Transcript 10. Schwingungen

10. Schwingungen
Schwingungen sind allgemein Vorgänge, die sich wiederholen.
Man spricht auch oft von periodischen Vorgängen.
Beispiele: Vibrationen, Pendelschwingung, ...
10. 1. Harmonische Schwingungen
Versuch:
10. Schwingungen
Begriffe:
(T)
(T) Schwingungsdauer =
Periode = Zeit zwischen
zwei gleichen
Schwingungszuständen.
(Wenn der schwingende
Körper den Bahnpunkt
wieder in gleicher
Richtung durchläuft.)
y0
y
1 Periode (T)
(y0) Amplitude = größte Auslenkung
(y) Elongation = momentane Auslenkung ( diese ist von der Zeit
abhängig)
(f)
Frequenz = Anzahl der Schwingungen / Zeit
[f] = 1 Hertz
1 Hz= 1 s-1
10. Schwingungen
f 
1
T
Beispiele für harmonische Schwingungen:
Sc h w in g u n g d e s Fe d e rp e n d e ls
10.1.1 Schwingung des Federpendels:
Kre isb e w e g u n g
Pro je ktio n
Wir vergleichen die Projektion
einer Kreisbewegung mit der
Schwingung eines
Federpendels.
m a x.
Au sl.
oben
1'
12' 2'
11' 3'
Ru h e la g e
m a x.
1
12
11
3

10' 4' 10
9'
5'
8'
6'
4
9
5
8
7'
Au sl.
2
6
7
u n te n
Federpendel:
Kreisbewegung u. deren Projektion
Fy = – k·y

F   m2 r
φ = ωt
- weil F, y antiparallel
Fy = – mω2r·cosωt
r = y0
Fy = – ky0·cosωt
Fy = – m ω2y0cosωt
10. Schwingungen
k
y
Sc h w in g u n g d e s Fe d e rp e n d e ls
Kre isb e w e g u n g
Pro je ktio n
m a x.
Au sl.
oben
1'
12' 2'
m a x.
Au sl.
12
2
Fy
11' 3'
Ru h e la g e
φ = ωt
1
11

F
3
10' 4' 10
9'
5'
8'
6'
4
9
5
8
7'
6
7
u n te n
10. Schwingungen

F   m2 r
Fy = – mω2r·cosωt
Sc h w in g u n g d e s Fe d e rp e n d e ls
Kre isb e w e g u n g
Pro je ktio n
m a x.
Au sl.
oben
1'
12' 2'
11' 3'
Ru h e la g e
m a x.
Au sl.
1
12
2
v
vy
11
3

10' 4' 10
9'
5'
8'
6'
4
9
5
8
7'
6
7
u n te n
10. Schwingungen
v  r
vy = –ωy0·sinωt
Elongation:
y(t) = y0.cosωt
Schwingungsdauer:
T  2 
ω = 2π/T ;
k = mω2 ;
ω2 = k/m
m
k
Geschwindigkeit der Elongation:
vy(t) = - y0·ω·sinωt
Beschleunigung: hat die Richtung der Kraft, ist also y entgegengesetzt.
ay(t) = - y0·ω2·cosωt
10. Schwingungen
10.1.2 Das Fadenpendel (mathemat. Pendel)

FT  m  g  sin   m  g 
l
Bei sehr kleiner Auslenkung ist s ≈ x.
x
F
T
x
l

FN
F
G
Das heißt, die Kraft ist proportional der
Auslenkung wie beim Federpendel.
k  x  mg
k
x
l
mg
l
Das Hooksche
Gesetz ist erfüllt.
k g

