Transcript Complexe getallen - Universiteit van Amsterdam

Complexe getallen
José Lagerberg
Universiteit van Amsterdam
November, 2014
José Lagerberg (FNWI)
Complexe getallen
November, 2014
1 / 36
1
Complexe getallen
Definitie
Bewerkingen op complexe getallen
Reëel en imaginair deel
Absolute waarde en argument
Van cartesische naar poolcoördinaten
Complex geconjugeerde
Vermenigvuldigen met poolcoördinaten
Vermenigvuldigen en machten op eenheidscirkel
2
Complexe e-macht
Complex geconjugeerde e-macht
Inverse formule van Euler
Machten van complexe getallen
Wortels van complexe getallen
Oplossen vierkantsvergelijking
José Lagerberg (FNWI)
Complexe getallen
November, 2014
2 / 36
Waarom complexe e-machten?
Gebruikt bij frequentie analyse van signalen
1
2
3
4
Complexe e-machten zijn eigenfuncties van LTI systemen
Periodieke signalen zijn sommen van complexe e-machten
Voor een periodiek input signaal is de response van een LTI
systeem ook weer periodiek met dezelfde frequenties
De output van een LTI systeem bevat alleen die frequenties die
aanwezig zijn in input signaal
José Lagerberg (FNWI)
Complexe getallen
November, 2014
3 / 36
Overzicht complexe getallen
1
2
3
4
5
6
7
Definitie
Bewerkingen op complexe getallen
Optellen en aftrekken in complexe vlak
Absolute waarde en argument
Van cartesische naar poolcoördinaten en terug
Vermenigvuldigen en delen in poolvorm
Complexe e-machten, machten en wortels
José Lagerberg (FNWI)
Complexe getallen
November, 2014
4 / 36
Complexe getallen C
Definitie van complex getal z
z = a + bj met j 2 = −1 met a en b reëel en j de imaginaire eenheid
elk complex getal correspondeert met punt in vlak
complex getal is lineaire combinatie van reëel deel a en imaginair
deel bj
Im(z)
z = a + bj
bj
a
José Lagerberg (FNWI)
Complexe getallen
Re(z)
November, 2014
5 / 36
Bewerkingen op complexe getallen
optellen
(a + bj) + (c + dj) = (a + c) + (b + d )j
aftrekken
(a + bj) − (c + dj) = (a − c) + (b − d )j
vermenigvuldigen
(a + bj) · (c + dj) = (ac − bd ) + (ad + bc)j
delen
(a + bj)(c − dj) ac + bd bc − ad
a + bj
=
=
+
j
c + dj (c + dj)(c − dj) c 2 + d 2 c 2 + d 2
José Lagerberg (FNWI)
Complexe getallen
November, 2014
6 / 36
Voorbeelden
Voorbeeld 1
Bereken (4 − 3j) + (2 + 6j)
(4 − 3j) + (2 + 6j) = 6 + 3j
Voorbeeld 2
Bereken (1 + j)(2 + j)
(1 + j)(2 + j) = 2 + j + 2j + j 2 = 1 + 3j
Voorbeeld 3
Bereken
1
1+j
1−j
1−j
1
1−j
=
=
=
= 0.5 − 0.5j
2
1 + j (1 + j)(1 − j) 1 − j
2
José Lagerberg (FNWI)
Complexe getallen
November, 2014
7 / 36
Reëel en imaginair
Reële en imaginaire deel van z = a + bj
Reële deel: Re(z) = a
Imaginaire deel: Im(z) = b
Voorbeeld α = 1 − j
Bereken: Re(α), Re(α2 ) en Im(α), Im(α2 )
α = 1−j
α2 = (1 − j)(1 − j) = 1 − j − j + j 2 = 1 − 2j − 1 = −2j
Re(α) = 1 en Re(α2 ) = 0
Im(α) = −1 en Im(α2 ) = −2
José Lagerberg (FNWI)
Complexe getallen
November, 2014
8 / 36
Complexe vlak
4j
z = z1 + z2 = 7 + 4j
z2 = 2 + 3j
3j
2j
z1 = 5 + j
j
2
5
7
Optellen
vancomplexe
getallen als vectoren
en aftrekken
7
5+2
2
5
=
=
+
4
1+3
3
1
José Lagerberg (FNWI)
Complexe getallen
November, 2014
9 / 36
Absolute waarde
Definitie van absolute waarde van complex getal z
|z| =
√
a2 + b 2
Voorbeeld 1
|3 + 4j| =
√
32 + 42 = 5
Voorbeeld 2
|3 + 2j| =
√
9+4 =
√
13 ≈ 3.61
Voorbeeld 3
| − j| =
√
1=1
José Lagerberg (FNWI)
Complexe getallen
November, 2014
10 / 36
Van cartesische naar poolcoördinaten
z
bj
r
ϕ
p
a
a + bj
?
z = r (cosϕ + j sin ϕ)
−
→
r = |z| =
p
a2 + b 2
ϕ = arg (z) : tan ϕ = b/a ⇒ ϕ = tan−1
a + bj
a = r cos ϕ b = r sin ϕ
José Lagerberg (FNWI)
?
