Transcript Goniometrische formules xP = cos(α) en yP = sin(α) xQ = xP en yQ = -yP Dus sin(-α) = yQ = -yP = -sin(α)

Goniometrische formules
xP = cos(α) en yP = sin(α)
xQ = xP en yQ = -yP
Dus
sin(-α) = yQ = -yP = -sin(α) en
cos(-α) = xQ = xP = cos(α)
xR = -yP
yR = xP
sin(α + ½ π) = yR = xP = cos(α)
cos(α + ½ π) = xR = -yP = -sin(α)
11.1
opgave 2
Goniometrische vergelijkingen
sin(A) = sin(B) geeft A = B + k · 2π ⋁ A = π – B + k · 2π
cos(A) = cos(B) geeft A = B + k · 2π ⋁ A = -B + k · 2π
11.1
Opgave 9
a. 2sin(x)= sin(x) =>
sin(x) = 0
b. Sin(2x) = sin(x) =>
2x = x + 2k π v 2x = π – x + 2k π
c. d. e. Sin (2x) = sin ( x + 1/3 π) =>
2x = x + 1/3 π + 2kπ v 2x = 2/3π - x + 2kπ
f. -

opgave 10
f(x) = sin(x) en g(x) = -cos(2x) met domein [0, 2π].
a y = cos(x)
verm. y-as, ½
y = cos(2x)
verm. x-as, -1
y = -cos(2x)
b

