brennpunkte.
Die lineare Exzentrizität der Ellipse ist
e = a2 – b2 = 25 - 16 = 3
Die numerische Exzentrizität ist
 = e/a = 3/5
Der Abstand der Brennpunkte ist 2e = 6.
17.7 Die Fläche einer Ellipse beträgt A = 50 , ihre numerische
Exzentrizität ist  = (3)/2. Im Mittelpunkt der Ellipse ist eine
Höhe h = 10 errichtet. Von ihrem oberen Punkt führen Geraden zu
den Scheiteln der Ellipse. Wie groß ist der Winkel zwischen zwei
benachbarten Geraden?
s
A = ab  ab = 50
2 = 1- b2/a2 = 3/4  b2/a2 = 1/4  b/a = 1/2 t
 b = 5, a = 10
h=
 0

 0
  10

cos(r,s) =





r=
r s
 10

 0
  10

=





s=
100
 0

 5
  10






t=
  10

 0
  10






h
r
u
u=
 0

 5
  10






= 0,4  (r,s) = 50,8°
|r||
200 125
s|
Alle gefragten Winkel sind gleich. (Andere Winkel wie (r,h) oder
(r,t) können nach demselben Schema berechnet werden.)
17.8 a) Berechnen Sie die charakteristischen Größen (a, b, e, )
für eine Ellipse, deren Fläche A = 25 beträgt und deren
Schmiegekreis im Hauptscheitel den Radius r = 2 besitzt.
b) Der Mittelpunkt der Ellipse besitzt die Koordinaten (1|-3). Wie
lautet die implizite Mittelpunktsgleichung dieser Ellipse?
r = p = b2/a
A = ab
r=
b3/A
b = 2,515
a = 3,164
e = 1,919
 = 0,605
2
1=
(x - 1)
3,16
2
2
+
(y + 3)
2,52
2
17.8 a) Berechnen Sie die charakteristischen Größen (a, b, e, )
für eine Ellipse, deren Fläche A = 17 beträgt und deren
Schmiegekreis im Hauptscheitel den Radius r = 2 besitzt.
b) Der Mittelpunkt der Ellipse besitzt die Koordinaten (1|-3). Wie
lautet die implizite Mittelpunktsgleichung dieser Ellipse?
r = p = b2/a
A = ab
r=
b3/A
b = 2,21
a = 2,45
e = 1,05
 = 0,427
2
1=
(x - 1)
2,45
2
2
+
(y + 3)
2,21
2
17.12 Die Polargleichung einer Ellipse liefert r(0) = 10, r(/3) = 6.
Was wissen Sie über diese Ellipse?
r() =
p
1 - cos
p
r(0) = 10 =
r(60°) = 6 =
1-
p
1 - /2
e + a = 10
e/a = 4/7
4a/7 + a = 10
a = 70/11
e = a4/7 = 40/11
=e+a
  = 1 – p/10 = 4/7
  = 2 – p/3
 1 - p/10 = 2 - p/3
 p/3 - p/10 = 1
10p/30 - 3p/30 = 1
 p = 30/7
 b = pa =
17.2 Die Parabel
Wir vergrößern eine gegebene Ellipse, indem wir b mit dem
Faktor k und a mit dem Faktor k multiplizieren. Wenn k
immer weiter wächst, so folgt im Grenzfall k   für die
numerische Exzentrizität
 = lim
k
2
k a
2
 kb
ka
2
= lim
k
a
2
b
a
2
/k
=1
(17.16)
Für  = 0 liegt wegen b = a = r ein Kreis vor. Wächst  an, so
ergibt sich eine immer stärker gestreckte Ellipse. Für  = 1
muss in (17.16) ka   gehen. Dieser Grenzfall heißt Parabel.
Durch Koordinatentransformation kann ein Scheitel in den Ursprung des
Koordinatensystems gelegt werden. Aus der Scheitelgleichung der liegenden Ellipse
y
2
2
 2 px  (1   ) x
2
wird für  = 1 die Scheitelgleichung der liegenden Parabel
y2 = 2px
(17.17)
y   2 px
(17.17')
oder
p bleibt hierbei erhalten:
p 
( k b)
ka
2

