Transcript Stabilitetsberäkning av höga byggnader enligt andra

Stabilitetsberäkning av höga
byggnader enligt andra
ordningens teori
Jan Stenmark 2001-01-03
En balkpelare enligt figur 1 analyseras.
zn
φn
zi+1
φi+1
zi+1
zi
φi+1
φi
z2
φi
φ2
z1
φ1
φ0
Figur 1. Balkpelare med frihetsgrader
Elementstyvhetsmatris för ett element
( 4 + µ) L2
Φ i 
Φ  = EI ( 2 − µ) L2
 i +1  (1 + µ ) 
 − 6L
Z i +1 

Där µ =
12β EI
GAL2
( 2 − µ ) L2
2
(4 + µ) L
− 6L
− 6 L  φ i 

− 6 L ⋅ φ i +1 


12  z i +1 
…(1)
…(2)
Styvhetssamband
Φ  C φφ
Z  = C
   zφ
C φz  φ
⋅
C zz  z 
…(3)
Genom att utnyttja att C φz = C Tzφ och att Φ = 0 erhålls följande ekvationer
0 = C φφ ⋅ φ + C φz ⋅ z
…(4)
Z = C zφ ⋅ φ + C zz ⋅ z
…(5)
−1
Ur ekvation (4) erhålls φ = −C −φφ1 ⋅ C φz ⋅ z som insatt i (5) ger Z = (C zz − C Tφz ⋅ C φφ
⋅ C φz ) ⋅ z
Här identifieras balkpelarens laterala styvhetsmatris, Sz, som
−1
S z = C zz − C Tφz ⋅ C φφ
⋅ C φz
…(6)
Balkpelarens laterala styvhetsmatris kan även erhållas direkt ur ekvation (3) genom att
eliminera samtliga termer i tredje kvadranten.
De laterala styvhetsmatriserna Szx och Szy sätts samman i en diagonalmatris
S
S j =  zx
 0
0 

S zy 
…(7)
Transformationsmatris mellan lokalt och globalt koordinatsystem erhålls som
u 
u   cos α sin α K u   
 =
 ⋅ v
−
sin
α
cos
α
K
v
v

 φ 
 
 
…(8)
Där
K u = u j sin α − v j cos α
…(8a)
K v = u j cos α + v j sin α
…(8b)
uj och vj anger balkpelarens koordinater i globalt system och α är det lokala systemets rotation
relativt globalt system.
Transformations matrisen för en balkpelare med 3 våningar blir
u 1   cos α
0
0
sin α
0
0
Ku
  
cos α
0
0
sin α
0
0
u 2   0
u 3   0
0
cos α
0
0
sin α 0
 =
0
0
cos α
0
0
Kv
 v 1   − sin α
v 2   0
− sin α
0
0
cos α
0
0
  
0
− sin α
0
0
cos α 0
 v 3   0
0
Ku
0
0
Kv
0
u 1 
u 
2
0   

u3 
0   
 v1
Ku   
 ⋅ v 
0   2
v
0   3
 φ 
Kv   1 
φ 2 
φ 
 3
Eller
pj = Bj ⋅ p
…(9)
Transformation av balkpelarnas elementstyvhetsmatriser till globalt koordinatsystem sker i
två steg. I ett första steg skapas en elementstyvhetsmatris med förskjutningar i globalt system.
Den sparas för att senare kunna användas vid beräkning av snittkrafter.
K Lj = S j ⋅ B j
…(10)
Balkpelarens styvhetsmatris i globalt koordinatsystem blir
K j = B Tj ⋅ S j ⋅ B j = B Tj ⋅ K Lj
…(11)
Inverkan av andra ordningens effekter tas hänsyn till genom att sammanfatta alla pendelpelare
till en pendelpelare som placeras i varje plans masscentrum. Styvhetsmatrisen för ett system
pendelpelare kan erhållas ur en geometrisk betraktelse, se figur 2
PN
Pi+1
Pi+1
Pi+1/Li+1
Li+1
Pi
Pi
-Pi+1/Li+1-(Pi+Pi+1)/Li
Li
P2
(Pi+Pi+1)/Li
Pi+Pi+1
P1
Figur 2. Pedelpelare
Genom att summera lasten på varje plan erhålls
Pi = ∫ q i dA
Ai
och systemets styvhetsmatris blir:
…(12)
 P2 P1 + P2
− L − L
2
1

P
2


L2

0
S0 = 


0



0

P2 + P3
L2
P3 P2 + P3
−
−
L3
L2
P3
L3
0
0
0
0
...
0
Pi + Pi+1
Li
P
P + Pi +1
... − i+1 − i
L i+1
Li
PN
0
LN
...

0 

0 


0 

PN 
LN 

P
− N
L N 
…(13)
Samtliga diagonaltermer blir negativa vilket innebär att pelaren har en destabiliserande effekt
på systemet.
Pendelpelarsystemets styvhetsmatriser i lokalt koordinatsystem placeras i en diagonalmatris
på samma sätt som (7).
S
Sp =  0
0
0
S0 
…(14)
När två intilliggande plans masscentrum inte sammanfaller, måste pelaren kompletteras med
en stel länk (rigid link) i planets nivå, se figur 3. Länken modelleras enklast i pelarens
tranformationsmatris.
Plan i+1
xi+1,yi+1
Plan i
xi,yi
Plan i-1
Figur 3. Pendelpelare med stel länk
Genom att modifiera ekvation (8) erhålls transformations matrisen för pendelpelarkedjan som:
u 
u  1 0 − y i   
  = 0 1 x  ⋅  v 
i 
v  
φ 
…(15)
För en pendelkedja med tre våningar blir transformationsmatrisen
u 1  1
− y1
  
u 2   1
u 3  
1
 =
1
x1
v1  
v 2  
1
  
1
 v 3  
− y2
x2
u1 
u 
2
  
 u 3 
 v1 
− y3   
 ⋅ v 2 
 v 
  3
 φ 
x3   1 
φ2 
φ 
 3
Eller
p = Bp ⋅ p
…(16)
Systemets geometriska styvhetsmatris kan beräknas på samma sätt som ekvation (11).
K G = BTp ⋅ S p ⋅ B p
…(17)
Det kan vara intressant att notera konsekvensen av den förenklade framställningen i ekvation
(17). Förskjutningspolynom som modellerar geometriska styvhetsmatriser brukar vara av
tredje ordningen och ger oftast god överensstämmelse om axiallasten inte är för nära den
elastiska knäcklasten. För att erhålla god passning av ett tredjegradspolynom krävs i
allmänhet 4 eller 5 punkter. I ekvation (14) är interpolationspunkterna lokaliserade till
våningsplanen och därför krävs minst 4 eller 5 våningar för att modellen skall ge korrekta
resultat. Om antalet våningar är mindre kommer andra ordningens effekter att underskattas
varvid resultatet blir på osäker sida.
Systemstyvhetsmatrisen för ett system med m stycken balkpelare erhålls som
m
K = KG + ∑ K j
…(18)
j=1
Ur systemstyvhetsrelationen
R = K⋅r
…(19)
erhålls förskjutningar, r, i globalt system.
Kopplingskrafterna mellan den j:te balkpelaren och plan i erhålls med hjälp av ekvation (10)
H j = K Lj ⋅ r
…(20)
Med hjälp av kopplingskrafterna kan sedan tvärkraft och moment beräknas. För en balkpelare
erhålls följande snittkrafter på plan i.
N
Vi = ∑ H p
…(21a)
p =i
i +1
Mi =
∑V
p
p= N
⋅ Lp
…(21b)