c
f(x) = 
1
1
2 geeft sin(x) = 
2
2
2
x = - ¼ π + k · 2π ⋁ x = π + ¼ π + k · 2π
x = - ¼ π + k · 2π ⋁ x = 1 ¼ π + k · 2π
x op [0, 2π] geeft x = 1 ¾ π ⋁ x = 1 ¼ π
opgave 10
f(x) = sin(x) en g(x) = -cos(2x) met domein [0, 2π].
d g(x) = ½ geeft –cos(2x) = ½
cos(2x) = - ½
2x = ⅔π + k · 2π ⋁ 2x = -⅔π + k · 2π
x = ⅓π + k · π ⋁ x = -⅓π + k · π
x op [0, 2π] geeft x = ⅓ π ⋁ x = 1⅓ π ⋁ x = ⅔ π ⋁ x = 1⅔ π
e f(x) = g(x) geeft sin(x) = -cos(2x)
cos(x - ½π) = cos(2x + π)
x - ½π = 2x + π + k · 2π ⋁ x - ½π = -2x - π + k · 2π
-x = 1½π + k · 2π ⋁ 3x = -½π + k · 2π
x = -1½π + k · 2π ⋁ x = - 1 6 π + k · ⅔π
x op [0, 2π] geeft x = ½π
⋁ x = 11 6 π ⋁ x = 1 5 6 π
f(x) ≤ g(x) geeft x = ½π ⋁ 11 6 π ≤ x ≤ 15 6 π
Verschil-, som- en verdubbelingsformules
11.1
Cosinusregel en verschilformule
A
t
AB2=OA2+OB2-2* OA* OB *cos(t-u)
B
u
(xb-xa)2+ (ya-yb)2= 1 + 1 – 2 cos(t-u)
xb2-2xbxa+xa2 + ya
2
–2ybya + yb2= 2 – 2 cos(t-u)
xb2 + yb2 +xa2 + ya 2 –2ybya -2xbxa= 2 – 2 cos(t-u)
1 + 1 –2ybya -2xbxa= 2 – 2 cos(t-u)
2ybya +2xbxa= 2 cos(t-u)
xbxa +ybya= cos(t-u)
cos(u)cos(t)+ sin(u)sin(t)=cos(t-u)
11.1
A
somformule
t
AB2=OA2+OB2-2*OA*OB*cos(t-(-u))
(xb-xa)2+ (ya-yb)2= 1 + 1 – 2 cos(t-(-u))
xb2-2xbxa+xa2 + ya
2
u
B
–2ybya + yb2= 2 – 2 cos(t-(-u))
xb2 + yb2 +xa2 + ya 2 –2ybya -2xbxa= 2 – 2 cos(t-(-u))
1 + 1 –2ybya -2xbxa= 2 – 2 cos(t-(-u))
2ybya +2xbxa= 2 cos(t-(-u))
xbxa +yayb= cos(t-(-u))
cos(-u)cos(t)+ sin(t)sin(-u)=cos(t+u)
cos(t)cos(u)-sin(t)sin(u) = cos(t+u)
11.1
opgave 17
a y = sin2(x) + cos(2x)
evenwichtsstand ½
amplitude ½
periode π
beginpunt (0, 1)
y = ½ + ½cos(2x)
b cos(2A) = 1 – 2 sin2(A) geeft
2 sin2(A) = 1 – cos(2A) dus
sin2(A) = ½ - ½ cos(2A)
y = sin2(x) + cos(2x)
y = ½ - ½ cos(2x) + cos(2x)
y = ½ + ½ cos(2x)
Sommige goniometrische functies zijn lijn- of puntsymmetrisch.
Lijn- en puntsymmetrie
De grafiek van f is lijnsymmetrisch in de lijn x = a.
Voor elke p geldt f(a – p) = f(a + p).
De grafiek van de functie f is lijnsymmetrisch in de lijn x = a
als voor elke p geldt f(a – p) = f(a + p).
De grafiek van f is puntsymmetrisch in het punt (a, b).
Voor elke p geldt f(a – p) – b = b – f(a + p)
of
f(a – p) + f(a + p) = 2b.
De grafiek van de functie f is puntsymmetrisch in het punt (a, b)
als voor elke p geldt f(a – p) + f(a + p) = 2b.
11.1
opgave 24 a
a
f(x) = 2sin(x) – 2cos(x)
f( - ¼ π - p) = 2sin(- ¼ π - p) – 2cos( - ¼ π - p)
2(sin(- ¼ π - p) – cos( - ¼ π - p))
2(sin(- ¼ π) cos(- p) – cos(- ¼ π) sin(- p) – (cos(- ¼ π) cos(- p)+sin((- ¼ π)sin(-p))
2(½ 2 cos( p)  ½ 2 sin( p)  ½ 2 cos( p)  ½ 2 sin( p))
2(½ 2 cos( p)  ½ 2 cos( p))
 2 2 cos( p)
b f(x) = 2sin(x) – 2cos(x)
f( - ¼ π + p) = 2sin(- ¼ π + p) – 2cos( - ¼ π + p)
2(sin(- ¼ π + p) – cos( - ¼ π + p))
2(sin(- ¼ π) cos( p) + cos(- ¼ π) sin( p) – (cos(- ¼ π) cos( p) – sin((- ¼ π)sin(p))
2(½ 2 cos( p)  ½ 2 sin( p)  ½ 2 cos( p)  ½ 2 sin( p))
2(½ 2 cos( p)  ½ 2 cos( p))
 2 2 cos( p)
De afgeleide van sinus, cosinus en tangens
f(x) = sin(x) geeft f’(x) = cos(x)
g(x) = cos(x) geeft g’(x) = -sin(x)
f(x) = sin(ax + b) geeft f’(x) = a cos(ax + b)
g(x) = cos(ax + b) geeft g’(x) = -a sin(ax + b)
1
f(x) = tan(x) geeft f’(x) =
cos 2 ( x)
en f’(x) = 1 + tan2(x).
11.2
opgave 28
[cos(x)]’ = [sin(x + ½π)]’
= cos(x + ½π)
= -sin(x)
11.2
opgave 36
a f(x) = 1 + 2 sin(x - ⅓π) met domein [0, 2π]
evenwichtsstand 1
amplitude 2
periode 2π
beginpunt (⅓π, 1)
b Horizontale raaklijn in de toppen (⅚π , 3) en (1⅚π , -1),
dus x = ⅚π en x = 1⅚π.
opgave 39
a f(x) = ½ x + cos(x) geeft
f’(x) = ½ - sin(x)
f’(x) = 0 geeft
½ – sin(x) = 0
sin(x) = ½
x = ⅙π + k · 2π x = ⅚π + k · 2π
x op [0, 7] geeft x = ⅙π ⋁ x = ⅚π ⋁ x = 2⅙π
b f’(x) = 1 geeft ½ - sin(x) = 1
sin(x) = -½
x = -⅙π + k · 2π ⋁ x = 1⅙π + k · 2π
x op [0, 7] geeft x = 1⅙π ⋁ x = 1⅚π
opgave 41 a f(x) = 3 cos(x)
2  sin(x)
met domein [0, 2π]
f ' ( x) 
3 cos(x)
0
2  sin(x)
dus
3 cos(x)  0
cos(x)  0
x  ½  x  1½
punten zijn
 3 sin(x)(2  sin(x))  3 cos(x)  cos(x)
(2  sin(x))2
 6 sin(x)  3 sin 2 ( x)  3 cos2 ( x)

(2  sin(x))2
 6 sin(x)  3(sin 2 ( x)  cos2 ( x))

(2  sin(x))2
3  6 sin(x)