b
2
a
Die Polargleichung der Parabel entsteht mit  = 1 aus der Polargleichung der Ellipse
r=
r=
p
1   cos 
p
1  cos 
(17.12)
(17.18)
Der Abstand r() zwischen Parabelscheitel und Brennpunkt ergibt sich
für cos = (-1) zu p/2. Es gibt nur einen einzigen Winkel, unter dem r
nicht auf die Parabel trifft, nämlich  = 0.
Wie bei der Ellipse besitzt der Schmiegekreis im Scheitel den Radius
r=p
Der Abstand zwischen der Leitgeraden L und dem Brennpunkt F ist
f = p/ = p
Bei der stehenden Parabel sind die Koordinaten x und y vertauscht.
Dann lautet die Parabelgleichung
x2 = 2py
oder
y=
1
2p
x2
(17.19)
Zur Schnellkonstruktion einer Parabel
schlägt man einen Kreis mit dem
Radius p um den Mittelpunkt M.
Der Kreis schneidet die x-Achse im
Scheitel der Parabel. Dies ist der
Ursprung O des Koordinatensystems.
Der Brennpunkt F liegt bei x = p/2,
genau in der Mitte zwischen O und M.
Die Ordinate im Brennpunkt F an der
Stelle x = p/2 ist y = p.
Die Ordinate bei 2p ist 2p.
17.15 Eine Straße soll in 50 m Höhe verlaufen. Ihre Stützpfeiler besitzen einen
Abstand von 10 m voneinander und ruhen auf einer Parabel. Die markierten
Punkte besitzen die Koordinaten in der Einheit Meter: P1 = (30, 20), P2 = (60,
40), P3 = (120, 30). Wie lang müssen die Pfeiler bei 30, 40, 50, ..., 120 m sein?
y – y0 = k(x – x0)2
y = y0 + k(x – x0)2
20 = y0 + k(30 – x0)2
40 = y0 + k(60 – x0)2
30 = y0 + k(120 – x0
)2
20 = k(2700 – 60x0)
10 = k(-10800 + 120x0)
20 = k(-21600 + 240x0)
300x0 = 24300  x0 = 81  k = -1/108  y0 = 44,083
y = 44,083 - (x – 81)2/108
h = 50 - y
x
30
40
50
60
70
80
90 100 110 120
h
30 21,5 14,8
10
7
5,9
6,7
9,3 13,7
y – y0 = k(x – x0)2
y = y0 + k(x – x0)2
20 = y0 + k(30 – x0)2
40 = y0 + k(60 – x0)2
30 = y0 + k(120 – x0
)2
20 = k(2700 – 60x0)
10 = k(-10800 + 120x0)
20 = k(-21600 + 240x0)
300x0 = 24300  x0 = 81  k = -1/108 y0 = 44,083
y = 44,083 - (x – 81)2/108
h = 50 - y
20
17.3 Die Hyperbel
Die quadratische Form
q = c11x2 + c22y2
mit sgn c11 = -sgn c22 heißt Hyperbel.
Durch Umbenennung der
Koeffizienten erhält man die
implizite Mittelpunktsgleichung
1=(
x 2
a
)
-
y 2
( )
b
(17.20)
Umformung der impliziten Mittelpunktsgleichung ergibt die explizite Mittelpunktsgleichung
y=±
b
x
2
a
a
2
(17.21)
Für x   strebt die Hyperbel gegen ihre Asymptoten
y∞ = ±
b
a
x,
(17.22)
die den Winkel
 = arctan
b
a
mit der Abszisse einschließen.
Bei der Hyperbel bezeichnet man
e=
a
2
b
2
(17.23)
als lineare Exzentrizität.
Wie bei der Ellipse gibt e an, wie weit ein Brennpunkt aus dem Zentrum
herausgerückt (exzentriert) ist, sagt aber wenig über die Form der
Hyperbel aus. Dafür verwendet man die numerische Exzentrizität
=
e
a
Für jede Hyperbel ist  > 1.
Durch Parallelverschiebung der Hyperbel um (-a) in x-Richtung erreicht
man, dass der rechte Scheitel im Ursprung liegt. Aus der Mittelpunktsgleichung ergibt sich dann die Scheitelgleichung
y2
=
b
2
a
2
[( x  a )
2
2
 a ]=
b
2
a
2
(x
2
 2 xa  a
2
2
a ) =
b
2
a
(2 x 
x
2
)
a
Mit dem Parameter der Hyperbel
p 
b
2
(17.10')
a
lautet ihre Scheitelgleichung
y
2
 2 px 
p
a
x
2
2
 2 px  (1   ) x
2
Wie für Ellipse und Parabel ist der Parameter p gleichzeitig der Radius
des Schmiegekreises und die Ordinate im Brennpunkt
|y(F)| = p
Ersteres folgt aus der Scheitelgleichung für x 0 im Vergleich mit der
Scheitelgleichung des Kreises, letzteres für cos = 0 aus der Polargleichung
r=
p
1   cos 
(17.12')
r=
|r(0)| =
 p
1 
und r() =
|r(0)| + r() =
p
1   cos 
p
1 
 p (1   )  p (1   )
1 
2
 2 p
=
1
a
2
b
a
2
2
=
 2p