←
−
Complexe getallen
b
a
z = r (cosϕ + j sin ϕ)
November, 2014
11 / 36
Complex geconjugeerde
Definitie complex geconjugeerde van z = a + bj
z ∗ = a − bj
z = a + bj
bj
a
z ∗ = a − bj
−bj
José Lagerberg (FNWI)
Complexe getallen
November, 2014
12 / 36
Voorbeelden
Voorbeeld 1
Bereken de absolute waarde en het argument van: z = 2 + 2j
√
√
√
|2 + 2j| = 4 + 4 = 8 = 2 2
arg (2 + 2j) = arctan 22 = arctan(1) = π4
Voorbeeld 2
Schrijf in de vorm z = a + bj: |z| = 1, arg (z) =
π
2
Re(z) = cos( π2 ) = 0 en Im(z) = sin( π2 ) = 1 ⇒
z =j
José Lagerberg (FNWI)
Complexe getallen
November, 2014
13 / 36
Vermenigvuldigen met poolcoördinaten
Vermenigvuldigen van z1 en z2
z1 = r1 (cos ϕ1 + j sin ϕ1 )
z2 = r2 (cos ϕ2 + j sin ϕ2 )
z1 · z2 = r1 r2 (cos ϕ1 + j sin ϕ1 )(cos ϕ2 + j sin ϕ2 ) =
r1 r2 {(cos ϕ1 cos ϕ2 − sin ϕ1 sin ϕ2 ) + j(cos ϕ1 sin ϕ2 + cos ϕ2 sin ϕ1 )} =
r1 r2 (cos(ϕ1 + ϕ2 ) + j(sin ϕ1 + ϕ2 )) ⇒
Vermenigivuldigen
|z1 z2 | = r1 r2 = |z1 ||z2 |
arg (z1 z2 ) = arg (z1 )+arg (z2 )
José Lagerberg (FNWI)
Complexe getallen
November, 2014
14 / 36
Vermenigvuldigen in complexe vlak
z1 z2
z2
z1
Vermenigvuldigen
|z1 z2 | = r1 r2 = |z1 ||z2 |
José Lagerberg (FNWI)
en
arg (z1 z2 ) = arg (z1 ) + arg (z2 )
Complexe getallen
November, 2014
15 / 36
Delen in complexe vlak
z2
z1
Delen
|z1 |
z1
| |=
z2
|z2 |
en
José Lagerberg (FNWI)
z1 /z2
z1
arg ( ) = arg (z1 ) − arg (z2 )
z2
Complexe getallen
November, 2014
16 / 36
Voorbeelden
Voorbeeld 1
z1 = 6(cos π2 + j sin π2 )
z2 = 3(cos π3 + j sin π3 )
Bereken het product en het quotient
5π
z1 z2 = 18(cos 5π
6 + j sin 6 )
π
π
z1
= 2(cos + j sin )
z2
6
6
Voorbeeld 2
Bepaal de absolute waarde en het argument van jz
|jz| = |j| · |z| = |z|
arg (jz) = arg (j) + arg (z) = π2 + arg (z)
José Lagerberg (FNWI)
Complexe getallen
November, 2014
17 / 36
Vermenigvuldigen op eenheidscirkel
j
r =1
z = cos ϕ + j sin ϕ
ϕ
−1
0
1
−j
z1 = cos ϕ1 + j sin ϕ1
en
z2 = cos ϕ2 + j sin ϕ2
Vermenigvuldigen op eenheidscirkel
z1 · z2 = cos(ϕ1 + ϕ2 ) + j sin(ϕ1 + ϕ2 )
José Lagerberg (FNWI)
Complexe getallen
November, 2014
18 / 36
Machten op eenheidscirkel
z3
z4
z2
z
1
z = cos ϕ + j sin ϕ
Machten op eenheidscirkel
z 2 = (cos ϕ + j sin ϕ)2 = cos 2ϕ + j sin 2ϕ
...
