Transcript Adolescent Community Reinforcement Approach - Novadic

CT2031
COLLEGE 13
ConstructieMechanica 3
7-17
Stabiliteit van het evenwicht
Inleiding
Starre staaf (systeem met één vrijheidsgraad)
Systemen met meer dan één vrijheidsgraad
Buigzame staaf (oneindig veel vrijheidsgraden)
• Statisch bepaalde op druk belaste staaf
• Algemene aanpak met de D.V.
• Verend ingeklemde buigzame staven
• Gekoppelde systemen, aanpendelende belasting
• Knik en de EUROCODE 3
• 2e orde effecten
• Naknikgedrag
• Initiële scheefstand, vergrotingsfactor
• Vergrotingsfactor voor buigzame staven
• Bezwijken door instabiliteit
•
•
•
•
Ir J.W. Welleman
bladnr 1
GEKOPPELD SYSTEEM MET STARRE STAVEN
F
F
F
F
w
star
l1
S
w
k
S
H = k×w
star
star
star
H
l
Fw = Sl1
star
Fw
S=
l1
deel A
Ir J.W. Welleman
deel B
bladnr 2
EVENWICHT IN DE VERPLAATSTE STAND VAN HET
RECHTER DEEL
F × w + S ×l − H ×l = 0
F
F × w − ×l × w = k ×l × w
l1
F
F + ×l = k ×l
l1
invloed van de aanpendelende belasting
Ir J.W. Welleman
bladnr 3
Ftot
VEREENVOUDIGD MODEL INCLUSIEF
AANPENDELENDE BELASTING
Fk = k × l
k
⇔
F
F + × l = Ftot ≤ Fk
l1
l
of
F
1
=
Fk 1 + l
l1
Stel een totale belasting samen waarbij de belasting per pendel wordt gedeeld
door de bijbehorende pendellengte en wordt vermenigvuldigd met de lengte van
de verend gesteunde pendelstaaf.
Als alle staven dezelfde lengte hebben betekent dit dat ALLE belasting op het
verend gesteunde element wordt geplaatst.
Ir J.W. Welleman
bladnr 4
KNIKLAST MET AANPENDELENDE BELASTING
F
F
Fk
F
1
=
Fk 1 + l
l1
F
star
l1
k
star
l
star
l
l1
Ir J.W. Welleman
bladnr 5
VOORBEELD VAN EEN GEKOPPELD SYSTEEM (buigzaam)
F
F
F
F
w
star
l1
S
w
S
star
star
EI
EI
l
Fw = Sl1
Fw
S=
l1
deel A
Ir J.W. Welleman
deel B
bladnr 6
EVENWICHT VAN DEEL B
w(0)
x
F
S
l
z, w
Sz
S
F
w' ' ' '+α w' ' = 0 met : α =
EI
S z = M '− Fw' ⇔ S z = − EIw' ' '− Fw'
2
Ir J.W. Welleman
Sx
F
2
Randvoorwaarden:
1)
S z ( 0) = − S
3)
w(l ) = 0
2)
M ( 0) = 0
4) ϕ (l ) = 0
bladnr 7
OPLOSSEN
helling van de druklijn
Basisgereedschap:
w( x) = C1 + C 2 x + C 3 cos αx + C 4 sin αx
w' ( x) = C 2 − αC 3 sin αx + αC 4 cos αx
S z = − EIw' ' '− Fw' = − FC 2
w' ' ( x) = −α 2 C 3 cos αx − α 2 C 4 sin αx
Randvoorwaarden:
1) − FC2 = −
Maak gebruik van :
F
(C1 + C3 )
l1
2) EIα 2C3 = 0
⇒ C3 = 0
S=
F .w(0)
l1
3) C1 + C2l + C3 cosαl + C4 sin αl = 0
4) C2 − αC3 sin αl + αC4 cosαl = 0
Ir J.W. Welleman
bladnr 8
UITWERKEN
− F
 1