(2  sin(x))2
(½ ,0)  (1½ ,0)
3  6 sin(½ )
(2  sin(½ ))2
36
f ' (½ ) 
 3
(2  1) 2
f ' (½ ) 
3  6 sin(1½ )
(2  sin(1½ ))2
3 6
f ' (1½ ) 
1
(2  1) 2
f ' (1½ ) 
y  3x  b
0  3  ½  b
y  1x  b
0  1 1½  b
b  1½
y  3x  1½
b  1½
y  x  1½
opgave 41b
 6 sin(x)  3
(2  sin(x))2
f ' ( x)  0
 6 sin(x)  3
0
2
(2  sin(x))
f ' ( x) 
 6 sin(x)  3  0
sin(x)  ½
1
5
x    2k  x    2k
6
6
1
5
x   x 
6
6
3 cos(x)
2  sin(x)
1
5
3 cos(  )
3 cos(  )
1
5
6
6
f ( ) 
 f ( ) 
1
5
6
6
2  sin(  )
2  sin(  )
6
6
1
1
3 3
3  3
1
5
2
2
f ( ) 
 f ( ) 
1
1
6
6
2
2
2
2
1
5
f ( )  3  f ( )   3
6
6
B f  [ 3 , 3 ]
f ( x) 
Primitieven van sinus en cosinus
De primitieven van f(x) = sin(x) zijn F(x) = -cos(x) + c
De primitieven van g(x) = cos(x) zijn G(x) = sin(x) + c
De primitieven van f(x) = sin(ax + b) zijn F(x) =

De primitieven van g(x) = cos(ax + b) zijn G(x) =
Wat
zijn
de
prim itieven ?
f ( x)  2  cos (3x)
2
1
a
cos(ax + b) + c
1
a
sin(ax + b) + c
Hint:
cos(2 A)  2 cos2 ( A) 1
opgave 50
f(x) = sin(2x) met domein [0, ½π]
cos(2 A)  1  2 sin 2 ( A)
sin 2 ( A)  ½  ½ cos(2 A)
1

2
I(L) =
2
   ( f ( x)) dx 
0
1

2
2
  sin (2 x)dx 
0
1

2
0
1

2
1
2
1
2
  (  cos(4 x))dx
0
1
1
1
1
1
1
 [ ( x  sin(4 x))]   (   sin(2 ))   (0  sin(0))   2
2
8
4
8
8
4
11.3
opgave 53
a f(x) = 1½ - 3 sin(½x)
evenwichtsstand 1½
amplitude 3
2
periode 1 = 4π
2
beginpunt (0, 1½),
dalend door beginpunt
b f(x) = 0 geeft 1½ - 3 sin(½x) = 0
sin(½x) = ½
½x = ⅙π + k · 2π ⋁ ½x = ⅚π + k · 2π
x = ⅓π + k · 4π ⋁ x = 1⅔π + k · 4π
5

3
5

3
5
1
1
1
1 3
O(V) =   f ( x)dx   (1  3sin( x)) dx  [1 x  6cos( x)]1
2
2
2
2 3
1
1
3

3

1
5
1
1
1
1
1
1
 2   6cos(  )  (   6cos(  ))  2   6  
3    6
3
2
6
2
6
2
2
2
2
 2  6 3
opgave 53
c
5

3
5

3
1

3
5

3
1

3
2
I(L) =    ( f ( x)) dx 


1
4
1
2
1
2
2

(1

3sin(
x
))
dx 

1
2
5

3
1
2
1
4
1
2
1
2
1
2
2
  (2  9sin( x)  9sin ( x))dx    (2  9sin( x)  9(  cos( x)))dx
1

3
5

3
1
4
1
2
1
2
1

3
5

3
1
2
3
4
1
2
1
2
  (2  9sin( x)  4  4 cos( x))dx    (6  9sin( x)  4 cos( x))dx
1