z n = (cos ϕ + j sin ϕ)n = cos nϕ + j sin nϕ
José Lagerberg (FNWI)
Complexe getallen
November, 2014
19 / 36
Samenvatting
Optellen en aftrekken
+
−
⇒ z = a + bj
als vectoren
Vermenigvuldigen en delen
∗
:
⇒ z = r (cos ϕ + j sin ϕ)
absolute waarden ∗ of :
argumenten + of −
José Lagerberg (FNWI)
Complexe getallen
November, 2014
20 / 36
Voorbeeld
Voorbeeld
1 + 2j
. Bereken op twee manieren |z| en arg (z):
1−j
a. door z = a + jb te schrijven
b. regel van delen
Gegeven: z =
1
2
(1 + 2j)(1 + j) 1 + 2j + j − 2 −1 + 3j
=
=
= −0.5 + 1.5j
(1
2
√− j)(1 + j)
√1 + 1
|z| = 0.52 + 1.52 = 0.5 10 = 1.58,
1.5
arg (z) = arctan( −0.5
) = arctan(−3) = 0.6π
r
√
1+4
1 + 2j
5 √
|1 + 2j|
|
=
|=
=√
= 2.5 = 1.58
1−j
|1 − j|
2
1+1
2
−1
arg ( 1+2j
1−j ) = arg (1 + 2j) − arg (1 − j) = arctan( 1 ) − arctan( 1 ) =
arctan(2) − arctan(−1) = 0.35π + 0.25π = 0.6π
z=
José Lagerberg (FNWI)
Complexe getallen
November, 2014
21 / 36
Complexe e-macht
Formule van Euler
e jϕ = cos ϕ + j sin ϕ
e jϕ1 · e jϕ2 = e j(ϕ1 +ϕ2 )
e j·0 = e 0 = 1
(e jϕ )n = e jnϕ
(e jϕ )′ = je jϕ
Dus nu: z = r (cos ϕ + j sin ϕ) = re jϕ
Vermenigvuldigen en delen
z1 z2 = r1 e jϕ1 r2 e jϕ2 = (r1 r2 )e j(ϕ1 +ϕ2 )
z1 r1 e jϕ1 r1 j(ϕ1 −ϕ2 )
= e
=
z2 r2 e jϕ2 r2
José Lagerberg (FNWI)
Complexe getallen
November, 2014
22 / 36
Voorbeelden
Voorbeeld 1
Bereken e jπ , e j2π en e −j 2 π
1
e jπ = e −jπ = −1,
1
3
e −j 2 π = e j 2 π = −j
e j2π = e 0 = 1
Voorbeeld 2
Wat is e z voor z = a + bj?
e z = e a+bj = e a · e bj = e a (cos b + j sin b)
Voorbeeld 3
Schrijf het volgende getal in de vorm re jϕ : 2 + j
√
r = |z| = 5, ϕ = arg (z) = arctan( 21 ) = arctan(0.5) = 0.15π
√
z = 5e j0.15π
José Lagerberg (FNWI)
Complexe getallen
November, 2014
23 / 36
Complex geconjugeerde e-macht
Complex geconjugeerd e-macht z ∗
Als z = a + jb = re jϕ , dan is z ∗ = a − jb = re −jϕ
zz ∗ = re jϕ re −jϕ = r 2
z
re jϕ
=
= e j2ϕ
z ∗ re −jϕ
z + z ∗ = 2Re(z)
z − z ∗ = j2Im(z)
José Lagerberg (FNWI)
Complexe getallen
November, 2014
24 / 36
Voorbeeld
Som twee complex geconjugeerden
Vereenvoudig de volgende som van complex geconjugeerden:
1 jΩn
ze + z ∗ e −jΩn
2
Schrijf z = |z|e jφ
1 jΩn
ze + z ∗ e −jΩn = Re(ze jΩn ) = Re(|z|e jφ e jΩn ) =
2
|z|Re(e j(Ωn+φ) ) = |z| cos(Ωn + φ)
José Lagerberg (FNWI)
Complexe getallen
November, 2014
25 / 36
Inverse formule van Euler
Optellen
e jϕ = cos ϕ + j sin ϕ
e −jϕ = cos ϕ − j sin ϕ
e jϕ + e −jϕ
+
= 2 cos ϕ ⇒
Inverse formule van Euler
cos ϕ =
José Lagerberg (FNWI)
e jϕ + e −jϕ
2
Complexe getallen
November, 2014
26 / 36
Inverse formule van Euler
Aftrekken
e jϕ = cos ϕ + j sin ϕ
e −jϕ = cos ϕ − j sin ϕ
e jϕ − e −jϕ
= 2j sin ϕ ⇒
−
Inverse formule van Euler
sin ϕ =
José Lagerberg (FNWI)
e jϕ − e −jϕ
2j
Complexe getallen
November, 2014