m l
Aus der Formel für die Schwingungsdauer des Federpendels wird:
T  2.
m
k
T  2.
l
g
10. Schwingungen
Schwingungsdauer
des Fadenpendels.
Schülerversuche zu Feder- und
Fadenpendel
10. Schwingungen
Federpendel
• Aufbau:
10. Schwingungen
• Aufgabe:
Federpendel
– Miss die
Federkonstante
Miss den Abstand vom Tisch bis
zum Gewichtsteller
Lege 50 g auf den Gewichtsteller
und miss wieder den Abstand
Berechne die Differenz
Δl = ...... cm = ..... m
Δl
F = 0,05·9,81N
F
N
k   ............
l
m
10. Schwingungen
Federpendel
• Aufgabe:
– Miss die
Schwingungsdauer von 10
Schwingungen
Zieh dazu die Feder um ca. 7 cm
nach unten und las sie los.
Beginne bei der Zählung mit 0.
Dividiere durch 10
10. Schwingungen
Versuch 2:
Wir versetzen diese Anordnung in Schwingung und messen
die Zeitdauer für 10 Schwingungen: 10·T = ..... s
Schwingungsdauer T = ..... s
Vergleiche dieses Ergebnis mit der Formel
10. Schwingungen
T  2 
m
k
Fadenpendel
• Bestimme die
Schwingungsdauer
des Fadenpendels
Aufbau
– Bei unterschiedlicher
Amplitude
– Unterschiedlicher
Masse
– Unterschiedlicher
Fadenlänge
10. Schwingungen
Schwingungsdauer beim Fadenpendel:
Fertige eine Skizze an!
Versuch 1:
Pendellänge l = 0,6m; Auslenkung ca. 5cm;
2 Schlitzgewichte (2·50 g + 10 g)
10·T = ..... s
Schwingungsdauer T = ..... s
Versuch 2:
wie Versuch 1 jedoch Auslenkung ca. 10cm
10·T = ..... s
Schwingungsdauer T = ..... s
Erkenntnis: Die Schwingungsdauer ist von der Amplitude .....
Versuch 3:
Pendellänge l = 0,6m ; 4 Schlitzgewichte (4·50g + 10g)
(Beachte den Schwerpunkt !!)
10·T = ..... s
Schwingungsdauer T = ..... s
Erkenntnis: Die Schwingungsdauer ist von der Masse .....
10. Schwingungen
Versuch 4:
Pendellänge l = 0,3m
10·T = ..... s
T = ..... s
Versuch 5:
Pendellänge l = 1,2m
10·T = ..... s
T = ..... s
Erkenntnis: Bei vierfacher Pendellänge ist die
Schwingungsdauer...
Vergleiche mit der Formel:
T  2.
l
g
Zusatz: Ermittle aus der Schwingungsdauer des Fadenpendels
die Erdbeschleunigung!
10. Schwingungen
Harmonische Schwingungen sind Schwingungen, deren WegZeit-Diagramm eine Sinus- oder Kosinusfunktion darstellen.
Bei ihnen gibt es keinen Zusammenhang zwischen Amplitude
und Schwingungsdauer.
Beispiele: Federpendel, Fadenpendel, Stimmgabel,
Blattfeder, ...
nicht: schwingende Saite.
10. Schwingungen
10.2 Energie des harmonischen Oszillators.
1
1 2
2
E  mv y  ky
2
2
(Ekin  Epot )
1
k 2
2
E  m( v y  y )
2
m
1
E  m(y 0   sin t)2  2 (y 0  cos t)2 
2
E

1
2
my0 2 (sin t)2  (cos t) 2
2
k
 2
m

1
1
2
E  my 0 2
2
Die Energie wächst mit dem Quadrat der
Amplitude und mit dem Quadrat der Frequenz.
10. Schwingungen
10.3 Überlagerung von Schwingungen
Auslenkung
10.3.1 Die Phasenkonstante
2,50
2,00
1,50
1,00
0,50
0,00
-0,500,00
-1,00
-1,50
-2,00
-2,50
Loslassen nach Auslenkung.