 0
Fl1
0   C1  0
l
sin αl  C2  = 0
1 α cos αl  C4  0
Dit is een homogeen stelsel vergelijkingen. Een niet-triviale oplossing kan alleen
worden verkregen als de determinant nul is :
tan αl = (l + l1 ) α
F
∧ α =
EI
2
TRANSCEDENTE VERGELIJKING
Ir J.W. Welleman
bladnr 9
OPLOSSING voor l1=l
7
αl ≅ 1,1655 ≅
6
EI
π 2 EI
Fk =
=
2
2
6
6π
(7 l ) ( 7 l )
lk =
6π
7
l ≅ 2,69l
Ir J.W. Welleman
bladnr 10
kniklengte GROTER dan 2l
RESULTAAT
F
F
S
druklijn
EI
EI
lk
druklijn
lk
Kniklengte = 2,0 l
Kniklengte = 2,69 l
Ir J.W. Welleman
bladnr 11
VEREENVOUDIGD MODEL INCLUSIEF AANPENDELENDE
BELASTING : mag dit ?
gevonden (exact ) :
Fk =
π 2 EI
( 2, 69l )
2
=
Ftot
π 2 EI
1,8 × ( 2l )
= 0,55 ×
2
π 2 EI
( 2l )
2
druklijn
EI
lk
basisgeval Euler :
2 Fk =
π 2 EI
( 2l )
Zet alle belasting op het stabiliserende
constructiedeel (alle staven even lang).
2
2
Fk =
π EI
2, 0 ( 2l )
Ir J.W. Welleman
Kniklengte = 2,0 l
2
2
= 0,5 ×
π EI
( 2l )
2
aanpak is niet exact maar wel veilig, conservatieve
benadering van de kniklast.
bladnr 12
INVLOED VAN DE LENGTE VAN DE PENDEL
voor iedere
l1
wordt een αl gevonden en geldt :
l
2
π 2 EI  αl  π 2 EI
EI
2
2
Fk = EIα = 2 × (αl ) = 2 ×   =
l
l
( βl ) 2
π 
π 2 EI
Fk
π
4
( βl ) 2
γ =
= 2
= 2
met : β =
en : l k = βl
FE π EI β
αl
4l 2
l1/l
0,05
0,13
0,25
0,75
1,00
2,00
3,00
4,00
5,00
10,00
15,00
1000,00
αl
0,3765
0,5710
0,7595
1,0867
1,1667
1,3242
1,3933
1,4320
1,4569
1,5107
1,5300
1,5708
β
8,34
5,50
4,14
2,89
2,69
2,37
2,25
2,19
2,16
2,08
2,05
2,00
γ
0,06
0,13
0,23
0,48
0,55
0,71
0,79
0,83
0,86
0,92
0,95
1,00
bijvoorbeeld :
l1 = 0,15l ⇒ γ = 0,13
Ir J.W. Welleman
Korte pendel op druk verlaagt de kniklast !
bladnr 13
INVLOED VAN DE LENGTE
VAN DE PENDEL OP DE KNIKLAST
F
Fk
Gecombineerd knikgeval
1,2
1,0
0,8
exact
0,6
benadering
0,4
0,2
0,0
0,00
Ir J.W. Welleman
5,00
10,00
15,00
20,00
25,00
l
l1
bladnr 14
VOORBEELD GEKOPPELD SYSTEEM (2)
2a
a
F
2F
3F
w
S
star
l1
w
S
star
star
EI
EI
l
Fw = Sl1
Fw
S=
l1
deel A
Ir J.W. Welleman
deel B
bladnr 15
EVENWICHT VAN DEEL B
w(0)
x
3F
S
l
z, w
S
3F
w' ' ' '+α w' ' = 0 met : α =
EI
S z = M '+ S x w' ⇔ S z = − EIw' ' '−3Fw'
2
Ir J.W. Welleman
Sx
3F
2
Sz
Randvoorwaarden:
1) S z (0) = S
3) w(l ) = 0
2) M (0) = 0 4) ϕ (l ) = 0
bladnr 16
OPLOSSEN
helling van de druklijn
Basisgereedschap:
w( x) = C1 + C2 x + C3 cos αx + C4 sin αx
w' ( x) = C2 − αC3 sin αx + αC4 cos αx
S z = − EIw' ' '−3Fw' = −3FC2
w' ' ( x) = −α 2C3 cos αx − α 2C4 sin αx
Randvoorwaarden:
1) − 3FC2 =
Maak gebruik van :
F
(C1 + C3 )
l1
2) EIα 2C3 = 0
⇒ C3 = 0
S=
F .w(0)
l1
3) C1 + C2l + C3 cos αl + C4 sin αl = 0
4) C2 − αC3 sin αl + αC4 cos αl = 0
Ir J.W. Welleman
bladnr 17
UITWERKEN
F
1

 0
3Fl1
0   C1  0
l
sin αl  C2  = 0
1 α cos αl  C4  0
Dit is een homogeen stelsel vergelijkingen. Een niet-triviale oplossing kan alleen
worden verkregen als de determinant nul is :
tan αl = (l − 3l1 ) α
3F
∧ α =
EI
2
TRANSCEDENTE VERGELIJKING
Ir J.W. Welleman
bladnr 18
OPLOSSING voor l1=l
11
αl ≅ 1,836601 ≅
6
EI
π 2 EI
3Fk =
=
2
6 2 2
6π
(11 ) l ( 11 l )
lk =
6π
11
1,83660
l ≅ 1,7l
kniklengte KLEINER dan 2l
Ir J.W. Welleman
bladnr 19