b
2
a
2
=
2 p
p
a
= 2e
r=
p
1   cos 
Der Radiusvektor r vom Brennpunkt
F1 unter dem Winkel  kann auch
durch seine Komponenten
ausgedrückt werden. Damit
gelangen wir zur Parameterform der
Polargleichung:
rx =
p cos 
ry =
1   cos 
p sin 
1   cos 
Mit den Koordinaten x und y der Mittelpunktsgleichung besteht der Zusammenhang
rx = x - e und
ry = y
r12 = (x - e)2 + y2
= x2 - 2ex + e2 +
b
2
a
2
(x
= x2 - 2ex + a2 + b2 +
=
a
2
b
a
=
e
2
a
2
2
2
2
a )
b
2
a
2
x
2
- b2
2
x2 - 2ex + a2
x2 - 2ex + a2
e
= ( x - a)2
a
r1 = x - a
r22 = (e + x)2 + y2
r2 = x + a
r2 - r1 = 2a
Fadenkonstruktion nach Guido Ubaldi del Monte, 1545 - 1607
Abb. 17.17 Übersicht: Von kartesischen Koordinaten
unabhängige Größen der Hyperbel.
Eine weitere Definition der Hyperbel geht von einer Leitgeraden L und
einem nicht auf ihr liegenden Brennpunkt F aus. Die Hyperbel ist der
geometrische Ort aller Punkte, deren Abstände d von L und r von F, im
r
Verhältnis stehen:
d
=>1
d = f + r cos
führt auf die Bedingung
1

=
d
r
=
f
r
+ cos =
f
p
-
f
p
cos + cos = const.
Diese Bedingung ist erfüllbar und erfüllt für
f=
p

=
a
b
2
2
b
2
Der Scheitelabstand vom näheren Brennpunkt ist
r() = e - a =
p
1 

1
r ()
=
1
f
+
1
p
17.10 Eine Hyperbel besitzt den Parameter p = 8 und die
numerische Exzentrizität  = 3. Ihre Brennpunkte liegen auf der xAchse. Stellen Sie die Polargleichung auf, tabellieren Sie die
Radiuslängen r() für  = 0°, 30°, 120°,150°, 180° und skizzieren
Sie die Hyperbel mit ihren Bestimmungsgrößen (a, e) sowie die
Endpunkte der berechneten Radien.
p
2
b
8
a
a b
2

2
2
  
2
a
a 1
e=3
a b
a
b
8
2
2
 9  1
b
2
a
2

b
2
a
2
8
(Halbachse ist immer positiv)
r() =
p
1 - cos
=
8
1 - 3cos
17.10 Eine Hyperbel besitzt den Parameter p = 8 und die
numerische Exzentrizität  = 3. Ihre Brennpunkte liegen auf der xAchse. Stellen Sie die Polargleichung auf, tabellieren Sie die
Radiuslängen r() für  = 0°, 30°, 120°,150°, 180° und skizzieren
Sie die Hyperbel mit ihren Bestimmungsgrößen (a, e) sowie die
Endpunkte der berechneten Radien.
Skizze (nicht maßstäblich).
Die Ergebnisse für negative
Radien befinden sich auf
dem linken Ast der Hyperbel. Der Punkt für  = +30°
ergibt sich bei Spiegelung
des (aus Platzgründen)
eingetragenen Punktes für
 = -30o an der Abszisse.
r

0°
30°
120°
-4
-5,01
3,2
150°
180°
2,22
2
r() =
p
1 - cos
=
8
1 - 3cos
17.14 Eine Hyperbel besitzt den Parameter p = 3 und die
numerische Exzentrizität  = 1/3. Was stimmt nicht an
diesem Aufgabentext?
17.5 Vergleich der
Kegelschnitte
[M, S] = a
Kreis
Ellipse
Parabel
Hyperbel
a
a
-
a
b
p
r=a=b
[M, F] = e

0
2
b
a
a
2
2
b
a
b
2
-
2
a
a
2
b

=
r(
F = (näherer)
Brennpunkt
L = Leitgerade
M = Mittelpunkt
S = Scheitel

2
e
a
)
0
0 < < 1
1
>1
p
p
p
p
p
p
2
2
p
p
2
2
>p
p
[F, S] = r()
p
>
[S, L] = f - r()

>

[F, L] = f =
p

<
<
p
2
p
2
<p
2
Abb. 17.21 Kreis.
Abb. 17.22 Ellipse.
Abb. 17.23 (a) Parabel und (b) Hyperbel.
17.5 Welche Kegelschnitte beschreiben die quadratischen
Formen
2x2 - y2 = 2
Hyperbel
(x - 2)2 = 0
Gerade x = 2
x2 - 3y2 - 2 = 0
Hyperbel
2 - 4x2 - y2 = 0
Ellipse