5,00
10,00

2

y  y 0  sin( t  )
2
15,00
Auslenkung
Zeit
2,50
2,00
1,50
1,00
0,50
0,00
-0,500,00
-1,00
-1,50
-2,00
-2,50
Anstoßen in Ruhelage:
φ=0
5,00
10,00
15,00
10. Schwingungen
Zeit
y = y0sin(ωt)
Auslenkung
2,50
2,00
1,50
1,00
0,50
0,00
-0,500,00
-1,00
-1,50
-2,00
-2,50
Auslenken und Anstoßen:
5,00
10,00
15,00


4

y  y 0  sin( t  )
4
Zeit
Die Phasenkonstante gibt die anfängliche Auslenkung durch
einen Winkel an.
Unterscheiden sich zwei Schwingungen in ihrer Phasenkonstante,
so spricht man vom Phasenunterschied Δφ = φ1 - φ2
10. Schwingungen
10.3.2 Addition von Schwingungen
10.3.2.1 Addition kollinearer Schwingungen gleicher Frequenz
Versuch:
Zwei gleiche Stimmgabeln werden angestoßen. Mit Mikrophon
und Oszillograph veranschaulichen.
Ergebnis: Manchmal wird der Ton lauter, manchmal leiser.
Mathematische Beschreibung:
1. Schwingung:
2. Schwingung:
y1 = y01sin(ωt)
y2 = y02sin(ωt + φ)
10. Schwingungen
φ ... Phasenverschiebung
Sonderfälle:
a) φ = 0 Gleichphasigkeit:
y = y1 + y2 = (y01 + y02).sin(ωt)
Überlagerung von Schwingungen
Elongation
15
10
Schwingung1
Schwingung2
Überlagerung
5
Die
resultierende
Schwingung
besitzt die
größtmögliche
Amplitude
0
0
5
10
15
-5
Zeit
10. Schwingungen
Konstruktive
Interferenz
b) φ = π
y = y1 + y2 = y01·sin(t) + y02·sin(ωt+π) =
y01·sin(ω t) - y02·sin(ωt) = (y01 - y02)·sin(ω t)
Überlagerung von Schwingungen
Elongation
15
Die resultierende
Schwingung besitzt
kleinstmögliche
Amplitude.
10
Schwingung1
Schwingung2
Überlagerung
5
bei y01 = y02 ist
die resultierende
Amplitude 0.
0
0
5
10
15
-5
Destruktive
Interferenz.
Zeit
10. Schwingungen
Die Überlagerung zweier harmonischer
Schwingungen gleicher Frequenz und gleicher
Schwingungsrichtung ergibt stets wieder eine
harmonische Schwingung, deren Amplitude von
den Amplituden der Einzelschwingungen und
von ihrer Phasendifferenz abhängt.
10. Schwingungen
10.3.2.2 Lissajoussche Figuren
Sie entstehen, wenn zwei aufeinander normal stehende
Schwingungen mit rationalem Frequenzverhältnis überlagert werden.
Versuch:
Laserstrahl
Zwei Blattfedern, auf denen sich je
ein Spiegel befindet werden normal
zueinander befestigt und mit einem
Laser angeleuchtet. Das reflektierte
Signal wird an die Wand projiziert.
Spiegel
Schirm
10. Schwingungen
Mathematische Beschreibung:
x - Schwingung:
x = x0sin(ω1t)
y - Schwingung: y = y0sin(ω2t+φ)
φ ... Phasenverschiebung
Sonderfälle:
1.
ω1 = ω2 = ω ; x0; y0 ;
y
x