3
1

3
5

3
1
1
 [ (6 x  18cos( x)  4 sin( x))]13

4
2
2
3
45
5
1
5
9
1
1
1
  (   18cos(  )  4 sin(  ))   (   18cos(  )  4 sin(  ))
4
6
2
3
4
6
2
3
45
1
1
1
9
1
1 1
  2  18   3  4    3   2  18 
34  
3
4
2
2
2
4
2
2 2
1
9
9
 9 2  9 3   3  9 3   3  9 2  13  3
2
4
4
Eenparige cirkelbeweging
Doorloopt het punt P met hoeksnelheid ω de
cirkel met middelpunt (a, b)
en straal r en bevindt P zich op t = 0 in het punt (a + r, b),
dan hoort hierbij de parametervoorstelling
2
xP = a + r cos(ωt)
yP = b + r sin(ωt)
De omlooptijd van P is T = 
Het punt P voert een eenparige cirkelbeweging uit.
Bij positieve hoeksnelheid draait P tegen de wijzers van de klok in
en bij negatieve hoeksnelheid draait P met de wijzers van de klok
mee.
Bevindt Q zich op t = t0 in het punt (a + r, b),
dan horen bij Q de bewegingsvergelijkingen
xQ = a + r cos(ω(t – t0) en yQ = b + r sin(ω(t – t0)).
De pv van de baan van P is
x = -1 + 2 cos(t)
y = 3 + 2 sin(t)
a Op t = 0 is P in (1, 3).
P draait linksom.
De baan van P is driekwartcirkel
met middelpunt (-1, 3) en straal 2.
b x = 0 geeft
-1 + 2 cos(t) = 0
cos(t) = ½
t = ⅓π + k · 2π ⋁ t = -⅓π + k · 2π
t op [0, 1½π] geeft t = ⅓π
yA = 3 + 2 sin(⅓π) = 3 + 2 · 1 3 = 3 + 3 , dus A(0, 3 + 3 )
2
opgave 56
c Substitutie van x = -1 + 2 cos(t) en y = 3 + 2 sin(t) in y = x + 4 geeft
3 + 2 sin(t) = -1 + 2 cos(t) + 4
2 sin(t) = 2 cos(t)
sin(t) = cos(t)
cos(t - ½π) = cos(t)
t - ½π = t + k · 2π ⋁ t - ½π = -t + k · 2π
geen opl.
2t = ½π + k · 2π
t = ¼π + k · π
t = ¼π geeft xB = -1 + 2 cos(¼π) = -1 + 2 · ½ 2 = -1 + 2
en yB = 3 + 2 sin(¼π) = 3 + 2
t = 1¼π geeft xC = -1 + 2 cos(1¼π) = -1 + 2 · ½ 2 = -1 – 2
en yC = 3 + 2 sin(1¼π) = 3 + 2 · -½ 2 = 3 – 2
Dus B(-1 + 2, 3 + 2 ) en C(-1 - 2 , 3 - 2 ).
d Voer in y1 = -1 + 2 cos(x) en y2 = -2.
De optie intersect geeft x ≈ 2,09 en x ≈ 4,19.
Dus 2,09 < t < 4,19.
opgave 61
2 4
  seconden.
a De omlooptijd is
2
Na
Dus
1
2
5
1 4
1
    seconde bevindt P zich in (7, -2).
4 5
5
1
1
xP  4  3cos(2 (t   ))
2
5
met t in seconden.
1
1
yP  2  3sin(2 (t   ))
2
5
b t = 2 geeft xP = 4 + 3 cos(5 - ½π) ≈ 1,12
en yP = -2 + 3 sin(5 - ½π) ≈ -2,85
Dus P(1,12; -2,85).
c
Na
3 4
3
    seconde bevindt P zich voor het eerst in (1, -2).
4 5
5
1
1
2
5
1
1
Voer in y1 = 2  3sin(2 ( x   ))
2
5
d y = 0 geeft 2  3sin(2 (t   ))  0
De optie zero (TI) of ROOT (Casio) geeft x ≈ 0,92 en x ≈ 1,59.
Dus de snijpunten zijn (0,92; 0) en (1,59; 0).
Gezamenlijk begonnen ze aan de eerste ronden
Al was het vanaf het begin (0,1) waarop ze stonden.
Met voor ieder een gelijke hoeksnelheid
Het was een eerlijke parameterstrijd.
Geheel in gelijk tred werd het schema afgedraait
De tijden stabiel de race nog niet echt opgelaait
Bij een kwam er een staak in het wiel
Ze kwam tot stilstand met een smak, ze viel.
Weer opgestapt en eenparig voortgezet
was zij bij doorkomst van de rest op (0,-1) gezet.
Hoewel ze door roteerde en haar frustratie bedwong
Ze bleef aankijken tegen een negatieve fasesprong.
Opgave 66
De x-coördinaat van rol I loopt van
10 naar – 10 en terug (normaal).
x p  10cos(t )
De y-coördinaat van rol I loopt
van 0 naar – 10 en terug
(tegengesteld).
y p  10sin(t )
2
 

2
De x-coördinaat van rol II loopt van
10 naar 20 en terug (tegengesteld).
sec .
 
2
 2
1
xq  15  5 cos(2t )
of
1
xq  15  5 cos(2 (t  ))
2
De y-coördinaat van rol II loopt
van 0 naar – 10 en terug
(tegengesteld).
yq  5 sin(2t )
of
1
yq  5 sin(2 (t  ))
2
sec .