27 / 36
Voorbeeld
Voorbeeld inverse formule van Euler
Vereenvoudig de volgende som van complexe e-machten:
(1 + j)e −jϕ + (1 − j)e jϕ
(1 + j)e −jϕ + (1 − j)e jϕ
e −jϕ + e jϕ + je −jϕ − je jϕ =
(e jϕ + e −jϕ ) − j(e jϕ − e −jϕ ) =
2(e jϕ + e −jϕ ) 2(e jϕ − e −jϕ )
+
= 2 cos ϕ + 2 sin ϕ
2
2j
José Lagerberg (FNWI)
Complexe getallen
November, 2014
28 / 36
Machten van complexe getallen
n-de macht
De n-de macht van een complex getal z = re jϕ is:
z n = r n e jnϕ = r n (cos nϕ + j sin nϕ)
José Lagerberg (FNWI)
Complexe getallen
November, 2014
29 / 36
n-de machts wortel van z = re jϕ
Bereken wortel
Los op: z n = re jϕ
√
|z n | = |z|n = |re jϕ | = r ⇒ |z| = n r
arg (z n ) = n · arg (z) = arg (re jϕ ) + k · 2π = ϕ + k · 2π ⇒
arg (z) = n1 ϕ + k·2π
n , k = 0, 1, . . ., n − 1
z = r 1/n e j(ϕ+k·2π)/n k = 0, 1, . . ., n − 1
José Lagerberg (FNWI)
Complexe getallen
November, 2014
30 / 36
Voorbeeld
Bereken wortel
Los op: z 4 = 1
|z 4 | = |z|4 = |1| = 1 ⇒ |z| = 1
arg (z 4 ) = 4 · arg (z) = arg (1) + k · 2π = k · 2π ⇒
k = 0, . . ., 3
arg (z) = 14 k · 2π = π2 k,
π
z = e j 2 k k = 0, 1, . . ., 3
j
−1
José Lagerberg (FNWI)
Complexe getallen
1
−j
November, 2014
31 / 36
Kwadraten die negatief zijn
Kwadraat van j
j 2 = −1
(2j)2 = −4 en (6j)2 = −36
We kunnen dus wortel nemen van negatief getal
√
p
j2 = j
p
√
√
√ √
−4 = (2j)2 = 2j of −4 = −1 4 = 2j
√
−36 = 6j
√
√
√ √
−12 = −1 12 = 2 3j
−1 =
José Lagerberg (FNWI)
Complexe getallen
November, 2014
32 / 36
Oplossen vierkantsvergelijking
Oplossingen van ax 2 + bx + c = 0
√
−b ± b2 − 4ac
x1,2 =
2a
Gegeven x 2 + 2x − 3 = 0, bepaal oplossingen x1, x2
√
√
−2 ± 22 − 4. − 3 −2 ± 4 + 12 −2 ± 4
x1,2 =
=
=
= −1 ± 2
2
2
2
x1 = 1 en x2 = −3
We kunnen nu ook vierkantsvergelijking oplossen met negatieve
discriminant
José Lagerberg (FNWI)
Complexe getallen
November, 2014
33 / 36
Vierkantsvergelijking met negatieve discriminant
Gegeven x 2 + 2x + 5 = 0, bepaal oplossingen x1, x2
√
√
√
−2 ± 22 − 4.5 −2 ± 4 − 20 −2 ± −16
=
=
x1,2 =
2
2
2
−2 ± 4j
=
= −1 ± 2j
2
x1 = −1 + 2j en x2 = −1 − 2j
Complex geconjugeerde getallen
Als oplossingen van vierkantsvergelijking complex zijn, zijn deze altijd
complex geconjugeerd
José Lagerberg (FNWI)
Complexe getallen
November, 2014
34 / 36
Opgaven in te leveren op werkcollege
Opgave 1
Schrijf 2e 2jΩ + e jΩ + e −jΩ + 2e −2jΩ als de som van cos of wel sin.
Opgave 2
π
π
Schrijf (z − e j 10 )(z − e −j 10 ) met cos of wel sin.
José Lagerberg (FNWI)
Complexe getallen
November, 2014
35 / 36
Opgaven in te leveren op werkcollege
Opgave 3
Vereenvoudig de volgende som van complexe e-machten:
(1 − 2j)e jϕ + (1 + 2j)e −jϕ
Opgave 4
Vereenvoudig:
(z − re jϕ )(z − re −jϕ )
José Lagerberg (FNWI)
Complexe getallen
November, 2014
36 / 36