y0 x 0
2.
φ=0
y0
 y
x
x0
ω1 = ω2 = ω ; x0 = y0 ;
Gerade
φ = π/2
x - Schwingung: x = r.sin(ωt)
y - Schwingung: y = r.sin(ωt + π/2) = r.cos(ωt) → Kreis
x0 ≠ y0 → Ellipse
10. Schwingungen
3.
ω1 = 2ω
ω2 = ω ; x0; y0 ;
φ=0
x - Schwingung:
x = x0sin(2ωt)
y - Schwingung:
y = y0sin(ωt)
Betrachte auch den Fall = φ = π/2
Faustformel: Berührungspunkte vertikal :
Berührungspunkte horizontal = fx : fy
10. Schwingungen
10.4 Gedämpfte Schwingung
Eine harmonische Schwingung hat eine konstante Amplitude und
sollte unaufhörlich sein.
Reale Schwingungen verhalten sich nicht so.
Versuch:
Pendel wird in Schwingung versetzt.
Das Weg-Zeit Diagramm wird mit dem Computer aufgezeichnet.
Die Amplitude der
gedämpften
Schwingung nimmt mit
der Zeit ab.
Die Schwingungsdauer der gedämpften Schwingung
ist etwas größer als bei der ungedämpften
Schwingung.
Vgl. B. 6RG S. 76
10. Schwingungen
Mathematische Beschreibung:
y = y0.e-δt·sin(ωt)
δ ... Dämpfungsfaktor
e- δt ... Dämpfungsglied
Gedämpfte Schwingung
10,00
8,00
Elongation [cm]
6,00
4,00
Gedämpfte Schw.
2,00
Harmonische Schw.
0,00
0,00
-2,00
Dämpfungsglied 1
2,00
4,00
6,00
8,00
10,00
12,00
-4,00
-6,00
-8,00
-10,00
Zeit [s]
10. Schwingungen
Dämpfungsglied 2
Gib im TI 83+ ein: Achtung MODE Radiant
10. Schwingungen
Um die Dämpfung zu vermeiden z. B. bei Uhren verwendet man
Rückkopplungseinrichtungen.
Sie führen die in Reibung umgewandelte Energie wieder zu, dass die
Amplitude konstant bleibt.
Beispiel: Pendeluhr
10. Schwingungen
Pendeluhr
Anker
Steigrad
Gewicht
Pendel
10. Schwingungen
Dämpfung kann aber auch erwünscht sein:
Zeiger eines Analogmessgeräts,
Stoßdämpfer.
10. Schwingungen
10.5 Erzwungene Schwingung - Resonanz
Schülerversuch:
Die Spule mit 800 Windungen wird an den
Funktionsgenerator angeschlossen.
Einstellung: Frequenzbereich 1Hz, Sinus
Erhöhe mit dem Frequenzdrehknopf (links)
die Frequenz sehr sorgfältig und beobachte
was passiert.
Miss die Auslenkungen der Blattfeder und
trage sie in Abhängigkeit von der Frequenz
auf.
Beachte: Interessante Ereignisse müssen
sich nicht mit "ganzzahligen" Frequenzen
decken.
10. Schwingungen
Frequenz [Hz]
Auslenkung in [mm]
y
Trage die
Werte in
einem
Diagramm
auf.
f [Hz ]
0
1
2
3
5
10. Schwingungen
8
10
Resonanzkurven

Dämpfung:

klein
–
2
mittel
groß
f0
10. Schwingungen
Die Amplitude der Blattfeder hängt von der Frequenz des Erregers
ab.
Ist die Frequenz des Erregers gleich der Eigenfrequenz der
Blattfeder spricht man von Resonanz.
Vgl. Abb. 77.3 (BW 6RG)
Die Resonanzkurve ist um so höher, je geringer die Dämpfung ist. Im
schlimmsten Fall (ungedämpft) → Resonanzkatastrophe.
Lies Beispiele Buch Basiswissen 6 RG Seite 78.
Tacoma Narrows Bridge
Gebäudeschwingungen,
Rotierende Maschinenteile, Resonanz von Tragflügeln,
Resonanzkörper,
Zungenfrequenzmesser
10. Schwingungen
Tacoma Narrows Bridge
Tacoma Narrows Bridge
7. November 1940
10. Schwingungen
heute
Zungenfrequenzmesser
10. Schwingungen